“Sull’interpretazione quantoteorica delle relazioni cinematiche e meccaniche”

L’articolo di Heisenberg del 29 luglio 1925

1925

1926

“Sull’interpretazione quantoteorica delle relazioni cinematiche e meccaniche”

L’articolo di Heisenberg del 29 luglio 1925

Heisenberg ca. 1955

Nel giugno 2000 fu eretta una stele vicino allo scoglio scalato da Heisenberg. Questo fu distrutto durante gli eventi bellici della seconda guerra mondiale.

Nella notte fra il 15 e il 16 giugno 1925 Werner Heisenberg, che per curare una febbre da fieno si trovava sull’isola di Helgoland nel mare del nord, compì un passo cruciale sulla via della formulazione della meccanica quantistica. Quarant’anni dopo, in una lettera a B. L. van der Waerden, ricorda così l’avvenimento.

“In Helgoland war ein Augenblick, in dem es mir wie eine Erleuchtung kam, als ich sah, dass die Energie zeitlich konstant war. Es war ziemlich spaet in der Nacht. Ich rechnete es muehsam aus, und es stimmte. Da bin ich auf einen Felsen gestiegen und habe den Sonnenaufgang gesehen und war glucklich.”

Helgoland 1925

“In Helgoland ci fu un momento in cui mi venne come una illuminazione, quando vidi che l’energia era costante nel tempo. Era piuttosto tardi di notte. Eseguii i calcoli piuttosto complicati e tutto tornava. Quindi salii su uno scoglio e vidi il sorgere del sole; ed ero felice.”

Helgoland 1925 La storia è raccontata qui con maggiori dettagli (“Fisica ed oltre”, cap. 5)

Göttingen, 9 luglio, 1925“…Sono realmente convinto che una interpretazione della formula di Rydberg in termini di orbite circolari ed ellettiche in geometria classica non abbia il minimo significato fisico e tutte le mie povere idee mirano a smantellare completamente il concetto di orbite, che sono inosservabili, e rimpiazzarlo in maniera adeguata. Perciò oso spedirti il manoscritto del mio lavoro poichè penso che almeno nella parte critica, cioè nella parte negativa, contenga relmente della fisica. Ho un grande rimorso poichè ti debbo chiedere di rispedirmi il lavoro entro due o tre giorni. Infatti negli ultimi giorni del mio soggiorno qui, è mia intenzione di finirlo o bruciarlo. La mia opinione riguardo alla presentazione, della quale non sono molto soddisfatto, è che sono profondamente convinto riguardo alla parte critica, ma che considero la parte positiva piuttosto formale e magra; ma forse persone più capaci potranno trarne qualcosa di ragionevole. Quindi, per favore leggi principalmente l’introduzione…”

Da una lettera di Heisenberg a Pauli

Collaborazione con Born e Jordan

Max Born (1882-1970) premio Nobel 1954

Pascual Jordan (1902-1980)

Abstract dell’articolo “Sulla meccanica quantistica” di Born e Jordan, 27 settembre 1925

Quarta sezione di Jordan sulla quantizzazione ce campo e.m.

“Dreimännerarbeit” del 16 Novembre 1925

Paul A.M. Dirac(1902 - 1984)

Premio Nobel 1933

Alla fine dell’articolo c’è una nota aggiunta in bozze dove si legge: in un lavoro di P. Dirac, che è stato pubblicato nel frattempo e indipendentamente dal nostro, sono presentate alcune delle leggi derivate nella prima parte e nel presente aricolo ed ulteriori conclusioni derivate dalla teoria.

L’energia contenuta nel piccolo volume v fra e + d è, sperimentalmente:

Denotando con Es l’s-esimo grado di libertà, abbiamo:

Possiamo allora applicare il principio di Boltzmann al piccolo volume v

La fluttuazione quadratica media è data dalla media del quadrato della differenza tra l’energia effettivamente posseduta e la sua media:

Non essendoci correlazione fra i vari gradi di libertà si ottiene :

con:

Se <E> è data come funzione di T , si ottiene facilmente la seguente espressione per la fluttuazione quadratica media:

Se per <E> utilizziamo la formula di Planck:

otteniamo la formula notevole:

dove il primo termine si otterrebbe dalla formula di Wien:

ed il secondo termine dalla formula di Rayleigh – Jeans:

Dal taccuino di Einstein, Zurigo 1912 -1913

raddopia l’intensità

Zur Einsteinschen GastheoriePhysikalische Zeitschrift, 27, (1926), 95-101

Sulla teoria del gas di EinsteinLa statistica quantistica e le onde di materia; edited by P. Bernardini, Napoli: Bibliopolis. 1986.

“Das heisst nichts anderes als Ernst machen mit der de Broglie-Einsteinschen Undulationstheorie der bewegten Korpuskel, nach welcher dieselbe nichts weiter als eine Art 'Schaumkamm' auf einer den Weltgrund bildenden Wellenstrahlung ist".

“Ciò non significa altro che prendere sul serio la teoria ondulatoria di del corpuscolo in movimento proposta da de Broglie ed Einstein, in accordo con la quale quest’ultimo non è nulla più che una sorta di cresta di schiuma sulla radiazione ondosa che forma il substrato dell’Universo”

A questo nuovo approccio conduce la seguente semplice idea: la teoria del gas di Einstein si ottiene applicando alle molecole del gas quella forma di statistica che conduce alla legge della radiazione di Planck qualora venga applicata agli “atomi di luce” [come ha fatto Bose]. Tuttavia si può ottenere la legge della radiazione di Planck usando la statistica “naturale” se uno la applica ai cosiddetti “oscillatori eterei”, cioè ai gradi di libertà della radiazione. Gli atomi di luce appaiono allora solo come i livelli di energia degli “oscillatori eterei”…Ci si deve quindi semplicemente formare una raffigurazione del gas come le raffigurazione della radiazione di cavità che non corrisponda alla rappresentazione estrema dei quanti di luce; la statistica naturale condurrà quindi alla statistica del gas di Einstein.

Dazu führt folgender einfacher Gedanke: die Einsteinsche Gastheorie wird erhalten, indem man auf die Gasmoleküle die Form der Statistik anwendet, die, auf die "Lichtatome" angewendet, zum Planckschen Strahlungsgesetz führt. Aber man kann das Plancksche Strahlungsgesetz auch durch "natürliche" Statistik gewinnen, indem man sie auf die sog. "Aetherresonatoren", d.i. auf die Freiheitsgrade der Strahlung anwendet. Die Lichtatome treten dann nur als die Energiestufen der Aetherresonatoren auf. . . . Man muss also einfach das Bild des Gases nach demjenigen Bilde der Hohlraumstrahlung formen, das noch nicht der extremen Lichtquantenvorstellung entspricht; dann wird die natürliche Statistik. . . zur Einsteinschen Gastheorie führen'

P. Debye, in un articolo del 1910, 'Der Wahrscheinlichkeitsbegriff in der Theorie der Strahlung', Annln Phys. 33 (1910), 1427 -1434

Aveva ricavato la formula di Planck considerando la cavità popolata di “oscillatori di radiazione“ in equilibrio termico.La densità spettrale di energia era data dalla solita formula:

dove è l‘energia di equilibrio di un oscillatore etereo a frequenza Ogni oscillatore poteva avere solo energie nh con n=1,2,3,…

Se all‘equilibrio l‘n-esimo livello energetico viene pesato dal suo fattore di Boltzmann, allora si ha:

cioè la distribuzione di Planck.N.B. • Planck aveva quantizzato gli oscillatori materiali, mentre Debye quantizzava

gli oscillatori di radiazione.• nh è l‘energia corrispondente all‘n-esimo stato del singolo oscillatore etereo

non ad uno stato di n particelle ciascuna con energia h

Schroedinger cerca di evitare l‘uso della statistica di Bose Einstein trattando il gas di molecole secondo il metodo di Debye. Ciò equivale a considerare come punto di partenza un modello di gas visto come un fenomeno ondoso al quale applicare la quantizzazione secondo Debye.

“ Noi lo calcoliamo in stretto accordo con L. de Broglie, partendo dall’idea che una molecola di massa a riposo m, che si muove con velocità v=c, non costituisca che un “segnale” - si potrebbe dire una cresta schiumosa - di un sistema ondoso, la cui frequenza giaccia nelle vicinanze di

E la cui velocità di fase u sia determinata da una legge di dispersione data dalla precedente equazione e dalla relazione

(v gioca il ruolo di velocità del segnale, come si può facilmente calcolare e come ha mostrato de Broglie).

Wir berechnen es in engem Anschluss an L. de Broglie aus der Vorstellung, dass mit der Geschwindigkeit v = c bewegtes Molekül von der Ruhmasse m nichts weiter ist als ein "Signal", man konnte sagen "der Schaumkamm", eines Wellensystems, dessen Frequenz in der Nachbarschaft von

liegt und für dessen Phasengeschwindigkeit u ein Dispersionsgesetz gilt, das durch vorstehende Gleichung, in Verbindung mit

gegeben wird (v spielt dann die Rolle der Signalgeschwindigkeit, wie man leicht nachrechnet und de Broglie gezeigt hat).

Schrödinger mira a determinare lo spettro energetico discreto per un sistema di N atomi in un volume V.

Ora ci dobbiamo occupare di contare il numero delle vibrazioni proprie di un volume V per un fenomeno ondoso che segue questa legge di dispersione.”

Quindi il gas non è più un aggregato di particelle, ma è costituito da un “campo ondoso” complessivo (onde di fase) confinato entro il volume V che segue una legge di dispersione dedotta dalla teoria de de Broglie.

A questo punto Schrödinger procede a contare gli stati come Rayleigh o Debye (teoria dei calori specifici) dove determina lo spettro energetico trovando le vibrazioni proprie delle onde elastiche esistenti nel corpo.

Detto s il numero delle vibrazioni proprie fra 0 e , trova:

Con ciò risulta determinata l’energia della s-esima vibrazione propria:

Quanto di momento lineare che non dipende dalla natura del gas

Ora ci dobbiamo occupare di contare il numero delle vibrazioni proprie di un volume V per un fenomeno ondoso che segue questa legge di dispersione.”

Esiste un caso limite particolarmente interessante, quello di piccoli :

che risulta in perfetto accordo con l’articolo di Einstein sulla statistica dei gas:

“Quantentheorie des einatomiger idealen Gases”Sitz. Ber. Preuss. Akad. Wiss. 1925 pag. 261-267

(vedi )

L’altro caso limite interessante è quello di prossimo a 1:

Si trova:

Che è il classico risultato per la radiazione.

La differenza nella dipendenza funzionale dei valori per l’energia in funzione del numero di vibrazioni proprie è giustificata da Schrödinger mediante la legge di dispersione delle onde di fase.

A questo punto si pone il problema di costruire le particelle, come oggetti localizzati, a partire dalle onde (analisi di Fourier, pacchetti, dispersione del pacchetto etc.)

Applicazione delle idee di Bose al gas di molecole quantistico 1924 - 1925

Una mutua interazione delle molecole la cui natura è al presente misteriosa.

eine gegenseitige Beeinflussung der Moleküle von vorläufig ganz rätselhafter Art

A. Einstein, “Quantentheorie des einatomigen idealen Gases“ Berliner Berichte 1924, 261-267 (20 sett. 1924)

Chiariremo i diversi modi di contare gli stati nelle tre statistiche di Bose Einstein, Fermi e Boltzmann su un semplicissimo esempio numerico. Supponiamo che il sistema sia costituito da due molecole eguali e che per ciascuna di esse si abbiano tre stati quantici traslatori rappresentati dalle tre cellette negli schemi della figura 47. I numeri N1 N2 N3 la cui somma deve essere 2, possono prendere le 6 terne di valori (2,0,0) (0,2,0) (0,0,2) (0,1,1) (1,0,1) (1,1,0) Le realizzazioni di questi stati sono rappresentate nella fig. 47.

Nello schema corrispondente alla statistica di Boltzmann le due molecole sono state indicate con due lettere diverse a e b, perchè quando le due molecole sono in due celle diverse, si hanno due stati diversi secondo che esse sono nell'ordine ab o nell' ordine ba. Invece nelle nuove statistiche in cui si tiene conto della assoluta equivalenza delle due molecole esse sono state indicate entrambe con lo stesso simbolo a.

Enrico Fermi Molecole e cristalli 1934

A. Einstein, Quantentheorie des einatomigen idealen Gases, Sitzb. Preuss.Akad. Wiss., (1925), 3-14.Ricevuto 8 gennaio

Quando Einstein nel 1924-25 applica le idee di Bose al gas di molecole quantistico, affronta l’argomento ricorrendo ancora una volta alla teoria delle fluttuazioni:

Per la fluttuazione quadratica media dell’energia dei fotoni vale:

che ponendo:

si scrive nella forma suggestiva:

Einstein mostrò che questa formula descrive anche le fluttuazioni del gas di molecole quantistico, pur di ridefinire nella maniera naturale l’energia cinetica E ed il momento p delle molecole:

Ricordiamo il lavoro del 1909 sulle fluttuazioni della radiazione di cavità. Einstein riconobbe allora nel secondo termine dell’espressione:

il contributo del familiare comportamento ondoso, e nel primo termine il contributo dell’inusuale e nuovo comportamento particellare,

Si deve osservare, nel lavoro del 1925, il singolare scambio di ruolo dei due termini di cui è costituita la fluttuazione.Infatti nella espressione corrispondente per la fluttuazione quadratica media nel caso del gas molecolare quantistico:

è il secondo termine, di natura ondosa, ad essere nuovo ed inusuale, mentre il primo termine, che corrisponde al caso della statistica di Poisson, risulta essere quello familiare.

In forza di questa analogia Einstein fu portato ad “interpretare il secondo termine associando alle molecole del gas un fenomeno radiativo”, ed aggiunse: “Intendo approfondire questa interpretazione poiché penso che qui abbiamo a che fare con qualcosa di più di una semplice analogia”.

Io penso che questa sia più di una semplice analogia. de Broglie ha mostrato in un lavoro molto importante come un campo d’onda (scalare) possa essere coordinato con una particella materiale o un sistema di particelle materiali

ich glaube, dass es sich dabei um mehr als um eine blosse Analogie handelt. Wie einem materiellen Teilchen bzw. einem System von materiellen Teilchen ein (skalares) Wellenfeld zugeordnet werden kann, hat Hr. L. de Broglie in einer sehr beachtenswerten Schrift dargetan.

A. Einstein, “Quantentheorie des einatomige idealen Gases“ Berliner Berichte 1925, 3-14 (9 febb.1925) ricevuto 8 genn.

E. Schroedinger, “Zur Einsteinschen Gastheorie”Physikalische Zeitschrift, 27, (1926), 95-101

Ciò non significa altro che prendere sul serio la teoria ondulatoria di del corpuscolo in movimento proposta da de Broglie ed Einstein, in accordo con la quale quest’ultimo non è nulla più che una sorta di cresta di schiuma sulla radiazione ondosa che forma il substrato dell’Universo.

de Broglie considerò una particella di massa m0 in moto con velocità v c rispetto ad un osservatore stazionario e considerò che la particella fosse la sede di un fenomeno periodico di frequenza pari a:

L’osservatore stazionario attribuisce alla particella in moto l’energia:

e quindi le associa la frequenza:

Considerando la frequenza del fenomeno periodico interno, a causa della dilatazione relativistica del tempo, l’osservatore osserverà però una frequenza più bassa:

Fu questa discrepanza tra e 1 ad attrarre l’attenzione di de Broglie e a determinare il successivo corso dei suoi pensieri.

de Broglie introdusse “une onde fictive associée au mouvement du mobile” che si muove con velocità c/ e la frequenza precedentemente definita.

Dimostrò quindi che se all’inizio il fenomeno periodico interno alla particella si trova in fase con l’”onde fictive” “l’armonia di fase persisterà per sempre”.Infatti la particella che al tempo t=0 coincideva con l’onda nell’origine, al tempo t=t si troverà nella posizione x=vt. Il fenomeno periodico interno sarà caratterizzato dalla funzione:

Mentre l’”onde “fictive” associata alla particella in quella posizione è data da:

Ma essendo:

la fase del fenomeno periodico interno è la stessa di quella dell’onda fittizia.

“Questo risultato suggerisce che ogni particella in moto può essere accompagnata da un’onda e che sia impossibile disgiungere il moto della particella dalla propagazione dell’onda.”

de Broglie 1923

Applichiamo quest’idea al moto di un elettrone lungo una traiettoria chiusa percorsa con periodo T.

Ricordando che l’onda associata all’elettrone viaggia alla velocità v = c/, se al tempo t = 0 l’elettrone si trova all’origine O della traiettoria, l’onda partita da O raggiungerà l’elettrone, precedendolo lungo la traiettoria e “doppiandolo”, al tempo nel punto O’ tale che:

c/ c ( + T )

percorso dell’ondapercorso della particella+ un circuito completo

dell’orbita

Quindi la fase del fenomeno periodico interno è cambiata di

de Broglie ritiene evidente che il moto sarà stabile solo se l’onda fittizia ritroverà in O’ l’elettrone in fase con se stessa.

Ne segue che D = n. Ma questa è la condizione di Bohr-Sommerfeld

In seguito de Broglie dimostra che la velocitàDella particella v = c non è altro che la velocità di gruppo delle onde di fase:

de Broglie adotta inoltre, quale postulato, che in condizioni classiche la particella seguirà una traiettoria normale alle superfici di ugual fase della sua onda di fase (ottica geometrica)

In condizioni non classiche, se cioè la particella deve passare attraverso aperture o fenditure di dimensioni paragonabili alla lunghezza d’onda della sua onda di fase, ci si debbono però attendere fenomeni analoghi a quelli dell’ottica ondulatoria, come interferenza o diffrazione.

Il 16 novembre 1925 Schrödinger scrisse una lunga lettera al suo amico Alfred Landé riguardante il recente tentativo di Landé di ricondurre la interdipendenza statistica implicata dalla statistica di Einstein - Bose a un fenomeno di sovrapposizione:

Mi fa molto piacere sentire che il tuo lavoro intende essere un “ritorno alla teoria delle onde”. Anch’io inclino molto a fare così. Recentemente sono stato profondamente coinvolto nello studio dell’ingegnosa tesi di Louis de Broglie. E’ estremamente stimolante ma ciononostante alcune parti di essa sono molto dure da digerire. Ho tentato vanamente di farmi una raffigurazuione dell’onda di fase di un elettrone in un’orbita ellittica. I “raggi” approssimano quasi certamente delle ellissi kepleriane di uguale energia. Ciò tuttavia fornisce come fronti d’onda orribili “caustiche” o simili. Nello stesso tempo, la lunghezza dell’onda dovrebbe essere uguale ad un ciclo di Zeeman o di Stark!

Secondo Debye e v. Laue, si ottiene questo cominciando con un’onda piana e lasciando variare non solo la frequenza, ma anche la normale all’onda - quest’ultima in un piccolo angolo solido d, ed integrando insieme un continuo di funzioni d’onda infinitesimali in questa regione di frequenza e di normali all’onda. […]

Una tale costruzione non assicura, in accordo con le leggi classiche delle onde, che il “modello di un quanto di luce” così prodotto . . . rimanga anche insieme in maniera duratura. Piuttosto si disperde in regioni sempre più grandi. . . "

Man erreicht dies nun nach Debye und v. Laue dadurch, dass man in der einen ebenen Wellenfunction, von welcher man ausging, nicht nur die Frequenz, sondern auch die Wellennormale über einen kleinen Bereich, einen kleinen Raumwinkel dw variieren lässt und ein Kontinuum infinitesimaler Wellenfunctionen innerhalb dieses Frequenz und Wellennormalen-bereiches zusammenintegriert. […]

Ist nach den klassischen Wellengesetzen natürlich nicht zu erreichen, dass das so erzeugte "Modell eines Lichtquants" . . .auch dauernd beisammen bleibt. Vielmehr zerstreut es sich . . . auf immer grössere Raume…