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Evoluzione Temporale in Meccanica Quantistica

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Evoluzione Temporale in Meccanica Quantistica

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F. Bianchi 2

Sommario

• Richiami di Meccanica Quantistica

• Evoluzione temporale

• Rappresentazioni di Schroedinger e di Heisenberg

• Serie di Dyson

• Matrice S

• Probabilita’ di transizione

• Regola d’oro

• Fattore di spazio delle fasi

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F. Bianchi 3

Ket, Bra, Operatori (1)• |a> ket, vettore di stato in spazio vettoriale complesso.• |a> + |b> = |c> somma di ket e’ un ket• c|a> =|a>c c numero complesso• |a> e c|a> rappresentano lo stesso stato fisico

• Un’osservabile A puo’ essere rappresentata da un operatore.• In generale A|a> e’ diverso da c|a>• Per gli autoket di A vale la proprieta’ A|a1> = c1|a1>, A|a2>=c2|a2>,

…• L’insieme dei numeri ci e’ l’insieme degli autovalori di A

• Gli stati fisici corrispondenti agli autoket |ai> sono chiamati autostati di A

• Gli autoket di un’osservabile A costituiscono una base in uno spazio vettoriale:– Un generico ket puo’ essere scritto come |b> = Sici|ai>

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F. Bianchi 4

Ket, Bra, Operatori (2)• Spazio dei bra <a|, spazio vettoriale duale dello spazio dei

ket– ca|a> + cb|b> c*a<a| + c*b<b|

• Prodotto interno: <b|a>– <b|a> = <a|b>*– <a|a> >= 0– |a> e |b> ortogonali se <a|b> = 0

• X|a> <a|X+

• X+ e’ operatore aggiunto di X (in rappresentazione matriciale, l’aggiunto di X si ottiene sostituendo Xij con X*ji)

• Operatori Hermitiani: X=X+

– (XY)+ = Y+X+

– Autovalori di un operatore Hermitiano sono reali– Autoket di un operatore hermitiano sono ortogonali e possono

essere normalizzati: <ai|aj> = dij. Formano una base

– Relazione di completezza: Si|ai><ai| = 1 Operatore identita’

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F. Bianchi 5

Rappresentazione Matriciale• X=Si Sj|ai><ai| X|aj ><aj|

• Ci sono N2 numeri della forma <ai| X|aj>

• Possono essere disposti in una matrice quadrata (i indice di riga, j di colonna)

• Gli |ai> siano una base. Allora:

...

|

|

*,...)|*,|(|

*,...)|*,|(

,...)|,|(|

...

|

|

|

2

1

21

21

21

2

1

ba

ba

cacabc

caca

acacc

ba

ba

b

...

|

|

| 2

1

ca

ca

c

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F. Bianchi 6

Misura in MQ• “Una misura fa sempre saltare il sistema in un

autostato della variabile dinamica che si misura” (P.A.M. Dirac) – Prima della misura: |b> = Sici|ai>

– La misura dell’osservabile A fa saltare il sistema in |ai> uno degli autostati di A• Eccezione: quando il sistema si trova gia’ in un autostato di A

– Il risultato di una misura e’ uno degli autovalori di A.– Probabilita’ che il sistema salti nell’autostato |ai> e’ |<ai|b>|

2

• Valore di aspettazione di A in uno stato |b>: <b| X|b>=<A>

– Se ai e’ l’autovalore dell’autostato|ai>

<A> = Si ai |<ai|b>|2

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F. Bianchi 7

Osservabili Compatibili, Operatori Unitari

• Quando i corrispondenti operatori commutano: [A,B] = 0– Sono diagonalizzabili contemporaneamente– Hanno autostati comuni: |ai,bi>

• A|ai,bi> = ai|ai,bi>

• B|ai,bi> = bi|ai,bi>

• Autovalore degenere: quando a diversi autostati di un operatore corrisponde lo stesso autovalore.

• Date due basi di ket ortonormali e complete |ai> e |bi>, esiste un operatore unitario U (UU+=U+U=1) tale che:– |bi> = U|ai>

– Uij=<ai|U|aj> = <ai|bj>

– X’ =U+XU dove X e’ la rappresentazione matriciale di un operatore nella base |ai> e X’ e’ la sua rappresentazione nella base |bi>,

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F. Bianchi 8

Evoluzione Temporale in MQ (1)

• Tempo e’ parametro (e non un operatore)

• A t= t0 stato del sistema e’ |a>

• Ad un tempo t>t0 lo stato del sistema e’|a,t0;t>

• limt->t0 |a,t0;t> = |a,t0;t0>=|a>=|a,t0>

• Vogliamo studiare l’evoluzione temporale |a> |a,t0;t>– Introduciamo l’operatore di evoluzione temporale U(t,t0)

– |a,t0;t> = U(t,t0) |a,t0>

– U+U=1– U(t2,t0)=U(t2,t1)U(t1,t0) proprieta’ di composizione

• Operatore infinitesimo di evoluzione temporale:– |a,t0;t0+dt> = U(t0+dt,t0) |a,t0>

– lim dt->0 U(t0+dt,t0) = 1

– Tutte richieste sono soddisfatte con U(t0+dt,t0) = 1-iWdt; W+=W

– Identificando W con l’Hamiltoniana H: W=H/h:– U(t0+dt,t0) = 1-i(Hdt)/h

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F. Bianchi 9

Evoluzione Temporale in MQ (2)

• Usando la proprieta’ di composizione:

• Questa e’ l’equazione di Schroedinger per l’operatore di evoluzione temporale Moltiplicando ambo i membri per il ket di stato |a,t0>:

• Che e’ l’equazione di Schroedinger per un ket di stato.

• Se viene dato U(t,t0) e sappiamo come agisce su |a,t0>, non abbiamo bisogno di occuparci dell’equazione di Schroedinger per i ket di stato, basta applicare U(t,t0) a |a,t0> per ottenere |a,t0;t>.

Dobbiamo trovare soluzioni dell’equazione di Schroedinger per U(t,t0) con la condizione iniziale U(t0,t0)=1

),(),(),(),(),(

),(1),(),(),(

00000

000

ttHUttUt

ittdtUHittUtdttU

ttUiHdt

ttUtdttUtdttU

ttaHttat

itattHUtattUt

i ;,|;,|,|),(,|),( 000000

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F. Bianchi 10

Evoluzione Temporale in MQ (3)

• Equazione da risolvere:

• Tre casi:

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F. Bianchi 11

Evoluzione Temporale in MQ (4)

• Occupiamoci del caso 1 (H non dipende dal tempo). Per sapere come agisce U(t,t=0) su un generico ket, dobbiamo capire come agisce sui ket di una base.

• Scegliamo come base gli autoket di un operatore A tale che [A,H]=0– autoket di A sono autoket di H: H|a’>=Ea’|a’>

• Se e’ nota l’espansione del ket iniziale |b>:

|'exp'||''|exp|''''|exp ''''' a

tiEaaa

iHtaa

iHt aaaa

tiEtctc

tiEbaatb

iHtttb

acbaatb

aaa

aa

aaa

'''

''

'''

exp)0()(

exp|''|0,|exp;0,|

'||''|0,|

N.B.: Le fasi relative delle diverse componentiCambiano nel tempo perche’ le frequenze di oscillazioni sono diverse

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F. Bianchi 12

Evoluzione Temporale in MQ (5)

• Caso speciale:

• Se il sistema e’ in un autostato di A ed H rimane in tale autostato

• Se [A,H]=0 allora A e’ una costante del moto

• Si puo’ facilmente generalizzare al caso di diverse osservabili compatibili tra di loro e con H.– E’ fondamentale trovare un insieme di osservabili

compatibili fra loro e con H

tiE

attbatb a 'exp'|;0,|'|0,|

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F. Bianchi 13

Evoluzione Temporale in MQ (6)• Consideriamo ora una osservabile B che non commuta

necessariamente con A od H e calcoliamone il valor medio in un autostato di A

• <B> e’ indipendente dal tempo autostati dell’energia sono stazionari

• Calcoliamo <B> in uno stato non stazionario. Se lo stato non e’ stazionario, lo si puo’ esprimere come una sovrapposizione di autostati dell’energia.

'||''|expexp|'

)'|)0,(())0,(|'(

'|)0,(;0,'|

'' aBaatiE

BtiE

a

atUBtUaB

atUtta

aa

tEEiaBacc

atiE

cBtiE

acB

actb

aaaaaa

aaa

aaa

aa

)(exp''||'

''|expexp|'

'|0,|

'''''

*''''

''''''

'*''

''

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F. Bianchi 14

Rappresentazione di Schroedinger

• Quella vista finora:• Gli stati evolvono nel tempo, gli operatori sono stazionari

0,|exp;0,|

0,|)0,(0,|)0,(

|)0,(;0,|

taiHt

tta

tattHUtattUt

atUtta

aiHt

BiHt

a

atUBtUaB

|expexp|

)|)0,(())0,(|(

Valore di aspettazione

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F. Bianchi 15

Rappresentazione di Heisenberg

• Gli stati restano costanti• Le osservabili (gli operatori) evolvono nel tempo

iHt

tBiHt

tB

ttUtBttUtB

tatta

exp)0(exp)(

)0,()0()0,()(

0,|;0,|

aiHt

tBiHt

aatBa

HtBdt

tdBi

|exp)0(exp||)(|

]),([)(

Equazione del moto di Heisemberg

Valore di aspettazioneIdentico nelle due rappresentazioni

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F. Bianchi 16

Momento Magnetico in Campo Costante(1)

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F. Bianchi 17

Momento Magnetico in Campo Costante(2)

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Momento Magnetico in Campo Costante(3)

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F. Bianchi 19

Rappresentazione d’Interazione(1)

• Dovuta a Dirac

• Utile quando H =H0 + H’(t)– H0 termine libero

– V(t) termine d’interazione eventualmente dipendente dal tempo

• Intermedia tra la rappresentazione di Heisenberg e quella di Schroedinger– Osservabili variano nel tempo: evoluzione determinata da H0

– Stati variano nel tempo: evoluzione determinata dal termine d’interazione

],[1

0// 00 HA

idt

dAeAeA I

ItiHs

tiHI

IIIStiH

I ttaHttat

ittaetta

,0,|',0,|;0,|;0,| /0

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F. Bianchi 20

Rappresentazione d’Interazione(2)• Supponiamo che:

H =H0 + H’(t)

H0|n> = En|n>

• Consideriamo un ket arbitrario, che all’istante t=0 e’ dato da:

|a> = Sncn(0)|n>

• Il nostro problema e’ determinare i cn(t) tali che:

|a,t=0;t>= Sncn(t)exp(-iEnt/h)|n>

• Attenzione alla fattorizzazione della dipendenza temporale:– Il fattore exp(-iEnt/h) sarebbe presente anche in assenza di H’(t)

– La dipendenza dal tempo di cn(t) e’ dovuta a H’(t). In assenza di H’(t) cn(t)= cn(0)

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F. Bianchi 21

Rappresentazione d’Interazione(3)

ntctta nn |)(;0,|

)(')(

,0,|)(

,0,|'

,0,||)('|

,0,||'|,0,|

,0,|',0,|

|)(,0,|

/)(

/)(

// 00

tceHtcdt

di

ttantc

ttameH

ttammetHen

ttammHnttant

i

ttaHttat

i

ntctta

mtEEi

nmmn

In

ItEEi

nmm

ItiHtiH

m

IImI

III

nnI

mn

mn

Sviluppo di un ket genericonella base di autostati di H0

Moltiplichiamo ambo i membri dell’equaz. di Sch. per i ket per <n|ed usando la relazione di completezza

Definizione dei cn(t)

Equazione matriciale !!!

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F. Bianchi 22

Serie di Dyson(1)

• Soluzione di equazione differenziale per cn(t) in generale complicata approccio perturbativo

• Lavoriamo con l’operatore di evoluzione temporale UI(t,t0) definito da:

|a,t0;t>I=UI(t,t0)|a,t0;t0>I

• Che quindi soddisfa all’equaz:

• Con la condizione iniziale U(t0,t0)=1

),()('),( 00 ttUtHttUdt

di III

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F. Bianchi 23

Serie di Dyson(2)

• Equaz differenziale + condiz iniziale equivalente a equazione integrale:

• Soluzione iterativa:

'),'()'('1

1),( 00

0

dtttUtHh

ttUt

t

III

)('...)''()'(...'''...

)''(')'(''''')'('1

'''),''()''('1)'('1),(

)()(''

''2

0

'

0

)(

00 0

0 00

0 0

nI

t

t

IIn

t

t

t

t

n

t

t

II

t

t

t

t

I

t

t

t

t

IIII

tHtHtHdtdtdth

i

tHtHdtdth

idttH

h

i

dtdtttUtHh

itH

h

ittU

n

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F. Bianchi 24

Probabilita’ di Transizione (1)

• Relazione tra UI(t,t0) ed U(t,t0) (nella rapp di Schroedinger)

• Elemento di matrice di UI(t,t0) tra autostati di H0:

• Ampiezza di transizione: diversa nella rapp di Interazione ed in quella di Schroedinger

• Ma la probabilita’ di transizione:

• E’ la stessa ! (N.B.: solo tra autostati di H0)

/0

/0

00/

0/

000/

0/

0

000

000

00

),,(),,(

;,|),,(

;,|),,(;0,|;0,|

tiHtiHI

ItiHtiH

StiH

StiH

I

ettUettU

ttaettUe

ttattUettaetta

20

20

0/)(

0

||),,(||||),,(||

|),,(||),,(| 0

ittUfittUf

ittUfeittUf

I

tEtEiI

if

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F. Bianchi 25

Probabilita’ di Transizione (2)

• Supponiamo che a t =0 il sistema sia in un autostato di H0, |i>:

• Confrontando con:

• Si vede che:

• Anche i cn(t) possono essere sviluppati in modo perturbativo:

itUnnitUtti InI |)0,(|||)0,(;0,| 0

itUntc

ntctti

In

nnI

|)0,(|)(

|)(,0,|

...)()()()( )2()1()0( tctctctc nnnn

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F. Bianchi 26

Probabilita’ di Transizione (3)

• Confrontando con lo sviluppo perturbativo di UI(t,0):

• Ampiezza di transizione all’ordine j da|i> ad|n>: cn(j)(t)

– Termine di ordine 0: nessuna interazione– La Sm nel termine di ordine 2 ha il senso di somma sui possibili stati

intermedi

• Probabilita’ di transizione da |i> ad |n> ( stati diversi fra loro!):

)''(')'('''')(

')'('')'(')(

)(

/'')(/')(''2

)2(

/')()1(

)0(

0 0

0 0

tHetHedtdth

itc

dttHeh

idttH

h

itc

tc

mitEEi

nmtEEi

m

t

t

t

t

n

t

t

t

t

nitEEi

In

nin

immn

in

2)2()1( |...)()(|)( tctcniP nn

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F. Bianchi 27

Intuitivamente….

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F. Bianchi 28

Perturbazione Costante (1)H’ = costanteSviluppo dell’ampiezza di transizione |i> |f>:

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F. Bianchi 29

Perturbazione Costante (2)• Termine ordine zero: evoluzione libera dello stato iniziale da t0 a t

senza scambio energia con interazione

• Termine primo ordine:evoluzione libera dello stato iniziale da t0 a t1 in cui avviene scambio energia con interazione che lascia il sistema nello stato finale che evolve liberamente da t1 a t

• Termine secondo ordine: evoluzione libera dello stato iniziale da t0 a t1 in cui avviene scambio energia con interazione che lascia il sistema in uno stato intermedio |a> che evolve liberamente da t1 a t2. Nell’istante t2 c’e’ un ulteriore scambio energia con interazione che lascia il sistema nello stato finale che evolve liberamente da t2 a t.– Oltre ad integrare su tutti i possibili istanti t1 e t2 occorre anche sommare su

tutti i possibili stati intermedi.

• E cosi’ via per tuitti gli altri ordini perturbativi….

• Ad ogni ordine il sistema evolve liberamente con H0 fra i vertici dove interagisce con la perturbazione H’

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F. Bianchi 30

• Finora: ampiezza di transizione per intervallo di tempo finito

• Per studio di problemi di scattering e’ piu’ interessante l’estensione ad intervallo di tempo infinito. Introduciamo la matrice di Scattering:

– Scambio di sommatoria e limite forza un po’ la matematica….

• Il sistema si considera non interagente con la perturbazione a tempi lunghi nel passato e nel futuro.

• Gli stati asintotici |i> ed |f> sono autostati di H0

Matrice S (1)

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F. Bianchi 31

Matrice S (2)

Somma su stati intermedi include integrazione su gradi di liberta’ continui

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F. Bianchi 32

Matrice T• Se la serie si sapesse sommare, si potrebbe scrivere:

• Dove T e’ la matrice di transizione, il cui sviluppo perturbativo e’:

• Gli elementi di T, tra stati imperturbati, rappresentano la somma (in principio infinita) delle ampiezze per lo scambio di 1,2,..n quanti fra sistema imperturbato e perturbazione

• Interpretazione:negli ordini superiori al primo compaiono stati intermedi (virtuali), che corrispondono a transizioni interne al processo in cui il sistema scambia energia con la perturbazione– N.B: nelle interazioni intermedie il sistema non conserva l’energia che

viene invece conservata globalmente grazie aalla d– Si puo’ far risalire alla relazione di indeterminazione tempo-energia.

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F. Bianchi 33

Probabilita’ di Transizione (1)

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F. Bianchi 34

Probabilita’ di Transizione (2)

• Probabilita’ di transizione al primo ordine tra gli autostati |i> ed |f> di H0:

• Probabilita’ di transizione per unita’ di tempo:

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F. Bianchi 35

Probabilita’ di Transizione (3)

• Prob. di transizione per unita’ di tempo, al II ordine perturbativo:

• Quando e’ importante considerare ordini perturbativi > 1 ?– Quando l’elemento di matrice al I ordine e’ = 0

• (P.es. per motivi di simmetria)

– Quando e’ necessaria elevata accuratezza

• N.B: Tutti gli elementi di matrice di processi relativistici fra particelle reali sono come minimo del II ordine; quelli del I ordine non conservano E,p

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F. Bianchi 36

Una Rappresentazione della d

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F. Bianchi 37

Limiti Sbarazzini

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F. Bianchi 38

Commenti sulle Probabilita’ di Transizione

• Finora: transizione tra stati |i> ed |f> specificati solo dalle energie

• In generale fissare Ef non fissa univocamente lo stato finale: esiste una molteplicita’ di stati finali (degeneri) corrispondenti ad una data energia– Questa molteplicita’ e’ funzione dell’energia.

• Per una data Ef si puo’ determinare la densita’ degli stati finali per intervallo di energia

• In pratica siamo interessati alla probabilita’ di transizione verso un gruppo di stati tutti alla energia Ef

– Occorre sommare wfi su tutti gli stati finali che si considerano.

– Normalmente si puo’ approssimare la somma con un integrale.

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F. Bianchi 39

Regola d’Oro N. 2• Se gli stati finali costituiscono un continuo:• Prob. (infinitesima) di transizione verso un “intervallo (infinitesimo) di

stati”• Al I ordine: regola d’oro n. 2 (Dirac, Fermi):

• Nel caso di transizioni verso lo spettro continuo la d di fatto scompare

• dn/dEf :densita' di stati finali/Intervallo di energia; Fattore di spazio delle fasi– Fattore puramente cinematico (non dinamico) caratteristico dello

stato finale– Incremento del numero di stati finali accessibili al sistema per

incremento unitario dell’energia disponibile

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F. Bianchi 40

Fattore di Spazio delle Fasi(1)

Esempio 1:

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F. Bianchi 41

Fattore di Spazio delle Fasi(2)Esempio 2:

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F. Bianchi 42

Fattore di Spazio delle Fasi(3)• Esempio 3:• Due particelle libere senza vincoli tra gli impulsi

• Quindi:

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F. Bianchi 43

Atomo d’Idrogeno in Condensatore (1)

• Atomo di H, nello stato fondamentale in condensatore piano collegato a generatore di corrente alternata di frequenza w

• Generatore acceso a t= 0 e spento a t=t0

• EI (energia ionizzazione)

• Hamiltoniano d’interazione:

• Due casi: hw<EI e hw>EI

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F. Bianchi 44

Atomo d’Idrogeno in Condensatore (2)

• Primo caso: hw<EI

• Atomo non viene ionizzato, possiamo calcolare ampiezza di transizione fra stato fondamentale ed uno degli stati eccitati (insieme discreto):

• Da cui:

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F. Bianchi 45

Atomo d’Idrogeno in Condensatore (3)

• Se Ef>Ei, solo il secondo termine e’ importante e la probabilita’ di transizione diventa:

• La probabilita’ di transizione oscilla nel tempo in funzione della durata della perturbazione con la frequenza di battimento (differenza fra frequenza della perturbazione e frequenza naturale della transizione)

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F. Bianchi 46

Atomo d’Idrogeno in Condensatore (4)

• Secondo caso: hw>EI

• L’atomo si ionizza e lo stato finale appartiene al continuo.• Probabilita’ di transizione verso un gruppo di stati:

• Poiche’ (slide 40):

• Ne segue:

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F. Bianchi 47

Atomo d’Idrogeno in Condensatore (5)

• Alcune considerazioni:– Il volume di quantizzazione L3 si cancella con i fattori di

normalizzazione L3/2 delle funzioni d’onda– Per avere probabilita’ di transizione finita occorre integrare

su range finito di energia ed angolo solido dell’elettrone

• Trattiamo l’elemento di matrice come costante: