Formulario Meccanica Quantistica

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Indice 1 Matrici di Pauli 3 2 Funzioni di operatori 5 3 Principio di indeterminazione 5 4 Equazione di Shroedinger 6 4.1 Equazione d’onda ......................... 6 4.2 Equazione d’onda stazionaria .................. 6 4.3 Particella libera D-dim ...................... 6 4.4 Particella su un segmento (Buca infinita) ............ 7 4.5 Raccordo della funzione d’onda in un punto x 0 ......... 7 4.6 Delta di Dirac ........................... 7 5 Teorema del viriale 8 6 Coefficienti di riflessione e trasmissione 9 6.1 Matrice di trasmissione e matrice di scattering ......... 9 7 Oscillatore armonico 1-dim 11 7.1 Rappresentazione nello spazio delle coordinate ......... 11 7.2 Operatori di creazione e distruzione (innalzamento e abbas- samento) ............................. 12 8 Il momento angolare 13 8.1 Algebra del momento angolare ................. 13 8.2 Rappresentazioni matriciali del momento angolare ...... 14 8.3 Armoniche sferiche ........................ 15 8.4 Composizione di momenti angolari ............... 17 9 Atomo di idrogeno 19 10 Teoria delle Perturbazioni 20 10.1 Teoria delle Perturbazioni indipendenti dal tempo ....... 20 10.1.1 Caso non degenere .................... 20 10.1.2 Caso degenere ....................... 20 1

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Formulario di Meccanica Quantistica

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  • Indice

    1 Matrici di Pauli 3

    2 Funzioni di operatori 5

    3 Principio di indeterminazione 5

    4 Equazione di Shroedinger 6

    4.1 Equazione donda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    4.2 Equazione donda stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    4.3 Particella libera D-dim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    4.4 Particella su un segmento (Buca infinita) . . . . . . . . . . . . 7

    4.5 Raccordo della funzione donda in un punto x0 . . . . . . . . . 7

    4.6 Delta di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    5 Teorema del viriale 8

    6 Coefficienti di riflessione e trasmissione 9

    6.1 Matrice di trasmissione e matrice di scattering . . . . . . . . . 9

    7 Oscillatore armonico 1-dim 11

    7.1 Rappresentazione nello spazio delle coordinate . . . . . . . . . 11

    7.2 Operatori di creazione e distruzione (innalzamento e abbas-samento) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    8 Il momento angolare 13

    8.1 Algebra del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    8.2 Rappresentazioni matriciali del momento angolare . . . . . . 14

    8.3 Armoniche sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    8.4 Composizione di momenti angolari . . . . . . . . . . . . . . . 17

    9 Atomo di idrogeno 19

    10 Teoria delle Perturbazioni 20

    10.1 Teoria delle Perturbazioni indipendenti dal tempo . . . . . . . 20

    10.1.1 Caso non degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    10.1.2 Caso degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1

  • 10.2 Teoria delle Perturbazioni dipendenti dal tempo . . . . . . . . 22

    11 WKB: approssimazione semiclassica 23

    12 Formule 24

    12.1 integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    12.2 moto del centro di massa e moto relativo . . . . . . . . . . . . 24

    2

  • 1 Matrici di Pauli

    i, i = 1, 2, 3 oppure i = x, y, z

    x =

    (0 11 0

    )y =

    (0 ii 0

    )z =

    (1 00 1

    )

    ~ = (x, y, z)

    autovalori ed autovettori

    ~n = (nx, ny, nz) = (cos sin , sin sin , cos ) ~n ~n = 1~ ~n |~n = () |~n

    (+) = +1() = 1

    } ~n

    |+~n = ei+

    1 + nz2

    (1

    nx+iny1+nz

    )= ei+

    (cos(/2)ei sin(/2)

    )

    |~n = ei

    1 nz2

    (1

    nx+iny1nz

    )= ei

    (sin(/2)

    ei cos(/2))

    ~n = (1, 0, 0) ~ ~n = x |+x = 12(

    11

    )|x = 12

    (11

    )

    ~n = (0, 1, 0) ~ ~n = y |+y = 12(

    1i

    )|y = 12

    (1i

    )

    ~n = (0, 0, 1) ~ ~n = z |+z = |+ =(

    10

    )|z = | =

    (01

    )

    formalismo di Dirac

    x = |+| + |+|y = i (|+| |+|)z = |++| ||

    proprieta`

    i = i

    2i = 1ITr(i) = 0

    det(i) = 1[i, j] = 2iijkk

    {i, j} = 2ij1Iij = ij1I + iijkk

    3

  • ~ ~a = k

    akk

    (~ ~a)2 = ~a ~a(~ ~a)(~ ~b) = ~a ~b+ i~ (~a~b)

    operatori di innalzamento e abbassamento

    + = x + iy = 2|+| =(

    0 20 0

    ) +

    (10

    )= 0

    +

    (01

    )= 2

    (10

    )

    = x iy = 2|+| =(

    0 02 0

    )

    (10

    )= 2

    (01

    )

    (01

    )= 0

    operatori di proiezione

    IP+~n = |+~n+~n| = 12

    1 + nz nx inynx + iny 1 nz

    IP~n = |~n~n| = 12

    1 nz (nx iny)(nx + iny) 1 + nz

    IP+ =1

    2(1 + z) = |++| =

    1 00 0

    IP+

    10

    = 1

    0

    IP+

    01

    = 0

    IP =1

    2(1 z) = || =

    0 00 1

    IP

    10

    = 0IP

    01

    = 0

    1

    1I, ~ sono una base per le matrici 2 2

    A =

    (a11 a12a21 a22

    )= a01I + ~a ~ =

    a0 + az ax iayax + iay a0 az

    H = E01I + ~E ~ = E01I + | ~E|~n ~

    U(t) = eiHt/h = eiE0t/hei~n~ = eiE0t/h(1I cos() i~n ~ sin())

    dove = | ~E|t/h.4

  • 2 Funzioni di operatori

    f(A) =n=0

    f (n)

    n!An

    f(A) =

    A

    f(z)

    2pii(z A)1

    f(A) =A

    f() IP =A

    f() ||

    f(A) = X f(Adiag)X1

    dove A = X AdiagX1, e X ha per colonne gli autovettori di A. A e` lo

    spettro degli autovalori di A.

    eA eB =

    {eA+B solo se [A,B] = 0eA+B+g(A,B) g(A,B) = 1

    2[A,B] + 1

    12[A, [A,B]] + 1

    12[B, [B,A]] + . . .

    eA eB = eA+B+12

    [A,B] per operatori canonici: [A,B] 1I

    3 Principio di indeterminazione

    (A)2(B)2 14C2

    dove:

    [A,B] = iC

    A = A, B = B, C = C

    (A)2 = A2 A2 = |A2| |A|2(B)2 = B2 B2 = |B2| |B|2

    5

  • 4 Equazione di Shroedinger

    4.1 Equazione donda

    H (~x, t) = ih

    t(~x, t)

    H =~p2

    2m+ V (~x)

    ~p = ih~[ h

    2

    2m2 + V (~x)

    ](~x, t) = ih

    t(~x, t)

    2 = 2

    x2+

    2

    y2+

    2

    z2

    4.2 Equazione donda stazionaria

    per gli stati stazionari

    (~x, t) = U(t)(~x) = eiEt/h(~x)

    H (~x) = E (~x)

    [ h

    2

    2m2 + V (~x)

    ](~x) = E (~x)

    4.3 Particella libera D-dim

    Autofunzioni ed autovalori

    ~p(~x, t) = ~x|~p = 1hD/2

    ~x|~k = 1(2pih)D/2

    ei(~k~xt)

    ~k =~p

    h, =

    E

    h=

    ~p2

    2mh

    6

  • 4.4 Particella su un segmento (Buca infinita)

    Autofunzioni ed autovalori

    x [0, L] n(x) =

    2L

    sin(npixL

    ) n = 1, 2, 3 . . .

    En =1

    2m(npihL

    )2

    x [L/2, L/2]n(x) =

    2L

    cos(npixL

    ) n = 1, 3, 5, . . .

    n(x) =

    2L

    sin(npixL

    ) n = 2, 4, 6, . . .

    En =1

    2m(npihL

    )2

    4.5 Raccordo della funzione donda in un punto x0

    I(x) = (x x0) II(x) = (x x0)

    energia potenziale non divergente:{II(x0) = I(x0) continuita` della funz. dondadIIdx

    (x0) =dIdx

    (x0) continuita` della derivata

    energia potenziale V (x) = aV0(x x0):{II(x0) = I(x0) continuita` della funz. dondadIIdx

    (x0) =dIdx

    (x0) 2maV0h2 (x0) discontinuita` della derivata

    4.6 Delta di Dirac

    (x) = 0 x 6= 0f(0) =

    +

    f(x)(x)dx

    1 = +

    (x)dx

    e` una funzione(distribuzione) pari

    (x) = (x)

    se largomento e` una funzione g(x)

    (g(x)) =

    {xi}:g(xi)=0,g(xi)6=0

    (x xi)|g(xi)|

    rappresentazione integrale:

    (x x0) = 12pi

    +

    eik(xx0)dk

    7

  • 5 Teorema del viriale

    H| = E|

    2|T | = |~r ~V |

    dove T = energia cinetica, V= energia potenziale.

    Se V e` a simmetria sferica e proporzionale a rn:

    2|T | = n|V |E = |T |+ |V |{ |T | = n

    n+2E

    |V | = 2n+2

    E

    8

  • 6 Coefficienti di riflessione e trasmissione

    La densita` di corrente

    ~J = ih2m

    (~ ~)

    soddisfa lequazione di continuita`

    ||2t

    + ~J = 0

    ~J = 0 per stati stazionari

    J = costante per stati stazionari, 1-dim

    1-dim: onda piana incidente da su una barriera/buca

    I = AeikIx +BeikIx stato stazionario asintotico prima della barriera/buca

    II = CeikIIx dopo la

    densita` di corrente associate:

    JI = JIncidente + JRiflessa =hkI2m

    (|A|2 |B|2)

    JII = JTrasmessa =hkII2m

    (|C|2).

    coefficienti di riflessione e trasmissione

    R =|JRiflessa||JIncidente|

    =|B|2|A|2

    T =|JTrasmessa||JIncidente|

    =|C|2kII|A|2kI

    R + T = 1

    6.1 Matrice di trasmissione e matrice di scattering

    I = Aeikx +Beikx stato stazionario asintotico prima della barriera/buca

    II = Ceikx +Deikx dopo la

    matrice di trasmissione M :(CD

    )= M

    (AB

    )=

    (M11 M12M12 M

    11

    ) (AB

    )V (x) = V (x)

    detM = 1 J = costante

    M12 = V (x) = V (x)9

  • matrice di scattering S:

    (CB

    )= S

    (AD

    )=

    1

    M11

    (1 M12M12 1

    ) (AB

    )SS+ = S+S = 1

    R = |M12M11|2

    T = | 1M11|2

    10

  • 7 Oscillatore armonico 1-dim

    7.1 Rappresentazione nello spazio delle coordinate

    H = h2

    2m

    d2

    dx2+

    1

    2m2x2

    Autovalori ed autofunzioni

    En = h (n+12)

    n = Cn Hn() e2/2

    }n = 0, 1, 2 . . .

    dove

    =

    mhx

    Cn =1

    2n/2n!

    (mhpi

    )1/4

    Hn() = (1)ne2 dndn e2

    H0 = 1H1 = 2H2 = 2 + 42H3 = 12 + 83...

    Gli autovalori:

    hanno uno spettro discreto

    sono equidistanti

    lenergia dello stato fondamentale e` diversa da zero E0 = 1/2h

    Le autofunzioni:

    sono reali a meno di un fattore di fase costante

    hanno parita` definita : sono (dis)pari per n (dis)pari

    n(x) = (1)nn(x)

    hanno n radici reali

    11

  • 7.2 Operatori di creazione e distruzione (innalzamentoe abbassamento)

    H

    h= aa+ 1/2

    a =

    m2hx+ i

    2mhp

    a =

    m2hx i

    2mhp

    [a, a] = 1

    x =

    h2m

    (a + a)

    p =

    mh2

    i(a a){a |n = n |n 1a |n = n+ 1 |n+ 1

    |n = (a)nn!|0 n|m = n,m

    12

  • 8 Il momento angolare

    8.1 Algebra del momento angolare

    [Ji, Jj] = ihijkJk

    J2 = J2x + J2y + J

    2z

    [J2, Jk] = 0 k = 1, 2, 3

    j = 0, 1, . . .j m j

    {J2|j,m = h2j(j + 1)|j,mJz|j,m = hm|j,m

    operatori a scala, di innalzamento e abbassamento

    J = Jx iJy

    J = J+

    [Jz, J] = hJ

    [J2, J] = 0

    [J+, J] = 2hJz

    {J+, J} = 2(J2 J2z )

    J+J = J2 J2z + hJzJJ+ = J2 J2z hJz

    J+|j,m = h

    (j m)(j +m+ 1)|j,m+ 1J|j,m = h

    (j +m)(j m+ 1)|j,m 1

    13

  • 8.2 Rappresentazioni matriciali del momento angolare

    j = 1/2

    J2 = 34h2(

    1 00 1

    )

    Jx =12h

    (0 11 0

    )= 1

    2h x |+12x = 12

    (11

    )|1

    2x = 1

    2

    (11

    )

    Jy =12h

    (0 ii 0

    )= 1

    2h y |+12y = 12

    (1i

    )|1

    2y = 1

    2

    (1i

    )

    Jz =12h

    (1 00 1

    )= 1

    2h z |+12 z =

    (10

    )|1

    2 z(

    01

    )

    J+ = h

    (0 10 0

    )= 1

    2h + =

    12h (x + iy)

    J = h

    (0 01 0

    )= 1

    2h = 12 h (x iy)

    j = 1

    J2 = 2h2

    1 0 00 1 00 0 1

    Jx =

    12h

    0 1 01 0 10 1 0

    |1x = 12 12

    1

    |0x = 12 101

    |1x = 12 12

    1

    Jy =

    12h

    0 i 0i 0 i0 i 0

    |1y = 12 121

    |0y = 12 10

    1

    |1y = 12 121

    Jz = h

    1 0 00 0 00 0 1

    |1z = 10

    0

    |0z = 01

    0

    |1z = 00

    1

    J+ =

    2h

    0 1 00 0 10 0 0

    J =

    2h

    0 0 01 0 00 1 0

    14

  • 8.3 Armoniche sferiche

    rappresentazione del momento angolare in termini di operatori differenzialix = r sin cosy = r sin sinz = r cos

    Lx = ih (y z z y ) = +ih (sin + cot cos )Ly = ih (z x x z ) = ih (cos cot sin )Lz = ih (x y y x) = ih L2 = L2x + L

    2y + L

    2z = h2

    [1

    sin

    (sin

    ) + 1sin2

    2

    2

    ]autofunzioni di L2 e Lz

    l = 0, 1, . . .l m l

    {L2Y ml (, ) = h

    2l(l + 1) Y ml (, )LzY

    ml (, ) = hm Y

    ml (, )

    Y ml (, ) = , |l,m

    rappresentazione esplicita delle armoniche sferiche

    m 0 Y ml (, ) = (1)m(

    (2l+1)4pi

    (lm)!(l+m)!

    )1/2Pml (cos ) e

    im

    m < 0 Y ml (, ) = Y|m|l (, ) = (1)|m| Y |m|l

    (, )

    dove Pml (u) sono le funzioni associate di Legendre, legate ai polinomi diLegendre Pl(u) tramite:

    Pml (u) = (1 u2)m/2 dm

    dumPl(u) 0 m l

    Pl(u) =1

    2ll!dl

    dul[(u2 1)l] formula di Rodriguez

    integrale di normalizzazione 2pi0

    d pi

    0sin d Y ml

    (, )Y m

    l (, ) = llmm

    alcune espressioni esplicite (a meno di una fase arbitraria)

    l = 0 Y 00 =

    14pi

    l = 1 Y 01 =

    34pi

    cos =

    34pi

    zr

    Y 11 =

    38pi

    sin ei =

    38pi

    (xiy)r

    l = 2 Y 02 =

    516pi

    (3 cos2 1) =

    516pi

    (3z2r2)r2

    Y 12 =

    158pi

    cos sin ei =

    158pi

    zr

    (xiy)r

    Y 22 =

    1532pi

    sin2 e2i =

    1532pi

    ((xiy)r

    )2...

    15

  • Teorema di addizione

    lm=l

    Y ml (v1) Yml(v2) =

    (2l + 1)

    4piPl(v1 v2)

    16

  • 8.4 Composizione di momenti angolari

    ~J = ~J1 1I + 1I ~J2

    j = |j1 j2| . . . j1 + j2

    |j1 j2; jm =m1

    m2

    |j1 j2;m1m2 j1 j2;m1m2|j1 j2; jm

    j1 j2;m1m2|j1 j2; jm = coefficienti di ClebschGordan

    j1 j2;m1m2|j1 j2; jm = (1)jj1j2j2 j1;m2m1|j2 j1; jm

    formula di ricorrenza(j m)(j m+ 1) j1 j2;m1m2|j1 j2; j,m 1 =

    =

    (j1 m1 + 1)(j1 m1) j1 j2;m1 1,m2|j1 j2; jm ++

    (j2 m2 + 1)(j2 m2) j1 j2;m1,m2 1|j1 j2; jm

    fissati j1 j2:

    |jm = m1

    m2

    |m1m2 m1m2|jm

    |m1m2 =j

    m

    |jm jm|m1m2

    m1m2|jm = jm|m1m2 = jm|m1m2 Re

    j1 j2 = 1/2 1/2

    |1 1 = | 12

    12

    |1 1 = | 121

    2

    |1 0 =

    12| 1

    21

    2 +

    12| 1

    212

    |0 0 =

    12| 1

    21

    2

    12| 1

    212

    17

  • j1 j2 = 1 1/2

    |32

    32 = | 1 1

    2

    |32

    12 =

    13| 1 1

    2 +

    23| 0 1

    2

    |321

    2 =

    23| 0 1

    2 +

    13| 1 1

    2

    |323

    2 = | 1 1

    2

    |12

    12 =

    23| 1 1

    2

    13| 0 1

    2

    |121

    2 =

    13| 0 1

    2

    23| 1 1

    2

    j1 j2 = 1 1

    |2 2 = | 1 1|2 1 =

    12| 1 0 +

    12| 0 1

    |2 0 =

    16| 1 1 +

    23| 0 0 +

    16|1 1

    |2 1 =

    12| 1 0 +

    12| 0 1

    |2 2 = | 1 1

    |1 1 =

    12| 1 0

    12| 0 1

    |1 0 =

    12| 1 1

    12| 1 1

    |1 1 =

    12| 0 1

    12| 1 0

    |0 0 =

    13| 1 1

    13| 0 0 +

    13|1 1

    18

  • 9 Atomo di idrogeno

    Autovalori ed autofunzioni

    { h2

    2m2 Ze

    2

    r}nlm(r, , ) = Ennlm(r, , )

    2 = 1r

    d2

    dr2r L

    2

    h2r2

    n = 1, . . .l = 0, . . . n 1

    {En = Z2e22n2a0 = 13.6 eV Z2/n2nlm(r, , ) = Rnl(r)Y

    ml (, )

    a0 = raggio di Bohr =h2

    me2

    Autofunzione radiale

    { h2

    2m

    1

    r

    d2

    dr2r +

    h2

    2m

    l(l + 1)

    r2 Ze

    2

    r}Rnl(r) = EnRnl(r)

    Rnl(r) = Nnl l e/2 L2l+1n+l ()

    dove =2Zr

    na0

    Nnl =2Z3/2

    a3/20 n

    2

    (n l 1)![(n+ l)!]3

    Lkp(u) =pks=0

    (1)s+k(

    pk + s

    )p!

    s!us

    R10 =(Z

    a0

    )3/22 eZr/a0

    R20 =(Z

    2a0

    )3/2(2 Zr/a0) eZr/2a0

    R21 =(Z

    2a0

    )3/2 Zr3a0

    eZr/2a0

    ...

    19

  • 10 Teoria delle Perturbazioni

    10.1 Teoria delle Perturbazioni indipendenti dal tempo

    H = H(0) + V

    H(0)|n(0) = E(0)n |n(0)H|n = En|n{ |n = |n(0)+ |n(1)+ 2|n(2)+ . . .En = E

    (0)n +

    (1)n +

    2(2)n + . . .

    10.1.1 Caso non degenere

    al primo ordine in :

    (1)n = n(0)|V |n(0)|n(1) = k 6=n k(0)|V |n(0)E(0)n E(0)k |k(0)

    al secondo ordine in :

    (2)n = n(0)|V |n(1) =k 6=n

    |k(0)|V |n(0)|2E

    (0)n E(0)k

    |n(2) = k 6=nm6=n [ k(0)|V |m(0)m(0)|V |n(0)(E(0)n E(0)k )(E(0)n E(0)m ) k(0)|V |n(0)n(0)|V |n(0)(E(0)n E(0)k )2]|k(0)

    10.1.2 Caso degenere

    degenerazione di ordine g

    Si diagonalizza la matrice g g della perturbazione V (nel sottospazioD degenere)

    Vmm = m(0)|V |m(0)mD

    Vmmm(0)|l(0) = (1)l m(0)|l(0)

    gli autovalori sono le correzioni dellenergia al primordine;gli autovettori sono la base imperturbata nello spazio degenere:

    |l(0) = mDm(0)|l(0) |m(0)

    le correzioni al primordine in :

    |l(1) = k/D

    k(0)|V |l(0)E

    (0)D E(0)k

    |k(0)20

  • Se al primordine (ad un certo ordine) la degenerazione non e` rimossatotalmente (due o piu` autovalori di Vmm sono uguali) si costruisce la matricedella perturbazione al secondordine (allordine superiore):

    m(0)|V |m(1) = k/D

    m(0)|V |k(0)k(0)|V |m(0)E

    (0)D E(0)k

    e i suoi autovettori costituiscono la base imperturbata per il sottospazio an-cora degenere.

    21

  • 10.2 Teoria delle Perturbazioni dipendenti dal tempo

    H = H(0) + V (t)

    H(0)|n(0) = E(0)n |n(0)

    ih ddt|(t) = [H(0) + V (t)]|(t)

    cn(t) = n(0)|(t)

    ih ddtcn(t) = E

    (0)n +

    k Vn,k(t) ck(t)

    cn(t) = an(t) eiE(0)n t/h

    ih ddtan(t) =

    k e

    in,ktVn,k(t) ak(t)

    Vn,k(t) = n(0)|V (t)|k(0)

    n,k(t) = (E(0)n E(0)k )/h

    an(t) = a(0)n (t) + a

    (1)n (t) +

    2a(2)n (t) + . . .

    an(t = 0) = a(0)n = n,i

    a(1)n (t) =1

    ih

    t0ein,iVn,i()d

    Probabilita` di transizione dallo stato iniziale i allo stato finale f 6= i:

    Pif (t) = |cf (t)|2 ' |a(1)f (t)|2 =2

    h2| t

    0eif,iVf,i()d |2

    Probabilita` di transizione per una perturbazione costante:

    Pif (t) =2

    h2|Vf,i|2 4

    2f,isin2(

    f,it

    2)

    Probabilita` di permanenza nello stato iniziale i:

    Pii(t) = 1f

    Pif (t)

    22

  • 11 WKB: approssimazione semiclassica

    formule di raccordo

    1(E,x)

    e| x(E)x

    (E,x)h

    dx| +2p(E,x)

    cos (| x(E)x p(E,x)h dx | pi/4)1

    (E,x)e+|

    x(E)x

    (E,x)h

    dx| 1p(E,x)

    sin (| x(E)x p(E,x)h dx | pi/4)dove

    p(E, x) =

    2m(E V (x))(E, x) =

    2m(V (x) E)

    Condizione di BohrSommerfeld

    x2(E)x1(E)

    p(E, x)dx = pih(n+ 1/2)

    Densita dei livelli energetici

    dn

    dE=

    m

    pih

    x2(E)x1(E)

    dx

    p(E, x)

    Coefficiente di trasmissione

    T ' e2 x2(E)x1(E)

    (E,x)h

    dx

    23

  • 12 Formule

    12.1 integrali

    +

    ex2

    dx =

    pi

    +

    x2mex2

    dx = (1)m dm

    dm

    +

    ex2

    dx =

    pi

    1

    m(2m 1)!!

    2mm > 0

    +0

    exdx =1

    +0

    xmexdx = (1)m dm

    dm

    +0

    exdx =m!

    m+1m 0

    12.2 moto del centro di massa e moto relativo

    Lhamiltoniano che descrive un sistema a due particelle di massa m1,m2 e dicoordinate ~r1, ~r2 e momenti coniugati ~p1, ~p2:

    H = h2

    2m121

    h2

    2m222 + V (|~r1 ~r2|)

    diventa

    H = h2

    2m2G

    h2

    22 + V (|~r|)

    effettuando il cambiamento di variabili

    ~rG =m1 ~r1+m2 ~r2m1+m2

    la coordinata del centro di massa

    ~r = ~r1 ~r2 la coordinata del moto relativo~pG = ~p1 + ~p2 il momento del centro di massa

    ~p = m2 ~p1m1 ~p2m1+m2

    il momento del moto relativo

    m = m1 +m2 la massa totale = m1m2

    m1+m2la massa ridotta

    24