Meccanica quantistica

Corso di Complementi di Fisica Moderna

prof. M. Casalboni prof. A. Sgarlatadott. G. Casini dott. F. De Matteis

TFA A049TFA A049

Gli esperimenti condotti da Lenard sull’effetto fotoelettrico e da Compton sullo scattering, avevano portato alla luce l’evidenza di una doppia natura onda-particella della luce

Louis de Broglie nella sua tesi di dottorato avanzò l’ipotesi che la stessa dualità onda-particella potesse applicarsi ugualmente bene anche a particelle materiali. Così come un fotone ha un’onda associata che governa la sua propagazione, così una particella materiale ( ad esempio un elettrone) ha un’onda associata che governa il suo moto.

Lunghezza d’onda di de Broglie

E = h

p = h/ = h/p

m =1 kg

v=10 m/s mx. m/s kg

joule-x.

p

hλ

-35

34

1066101

sec1066

Am.

eVjoule eVkg

joule-.

mK

h

p

hλ

-

2.11021

/106.1100101.92

sec1066

210

1931

34

m =9.1x10-31 kg

K=100 eV

EnergiaImpulso

Per osservare fenomeni della natura ondulatoria (diffrazione) di particelle

materiali occorre un sistema di “fenditure” di dimensioni paragonabili alla lunghezza

d’ondaReticolo cristallino

Diffrazione di elettroni dal filamento F, accelerati dal potenziale V vengono diffratti dal reticolo di nickel C

Davisson&Gelmer USA

Thomson GB

Diffrazione alla Bragg

d=0.91 Å

sin2dn

22

65.1 Å

65.12

mE

h Å

Natura corpuscolare e natura ondulatoria

Quando si tratta di studiare le proprietà di emissione o assorbimento vengono evidenziati gli aspetti corpuscolari mentre quelli ondulatori si evidenziano nel comportamento di propagazione Tali aspetti sono più difficili da osservare quanto più la lunghezza d’onda diviene piccola

= h/pPer questo si dice che le proprietà quantistiche scompaiono nel limite di h→0. Limite classico

Ciò non toglie che si è ottenuta la diffrazione anche di oggetti pesanti quanto un fascio atomico (He ad esempio)

Raggi X interagiscono (debolmente) con gli elettroni degli atomi e vengono diffratti con più difficoltà (specie dagli elementi a basso numero atomico). Gli elettroni interagiscono anche con i nuclei ma anche essi elettromagneticamente e quindi relativamente debolmente.

I neutroni per interazione forte con i nuclei e quindi si prestano bene anche con elementi leggeri (materia biologica ricca di H)

Dualismo onda corpuscoloBisogna considerare un modello corpuscolare in alcune situazioni, come nell’effetto Compton e un modello ondulatorio in altre, come per la diffrazione dei raggi X. E lo stesso vale per la materia. Il rapporto carica-massa ed i processi di ionizzazione indicano la natura corpuscolare, la diffrazione elettronica quello ondulatorio. I due modelli coesistono ma occorre applicare l’uno o l’altro nelle varie circostanze

Principio di complementarietà di Bohr

Il modello corpuscolare e ondulatorio sono complementari: se una misura mostra la natura d’onda della radiazione o della materia, allora è impossibile contemporaneamente mostrare il carattere corpuscolare, e viceversa.

I due modelli si inquadrano e combinano in un quadro interpretativo probabilistico

Dualismo onda corpuscolo

I~E2 valore medio su di un periodo del campo

I=Nh numero medio di fotoni che attraversano un’area unitaria perpendicolare alla direzione di propagazione per unità di tempo

E2 ~N numero medio di fotoni per unità di volume

Il numero medio di fotoni che attraversano un’area unitaria diminuisce all’aumentare della distanza dalla sorgente

Dualismo onda corpuscolo

2= probabilità di trovare una particella materiale nell’unità di volume in un dato luogo ad un dato istante

)(2sin),( tx

Atx

E

)(2sin),( tx

Atx

Principio di indeterminazione

L’indeterminazione della misura della posizione è inversamente proporzionale a quella sul suo impulso

Non è un problema di accuratezza delle misure ma intrinseco. Se cerchiamo di misurare un valore con crescente precisione l’altro perde di determinatezza.

2

xp

Ci sono coppie di grandezze fisiche che sono legate da una relazione di indeterminazione di Heisenberg.

E↔t px↔x L↔

xxxxx pvp

m

pE

m

pE

2

2

tvx x tvv

Exp x

x

2

Principio di indeterminazione

E’ ancora la costante h a separare il campo di applicazione delle teorie classiche da quelle quantistiche. Se portiamo h→0 cade il principio di indeterminazione

Se non possiamo determinare simultaneamente posizione e impulso non possiamo prevedere l’evoluzione del sistema con esattezza. Possiamo solo dare la probabilità di un risultato di una misura

2

xp

gm

gm28101.9

50

%01,0/300 smv

smkgp

smkgp

/107.2107.2

/105.1153228

3

mp

x

mp

x

332

34

323

34

102107.24

106.6

2

103105.14

106.6

2

5 postulati della Meccanica Quantistica.Non possono essere provati o dedotti. Sono ipotesi valide nella misura in cui non violano le leggi della natura (esperimenti) ASSIOMI

Postulato 1

La funzione d’onda Ψ(x, y, z, t) descrive l’evoluzione temporale e spaziale di una particella quanto-meccanica.

Postulato 2

Il prodotto Ψ*(x, t) Ψ(x, t) è la funzione densità di probabilità di una particella quanto-meccanica.

Ψ*(x, t) Ψ(x, t) dx è la probabilità di trovare la particella nell’intervallo tra x e x + dx.

Postulato 3

La funzione Ψ(x, t) e la sua derivata (∂ / ∂x) Ψ(x, t) sono continue in un mezzo isotropo. Inoltre deve essere finita e a singolo valore su tutto lo spazio.

Postulato 4

Gli operatori sostituiscono le variabili dinamiche ed agiscono sulla funzione d’onda Ψ(x, t) (posizione, momento, o energia).

Postulato 5

Il valore di aspettazione, ξ , di una qualunque variabile dinamica ξ, è calcolato a partire dalla ⟨ ⟩funzione d’onda

5 postulati della Meccanica Quantistica.Non possono essere provati o dedotti. Sono ipotesi valide nella misura in cui non violano le leggi della natura (esperimenti) ASSIOMI

Postulato 1

Postulato 2

Postulato 3

Postulato 4

Postulato 5

Variabili dinamiche in meccanica classica

Operatori quanto-meccanici

4 requisiti per una derivazione non-formale dell’equazione d’onda.

Considerazioni di plausibilità

Requisito 1

Consistente con la relazione di de Broglie.

Requisito 2

Consistente con l’espressione dell’energia (non-relativistica)

Requisito 3

Lineare in Ψ(x, t). In questo modo possiamo spiegare i fenomeni di interferenza.

Requisito 4

Nel caso particolare di potenziale V= cost (particella libera) la soluzione deve essere un’onda sinusoidale viaggiante con frequenza e lunghezza d’onda costante (e quindi anche impulso ed energia costanti)

= h/p

)(2

2

xVm

pE

)(2sin),( tx

Atx

4 requisiti per una derivazione non-formale dell’equazione d’onda.

Considerazioni di plausibilità

Requisito 1

Consistente con la relazione di de Broglie.

Requisito 2

Consistente con l’espressione dell’energia (non-relativistica)

Requisito 3

Lineare in Ψ(x, t). Termini alla prima potenza della funzione e delle sue derivate

Requisito 4

)sin(),( tkxAtx

p= h/=ħk

Sostituendo la Ψ(x, t) si ottiene;

Equazione di Schroedinger

La Ψ(x, t) può essere espressa come prodotto di una funzione T(t) dipendente dal

tempo per una u(x) dipendente dalla posizione )()(),( tTxutx

),(1

),(1

txtitxHop

EtTti

TxHu

u

)(1

)(1

tiE

exutx

)(),( Soluzione stazionariaSoluzione stazionaria

Equazione di Schroedinger

Equazione di Schroedinger indipendente dal tempo

tiE

n

n

extx

)(),( Soluzioni stazionarieSoluzioni stazionarie

Ci saranno diverse soluzioni Ci saranno diverse soluzioni n per diversi valori di E per diversi valori di En

n autofunzione

En autovalore

Interpretazione di Born

della funzione d’onda

“Il moto di una particella segue le leggi della probabilità, ma la probabilità stessa si propaga in accordo con la legge di causalità.“ (Max Born)

In conseguenza del fatto che soddisfa un’equazione alle derivate prime nella variabile tempo, si ha che la dipendenza spaziale di ad un certo istante iniziale è sufficiente a determinare completamente la sua dipendenza ad ogni tempo successivo

D’altro canto non è possibile determinare con precisione la dipendenza spaziale della funzione d’onda all’istante iniziale da una serie di misure della densità di probabilità perché quello che si ha è solo la somma dei quadrati della parte reale e quella immaginaria

Letture consigliate sui principi della Meccanica Quantistica

• Robert Eisberg Robert Resnick QUANTUM PHYSICS of Atoms, Molecules, Solids,

Nuclei, and Particles Second Edition John Wiley & Sons

• Richard P. Feynman QED. La strana teoria della luce e della materia Adelphi (1989)

• Anton Zeilinger, Il velo di Einstein. Il nuovo mondo della fisica quantistica G. Einaudi

ed. (2005)

• Richard P. Feynman La fisica di Feynman Vol3 Zanichelli (2001)

• Robert Oerter La teoria del quasi tutto. Il modello standard , il trionfo non celebrato

della fisica moderna Codice edizioni, Torino (2006)