3. Verso La Meccanica Quantistica

7/26/2019 3. Verso La Meccanica Quantistica

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Capitolo 3. Verso la meccanica quantistica

1. Introduzione

Un interessante problema, poi rivelatosi addirittura cruciale nello sviluppo dellafisica, quello del corpo nero. Si tratta, secondo una definizione generica, di stu-diare le caratteristiche dellemissione dei corpi in funzione della loro temperatura.

Il problema nasce in un contesto storico in Germania, in cui il problemadellilluminazione era diventato importante nello sviluppo industriale del paese.I nomi principali sono: Max Planck. A. Einstein, W. Wien, Rayleigh, Jeans,Paschen, Lummer, Pringsheim.Planck, il cui conservatorismo scientifico sottolineato costantemente dai suoibiografi, si trov a fare il rivoluzionario. Tuttavia propose sempre le soluzioni chemeno entravano in collisione con la fisica precedente. Einstein fu il fisico che pispinse invece per una interpretazione rivoluzionaria di ci che fu scoperto daPlanck e da altri e port la fisica verso la meccanica quantistica, della quale poinon fu mai convinto.Diamo ora una definizione precisa del problema del corpo nero.

2. Definizione del problema

Si definisce emissivit di un corpo la quantit denergia emessa dal corpo per

unit di tempo ed unit di superficie: emessadE

dSdt =

.

Chiamiamo emissivit specifica invece la quantit:d

d

=

o la quantit

d

d= . Le due quantit sono legate dalla relazione

2

d d d c d

d d d d

= = e

dunque la teoria pu essere formulata in termini delluna o dellaltra quantit, se-

condo convenienza. Ovviamente :0 0

d d

= =

.

Il potere dassorbimento a di un corpo, la frazione dellenergia incidente su di

esso che il corpo assorbe: assinc

Ea

E= ; il potere specifico dassorbimento


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Cap. 3 Verso la meccanica quantistica2

( )

( )

ass

inc

dEa

dE

=

(( )

( )

ass

inc

dEa

dE

=

) ovvero la frazione dellenergia incidente su di esso

con lunghezza donda (con frequenza ) che il corpo capace di assorbire.Nel seguito ammetteremo sempre che ,, , , ,a a a

siano costanti sulle super-

fici del corpo nero.

Orbene, fu dimostrato da Kirchhoff che il rapporto

a una funzione universale

),( TKK = indipendente dalla natura del corpo.La legge di Kirchhoff si pu dimostrare col seguente ragionamento. Prendiamo

una cavit con le pareti a temperatura T. La cavit abbia pareti perfettamente ri-flettenti. Mettiamo nella cavit un corpo di forma e composizione qualsiasi. Ilcorpo assorbir la radiazione eventualmente gi presente nella cavit e riemetterdella radiazione su lunghezze donda in generale diverse da quelle di assorbimen-to. Sia K lintensit della radiazione (uguale ovunque, allinterno della cavitperch supponiamo di essere in condizioni disotropia), cio la quantit di energia

che incide sullunit di superficie nellunit di tempo e siadK

Kd

=

lintensit

della radiazione in un intervallo infinitesimo di lunghezze donda. Il meccanismodi assorbimento e di riemissione del corpo generer col tempo una distribuzionespettrale di energia K

stabile. In questa situazione dequilibrio, il corpo emetteruna quantit denergia, per unit di tempo, dintervallo di lunghezze donda e disuperficie, pari a

e dovr per forza assorbirne una quantit uguale. Dunque:

a K

=

. Peraltro K una funzione universale non dipendente dalla forma e

costruzione della cavit, ma solo dalla sua temperatura. Infatti se K non fosse

universale, potremmo mettere in contatto due cavit (1 e 2) diverse con la diffe-renza 1 2K K finita in qualche intervallo di lunghezze donda alla stessatemperatura, usando un filtro che lasci passare solo radiazione a lunghezza donda . Abbassando di una quantit infinitesima la temperatura della cavit 1, potremoancora fare in modo che 1 2K K , malgrado sia ora 1 2T T . In questo caso,energia si trasferir spontaneamente da un corpo a temperatura inferiore ad uncorpo a temperatura maggiore, violando il secondo principio della termodinamica.

Spesso si afferma che un corpo emette onde elettromagnetiche alle stesse fre-quenze alle quali le assorbe, poich se 0a K

=

allora anche 0

=

.Se il corpo capace di assorbire tutta lenergia che lo investe a qualunque fre-quenza ( 1=a ), allora esso ha unemissivit specifica che la funzione universa-

le ),( TK . Un corpo nero, cio, ad esempio, una superficie coperta di nerofu-mo, ha approssimativamente la propriet di assorbire qualunque radiazione, quasi


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Cap. 3 Verso la meccanica quantistica 3

completamente: definiamo quindi corpo nero, quello per cui rigorosamentevero che 1=a . Dunque, calcolare lemissivit

del corpo nero equivale a tro-vare la funzione universale ( , )K T

.Invece di una cavit a pareti perfettamente riflettenti con un pezzo di carbone den-tro, dora in poi considereremo una cavit a pareti nere (nel senso definito di

1).a

=

nel cui interno si former una radiazione con densit spettrale ( , )K T

,per lazione delle pareti, piuttosto che per lazione di un corpo inseritovi dentro.La radiazione in effetti assorbita e riemessa dalle stesse pareti della cavit. Poi-ch la ),( TK rappresenta la quantit di energia che raggiunge una superficiedS nel tempuscolo dt interna alla cavit, possiamo calcolare la quantitdenergia che cade in particolare sulla superficie interna della parete della cavit.Possiamo, in effetti, immaginare di aprire un foro nella parete di superficie dS emisurare la ( , )K T

dallesterno. Possiamo anche equiparare la superficie delforo alla superficie di un corpo nero in quanto la radiazione che penetrasse nellacavit dallesterno sarebbe completamente assorbita. In tal caso la emissivit dellasuperficie del foro proprio la funzione universale ( , )K T

. Dal punto di vistasperimentale, lesistenza di un foro che metta in comunicazione linterno elesterno della cavit, consente la misura dellemissivit del foro. La misuraviene fatta con un bolometro, apparecchio inventato da S. P. Langley nel 1881 incui una sottile lamina di platino, coperta di nerofumo, assorbe la radiazione inci-dente su di essa e di cui si pu misurare la variazione di temperatura attraverso

una variazione di resistenza elettrica. Naturalmente ammetteremo sempre che ilforo sia sufficientemente piccolo da non disturbare lequilibrio della radiazioneallinterno della cavit. Un esempio al quale si pu pensare quello di un fornodel quale si vuole misurare la temperatura T, proprio osservando le caratteristichedella radiazione emessa (cio con un pirometro) attraverso la sua bocca.Il problema del corpo nero dunque quello del calcolo di ( , )K T

, ma possiamoridurre tale calcolo a quello di unaltra quantit: la densit di energia specificapresente nella cavit in un intervallo infinitesimo di lunghezze donda o di fre-

quenzedE

udVd

=

odE

udVd

=

. In queste formule E lenergia totale nella

cavit e V il suo volume interno. Naturalmente porremo:

0 0

Eu u d u d

V

= = =

.


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Possiamo infatti dimostrare che duc

ddK4

== . In conclusione, ci

che dovremo calcolare la densit specifica di energia nella cavit.

Dimostriamo che: duc

d4

= . Si

tratta, in effetti, di vedere quale la ra-diazione emessa attraverso il foro di su-perficie dS nella parete sommando i con-tributi provenienti, con eguale probabili-

t, da ogni direzione4

=

ddP . Lenergia

uscente dal foro quella contenuta condensit u in un cilindro di base dS e dialtezza c o, nel caso dincidenza nonnormale, di altezza cosc :

Integrando su tutte le direzioni, si ha: ===2

04

)cos(cos2

cu

dcu

dSdt

dE.

Derivando la relazione uc

K4

== rispetto a ,si ottiene: =K 4c

u = .

Radiazio-ne

dS

Fig. 2: Radiazione uscente dal corpo nero.

dScdd

udScd

udSncd

udt

dE

cos

4

)cos(cos

44

=

=

=

Fig. 1: Corpo nero.

Radiazioneentrante


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3. La legge di Stefan-Boltzmann

Boltzmann dimostr teoricamente che il potere emissivo del corpo nero obbediva

alla legge

==

0

4Td , Stefan conferm sperimentalmente il risultato di

Boltzmann, trovando: 8 25,67 10 / Wm K = (costante di Stefan-Boltzmann).

Dimostriamo adesso la legge di Stefan-Boltzmann. Calcoliamo dapprima la pres-sione esercitata dalla radiazione sulle pareti della cavit, tenendo conto del fatto

che limpulso trasportato da unonda c

Ep= . La densit di impulso data da

/u c . Conseguentemente limpulso che arriva nellunit di tempo su una

superficie infinitesima 4

u dc ndS

c

da una direzione . Il contributo

allimpulso ceduto alla parete per unit di tempo da questa radiazione sar

allora: 22cos cos ( cos )4

dp dF u d dP c n u d

dSdt dS c

= = = = . Integrando su tutto

langolo solido si ha:/2

2

0

cos ( cos )3

uP u d

= = . La pressione pu essere otte-

nuta in modo simile a quella delle molecole in un gas perfetto, immaginando chela radiazione sia un gas di fotoni:

coscos2

4

)cos(2)( vmv

ddvvf

V

N

dS

dFdP

== ,

che va modificata, facendo le sostituzioni: a

h

c

h

c

Emvp === ,

( )Nf v dv N *(tutte le onde hanno velocit c ) e cv . Otteniamo:

2

2

2 ( cos )2 cos cos ( cos )cos

4

( cos )cos

dF N d E NEdP c d

dS V c V

ud

= = = =

=

.

Integrando su per 20

, otteniamo: 3

u

P= .Prendiamo adesso una cavit piena di radiazione in equilibrio termico con le pare-ti a temperatura T1. Come si visto la pressione esercitata dalla radiazione sulle

pareti data da uP3

1= , con u densit di energia del campo em nella cavit. Im-

1Dimostrazione a pag. 61 di The theory of heat radiation M. Planck


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maginiamo di fare unespansione isoterma della cavit proprio come in termodi-namica facciamo espandere un gas contro un pistone che scivola a tenuta in uncilindro. Dal primo principio della Termodinamica, abbiamo:

VduudVudVVduudVuVdudVdUpdVTdSQ +=++=+=+==3

4

3

1)(

3

1

da cui:

uTV

Sdu

T

VudV

TdS

3

4

3

4=

+= e

costante)ln()ln(43

4

3

1

3

4

3

41

4

22

22

+==

=+=

==

=

TuT

dT

u

du

u

TdT

du

TdT

du

T

u

TVT

S

dT

du

TTV

S

dT

du

T

V

T

S

ovvero: 4Tu 2e poich il flusso denergia uscente per unit di tempo e superfi-

cie dal corpo nero proporzionale a u , abbiamo: 4T= . Troviamo pureche lentropia : 3S VT .

4. La legge di Wien

Unaltra legge fondamentale fu scoperta da W. Wien (legge dello spostamento)

che asserisce che la emissivit del corpo nero deve avere la forma:5

1( )f T

= con f funzione del prodotto delle due variabili temperatura asso-

luta e lunghezza donda. La legge di Wien pu anche essere riscritta nella forma:5

55

( ) ( )( )

Tf T T g T

T

= = . Linteresse di tale legge risiede, naturalmente, nel

fatto che, nota la funzione ( )g x con x T , conosciamo lemissivit del cor-po nero a qualunque temperatura.Spesso la legge dello spostamento viene riportata nella forma del prodotto tra lalunghezza donda a cui occorre il massimo della curva demissione per la tempe-ratura a cui si considera tale curva: costmax =T . Questa seconda forma della

legge si ottiene dalla primaponendo a zero la derivata dellemissivit 0dd

=

per trovare il massimo della curva a Tfisso:

2Sulla legge di S.B. sono basati i comuni termometri a infrarossi per la misura della tem-peratura corporea.


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6 5 15 ( ) '( ) 0 5 ( ) '( ) 0d

f T f T T f T f T Td

= + = + = . Detto C il

valore del prodotto T per cui questa equazione verificata, si ha: max T C = .Questa soluzione C valida a qualunque temperatura, naturalmente, e pertanto la

max cambier al cambiare della temperatura. Dunque tale legge fornisce la lun-ghezza donda max al massimo dellemissione in funzione della temperatura delcorpo nero. Inoltre il valore di per max= dipende dalla quinta potenza della

temperatura: 5max )( T .Si noti che dalla legge dello spostamento segue la legge di Stefan-Boltzmann.

Infatti: +

==

0

5

0

)(1

dTfd =4 4

5

0

( )f xT dx T

x

=

, con Tx = .

Dimostriamo adesso la legge di Wien.Consideriamo una cavit formata da un cilindro a pareti perfettamente riflettenti.La cavit chiusa da un pistone anche esso perfettamente riflettente. La cavit inizialmente piena di radiazione di corpo nero la cui distribuzione viene modifica-ta a causa del fatto che il pistone si muove verso lesterno, con velocit v , au-mentando il volume V della cavit. Le modifiche alla distribuzione della radia-zione tra le varie frequenze dovuta a due fattori: leffetto Doppler sulla superfi-

cie S del pistone in moto e il lavoro fatto dalla radiazione sul pistone per muover-lo. Il primo dei due effetti cambia la frequenza da ' a

in accordo con la for-mula: '(1 2 cos ) . Il secondo riduce lenergia che ritorna dopo la rifles-sione diminuita di un fattore: (1 2 cos ) 3. Naturalmente tutta lenergia presente

nellintervallo tra d salta in un nuovo intervallo di frequenze, mentre lenergianellintervallo 'd finisce nellintervallo d , se ' (1 2 cos ) . Calcoliamoadesso lenergia che incide sul pistone riflettente di area S a frequenza :

cos4

ddE u d cdt S

=

questa viene inviata in un altro intervallo di frequenze,

svuotando lintervallo d

, mentre lenergia riflessa dalla frequenza

3Vediamo perch. Lenergia che incide su dS in dt : cos4

ddI uc

=

. La pressione

infinitesima su dS 2 2 2

( cos )cos cos cos4

d IdP uc dI P

c c c

= = =

. Il lavoro

fatto sar:2

cos 2 cosI

dL dSvdt dEc

=

. Pertanto: ' 2 cosdE dE dE =

' (1 2 cos )dE dE .


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' (1 2 cos ) riempir d

. Tale energia quella incidente abbassata delfattore (1 2 cos )

'' ( ') ' cos (1 2 cos )4

( 2 cos ) (1 2 cos ) cos (1 2 cos )4

ddE u d cdt S

du d cdt S

= =

=

I due fattori, (1 2 cos ) e (1 2 cos ) dovuti al cambio di frequenza e alla

riduzione di energia discussi prima, danno un termine correttivo in 2 che si putrascurare. Dunque, abbiamo:

' 2 ( cos ) ( cos )' ( 2 cos ) cos ( 2 cos ) cos4 2

d d cdE u d cdt S u d dVv

= =

Con dV Svdt . Facciamo adesso una espansione in serie di( )

( 2 cos ) ( ) 2 cos ...u

u u

=

e, sostituendo otteniamo:

2'

( cos ) 1' ( ) 2 cos cos cos ( cos )

2

u uddE u dV dE d dV

= =

.

La quantit: 2cos ( cos )u

d dV

il cambiamento denergia nellintervallo

d .

Integrando sullangolo, si ha: 13

u dV

. Possiamo allora scrivere che la varia-

zione denergia totale nel volume V :1

( )3

ud Vu dV

=

. Ovvero:

1

3

u uV u

V

=

. Se troviamo una soluzione di questa equazione differenzia-

le, abbiamo la soluzione del nostro problema. Si pu verificare che la soluzionegenerale della forma: 3 3( )u f V

. Questo quello che possiamo dire, dun-que non otteniamo la soluzione completa del problema, ma solo una forma gene-rale. Possiamo assumere che la espansione fosse adiabatica e porre la variazionedellentropia uguale a zero che sappiamo significare: 3VT = costante (vedi anche

par. 8) e sostituire, ottenendo cos: 3 ( )u fT

ovvero:5

1 ( )u f T

= .

Questultima la forma in cui si trova espressa di solito la legge di Wien. Pos-siamo ricordare che W. Wien aveva proposto una legge del corpo nero nella for-

ma: 3 Tu e

= o (5

Tc

u e

= ) ; in altre parole, aveva ipotizzato che la

funzione ( )f T della sua legge fosse un esponenziale.


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Dal punto di vista sperimentale, si conosceva landamento di . Si veda uno deirisultati ottenuti da Lummer e Pringsheim nel 1897 nella figura che segue.

5. Il calcolo classico dellemissivit del corpo nero

Passiamo adesso al calcolo di ( , )u T

La densit media denergia nella cavit il prodotto del numero di frequenze dn (per unit di volume) contenute in un intervallo di frequenze tra e d+ moltiplicato per lenergia media della radiazione a queste frequenze. Il calcolodelle frequenze possibili in una cavit in effetti il calcolo delle frequenze stazio-

narie nella cavit e pu essere facilmente eseguito.Possiamo riformulare il problema in un modo leggermente diverso. Il sistema del-le onde stazionarie presenti nella cavit possiede un numero di gradi di libertinfinito: esistono cio un infinito numero di frequenze stazionarie possibili. Tutta-via tra due frequenze infinitamente vicine, e d+ , abbiamo un numero finitodi frequenze, cio un numero finito di gradi di libert. Il sistema delle onde vieneconsiderato in equilibrio con le molecole delle pareti, in altre parole alla stessatemperatura. Ne segue che ogni grado di libert (frequenza) avr la stessa energia

media delle molecole delle pareti cio1

2kT .Trattandosi di oscillazioni con met

della propria energia cinetica e met potenziale, useremo in effetti il valore kT ,

come avremmo fatto nel caso di oscillatori armonici. Dovrebbe apparirecos evidente che per calcolare lenergia media stiamo utilizzando il teore-ma di equipartizione di Maxwell. Notare che usando il teorema di equipar-tizione dellenergia, possiamo svolgere lintera teoria senza affrontare idettagli del problema dellinterazione molecola-campo. In altre paroleRayleigh cerca ancora di risolvere il problema usando solo la termodina-mica mettendo da parte il problema dellinterazione della radiazione con lamateria.Calcoliamo dapprima il numero di frequenze tra e d+ delle oscillazionielettromagnetiche possibili in una cavit a cubo di spigolo l. Naturalmente pren-deremo il cubo con tre pareti giacenti sui piani coordinati.

5a. La densit di frequenze possibili

I campi devono soddisfare le equazioni di Maxwell4:

4Rayleigh consider invero, il caso di oscillazioni meccaniche stazionarie non onde em. Ilrisultato lo stesso.


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Risultati di Lummer e Pring-sheim (da M. Born, AtomicPh sics)

Risultati di Lummer ePringsheim (da E. Perucca,

Fisica Generale e Speri-mentale)

Da questi grafici, determinando la posi-zione dei massimi, si pu verificare lalegge di Wien e trovare la costante

maxC T . Moltiplicando i punti di cia-

scun grafico per 5

e mettendo in un gra-

fico i dati in funzione di T , si ottiene lafunzione universale ( )f T .


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=

=

=

=

0

0

01

2

2

2

B

t

BE

E

t

E

cE

con la condizione al contorno che le componenti del campo elettrico tangenti ad

una parete siano nulle sulle pareti:

======

===

lzEElyEE

lxEE

yx

zx

zy

,0per0 ,0per0

,0per0

.

Le soluzioni possono scriversi nella forma: 1.

=

=

=

tizyxzz

tizyxyy

tizyxxx

zekyxsenksenkEE

zeysenkkxsenkEE

zeysenkxsenkkEE

cos

cos

cos

0

0

0

che soddisfano tutte tre lequazione delle onde2

2222

ckkk zyx

=++ e, a causa del-

la condizione sulla divergenza, sono soggette al vincolo:0000 =++ zzyyxx kEkEkE . Inoltre per soddisfare le condizioni al contorno deve

essere:

=

=

=

zz

yy

xx

nlk

nlk

nlk

.

Sono soluzioni della equazione delle onde, quelle funzioni per cui:

2)()()( 222

2

2222 =++=++

l

n

l

n

l

n

ckkk z

yx

zyx , ovvero per cui:

2

2222 4

lnnn zyx =++ . Notiamo che la condizione 0000 =++ zzyyxx kEkEkE , ci

dice che, fissate le tre componenti del vettore donda, esistono due ampiezze indi-pendenti per il campo elettrico, la terza essendo fissata automaticamente da questarelazione. Esistono dunque due gradi di libert per il campo elettrico (due polariz-zazioni). Passiamo al campo magnetico adesso.Calcoliamo il rotore del campo elettrico:


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tizyxxoyyxz

tizyxzoxxzy

tizyxyozzyx

zeysenkkxkEkEkE

zekyxsenkkEkEkE

zekykxsenkEkEkE

coscos)()(

coscos)()(

coscos)()(

0

0

0

=

=

=

Ne segue che il campo magnetico ( i B E=

):

0

0

0

( ) cos cos

( )cos cos

( )cos cos

i t

x y z z yo x y z

i t

y z x x zo x y z

i t

z x y y xo x y z

iB k E k E senk x k y k ze

iB k E k E k xsenk y k ze

iB k E k E k x k ysenk ze

=

=

=

per cui soddisfatta automaticamente anche la condizione 0= B

.Notare che i due campi sono perpendicolari luno allaltro: 0=BE

.

In complesso esistono due ampiezze (due stati di polarizzazione) che possono es-sere scelte arbitrariamente o due gradi di libert aggiuntivi.

Calcoliamo adesso il numero di possibili oscillazioni con lunghezza donda com-presa tra e +d.Sia ),,( 321 kkkk=

il vettore donda. Perch esso corrisponda ad unonda stazio-

naria deve essere: iii nlk = per 3,2,1=i . Sar:

2

3

32

2

22

1

1

2

3

32

2

22

1

1

2

3

32

2

22

1

1

23

22

21

)()()(2

)()()(2

1

2

1

)()()(

l

n

l

n

l

ncc

l

n

l

n

l

nk

l

n

l

n

l

n

kkkk

++==

++==

++=

=++=

In particolare per un cubo per cuillll === 321 , si ha:

2

22

2

22

32

22

1

44

l

c

lnnn ==++ .

n3

n1

n2

Fig. 5: Spazio con assi n1, n2, n3.


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Nello spazio n1, n2, n3(fig. 23), questa relazione lequazione di una sfera di rag-

gioc

lR

2= . Da questa espressione si ricava che nello spazio delle frequenze si

ha un punto rappresentativo per ogni cubetto di lato unitario, ovvero una densitdi punti rappresentativi unitaria. Dunque, per calcolare il numero di punti, ovveroil numero di possibili oscillazioni tra le frequenze 0 e ,occorre calcolare il vo-

lume della sfera di raggioc

lR

2= (e moltiplicare per la densit che uno).

In verit, la frequenza minima non zero, ma piuttostol

c

2

3min=

5, come si

ricava ponendo 1 2 3 1n n n= = nella relazione precedente. In conclusione, il nu-mero di oscillazioni possibili tra 0min e :

3 3 33

3 3

1 4 8 82 ( )

8 3 3 3

l ln R

c

= = =

, dove il fattore 2 dovuto ai due stati di pola-

rizzazione e il fattore 1/8 deriva dal fatto che i tre numeri n1, n2, n3devono esserepositivi e, dunque, si interessati solo ad un ottante della sfera

Dividendo per il volume (l3) e differenziando, si ottiene infine il risultato cercato:2

3

8dn d

c

e4

8dn d

= .

5Evidentemente, si pu dire anche che esiste una 2/max l= . Questo in effetti implicache il numero di stati tra e d+ dovr diminuire allaumentare di . E, in effetti,questo laspetto chiaro della formula di Rayleigh-Jeans. La diminuzione a piccole risul-ta invece incomprensibile, perch non esiste un meccanismo classico che limita lo scam-bio energetico tra oscillatori nelle pareti e radiazione.


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0,00E+000 2,00E+014 4,00E+014 6,00E+014 8,00E+014 1,00E+015

0,0

2,0x105

4,0x105

6,0x105

8,0x105

1,0x106

1,2x106

1,4x106

1,6x106

1,8x106

2,0x106

dn

/d

(Hz)

F1

visibile

5b. Lenergia media

Per il calcolo dellenergia media pertinente a queste frequenze, Reyleigh decise di

usare il teorema di equipartizione dellenergia gi visto nella teoria di Boltzmann ,che per il caso di un oscillatore armonico lineare d kT(met per lenergia cineti-ca e met per quella potenziale). In effetti unonda stazionaria su una stringa ha unenergia media che identica a quella delloscillatore armonico e dunque il teoremadi equipartizione dovrebbe essere applicabile alloscillazione. Dunque, sostituendonella formula precedente, si otterr:

2

3

8u kT

c

= o4

8u kT

= .

Questa la formula di Rayleigh-Jeans (1900-1905)6. Essa rappresenta un risultatocatastrofico, in quanto per 0 , (fig. 21): ci significa che lenergia

totale emessa dal corpo nero infinita!

6Anche H.A. Lorentz ottenne questa nel caso di un metallo contenente un gas di elettroniliberi, modello gi usato per calcolare la conduttivit e poi il coefficiente di assorbimento,Calcolando lenergia media irraggiata dagli elettroni durante le collisioni col reticolo cri-stallino, si ottiene lemissivit. Dividendo infine per il coefficiente di assorbimento si ot-teneva la funzione universale di Kirchhoff. Dai dettagli del calcolo era chiaro che la for-mula valeva solo per grandi lunghezze donda (1902).


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Il comportamento di questa funzione, a grandi , descrive, invece, abbastanzabene i risultati sperimentali: il problema a piccole sorge perch lenergia media indipendente da e dunque non offre un andamento accettabile per 0 (ca-tastrofe ultravioletta). Si noti anche che questa formula soddisfa la legge dello

spostamento di Wien, potendosi scrivere:5

8( )u k T

= . Possiamo ricordare che

W. Wien aveva proposto una legge del corpo nero nella forma: 3 Tu e

= o (

5T

cu e

= ) ; in altre parole, aveva ipotizzato che la funzione ( )f f T del-

la sua legge fosse un esponenziale. Questa formula si adatta bene ai dati a grandefrequenza ovvero piccola . Ci fa pensare che la legge di Rayleigh-Jeans e quel-la proposta da Wien siano i limiti a cui tende u

a grande e a piccola rispetti-vamente. Nella figura precedente sono riportate le curve di Wien, la curva diRayleigh-Jeans e la curva finale del corpo nero (linea tratteggiata) calcolata neiprossimi paragrafi. Tutte queste curve sono calcolate a 310T K . Vogliamo anchemenzionare che, qualche anno pi tardi, Einstein giudicava che la formula diRayleigh-Jeans fosse lunica compatibile con la fisica classica.Secondo Rayleigh lorigine della difficolt stava nella non applicabilit del princi-pio di equipartizione dellenergia, peraltro mai dimostrato in generale. Per inciso,Jeans riteneva invece che gli spettri sperimentali erano spettri non dequilibrio e

che la distribuzione denergia dequilibrio si poteva raggiungere solo in tempi lun-ghissimi. Questo tuttavia avrebbe reso inaccettabili le dimostrazioni delle leggi diStefan-Boltzmann e di Wien in cui abbiamo applicato la termodinamica a statidequilibrio.


16/101


0,0 5,0x10-6

1,0x10-5

1,5x10-5

2,0x10-5

0,0

5,0x109

1,0x10

10

1,5x1010

2,0x1010

2,5x1010

3,0x1010

(J/(sm

3)

(m)

Planck

R.-J.

T=103K

Si pu ottenere la relazione tra la densit di energia della radiazione e quella me-dia degli oscillatori immaginando di introdurre il meccanismo di interazione ra-diazione-materia.Il modello di cavit che usiamo quello di una cavit le cui pareti siano formate

da oscillatori unidimensionali (atomi). Gli oscillatori assorbono ed emettono laradiazione e sono in equilibrio con il campo (tanta energia emessa tanta energiaassorbita). E vero che gli atomi non sono degli oscillatori, ma la cosa non rile-vante: il sistema fisico immaginato costruito secondo le leggi della fisica e devecomunque condurre a risultati sensati.Lenergia emessa per unit di tempo da un oscillatore armonico con frequenza

propriam

k=2 data dalla formula di Larmor: 2

3

2

0 3

2

4

1a

c

eP

= . Per un oscilla-

tore armonico (libero) abbiamo:

+=

+=

+=

)cos()(

)()(

)cos()(

2

tAtx

tAsentx

tAtx

.

La potenza media irraggiata in un periodo dalloscillatore armonico :2 2 2

2 2 4 2 2 43 3 3

0 0 00 0

1 2 1 1 2 1 1cos ( )

4 4 43 3 3

T Te e e

P a dt A t dt AT Tc c c

= = + = .


17/101


Mediando sulle ampiezze, si ha:2

2 43

0

1

4 3

eP A

c

= . Possiamo riscrivere questa

relazione notando che lenergia media di un oscillatore :2 2

2 21 1( )2 2 2

mAmx kx

= + = . Mediando sulle ampiezze A degli oscillatori:

2 2

2

mA = , si ha infine:

22

30

1 2(2 )

4 3

eP

mc

= . Questa lenergia ceduta in

media dagli oscillatori di frequenza e ampiezza arbitraria al campo em (calcola-ta per primo da H. Hertz).

Si pu anche calcolare lenergia ceduta dal campo em agli oscillatori di frequenza per unit di tempo che risulta essere:

u

m

eP

34

1 2

0

= .Il calcolo dellenergia ce-

duta agli oscillatori viene fatto nel modo seguente.

Poniamo1

( ) ( )2

i txE t g e d

+

= , in cui0

1( ) ( )

2i t

xg E t e dt

+

= la tra-

sformata di Fourier del campo elettrico e inoltre0

1*( ) ( )

2i t

xg E t e dt

+

= .

La densit denergia (indicando con T un lungo intervallo di tem-

po):

2 2 20 0 0 0

0 0 0

20 0 0

0 0

1 1 13 3 ( ) 3 ( ) ( )

2

1 1 1 23 ( ) ( ) 3 ( ) * ( ) 3 2 ( )

2

T T

i tx x x

i tx

u u d E E E t dt E t g e d dt T T

g d E t e dt g g d g d T T T

+ +

+ + + +

= = = = = =

= = =

si trova cos: 20

1( )

2 3 2

u Tg

= .

Lequazione delloscillatore armonico : 20 ( ) i tex x g em

=

. Una solu-

zione della quale, nulla assieme alla velocit allistante zero, :

0 0

( ) ( ) ( ) 1 12 2

i t i ti t e ex t f e f

=

la cui derivata prima :

0 0

00 0

( ) ( ) ( ) 1 12 2

i t i ti t e e

x t i f e i f

=

e la seconda :


18/101


0 02 2

00 0

( ) ( ) ( ) 1 12 2

i t i ti t e ex t f e f

=

. Si vede imme-

diatamente che la soluzione ha ( ) 0x t= e ( ) 0x t=

. Che si tratti di una solu-zione si vede rimpiazzando nellequazione. Si ottiene:

0 02 2

00 0

2 2 20 0

0 0

( ) ( ) ( ) 1 12 2

( ) ( ) 1 1 ( )2 2

i t i ti t

i t i ti t i t

e ex t f e f

e ef e f f e

=

=

Perch questa sia una soluzione basta che: 2 20 ( ) ( )i t i tef e g e

m

=

,

ovvero:2 20

( ) ( )e

f gm

=

. La soluzione generale sommata su tutte le

frequenze si scrive dunque:

2 20 00

1 ( )( ) 1 1

2 22

i t i ti teg e ex t e

m

=

. Il lavoro fat-

to dal campo sulloscillatore nellunit di tempo sar:

0 0

0

2'

02 20 000

1

( ) ( )

1 ' '( ) ' ( ') ( ') 1 1 '

2 2 2'

T

T i t i ti t i t

W F t x t dtT

e e ee i g e i g d d dt

mT

= =

=

Per convenienza, scriviamo lintegrale come tre integrali e invertiamolordine dellintegrazione, integrando prima sul tempo, abbiamo:

2( ')

1 2 200

( ')( ) ' '

2 '

T

i te gW g i d d e dt

mT

=

, ma

( ')

0

2 ( ')

T

i te dt = , per cui:

22 2 2

1 2 2 2 2 2 20 0 0

( )( ') ( )( ) ' ( ') ' ( )

ge g e g eW g i d d i g d i d

mT mT mT

= = =

. Ricordare che ( ) *( )g g = .


19/101


Questo integrale si risolve con i residui e si ha:22 2

200 0 02 2 2 2

0 00 0

( )( ) ( ) 12 lim( ) 2 2 ( )

2

gg gd i i i g

= = =

. In

conclusione:2

2

1 02 ( )2

eW g

mT

.

0

2( ) 0 0

2 2 2000

2

00

( ') '( ) '

2 2 '

( ')

( ) ( ) '2 '

T

i t i geW g e d d dt

mT

e ig

g d dmT

= =

= =

2 2 22

0 0 0 00

( ')( ) ' 2 ( ) ( ) 2 ( )

2 22 '

e g e eig d g g g

mT mT mT

= = =

0

2( ) 0 0

3 2 2000

2

00

( ') '( ) '

2 2 '

( ')( ) ( ) '

2 '

T

i t i geW g e d d dt

mT

e igg d d

mT

= =

= =

2 22

0 00

( ')( ) ' 2 ( )22 '

e g ei g d d gmT mT

= =

.

In conclusione:2 2 2

2

1 2 3 00 0

12 ( ) 2

2 2 2 3 2 3 4

u ue e T eW W W W g

mT mT m

= = = = .

Poich, allequilibrio, lenergia ceduta dagli oscillatori al campo e quella cedutadal campo agli oscillatori devono essere eguali, abbiamo:

2 22 2

3 30 0

1 2 1 8(2 )

4 4 33

e eu u

mmc c

= = che esattamente la formula

trovata precedentemente. La differenza tra la trattazione di Rayleigh e questa ap-pena presentata sta nel fatto che il simbolo rappresenta lenergia media delleoscillazioni em nel primo caso e quello degli oscillatori nel secondo caso. Nelsecondo caso lenergia media senza dubbio kT, almeno che la statistica diBoltzmann non risulti inapplicabile in questo caso per ragioni ignote. Nesegue, tra laltro, che lenergia media delle oscillazioni (onde) e quella de-


20/101


gli oscillatori sono uguali come era in effetti stato assunto nella trattazionedi Rayleigh7.

6. La teoria del corpo nero secondo Planck

La strada verso la soluzione del problema la indic Max Planck (1900). Il model-lo usato quello della cavit piena di oscillatori armonici (risuonatori). Egli fecenotare che il terzo principio della termodinamica (teorema di Nernst) prevedevache lentropia di un sistema e, dunque anche di un sistema di oscillatori armonici,deve essere nulla allo zero assoluto: lentropia di un sistema termodinamico, co-

me stata definita da Boltzmann, non tuttavia zero, essendo definita a meno diuna costante. La ragione per cui la costante additiva rimane arbitraria viene identi-ficata nel fatto che le cellette dello spazio delle fase hanno una dimensione co-munque piccola. Secondo Planck, se si assume che le cellette hanno una dimen-sione piccola, ma non infinitamente piccola, allora si pu ottenere unentropianulla allo zero assoluto. Si introduce cos una costante h che ha le dimensioni delprodotto di una quantit di moto per una lunghezza (o, se si preferisce diunazione: unenergia per un tempo). Ciascuna celletta dello spazio delle fasi avrcos un volume pari a 3h . Allinterno di ciascuna celletta lenergia la stessa perogni oscillatore. Il procedimento di Planck detto quantizzazione dello spaziodelle fasi, ma esso quantizza anche le possibili energie di oscillazione del campoe.m. La ragione che induce Planck a suggerire una quantizzazione dello spazio

delle fasi la seguente.Boltzmann ha calcolato lentropia di un gas come il logaritmo della probabilitW di quello stato, lasciando indeterminata una costante di proporzionalit cheper le propriet del logaritmo si traduce in una costante additiva incognita sul va-lore dellentropia. Vediamo perch. Se mettiamo insieme due sistemi le cui pro-babilit siano 1W e 2W , la probabilit di quel sistema il prodotto delle due pro-babilit 1 2W W W mentre lentropia deve essere additiva. Posta dunquelentropia come una funzione della probabilit ( )S f W , abbiamo:

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f W f W W f W f W= . Derivando rispetto a 1W , abbiamo:

2 1( ) ( )f W W f W , derivando nuovamente, ma questa volta rispetto a 2W abbia-

mo: ( ) ( ) 0f W Wf W =

, la cui soluzione ( ) ln( ) costantef W k W . Questo giu-stifica la scelta della funzione logaritmo che risulta pi che una semplice conve-nienza, ma ci d anche una costante additiva incognita. La costante moltiplicativaviene identificata con la costante di Boltzmann. Planck obietta alla costante addi-7Che le due energie medie debbano essere uguali , secondo Poincar conseguenza delsecondo principio della termodinamica. Vedi: H. Poincar, Lipotesi dei quanti in Geome-tria e caso Bollati Boringhieri. Pag. 183.


21/101


tiva e dichiara di volere assegnare un valore assoluto allentropia, perci la pro-pone come una costante moltiplicativa nel logaritmo. Sceglie poi di riscrivere

lentropia usando le probabilit matematiche iin

wN

=

(invece di in ) di occupa-

zione di ogni cella dello spazio delle fasi e ottiene8: ln( )i ii

S kN w w

. Even-

tualmente, lentropia deve essere calcolata usando un integrale:

ln

sf

x y z

V

S kN w wdxdydzdp dp dp

. Tuttavia cos facendo, abbiamo cambiato le di-

mensioni dellespressione a destra. Per risolvere il problema possiamo dividereper una costante 3h con le dimensioni dello spazio delle fasi. Planck postula allo-ra lesistenza di una dimensione naturale per le cellette. Egli scrive: That such adefinite quantity (cio h ) really exists is a characteristic feature of the theory weare developing, as contrasted with that due to Boltzmann and forms the content ofthe so-called hypothesis of quanta9. In conclusione, possiamo ancora calcolare lesomme come degli integrali, ma solo come trucco matematico, eventualmentenecessario, le cellette hanno una dimensione finita, come indicato dallesistenzadella costante h . Allinterno di ogni celletta impossibile definire le variabilidinamiche eccetto che come medie. Da questo nasce la quantizzazionedellenergia che useremo sugli oscillatori armonici. Vediamo cosa succede.Consideriamo lo spazio delle fasi degli oscillatori armonici. Lenergia di

un oscillatore : 22221

21 xmpm

E += , che, riscritta nella forma:

12

1

2

1 222 =+ xmE

pmE

rappresenta unellisse nello spazio delle fasi di se-

miassi:m

Ea

21

= e mEb 2= , la cui area :

EEabpdxS ==== /2 .

Consideriamo adesso una sequenza di queste ellissi di area h, 2h, 3h inmodo che lintercapedine tra due ellissi di contorno sia sempre h, avre-

8

1 11 1 1

1...1 2

( ) ... ( ) ...1 2 1

1( ) ( )

! !...ln ln ln ln ln ... ln( ...)

!

ln ln

n n

N n nN Ne e

n n n

ne e

i i i i

i i

n n nW w

N N

n w N w w

= = = = = =

=

9M. Planck - The theory of heat radiation. Dover, pag. 125


22/101


mo10:

nhEE

nhpdxS nn

n ==== per i valori dellenergia corrispon-denti alle varie ellissi. Il valore medio dellenergia per gli oscillatori i cuipunti rappresentativi si trovino tra due ellissi dordine n e n+1, sar

hnhEE

EE nn

n 2

1

21 +=

+= + 0,...n= + .

Come abbiamo accennato, Planck usa come punto di partenza la divisione dello spaziodelle fasi ( , xx p ) degli oscillatori a frequenza in aree comprese tra due ellissi di super-

fici h per poi giungere alla quantizzazione delle energie. Una condizione posta da Planck il calcolo della statistica degli oscillatori a frequenza in modo che questa conduca ad

un valore nullo dellentropia allo zero assoluto, come richiesto dal principio di Nernst (oterzo principio della termodinamica).Possiamo calcolare lenergia media anche nel modoseguente. Lequazione parametrica del moto di un oscillatore armonico : ( ) sinx t A = ,

con t = + . La quantit di moto : cosxp Am = . Da queste si ricava:22

1.xpx

A Am

+ =

In parole: la traiettoria nello spazio delle fasi di un oscillatore ar-

monico unellisse, la cui area : 2S A m = . Poniamo adesso le aree di queste ellissiuguali a: 0, , ...,h nh . In questo modo larea compresa tra due ellissi in sequenza h .

Lellisse che limita lennesima caratterizzata da unampiezza: 2nnh

Am

= . Supponiamo

che allinterno di ogni area limitata da due ellissi sequenziali, la distribuzione di puntirappresentativi sia uniforme, allora lenergia media in ogni area :

, 2,

1

2n

n x

C

NE kA dxdp

h

= , in cui

,nN

h

la densit dei punti e 212kA lenergia

delloscillatore. Cambiamo variabili ed usiamo piuttosto ,A al posto di , xx p . Abbia-

mo: , 2 31, 2n

n

C

NE m A m dAd

h

= , in cui m A lo jacobiano. Integrando su , ot-

teniamo:

( )

1

3 3 4, ,3

,

2 3 2, 4 2 2 1, 22 2 2

4

2 ( ( 1) ) ,(2 )

n

n

A

n nn

AC

nn

N m N m AE A dA

h h

N m hn n N h n

h m

= = =

= =

1,...n= +

10Notare lidentit di questa condizione con quella di Bohr per latomo didrogeno. Bohrestende in effetti questa condizione ad un sistema periodico con due gradi di libert


23/101


Ovvero per lenergia media in ciascuna areola di valore h : ( ), 1, 2,

nn

n

EE h n

N

= = .

Ottenuto cos lo spettro dei valori dellenergia, Planck calcola lentropia, la sua relazionecon lenergia totale E degli oscillatori a frequenza e quale frazione del loro numero

totale N ( nw ) si trovi in ogni areola di superficie h , in modo da calcolarne lenergia

media da cui poi ottenere u . Abbiamo come espressione dellentropia:

1 2

!ln! !...

NS kn n

=

, come per Botzmann. Planck riscrive questa espressione in una manie-

ra diversa da Boltzmann, facendo apparire esplicitamente le probabilit di occupazione di

unareola di superficie h , iin

wN

=

( 1 2( ...) 1w w = ) .

1 21 1 1 2 2 2

1 1 1 2 1 1

11

! !...ln ( ln ln ln ...)

!

( ln ln ...) ( ( ...) ln ln ...)

( ln ...) lni ii

n nS k k N N N n n n n n n

N

k N N n n kN w w N w n

nkN w kN w w

N

= = =

= = =

= =

Troviamo adesso lo stato dequilibrio col solito metodo dei moltiplicatori arbitrari, a ener-gia totale fissa.

1 1

1 0n nn n

w w

= =

= =

1 1 1

1 1( ) ( ) 0

2 2n n nn n n

EE N h n w n h w nh w

N

= = =

= = = =

p

x

h

h

h

3E 2E 1E


24/101


( )1 1 1

ln 0 ln 1 lnn n n n n nn n n

SS kN w w w w w w

kN

= = =

= = = + =

11

(ln ) 0 ln 0nh

a nhn n n n nh

n

n

ew nh w w nh a w e e

e

=

=

+ + = + + = = = .

Poniamo adesso: nnw = , conhe

= e

1 0

1 1 1 111 1

1

nh n

n n

e

= =

= = = =

Da questa espressione ricaviamo lenergia media degli oscillatori a frequenza

1 2 1

1 0 0

2 2

0

22

1 1 1 1 1 1( ) ( )

2 2 2 1

1 1 1 1 1( )

2 2 1

1 1 1 1 1

2 2 1 2 2(1 ) 1 1

n nn

n n n

n

n

h

h h

EE h n w h n h h n

N

d dh h h h

d d

h h h e hh h h h

e e

+

= = =

=

= = = + = + =

= + = + =

= + = + = + = +

Per quanto riguarda lentropia abbiamo:

1 1 1

1 1 0 1

( ln ) ( ln ) (ln ln )

ln ln ln ( 1) ln

n n nn n

n n n

n n n n

n n n n

S w w nkN

n n

= = =

= = = =

= = = + =

= + = + =

1 1

1 1

2

1ln ( 1) ln ln ln

1 1

1 1 1 1 1 1 1ln ln ln ln

1 1 (1 )

n n

n n

n n

d

d

= =

= + = + =

= + = + =

1 1 1ln ln ln ln(1 ) ln ln ln(1 )1 1 1 = + = + + = + . Identificando

con il solito1

kT, otteniamo infine: 1

21

h

kT

hE h

e

= +

e


25/101


1ln 1

1

h

kTh

kT

hS kN e

kTe

=

Il cui valore zero allo zero assoluto come vole-

vamo in osservanza del teorema di Nernst. Si noti pure che se 0h

, S

.

Lidentificazione1

kT= si fa con la relazione: TdS dE =

2 2

1( )

(1 ) (1 )

dEdS kT T h h

N N

= = =

.

Lenergia media della radiazione sar la stessa degli oscillatori a parte il valore a T=0:

,

1 1

h

kT

rad h h

kT kT

e hE h

e e

= =

.

Che ci d il risultato cercato sullenergia media degli oscillatori a frequenza , risultatoche sostituisce quello del teorema di equipartizione. Si noti anche che se 0h ,E kT

.

Questo porta ad una conclusione interamente nuova, perch, sostituendo questa funzione

al posto di kT , si ha:2 3

3 3

8 8

1 1

h h

kT kT

v h hu

c ce e

= =

.

Si ha cio, che E

una funzione della frequenza, tale che per (ovvero 0 )

0

h

kTE e

. La catastrofe ultravioletta cos scongiurata. In conclusione, si ha per

lo spettro del corpo nero:2 3

3 2

8 2

41 1

h h

kT kT

c v h h

c ce e

= =

formula che descrive bene i dati sperimentali. Si pu evidentemente anche scrivere:2

5

2 1

1

hc

kT

hc

e

=

(che soddisfa la legge di Wien: )(1

5 Tf

= !). Si vede co-

munque che, per energia del fotone piccola rispetto allenergia media a tempera-tura T ( kThv


26/101


si riduce a quella proposta da Wien: 33

8 h

kTh

u ec

= . Evidentemente solo ad

alta frequenza o a bassa temperatura che la radiazione e.m. acquista la sua caratte-ristica quantistica . Si poteva ottenere lenergia media degli oscillatori, meno rigo-rosamente, usando il solito fattore di Boltzmann e e sostituendo allintegrale:

0

0

x y z

x y z

e dxdydzdp dp dp

E

e dxdydzdp dp dp

=

la sommatoria 0

0

2

nh

n

nh

n

nh eh

Ee

=

=

=

.

Calcolando infatti lenergia media di tutti gli oscillatori di frequenza , senza fareil limite per 0h . Ci troviamo a calcolare la somma di una serie geometrica.Sostituiamo allintegrale la somma sui valori medi appena calcolati:

ln( ) ln( )2 2 2

1 1ln( ) ln((1 )) ( )

1 2 2 1 2 21

nh

nh nn

nhn n

n

h

h

nh eh d h d h

E ed de

d h d dx h h h e hh

d dx d e

= = = =

= = = =

con he = .

La questione che si pone , per, relativa al senso fisico di questa operazione:perch mai unonda elettromagnetica dovrebbe avere delle energie quantizzate? questo un fenomeno relativo agli scambi (che sarebbero quantizzati) di energia tramateria e radiazione o la quantizzazione invece una caratteristica della radiazio-ne?Come si vedr successivamente, risulta che il modo corretto di interpretare il po-stulato di Planck di ricorrere nuovamente alle particelle di luce di Newton, nellaforma dei moderni fotoni. Questo, tra laltro, condurr a comprendere anchelaltra quantizzazione, quella operata da Bohr nel suo modello atomico11.Per dare ulteriore credibilit al risultato di Planck, facciamo vedere che dalla di-

stribuzione2

5

2 1

1

hc

kT

hc

e

=

possibile ricavare la legge di Stefan-Boltzmann.

11In realt Planck propone un modello di interazione quantizzata, ma non una quantizza-zione del campo e/o delle energie degli oscillatori.


27/101


Occorre calcolare

=

0

d . Cio:2

5

0

12

1

hc

kT

dhc

e

=

. Lintegrale si pu

mettere nella forma:

)4()4(1

1

1

1

11

1

1

0

1

3

0

20

5

=

=

=

x

kT

hce

dxx

e

d

e

d ,

avendo posto:kT

hc= ,

=x e 4= . Sostituendo i valori numerici di )4()4( ,

si ottiene infine

444

05

)(151

90!3)()4()4(1

1

1hc

kT

hc

kT

e

d

kT

hc

===

. In conclusione:

42 4 5 4

3

0

1 22 ( )

15 15 ( )

kT kd hc c T

hc hc

= = =

, da cui si deduce che la costante

di Stefan-Boltzmann :4

5

3

2

15 ( )

kc

hc . Questo permette di assegnare un valore

numerico alla costante di Planck h a partire dal valore empirico di . Risulta:

Jsh341063,6 = .

Non poi difficile ricavare la legge di Wien, nella forma pi elementare, calco-lando la derivata di ed eguagliandola a zero, si ottiene:

3max 2,89 10

5

hcT m K

k

= =

.

Applichiamo qui la formula di Riemann:

=

0

1

1)(

1)(

xe

x

zz

, dove )(z= la fun-

zione gamma di Eulero e la funzione )(z= la funzione zeta di Riemann. Per z=4

!3)4( = e90

)4(4

= .


28/101



29/101


0,0 5,0x10-7

1,0x10-6

1,5x10-6

2,0x10-6

2,5x10-6

3,0x10-6

0,0

2,0x1013

4,0x1013

6,0x1013

8,0x1013

1,0x1014

1,2x1014

1,4x1014

1,6x1014

1,8x1014

2,0x1014

2,2x1014

(J/(sm

3)

(m)

F1

T=6000K

visibile

0,00E+000 5,00E+014 1,00E+015 1,50E+015 2,00E+015

0,00E+000

5,00E-008

1,00E-007

1,50E-007

2,00E-007

2,50E-007

3,00E-007

(Hz)

(J/m2)

T=60000K

Spettro del corpo nero secondoPlanck. Si noti che nel grafico del-

la emissivit specifica

ha il massimo a

max 500nm= , cui corri-sponde una frequenza:

140

max

6 10c

Hz

= =

. Que-

sta frequenza diversadalla frequenza a cui la

ha il massimo che apparepiuttosto essere:

7max 3 10 Hz= . Ricor-

dando che:2

c

=

e

derivando, si vede subitoche i due massimi nonpossono essere in posizio-

ni coincidenti.


30/101


7. Leffetto fotoelettrico

Da quanto visto sinora, il modello dellatomo di Bohr spiega gli spettri ottici dellatomo diidrogeno. La quantizzazione operata da Planck risolve il problema del corpo nero. Mancaper una teoria soddisfacente che colleghi queste conoscenze. Come minimo, si pu direche - negli scambi energetici tra materia e campo elettromagnetico si scoperto che iltrasferimento di energia avviene in maniera quantizzata. Si pu allargare questo concetto esostenere che il campo elettromagnetico esso stesso quantizzato, resuscitando lideanewtoniana delle particelle di luce: i fotoni? A. Einstein, spiegando nel 1905 leffettofotoelettrico, assume come corretta proprio questultima ipotesi.Vediamo in cosa consiste leffetto fotoelettrico. Inviando un fascio di luce di data fre-quenza

su una lastrina di metallo K (catodo) affacciata ad unaltra lastrina di metallo A(anodo), entrambi posti in un contenitore di vetro in cui si fato il vuoto, e stabilendo unadifferenza di tensione, negativa sul catodo e positiva sullanodo, si osserva il passaggio diuna corrente (fig. 1). Senza il fascio di luce, non c corrente. Invertendo la tensione, lacorrente sinterrompe. Questa corrente esiste nonostante tra K e A non ci sia altro che ilvuoto. Cariche negative vengono pertanto estratte dal catodo e vanno verso lanodo.

.

Lo studio delleffetto fotoelettrico, scoperto da Hertz (1897), fu fatto da Philipp Lenard(1902).Che si tratti proprio di elettroni fu dimostrato applicando un campo magnetico alle parti-celle uscenti dal catodo. Nota la velocit massima delle particelle e misurando il raggiomassimo delle traiettorie se ne deduce il rapporto /e m che risulta numericamente ugualea quello misurato da Thomson.

Effetto fotoelettrico.

batteria

K A

amperometro

luce


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Il raggio di curvatura (vedere fig. 2) :mv

reB

=

e la velocit :

21 22

emv eV v V

m= =

, da cui:2

1 22

( )

m e e Vr V

e B m m rB= = .

A prima vista leffetto non sorprendente. Con la luce infatti, viene inviata dellenergiasul metallo che lassorbe. Un elettrone pu pertanto accumulare energia sufficiente perliberarsi dal metallo e venirne fuori. Si pu prevedere che quello che importa lenergiache assorbe il metallo e non la sua frequenza

Aumentando lintensit della luce ci si aspettano pi elettroni, cio una maggiore corren-te. Effettivamente si trova che, per frequenze al di sopra di un certo valore di soglia th ,

la corrente dipende dallenergia totale inviata. Tuttavia, se la frequenza scende al di sottodi questa soglia, leffetto fotoelettrico scompare.In effetti, guardando i due grafici della fig. 3, si vede che la corrente si arresta solo per unvalore negativo V0(controcampo) della tensione applicata allanodo. Questo significa chegli elettroni escono con unenergia cinetica massima (misurata da 0eV ) dal metallo e che

(fig. 2b) questa energia cinetica massima diminuisce al diminuire della frequenza dellaluce, fino al valore di soglia. Al di sotto di questo valore, leffetto si annulla, perch, evi-dentemente, gli elettroni non hanno pi energia sufficiente a liberarsi.In effetti, guardando i due grafici qualitativi mostrati in fig. 2a, si vede che la corrente si

arresta solo per un valore negativo 0V (controcampo) della tensione applicata allanodo.Questo significa che gli elettroni escono con unenergia cinetica massima (misurata da

0eV ) dal metallo e che (fig.2b) questa energia massima diminuisce al diminuire della

frequenza della luce, fino al valore di soglia. Al di sotto di questo valore, leffetto si an-nulla, perch, evidentemente, gli elettroni non hanno pi energia sufficiente a liberarsi.

Lu-ce

K

Campo magneticoB perpendicolare alfoglio

G Fig. 2 Le particelle emesse da K eaccelerate dalla differenza di ten-sione V tra K e G, hanno traietto-rie curvate, con raggio di curvaturar ,dal campo magnetico B .

Traiettoria delle particelle


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Apparato usato da Millikan per lo studio delleffetto fotoelettrico. La luce entra dal punto Oin alto. Lanodo costituito dalla rete metallica (tratteggiata) in alto connessa attraverso B eC allalta tensione positiva. Il catodo uno dei cilindretti posti al disotto dellanodo. Si pu

scegliere il catodo facendo ruotare il sistema dei tre cilindretti. K rappresenta un coltello concui pulire il catodo. Il coltello viene fatto girare dal motore in basso ed usato per raschiarela superficie del catodo, fatto di un metallo alcalino che si ossida facilmente, malgradolapparato sia sotto vuoto.


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Un altro punto importante che appena illuminato il catodo comincia im-mediatamente a emettere elettroni. Se il meccanismo di emissione fossedovuto allaccumulo di energia, per intensit di questa basse, potrebberovolerci delle ore prima di vedere la corrente cominciare.Secondo Einstein, si pu spiegare leffetto fotoelettrico, assumendo che ifotoni abbiano unenergia h . Se la loro frequenza scende al di sotto diuna certa soglia ( th ), i singoli fotoni non avranno pi energia sufficienteper liberare gli elettroni dal metallo. Pertanto lenergia ceduta ad un elet-trone una quantit fissa ( h ) che viene in parte utilizzata come lavoro peruscire dal metallo (lavoro di estrazioneL), e in parte diventa energia cine-tica Kdellelettrone, con: 0K eV h L= = . Se si applica una tensione disegno opposto e tale che: KeV =0 , questa bloccher gli elettroni (semprenellipotesi che i fotoni abbiano energia h ). Qui troviamo anche un nuo-vo modo di misurare la costante di Planck. Dal grafico si trova:

1 2

0 2 1

( ) ( )o

e V V h v = . Il coefficiente angolare misurato nella seconda figuradeve allora essere uguale alla costante di Planck gi misurato dalla legge diStefan-Boltzmann. La verifica della tesi di Einstein fu fatta da Millikan.

8. Leffetto Compton

th

-

tg h=

a) b)

Fig. 3: a) Andamento della corrente in funzione della tensione applicata per due in-tensit e frequenza della luce fissa b) Energia cinetica degli elettroni in funzione del-la frequenza del fascio di luce inviato.

VA

= costante

1I i

V0

2I


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Ancora pi emblematico il caso delleffetto Compton. Leffetto Comptonconsiste nella variazione di frequenza subita dalla luce dopo che questaviene assorbita da un elettrone libero. La spiegazione di questo effetto data in termini di collisione tra due particelle: il fotone e lelettrone. In-viando della luce su un elettrone libero, ci si aspetta che lelettrone oscillisotto lazione del campo elettrico dellonda e, oscillando alla stessa fre-quenza di questultima, emetta radiazione alla stessa identica frequenzadellonda incidente (Appendice I). Questo contraddetto dallevidenzasperimentale. La frequenza dellonda riemessa diversa da quelladellonda incidente; la variazione della frequenza dipende dallangolo

compreso tra onda emessa e direzione dellonda incidente (fig. 3).

Occorre pensare al fenomeno come ad una collisione relativistica tra fotoneed elettrone: non si possono pertanto utilizzare i risultati trovati al Cap. 2per la descrizione classica dellurto tra due corpi. Anche qui, comunque, siapplicano le leggi di conservazione

dellenergia e della quantit di moto12. Se m0 la massa a riposodellelettrone, pe la sua quantit di moto e () langolo che la radia-

12Questa relazione stata stabilita al cap. 5, pag. 235. Da

h

c

h

c

Ep === segue che:

0222 =Epc , che la relazione tra energia e quantit di moto di una particella relativi-stica di massa zero. E per questo che si attribuisce massa zero al fotone. Questi risultatifurono presentati da A. Einstein nel suo lavoro del 1917 sullinterazione tra radiazione emateria, nel quale si ipotizza lemissione stimolata.

radiazione entrantecon

radiazione uscente conlunghezza donda e an-golo

elettrone uscente conquantit di motopeed an-golo


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zione (lelettrone) uscente forma con la direzione della radiazione inciden-te, si avr:

Sommando ed elevando al quadrato le ultime due equazioni, si ottiene:2

0

2

2

2

20

2

cos2 ephhh

=+

. Si utilizzi la prima equazione per eliminare ep :

)11

(22

))()((1

))()((1

00

0

2

2

2

20

2

220

20

202

220

222

2

++=

=+==

chmhhh

cmhhcmc

cmmcc

pe

Sostituendo nellequazione precedente e semplificando, si ottiene:

)11

()cos1(0

00

= cmh , che si pu riscrivere come:

120

0

(1 cos ) 2,42 10 (1 cos )h

mm c

= =

. Dividendo tutto per c e in-

vertendo possiamo scrivere lanaloga relazione per le frequenze:0

0

1 (1 cos )C

=

e possiamo esprimere lenergia cinetica dellelettrone

nello stato finale:

2 00 0

0

(1 cos )

( )

1 (1 cos )

c

c

T E mc h h

= = =

. Infine, prendendo il rapporto

tra le componenti della quantit di moto dellelettrone si ottiene:

La quantit: mcm

h

eC

121042,2 == chiamata lunghezza donda Compton. Essa

rappresenta lo spostamento della lunghezza donda 0 a 90= .

2 20 0

0

cos cos

0 sen sen

e

e

m c h mc h

h hp

hp

=

=

=


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sin

cos

h

tgh h

=

, moltiplicando per c numeratore e denominatore, usan-

do lespressione di0

, si ottiene:

0

1 1

12

C

tg

tg

=

. In conclusione, si pu fare lesperimento prima guar-

dando alla differenza0

in funzione di

e poi eventualmente si purivelare il fotone X in coincidenza temporale con lelettrone. Se guardiamoai raggi X emessi sotto un angolo

, lelettrone emerge dalla collisionesotto un angolo

ben definito e con una energia definita che si possonomisurare simultaneamente alla

finale del fotone.Nel suo esperimento Compton us un normale tubo per raggi X, simile aquello usato oggi da qualsiasi dentista. Il fascio di raggi X13viene primacollimato, facendolo passare attraverso un foro in un foglio di Pb e poi fat-to interagire con un foglio di metallo, ricco di elettroni liberi, per esempioC, Cu, Ag. Successivamente, i fotoni uscenti ad un angolo vengono fatticadere su un cristallo (di calcite) ruotante che ne misura, secondo un meto-

do messo a punto dai Bragg (padre e figlio), la lunghezza donda (vederenota in Ottica sulle lamine a facce piane e parallele). Dallaltro latodellapparato si pu eventualmente rivelare lelettrone e misurarne langolodi uscita e lenergia in una camera a nebbia.Lesperimento, eseguito da Compton nel 1922, conferm la teoria che ab-biamo esposta. Grafici della lunghezza donda per diversi angoli di diffu-sione sono tratti dallo Halliday e Resnick e riportati in basso. Da questigrafici si notano due picchi uno alla

entrante e uno spostato secondo laformula di Compton. Il picco a frequenza uguale a quella entrante dovutoa diffusione sugli elettroni fortemente legati nellinterno dellatomo: ricor-dare che la teoria stata fatta solo per elettroni liberi. Si noti che a 90

0,024

, che il valore calcolato e che, a 135= ,0, 024(1 cos 135 ) 0, 041

= , valore compatibile con ci che si legge sulgrafico.

13Compton us la riga K

del Molibdeno con 100,721 10 m=

e 17,2E keV


37/101


Successivamente (nel 1925) A. H. Compton e A. Simon ripeteronolesperimento con una tecnica interamente diversa: essi usarono una came-ra a nebbia di Wilson. Una camera a nebbia un recipiente di vapore so-vrasaturo. Sovrasaturo significa che la quantit di vapore dacqua conte-nuta nellaria del recipiente superiore alla quantit massima che potrebbeesserci prima della condensazione. Tuttavia la condensazione non avvieneperch mancano i nuclei di condensazioni. I nuclei di condensazione sonodei piccoli corpuscoli di polvere intorno ai quali il vapore si trasformanormalmente in acqua. Se laria interna alla camera non contiene polvere sipu ottenere un vapore soprassaturo. Il passaggio di una particella carica

produce un certo numero di ioni che funzionano da nuclei di condensazio-ne. La traiettoria della particelle carica viene allora visualizzata da una sciadi goccioline di vapore.Se inviamo un fascio collimato di raggi X nella camera, non possiamo os-servare la traiettoria dei fotoni che non sono carichi; tuttavia se il fotonebatte contro un elettrone e gli cede energia come avviene nelleffettoCompton, allora si vedr la traiettoria dellelettrone di rinculo. Nota la di-rezione dei raggi X entranti e vista langolo di diffusione dellelettrone dirinculo

, sappiamo quale deve essere la direzione del fotone di rinculo.La sua traiettoria non visualizzata, ma occasionalmente questo fotone ur-

ta contro un secondo elettrone. In tal modo si ha un secondo punto ( 2V )della traiettoria del fotone in aggiunta al vertice dinterazione primario ( 1V). In tal modo si conosce la direzione duscita del primo fotone, ciolangolo

, formato con lasse X , in aggiunta a

. La cinematica coscompletamente nota.

Vogliamo, per inciso, ricordare che anche per leffetto Compton si pu de-finire una sezione durto come si fatto per la diffusione di particellesui nuclei di Au (esperimento di Rutherford). Anche qui, infatti, si tratta difar collidere due particelle, il fotone e lelettrone, e si pu calcolare il nu-

Fotone X entrante

Primo fotone X uscente

Secondo fotone X uscente

Asse X1V

2V

e

e


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mero di fotoni che vengono diffusi ad un angolo, dato un flusso ( ) di fo-

toni in entrata e lo spessore (t ) e il tipo di bersaglio ( AN

Z tA

). Si avr co-

s: ANdN d

Z td A d

. Il calcolo della sezione durto differenziale dd

un problema che non possiamo affrontare in queste note e che fu risolto daKlein e Nishina.

La sezione durto risulta:2

22

2

(1 cos )1 cos 1

12

(1 cos ) 1 (1 cos )1 (1 cos )

e

E

mdr

Ed E

mm

=

con E

lenergia finale del fotone e m la massa dellelettrone. Il calcolo classico,cio considerando il moto indotto sullelettrone e il conseguente irraggia-mento, fu invece eseguito da J.J. Thomson e risult:


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22 2

20

1 cos

24

td e

d mc

=

. La formula di Klein e Nishina si riduce a que-

sta per 0E

. Integrando sullangolo solido si ottiene la sezione durto

totale di Thomson: 283

t er = , ricordando la definizione di raggio classico

dellelettrone,2

204

e

er

mc

=

. Possiamo anche riscrivere la sezione durto

usando la lunghezza donda di Compton e costante di struttura fine:2

83 2

ct

=

. Il valore della sezione durto totale: 25 26,65 10t cm

= . Si

noti inoltre che la differenza tra effetto fotoelettrico ed effetto Comptonrisiede nellenergia del gamma incidente. Se lenergia del fotone alta(decine di keV ) allora lenergia di legame trascurabile ed come selelettrone fosse libero (Compton), se lenergia del fotone pochi eV allora lenergia di legame rilevante e abbiamo leffetto fotoelettrico.Anche per leffetto fotoelettrico si pu definire una sezione durto che

risulta:

725

44 2

137f t

Z m

E

=

, valida per basse energie.

Vediamo adesso cosa succede secondo la fisica classica. Leffetto Compton classico

Elettrone nellorigine. Onda piana sinusoidale. Campo elettrico lungo +Z, campo magne-tico lungo +Y, propagazione lungo +X.Equazioni del moto:

0z x y

z y

eE ev B mz

my

mx v B

+ =

= =

, ricordando che: zy

EB

c= , abbiamo:

xz z

zz

veE e E mz

c

ve E mx

c

+ =

=

ovvero: (1 )z x

z z

eE zm

e E mx

+ =

=


40/101


Nel caso non relativistico ( , 1x z


41/101


0

20

1

2 zcE la densit di corrente di energia mediata su un periodo, cio il

numero di fotoni che colpiscono lunit di superficie nellunit di tempomoltiplicata per la loro energia. Possiamo poi interpretare Wcome il nu-mero di fotoni diffuso nellunit di tempo moltiplicato per la loro energia,

per cui la sezione durto totale : 28

3T er

= .

9. Leffetto Doppler

Leffetto Doppler, cio lo spostamento di frequenza osservato per un foto-ne di energia h in sistemi di riferimento in moto relativo, costituisce unaltro fenomeno per il quale la fisica classica risulta insufficiente a descrive-re i risultati sperimentali. Tali risultati sono invece in ottimo accordo con laformula relativistica. Se 'Ee ' sono lenergia e la frequenza del fotonecome osservati nel sistema di riferimento in moto con velocit (v/c), :

2

' ( ( )) ' ( ) (1 ) ' (1 )

1

1

hE E cp h h c h

= = = = =

=

Un altro modo di ottenere la formula delleffetto Doppler, valida solo per1


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velocit di rinculo dellatomo piccola. Confrontare questa formula conquella a pag. 28 del capitolo sulle onde.Questo insieme di osservazioni suggerisce che la luce possa essere descrit-ta grazie ad un campo elettromagnetico, cui vanno per associati quanti dienergia. Unonda elettromagnetica non pi solo un campo variabile neltempo che si propaga nello spazio: al campo va associata una particella. Idue concetti sembrano entrambi, malgrado la loro apparente incompatibili-t, necessari per spiegare la realt fisica. Lapparente incompatibilit con-siste nel fatto che mentre le particelle sono puntiformi, il campo si estendesu una zona di spazio pi o meno grande.

10. La teoria del corpo nero secondo Einstein

Nel 1912, H. Poincar dimostr che, se lo spazio delle fasi un continuo senzazone proibite, allora il teorema dellequipartizione dellenergia deve valere. Inaltre parole, una teoria come quella di Planck, cio una teoria che assumesse deisalti quantici tra una zona dello spazio delle fasi ad unaltra era lunico tipo diteoria che poteva evitare la legge di Rayleigh-Jeans e giungere ad una energiamedia a frequenza fissa come quella di Planck e non kT . E questo lassuntoiniziale di un procedimento col quale Einstein calcol nel 1917 lo spettrodel corpo nero senza utilizzare gli oscillatori armonici, ma riferendosi allatomo

di Bohr (1913-15). Supponiamo che latomo abbia solamente un livello fonda-mentale (1) e un livello eccitato (2). Allequilibrio il campo cede agli atomi tantaenergia quanta ne assorbe. Lenergia assorbita da un atomo dipende dalla densitdenergia presente nella cavit, dal numero di atomi al livello fondamentale e daun coefficiente 12B che dipende dal tipo di atomo, mentre quella ceduta dipendeda quanti atomi si trovano nello stato eccitato e da un coefficiente 21A , che dipen-de dal tipo di atomi. Tuttavia necessario supporre anche che lemissione di foto-ni sia stimolata dalla presenza della radiazione, per cui occorre considerare ancheun termine proporzionale alla densit di radiazione, al numero di atomi nello statoeccitato e ad un coefficiente 21B . Se cos non fosse allequilibrio avremmo

12 1 21 2B u n A n

= che, per temperature alte cio per alta u

, diverrebbe impossibile

perch il termine a sinistra aumenta, mentre quello a destra aumenta solo perchaumenta la popolazione 2n . Essendo 2n limitato, eventualmente non ci potrebbe

essere pi eguaglianza. Il termine di emissione indotta 21 2B u n deve essereaggiunto pena la violazione della statistica di Boltzmann. Allequilibriodunque abbiamo: 12 1 21 2 21 2B u n B u n A n = + da cui ricaviamo:


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211

12 212

1u A

nB B

n

=

. Il rapporto 12

hEkT kT

ne e

n

= = , come si evince dalla statistica

di Boltzmann, per cui:EkTn Ce

= , abbiamo cos: 21

12 21

1h

kT

u A

B e B

=

. Per

T

(o per 0

), questa formula si deve ridurre a quella di Rayleigh-Jeans:2

3

8u kT

c

= , per cui dobbiamo avere: 21 21

12 21

12 21

1 1h

kT

u A Ah

B BB e B

kT

=

+

che ci d la formula diRayleigh-Jeans, se 12 21B B= e3

21 3

8 hA

c

= La teoria

pu essere generalizzata ad un atomo avente pi di due livelli, sostituendoal pedice 12, il pedice ij e sommando. Infine notiamo che queste formulecostituiscono la base teorica dei laser.

11. La termodinamica della radiazione elettromagnetica

Facciamo ora una precisazione. Nella formula dellenergia media, appare unatemperatura assoluta: evidentemente si tratta della temperatura della radiazione,

ma cosa la temperatura della radiazione? Per Planck, la temperatura delle pa-reti della cavit una volta che si sia stabilita una situazione di equilibrio energeti-co tra pareti e radiazione.

Poich risulta:4

5 4 4

3

4 8

15 ( )

ku T bT

c c hc

= = , si ha che lenergia interna del

campo di radiazione : 4VbTVuU == . Possiamo anche calcolare lentropiadel sistema donde, integrando:

34 3 3 34 4 4 ( ) 44 4

3 3 3 3 3

V V d T dS udV du bT dV bT dT bT dV Vb S bVT

T T T T = + = + = + = .

A partire dalle relazioni:3

4bT

P= e 4VbTU= , si pu dimostrare che, in

unespansione adiabatica del corpo nero =3VT costante. Infatti, dal primo prin-cipio della Termodinamica, si ha:

4 40 4 3

3 3 3

dV dT dV dT Q pdV dU u udV duV udV Vdu udV Vu

T V T = = + = + + = + = + =

Integrando, si trova il risultato quotato =3VT costante. Possiamo anche scrivere

che: costante= ATpVbTVpTVT == )/(3/4 conA=costante.


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Per completezza si deve aggiungere che la pressione esercitata dalla radiazione (odal gas di fotoni) sulle pareti della cavit pu essere calcolata utilizzando la for-mula gi trovata per un gas di molecole (par. 3) e sostituendo allenergia dellamolecola quella di un fotone:

42

3

1

3

1

3

1

3

1bTuPh

V

nPv

V

NnmP A ==== .

Da notare anche i procedimenti usati per dimostrare, con tecniche tipicamentetermodinamiche, le leggi di Stefan-Boltzmann e di Wien.C per da notare che i concetti di entropia e di temperatura sono stati qui impli-citamente estesi alla radiazione em. Si pu fare? Se si pu fare, la radiazione in

definitiva trattata come un gas. Infatti la radiazione ha un volume, ha una pressio-ne (quella esercitata sulla parete) e una temperatura (quella della parete della cavi-t con cui in equilibrio termico), dunque ha i suoi bravi parametri di stato comeun gas. Inoltre ha unenergia interna, fa lavoro, ha unentropia come un qualsiasisistema termodinamico. Secondo Planck, il sistema della radiazione nella cavit un sistema termodinamico con lo stesso buon diritto di un recipiente pieno di gas.Nelluno e nellaltro caso una conoscenza dettagliata (conoscere, cio, i campi adogni istante ed ogni punto) non ha senso, come non ha senso tentare di conoscereposizione e velocit di ogni molecola di gas. Ci che, evidentemente, ci interessa conoscere le funzioni globali che definiscono lo stato macroscopico del sistema.Nel caso della nostra cavit, basta conoscere u (o K o ). Concettualmente,

dunque, la quantizzazione, cio lintroduzione del quanto di luce o fotone moltovicina. Introdotto il fotone, dovremo per forza introdurre lequivalente della di-stribuzione di Boltzmann, cio una distribuzione in energia che data la relazionetra frequenza ed energia risulta in effetti una distribuzione di frequenza: quella delcorpo nero! Dunque il corpo nero un contenitore pieno di un gas di fotoni cui sipossono applicare tutti i concetti usati per un gas ordinario.

12. Alcune applicazioni

Uninteressante applicazione della teoria del corpo nero si ha nello studio del So-le. Si gi notato che lo studio dello spettro dirraggiamento di un corpo pu es-sere utilizzato per misurarne la temperatura: perch non applicare lo stesso princi-

pio al Sole? Si pu, in effetti, ricavare uno spettro demissione del Sole

e verifi-care che esso uno spettro di corpo nero corrispondente alla temperatura di 60000K, che risulta cos la temperatura superficiale solare. Tale temperatura di moltoinferiore a quella presente allinterno del Sole dove si arriva fino a 15 milioni di

Per i dati dello spettro solare, uno spettro demissione del Sole si trova nellEnciclopediaBritannica su CD-ROM.


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gradi Kelvin. Dal valore della temperatura superficiale, usando la legge di Wien,risulta che il massimo dellirraggiamento avviene per nm504= .La costante solareJ il valore dellenergia solare che arriva su un metro quadratoal secondo. Risulta: 2/373,1 mkWJ= . Poich la distanza TerraSole pari a 150milioni di km, il nostro metro quadrato si trova su una sfera di tale raggio e dun-que si pu facilmente calcolare lenergia totale irraggiata dal Sole al secondo:

WRJL 262 1083,34 == . Noto del resto il raggio del Sole, si pu calcolarelenergia irraggiata per unit di superficie e per secondo:

272

/103,64

mWR

L

S

==

. Evidentemente, se il Sole irraggia come un corpo

nero, deve valere la legge di StefanBoltzmann e dunque deve essere4028274 /1067,5103,6 TKWmWmT == . Se ne deduce un valore

della temperatura superficiale pari a KT 05773= , di poco diversa da quella otte-nuta prima: evidentemente il Sole non un perfetto corpo nero. Comunque, notalenergia emessa da una stella per unit di tempo e di superficie, noti la sua di-stanza sR ed il suo raggio R , si pu calcolare la temperatura superficiale di tale

stella, dalla relazione: 42)( ss

TR

RL = .

Unaltra importante applicazione della teoria del corpo nero si ha nella cosmolo-gia standard (Modello Standard). Come si gi studiato nel Cap. 4, lUniverso nato da una esplosione iniziale, sulla cui origine esistono varie teorie e molte in-certezze. Lesplosione primitiva avrebbe prodotto una quantit enorme di radia-zione elettromagnetica che si espansa in ogni direzione in modo isotropo. Pre-sumibilmente questa radiazione aveva la distribuzione di frequenza, e dunque dienergia, del corpo nero, essendo lintero Universo la cavit di questo corpo nero.

Questa costante ed il suo valore sono rilevanti anche in tutti quei progetti che vogliono

usare la luce del Sole per il riscaldamento di abitazioni, per produrre energia elettrica,ecc...Che con lespandersi delluniverso, la radiazione mantenga una distribuzione in frequen-za uguale a quella del corpo nero , per esempio, dimostrato nel libro divulgativo di SteveWeinberg,I primi tre minuti (Oscar Mondadori), libro la cui lettura consigliamo allo stu-dioso lettore. Profittiamo di questa nota per scrivere una seconda equazione di Friedmannche si ottiene derivando la prima (vedi pag. 172) e facendo uso della relazione termodina-

ca: )()( 332 apdpdVacddU ===


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Con lespandersi dellUniverso verso le dimensioni attuali, la temperatura di pic-co della radiazione si abbassata fino ai circa 3 Kattuali, esattamente come ac-cadrebbe ad un gas di fotoni il cui contenitore venisse espanso. Dunque la tempe-ratura del fondo di radiazione cala con il fattore di scala.Se questo modello giusto, occorre:

1. Trovare il fondo cosmico di radiazione2. Calcolarne e poi misurarne la temperatura attuale3. Verificarne luniformit e lisotropia

Per quanto riguarda il fondo, la sua esistenza stata provata sperimentalmente daArno A. Penzias e Robert W. Wilson dei Bell Telephone Laboratories nel 1965.La temperatura misurata fu di circa 3K. Misure precise dellisotropia sono stateeffettuate grazie al satellite artificiale COBE (Cosmological Background Explo-rer) lanciato dalla NASA nel 1989, Lisotropia, misurata attraverso la variazione

locale della temperatura nelle varie direzioni, risult: 510

T

T. Trisult pari a

004,0728,2 K.

Lisotropia del fondo di radiazione cosmica giustifica il principio cosmologico,cio lipotesi che il cosmo sia omogeneo ed isotropo. Questo principio alla basedel Modello Standard in cosmologia perch conduce ad una forma ben precisadella metrica..Un problema del modello standard quello dellomogeneit della radiazione vista

da un punto P . Il disegno in basso mostra il problema che, con altri, ha portato aformulare le teorie inflazionistiche dellespansione delluniverso.I coni 1C (tratto due punti) e 2C (tratto punto) del passato di A e B rispet-tivamente non si incontrano per 0t

>

, per conseguenza la radiazione invia-ta da questi due punti a P non si mai equalizzata, eppure la radiazionevista in P omogenea indipendentemente dalla direzione e dalla posizionenel cielo.Lellisse solida vicino allorigine indica lestensione delluniverso al mo-mento in cui esso diventa trasparente alla radiazione. I due coni solidi indi-cano lestensione delluniverso al tempo t .

ac

pGa

aac

pGaaG

dt

ad

c

p

a

Gaa

a

G

dt

ad

a

Gaa

)3

(3

4

)3

(3

8

3

8)(

3

8

3

8)(

3

82

2

2

3

23

2

3

+=

+===


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In sostanza, quanto detto rende incomprensibile lomogeneit delluniverso(problema dellorizzonte) . Da un altro punto di vista, per, luniverso non assolutamente uniforme e le disuniformit devono rendere conto dellaformazione delle galassie che sono, appunto, delle disuniformit nella di-stribuzione della materia nelluniverso (problema dellomogeneit). In piil fatto che 0 1= fa porre la domanda del come mai luniverso sia piatto(problema della piattezza).Questi tre problemi hanno fatto sorgere un modello detto inflazionistico,che prevede una crescita esponenziale delluniverso per un breve periododi tempo appena dopo il big bang. La crescita esponenziale va per com-presa in termini di una interazione diversa da quella attrattiva gravitaziona-le, introducendo elementi nuovi. Unevoluzione esponenziale delluniversoprimitivo pu spiegare invece i tre problemi. Vediamo come.Come si vede dalla figura, con una espansione con velocit superiore aquella della luce, si pu avere un universo puntiforme inizialmente, ciouniforme, anche se i coni del passato di A e B non si intersecano. Questorisolve il problema dellorizzonte.Riprendiamo lespressione del cap. 4 del primo corso:

2 20 0

4 1( )

3 2E m G H R

che si riscrive: 20 0 28 2

3

EH G

mR

che vale ad

ogni istante e si pu riscrivere: 2 28 2( ) ( )3 ( )EH t G t

mr t

ovvero:

2 2 2

8 21 ( )

3 ( ) ( ) ( )

EG t

H t mH t r t

e ricordando lespressione della densit cri-

tica, si ha:2 2

21 ( )

( ) ( )

Et

mH t r t =

. Durante lespansione inflazionistica il

raggio cresce di un fattore enorme e, qualunque sia il valore iniziale di ,esso tende a 1. Questo risolve il problema della piattezza.


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1C

2C

ct

Y

X

P

B

A


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Al capitolo 4 del precedente corso abbiamo trovato lequazione:

3 30

0 2 2

4 4 40 0 ( ) ( )

3 3 3

R rG r G r r G t r t

r r =

=

=

. In cui

la densi-

t di materia e possiamo riscriverla nella forma:2

4( )

3

Gr ur t

c

=

, con u den-

sit di energia. Questa equazione determina levoluzione temporale delledimensioni delluniverso e conduce ai tre problemi di cui sopra.

1C

2C

3. Verso La Meccanica Quantistica

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