Problemi Di Meccanica Quantistica(Alabiso,Chiesa)

Problemi di Meccanica Quantistica

Carlo Alabiso

Alessandro Chiesa

Dipartimento di FisicaUniversita di Parma

[email protected]

1

INDICE: Problemi/Soluzioni/Svolgimenti

Capp. 1/12/23 EQUAZIONE DI SCHRODINGER

IN UNA DIMENSIONE Pgg. 1 / 71 / 109

Capp. 2/13/24 EQUAZIONE DI SCHRODINGER

IN DUE E TRE DIMENSIONE Pgg. 9 / 75 / 135

Capp. 3/14/25 OSCILLATORE ARMONICO Pgg. 15 / 79 / 159

Capp. 4/15/26 DELTA DI DIRAC Pgg. 19 / 81 / 173.

Capp. 5/16/27 PERTURBAZIONI INDIPENDENTI

DAL TEMPO Pgg. 23 / 83 / 189

Capp. 6/17/28 CALCOLO VARIAZIONALE Pgg. 35 / 89 / 241

Capp. 7/18/29 EVOLUZIONE TEMPORALE Pgg. 39 / 91 / 253

Capp. 8/19/30 PERTURBAZIONI DIPENDENTI

DAL TEMPO Pgg. 49 / 95 / 291

Capp. 9/20/31 MOMENTO ANGOLARE E SPIN Pgg. 53 / 97 / 301

Capp. 10/21/32 MOLTE PARTICELLE Pgg. 59 / 101 / 345

Capp. 11/22/33 ARGOMENTI VARI Pgg. 63 / 105 / 349

2

Cap. 34 APPENDICI Pg. 377

A1 - Evoluzione libera della Gaussiana, 377.

A2 - Oscillatore Armonico e polinomi di Hermite, 378.

A3 - Potenziali Centrali e Coordinate Polari, 379.

A4 - Armoniche Sferiche e Polinomi di Legendre, 380.

A5 - Particella Libera in tre Dimensioni e Funzioni di Bessel, 382.

A6 - Potenziale Idrogenoide e Polinomi di Laguerre, 384.

A7 - Polinomi Ortogonali, 387.

A8 - Equazioni Differenziali Fuchsiane, 389.

A9 - Funzioni Ipergeometriche, 389.

A10 - Funzioni Ipergeometriche Confluenti, 391.

A11- Delta di Dirac, 393.

A12- Integrali Gaussiani, 394.

A13- Integrali per Atomi a piu Elettroni, 394.

A14- Rappresentazione dei Momenti Angolari, 397.

A15- Composizione Momenti Angolari, 399.

A16- Lo spettro degli Operatori Autoaggiunti, 402.

A17- Autofunzioni Improprie e Funzionali Lineari Limitati, 405.

A18- Costanti, 409.

CAPITOLO 1

Equazione di Schrodinger in una dimensione. Problemi.

0 a−a

1.1) Una particella monodimensionale si muove in

un potenziale nullo per −a < x < a e infinito

altrove. La sua funzione d’onda a un certo istante

e data da:

ψ = (5a)−1/2 cosπx

2a+ 2(5a)−1/2 sin

πx

a.

Quali sono i possibili risultati di una misura

dell’energia e quali le relative probabilita?

Quale e la forma della funzione d’onda

immediatamente dopo una tale misura?

Se l’energia e immediatamente rimisurata, quali sono le probabilita relative ai possibili

risultati?

0 a

V0

1.2) Una particella si muove in una dimensione

soggetta al potenziale:

V =

∞ x ≤ 0

0 0 < x < a

V0 > 0 a < x .

Trovare l’equazione trascendente cui deve soddis-

fare l’energia degli stati legati.

0

1.3) Sia data una particella in una buca

monodimensionale pari, del tipo disegnato

in figura. Supposto che esistano almeno

tre stati legati, disegnare qualitativamente

le funzioni d’onda dello stato fondamentale,

dei primi due stati eccitati e di un generico

stato del continuo.

1

2 1. EQUAZIONE DI SCHRODINGER IN UNA DIMENSIONE. PROBLEMI.

V(x) V(x)

L

1.4) Per una barriera di potenziale V (x) sono

note le ampiezze di riflessione e di trasmissione

ρ(k), τ(k).Discutere l’effetto tunnel nel caso di

due barriere V (x) poste a distanza L .

0 a a+b

V1

−V0

1.5) Si consideri il seguente potenziale (costante

a tratti):

V =

∞ x ≤ 0

−V0 0 < x < a

V1 a < x < a+b

0 a + b < x ,

dove tutte le costanti V0, V1, a, b sono positive.

i) Descrivere qualitativamente lo spettro

dell’Hamiltoniana H = p2/2µ+ V (x).

Discutere il caso limite V1 → ∞ .

ii) Risolvere l’equazione di Schrodinger agli stati stazionari e ricavare una equazione trascen-

dente cui soddisfano gli autovalori dell’energia.

iii) Attraverso considerazioni semiclassiche (WKB) ottenere una condizione approssimata

per l’esistenza di almeno uno stato legato per a = 1.0A e µ = 0.511MeV/c2 . (Si

rammenti che ~c ∼ 197MeVfm ).

0

1.6) Sia data una particella monodimensionale di massa

µ immersa nel potenziale:

V =

∞ x ≤ 0

−λx

0 < x .

Determinare autovalori e autofunzioni con il metodo

dello sviluppo in serie.(Posto k =

√−2µW/~ , x0 = ~2/(λµ) , b = 1/(kx0),

ξ = 2kx , sviluppare in serie la funzione u(aξ)

definita da ψ(x) = Ae−ξ/2u(ξ) , con A costante di normalizzazione.)

1.7) Discutere sia qualitativamente che quantitativamente lo spettro discreto del potenziale:

V (x) = −V0 e−|x|/a , con V0 e a costanti reali positive. (Cfr. il 1.8).

1. EQUAZIONE DI SCHRODINGER IN UNA DIMENSIONE. PROBLEMI. 3

0

−V0

1.8) Trovare l’energia e la funzione d’on-

da dello stato fondamentale di una particella

monodimensionale immersa nel campo:

V (x) = −V0e−|x|/a

Studiare in particolare il caso di una buca con

µa2V0/~2 1, sfruttando la relazione:

J ′ν(λ) ≈ ν

2Γ(ν + 1)(λ/2)ν−1 − 1

Γ(ν + 2)(λ/2)ν+1 λ 1. (Cfr. A-S 9.1.7 e 9.1.27).

0

1.9) Determinare (implicitamente) autovalori

e autofunzioni di una particella soggetta

al potenziale:

V =

−λx x ≤ 0

1/2 µω2x2 0 ≤ x .

0 a b−a−b

V1

−V0

1.10) Una particella si muove in una dimensione sotto

l’azione di forze aventi energia potenziale:

V =

V1 |x| < a

−V0 a < |x| < b

0 b < |x| ,

con a, b, V0, V1 costanti positive. Si discutano le proprieta qualitative dello spettro di ener-

gia. Si trovi l’equazione che determina lo spettro per gli stati a parita −1, cioe tali che la

relativa autofunzione soddisfi ψ(−x) = −ψ(x).

a0

WV

0

1.11) Una particella di massa µ = 0.5 MeV/c2

con energia W = 1 eV incide su una barriera di

potenziale di altezza V0 = 2 eV. Quanto deve

essere larga la barriera affinche la probabilita di

trasmissione sia pari a 10−3 ?[Per ottenere una probabilita cosı piccola, la barriera

deve essere molto larga, e dunque si puo considerare una riflessione quasi totale al primo

gradino, seguita da un ordinario fenomeno di riflessione e trasmissione al secondo.]


0 L 2L 3L 4L 5L

V0

1.12) Consideriamo il seguente potenziale semiperi-

odico, cioe periodico a destra con barriera infinita

all’origine:

V =

∞ x ≤ 0

0 2nL < x < (2n+ 1)L

V0 (2n+ 1)L < x < (2n+ 2)L

con L e V0 costanti positive, e n = 0, 1, 2, ... .

Dimostrare che esistono stati legati con

energia W per la particella quantistica

in corrispondenza alle soluzioni dell’equazione: k cot(kL) = −χ coth(χL) , dove

k =√

2µW/~ e χ =√

2µ(V0 −W )/~ . Discutere il problema degli autovalori dell’energia

nel caso in cui le barriere di potenziale V0 siano in numero finito, ossia V (x) = 0 per

x > 2NL , per qualche N intero positivo. [Per il primo quesito, provare a imporre la

condizione ψ(2L) = 0 ; giustificare questa ulteriore condizione sulla funzione d’onda in

base alla teoria dei potenziali periodici.]

0

V0

a

1.13) Determinare il coefficiente di trasmissione di

una barriera di potenziale della forma:

V =

0 x < 0

V0 (1 − x

a) 0 < x ,

con V0 > 0 e a > 0 .

[ Operare la sostituzione: y = ( 2µV0/(a~2) )1/3 ( x− a+ a W/V0 ) ] .

0 a b−a−b

V0


sotto l’azione di forze aventi energia potenziale:

V =

V0 |x| < a

0 a < |x| < b

+∞ b ≤ |x| ,

con a, b, V0 costanti positive.

Si trovi l’equazione che determina lo spettro,

tenendo conto della simmetria del potenziale.

Assumendo che la funzione d’onda iniziale sia:

ψ0(x) = (b− x)(x− a) per a < x < b , e

ψ0 = 0 altrove, si discuta qualitativamente l’evoluzione temporale della funzione d’onda.


0

1.15) Una pallina di massa µ soggetta solo al proprio

peso rimbalza sul pavimento in modo perfettamente

elastico.

V (z) = g µ z .

Trascurando le oscillazioni sul piano xy ,

calcolare l’energia dello stato fondamentale quantistico.

0 a−a

1.16) Si valuti la probabilita |τ(k)|2 di

trasmissione di una barriera di potenziale

definita da:

V =

λ(x2 − a2)2 |x| ≤ a

0 a ≤ |x| ,

nell’approssimazione di Born, cioe per |λ|sufficientemente piccolo.

Si discuta quale sia la scala di riferimento

per λ, cioe cosa significa “λ piccolo”.

0 a b

V1


sotto l’azione del potenziale:

V =

+∞ x ≤ 0

V1 0 < x < a

0 a < x < b

+∞ b ≤ x ,

con a, b, V1 costanti positive. Si trovi

l’equazione che determina lo spettro di energia.

Assumendo che la funzione d’onda iniziale sia: ψ0(x) = (b− x)(x− a) per a < x < b e

ψ0 = 0 altrove, si discuta qualitativamente l’evoluzione temporale della funzione d’onda.

Se la particella si trova nello stato fondamentale, e si conosce l’espressione esatta del suo

autovalore, si trovi una formula per la probabilita di trovarla nell’intervallo 0 < x < a .


01.18) Per un certo sistema, l’Equazione di Schrodinger

in una dimensione ha la forma:

(− d2

dx2− 2 sech2x) ψ = Wψ , ~ = 1, µ =

1

2.

- Provare che: ψ = exp[ikx] (tanh x+c) e soluzione per

un particolare valore della costante.

- Utilizzare questa soluzione per calcolare i coefficienti

di riflessione e trasmissione e la matrice S per questo problema.

- Anche la funzione d’onda ψ = sech x soddisfa tale equazione. Calcolare l’energia del

corrispondente stato legato, e dare a semplice argomento per ipotizzare che questo sia lo

stato fondamentale.

- Come si poteva procedere per valutare l’energia dello stato fondamentale nel caso non si

conoscesse l’autofunzione?

0 a−a

1.19) Calcolare livelli energetici ed autofunzioni di

una particella di massa µ in moto nel potenziale

V (x) = V0 (a/x− x/a)2 . Che legame esiste

tra lo spettro di questo sistema e quello di un

oscillatore armonico bidimensionale isotropo?

1.20) Sia data una particella monodimensionale

immersa in un potenziale di Morse:

V (x) = V0 exp(−2x/a) − 2 exp(−x/a) .

Determinare autovalori e autofunzioni.[Introdurre

la nuova variabile y = 2√

2µa2V0 /~ exp(−x/a) ,

e isolare i comportamenti asintotici, operando la

sostituzione: ψ = exp(−y/2) yβφ(y) , con

β =√−2µa2W /~ , e W l’autovalore.

]

0

V0

W1.21) Un fascio di particelle di massa µ

ed energia W e immerso in un potenziale a

gradino di altezza V0 < W , e proviene da sinistra.

a) Valutare la frazione di particelle riflessa.

b) Mostrare che la somma dei flussi delle particelle

riflesse e trasmesse e uguale al flusso delle

particelle incidenti.


x0

V0

1.22) Determinare i coefficienti di trasmissione e

riflessione per un potenziale della forma:

V (x) = V0/[1+ exp(−x/a)] , V0 > 0 , a > 0 .

[Operare le sostituzioni di variabile e funzione:

ψ(z) = z−ik1a w(z) , z = − exp[−x/a] ,

k1 =√

2µ(W − V0)/~2 .]

1.23) Una particella si muove in una dimensione soggetta al potenziale:

V (x) =

∞ x < 0

0 0 ≤ x ≤ a

V0 > 0 x > a .

a) Data l’equazione trascendente cui deve soddisfare l’energia degli stati legati (vedi 1.2)),

discutere i valori possibili dell’energia, e determinare le autofunzioni normalizzate.

b) Per una particella proveniente da destra con energia W > V0 , determinare lo sfasamento

tra l’onda entrante da destra e quella uscente.

a0

W

V0

1.24) Determinare il coefficiente di trasmissione

attraverso la barriera:

V (x) =

0 x < 0 , x > a

V0 0 < x < a .

In particolare, discutere i casi:

i) W V0 ; ii) (V0 −W ) µa2/~2 1 .

iii) W → 0 , ovvero W µa2V 20 /~

2 e W V0 .

iv) µa2V 20 /~

2 1 e µa2W 2/~2 1 .

1.25) Data una buca quadrata, con V = 0 per |x| > b e V = −V0 per |x| < b ,

valutare interamente, a meno della normalizzazione, la funzione d’onda pari dello spettro

continuo. Mostrare che all’interno della buca le frequenze di oscillazione sono maggiori,

mentre i valori massimi sono inferiori.

CAPITOLO 2

Equazione di Schrodinger in due e tre dimensioni. Problemi.

0 a

−V0

r

2.1) Sia data la buca sferica, ovvero una particella

tridimensionale soggetta al potenziale:

V =

−V0 0 ≤ r < a

0 a < r .

Scrivere l’equazione trascendente che determina

gli autovalori dell’energia, in particolare per

l = 0 e per l = 1 . In questi due casi, individuare

le condizioni che determinano l’esistenza di n

stati legati.

a

2.2) Una particella bidimensionale si muove lib-

era entro un cerchio, soggetta cioe a un potenziale

bidimensionale a uguale a zero per ρ < a e in-

finito altrove. Il laplaciano in coordinate polari e

dato da:

∇2 =1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂

∂ρ

)+

1

ρ2

∂2

∂φ2.

i) Ricavare l’equazione per la funzione radiale

R(r) con r =√

2µW/~2 ρ .

ii) Nel caso di autovalore zero per l’operatore angolare, mostrare che R =∑∞

k=0 ck rk

con ck = 0 se k e dispari e ck+2 = −ck/(k + 2)2 se k e pari.

iii) Dato che il primo zero della funzione R(r) si trova a r = 2.405 , trovare una espressione

per l’energia dello stato fondamentale del sistema.

2.3) Si consideri un atomo di idrogeno in due dimensioni immerso in un campo magneti-

co trasversale B. Adottando coordinate polari nel piano (r, φ) con momenti coniugati

(pr, pφ) , determinare i livelli energetici con il metodo di Bohr-Sommerfeld nel limite di

campo debole, trascurando cioe il termine quadratico in B .

9

10 2. EQUAZIONE DI SCHRODINGER IN DUE E TRE DIMENSIONI. PROBLEMI.

•

2.4) Una particella di massa µ puo ruotare in un

piano attorno a un punto fisso, collegata a questo

tramite un’asta senza massa di lunghezza λ .

Valutare autovalori e autofunzioni del sistema.

0

−V0

r

2.5) Trovare i livelli energetici dello stato s di una

particella tridimensionale nel campo:

V (r) = −V0 e−r/a .

Valutare la condizione di esistenza di almeno uno stato

legato. Valutare il numero di altri stati legati in onda

s in funzione di V0 . In particolare, per V0 1 .

[ Suggerimento: operare il cambio di variabile

ρ = λ e−r/2a , con un λ opportuno.]

B

ρa ρ

b

2.6) Una particella di massa µ e carica elettrica

−e e soggetta a un potenziale

V =

0 ρa <

√x2 + y2 < ρb

+∞ altrove .

Solo nel cilindro piu interno agisce un campo

magnetico uniforme e costante nel tempo di

intensita B e direzione z . Scrivere l’equazione di

Schrodinger in coordinate cilindriche e separare le variabili. Dimostrare che esiste un valore

B tale che per B = nB , n = 1, 2, ..., il campo B non altera lo spettro della particella.

(Vedi Olariu S. e Popescu I.I.: Rev. Mod. Phys. 57, 339(1985).)

0

2.7) Calcolare lo spettro di energia

di un atomo di idrogeno perturbato con

una interazione V = βr−2 , con

β costante positiva.

2. EQUAZIONE DI SCHRODINGER IN DUE E TRE DIMENSIONI. PROBLEMI. 11

2.8) Una particella di massa µ = 10−24gr in una buca a simmetria sferica di profondita

−V0 e raggio a = 1.29 10−13cm , si trova in uno stato legato di momento angolare l = 0

ed energia W = −1.Mev . Calcolare V0 e dire se lo stato legato e l’unico all’interno della

buca. (Sviluppare in serie al primo ordine le funzioni circolari.)

2.9) Una particella e descritta dalla Hamiltoniana H = λ√

p · p + 1/2 K q · q con

λ,K costanti positive. Discutere la dinamica del sistema secondo la meccanica classica.

Impostare il problema in meccanica quantistica, e valutare esplicitamente lo stato fonda-

mentale, sia esattamente che applicando una conveniente approssimazione all’equazione

iterata. (Nel primo caso, quantizzare qk, pk nel modo opposto all’usuale.)

2.10) Determinare i livelli energetici discreti di una particella bidimensionale nel potenziale

centrale V (ρ) = −α/ρ . Determinare la loro degenerazione e confrontarla con quella del

caso Coulombiano.

2.11) Data una particella tridimensionale nella buca sferica:

V (x) =

−V0 0 < r < a

0 a < r .

determinare qualitativamente le condizioni sufficienti sotto le quali non esistono stati legati

di momento angolare l .

0 r

2.12) Determinare autovalori e autofunzioni di una

particella tridimensionale di massa µ immersa nel

pozzo sferico:

V (x) =

0 0 < r < a

∞ a < r .

Calcolare il valore numerico approssimato per i due

autovalori piu bassi nel caso di a = 10−8cm .

A

c

ρb

2.13) Un elettrone e confinato in una regione cilin-

drica di lunghezza c e raggio di base ρb . Il

campo elettrico interno al cilindro e nullo; e pre-

sente invece un campo magnetico di cui si conosce

il potenziale:

A =(− F y

x2 + y2,

F x

x2 + y2, 0

),


dove F e una costante. Determinare le dimensioni fisiche di F . Scrivere l’Hamiltoniana

dell’elettrone e discutere la natura dello spettro.

2.14) Una particella di massa µ e carica e si trova immersa in un campo elettromagnetico

i cui potenziali vettore e scalare sono espressi in coordinate cartesiane da:

A =

(ax− by

x2 + y2,ay + bx

x2 + y2, 0

)V (x, y, z) =

1

2µω2(x2 + y2 + z2) +

β2

x2 + y2.

Si determini la Lagrangiana e la Hamiltoniana della particella secondo la meccanica clas-

sica. Si cerchi la forma piu conveniente di entrambe le funzioni attraverso un’appropriata

trasformazione di gauge. Valutare lo spettro di energia sulla base della quantizzazione alla

Bohr-Sommerfeld, e dell’Equazione di Schrodinger.

2.15) Una particella di massa µ si muove su un piano sotto l’azione di una forza avente

energia potenziale (con V0, a costanti reali positive):

V (r, ϕ) =

0 0 < r < a , |ϕ| < π/2 Discutere lo spettro dell’energia con

V0/r2 0 < r < a, π/2 < |ϕ| ≤ π l’equazione di Schrodinger, oppure

∞ a < r con la quantizzazione di Bohr.

0 π/2 π−π/2−π

V0

φ0

ar

2.16) Determinare gli stati stazionari di una

particella bidimensionale immersa in un pozzo

circolare (vedi fig. 2.2). Valutare esplicitamente

i primi due autovalori dell’energia.

V (x) =

0 0 < ρ < a

∞ a < ρ .

2.17) Un atomo di idrogeno e sottoposto a una perturbazione dovuta a un campo magnetico

statico avente potenziale vettore:

A =1

2B r2

0

(− y

r2,x

r2, 0

), r =

√x2 + y2 + z2 ,

essendo B e una costante che caratterizza l’intensita del campo magnetico e r0 il raggio

di Bohr. Trascurando i termini in B2 , valutare autovalori e autofunzioni.


2.18) Un elettrone si muove al di sopra di un conduttore infinito impenetrabile. Esso e

attratto dalla sua carica immagine, per cui classicamente rimbalza elasticamente sul piano.

Scrivere l’equazione di Schrodinger per l’elettrone e valutarne autovalori e autofunzioni,

trascurando gli effetti inerziali della carica immagine.

y

x

0 x

y

z

e (x,y,z)

e (x,−y,z)

2.19) Trovare autovalori e autofunzioni di una particella carica senza spin, immersa in un

campo magnetico uniforme B .

2.20) Una particella di massa µ si muove libera tra due sfere rigide concentriche di

raggi r = a e r = b . Trovare autovalore e autovettore normalizzati relativi allo stato

fondamentale.

2.21) Si consideri una particella carica vincolata a muoversi senza attrito su di una sfera

di raggio R e immersa in un campo magnetico uniforme e costante B. Si determini l’e-

spressione dell’energia in funzione delle variabili di azione Jϑ e Jϕ e quindi si trovi lo

spettro di energia della particella secondo le regole di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld.

Si trascurino termini quadratici nel campo B. Quale e il valore caratteristico del campo

per cui l’approssimazione si puo considerare valida?

2.22) Si consideri l’Hamiltoniana dell’atomo di idrogeno cui si e aggiunta un potenziale

inversamente proporzionale a sin2 ϑ :

H =p 2

2µe− e2

r+

~2β2

2µe r2 sin2 ϑ.

Si determini lo spettro dell’energia in approssimazione semiclassica, e mediante l’Equazione

di Schrodinger.

2.23) Nel modello di Yukawa due nucleoni di massa M = 940Mev/c2 si attraggono tramite

lo scambio di un mesone virtuale di massa mπ = 140 Mev/c2 , simulato dal potenziale

non relativistico:

V (r) = −g2

de−r/d con d =

~

mπc.


Mediante il cambio di variabile x = α e−βr e una scelta opportuna dei parametri α e

β , mostrare che l’equazione radiale di Schrodinger con l = 0 si riduce a una equazione

di Bessel. Supponendo che questo sistema abbia un solo stato legato di energia 2.2 Mev ,

determinare graficamente g2/~c tramite le curve accluse delle 11 funzioni di Bessel Jν(x)

per ν = 0, 0.1, 0.2, ..., 0.9, 1 . Quale deve essere il valore minimo di g2/~c per avere due

stati legati a l = 0 ? Utilizzare il grafico seguente.

Jν(x)

ν=0 ν=1

0x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011| | | | | | | | | | |

2.24) Una particella e confinata in una scatola rigida di lunghezza a . i) Scrivere l’auto-

funzione corrispondente allo stato di minima energia. ii) Dare un valore approssimato del

numero N di stati aventi energia minore di un valore W fissato, nell’ipotesi di N 1 .

[ Sfruttare un’analogia geometrica. ]

0 a

−λ/r3

2.25) Trovare le condizioni di esistenza di almeno

uno stato legato per una particella tridimensionale

soggetta al potenziale:

V (r) =

∞ r < a

−λ/rn r ≥ a , n > 2 .

Si tratta di un potenziale realistico, con una

parte attrattiva a corto raggio al di fuori di

un core repulsivo rigido. [Operare le sostituzioni:

y(r) = rR(r) , ν = 1/(n−2) , β = 2ν√

2µλ/~2 ,

ρ = β r−1/2ν , y(ρ) = ρ−ν w(ρ) .]


2.26) Un oscillatore bidimensionale isotropo si trova nello stato ψ11(x, y) relativo all’au-

tovalore dell’energia W2 = 3 ~ω . Trovare i possibili valori di una misura del momento

angolare M = −i~ ∂/∂ϕ , e relative probabilita . (Cfr. 2.4)).

CAPITOLO 3

Oscillatore Armonico. Problemi.

3.1) Data l’Hamiltoniana dell’oscillatore lineare armonico, l’operatore a :

H =1

2µ(p2 + µ2ω2x2) a =

√µω

2~x+

i√2µω~

p ,

e il suo aggiunto a† , l’Hamiltoniana si puo riscrivere H = ~ ω (N +1/2) , con N = a†a .

Indichiamo con | n 〉 (n = 0, 1, 2, ...) gli autostati ortonormali di N e H per i quali

N | n 〉 = n | n 〉 , H | n 〉 = ~ω (n+ 1/2) | n 〉 .

i) Verificare la regola di commutazione [a, a†] = 1.

ii) Verificare che a e a† sono degli operatori di distruzione e di creazione con

a | n 〉 =√n | n− 1 〉 e a† | n 〉 =

√n+ 1 |n+ 1 〉 .

iii) Verificare che lo stato (detto stato coerente)

| α 〉 = exp[−1

2|α|2 ]

∞∑

n=0

αn

√n!

| n 〉,

con α costante complessa, e normalizzato ed e autostato di a con autovalore α.

iv) Calcolare 〈 α | β 〉, osservando che i due autostati non sono ortogonali.

v) Sullo stato | α 〉 calcolare il valore di aspettazione dell’energia e gli scarti quadratici

medi ∆x e ∆p di posizione e momento, verificando che lo stato | α 〉 e a indeterminazione

minima.

vi) Mostrare che, nella rappresentazione delle x , lo stato α e una gaussiana.

3.2) Determinare i livelli energetici dell’Hamiltoniana:

H = ~ω (a†1a1 + a†2a2) + λ (a†1a2 + a†2a1) .

Cosa si deve imporre a λ affinche H abbia solo autovalori positivi.

3.3) Due oscillatori armonici monodimensionali di massa µ = 1 e frequenza ω1 e ω2

sono accoppiati tramite il potenziale V = gx1x2 . Calcolare lo spettro del sistema.

3.4) Sia data una particella monodimensionale di carica e e massa µ soggetta a un

potenziale V (x) = 1/2 Kx2 e a un campo elettrico E diretto nel verso positivo x.

Determinare autovalori e autovettori dell’Hamiltoniana e i valori medi 〈x〉n, 〈x2〉n , 〈p〉n, 〈p2〉n ,

valutati sugli autovettori.

17

18 3. OSCILLATORE ARMONICO. PROBLEMI.

0−a a

−Fa

Fa

| |

_

_

3.5) A un oscillatore armonico monodimension-

ale e sovrapposto un potenziale continuo, lineare

nell’intervallo (−a, a) e costante altrove:

H = p2/2µ+ k/2 x2 + V (x)

V (x) =

−Fa x < −aFx |x| < a

Fa x > a

F costante .

Si valuti la variazione degli autovalori dell’energia rispetto allo spettro dell’oscillatore puro,

prendendo in esame eventualmente qualche caso limite dei parametri a e F .

3.6) Risolvere l’oscillatore armonico tridimensionale isotropo in coordinate cartesiane, cilin-

driche e sferiche, controllando che le degenerazioni coincidano.

3.7) Un oscillatore armonico bidimensionale isotropo e soggetto a una perturbazione rapp-

resentata dall’operatore: V = λ (a†1a2 + a†2a1) . Se lo stato del sistema al tempo t = 0 e

dato da | 1, 0 〉 , calcolare lo stato al tempo t > 0 . (Si intende con |m,n 〉 la base degli

autostati dell’Hamiltoniana imperturbata.)

3.8) Trovare i primi autovalori dell’operatore:

H = a†1a1 + 2 a†2a2 + λ a†21 a2 + λ∗ a†2a21

3.9) Si discuta il problema agli autovalori per l’Hamiltoniana:

H = a†1a1 + a†2a2 + λ(a†21 a

22 + a†22 a

21

).

3.10) Si determini lo spettro dell’Hamiltoniana:

H = a†1a1 + a†2a2 + a†3a3 + λ(A + A†

), A = a†1a2 + a†2a3 + a†3a1 ,

con a1, a2, a3 commutanti tra loro. Si puo utilizzare la teoria delle perturbazioni

(degeneri), che pero fornisce la soluzione esatta, ottenibile da nuovi operatori diagonali.

3.11) Una particella tridimensionale di massa µ e carica elettrica e e soggetta a un

potenziale di oscillatore armonico isotropo, V = 1/2 k r2 . Quali sono i livelli energetici e

le loro degenerazioni?(Vedi il 3.6

). Se si applica un campo elettrico uniforme, quali sono

i nuovi livelli energetici e quali le loro degenerazioni? Se si applica un campo magnetico

uniforme, quali sono i nuovi livelli energetici e quali le loro degenerazioni? In questo caso,

non trascurare il termine quadratico e utilizzare coordinate cilindriche.(Vedi il 2.6

).

3. OSCILLATORE ARMONICO. PROBLEMI. 19

3.12) Trovare gli autovalori dell’energia di una particella di massa µ soggetta al potenziale:

V = A(x2 + y2 + 2αxy

)+B

(z2 + 2βz

)A,B > 0 |α| < 1 β qualsiasi .

[Passare alle nuove variabili: ξ = (x+ y)/

√2 , η = (x− y)/

√2 , z = z .

]

3.13) Una particella monodimensionale di massa µ e soggetta a un potenziale V (x) , e si

trova in un autostato dell’energia

ψ(x) =(β2/π

)1/4exp [−1

2β2x2] W = ~2β2/2µ .

Valutare le seguenti quantita: a) il valor medio della posizione, b) il valor medio del mo-

mento, c) il potenziale V (x) , d) la probabilita P (p)dp che il momento della particella

sia compreso tra p e p+ dp .

3.14) L’Hamiltoniana di un oscillatore armonico in unita adimensionali (µ = ~ = ω = 1) e

il seguente: H = a†a+ 1/2 con a† =√

1/2 (x− ip) , a =√

1/2 (x + ip) . Controllare

esplicitamente che la funzione ψ = (2x3 − 3x) exp[−x2/2] , e una sua autofunzione non

normalizzata, valutandone contemporaneamente l’autovalore relativo. Tramite gli operatori

di creazione e distruzione, trovare l’espressione esplicita dei due autostati, non normalizzati,

con gli autovalori piu vicini a quello appena calcolato.

3.15) Una particella monodimensionale di massa µ e immersa in un potenziale armonico

V = 1/2 µω2x2 . Scrivere la piu generale soluzione dell’equazione di Schrodinger dipendente

dal tempo ψ(x, t) , in termini degli autostati dell’oscillatore armonico φn(x) .

Usando l’espressione precedente, mostrare che il valore di aspettazione 〈 x 〉 di x , come

funzione del tempo, puo essere scritto come A+ cosωt+ A− sinωt , con A± costanti.

[Utilizzare la relazione√µω/~ x φn =

√(n+ 1)/2 φn+1 +

√n/2 φn−1 ]

20 3. OSCILLATORE ARMONICO. PROBLEMI.

CAPITOLO 4

Delta di Dirac. Problemi.

b−b

−V0

4.1) Discutere lo spettro di una particella in una “buca

quadrata” di semiampiezza b e profondita V0 nel

limite in cui V0 → ∞ , b→ 0 con V0b = λ/2 fissato.

Ricavare anche le condizioni al contorno cui soddisfa la

funzione d’onda nel solo limite b→ 0.

4.2) Dato il potenziale V (x) = −λδ(x), integrare l’equazione

di Schrodinger ottenendo le condizioni cui deve soddisfare la

funzione d’onda in x = 0.

a) Dimostrare che queste condizioni definiscono una derivata

seconda autoaggiunta. b) Trovare lo spettro applicando le

condizioni di raccordo ottenute. c) Ritrovare lo stesso

risultato operando la trasformata di Fourier dell’equazione,

e quindi la antitrasformata.

−xo

xo04.3) Si consideri una particella di massa µ in una dimensione

soggetta al potenziale

V (x) = −λ+δ(x− xo) − λ−δ(x+ xo) ,

con λ+, λ−, xo costanti positive assegnate.

Determinare gli stati legati della particella e in particolare

valutare la differenza tra i primi due livelli energetici nel

limite xo → ∞ nel caso λ+ 6= λ− e nel caso λ+ = λ− .

4.4) Considerare un oscillatore armonico monodimensionale cui e sovrapposto un potenziale

costante nell’intervallo (−d, d) e zero altrove:

H =p2

2µ+µω2

2x2 +Kθ( |x| < d ) .

Si discuta lo spettro dell’energia nei due limiti:

i) d→ +∞ , K qualunque;

21

22 4. DELTA DI DIRAC. PROBLEMI.

ii) d→ 0 con Kd = λ/2 fissato (perturbazione ∝ δ(x) ).

Nel primo caso si dica rispetto a quale scala di lunghezze si deve intendere il limite.

0 d−d

K

K

Nel secondo caso, con opportune sostituzioni ci si riduce all’equazione

ψ′′ +(ε− ξ2 − βδ(ξ)

)ψ = 0 .

Per le soluzioni del potenziale quadratico, vedere il problema 1.9). Per applicare le con-

dizioni di discontinuita della derivata, confrontare A-S 13.4.21 e A-S 13.5.10.

4.5) Determinare i coefficienti di trasmissione e

di riflessione per una particella monodimensionale

soggetta al potenziale V (x) = λ δ(x).

Studiare il caso limite W → ∞ e W → 0 .

a−a

4.6) Discutere il problema agli autovalori, per una particella

di massa µ in un grado di liberta soggetta al potenziale

V =

λ δ(x) |x| < a

+∞ |x| ≥ a ,

dove δ(x) e la distribuzione di Dirac, e a, λ sono

costanti positive. Discutere inoltre il limite λ→ ∞ .

0 a

4.7) Dato il potenziale:

V (x) = λ[δ(x) + δ(x− a)] λ > 0,

determinare per quale valore dell’energia

le particelle non si riflettono sulla barriera.

4. DELTA DI DIRAC. PROBLEMI. 23

4.8) Discutere l’eventuale effetto tunnel da una parte all’altra dell’origine per il potenziale:

V =

λ δ(x) |x| < a

+∞ |x| ≥ avedi fig. 4 .6).

0a r

4.9) Una particella tridimensionale di massa µ

interagisce con un potenziale centrale:

V (r) = −λ δ(r − a) con a , λ > 0 .

Trovare il minimo di λ per cui esiste uno

stato legato.

4.10) Determinare i livelli energetici di una particella tridimensionale soggetta al potenziale:

V (r) = −λ δ(r − a) . Trovare la condizione di esistenza di stati legati di momento l .

[ Utilizzare il wronskiano Km(x)I ′

m(x) −K ′

m(x)I

m(x) = 1/x ].

0a−a

4.11) Sia data l’equazione di Schrodinger per

una particella di massa µ soggetta al potenziale:

V (x) = λ/2 [δ(x− a) − 2δ(x) + δ(x + a)] ,

con λ > 0 .

Determinare lo spettro dell’energia e le

ampiezze di riflessione e trasmissione.

0 a 2a 3a−a−2a−3a

4.12) Una particella monodimensionale di massa µ si

muove nel potenziale periodico:

V (x) =∑∞

n=−∞ λ δ(x− na).

Trovare la diseguaglianza trascendente cui

soddisfa lo spettro a bande.

Nel caso µλa/~2 = 1, risolvere

graficamente lo spettro, indicando in modo

approssimato il primo autovalore dell’energia.


0a

4.13) Discutere il problema agli autovalori, inclusa la

loro esistenza, per una particella di massa µ in un

grado di liberta soggetta al potenziale

V =

∞, x < 0

−λδ(x− a), 0 < x ,

dove δ(x) e la distribuzione di Dirac, e a, λ sono

costanti positive.

4.14) Una particella monodimensionale di massa µ e soggetta al potenziale V = −λ δ(x)con 0 < λ (vedi fig. 4.2) ), e si trova in uno stato legato. Trovare il valore di x

0tale che

la probabilita di trovare la particella in |x| < x0

sia uguale a 1/2 .

−a 0

4.15) Una particella monodimensionale di massa µ e

immersa nel potenziale

V =

∞ x < −aλ δ(x) −a < x ,

con a, λ > 0 costanti, e al tempo t = 0 si

trova completamente confinata nella regione

−a < x < 0 , con una funzione d’onda

uguale all’autofunzione della buca infinita a energia minima. Determinare le autofunzioni

normalizzate dell’Hamiltoniana, proprie e/o improprie. Determinare i coefficienti dello

sviluppo del vettore iniziale su queste autofunzioni. Esprimere la funzione d’onda al tempo

t > 0 , e descrivere qualitativamente il comportamento della particella a tempi grandi.

4. DELTA DI DIRAC. PROBLEMI. 25

CAPITOLO 5

Perturbazioni indipendenti dal tempo. Problemi.

0 A

B

a

5.1) Al primo ordine perturbativo, calcolare

l’energia dei primi tre stati di una buca quadrata

infinita di larghezza a , cui sia stato asportato

il piccolo triangolo OAB .

5.2) Sia data l’hamiltoniana di un sistema quantistico:

H =

∣∣∣∣∣∣

W1 0 a0 W2 ba∗ b∗ W3

∣∣∣∣∣∣

con | a | , | b | | Wi −Wj |, per i 6= j . Calcolare autovalori e autofunzioni al primo

ordine della teoria delle perturbazioni.

0

5.3) Calcolare esplicitamente la separazione del

livello 2p dell’atomo di idrogeno

dovuto all’accoppiamento spin-orbita

(al primo ordine) e mostrare che in unita

dell’energia imperturbata vale e4/(2~c)2 .

⊗⊕

5.4) L’atomo idrogenoide e usualmente trattato

assumendo il nucleo a carica puntiforme.

Nell’ipotesi che la carica nucleare sia invece

distribuita su una superficie sferica di raggio

δ r0 (raggio di Bohr), calcolare

la variazione di energia dello stato fondamantale

al primo ordine della teoria delle perturbazioni.

Per l’atomo di idrogeno e per δ = 10−13cm , valutare il risultato rispetto alle energie

imperturbate. (Ricordarsi che il potenziale creato da una distribuzione superficiale di

cariche e continuo).

27

28 5. PERTURBAZIONI INDIPENDENTI DAL TEMPO. PROBLEMI.

5.5) Siano date l’hamiltoniana H e l’osservabile A di un certo sistema.

A =

∣∣∣∣∣∣

1 i 0−i 0 −i0 i 1

∣∣∣∣∣∣H =

∣∣∣∣∣∣

W −iχ 0iχ −W iχ0 −iχ −3W

∣∣∣∣∣∣.

i) Valutare gli autovalori di H esattamente e, supposto χ piccolo, con la teoria delle

perturbazioni al secondo ordine. Confrontare i risultati.

ii) Al tempo t = 0 una misura di A fornisce come risultato il valore 1 . Calcolare al

tempo t > 0 la probabilita di trovare il valore −W in una misura dell’energia.

5.6) Studiare lo spettro dell’Hamiltoniana:

H = a†a + λ ( a†2a + a†a2 ) + a†2a2 con [ a, a† ] = 1

al secondo ordine in teoria delle perturbazioni nel parametro λ . Dimostrare inoltre (con

un calcolo esatto) che nel caso λ = 1 lo stato fondamentale e degenere.

•

5.7) Valutare le correzioni agli stati 1s e 2p

dell’atomo di idrogeno, supponendo la carica distribuita

uniformemente in un volume di raggio rp ≈ 10−13cm .

Discutere quale sarebbe l’effetto, se al posto

dell’elettrone ci fosse un muone µ− di massa 210

volte superiore.

0 a−a

5.8) Una particella si muove in una dimensione soggetta

al potenziale

V =

V0 cos π

x

2a| x | < a

∞ a < | x | ,

con V0 piccolo. Al primo ordine perturbativo in V0

trovare le correzioni alle energie degli stati legati.

5.9) Una particella di massa µ puo ruotare in un piano attorno a un punto fisso, collegata

a questo tramite un’asta senza massa di lunghezza λ . [Vedi 2.4)]

i) Valutare autovalori e autofunzioni del sistema.

ii) Introdotta una perturbazione V0 cos 2φ , con V0 piccolo, calcolare al primo ordine della

teoria delle perturbazioni le variazioni ai tre livelli inferiori di energia. Valutare al secondo

ordine perturbativo la correzione al livello fondamentale.

5. PERTURBAZIONI INDIPENDENTI DAL TEMPO. PROBLEMI. 29

5.10) Le differenze ∆1 e ∆2 tra le energie dei primi due livelli eccitati e l’energia del livello

fondamentale di una molecola di massa µ stanno nel rapporto ∆2/∆1 = 1.96 . Questo

valore e interpretabile entro il 2% schematizzando il moto vibrazionale della molecola

come quello di un oscillatore armonico semplice.

Si aggiunga al potenziale armonico V = 1/2 K x2 un potenziale “piccolo” V ′ = ax3+bx4 .

Trattando V ′ al primo ordine perturbativo, si determinino, in funzione di ∆1 e ∆2 , le

costanti k, a , b , in modo da rendere esatto l’accordo con il valore sperimentale.

5.11) Due particelle identiche di massa µ e spin 1/2 si muovono in una scatola cubica

di lato 2l . Calcolare i primi due autovalori dell’energia. Al primo ordine perturbativo

dire se e come viene risolta la degenerazione del secondo livello in presenza del potenziale

V = λ δ3(x1 − x2) , con λ > 0 . [Vedi fig. 4.6). ]

|x

0

5.12) Per un potenziale di Morse:

V (x) = V0 exp[−2(x− x0)/a]− 2 exp[−(x− x0)/a] relativo a una particella di massa µ , si possono studia-

re le piccole oscillazioni attorno al punto di equilibrio

x0 , riducendo il potenziale a quello di un oscillatore

armonico di opportuna frequenza. Dire se e per quali

stati legati tale approssimazione puo essere valida

per un sistema caratterizzato dai seguenti valori:

V0 = 10−2ev , µ = 10−23gr , a = 5.10−8cm . [Cfr. 1.20)]

5.13) L’Hamiltoniana di un sistema sia:

H =

∣∣∣∣∣∣

ε 2ε− i −ε2ε + i 0 −i−ε i 0

∣∣∣∣∣∣.

Trovare autovalori e autofunzioni del sistema per ε = 0 e le correzioni da apportare ai

livelli energetici, al primo ordine perturbativo in ε .

5.14) Si consideri una particella di spin 1/2 sottoposta a un campo magnetico Hx = B ,

Hy = 0 , Hz = A , e si supponga B A .

Calcolare i livelli energetici al primo e secondo ordine della teoria delle perturbazioni.

5.15) Si cosideri una particella su un segmento di lunghezza a con condizioni periodiche

al contorno. Si determinino le autofunzioni dell’energia e i corrispondenti autovalori.

Introdotta la perturbazione V = V0 exp[−λx] , calcolare al primo ordine perturbativo in

V0 le correzioni al primo livello eccitato, nell’ipotesi 1/a λ .


5.16) Calcolare al primo ordine perturbativo le correzioni ai primi due livelli di energia di

un atomo di idrogeno dovuti al momento di dipolo elettrico ε del nucleo.

5.17) Sia H0 = p2/2µ + µ/2 ω2q2 l’Hamiltoniana di un oscillatore armonico a un grado

di liberta. Sia V = a†2a2 una perturbazione, essendo a l’operatore di annichilazione

a = (p− iµωq) /√

2µ~ω .

i) Trovare la dipendenza funzionale di un generico livello di energia dell’Hamiltoniano

H = H0 + λV , cioe Wn = Φ(µ, ~, ω, λ) , con semplici considerazioni dimensionali.

ii) Calcolare la correzione al secondo ordine in teoria delle perturbazioni per l’autovalore e

per l’autovettore dello stato fondamentale.

5.18) Calcolare al primo ordine la correzione al livello n = 2 di un atomo di idrogeno

dovuta al potenziale: V = ε cos θ/rα , con 0 < ε e 0 < α ≤ 2 . (Vedi il 5.16).)

5.19) Sia data H0 = p2/2µ + µ/2 ω2q2 , Hamiltoniana di un oscillatore armonico ad un

grado di liberta. Sia inoltre V = λ1q3 + λ2q

4 una perturbazione “piccola”.

Con semplici considerazioni dimensionali, trovare la dipendenza funzionale di un generico

livello di energia dell’Hamiltoniano H = H0 + V , cioe Wn = Φ(µ, ~, ω, λi) .

Calcolare inoltre, al primo ordine perturbativo, la correzione agli autovalori dell’energia.

5.20) Calcolare la perturbazione al primo ordine dello stato fondamentale dell’atomo di

idrogeno dovuta alla correzione relativistica −p4/8µ3c2 .

5.21) L’Hamiltoniana di un sistema quantomeccanico a un grado di liberta e data da

H = p2/2µ + µ/2 ω2q2 + λq4 dove q, p sono gli operatori canonici, e µ, ω, λ sono

costanti positive.

Dimostrare, attraverso considerazioni dimensionali, che ogni livello discreto di energia e

rappresentabile con l’espressione Wn = ~ω Φn(χ) , dove Φn e un’opportuna funzione

di χ = ~λ /µ2ω3 . Assumendo nota la funzione Φn , calcolare i valori di aspettazione

〈 n | q2 | n 〉 , 〈 n | p2 | n 〉 , 〈 n | q4 | n 〉 , essendo | n 〉 l’autostato dell’energia

appartenente a Wn . Determinare Φn(χ) al 20 ordine in teoria delle perturbazioni e

applicare il risultato al calcolo dei valori d’aspettazione ottenuti in precedenza.

5.22) Calcolare perturbativamente lo spettro dell’operatore H = a†a + λ | ψ 〉〈 ψ | , con

| ψ 〉 vettore normalizzato e a†, a gli ordinari operatori di creazione e distruzione.

Considerare in particolare | ψζ 〉 = N∑∞

n=0 (ζn/n!) | n 〉 , con | n 〉 autovettori di

H0 = a†a . Cosa si puo dire per λ→ ±∞ ?


0 a


soggetta al potenziale

V =

V0 cos2 π

x

a0 < x < a

∞ altrove ,

Al primo e al secondo ordine perturbativo in V0

trovare le correzioni alle energie degli stati legati.

Indicare le condizioni di validita del procedimento.

5.24) Valutare al primo ordine perturbativo le correzioni al secondo stato legato (n=2) del-

l’atomo di idrogeno, dovute a un campo elettrico e un campo magnetico uniformi, costanti

e parelleli tra di loro.

0r

5.25) Una particella senza spin di massa µ si muove

in un campo centrale della forma:

V (r) = − V0

er/a − 1

α =µa2V0

~2 1 .

Al primo ordine perturbativo in 1/a , calcolare le

correzioni ai livelli energetici del potenziale

coulombiano V (r) = −V0 a/r . Notare la risoluzione

della degenerazione accidentale. [Sviluppare il potenziale in serie di r/a , giustifican-

do il procedimento per i valori assegnati dei parametri. Ricordare che (unlm, r unlm) =

1/2 [ 3n2 − l(l + 1) ] r0 con r0 raggio di Bohr. ]

5.26) Si consideri un oscillatore armonico perturbato in due gradi di liberta:

H0 = p21/2µ1 + p2

2/2µ2 + µ1/2 ω21q

21 + µ2/2 ω

22q

22 + λ q2

1q22

Determinare la correzione all’energia dello stato fondamentale al secondo ordine in λ .

Discutere il calcolo perturbativo dei livelli eccitati.

5.27) Consideriamo un oscillatore armonico isotropo perturbato:

H = ~ω(a†1a1 + a†2a2 + a†3a3

)+ λ

(a†1a2 + a†2a1

).

Calcolare la correzione ai primi tre autovalori imperturbati W(0)N = N ~ω, N = 0, 1, 2 ,

sia mediante lo sviluppo perturbativo che in forma chiusa mediante un calcolo esatto.


5.28) Una particella di massa µ e carica −e0 e attirata nell’origine da una forza elastica

di intensita K/2 r . Il sistema e immerso in un campo magnetico uniforme e costante

di modulo B diretto lungo l’asse z . i) Con un opportuno potenziale vettore, scrivere

l’Hamiltoniana del sistema. ii) Se B e molto piccolo, calcolare i primi autovalori dell’energia.

5.29) Un oscillatore armonico isotropo in due gradi di liberta e soggetto ad una pertur-

bazione rappresentata dall’operatore V = λ(a†21 a

22 + a†22 a

21

). Posta uguale a uno la

frequenza dell’oscillatore e la costante di Planck ~ , si determini la correzione dei primi

livelli energetici, W ≤ 5 , al primo ordine in teoria delle perturbazioni.

5.30) Sia dato un atomo idrogenoide di carica Z nello stato fondamentale. Valutare i

valori di aspettazione dell’energia cinetica e potenziale. Con la tecnica perturbativa al

primo ordine, valutare la variazione di energia quando la carica del nucleo passa da Z a

Z + 1 , e confrontare con il dato esatto.

5.31) Si consideri un sistema quantistico caratterizzato dall’operatore Hamiltoniano

H = a†1a1 + a†2a2 + λ(a†21 a

22 + a†22 a

21

).

Trovare gli autovalori di H che per λ piccolo tendono a W (0) = 0, 1, 2, 3 .

0−a a

V0

5.32) Considerare il seguente potenziale isotropo

tridimensionale:

V =

1

2µω2x2 a < | x |

V0 | x | < a ,

Si valuti la correzione ai primi due livelli energetici,

al primo ordine in V0 e nel limite di a molto piccolo

rispetto alla scala di lunghezza tipica dell’oscillatore.

0r

5.33) Una particella tridimensionale di massa µ e

soggetta al potenziale di Yukawa:

V (r) = −γ e−r/ρ

r.

Valutare al primo ordine perturbativo le correzioni ai

livelli energetici dell’atomo di idrogeno. Giustificare

l’approssimazione nel caso che i parametri soddisfino la

relazione µγρ/~2 1 .


5.34) Una particella e immersa in una buca di potenziale infinita di larghezza a ( 0 < x < a ).

Al primo ordine perturbativo valutare come si modificano i livelli energetici se si aggiungono

le perturbazioni del tipo:

V1 = ( a− | 2x− a | )V0

aV2 =

0 0 < x < b

V0 b < x < a− b

0 a− b < x < a .

0 a

V1

0 ab a−b

V2

5.35) Un rotatore piano di momento di inerzia I e di momento elettrico di dipolo d e

immerso in un campo elettrico omogeneo E giacente nel piano di rotazione. Mediante un

calcolo perturbativo, determinare le correzioni ai livelli energetici dello stato fondamentale,

del primo stato eccitato e di quelli successivi.

5.36) Consideriamo l’Hamiltoniana:

H =p2

2µ+

1

2µω2q2 + λp4 .

Al secondo ordine in λ , valutare le correzioni agli autovalori dell’oscillatore armonico.

5.37) Una particella di massa µ si muove su una circonferenza di raggio r ed e soggetta

al potenziale: V = λ sinϕ cosϕ , dove ϕ individua la posizione angolare della particella.

Al secondo ordine della teoria delle perturbazioni, valutare i primi tre livelli energetici.

5.38) Un elettrone e confinato in una scato-

la cubica di lato a orientata con le facce

parallele agli assi x, y, z , e ha energia pari

a W = 3h2/4µa2 . Ad un certo istante si

accende un campo elettrico E costante e

uniforme, parallelo all’asse z. i) Calcolare al

primo ordine perturbativo come si modifica

l’autovalore dell’energia. ii) Ripetere il

calcolo con la perturbazione H ′ = eExy .


5.39) Un atomo di idrogeno e sottoposto a una perturbazione dovuta a un campo magnetico

statico avente potenziale vettore:

A =1

2Br2

0

(− y

r2,x

r2, 0

), r =

√x2 + y2 + z2 ,

essendo B e una costante che caratterizza l’intensita del campo magnetico e r0 il raggio

di Bohr. Determinare le correzioni perturbative ai livelli energetici al primo ordine in B ,

e discutere la validita dell’approssimazione. Confrontare il risultato con lo sviluppo in serie

dei valori esatti trovati nel 2.17) .

5.40) Risolto esattamente l’esercizio precedente al primo ordine in B , valutare al primo

ordine perturbativo le correzioni dovute al termine in B2 .

5.41) Sia dato il potenziale

V (x, y, z) =1

2K

(x2 + y2 + z2 + λxy

),

e una particella massiva immersa in esso. Nell’ipotesi di λ piccolo, valutare: i) al secondo

ordine in λ le correzioni all’energia dello stato fondamentale; ii) al primo ordine in λ le

correzioni all’energia del primo stato eccitato.

5.42) Con ~ω = 1 , sia H0 = a†a l’Hamiltoniana di un oscillatore armonico traslato.

Trovare lo spettro dell’operatore: H = H0 + λ (a†2 a+ a†a2) in teoria delle perturbazioni

all’ordine λ3 . [Poiche l’operatore di parita P soddisfa alle relazioni P H0 = H0 P e

P a = −a P , si dimostra che gli autovalori di H dipendono solo da λ2 , e quindi...]

5.43) Una distribuzione continua di carica elettrica genera un campo centrale E che

corrisponde a un potenziale: V (x) = 12K x2 . i) Scrivere l’Hamiltoniana quantistica per

una particella di carica e e spin ~/2 , tenendo conto anche della interazione spin-orbita.

ii) Determinare lo spettro di energia. iii) Se la carica e distribuita su un volume finito (una

sfera di raggio R), come si modifica lo spettro?

5.44) Un atomo di idrogeno e sottoposto all’azione del campo esterno E di componenti

E = α xz

r3,yz

r3, −x

2 + y2

r3 ,

con α costante positiva. Determinare se esiste un potenziale V tale che E = ∇ V ,

e individuare le costanti del moto in presenza del campo esterno. Determinare al secondo

ordine in α la correzione allo stato fondamentale e al primo ordine quella per il primo

livello eccitato, esprimendo formalmente il risultato in termini degli integrali:

cn,l =

∫ ∞

0

dr unl u10 e dn,l =

∫ ∞

0

dr unl un l+1 ,

dove Rnl = unl/r e la parte radiale delle autofunzioni dell’atomo d’idrogeno.


[Si faccia uso della formula soddisfatta dalle armoniche sferiche:

cos ϑ Ylm(ϑ, ϕ) =√

(l + 1 −m)(l + 1 +m)/[(2l + 1)(2l + 3)] Yl+1,m+

+√

(l −m)(l +m)/[(2l − 1)(2l + 1)] Yl−1,m . ]

5.45) Una particella di massa µ si muove in un potenziale di oscillatore armonico isotropo

perturbato:

V =1

2µω2

(x2 + y2 + z2

)+ κ xyz +

κ2

~ωx2y2z2 ,

con κ costante, il medesimo in entrambi i termini. Calcolare le correzioni all’energia dello

stato fondamentale al secondo ordine in κ .

5.46) Si consideri l’Hamiltoniana

H =p2

2µ+

1

2µω2q2 + V0 cos (

√µω′/~ q)

dove p e q sono gli operatori canonici, µ, ω, ω′ e V0 sono costanti positive. Si studi

lo spettro di energia nel limite V0 ~ω utilizzando la teoria delle perturbazioni. Si

discutano anche i limiti ω′ → ∞ e ω′ → 0 .

5.47) Sia dato l’Hamiltoniana:

H =p2

2µ+K ( 1 − cos (αq) ) ,

con µ, K, α costanti positive. Si discutano le condizioni sui parametri affinche sia possibile

considerare corretta l’approssimazione quadratica 1 − cos (αq) ≈ 1/2 α2q2 .

5.48) Si determini lo spettro dell’Hamiltoniana

H =p2

2µ+

1

2µω2q2 + Fq +Gq2

in teoria delle perturbazioni, considerando F e G costanti “piccole” con F 2 ≈ ~ωG .

5.49) Si determini lo spettro di bassa energia dell’Hamiltoniana:

H = a†1a1 + a†2a2 + λ ( a† 21 a2 + a†2a

21 ) ,

in teoria delle perturbazioni, e limitatamente ai primi quattro livelli.

5.50) Consideriamo l’oscillatore bidimensionale isotropo perturbato:

H =1

2(p2

x + p2y) +

1

2(x2 + y2) +

1

2λ xy (x2 + y2) .

Al primo ordine perturbativo, valutare le correzioni ai primi due autovalori dell’oscillatore

armonico imperturbato. Dare una stima del valore di λ per cui l’approssimazione e valida.


5.51) Una particella monodimensionale carica e soggetta a un potenziale di oscillatore

armonico, ed e immersa in un campo elettrico E uniforme e costante. In teoria delle

perturbazioni fino all’ordine E2 valutare le correzioni alle energie degli stati legati.

5.52) Consideriamo l’Hamiltoniana:

H = − d2

dx2+ x2 + αx3 .

Valutare la prima correzione perturbativa diversa da zero allo stato fondamentale dell’oscil-

latore armonico.

⊗⊕ P

•µ

θa

5.53) Una massa µ e collegata a un perno P da una barra

senza massa di lunghezza a .

i) Nella prima approssimazione di piccoli angoli,

trovare i livelli di energia quantistica del sistema.

ii) Trovare la prima correzione allo stato fondamentale

per l’approssimazione successiva.

λ/a25.54) Un oscillatore armonico monodimensionale e

soggetto a una piccola perturbazione del tipo:

V ′ =λ

x2 + a2.

Calcolare la correzione allo stato fondamentale

al primo ordine perturbativo, nel caso che:

i) a√

~/µω , ii) a√

~/µω .

0 xV′

5.55) Una particella monodimensionale di carica −e e

massa µ e immersa nel potenziale :

V (x) =

−Kx

x > 0

∞ x ≤ 0 ,

con K costante positiva.

Calcolare l’energia dello stato fondamentale.

Nel caso venisse applicato un piccolo campo elettrico

in direzione x , valutare l’effetto Stark al primo ordine perturbativo.

5.56) Una particella di massa µ puo ruotare in un piano attorno a un punto fisso, collegata

a questo tramite un’asta senza massa di lunghezza λ . i) Valutare autovalori e autofunzioni


del sistema. ii) Introdotto il potenziale V0 cos 2ϕ , calcolare al primo ordine in V0 della

teoria delle perturbazioni le variazioni agli autovalori e alle autofunzioni.

5.57) Consideriamo un atomo di Elio con 2 elettroni a spin zero. i) Trascurando la repulsione

Coulombiana, scrivere lo stato fondamentale dell’energia e il suo autovalore. ii) Con la

teoria delle perturbazioni al primo ordine, valutare la correzione dovuta alla repulsione tra

gli elettroni. ii) Con questo risultato, stimare l’energia di ionizzazione dell’Elio. [ Utilizzare

la relazione:∫ ∫

d3r1 d3r2 exp−a · (r1 + r2) / |r1 − r2| = 20π2/a5 .]

5.58) Sia dato un oscillatore harmonico tridimensionale isotropo, di frequenza ω e massa

µ , perturbato da un potenziale V = λxy , con λ costante. Al primo ordine, trovare le

correzioni all’autovalore del primo stato eccitato imperturbato, e i relativi autostati.

5.59) Al primo ordine perturbativo, calcolare le correzioni al primo livello eccitato di un

oscillatore armonico bidimensionale isotropo soggetto alla perturbazione V ′ = λ xy .

Determinare le funzioni corrette all’ordine zero (λ → 0). Confrontare con la soluzione

esatta per λ 6= 0 .

5.60) Al primo ordine perturbativo, calcolare le correzioni all’energia del secondo livello

eccitato di un oscillatore armonico bidimensionale isotropo soggetto alla perturbazione

V ′ = λ xy . Determinare le funzioni corrette all’ordine zero (λ → 0 ). Confrontare con la

soluzione esatta per λ 6= 0 . (Vedi 5.59))

5.61) Una buca infinita in 0 < x < a e soggetta anche a V ′(x) = λ δ(x − a/2) .

Considerando questo termine come una perturbazione, calcolare i contributi allo spettro al

primo e al secondo ordine. Indicare le condizioni di applicabilita del risultato ottenuto.

[ Sfruttare la relazione: [(2k+1)2 − (2p+1)2]−1 = [4(2k+1)]−1[(p+k+1)−1 − (p−k)−1] .]

5.62) Un atomo mesico di numero atomico Z e costituito da un ordinario atomo nel

quale un mesone µ ha sostituito uno degli elettroni. Inizialmente il muone e catturato

su un’orbita eccitata simile a quella dell’elettrone espulso, per poi scendere rapidamente ai

livelli piu bassi per emissione a cascata di raggi X , o di altri elettroni per effetto Auger.

A causa della sua massa elevata, mµ ≈ 206me , il suo raggio di Bohr e molto piu piccolo

di quello degli elettroni, ovvero le sue orbite sono molto piu vicine al nucleo di quelle di

tutti gli elettroni, e quindi risente in modo accentuato della distribuzione di volume della

carica nucleare, e molto poco della carica elettronica, per lo piu esterna all’orbita µ .

Dunque, il potenziale di Coulomb effettivo sul muone interno puo essere approssimato da:

V (r) = −Ze2δ (3/2 − r2/2δ2) per r < δ , e V (r) = −Ze2/r per r > δ . Vedi 5.7).

a) Valutare l’energia dei livelli 1s , 2s e 2p dell’atomo mesico al primo ordine delle

perturbazioni per δ rµ0 , dove rµ

0 e il raggio di Bohr del mesone.


b) Posto che per Z = 5 si trovi W(1)2s −W

(1)2p ≈ 2 · 10−2eV , ricavare una stima di δ .

Ricordare che le prime funzioni d’onda dell’atomo mesico idrogenoide ( Z = 1 ) sono le

seguenti: ψ1s = 2 N3/20 e−ρY00 , ψ2s = 1/

√2 N

3/20 (1 − ρ/2) e−ρ/2 Y00 ,

ψ2p = 1/2√

6 N3/20 ρ e−ρ/2 Y1m , dove N0 = 1/rµ

0 , ρ = r/rµ0 , e le Y le armoniche

sferiche.

5.63) Un atomo di idrogeno e perturbato da un campo non centrale V ′ = f(r)xy , con f(r)

non specificata ma ovunque regolare. Al primo ordine perturbativo, valutare le correzioni

del livello con n = 2 e le loro eventuali degenerazioni residue, in funzione di un parametro

incognito legato ai valori di aspettazione della funzione f(r) .

CAPITOLO 6

Calcolo Variazionale. Problemi.

6.1) Volendo utilizzare il principio variazionale di Riesz per la valutazione approssimata

dello stato fondamentale di una buca infinita con 0 ≤ x ≤ a, dire quali dei due polinomi

seguenti puo essere utilizzato come funzione di prova e perche:

ψ1 = x(l − x) ψ2 = x(l − x)(x− a) ,

essendo l un parametro variazionale.

6.2) Calcolare il valore approssimato dell’energia dello stato fondamentale di un oscillatore

armonico con il metodo variazionale, utilizzando le funzioni di prova:

a) ψ1(x) = A(1 +x2

a2)−1 b) ψ2(x) = B(1 +

x2

a2)−2 ,

essendo a il parametro variazionale.

Dire per quali valori dei parametri a e b la funzione di prova:

ψ(x) = C(1 +x2

a2)−b2

riproduce meglio l’andamento della autofunzione esatta dello stato fondamentale, e valutare

l’errore minimo sull’autovalore.

[ Per la prima e per la seconda domanda, rispettivamente, utilizzare le formule:∫ ∞

−∞

dx

(b + x2)n+1= − 1

n

d

db

∫ ∞

−∞

dx

(b+ x2)n, e−x = lim

ν→∞(1 +

x

ν)−ν .]

6.3) Una pallina di massa µ soggetta solo al proprio peso rimbalza sul pavimento in modo

perfettamente elastico. Trascurando le oscillazioni sul piano xy, valutare l’energia dello

stato fondamentale con il metodo variazionale, utilizzando come funzioni di prova:

ψ1(z) = Aze−αz ψ2(z) = Bze−βz2/2 .

Confrontare con il valore esatto dell’esercizio 1.15).

6.4) Mediante il metodo variazionale ricavare il valore approssimato dell’energia dello stato

2p di una particella in campo coulombiano, utilizzando le funzioni di prova:

ψ(r) = a · r exp[−α2r2] ,

con a vettore costante e α parametro variazionale.

Confrontare con il valore esatto e giustificare la scelta delle funzioni di prova.

39

40 6. CALCOLO VARIAZIONALE. PROBLEMI.

6.5) Calcolare il valore approssimato dell’energia dello stato fondamentale di un oscillatore

armonico bidimensionale, utilizzando il metodo variazionale con le funzioni di prova:

ψα(ρ) = C exp(−αρ) , ρ =√x2 + y2 ,

con α parametro variazionale.

6.6) Con il principio variazionale di Riesz, stimare il primo stato eccitato dell’oscillatore

armonico, usando come funzioni di prova una delle due seguenti: ψ1(x) = A x e−α|x| ,

ψ2(x) = A x2 e−α|x| , con α parametro variazionale. Giustificare la scelta.

6.7) Applicare il principio variazionale di Riesz all’oscillatore armonico tridimensionale

isotropo, usando come funzioni di prova:

ψ(r) = a · r exp[−αr] ,con a vettore costante e α parametro variazionale. Dire di quale autostato questa puo

essere ritenuta una buona approssimazione, e calcolare gli autovalori approssimati.

6.8) Sia data l’Hamiltoniana:

H = p2/2µ+ λx2k ,

con k intero positivo. i) Con la semplice analisi dimensionale, dimostrare che per λ→ ∞ ,

E0 ≈ λ1/k+1 . ii) Applicando il metodo variazionale con funzioni di prova gaussiane, dare

una stima approssimata dello stato fondamentale, autofunzione e autovalore.

6.9) Un elettrone senza spin si muove nel potenziale a simmetria sferica V = λr , con

λ > 0 . Con il metodo variazionale e una funzione di prova esponenziale, trovare un valore

approssimato per l’energia dello stato fondamentale.

6.10) - Mediante il metodo variazionale ricavare il valore approssimato dell’energia dello

stato fondamentale di una particella immersa in un campo coulombiano, utilizzando come

funzioni di prova:

ψi(r) = A e−α2r2

; ψii(r) =

A (α− r) r ≤ α

0 r ≥ α ,

con α parametro variazionale. -Le funzioni di prova sono entrambe accettabili? -Ignorando

il valore esatto, quale dei due valori rappresenta una migliore approssimazione? -Era questo

prevedibile dalla forma delle funzioni di prova?

6.11) Una particella tridimensionale si muove nel potenziale: V (r) = −λ/r3/2 .

Per valutare un limite superiore dell’energia dello stato fondamentale, utilizzare il calcolo

variazionale con una funzione idrogenoide quale funzione di prova.

6. CALCOLO VARIAZIONALE. PROBLEMI. 41

6.12) Una particella si trova in una buca infinita nell’intervallo 0 < x < a . Assumere come

approssimazione allo stato fondamentale una delle seguenti funzioni: 1) ψ1(x) = A x(x−a) ,

2) ψ2(x) = B sin2(πx/a) , 3) ψ3(x) = C (a/2− |x− a/2|) , e valutare il relativo valore

di aspettazione dell’energia. Confrontare con il valore esatto. Sulla base del principio

variazionale di Riesz, dire se tutte le funzioni di prova rappresentano una scelta opportuna,

e spiegare perche la prima fornisce un risultato migliore.

6.13) Calcolare il valore approssimato dell’energia dello stato fondamentale di una particella

nel campo V (x) = −λδ(x) , utilizzando a come parametro variazionale nelle funzioni di

prova: 1) ψ1(x) = A(1 + x2/a2)−1 2) ψ2(x) = B(1 + x2/a2)−2 .

Confrontare con il risultato esatto.

6.14) Data una buca infinita per −a < x < a , trovare il polinomio di grado minimo

adatto ad approssimare il primo stato eccitato. Confrontare la corrispondente energia

approssimata con il risultato esatto.

6.15) Sia dato il potenziale del problema 4.13). Mediante il metodo di Riesz, dare una stima

dei parametri del potenziale per i quali e garantita l’esistenza dello stato legato. Utilizzare

le seguenti funzioni di prova, con χ parametro variabile: ψ1(x) = A x exp(−χx),ψ2(x) = B x exp(−χx2/2) . Confrontare con il valore esatto trovato nel 4.13). (Notare le

diseguaglianze ey/y ≥ e , ey2

/y ≥√

2e .)

42 6. CALCOLO VARIAZIONALE. PROBLEMI.

CAPITOLO 7

Evoluzione temporale. Problemi.

7.1) La funzione d’onda a t = 0 per un elettrone libero e data da:

ψ0(x) = (2πα2)−1/4 e−x2/4α2

con α = 0.53 10−8cm . Dopo quanto tempo ∆xt = 1cm ? E se fosse µ = 10−3gr ?

7.2) Sia data l’hamiltoniana e altre tre osservabili di un sistema fisico:

H = w

∣∣∣∣0 11 0

∣∣∣∣ A = a

∣∣∣∣−1 11 1

∣∣∣∣ B = b

∣∣∣∣1 00 −1

∣∣∣∣ C = c

∣∣∣∣1 00 0

∣∣∣∣ .

i) Determinare quali delle osservabili sono costanti del moto. ii) Una misura di C al tempo

t = 0 da per risultato il valore 0 . Quale sara al tempo t > 0 il risultato di una misura

di A ? iii) Determinare almeno tre differenti sistemi completi di osservabili.

7.3) Siano date le matrici A e B relative a due osservabili per un certo sistema, e la

matrice H relativa alla sua hamiltoniana:

A = a

∣∣∣∣∣∣

0 −i 0i 0 00 0 −1

∣∣∣∣∣∣B = b

∣∣∣∣∣∣

1 0 00 1 00 0 −1

∣∣∣∣∣∣H = w

∣∣∣∣∣∣

0 0 00 0 10 1 0

∣∣∣∣∣∣.

i) Verificare che le due grandezze sono compatibili.

ii) Supposto di avere eseguito al tempo t = 0 una misura delle due grandezze e trovato il

valore −a per la prima e b per la seconda, calcolare la funzione d’onda al tempo t > 0 .

ψ1

ψ2

B

7.4) Un pacchetto d’onde associato a particelle neutre

di spin 1/2 e momento magnetico intrinseco µ0σ ,

attraversa un campo magnetico B =(0, 0, B(z)

).

i) Scrivere l’equazione di Schrodinger per la funzione

d’onda:

ψ(t) =

∣∣∣∣ψ1(t)ψ2(t)

∣∣∣∣ .

ii) Per un dato iniziale del tipo ψ0 = χσ φ(x ), con χσ

spinore arbitrario, e per 〈 d/dz B(z) 〉 ≈ d/d〈z〉 B(〈z〉) , dimostrare che il fascio si separa,

ovvero che ψ1(t) e ψ2(t) rappresentano due pacchetti d’onde i cui due baricentri

〈 x 〉i,t = 〈 ψi(t) | x | ψi(t) 〉 (i = 1, 2) si muovono su traettorie divergenti.

43

44 7. EVOLUZIONE TEMPORALE. PROBLEMI.

7.5) Un oscillatore lineare armonico di massa µ e frequenza ω e descritto al tempo t = 0

dalla funzione d’onda normalizzata:

ψ0(x) =( µω

16π~

)1/4

e−ξ2/2 (√

2 ξ −√

3), ξ = x

√µω

~.

Trovare il valor medio della posizione e dell’energia in funzione del tempo.

7.6) Siano date le matrici A , B e C relative a tre osservabili per un certo sistema, e la

matrice H relativa alla sua hamiltoniana:

A = a

∣∣∣∣∣∣

0 1 01 0 10 1 0

∣∣∣∣∣∣B = b

∣∣∣∣∣∣

1 0 00 0 −10 −1 0

∣∣∣∣∣∣C = c

∣∣∣∣∣∣

2 0 00 3 00 0 3

∣∣∣∣∣∣H =

∣∣∣∣∣∣

0 iw1 0−iw1 0 0

0 0 w2

∣∣∣∣∣∣,

con a, b, c > 0 . Osservato al tempo t = 0 il valore massimo di A , calcolare la probabilita

di trovare al tempo t > 0 :

i) il valore massimo di B ; ii) Contemporaneamente i valori massimi di B e C .

7.7) E’ data una particella di spin 1/2 e momento magnetico −µ0σ , con σ matrici di

Pauli. Al tempo t = 0 una misura della componente dello spin lungo l’asse x da come

risultato ~/2 . Per t > 0 su di essa agisce il campo magnetico B =(0, 0, B0(1 − e−t)

).

Trovare i valori medi delle tre componenti dello spin in funzione del tempo e verificare che

questi, nel limite t→ ∞ , sono funzioni periodiche del tempo.

7.8) Un elettrone si muove in un campo magnetico uniforme B0 diretto come l’asse z .

Dall’istante t0 = 0 agisce su di esso un altro campo magnetico uniforme B1 diretto

come l’asse x . Supposto lo spin dell’elettrone inizialmente orientato secondo la direzione

positiva dell’asse z , calcolare al tempo t la probabilita di trovare lo spin capovolto.

7.9) Una particella di spin 1 (di cui si considerano solo i gradi di liberta di spin) e immersa

in un campo magnetico statico diretto come l’asse y , ovvero H = τsy , con s operatore

di spin. Se all’istante t = 0 una misura di sx fornisce come risultato ~ , quale e la

probabilita di ottenere ~ in una misura di sz al tempo t > 0 ?

7.10) Una particella di spin 1/2 e momento magnetico µ0 = 1/2 g~σ si trova immersa

in un campo magnetico oscillante nel tempo e di direzione costante B = (0, 0, B sin(ωt)) .

Se lo stato iniziale della particella e autostato della componente x dello spin, calcolare la

distribuzione di probabilita per tutte le componenti dello spin in funzione del tempo.

7.11) Sia data una particella di spin s = 1/2 e momento magnetico µ , immersa in un

campo magnetico omogeneo stazionario. Determinare l’operatore vettoriale di spin s(t)

in rappresentazione di Heisenberg, con due procedimenti:

7. EVOLUZIONE TEMPORALE. PROBLEMI. 45

i) tramite la trasformazione unitaria che collega gli operatori delle osservabili in rappresen-

tazione di Heisenberg e di Schrodinger, utilizzando il lemma di Baker-Hausdorff:

exp(A)B exp(−A) = B + [A,B] +1

2![A, [A,B]] +

1

3![A, [A, [A,B]]] + ...) ;

ii) risolvendo le equazioni del moto per gli operatori s± in rappresentazione di Heisenberg.

0

V0p

0

7.12) Studiare il moto di un pacchetto d’onde

gaussiano che evolve secondo l’equazione di

Schrodinger in un potenziale a una dimensione:

V (x) =

0 x < 0

V0 x > 0,

dove V0 e una costante positiva. Il pacchetto e

inizialmente localizzato a sinistra dell’origine ed ha un momento medio p0 > 0 . Descrivere

qualitativamente l’evoluzione del pacchetto. Determinare le autofunzioni nei due casi

W > V0 e W < V0 . Nell’ipotesi di pacchetto molto concentrato attorno a p0 applicare

il metodo della fase stazionaria per studiare analiticamente il moto del pacchetto.

07.13) Sia data una particella monodimensionale

immersa nel potenziale

V (x) = −αx , α > 0 .

Calcolare la dipendenza temporale della

indeterminazione ∆p dell’impulso.

7.14) Una particella a spin 1/2 e momento magnetico µ , e immersa nel campo magnetico:

B = B0 z+B1 cosωt x−B1 sinωt y con x, y, z versori, e di essa consideriamo solo i gradi

di liberta di spin. Se al tempo t = 0 la particella ha spin sz = +~/2 , qual’e la probabilita

di trovarla al tempo t > 0 con sz = −~/2 ? Discutere in particolare il caso |B1/B0| 1 ,

stabilendo per quale valore di ω0 questa probabilita ha un comportamento risonante.

[Definito ψT (t) = |a(t) b(t)| , porre a(t) = α(t) exp[ iω0 t] e b(t) = β(t) exp[−iω0 t] ,

con ω0 = µB0/~ , e per le nuove incognite cercare una soluzione esponenziale .]

7.15) Come il 7.14), ponendo: a(t) = A(t) exp[ iω/2 t] e b(t) = B(t) exp[−iω/2 t] Cosı

facendo, ci si riconduce a un’Hamiltoniana indipendente dal tempo.

7.16) Come il 7.14), risolvendo in rappresentazione di interazione.

7.17) Un oscillatore armonico monodimensionale si trova a t = 0 nello stato


ψ(x) = N exp [−β2(x− x0)2/2 ] con β e x0 costanti reali. Calcolare l’indeterminazione

di posizione e momento lineare a un tempo t > 0 qualunque.

7.18) Lo stato di una particella immersa in una buca di potenziale di profondita infinita

e larghezza a ( 0 < x < a ) , e descritta all’istante t = 0 dalla funzione d’onda:

ψ(x) = A sin3(πx/a) . Determinare la funzione d’onda a un istante t successivo, e

valutare dopo quanto tempo la particella ripassa per lo stato iniziale.

7.19) Sia data l’Hamiltoniana che descrive una particella di massa µ soggetta a un campo

di gravita H = p2/2µ + µgz . (Vedi 1.15). Sapendo che lo stato della particella ad un

certo istante t0 e descritto dalla funzione d’onda

ψ(x, y, z, t0) = N exp[−(x2 + y2 + z2)/4σ + iκz

]

con κ reale positiva, valutare l’indeterminazione sulla posizione a un tempo t > t0 .

7.20) Una particella di massa µ e confinata in una regione monodimensionale 0 ≤ x ≤ a .

Al tempo t = 0 la sua funzione d’onda e data da:

ψ(x; t = 0) = ψ0(x) =

√8

5a

[1 + cos

πx

a

]sin

πx

a.

a) Valutare la funzione d’onda a un tempo t > 0 . b) Valutare l’energia media del sistema

al tempo t = 0 e al tempo t > 0 . c) Valutare la probabilita che la particella possa essere

trovata nella prima meta della buca ( 0 ≤ x ≤ a/2 ) al tempo t > 0 .

7.21) Sia data una particella di spin 1, soggetta all’Hamiltoniana H = A sx + B sy , con

s operatore di spin e A e B costanti reali. Calcolare i livelli energetici del sistema.

Calcolare il valore di aspettazione di sz al tempo t , nel caso che all’istante iniziale il

sistema sia in un autostato di sz con autovalore ~ .

7.22) Una particella di massa µ si muove in una buca infinita con 0 < x < a . All’istante

t = 0 la funzione d’onda della particella e data da: ψ0(x) = N x(a− x) per 0 < x < a ,

e ψ0(x) = 0 altrove. Esprimere la funzione d’onda ψ(x, t) al tempo t sotto forma di serie,

valutando esplicitamente i coefficienti dello sviluppo.

7.23) Come il problema precedente, con : ψ0(x) = N (a/2 − | a/2 − x | ) per 0 < x < a ,

e ψ0(x) = 0 altrove.

7.24) Al tempo t = 0 la funzione d’onda di un atomo di idrogeno e la seguente:

ψ(r, 0) =1√10

(2 ψ100 + ψ210 +

√2 ψ211 +

√3 ψ21−1

),


con gli indici riferiti ai numeri quantici n, l,m . Calcolare: i) il valore di aspettazione

dell’energia; ii) la probabilita di trovare il sistema con l = 1 , m = 1 , in funzione del

tempo; iii) la probabilita di trovare al tempo t = 0 l’elettrone a distanza inferiore a 10−10

cm. dal protone (valutazione approssimata); iv) l’evoluto temporale ψ(r, t) .

7.25) Sia data l’Hamiltoniana:

H = a†a + λ (a2 + a†2) , λ reale .

Determinare lo spettro di H . Se al tempo t = 0 il sistema si trova nello stato fondamentale

di H0 = a†a , determinare lo stato al tempo t > 0 .

7.26) Un atomo di idrogeno e immerso in un campo magnetico debole B , diretto come

l’asse z . Se all’istante t = 0 il sistema si trova nello stato 2p , ed e autostato di Lx con

autovalore ~ , determinare il valore di aspettazione dello stesso operatore Lx al tempo

t > 0 . (Operare in rappresentazione di Schrodinger).

0

x

z

a

v E

7.27) Un fascio di atomi di idrogeno eccitati nello stato

2s attraversa la zona compresa tra i piatti di un

condensatore, ove esiste un debole campo elettrico

uniforme E su di una lunghezza a . Gli atomi di

idrogeno hanno velocita v lungo l’asse x e il campo

E e diretto come z . Se gli atomi nello stato 2s

entrano tra i piatti all’istante t = 0 , determinare la funzione d’onda al tempo t < a/v .

Determinare inoltre la distribuzione di probabilita dei vari stati, al tempo t > a/v .

7.28) Sia dato un oscillatore armonico classico, inizialmente a riposo nel punto di equilibrio

stabile, soggetto alla forza esterna:

0 τt

F (t) =

0 t < 0

F0t

τ0 < t < τ

F0 τ < t,

con τ reale positivo. a) Determinare la legge oraria finale. Discutere il caso in cui τ e

molto minore del periodo naturale ω di oscillazione, e quello opposto in cui τ e molto

maggiore del periodo. [Passare all’incognita z(t) = dx(t)/dt+ iωx(t) ].

b)Nel corrispondente problema quantistico, determinare la probabilita che il sistema, in-

izialmente nello stato fondamentale, si trovi nel nuovo stato fondamentale a tempi t > τ .

Discutere i due casi limite come nelle considerazioni classiche. [Si utilizzi la descrizione di

Heisenberg per l’operatore di annichilazione e si sfrutti l’idea degli stati coerenti].


7.29) Come il 7.27). Un atomo di idrogeno si trova nello stato 2p con mx = ~ . Al tempo

t = 0 si accende un campo magnetico diretto come z . Assumendo di poter trascurare

gli effetti dello spin dell’elettrone e i termini quadratici nel campo, calcolare la dipendenza

temporale del valore di aspettazione di Lx . (Operare in rappresentazione di Heisenberg).

Quanto deve essere l’intensita del campo magnetico affinche l’interazione spin-orbita sia

effettivamente trascurabile. Esprimere la risposta in gauss.

0 y

z

x

sv B

I II

7.30) Un fascio di neutroni viaggia con velocita v

dalla regione I , ove e completamente polarizzato

nella direzione +z , alla regione II dove e

acceso un campo magnetico B = B ex .

i) Assumendo che una data particella passa dalla

regione I alla regione II al tempo t = 0 , quale

e la funzione d’onda di spin di quella particella

a t > 0 ? ii) In funzione del tempo, quale e la

polarizzazione del fascio nella regione II nelle

direzioni +x , +y e +z ?

7.31) Sia dato un oscillatore armonico forzato, descritto dall’Hamiltoniana:

H = H0 +H1(t) =p2

2µ+

1

2µω2x2 − x f(t) .

Al tempo t = 0 il sistema si trovi in un autostato | n 〉 dell’Hamiltoniana imperturbata

H0 . In rappresentazione di interazione, trovare la probabilita di trovare il sistema in un

altro autovettore | m 〉 di H0 , con m 6= n .

7.32) Siano date l’hamiltoniana H e l’osservabile A di un certo sistema:

A = α

∣∣∣∣∣∣

1 0 00 0 00 0 −1

∣∣∣∣∣∣H =

w√2

∣∣∣∣∣∣

0 1 01 0 10 1 0

∣∣∣∣∣∣.

Se al tempo t = 0 lo stato del sistema e autostato di A con autovalore α , si determini la

probabilita che la misura di A al tempo t > 0 dia ancora il valore A = α . Si determini

la probabilita dello stesso evento nel caso in cui si sia effettuata la misura dell’energia in

un tempo intermedio 0 < τ < t .

7.33) L’Hamiltoniano di un oscillatore con frequenza variabile nel tempo dato da:

H = ω(t) a†a+ µ(t) (a+ a†) ω(0) = 1 , µ(0) = 0 .

Si consideri lo stato iniziale dato da | ψ(0) 〉 = | z 〉 essendo | z 〉 autostato di a con

autovalore z . Si determini al tempo t > 0 : i) il valore medio di x = (a+ a†)/√

2 , ii) il

valore medio dell’energia 〈 H(t) 〉 . [Utilizzare la descrizione di Heisenberg].


7.34) Una particella di massa µ si trova in una buca infinita di larghezza L . Assumendo

che la particella sia nello stato fondamentale e che al tempo t = 0 la buca venga trasformata

in modo infinitamente rapido in una nuova buca di ampiezza 2L , calcolare: i) la probabilita

che la particella si trovi nello stato fondamentale della nuova buca di potenziale, ii) il valor

medio dell’energia all’istante t > 0. Discutere come cambierebbero le risposte alle domande

i) e ii) nel caso che la transizione L→ 2L avvenga in modo adiabatico, cioe in un tempo

molto lungo rispetto alla scala di tempi caratteristici della dinamica del sistema.

7.35) Un elettrone con lo spin diretto lungo l’asse z positivo attraversa un campo magnetico

B diretto come l’asse x . Dopo un tempo τ si misura nuovamente il suo spin. Quale e

la probabilita di trovare lo spin capovolto? Questa probabilita puo essere uguale a 1 ?

7.36) Una particella di massa µ e soggetta al potenziale V = 1/2 µω2x2 , e al tempo

t = 0 e descritta dalla funzione d’onda:

ψ(x, 0) = N∑

n

(1√2

)n

ψn(x) ,

essendo ψn gli autostati dell’energia relativi agli autovalori Wn = (n+1/2) ~ω . Calcolare

la costante di normalizzazione N . Trovare il valore d’aspettazione dell’energia a t = 0 .

Trovare una espressione di ψ(x, t) per t > 0 . Mostrare che | ψ(x, t) | 2 e una funzione

periodica del tempo, e valutarne il periodo.

7.37) Un elettrone si trova con lo spin diretto verso l’asse z negativo. All’istante t = 0 , si

accende un campo magnetico B omogeneo e costante, diretto come l’asse x . Determinare

al tempo τ > 0 le probabilita relative a due misure dello spin lungo z e lungo l’asse x .

7.38) Il vettore di stato al tempo t = 0 di una particella immersa in un potenziale di

oscillatore armonico V = 1/2 kx2 e dato da:

ψ(x, 0) = N e−α2x2/2

[cos β H0(αx) +

sin β

2√

2H2(αx)

].

N e β sono costanti reali, α2 =√µk/~ , e i polinomi di Hermite sono cosı normalizzati:

∫ ∞

−∞

dx e−α2x2 | Hn(αx) | 2 =

√π

α2nn! .

i) Scrivere una espressione per ψ(x, t) . ii) Quali sono i possibili risultati di una misura

dell’energia al tempo t , e quali sono le relative probabilita? iii) Quanto vale < x > al

tempo t ?

7.39) Una particella monodimensionale si muove in una buca infinita, nulla per 0 ≤ x ≤ a

e infinita altrove. La sua funzione d’onda all’istante iniziale e data da:

ψ(x, t = 0) =

√8

5a

[1 + cos(

πx

a)]

sin(πx

a) .


a) Valutare la funzione d’onda al tempo t0> 0 . b) Valutare l’energia media del sistema

al tempo t = 0 e al tempo t > 0 . c) Valutare la probabilita che al tempo t > 0 la

particella si trovi nella meta sinistra della buca, cioe con 0 ≤ x ≤ a/2 .

7.40) Siano date due particelle distinguibili di spin ~/2 . Valutare le probabilita che una

misura del quadrato dello spin totale S = S1 + S2 dia come risultato 2~2 nei casi in

cui gli spin delle due particelle puntano: i) entrambi nella direzione +z ; ii) quello della 1

nella direzione +z e quello della 2 nella direzione −z ; iii) quello della 1 nella direzione

+x e quello della 2 nella direzione +z .

Le due particelle interagiscono tramite l’Hamiltoniana: H = ω/~ S1 ·S2 . All’istante t = 0 ,

lo spin della particella 1 punta nella direzione +z e quello della particella 2 nella direzione

−z . A un generico istante t > 0 , valutare : i) lo stato del sistema; ii) la probabilita di

trovare z1 = + , cioe la prima particella con lo spin in su; iii) il valore di aspettazione della

componente z dello spin della particella 1.

7.41) Sia dato un oscillatore tridimensionale isotropo: H = p2/2µ+ 1/2 µ Ω2 r2 .

a) Trovare i primi tre livelli dell’energia, W0 , W1 , W2 . b) Se il sistema viene perturbato

con un campo magnetico B uniforme costante, valutare come viene perturbato il terzo

livello W2 . c) Nel caso che a t = 0 venga accesa la perturbazione H ′ = A x cosωt ,

determinare tra quali stati del punto a) possono avvenire transizioni. d) Con riferimento al

punto c), se lo stato iniziale imperturbato e quello fondamentale, valutare la probabilita di

transizione verso W1 al tempo t . e) Per valori di ω e Ω molto grandi rispetto alle altre

grandezze in gioco, dire per quali valori di queste la probabilita e sensibilmente diversa da

zero. Valutarla in questo caso, e nel caso che anche t sia grande.

7.42) Una particella di spin 1/2 e immersa in un campo magnetico diretto lungo z . A

partire dall’istante t = 0 si eseguono a intervalli regolari di tempo τ misure ripetute dello

spin nella direzione x . Dopo N misure oltre la prima, determinare: 1) la probabilita delle

differenti configurazioni e come queste si caratterizzano; 2) quali condizioni determinano

l’esistenza di configurazioni deterministiche.

7.43) Determinare la variazione nel tempo della funzione d’onda di un rotatore piano che

all’istante iniziale si trova nello stato: Ψ(ϕ; t = 0) = N sin2(ϕ) . Trovare il periodo del

rotatore.

7.44) Determinare la variazione nel tempo della funzione d’onda di un rotatore tridimen-

sionale che all’istante iniziale si trova nello stato: Ψ(ϑ, ϕ; t = 0) = N cos2(ϑ) . Trovare il

periodo del rotatore.

CAPITOLO 8

Perturbazioni dipendenti dal tempo. Problemi.

0 t

xVo

8.1) Una particella, inizialmente in un autostato

dell’energia di una buca quadrata infinita,

e soggetta a una perturbazione della forma

V0 x cos(ωt) . Mostrare quali transizioni

tra autostati um e un sono possibili.

8.2) Ricavare le regole di selezione per le transizioni di dipolo elettrico in un oscillatore

armonico monodimensionale.

8.3) E’ dato un oscillatore armonico lineare di frequenza ν . Al tempo t = 0 si trova nel suo

stato fondamentale e, a partire da questo istante, e soggetto alla forza F = F0 cos(2πνt)

con ν 6= ν . Trovare al tempo t la probabilita di transizione verso uno stato eccitato.

8.4) Sia dato un oscillatore armonico inizialmente nello stato fondamentale descritto in

opportune unita di misura da H0 = 1/2 (p2 + q2) . All’istante t = 0 l’oscillatore e

sottoposto alla perturbazione HI = λ q sin ωt . a) Si determini quale la probabilita

P (W, t) di misurare un’energia W = n + 1/2 ad un qualsiasi istante t > 0 . b) Al

tempo τ = 2π/ω la perturbazione viene spenta. Dire se la probabilita P (W, t) dipende

dal tempo per t > τ . c) Confrontare con il risultato esatto del 7.32).

8.5) Discutere l’oscillatore armonico quantistico avente massa µ e frequenza ω soggetto

a una perturbazione esterna che ne modifica la frequenza in modo tale da avere

ω(t) =

ω t < 0

ω + δω 0 < t < T

ω T < t .

Se l’oscillatore si trova nello stato fondamentale per t < 0 , quale sara la probabilita di

misurare un’energia pari a (n+ 1/2) ~ω a un tempo maggiore di T ?

8.6) Una particella tridimensionale di massa µ e carica q e soggetta al potenziale armonico

isotropo: V (x) = K/2 (x2 + y2 + z2) . All’istante t = −∞ l’oscillatore e nel suo stato

fondamentale e viene perturbato dal un campo elettrico: E(t) = A exp[−(t/τ)2] z , con z

53

54 8. PERTURBAZIONI DIPENDENTI DAL TEMPO. PROBLEMI.

versore dell’asse z , A e τ costanti e A 1 . Al primo ordine perturbativo, calcolare

la probabilita che a t = +∞ l’oscillatore si trovi in uno stato eccitato .

8.7) Un atomo di idrogeno si trova nel suo stato fondamentale. Al tempo t = 0 viene acceso

un campo elettrico spazialmente uniforme dato da: E(t) = E0 exp[−t/τ ]. Determinare lo

stato dell’atomo ad un tempo t τ , valutando esplicitamente il primo coefficiente non

nullo in teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo.

8.8) Supponendo che l’Hamiltoniana H0 abbia spettro discreto, determinare la probabilita

di transizione dal livello n al livello k imperturbati, per un sistema sotto l’effetto delle

seguenti perturbazioni. i) Accensione istantanea: V (t) = V0 θ(t) , con θ(t) gradino

di Heaviside ( dθ(t)/dt = δ(t) ), e V0 indipendente dal tempo. ii) Impulso istantaneo:

V (t) = V0 δ(t) , con V0 indipendente dal tempo. Quali sono le condizioni di applicabilita

delle formule ottenute nel caso che i) oppure ii) si instaurino in un tempo finito τ ?

8.9) Una particella di massa µ = 0.511MeV si trova in [0, a] nello stato fondamentale

di una buca infinita di larghezza a = 1 A. Al tempo t = 0 si attiva istantaneamente

un potenziale a buca quadrata, centrato in x = a/2 di profondita V0 = −104eV e

larghezza 2b = 10−12cm , che viene rimosso al tempo τ = 5·10−18sec . Dopo la rimozione

della perturbazione, quale e la probalita di trovare il sistema in ciascuno dei primi tre stati

eccitati della buca infinita?

8.10) Una particella monodimensionale a carica negativa −e e immersa in una buca

di potenziale infinita per −a/2 < x < a/2 e si trova nel primo autostato dell’energia.

All’istante iniziale viene applicato un campo elettrico E diretto nel verso positivo delle

x , che viene poi rimosso al tempo τ > 0 . i) Con la teoria delle perturbazioni dipendenti

dal tempo, valutare le probabilita P2 e P3 che la particella si trovi al tempo t > τ

negli autostati della buca infinita con n = 2 e n = 3 , rispettivamente. ii) Dire se ci si

attende che queste probabilita dipendono da t . iii) Specificare le condizioni sui parametri

che giustificano l’approssimazione perturbativa.

8.11) Un elettrone e confinato in una scatola cubica di lato 2a . Da t = 0 in poi al sistema

si applica il campo elettrico uniforme: E = E0e−α t , con α > 0 e E0 perpendicolare a

una delle facce della scatola. Al primo ordine in E0 valutare la probabilita di transizione

dallo stato fondamentale a t = 0 al primo stato eccitato al tempo t = ∞ .

8.12) Un atomo di idrogeno e immerso nel campo elettrico omogeneo di intensita :

E(t) = (E/πe) τ/(t2 + τ 2) , con E e τ costanti. Se a t = −∞ l’atomo si trova nello

stato fondamentale, quale e la probabilita di trovarlo nello stato 2p a t = ∞ ?

8. PERTURBAZIONI DIPENDENTI DAL TEMPO. PROBLEMI. 55

8.13) Una particella si trova al tempo t → −∞ nello stato fondamentale di una buca

infinita di larghezza a . Su di essa si esercita anche un potenziale variabile nel tempo, che

puo assumere una delle seguenti forme: a) H1(x, t) = −xV0 exp[−t2/τ 2] ;

b) H1(x, t) = −xV0 exp[−|t|/τ ] ; c) H1(x, t) = −xV0 /[1+(t/τ)2] . Al primo ordine delle

perturbazioni, calcolare le diverse probabilita di transizione della particella a stati eccitati

per t→ +∞ . Indicare anche le condizioni di applicabilita dell’approssimazione.

8.14) Un rotatore piano di momento bipolare d , vedi 2.4), si trova nel suo stato fondamen-

tale fintanto che non agisce un debole campo elettrico omogeneo di intensita E(t) = E(t) n ,

situato nel piano di rotazione e con:

E(t) =

0 t < 0

E0 exp[−t/τ ] t > 0 .

Per t→ ∞ e al secondo ordine della teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo, calco-

lare le probabilita di transizione proibite al primo ordine. Paragonarle con queste, e indicare

le condizioni di applicabilita dell’approssimazione. [ V = −d · E(t) = −d E(t) cosϕ .]

56 8. PERTURBAZIONI DIPENDENTI DAL TEMPO. PROBLEMI.

CAPITOLO 9

Momento angolare e spin. Problemi.

9.1) Considerare una particella nello stato descritto da

ψ = N ( x+ y + 2z ) e−αr ,

con N costante di normalizzazione. Indicare quali sono i possibili risultati di una misura

della terza componenete del momento angolare Lz , e quali le rispettive probabilita.

9.2) Sia dato un sistema descritto dall’Hamiltoniana:

H = p2 + a (x2 + y2) + b z2 .

i) Se eseguo una misura di H e immediatamente dopo una misura di L2 e dopo ancora

nuovamente di H , ritrovo necessariamente lo stesso valore dell’energia? ii) Come sopra

nel caso a = b . iii) Nel caso a = b , dopo una misura solo di L2 il vettore di stato si

trova necessariamente in un autostato dell’energia?

9.3) Al tempo t = 0 la funzione d’onda di una particella ha la forma ψ = N xye−r,

dove r =√x2 + y2 + z2 e N e una costante di normalizzazione. i) Quali sono i possibili

risultati di una misura del momento angolare L2 e di Lz e quali le loro probabilita? ii)

Se la particella si trova in un potenziale centrale, come variano tali probabilita nel tempo?

9.4) L’Hamiltoniana di un sistema di due spin e data da:

H = α S1 · S2 + β (S1z + S2z)

Calcolare lo spettro dell’energia per gli spin uguali a: i) 1/2, 1/2 , ii) 1/2, 3/2 .

9.5) Un sistema costituito da due particelle di spin 1/2 e descritto dalla funzione di spin

ψ(1, 2) = χ+(1)χ−(2), dove χ±(i) , i = 1, 2 sono autofunzioni della componente lungo z

dello spin della particella i-esima. i) Se si esegue una misura di (S1 + S2)2 , quali risultati

si possono ottenere e con quali probabilita? ii) Quale e il valor medio della componenente

lungo l’asse z dello spin totale del sistema?

9.6) Mostrare che la funzione ψ = N z exp[−α (x2 + y2 + z2) ] , con N costante di

normalizzazione, e autostato di L2 e di Lz . Ricavare le altre autofunzioni di Lz

appartenenti alla stessa rappresentazione irriducibile dell’algebra Lx, Ly, Lz .

57

58 9. MOMENTO ANGOLARE E SPIN. PROBLEMI.

⊕y

z

x

θ

9.7) Una particella di spin 1/2 , inizialmente in

un autostato di Sz con autovalore ~/2 , entra

dalla direzione y in un apparato di Stern-Gerlach

orientato per misurare il momento angolare in

una direzione sul piano x− z individuata

dall’angolo θ .

Calcolare le probabilita di ottenere i valori ±~/2 .

9.8) La funzione d’onda di una particella e della forma ψ = f(r, θ) cosϕ . Cosa si puo

predire circa il risultato di una misura della componente z del suo momento angolare?

9.9) Una particella di spin 1, si trova in un autostato di Sz . Valutare i valori di aspettazione

per Sx , Sy , S2x , S2

y in corrispondenza ai diversi autovalori.

9.10) Una particella sulla sfera, descritta dalla Hamiltoniana H = L2/2I + a Lz , con I e

a costanti numeriche, e caratterizzata dallo stato iniziale: ψ(0) = A sin 2θ sinϕ , con A

costante di normalizzazione. Dimostrare che al generico istante t lo stato della particella e

dato da: ψ(t) = A exp[−i3~ t/I] sin 2θ sin(ϕ− at) .

9.11) Senza fare ricorso alla teoria generale dell’addizione di momenti angolari, determinare

autostati e autovalori relativi agli operatori S2 e Sz , essendo S = s1 + s2 , in termini

degli autostati | 1/2 ;±1/2 〉i degli operatori s2i e szi

(i=1,2).

9.12) Per una particella di spin 1/2 si e osservata la proiezione dello spin sull’asse z , e si

e trovato il valore ~/2 . Calcolare: a) la probabilita di trovare lo stesso valore immedia-

tamente dopo la prima misura per la proiezione di S sugli assi x , y e sull’asse r di

coseni direttori l, m, n ( l2 +m2 + n2 = 1 ); b) i valori medi delle proiezioni di S sugli

stessi assi x, y e r ; c) gli scarti quadratici medi delle proiezioni di S sugli assi x e y .

d) Se la seconda misura viene eseguita dopo un certo intervallo di tempo dalla prima e la

particella e libera, dire se sono variate le probabilita e i valori medi sopra considerati.

9.13) La funzione di spin di un sistema di N particelle a spin 1/2 e della forma:

ψ =

∣∣∣∣10

∣∣∣∣1

∣∣∣∣10

∣∣∣∣2

...

∣∣∣∣10

∣∣∣∣n

∣∣∣∣01

∣∣∣∣n+1

∣∣∣∣01

∣∣∣∣n+2

...

∣∣∣∣01

∣∣∣∣N

.

Valutare il valor medio del quadrato dello spin totale del sistema.

9.14) Dati N spinori ( s = 1/2 ) diversi tra di loro, calcolare quanti stati linearmente

indipendenti corrispondono all’autovalore Sz della terza componente dello spin totale.

9. MOMENTO ANGOLARE E SPIN. PROBLEMI. 59

9.15) Determinare lo stato a spin totale 0 , in funzione di due vettori di stato a spin 1 .

9.16) Sia data la funzione d’onda di due particelle di momento angolare j della forma:

ψ = (2j + 1)−1/2∑j

mj=−j(−)sj | j,mj 〉1| j,−mj 〉

2,

con sj = mj per j intero e sj = mj + 1/2 per j semintero. Dimostrare che tale stato

ha momento angolare totale zero.

9.17) Sia dato un sistema di due particelle (distinguibili) di spin 1 . Senza fare uso dei

coefficienti di Clebsch-Gordan, ricavare le autofunzioni dello spin totale e della sua terza

componente in funzione degli autostati di particella singola.

9.18) Due particelle di spin j1 e j2 si trovano nello stato jtot = mtot = j1 + j2 − 1 .

Determinare la probabilita di misurare m1 = j1 .

9.19) Una particella di spin 1/2 si trova nello stato ψ = | sinα i cosα |T . Calcolare la

probabilita che la misura di n · s con n = n,m, l dia il valore ±1/2 . Vedi 9.12).

9.20) Due particelle, di spin 1 e 1/2 , si trovano in uno stato a spin totale | 1/2, 1/2 〉T

.

Detti S1 e S2 gli operatori di spin 1 e 1/2 , rispettivamennte, valutare le probabilita

di misurare i valori possibili di S2z , S2y . Se in una prima misura di S2y si e trovato il

valore 1/2 , valutare le probabilita legate a successive misure di S1y .

9.21) Un oscillatore armonico tridimensionale isotropo e descritto all’instante t = 0 da:

ψ(x, y) = N Z(z) exp[−α(x− x0)2 − β(y − y0)

2 + ik1x + ik2y ] ,

con Z(z) arbitrario normalizzato. Determinare il valore di aspettazione della componente

z del momento angolare a un tempo qualunque t > 0 .

9.22) Sia dato un sistema descritto dall’Hamiltoniana H = λ (L+L−)2 e dalla funzione

d’onda all’istante iniziale ψ(0) = A sin θ sinϕ . Determinare l’evoluzione temporale della

funzione d’onda e valutare a quale tempo essa diventa ψ(t) = A sin θ cosϕ .

9.23) Una particella di massa µ senza spin si trova all’istante t = 0 nello stato:

ψ(x, y, z) = Nz

r

d

dr

(sin kr

kr

),

con r =√x2 + y2 + z2 . Si determinino i valori di aspettazione per la componente z del

momento angolare 〈 Lz 〉 , per il suo quadrato 〈 L2 〉 e per l’energia cinetica 〈 p2/2µ 〉 .


9.24) Si consideri il sistema composto da due particelle con spin ~/2 e momento magnetico

dato rispettivamente da µeσe e µpσp . L’hamiltoniano e dato da:

H = H0 + (µeσez + µpσpz)B + C σe · σp ,

dove B rappresenta un campo magnetico esterno costante diretto come l’asse z , C e una

costante positiva e H0 rappresenta la parte di hamiltoniano che non dipende dallo spin.

Quali sono gli autovalori dell’energia e quali le autofunzioni, limitatamente alla dipendenza

dallo spin? [ Separare le variabili e omettere H0 . ]

9.25) Un sistema di tre particelle di spin 1/2 possiede otto stati di spin linearmente

indipendenti. Determinare quali sono autostati degli operatori di spin totale S2 e Sz .

9.26) Nello spazio di spin le rotazioni di un angolo β attorno all’asse y sono date

dall’operatore: Ry(β) = exp[−iβSy ] . Trovarne la rappresentazione matriciale nel caso di

s = 1/2 e s = 1 , con lo sviluppo in serie, e con lo sviluppo spettrale.

9.27) Dati due momenti angolari uguali l1 = l2 = l , determinare lo stato a momento ango-

lare totale L = 0 nella rappresentazione prodotto diretto | l, m1 〉 | l, m2 〉 . [Utilizzare

l’operatore innalzatore L+ .]

9.28) Si consideri una particella in campo centrale, la cui funzione e data da:

ψ(r, θ, ϕ) = Nf(r) cosn θ ,

con n intero e N costante di normalizzazione. Dimostrare che nel limite n → ∞l’indeterminazione sulle componenti x, y del momento angolare tende all’infinito, men-

tre la posizione angolare della particella risulta sempre meglio collimata lungo l’asse z .

[Utilizzare l’espressione degli operatori: L± = ~ e±iϕ(±∂/∂θ + i cot θ ∂/∂ϕ

).]

9.29) Dati due momenti angolari uguali j1 = j2 = j , mostrare che gli autostati del

momento angolare totale J 2 e Jz con J = J1 + J2 , in termini del prodotto diretto

dei singoli momenti angolari, sono a simmetria definita nello scambio m1↔m2 . Dire quali

sono pari e quali dispari.

9.30) Una particella si trova in uno stato descritto dalla funzione d’onda:

ψ(x) = A[

cos θ + sin θ(1 + 2 cos θ) sinϕ]g(r) ,

∫ ∞

0

dr r2 | g(r) |2 = 1 .

Quali sono i possibili risultati di una misura di Lz e di L2 ? Quali sono le probabilita

relative? Quali soni i valori di aspettazione di Lz e di L2 ?


9.31) Due elettroni sono strettamente legati in due siti differenti in un solido e possono

pertanto essere trattati come distinguibili. Essi interagiscono con l’Hamiltoniana:

H = −β(σ1xσ2x +σ1yσ2y

), con β costante. i) Quanti livelli di energia possiede il sistema?

Quali sono le loro energie e le degenerazioni? ii) Se si aggiunge un campo magnetico B

nella direzione z , quali diventano i nuovi livelli di energia?

9.32) Tre particelle di spin ~/2 si trovano in equilibrio ai vertici di un triangolo equilatero.

L’interazione tra gli spin determina l’Hamiltoniana: H = β (s1 · s2 + s2 · s3 + s3 · s1) dove

β e una costante. Si determini lo spettro di energia e se ne discuta la degenerazione. Se si

accende un campo magnetico uniforme B ortogonale al piano che contiene le particelle,

trovare il valore minimo del campo per il quale esiste un livello di energia pari a zero.

9.33) Si consideri l’energia di accoppiamento di quattro spin s1, s2, s3, s4 posti ai vertici

di un tetraedro H = −µ∑i,j si ·sj . Calcolare lo spettro dell’energia nel caso in cui ciascuno

spin abbia valore ~/2.

9.34) Sia data una coppia e−, e+ nello stato di puro spin |ψ 〉 = 1/√

2 ( |+− 〉−|−+ 〉 ).

Calcolare il valore di aspettazione di (n1 · s1)(n2 · s2) , con n1 e n2 versori arbitrari.

9.35) Una particella senza spin e rappresentata dalla funzione d’onda (vedi 9.1)):

ψ = N (x + y + 2z) e−αr , con r2 = x2 + y2 + z2 , e α reale. Trovare il valore

di aspettazione del momento angolare totale e della sua terza componente. Calcolare la

probabilita di trovare la particella nell’angolo solido dΩ individuato dagli angoli θ e ϕ .

9.36) Una particella e immersa in un potenziale centrale, e ha numeri quantici di momento

angolare orbitale l = 2 e di spin s = 1 . Trovare i livelli di energia e le degenerazioni

associate a una interazione spin-orbita della forma Hso = β L · S con β costante reale.

9.37) Due particelle di spin 1/2 si trovano una nello stato con s(1)z = 1/2 e l’altra con

s(2)x = 1/2 . Quale e la probabilita di trovare il valore S = 0 per lo spin totale?

9.38) Consideriamo una particella a spin 1/2 . Essendo sy e sz gli operatori di momento

angolare s = ~/2 σ , e A e B due costanti reali, quali sono gli autovalori e gli

autovettori normalizzati dell’operatore S = Asy + Bsz ? Se il sistema si trova nello stato

corrispondente all’autovalore superiore di S , quale e la probabilita che una misura di sy

dia come risultato ~/2 ?

9.39) Sia data una particella con momento angolare orbitale l e spin 1/2 . In funzione

degli stati prodotto diretto | l, ml ; s,ms 〉 , determinare gli stati di momento angolare


totale | j / m 〉 con m = l− 1/2 , utilizzando esplicitamente gli operatori di creazione e

distruzione J± | j / m 〉 = [ j(j + 1) −m(m± 1) ]1/2 | j / m± 1 〉 , ( ~ = 1 ) .

9.40) Un atomo di idrogeno si trova nello stato 2P1/2 ( n = 2, l = 1, j = 1/2 ). i) Quale

e la probabilita che lo spin si trovi in direzione opposta a quella del momento angolare

totale? Vedi 9.20). ii) Calcolare la densita di probabilita P (θ, ϕ) che l’elettrone si trovi

nell’angolo solido θ, ϕ , indipendentemente dalla distanza radiale e dallo spin.

9.41) Si consideri lo stato | l, m > , autostato degli operatori L2 e Lz , con:

L2 | l, m >= l(l + 1)~2 | l, m > , Lz | l, m >= m~ | l, m > .

Su questi stati, calcolare i valori di aspettazione < Lx > e < L2x > .

9.42) Un iperone Ω− (3/2,+) , (spin, parita intrinseca), puo decadere via interazioni

deboli in un iperone Λ (1/2,+) e in un mesone K− (0,−) : Ω− → Λ +K− .

i) Supponendo il decadimento a riposo, determinare la forma piu generale della distri-

buzione angolare del mesone K− relativa alla direzione z lungo la quale la Ω− ha

componente massima dello spin, assumendo cioe come stato iniziale | Ω−3/2,3/2 > .

ii) Quale sarebbe invece la distribuzione se la parita venisse conservata?

9.43) Consideriamo le reazioni: a) π+p→ π+p , b) π−p→ π−p , c) π−p→ π0n .

Queste reazioni possono avvenire per interazioni forti che conservano lo spin isotopico, e

possono formare una risonanza ∆ a spin isotopico I = 3/2 oppure una N ∗ a spin

isotopico I = 1/2 . Tenendo conto che all’energia di una risonanza si puo trascurare il

contributo dell’altro canale, valutare il rapporto delle tre sezioni d’urto per i due casi.

9.44) Un fascio di particelle con momento angolare l = 1 si muove lungo una direzione che

indicheremo come asse y e attraversa un magnete Stern-Gerlach avente campo magnetico

in una direzione giacente nel piano ortogonale al movimento, e che chiameremo asse x .

Il fascio emergente risulta separato in tre componenti, corrispondenti a m = −1, 0, 1 , e

la componente m = 1 viene fatta passare attraverso un altro Stern-Gerlach con campo

magnetico lungo l’asse z. a) In quanti fasci si separa ulteriormente il fascio con m = 1 ,

e qual’e il loro numero relativo di atomi? b) Stesse domande per le altre due componenti

m = 0, −1 del fascio originario. c) Se consideriamo il fascio uscente con m′ = 1 dal

secondo Stern-Gerlach, possiamo affermare che le componenti x e z del suo momemto

angolare sono uguali a ~ ? Giustificare la risposta.

CAPITOLO 10

Molte particelle. Problemi.

10.1) Sia dato un atomo di elio in cui uno degli elettroni e stato sostituito da un muone

(stessa carica, massa 207 volte superiore). Si trovi un valore approssimato per lo spettro

dello stato fondamentale trascurando l’interazione e−µ− , e si discutano le differenze dal

caso di due elettroni. Si determini un’approssimazione migliore tenendo conto dell’effetto

di schermo che il muone esercita sul nucleo; si spieghi infine per quale motivo gli stati con

numero quantico principale del muone nµ > 1 sono instabili per ionizzazione.

0 a−a

10.2) Due particelle monodimensionali di massa µ1 e

µ2 si muovono nel potenziale:

V =

0 |x12| ≤ a

∞ |x12| > ax12 = x1 − x2 .

Trovare autovalori e autofunzioni di questo

sistema nel caso di momento totale P , nella

ipotesi che le due particelle siano bosoni

indistinguibili o fermioni indistinguibili ( µ1 = µ2 ).

10.3) Due fermioni identici di spin 1/2 interagiscono mediante il potenziale armonico:

V = K/2 (x1 − x2)2 + V0 s1 · s2 ,

ove x1,x2, s1, s2 , indicano gli operatori di posizione e di spin delle due particelle.

Determinare autovalori e autofunzioni del sistema.

10.4) Per l’atomo di Elio, valutando la repulsione coulombiana al primo ordine perturbativo,

calcolare le energie di legame e i potenziali di ionizzazione dello stato fondamentale e dei

primi stati eccitati, singoletto e tripletto, 2 1S e 2 3S . [ Per gli integrali diretti e l’integrale di

scambio utilizzare i valori (vedi l’Appendice): J1,0,0;1,0,0

= 5/4 Zw0, J

1,0,0;2,0,0= 34/81 Zw

0,

K1,0,0;2,0,0

= 32/729 Zw0. ]

10.5) Un atomo di tre elettroni si trova nello stato fondamentale imperturbato (1s)22s .

i) Scrivere la funzione d’onda dello stato sotto forma di determinante di Slater. ii) Esprimere

le correzioni all’energia dovute alla repulsione coulombiana tra gli elettroni, al primo ordine

perturbativo e tramite le sole funzioni d’onda orbitali u100(ri) e u200(ri) (i = 1, 2) .

65

66 10. MOLTE PARTICELLE. PROBLEMI.

10.6) Due particelle identiche di massa µ e spin

1/2 si trovano in una scatola cubica di lato 2a .

i) Determinare lo stato fondamentale e trovare la

probabilita di trovare una particella in un volume

dx attorno al punto x .

ii) Se si aggiunge una interazione della forma

V = A σ1 · σ2 , determinare come viene

modificata l’energia dello stato fondamentale.

10.7) Tre particelle identiche di massa µ = 10.8 · 10−28gr e spin 1/2 si muovono libere

in una scatola cubica di lato 2l = 2 · 10−8cm . Calcolare le energie necessarie per passare

dallo stato fondamentale al primo eccitato, e da questo al secondo.

10.8) Scrivere la forma piu generale dello stato fondamentale di un atomo di boro (numero

atomico 5), trascurando la repulsione coulombiana tra gli elettroni.

10.9) Tre bosoni identici con s = 1 sono descritti dalla funzione d’onda

Ψ = φ(x1)φ(x2)φ(x3)Σ(σ1, σ2, σ3) ,

con φ(x) funzione data, e σ1, σ2, σ3 terze componenti dello spin di ciascuna particella.

Determinare il numero degli stati indipendenti. Da tale numero e da semplici considerazioni

di simmetria, determinare i valori possibili per lo spin totale. Scrivere esplicitamente gli

autostati dello spin totale e della sua terza componente in funzione degli autostati dello

spin delle singole particelle. E per tre spinori identici con s = 1/2 ?

10.10) Calcolare l’energia dello stato fondamentale dell’atomo di Litio, al primo ordine

perturbativo nella repulsione Coulombiana, e confrontare con il valore sperimentale W speLi ≈

−203.4 ev . (Vedi 10.5) e 10.4) per gli integrali.)

10.11) Calcolare l’energia dello stato fondamentale dell’atomo di Litio, repulsione Coulom-

biana inclusa, mediante il metodo variazionale, utilizzando come funzioni di prova:

ψζ = uζ1(r1) u

ζ1(r2) u

ζ2(r3) χ ,

dove χ e la funzione di spin e uζ1,2(r) sono le due prime autofunzioni di un ato-

mo idrogenoide a numero atomico ζ inteso quale parametro variazionale. Confrontare

con i risultati perturbativi dell’esercizio 10.10). [Notare che l’uso di funzioni d’onda non

simmetrizzate non implica avere trascurato completamente l’identita delle particelle: il

principio di esclusione di Pauli e infatti implicito nella scelta delle funzioni di prova.]

10.12) Come il problema precedente, ma con funzioni di prova antisimmetrizzate.

10. MOLTE PARTICELLE. PROBLEMI. 67

10.13) Quale puo essere lo spin totale S di due bosoni identici di spin s, in uno stato a

momento orbitale relativo L?

10.14) Due bosoni identici a spin zero sono descritti dalla funzione d’onda ψ(r1, r2). De-

terminare la probabilita di trovare una particella in un intorno infinitesimo del punto r1 e

l’altra in un intorno infinitesimo del punto r2. Controllare la coerenza di questo valore con

la condizione di normalizzazione della funzione d’onda. Determinare la probabilita che le

due particelle si trovino all’interno dello stesso volume V . Determinare la probabilita che

le due particelle si trovino una all’interno e l’altra all’esterno del volume V .

10.15) Siano date due particelle identiche interagenti tramite il potenziale:

V (x) = K/2 (r1 − r2)2 . Qual’e la degenerazione rispettivamente dello stato fondamentale

e del primo stato eccitato nei casi di particelle di spin 0 , 1/2 , 1 ? Dire come cambia

la risposta se le particelle fossero invece sottoposte al potenziale: V (x) = K/2 (r 21 + r 2

2 ) .

Dire inoltre in entrambi i casi se e come viene risolta la degenerazione con l’introduzione di

un campo magnetico costante lungo l’asse z . [Per l’oscillatore tridimensionale, vedi 3.6).]

10.16) Due particelle di massa µ in una scatola rettangolare di lati a > b > c interagiscono

tra di loro tramite il potenziale V = A δ3(r1−r2) , e si trovano nello stato di minima energia.

Al primo ordine perturbativo, calcolare l’energia del sistema nelle seguenti condizioni:

i) particelle non identiche; ii) particelle identiche a spin zero; iii) particelle identiche a spin

1/2 , con gli spin paralleli.

10.17) Tre particelle monodimensionali di massa µ sono legate l’una all’altra da forze

armoniche, date dal potenziale: V = k/2 [ (x1 − x2)2 + (x2 − x3)

2 + (x3 − x1)2 ] .

Utilizzando le coordinate del centro di massa: y1 = x1 − x2 , y2 = (x1 + x2)/2 − x3 ,

y3 = (x1 + x2 + x3)/3 , risolvere il problema agli autovalori in modo esatto.

10.18) Utilizzando il risultato precedente, trovare l’energia dello stato fondamentale nel

caso di tre bosoni identici a spin zero. Analogamente nel caso di tre fermioni identici di

spin 1/2 .

10.19) 1) Due particelle identiche, non interagenti tra di loro, sono immerse in un potenziale

armonico isotropo (vedi 3.6)). Calcolare le degenerazioni dei primi tre livelli dell’energia

nei seguenti casi: a) le due particelle hanno spin 1/2 ; b) le due particelle hanno spin 1 .

10.20) Calcolare le degenerazioni delle due configurazioni elettroniche: a) 2s2p , b) 2p3p .

Per ciascuna di queste elencare i valori possibili di L2S+1j , e verificare che il numero degli

stati in questa rappresentazione e uguale alle degenerazioni viste prima.

68 10. MOLTE PARTICELLE. PROBLEMI.

10.21) Due particelle sono immerse in un potenziale nullo per 0 < x < 2a e infinito altrove.

a) Quali sono i valori dei primi quattro valori dell’energia? b) Quali sono le degenerazioni

di queste energie nel caso che le due particelle siano: i) identiche, con spin 1/2 ; ii) non

identiche, entrambe con spin 1/2 ; iii) identiche, con spin 1 .

CAPITOLO 11

Argomenti vari. Problemi.

11.1) Consideriamo le seguenti affermazioni. i) I polinomi di Laguerre costituiscono un

insieme completo in L2[ 0,∞) sulla misura opportuna. ii) Le autofunzioni dell’atomo di

idrogeno relative agli stati legati non costituiscono un insieme completo in L2[ 0,∞) .

Sono esse contradditorie? Si, No, Perche.

11.2) Una particella di massa µ vincolata sul segmento [ 0, a ] dell’asse x si trova in un

autostato dell’energia. Calcolare 〈 x 〉 e ∆x .

11.3) Costruire due matrici 3 × 3 tali che nessuna delle due costituisca un set completo

di osservabili, ma che lo sia l’insieme delle due.

11.4) Di un sistema fisico siano dati il vettore di stato al tempo t e l’osservabile A :

A = a

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 0 01 0 0 00 0 0 −i0 0 i 0

∣∣∣∣∣∣∣∣| ψ 〉 =

1

2

∣∣∣∣∣∣∣∣

1111

∣∣∣∣∣∣∣∣.

Determinare i risultati di una misura di A sullo stato | ψ 〉 e le relative probabilita.

11.5) La costante elastica k di un oscillatore armonico

unidimensionale nel suo stato fondamentale

improvvisamente si raddoppia. Immediatamente dopo

questo evento, quale e la probabilita che una

misura di energia sul nuovo oscillatore lo trovi:

i) nello stato fondamentale; ii) nel primo stato

eccitato; iii) nel secondo stato eccitato.

11.6) Una particella di massa µ e soggetta a un potenziale armonico di frequenza ω . Ad

un certo istante essa e descritta dalla funzione d’onda:

ψ(x) = N x2 exp[−µωx2/2~ ] .

Calcolare il valore medio dell’energia a tale istante.

69

70 11. ARGOMENTI VARI. PROBLEMI.

11.7) Dire se sullo stato

ψo(x) =

√a/

√π exp

[−a2/2 (x− x0)

2 + i/~ p0 (x− x0)]

vale la uguaglianza 〈 p2 〉 = 〈 p 〉2 , essendo p l’operatore momento.

11.8) Per una particella senza spin in tre dimensioni, considerare le osservabili φ , angolo

equatoriale, e Mz , terza componente del momento angolare. Determinare per esse un

principio di indeterminazione, e verificarlo sugli stati um(φ) = 1/√

2π exp(imφ) .

11.9) L’elettrone di un atomo di idrogeno si trova nel suo stato fondamentale. Calcolare la

distribuzione di probabilita per il momento.

11.10) Dato un pacchetto d’onde nel potenziale V = k x2/2 + ax3 , si dimostri che i valori

medi 〈 x 〉 e 〈 p 〉 non soddisfano le equazioni classiche del moto, se non nel caso a = 0 .

11.11) Sia data la funzione d’onda di una particella libera in una dimensione:

ψ(x) =1√2π~

√β/

√π

∫ ∞

−∞

dp exp[− 1

2β2(p− p0)

2 +i

~(px− p2

2µt)

].

Calcolare la densita di probabilita che al tempo t , fatta una misura di energia, si trovi un

valore compreso tra W e W + dW .

11.12) Sia H l’hamiltoniano di un sistema, X un’osservabile commutante con H , e Y

un’altra osservabile soddisfacente a [H, Y ] = iX . i) Dimostrare che anche Z = i[X, Y ]

e costante del moto. ii) Fornire un esempio concreto dei tre operatori H, X, Y .

11.13) Un sistema di due particelle a spin zero si trova nello stato

Ψ(x1,x2) = N exp[−α/2 x2

1 − β/2 x22 + γ x1 · x2

]

Si calcoli il valore di aspettazione del momento lineare e delle componenti del momento

angolare delle due particelle.

11.14) In uno scattering elettrone-protone, scrivere la piu generale funzione d’onda iniziale

dell’elettrone in campo coulombiano, tale che questo in nessun istante successivo possa

essere catturato in uno stato legato.

11.15) Determinare la parita intrinseca del π− dalla reazione forte π− + d → 2n ,

supponendo che questa avvenga dopo formazione dell’atomo mesico π−d in onda S .

11. ARGOMENTI VARI. PROBLEMI. 71

Ricordare che: l’operatore di parita e definito da Pψα(x, σ) = ηαψα(−x, σ), con ηα=±1

detta parita intrinseca della particella α ; le interazioni forti conservano la parita; il π−

ha spin zero; il deutone e il neutrone hanno spin-parita 1+ e 1/2+ , rispettivamente.

11.16) Siano Wn = Wn(µ, ω, λ, ~) gli autovalori dell’Hamiltoniana

H =p2

2µ+

1

2µω2q2 +

1

4λq4 , [ q, p ] = i~.

Dimostrare che vale la relazione:

Wn(µ, ω, λ, ~) = ~

(~λ

µ2

)1/3

Wn( ω3µ2/~λ ) .

[Utilizzare una semplice trasformazione canonica oppure considerazioni dimensionali.]

11.17) Sia data l’Hamiltoniano per una particella tridimensionale di massa µ:

H =p2

2µ+ V (q2) , V (q2) = k | q | 2β , k > 0 ,

e un operatore autoaggiunto A soddisfacente le regole di commutazione:

[ A, pk ] = i~ pk , [ A, qk ] = −i~ qk . Ricavare da queste le relazioni:

〈 W | p2

2µ| W 〉 =

β

1 + βW , 〈 W | V (q2) | W 〉 =

1

1 + βW ,

essendo H | W 〉 = W | W 〉 . Ricavare inoltre una espressione esplicita per A .

11.18) Risolvere il problema agli autovalori per l’operatore

K =1

2( p4 + q4 )

essendo p, q operatori canonici. Adottare una approssimazione che consista nel proiettare

le autofunzioni nel sottospazio generato da∑4

n=0 cn | n 〉, essendo | n 〉 gli autostati

dell’oscillatore armonico.

11.19) Il principio di Heisenberg afferma che una particella confinata in un recipiente di

volume finito non puo avere energia cinetica zero. Spiegare perche, e valutare la pressione

esercitata dalla particella nello stato fondamentale.

11.20) Dati tre operatori hermitiani N-dimensionali A, B e C , soddisfacenti le regole

di commutazione: [A,C] = [B,C] = 0 , [A,B] 6= 0 , dire se puo esistere una base nella

quale l’operatore C ammette la rappresentazione: Cik = δikk con k = 1, 2, ..., N .

11.21) Una particella immersa nel potenziale U(x) si trova in uno stato stazionario.

Mostrare che la forza media che si esercita su di essa e nulla, cioe che F = −dU/dx ha

valore di aspettazione nullo sugli stati stazionari.


a−a

−V0

11.22) Sia data una particella quantistica in un solo

grado di liberta soggetta a un potenziale

V =

−V0 |x| < a

0 a < |x| ,

con V0 e a costanti reali positive. Se la particella

si trova inizialmente nello stato rappresentato da un

pacchetto d’onde gaussiano

ψ(x, t = 0) = A exp[−(x− x0)2

4σ− ik0x]

con A, k0, x0 e σ costanti reali positive, valutare la probabilita che a t > 0 l’energia

sia quella dello stato fondamentale. Si approssimino le formule ottenute nel caso in cui

x0 a . La probabilita richiesta dipende dal tempo t > 0 a cui si effettua la misura?

11.23) Una particella senza spin e immersa in un potenziale V (x) , e ha spettro puramente

discreto. Sfruttando il doppio commutatore [ [ H, expix · k ] , exp−ix · k ] , calcolare:

S =∑

m(Wn −Wm) | 〈 n | expix · k | m 〉|2 ,essendo k un vettore costante e Wn gli autovalori di H .

L

2a d

11.24) Un fascio di elettroni monocromatici passa

attraverso due fenditure distanti 2a = 1mm , formando

frange di interferenza su uno schermo posto a distanza

L = 1m . La distanza fra le frange nella regione

centrale e di d = 0.15 µ . Qual’e l’ordine di grandezza

dell’energia degli elettroni?

11.25) Un rotatore piano di momento di inerzia I e momento di dipolo elettrico dE e

immerso in un debole campo elettrico omogeneo E0 diretto lungo il piano del rotatore.

Valutare la prima correzione non nulla all’energia. In questa approssimazione valutare la

polarizzabilita pE = ∂〈dE〉/∂E0 del rotatore nello stato.

11.26) Stimare le dimensioni dell’atomo a Z 1 elettroni, con il modello di Bohr, il

principio di esclusione di Pauli senza repulsione coulombiana, e nell’ipotesi di livelli pieni.

11.27) Un oscillatore armonico di carica q si trova nello stato fondamentale. A un certo

istante si accende un campo elettrico uniforme diretto lungo il semiasse positivo della

coordinata x. Determinare la probabilita di transizione verso gli stati eccitati del nuovo

sistema. [Vedi 3.4). Utilizzare la forma differenziale dei polinomi di Hermite.]


11.28) La fisica di bassa energia di un sistema quantistico e descritto dalla matrice

H =

∣∣∣∣∣∣∣∣

−W0 0 ε 00 −W0 ε εε ε W0 00 ε 0 W0

∣∣∣∣∣∣∣∣,

con ε reale. i) Dimostrare attraverso un calcolo esplicito che, qualunque sia il valore di

ε , gli autovalori di H si presentano sempre a coppie di valori, opposti in segno, cioe

W1 = −W3 , W2 = −W4 . Stabilire se questo e vero anche in generale per una qualunque

matrice del tipo H =

∣∣∣∣−W0 1 V

V† W0 1

∣∣∣∣ , dove 1 e la matrice unita di dimensione n , e

V e una matrice n−dimensionale arbitraria.

11.29) La funzione d’onda di una particella immersa in una buca di potenziale di pro-

fondita infinita e larghezza a (0 < x < a), e data da: 1) φ1(x) = N1 x(x − a) ,

2) φ2(x) = N2 sin2(πx/a) . Calcolare le distribuzioni di probabilita dell’energia, valutando

numericamente i primi due coefficienti non nulli. Valutare inoltre il valor medio dell’energia

e il suo scarto quadratico medio. [∑∞

k=0(2k+ 1)−2 = π2/8 ,∑∞

k=0(2k+ 1)−4 = π4/96 .]

11.30) A due osservabili α e β corrispondono gli operatori A e B , con due autovalori

distinti non degeneri ciascuno, a1 , a2 e b1 , b2 , e due autovettori | a1 〉 , | a2 〉e | b1 〉 , | b2 〉 , rispettivamente. Valgono le relazioni | a1 〉 = c1 | b1 〉 + c2 | b2 〉 e

| a2 〉 = c2 | b1 〉 − c1 | b2 〉 dove c1 = 2/√

13 e c2 = 3/√

13 . i) Dire se α e β sono

compatibili, ovvero se i corrispondenti operatori commutano. ii) Se si misura α ottenendo

il valore a1 e immediatamente dopo si esegue una misura di β seguita da un’ulteriore

misura di α , dire qual’e la probabilita di ottenere ancora a1 per quest’ultima misura.

11.31) La funzione φ0 = N (x2 + a2)−1 e autofunzione, con’autovalore zero, di:

H = −1

2

d2

dx2+

3x2 − a2

(x2 + a2)2

Dimostrare che non esistono stati a energia negativa. [Si puo procedere in vari modi: ad es.

dimostrando che H = D†D per qualche operatore D da determinare; oppure tenendo

presente una proprieta degli zeri delle autofunzioni dell’equazione di Schrodinger.]

11.32) Determinare lo spettro di una particella monodimensionale in un potenziale di am-

piezza 2b e profondita V0 : V = −V0 θ(b − |x|) nel limite in cui V0 → ∞ , b → 0 ,

con 2V0b = λ fissato. Se la particella si trova inizialmente nello stato rappresentato da

un pacchetto d’onde gaussiano: ψ0 = ψ(x; t = 0) = A exp [−(x− x0)2/4σ + ik0x] , con

A, k0, x0 e σ costanti reali positive, e 4σ ~2/µλ , valutare la probabilita che un misura

dell’energia all’istante t > 0 dia come risultato l’energia del primo stato legato.


11.33) Un atomo di Trizio (Z = 1, A = 3) si trova nel suo stato fondamentale. A un

certo istante nel nucleo avviene un decadimento radioattivo con emissione di un elettrone

e formazione di un nucleo di Elio. La transizione avviene in un tempo molto breve sulla

scala dei tempi atomici. Trovare le probabilita che lo ione di Elio He+ si trovi nello stato

fondamentale, nello stato eccitato 2s , o in quello 2p .

11.34) Un sistema quantomeccanico possiede solo due autostati dell’energia, | 1 〉 e | 2 〉 .

Si conoscono altre tre osservabili, oltre l’energia, A , B , C . Gli stati | 1 〉 e | 2 〉sono normalizzati e non sono necessariamente autostati di A , B , C . Determinare gli

autostati e gli autovalori di A , B , C , a partire dai tre seguenti “risultati sperimentali”,

sapendo pero che uno di questi e sbagliato:

i) 〈 1 | A | 1 〉 = 1/2 , 〈 1 | A2 | 1 〉 = 1/4 ; ii) 〈 1 | B | 1 〉 = 1/2 , 〈 1 | B2 | 1 〉 = 1/6 ;

iii) 〈 1 | C | 1 〉 = 1 , 〈 1 | C2 | 1 〉 = 5/4 , 〈 1 | C3 | 1 〉 = 7/4 .

11.35) Si consideri una particella di massa µ , soggetta a un potenziale di tipo buca infinita,

con 0 < x < a . La funzione d’onda iniziale e data da

ψ(x; t = 0) = N [ 1 − cos(2πx/a) ]

essendo N una costante di normalizzazione. Si calcoli il valore medio dell’energia della

particella a un tempo t qualunque. Qual’e la probabilita di misurare un’energia pari a

quella dello stato fondamentale e a quella del primo stato eccitato?

11.36) Per un atomo a Z elettroni, valutare il raggio medio in funzione di Z , nel modello

a shells piene e nei due casi tipici, metalli alcalini o schermaggio parziale. (Vedi 11.26).)

11.37) Una particella monodimensionale di massa µ e confinata in una scatola di larghezza

a = 10−10m , e si trova nel suo stato fondamentale con energia pari a 38 eV . Quale forza

esercita sulle pareti della scatola? Quale sara la sua energia nel primo stato eccitato?

11.38) Un sistema quantistico finito dimensionale e soggetto all’Hamiltoniana:

H = H0 +W1

(A+ A†

)= W0

N∑

n=1

| n 〉〈 n | +W1

N∑

n=1

( | n 〉〈 n+ 1 | + | n+ 1 〉〈 n | )

con | N + 1 〉 = | 1 〉 . Dimostrare che AA† = A†A = I . Dimostrare inoltre che

[H0, A] = [H0, A†] = 0 . Valutare autovalori e autofunzioni dell’Hamiltoniana totale.

11.39) Un oscillatore armonico si trova nello stato fondamentale. Quale e la probabilita di

trovarlo all’esterno della regione classica? Dare la stima numerica, utilizzando i valori della

funzione d’errore (vedi A-S 7.).


11.40) Dato un oscillatore lineare armonico e dette ψ0 e ψ1 le autofunzioni reali nor-

malizzate relative allo stato fondamentale e al primo stato eccitato. Sia φ = aψ0 + bψ1

la funzione d’onda dell’oscillatore a un certo istante. i) Mostrare che il valor medio di x

e in generale diverso da zero. ii) Quali valori di a rendono massimo 〈 x 〉φ , e quali lo

rendono minimo?

11.41) Una particella monodimensionale si trova inizialmente nello stato fondamentale di

una buca quadrata infinita con 0 ≤ x ≤ a . Improvvisamente (!) la parete destra della

buca viene spostata in x = 2a . a) Calcolare la probabilita che la particella possa venire

trovata nello stato fondamentale della buca espansa. b) Trovare lo stato della buca espansa

che ha maggior probabilita di essere occupato.

Supponiamo invece che la buca originale con 0 ≤ x ≤ a improvvisamente (!) si dissolva.

c) Se, come prima, la particella si trova nello stato fondamentale, quale sara la distribuzione

di probabilita del momento della particella liberata?

11.42) Consideriamo la funzione d’onda monodimensionale ψ(x) = N (x/x0)j e−x/xo, con

N , j , x0 costanti positive, con j = 1, 2, 3, ... a) Usando l’equazione di Schrodinger,

trovare il potenziale V (x) e l’energia W per i quali questa funzione d’onda e un’autofun-

zione, nell’ipotesi che V (x) → 0 per x → ∞ . b) Illustrare la differenza tra il potenziale

trovato e quello radiale efficace per uno stato idrogenoide di momento angolare l .

11.43) Una particella monodimensionale di massa µ e immersa in un potenziale V (x) ,

e la sua funzione d’onda e data da: ψ(x; t) = N x exp[−αx + iβt/~] per x > 0 , e zero

altrove, con N , α , β costanti positive. a) La particella e legata? Perche ? b) Trovare il

potenziale V (x) e valutare il suo spettro. c) Per lo stato assegnato, valutare le probabilita

relative all’energia.

11.44) Sia dato un oscillatore armonico di massa µ e frequenza ω nello stato iniziale:

ψ(0) = 1/√

2s∑N+s

n=N−s | n 〉 . i) Nel caso N s 1 , mostrare che il valore di

aspettazione dell’osservabile x ha comportamento sinusoidale nel tempo con ampiezza√2~N/µω . ii) Confrontare con il comportamento dell’oscillatore classico di pari energia.

11.45) La parte angolare della funzione d’onda di una particella tridimensionale e data da:

ψ = A exp[2iϕ] . Qual’e la probabilita di trovare il valore l in una misura del momento

angolare totale? [ Suggerimento. Utilizzare le relazioni: (1 − ζ2)P ′′l = 2 ζP ′

l − l(l + 1)Pl ,

e Pl(1) = (−)lPl(−1) = 1 , dove i Pl(ζ) sono i polinomi ortogonali di Legendre.]

11.46) La funzione ψ(x) =√a/

√π exp

[−a2/2 (x−x0)

2]

descrive lo stato di una particella

monodimensionale. a) Controllare che la funzione sia correttamente normalizzata.


b) Valutare la probabilita che il momento lineare sia compreso tra p e p+dp . c) Valutare

per questa il principio di indeterminazione, cioe il valore del prodotto ∆x∆p tra le radici

quadrate degli scarti quadratici di posizione e momento.

CAPITOLO 12

Equazione di Schrodinger in una dimensione. Soluzioni.

[Soluzioni] e (Suggerimenti)

1.1)[W1 = (~2π2)/(8µa2), W2 = (~2π2)/(2µa2); P1 = 1/5, P2 = 4/5; 0 e 1.

]

1.2)[k cot ka = −k , con k =

√2µ(V0 −W )/~2 e k =

√2µW/~2 .

]

1.3)(Segnare bene i punti di flesso.

)

1.4)[ρ2 = ρ [(τeikL + τ ∗ e−ikL)/(τ |ρ|2eikL + τ ∗e−ikL)] , τ2 = τ [|τ |2/(τ |ρ|2eikL + τ ∗e−ikL)].

](Utilizzando onde piane, porre ψ

II= Mψ

I, con M matrice di trasferimento dalla regione

(I) a sinistra alla regione (II) a destra della prima barriera . Con una seconda barriera,

ψIII

= MTMψI, con T matrice di traslazione: T

11= eikL, T 22 = e−ikL, T 12 = T 21 = 0 .

)

1.5)[i) Per W < −V0, −V0 < W < 0, 0 < W < V1, V1 < W , si ha: nessuna soluzione,

stati legati, stati metastabili, continuo.

ii) Posto k =√−2µW /~ , k0 =

√2µ(W + V0) /~, k1 =

√2µ(V1 −W ) /~, , si trova:

k0 cot (k0a) = −k1 [k1 sinh (k1b) + k cosh (k1b)]/[k1 cosh (k1b) + k sinh (k1b)] . ka = nπ.

iii) Con WKB la compatibilita in x < a+ b e a+ b < x , posto k0 = k0a− π/4 diventa:

[cos k0 exp(bk1)−1/2 sin k0 exp(−bk1)]/[cos k0 exp(bk1)+1/2 sin k0 exp(−bk1)] = −k/k1 .

V0≥9/16 (~2π2)/(2µa2) ≈ 21.5ev , V0 >ex 1/4 (~2π2)/(2µa2) ≈ 9.4 ev .]

1.6)[ψ(x) = Aexp[−x/Nx0]

∑Nn=1(−)n (N − 1)!/[(N − n)!n!(n− 1)!]

(2x/Nx0

)n.]

(cn+1/cn ∼ 1/n per n 1, u(ξ) ∼ exp[ξ], a meno che b = N intero.

)

1.7)[Jν(λ) = 0 , J ′

ν(λ) = 0 , (autofunzioni dispari e pari), con ν =√

8a2µ|W |/~2 e

λ =√

8a2µV0/~2. Valgono le proprieta: jν,1 < jν+1,1 < jν,2 < jν+1,2 < jν,3 < ... e

ν ≤ j ′ν,1 < jν,1 < j ′ν,2 < jν,2 < j ′ν,3 < ...]

1.8)[u(x) ≈ Jν(λe

−x/2a), con ν = 2ak = 2a√

2µ|W |/~2, λ =√

8µa2V0/~2, con J ′ν(λ) = 0.

Per λ 1, W = −4µa2V 20 /~

2 e u0(x) ≈√k0 e

−k0|x| .] (

Stato fondamentale pari .)

1.9)[ψ+(x) = A e−α2x2/2U [(1−ε)/4, 1/2;α2x2] . Con U funzioni ipergeometriche confluenti

di seconda specie, α =√µω/~ , ε = 2W/~ω; ψ−(x) = BAi

(β1/3(x +W/λ)

), con Ai

funzioni di Airy (vedi 1.15)) e β = 2µa/~2. La normalizzazione e le condizion di raccordo,

71

72 12. EQUAZIONE DI SCHRODINGER IN UNA DIMENSIONE. SOLUZIONI.

ψ+(0) = ψ−(0) e ψ′+(0) = ψ′

−(0), fissano le costanti A e B, e quantizzano l’energia W .]

1.10)[Posto k1 =

√2µ(V1 −W )/~ , k0 =

√2µ(V0 +W )/~ , χ =

√−2µW/~ e

χ/k0 = tan c , gli autovalori si ottengono da: k1 coth (k1a) = k0 tank0[(b− a) − c] .]

1.11)[T ≈ 16W (V0 −W )/V 2

0 e−2k′a , k′ =√

2µ(V0 −W ) /~ , a ≈ 8.1 10−8 cm .]

(Come suggerito nel testo, oppure partire dalla soluzione generale della barriera, e trovare

una semplice condizione affinche il coefficiente di trasmissione sia molto piccolo.)

1.12)[i) Con k =

√2µW /~ e χ =

√2µ (V0 −W ) /~ , ψ(x) = A sin k x per 0 < x < L ,

e ψ(x) = B sinh[(2L− x)χ per L < x < 2 ; autovalori da cot k L = −χ/k cothχL ,

con λ = cos k L/coshχL e | λ | < 1 sempre, quindi sempre autofunzioni proprie.

ii) Porre χ=⇒i ζ nelle formule precedenti: | λ | < 1 solo a bande. iii) Stati liberi ed

effetto tunnel.] (

Partire dalla soluzione periodica, e imporre ψW

(0) = ψW

(2L) = 0 .

||ψW

(x)||2 = I2L

∑n | λ | 2n , con I2L integrale su un periodo.

)

1.13)[Posto k =

√2µW /~ , χ = (2µV0/a~

2)1/3 , y0 = aχ(W/V0−1) : Ctr = 3/π |τ |2 χ/k ,con τ = 2ik

[χ y0 H

(1)−2/3(2/3 y

3/20 ) + i k

√y0 H

(1)1/3(2/3 y

3/20 )

]−1

. Le funzioni H(1)1/3 e H

(1)−2/3

sono Bessel di ordine frazionario (A-S 10.4) .] (

Poiche le soluzioni non sono semplici

esponenziali, per avere il coefficiente di trasmissione occorre fare riferimento al flusso

J = (~/2µi) [ψ∗dψ/dx − ψ dψ∗/dx] , sia incidente che trasmesso. Questi sono dati da

Jin = ~k/µ e Jtr ≈ 3~/π |τ |2 χ/µ , e Ctr = Jtr/Jin .)

1.14)[Posto k = (2µW/~2)1/2, e k = (2µ | W − V0 | /~2)1/2, gli autovalori sono dati da:

per V0 < W , k tan ka = k cot[k(b − a)] (soluzione pari) e da k cot ka = −k cot[k(b − a)]

(soluzione dispari), e per 0 < W < V0 , k tanh ka = k cot[k(b − a)] (soluzione pari) e da

k coth ka = k cot[k(b − a)] (soluzione dispari). Con il tempo, il pacchetto si sparpaglia in

tutto l’intervallo.]

1.15)[W0 = 2.34 (µg2

~2/2)1/3.

] (Funzioni di Airy.

)

1.16)[ρ(k) ≈ iµλa6/(~2(ka)6) (3ka cos(2ka) + (2(ka)2 − 3/2) sin(2ka))

] (Sfruttare lo

sviluppo di Born: ρ(k) = −iµ/(~2k)∫dx e2ikx V (x) + . . .

)

1.17)[i) k/k1 = −tan k(b− a)/ tan k1a , con k1 =

√2µ(W − V1) /~ e k =

√2µW /~ ;

iii) P0 (0 < x < a) = I1/(I1 + |B/A|2I2) , con I1 = 1/4|k01| sinh(2|k0

1|a) − a/2 ,

I2 = −1/4k0 sin[2k0(b − a))] + (b − a)/2 , B/A = sinh(|k01|a)/sin[k0(b− a)] , e k0

1 e

k0 , i parametri corrispondenti a W0 .] (

ii) Notare che la funzione data non appartiene al

dominio di H)

12. EQUAZIONE DI SCHRODINGER IN UNA DIMENSIONE. SOLUZIONI. 73

1.18)[c = −ik, W = k2. R = 0, T = 1; S12 = S21 = −(1 − ik)/(1 + ik), S11 = S22 = 0.

W = −1. Funzione senza nodi. Con il metodo variazionale.]

1.19)[Wn = ~

√V0/2µa2

(4n + 2 +

√(8µV0a2)/~2 + 1

)− 2V0 . Con 2V0/a

2 = K e

V0a2 = ~

2/2µ (m2−1/4) , m = 0,±1,±2, ..., oppure V0a2 = ~

2/2µ l(l+1) , l = 0, 1, 2, ...,

si ottiene l’oscillatore isotropo bidimensionale oppure tridimensionale.]

1.20)[Con k =

√2µW/~ e k =

√2µ(W + V0)/~ , ψI = A cos(kx) −B sin(kx) ,

ψII = cos kx, ψIII = A cos(kx)+B sin(kx), nelle tre regioni con x < −b , |x| < b , b < x ;

A = cos(kb) cos(kb) + k/k sin(kb) sin(kb) , B = cos(kb) sin(kb) − k/k cos(kb) sin(kb) .

ψIII =√A2 +B2 sin(kx + χ) , con χ = arcsin

[A/(A2 +B2 )−1/2

]. max |ψII |2 = 1 e

max |ψIII|2 = A2 +B2 = cos2(kb) + (k/k)2 sin2(kb) > 1 , dato che k > k : dentro la buca

sono maggiori le frequenze e minori le ampiezze.]

1.21)[Wn = −V0

[1 − (n + 1/2) ~/

√2µa2V0

]2

, n = 0, 1, 2, ..., N <√

2µa2V0/~−1/2 .]

1.22)[ρ2 = [(1 − χ)/(1 + χ)]2 , con χ =

√(W − V0)/W .

] (Il flusso e definito da:

F = (~/2iµ) (ψ∗ grad ψ − ψ grad ψ∗) .)

1.23)[T = flussotras/flussoinc = k1/k |Γ(α)Γ(γ − β)/[ Γ(γ)Γ(α− β) ]|2 . T → 1 se

W → ∞ e T → 0 se W → V0

](Risolvere per x → ∞ e prolungare la soluzione a

x→ −∞ , con il cambio di variabile z → 1/z . Vedi App 9.)

1.24)[Con k =

√2µW/~ , k =

√2µ(V0 −W )/~ , k =

√2µ(W − V0)/~ :

A2 = 2[sin2(ka)/k + a− sin(2ka)/2k

]−1e B2 = exp(2kx) sin2(ka) A2 .

δ = 2 arccot(k/k cot(ka)

)− 2ka.

] (Per V0 < W e a < x , porre u(x) = B sin(kx+ ϕ).

]

1.25)[T (W ) = i) 1 − V 2

0 /4W2 sin2(

√2µWa2/~2 ) ≈ 1 ,

ii) 16W (V0 −W )/V 20 exp

[−2

√2µ(V0 −W )a2/~2

] 1 ,

iii) 4W/V0

[sinh(

√2µV0a2/~2 )

]−2

1 , iv) 1/(1 + µa2V 20 /2W~

2) .]

CAPITOLO 13

Equazione di Schrodinger in due e tre dimensioni. Soluzioni.


2.1)[Per l = 0 : ξ cot ξ = −η , ξ2 + η2 = 2µV0a

2/~2 ; l’esistenza di n stati legati e

data da:[(2n− 1)π/2

]2~

2/2µ < V0a2 <

[(2n+ 1)π/2

]2~

2/2µ .

Per l = 1 : cot ξ/ξ − 1/ξ2 = 1/η2 + 1/η ; ξ2 + η2 = 2µV0a2/~2 ; l’esistenza di n stati

legati e data da:(nπ

)2~

2/2µ < V0a2 <

[(n+ 1)π

]2~

2/2µ .]

2.2)[d2R/dr2 + 1/r dR/dr+ (1−m2/r2)R = 0; poiche R(a) = 0 , W = 2.4052

~2/2µa2 .

]

2.3)[W = −(µe4/2~

2n2) + (eB~/µc) nr , n = nr + nϕ .]

(H = 1/2µ (p2

r + p2ϕ/r

2) − e2/r + (eB/µc) pϕ . Gold. cap. 9-7.)

2.4)[Wn = (~2/2µλ2) n2 ; Φn = 1/

√2π exp[inϕ] , n = 0,±1,±2, ...

](H = −(~2/2µλ2) d2/dϕ2. Vedi es. 2.2) con r = cost = λ .

)

2.5)[Jν(α) = 0, ν =

√8a2µ|W |/~2 , α =

√8a2µV0/~2 . Detto j0,n l’n-esimo zero di J0(x),

e j0,1 ≈ 2.405 , c’e uno stato legato se V0 ≥ j20,1 ~

2/8a2µ ≈ .72 ~2/µa2 .

Vi sono n stati legati in onda s se j0,n <√

8µa2V0/~2 < j0,n+1 e quindi, per V0 → ∞ ,

n stati legati per n− 1/4 <√

8µa2V0/π2~2 < n + 3/4 .]

(Sfruttare le proprieta degli zeri delle funzioni di Bessel, A-S 9.5.2.

)

2.6)[In coordinate cilindriche: u(z, ρ, ϕ) = NeipzeimϕR(ρ) e, con k2 = 2µW/~2 − p2 ,

r = kρ e F = eB0ρ2a/(2~c) : R′′ +(1/r)R′− [1− (m−F )2/r2]R = 0 , R(a) = R(b) = 0.

Se F e intero, lo spettro non cambia.] (

Aρ>ρa = 1/2 B0(ρ2a/ρ) ϕ , Aρ<ρa = 1/2 B0ρ ϕ.

)

2.7)[Wnrl = −(e4µ/2~

2)(nr + 1/2 + 1/2

√(2l + 1)2 + 8µβ/~2

)−2

.]

2.8)[V0 ≈ 61Mev, un solo stato legato, con l = 0.

] (Sviluppare la cot(π/2 + ε) .

)

2.9)[pk = −λKpk/|p|. WAiry

0 ≈ 1, 86[λ~

√K

]2/3

. WOsc0 ≈ 2, 08

[λ~

√K

]2/3

.] (

In

MC, il moto e piano, soggetto alla dinamica lungo una direzione e inerziale lungo l’altra.

Invertendo la quantizzazione di q e p, si ottiene l’equazione di Airy. Con quella ordinaria,

iterando l’equazione e trascurando i termini di grado 4, si ottiene l’oscillatore armonico.)

75

76 13. EQUAZIONE DI SCHRODINGER IN DUE E TRE DIMENSIONI. SOLUZIONI.

2.10)[WN = −(µα2/2~

2)(N−1/2)−2 , con N = nr + |m|+1 . La degenerazione e 2N−1,

da confrontare con n2 dell’idrogeno.]

2.11)[V0a

2 < l(l + 1) ~2/2µ.

]

2.12)[W0,1 ≈ 3, 81 j2

1

2,1eV ≈ 37, 7 eV , W1,1 ≈ 3, 81 j2

3

2,1eV ≈ 76, 8 eV , essendo jl+ 1

2,s

gli zeri delle Bessel sferiche.]

2.13)[[F ] = [M1/2L3/2T−1] . Posto ν = m− eF/~c : ψl,ν,s(x) = Zl(z) Φm(ϕ) Rν,s(ρ) ,

Wl,ν,s = ~2/2µ [(jν,s/ρa)

2 + (lπ/c)2] , con jν,s gli zeri delle funzioni di Bessel.]

(Cfr. il 2.6 . H = −~

2/2µ[∂2/∂z2 + 1/ρ ∂/∂ρ (ρ ∂/∂ρ) + 1/ρ2 (∂/∂ϕ− ieF/~c)2] .

)

2.14)[L(x, x) = 1

2µx2 − e/c x · Aϕ − V (x) ; H(x,p) = 1/2µ (p − e/cAϕ)2 + V (x); con

Aϕ = Aa=0 . WBS = ~ω(nz + 2nρ +

√(nϕ − eb/~c)2 + 2µ/~2 β2

).

WQM = ~ω

(nz + 2nρ +

√(m− eb/~c)2 + 2µ/~2 β2 + 3/2

).]

(Con una trasformazione di gauge si puo porre a zero la componente radiale del potenziale,

Aρ, cioe a = 0. Altrettanto non si puo fare con la componentem tangenziale Aϕ, in quanto

non irrotazionale. Vedi 2.6) e 2.13) . E un ordinario oscillatore armonico tridimensionale

con nϕ sostituito dall’espressione sotto radice. Notare che il calcolo di Jρ si riduce facilmente

a quello di Jr del problema di Keplero.)

2.15)[Le autofunzioni sono date da ψ = A J|m|(kρ), con k2 = 2µW/~2. W0,1 ≈ 2.402

~2/2µa2,

W1,1 ≈ 3.832~

2/2µa2] (

Vedi 2.2) e 2.10) .)

2.16)[Wnr,λ,m = w0/(nr +λ+1)2 con w0 = −µe4/2~

2 e λ(λ+1) = l(l+1)−mω 2µr20/~ ,

e ω = eB/2µc , detta frequenza di Larmor.]

2.17)[Ψ(x) = N y Rn0(y) exp [i/~ (pxx + pzz)] , Wn,px,pz = Wn +

1

2µ

(p2

x + p2z

),

Wn = −µe4/32~2 1/n2 .

] (V (y) = −e2/4y , che si ottiene tenendo conto che sulla carica

immagine non si esercita lavoro quando l’altra viene portata all’infinito. Le condizioni al

contorno sono di annullamento in y = 0, per cui le soluzioni sono quelle dell’atomo di

idrogeno.)

2.18)[ψn(x) = 1/2π exp [ i(xkx + zkz)] Nn exp

[−1

2α2(y − y

0)2

]Hn

(α(y − y0)

2),

Wn = k2z~

2/2µ+ (n+ 12)~ |e|B/µ c , con α = (|e|B/~ c)1/2 e y

0= −~c kx/eB .

]

2.19)[W1 = ~

2π2/[2µ(b−a)2] , ψ(r) = (1/4π)1/2 (2/(b−a))1/2 1/r sin[π(r − a)/(b−a)] .]

13. EQUAZIONE DI SCHRODINGER IN DUE E TRE DIMENSIONI. SOLUZIONI. 77

2.20)[W = (nϑ + nϕ)2

~2/(2µR2)−|e|B/µcnϕ~ .

]((λ/2π)

∮dξ (λ2−µ2 −λ2ξ2)−1/2 = 1.

)

2.21)[WBS = −µe4/2~

2(nr + nϑ +

√n2

ϕ + β2)−2

, nr +nϑ = 1, 2, 3, ..., 0 ≤ nϕ ≤ nr +nϑ.

W Sch = −[µe4/2~2]

(nr + nϑ +

√m2 + β2 + 1

)−2

, nr, nϑ = 0, 1, 2, ... , |m| ≤ nϑ .

Risultati analoghi ma con diverse degenerazioni.]

2.22)[u111 = (2/a)3/2 sin(πx/a) sin(πy/a) sin(πz/a) , W111 = 3~

2π2/2µa2 . Volume del

primo quadrante della sfera di raggio RW =√W (2µa2/~2π2) : N ≈ 1/8 4π/3 R3

W .]

2.23)[Posto l = 0 e W = 0 , energia limite per avere uno stato legato, l’equazione da

risolvere rispetto a λ e : Jν(β a−1/2ν) = 0 , con Jν(ρ) funzioni di Bessel di prima specie.

Per n = 3 , λ ≥ 1.83 (a~2/2µ) , essendo j1,1 = 3.83 il primo zero di J1(ρ) .]

2.24)[g2/~c ≈ 0.41 e ≈ 1.62

] (Vedi 2.5). α = g/~

√2M/β ≈ 3.3 e ≈ 6.6

)

2.25)[m = ±2~ , P± = 1/2 .

]

2.26)[ψ(x, y, z) = unx(x)uny(y)unz(z) , con unx(x) = a

−1/2x cosnxπx/2ax per nx dispari,

e unx(x) = a−1/2x sinnxπx/2ax per nx pari. Wtot = Wnx +Wny +Wnz ,

con Wnx = (~2π2/8µa2x) n

2x . Ntot = nx + ny + nz pari o dispari, ψ dispari o pari,

rispettivamente. Ntot = 3 , d = 1 ; Ntot = 4 , d = 3

CAPITOLO 14

Oscillatore Armonico. Soluzioni.


3.1)[〈 α | β 〉 = exp[−(|α|2 + |β|2)/2] exp[α∗β] . 〈 α | H | α 〉 = ~ω (|α|2 + 1/2) .

(∆x)2 = ~/2µω; (∆p)2 = µ~ω/2. ∆x∆p = ~/2 . Posto λ = (µω/~)1/2 , x0 =√

2 Re(α)/λ ,

p0 = 2√

2 Im(α)/λ : 〈 x | α 〉 = (λ/√π )

1/2exp −λ2/2 [(x− x0)

2 + ip0(x0/2 − x)] .]

3.2)[WN,m = N ~ω + 2mλ , −N ≤ 2m ≤ N . λ < ~ω .

](H = 2~ωJ + 2λJx, con

J(J + 1) = J2 . Oppure diagonalizzare l’Hamiltoniana.)

3.3)[Ω± = 1

2

[(ω2

1 + ω22) ±

√(ω2

1 − ω22)

2 + 4g2]

: W = ~[(n1 + 1

2)√

Ω+ + (n2 + 12)√

Ω−],

se Ω− > 0 . Se Ω− < 0 , si ha un oscillatore armonico e una barriera repulsiva.]

3.4)[Con α = eE/K: Wn = ~

√K/µ (n+1/2)−Kα2/2 , oscillatore armonico in ξ = x−α.

〈 x 〉n = α, 〈p 〉n = 0, 〈 x2 〉n = ~/√Kµ (n+ 1/2) + α2, 〈 p2 〉n = ~

√Kµ (n+ 1/2).

]

3.5)(Risolvere nelle tre regioni e saldare soluzioni e derivate, espresse tramite iperge-

ometriche confluenti. Solo per F = 0 oppure a = 0 , cioe oscillatore armonico:

Wn = ~ω(n+ 1/2) , con n intero.)

3.6)[W

N= (N + 3/2) ~ω . Ncart = n1 + n2 + n3 con n1, n2, n3 = 0, 1, 2, ... ;

Ncil = nz + 2n + |m| con nz, n = 0, 1, 2, ... , m = 0,±1,±2, ... ; Npol = 2n + l con

n, l = 0, 1, 2, ... . In tutti i casi la degenerazione e pari a (N + 1)(N + 2)/2 .]

3.7)[ψ(t) = exp[−i 2ωt] [ cos(λt/~) | 1, 0 〉 − i sin(λt/~) | 0, 1 〉 ] .

]

3.8)[ | 0, 0 〉, | 1, 0 〉 W0, W1 inalterati; | 0, 1 〉, | 2, 0 〉 =⇒ W2± = 2 ±

√2|λ| ;

| 1, 1 〉, | 3, 0 〉 =⇒ W3± = 3 ±√

6|λ| .] (

Il primo ordine perturbativo fornisce la

soluzione esatta, dato che la perturbazione commuta con l’Hamiltoniana libera.)

3.9)[Vedi 5.29).

] (Il secondo termine commuta con il primo.

)

3.10)[W = n1 + n2 + n3 + λ (2n3 − n1 − n2) .

] (Trovare nuovi oscillatori [bm, b

†l ] = δml ,

con b†l = βl1a†1 + βl2a

†2 + βl3a

†3 , soddisfacenti [H, b†l ] = wl b

†l .

)

79

80 14. OSCILLATORE ARMONICO. SOLUZIONI.

3.11)[W

E

N= (N + 3/2)~ω − e2E2/2K, d

E

N= (N + 1)(N + 2)/2 . Con ωϕ = |e|B/2µc ,

ω =√K/µ , ω2

ρ = ω2ϕ + ω2 e gli indici nρ, nz, m relativi alle variabili cilindriche:

WB

N= (2nρ + |m| + 1)~ωρ + (nz + 1/2)~ω ∓m~ωϕ , senza degenerazione residua.

]

3.12)[W = (nξ + 1/2) ~ωξ+(nθ + 1/2) ~ωθ+(nz + 1/2) ~ωz−Bβ2 , ωξ =

√2A(1 + α)/µ ,

ωθ =√

2A(1 − α)/µ , ωz =√

2B/µ .]

3.13)[〈 x 〉 = 〈 p 〉 = 0 ; V (x) = (~2β4/2µ) x2 ; φ(p) = (~2β2π)

−1/4e−p2/2~2β2

.]

(V (x) = W + ψ−1 (~2/2µ) d2ψ/dx2 .

)

3.14)[ψ2 ∝ (2x2 − 1) e−x2/2 ; ψ4 ∝ (4x4 − 12x2 + 3) e−x2/2 .

] (Applicare gli operatori

nella forma a = (x+ d/dx) e a† = (x− d/dx) .)

3.15)[Dato ψ(x, t) =

∑n cnφn(x)e−iWnt/~ , 〈 x 〉t = A+ cosωt+ iA− sinωt , con

A± =√

~/µω∑

m c∗m

(cm−1

√m/2 ± cm+1

√(m+ 1)/2

), A+ reale e A− immaginario.

]

3.16)(Per il punto d): a† e un operatore dispari.

)

CAPITOLO 15

Delta di Dirac. Soluzioni.


4.1)[Uno stato legato con W = −µλ2/2~

2.] (

Confronta con il 4.2).)

4.2)[Uno stato legato con W = −µλ2/2~

2.] (

Confronta con il 4.1).)

4.3)[exp[−4kx0] = (k − β+)(k − β−)/(β+β−) , k =

√−2µW/~ , β± = µλ±/~

2 .

Una o due soluzioni a seconda che sia x0 ≶ (β+ + β−)/(4β+β−) .

Per x0 → ∞, k± → β± ; per λ+ = λ− , k+ = k− .]

4.4)[i) Wn = ~ω(n+ 1/2) + χ ; d ln con ln =

√(1 + 2n)~/µω .

ii) d√

~/µω , posto ε = 2W/~ω : Γ((3 − ε)/4

)/Γ

((1 − ε)/4

)= −dK

√µ/ω~3 .

]

4.5)[ρ = µλ/(−µλ+ ik~

2) , τ = ik~2/(−µλ+ ik~

2).](

Vedi 4.2).)

4.6)[Le soluzioni dispari sono quelle della buca semplice: Wn = n2

~2π2/2µa2, indipendenti

da λ . Per le pari: k = −(µλ/~2) tan(ka), k =√

2µW/~. Se λ→ ∞ , =⇒ tan(ka) = 0 , e

le pari, un seno in ogni semi intervallo uno dei quali ribaltato rispetto all’asse x , degenerano

con le dispari.] (

Sulle soluzioni dispari la δ non agisce, perche δ(x)φd(x) = 0 .)

4.7)[tan ka = −k~

2/µλ, con k =√

2µW/~2 .]

(Partire dalla soluzione: exp[ikx], A sin kx + B cos kx, C exp[ik(x − a)], nelle tre zone.

Oppure utilizzare la matrice di trasferimento.)

4.8)[Diffusione uniforme in tutto l’intervallo.

]

4.9)[λ > ~

2/2µa .] (

Al minimo di λ corrisponde il minimo dell’energia; valutare l’e-

quazione trascendente nel limite dell’argomento che va a zero.)

4.10)[Il+ 1

2

(ka)Kl+ 1

2

(ka) = ~2/2µλa . l + 1

2< µλa/~2.

] (La funzione Im(x)Km(x) e

decrescente con massimo in zero e Im(0)Km(0) = 1/(2m) .)

81

82 15. DELTA DI DIRAC. SOLUZIONI.

4.11)[Per W < 0 si ha un autovalore, dato da e2ka = α(α+ k)/[(α− k)(α + 2k)], con

α = λµ/~2. Per W > 0 : ρ3 = −ξ/η , τ3 = 1/η conη = γ−6

[e−2ika(γ + i)2(γ − 2i) − 4(γ + i) + e2ika(γ + 2i)

]

ξ = i γ−6[e−2ika(γ + i)(γ − 2i) − 2(2 + γ2) + e2ika(γ − i)(γ + 2i)

] γ = 2k~2/µλ .

]

(Per W < 0 sfruttare la parita, per W > 0 usare la matrice di trasferimento.

)

4.12)[Detta α la traslazione, cioe ψ

k(x+ a) = eiαaψ

k(x) , gli autovalori sono dati da:

cos k a + (µλ/k~2) sin ka = cosαa . Per µλa/~2 = 1 , posto y = ka, lo spettro a bande si

ottiene dalla diseguaglianza: −(1 + cos y) ≤ sin y/y ≤ 1 − cos y .]

4.13)[e−2ka = 1−k~

2/λµ . Una soluzione se ~2/2λµ < a , altrimenti nessuna.

](Confrontare

le pendenze delle due curve.)

4.14)[x

0= (~2/2µλ) log 2 .

]

4.15)[ψ+

k (x) = Nk [sin k(x+ a) + β/k sin ka sin kx] e ψ−k (x) = Nk sin k(x+ a) , con

β = 2µλ/~2 , e gli apici ± a seconda che sia x > 0 o x < 0 . A tempi grandi, la particella

invade l’intero semiasse.] (

La funzione f(k) sulla quale sviluppare il dato iniziale e data

da: f(k) = Nk π/a√

2/a sin ka/ (k2 − (π/a)2) .)

CAPITOLO 16

Perturbazioni indipendenti dal tempo. Soluzioni.


5.1)[W

(1)1 = W

(1)2 = W

(1)3 = ab/2 .

]

5.2)[W

(1)i = 0 , u

(1)1 = 1 , 0 , a∗/(W1 −W3) , u

(1)2 = 0 , 1 , b∗/(W2 −W3) ,

u(1)3 = a/(W3 −W1) , b/(W3 −W2) , 1 .

]

5.3)[∆W

(1)2,1 = 3~

2e2/(96µ2c2r30); ∆W

(1)2,1 /W

(0)2 = (e2/2~c)2.

]

5.4)[W

(1)1 = 2Z4e2δ2/3r3

0 ; W(1)1 /W

(0)1 ≈ 4.76 10−10.

] (H = H0 +H ′ , con

H ′ = Ze2(1/r − 1/δ) θ(δ − r) , e exp(−2Zr/r0) ≈ 1 per 0 ≤ r ≤ δ.)

5.5)[

|H〈 −W | 1 〉A |2 = χ2/(2W 2 + χ2) ; W± = −W ±√

4W 2 + 2χ2 , W0 = −Winalterato,

]

5.6)[W

(1)n = 0 , W

(2)n = λ2(4n3−n2−n)/(1−4n2); u0,1 = | 0 〉, u0,2 = | α 〉, stato coerente

con α = −1, vedi 3.1).] (H0 = N2, Hλ=1 = (a† + a†2)(a+ a2) = T †T .

)

5.7)[W

(1)1s /(W

(0)0 −W

(0)1 ) = 16/15 (rp/r0)

2 , W(1)2p /(W

(0)1 −W

(0)2 ) = 9/1120 (rp/r0)

4 . Nel

caso del µ−, il primo va moltiplicato per 2102 e il secondo per 2104.] (

Confronta con il

5.4), con H ′ = θ(rp − r) e2/2rp [(r/rp)2 + 2rp/r − 3] .

)

5.8)[W

(1)n = (2V0/π) [1 + (−1)n+1/(4n2 − 1)] .

]

5.9)[W

(1)0 = 0, W

(1)1 = ±V0/2 , W

(2)0 = −µλ2V 2

0 /4~2 .

] (Vedi 2.4).

)

5.10)[

a non contribuisce, b = −µ2 1, 042 (0, 04/3~4) ∆3

1 , k = µ (1, 042/~2) ∆21 .

](I livelli corretti al primi ordine sono: W0 = hν/2 + 3b~2/4µk ;

W1 = 3hν/2 + 15b~2/4µk ; W2 = 5hν/2 + 39b~2/4µk .)

5.11)[W

(0)0 = W1,1,1 +W1,1,1 = 6η ; W

(0)1 = W1,1,1 +W2,1,1 = 9η ; d0 = 1 , d1 = 9 . La

perturbazione δ(x1 − x2) non modifica W(0)0 , non risolve la degenerazione di W2,1,1 , non

altera l’energia degli stati a spin 1, e separa in due quelli a spin zero .]

83

84 16. PERTURBAZIONI INDIPENDENTI DAL TEMPO. SOLUZIONI.

5.12)[n 2a

√2µV0/~ ≈ 54.

] (Vedi 1.20) .

)

5.13)[W

(1)0 = −ε/2, W (1)

±√

2= 3ε/4 .

]

5.14)[W

(1)± = 0 , W

(2)± = ∓µBB

2/4A . µB = e~/2µc .] (H0 = −µBAsz e H ′ = −µBBsx.

)

5.15)[W

(1)1 = V0/aλ

[1 ± (1 + 16π2/a2λ2)−1/2

].]

5.16)[W

(1)1 = 0, W

(1)2 = 0.

](V = e ε · r/r2. Tutti nulli gli integrali sugli angoli, per

ortogonalita o per parita, tranne 〈ψ200|V |ψ210〉 che e nullo per integrazione su r.)

5.17)[Wn = ~ωF (~ω/λ) + λG(~ω/λ) ; F e G funzioni arbitrarie. W

(1)1 = W

(2)1 = 0.

](Esatto: V = a†2a2 = (a†a)2 − a†a , diagonale sugli autostati di H0, con V |0〉 = 0.

)

5.18)[W

(1)2 = ±A , A = (2−α) ε Γ(4−α)/24 , sugli stati ψ2l0 con l = 0, 1 . La correzione

e nulla sugli stati ψ21±.] (

Come il 5.16) tranne che per 〈ψ200|V |ψ210〉 = ±A.)

5.19)[Wn = ~ωF (I1, I2), dove F e una qualsiasi funzione dei due numeri puri

I1 = λ1~1/2µ−3/2ω−5/2, I2 = λ2~µ

−2ω−3. W(1)n = λ2(~/2µω)2(6n2 + 6n + 3).

] (Utilizzare

gli a, a† , oppure le ricorrenze tra polinomi di Hermite.)

5.20)[W

(1)1 = −5e4/8µc2a2

0 .] (

Notare che p2/2µ = H0 + e2/r .

)

5.21)[Con χ = λ~/µ2ω3 , 〈 q2〉n = ~/µω (Φn−3χ ∂Φn/∂χ) , 〈 q4〉n = (~/µω)2 ∂Φn/∂χ ,

〈 p2〉n = µ~ω (Φn + χ∂Φn/∂χ) .

Φn(χ) = n+ 1/2 + 3/4 (2n2 + n+ 1)χ− 1/8 (34n3 + 51n2 + 59n+ 21)χ2 + ...]

5.22)[Wn = n+ λ|cn|2 + λ2|cn|2

∑m6=n |cm|2/(n−m) + ..., cn = 〈 n | ψ 〉. Per λ→ ±∞ ,

H0 = λ |ψ 〉〈 ψ| e a†a perturbazione. Oppure studiare l’equazione integrale

| Φ 〉 = −λ (Hosc −W )−1 | ψ 〉〈 ψ | Φ 〉 =⇒ λ−1 =∑

n |〈 ψ | n 〉|2/(W − n) .

5.23)[W

(1)n = (2 − δn−1) V0/4 , W

(2)n = (V 2

0 µa2/8π2

~2) · −1/8, n = 1 ; −1/12, n = 2 ;

1/(2(n2 − 1)), n > 2 . V0 n ~2π2/µa2 .

]

5.24)[W

(2)2 = ±eB~/2µc per u211 (+) e u21−1 (−), e W

(2)2 = ±3eEr0 per u200, u210.

]

5.25)[W

(1)nlm = V01/2 − (r0/24a) [3n2 − l(l + 1)] .

] (Nello sviluppo del potenziale si

possono trascurare i termini O(r2/a2) , in quanto gli integrali si valutano entro i raggi di

Bohr, cioe r < rn = (n+ 1)2r0 a , per n limitato.)

16. PERTURBAZIONI INDIPENDENTI DAL TEMPO. SOLUZIONI. 85

5.26)[W0 = ~+λ12 −λ2

12/~ [ 1/ω1 +1/ω2 +2/(ω1 +ω2) ]+ ..., con λ12 = λ~2/4µ1µ2ω1ω2 .

Se ω1/ω2 = razionale , alcuni stati eccitati sono degeneri.]

5.27)[W = ~ω(n

1+ n

2+ n

3) + λ(n

1− n

2).

] (Confronta con il 3.2).

)

5.28)[WN,m = ~

√K/µ (N + 3/2) + e

0Bm~/2µc.

] (H = P2/2µ+ 1

2Kr2 + e

0BLz/2µc .

)

5.29)[∆W0 = 0 ; ∆W1 = 0 ; ∆W2 = 0,±λ ; ∆W3 = ±2

√3 λ , entrambi degeneri due

volte ; ∆W4 = 0,±4√

3 λ,±6 λ , non degeneri.]

5.30)[W pert

0 = −Z2/2 − Z ; W esatto0 = −Z2/2 − Z − 1/2 . Per Z grande, la correzione e

piccola.] (

〈U〉 = −Z2 , 〈T 〉 = Z2/2 .)

5.31)[Come il 5.29 salvo il fattore 1 = 1

2+ 1

2dell’oscillatore armonico.

]

5.32)[Posto α =

√µω/~ : W

(1)0 = 4(aα)3/

√π (V0/3 − ~ω(aα)2/10) ,

W(1)1 = 8(aα)5/(3

√π) (V0/5 − ~ω(aα)2/14) . La degenerazione non viene risolta .

]

5.33)[Wn = −γ/2rn +

(γ/ρ) − (γ/4ρ2) r

0[3n2 − l(l + 1)] + ...

](Per n ≈ 1 , r0/ρ 1 garantisce che si possa applicare la teoria delle perturbazioni al

primo ordine, e che il potenziale possa essere sviluppato al primo ordine.)

5.34)[W I

n = W 0n + V

0

12

+[1 + (−)n

]/π2(n + 1)2

]+ ...

W IIn = W 0

n + V0

1 − 2b/a+ 1/

[π2(n+ 1)

]sin

(π(n+ 1)2b/a

)+ ... ; V

0 W 0

n .]

5.35)[W ′′

0 = −d2W 2I/(2~2) ; W ′′

1 = −d2W 2I/(6~2) , 5d2W 2I/(6~

2) ;

W ′′n = d2W 2I/[~2(4n2−1) , |n| > 1].

] (Le correzioni al primo ordine sono nulle. Lo stato

fondamentale e non degenere mentre quelli con ±n, |n| ≥ 1 lo sono tra di loro e occorre

diagonalizzare la correzione del secondo ordine. Notare che per |n| > 1 la degenerazione

non viene risolta.)

5.36)(Come il 5.21 con γ = λµ2

~ω per ragioni dimensionali.)

5.37)[W

(1)0 = 0 , W

(2)0 = −(µλ2r2/16~

2) ; W(1)1 = ±λ/4 ,

W(2)1 = (λ2/16)

[−(8~

2/2µr2) ± λ/4]−1 ≈ −µλ2r2/64~

2 .]

(Confronta il 2.4). Applicare il secondo ordine agli stati non degeneri individuati dalla

perturbazione al primo ordine.)


5.38)[Con H ′ ∝ z , W

(1)211 = eEa/2 e il livello rimane tre volte degenere. Con H ′ ∝ xy ,

W(1);0211 = eEa2/4 e W

(1);±211 = eEa2/4

[1 ± 4

(16/9π2

)2]

.]

5.39)[W

(1)nrlm = 〈 nrlm | −ω r2

0 Lz/r2 | nrlm 〉 = −m~ω [(l+ 1

2)n3]−1 . L’approssimazione

e valida per (e/c) ΦB 2~, con ΦB = Ba2, flusso magnetico.] (

Per i valori di aspettazione

applicare il Teorema di Feynman-Helmann.)

5.40)[Con λ come in 2.17): W

(1)nrλm = ω2r2

0µ/2 [ (λ+ 1/2) (nr + λ+ 1)3]−1

f(l, m) .]

5.41)[W0 = ~ω

[3/2 − λ2/32...

]; W1 = ~ω

[5/2 +W

(1)1 + ...

], con W

(1)1 = 0,±λ/4 .

]

5.42)[Wn = n+ (−3n2 + n) λ2 +O(λ4) .

]

5.43)[i) H = Hosc+H1, con H1 = (eK/2µ2c2) S·L . ii) Con e > 0 , Wn,l,j = ~ω

(2n+l+

3/2)+(eK/4µ2c2)

(j(j+1)− l(l+1)−3/4

), con n = 0, 1, 2..., l = 0, 1, 2, ..., j = l±1/2 .

iii) V (r) = 12eKr2 +H1 + γ, per 0 < r < R, e V (r) = 1

2eKR2/r −H1/r

2, per R < r , con

γ tale da rendere il potenziale continuo in r = R. In questo caso si ha in generale spettro

continuo a meno che ....]

5.44)[V = −z/r+cost . W

(2)1 = −1/3 α2

∑n≥2 c

2n,1(1 − 1/n2)−1 , W

(1)2 = 0,±α

√1/3 d2,0.

]

5.45)[W0 = 3/2 ~ω + 1/12 (~2/µ3ω4) k2 +O(k4) .

]

5.46)[Wn ≈ ~ω

[ε+ (n+ 1

2)√

1 − ε ω′/ω].

]

5.47)[~α/

√µK 32

](Confrontare con la correzione al quarto ordine.

)

5.48)[Wn = (n+ 1/2) ~ω + (1/2µω) [ (2n+ 1) ~G− F 2/ω ] + ...

]

5.49)[W

(2)0 = 0 , W

(2)1 = 0,−2 λ2 , W

(2)2 = 2, 6, 4 λ2 , W

(2)3 = 6,−8,−12,−6 λ2

](Correzioni nulle al primo ordine. Al secondo ordine diagonalizzare la matrice di perturbazione.

)

5.50)[W

(1)0 = 0 , W

(1)1 = ±3 ε/4 , ε 1 .

]

5.51)[W

(2)n = −q2E2/2µω2 .

]

5.52)[W

(2)0 = −11/16 α2 .

]

5.53)[W

(0)n = (n+ 1/2) ~

√g/l ; W

(1)0 = −~

2/(64µl2) .]

16. PERTURBAZIONI INDIPENDENTI DAL TEMPO. SOLUZIONI. 87

5.54)[Posto x0 =

√~/µω : W

(1)0 (a x0) ≈

√π λ/(a x0) , W

(1)0 (x0 a) ≈ λ/a2

]

5.55)[W

(0)0 = −µK2/(2~

2) . W(1)0 = 3eE~

2/(2µK) .]

5.56)[Vedi 2.4) e 5.9). Posto w0 = ~

2/(2µλ2) , ψ(0)n = einϕ/

√2π , Wn6=±1 = w0 n

2+0+ ... ,

ψn6=±1 = ψ(0)n − (V0/8w0)[ 1/(n+ 1) ψ

(0)n+2 + 1/(1 − n) ψ

(0)n−2 ] + ... ; W±1 = w0 ± V0/2 + ...,

ψ+1 =√

1/π [cosϕ−(V0/16w0) cos 3ϕ+ ...] , ψ−1 =√

1/π [sinϕ−(V0/16w0) sin 3ϕ+ ...] .]

(Nei sottospazi di degenerazione ±n la perturbazione e nulla fuorche per n = ±1 . In

questo caso occorre prima diagonalizzare la perturbazione, mentre in tutti gli altri si puo

applicare la teoria per stati non degeneri.)

5.57)[W0 = −11e2/4r0 + ... . WI = 3e2/4r0 .

]

5.58)[W1,± = 5/2 ~ω ± λ~/(2µω) , ψ1,± = 1/

√2 ( | 100〉 ± | 010〉) ;

W1,0 = 5/2 ~ω , ψ1,0 = | 001〉 .]

5.59)[Con µ = 1 : W

(1)1,± = 2~ω ± λ ~/2ω , ψ

(0)± = 1/

√2 ( | 1 0 〉 ± | 0 1 〉 ) .

W ex00 = ~/2 (

√ω2 + λ +

√ω2 − λ ) ≈ ~ω , W10 = 3~/2

√ω2 + λ + ~/2

√ω2 − λ ≈

2~ω + λ ~/2ω , W01 = ~/2√ω2 + λ + 3~/2

√ω2 − λ ≈ 2~ω − λ ~/2ω

] (Vedi 3.3).

)

5.60)[I valori corretti al prim’ordine sono: W2,0 = 3 ~ω+ ... , W2,± = 3 ~ω±λ~/µω+ ... ,

con relative autofunzioni di ordine zero ψ(0)2,0 = 1/

√2 ( | 2 0 〉 − | 0 2 〉 ) e

ψ(0)2,±1 = 1/2 ( | 2 0 〉 ±

√2 | 1 1 〉 ) . Per quelli esatti si procede come nel 5.59).

]

5.61)[W

(1)n = 2λ/a , 0 , W

(2)n = −(2µλ2/π2

~2n2) , 0 , per n =dispari , pari,

rispettivamente. Il procedimento e valido per: λa (π2~

2/µ) n , sia al primo che al

secondo ordine.] (

Nella somma al secondo ordine, notare che tutti i contributi si cancellano

a due a due tranne uno: 1/(p− k) per p = 3k + 1 .)

5.62)[W2s −W2p ≈ W2s =⇒ δ ≈ 10−13 cm

] (Vedi il 5.7).

)

5.63)[Tre livelli, con correzioni: w′ = 0 degenere 2 volte, w′ = ±A non degeneri, con

A = 1/5∫dr R2

2(r)r4f(r) .

)

5.64)[W0 = W

(0)0 +W ′

0 +W ′′0 + ... = W

′′

0 = −d2E2I/3~2 .

]

5.65)[W ′

0 = ~ω[1/2 + 1/4 ε/K − 1/16 (ε/K)2 + ...

] ](Calcolo perturbativo, oppure esat-

to sviluppato in serie.)


5.66)[ζ ≈ −2/3 Z3 δ2/r2

0

∣∣∣Z=1

≈ −2.5 x 10−10 . Nel secondo caso, W(1)1 /W

(0)1

∣∣∣µ−Pb

≈

W(1)1 /W

(0)1

∣∣∣HA2/3 (mµ/me)

2 822 ≈ −5 x 10−10 · 2082/3 · (82 x 207)2 = O(1) , e quindi il

calcolo perturbativo non e accettabile.] (

V = (Z + ζ) e2/r = V + Vζ , e si considera Vζ

come una perturbazione, oppure si risolve esattamente V e poi si sviluppa in serie.)

CAPITOLO 17

Calcolo Variazionale. Soluzioni.


6.1)[ψ2;ψ1 non appartiene al dominio di autoaggiuntezza dell’hamiltoniana.

]

6.2)[~ω/

√2; (

√7/5)~ω ; a2 = 2b2/α2 con b2 → ∞, Errmin = 0.

]( ∫ ∞

−∞ dx/(b+ x2)n+1 = π(2n− 1)!!/(2nn!bn+1/2) ; A2 = 2/(πa), T1(a) = ~2/(4µa2),

V1(a) = k/2 a2; B2 = 16/(5πa), T2(a) = (7~2/10µa2) , V2(a) = ka2/10.

)

6.3)[W 1 = 2.476 w0 , W 2 = 2.345 w0 , con w0 = (µg2

~2/2)1/3 .

] (A2 = 4α3,

T1 = ~2α2/2µ , V1 = 3µg/2α ; B2 = 4β3/2/π1/2 , T2 = 3~

2β/4µ , V2 = 2µg/√πβ .

)

6.4)[W 2p,var = −0.113 µe4/~2.

](

Corretto comportamento al contorno ≈ rl ; W2p,ex = −0.125 µe4/~2.)

6.5)[W =

√3/2 ~ω ≈ 1.22 ~ω. Wex = ~ω.

]

6.6)[W =

√3 ~ω ≈ 1.73 ~ω, Wex = 1.5 ~ω .

](T = α2

~2/2µ , U = 3k/2α2, k = µω2.

)

6.7)[W =

√15/2 ~ω ≈ 2.74 ~ω , Wex = 2.5 ~ω .

] (T = α2

~2/2µ , V = 15 µω2/4α2 .

)

6.8)[

[W ] =[λ (~2/2µ)

k]1/(k+1)

. Posto ψ(x) = (2πσ)−1/4 exp−x2/4σ ,

W (σ) =[λ (~2/2µ)

k]1/(k+1) [

(2k − 1)!!/(4k)k]1/(k+1)

(k + 1) .]

(< ψ | H | ψ >= a/σ + b σk , con a = 1/4 ~

2/2µ , b = λ (2k − 1)!! .)

6.9)[W = 3/2 (9λ2

~2/4µ)

1/3.] (

Vedi il 6.3)).

6.10)[W i = −4µe4/3π~

2 ≈ −0.85 w0 ; W ii = −5µe4/16~2 ≈ −0.62 w0 , Wex = −w0 =

−e4µ/2~2 . La prima, perche il valore esatto e un estremo inferiore. La prima, per il

comportamento asintotico.] (

T i = 3~2α2/2µ , V i = −

√8/π αe2 ; T ii = 5~

2/µα2 ,

V ii = −5e2/2α .)

6.11)[W = −27π2λ4µ3/128~

6.] (

con ψσ = (σ3/8π)1/2 exp[−σr/2] , σ1/2 = 3√πλµ/2~

2 .)

89

90 17. CALCOLO VARIAZIONALE. SOLUZIONI.

6.12)[W 1 = 10/π2 w0 , W 2 = 4/3 w0 , W 3 = 12/π2 w0 . ψ2 = O(x2) , ψ3 ha derivata

discontinua.]

6.13)[W

(1)

0 = −(4 µλ2/π2~

2) ≈ 0, 81 w0 , W(2)

0 = −(256 µλ2/70 π2~

2) ≈ 0, 74 w0 .]

(I rapporti sono minori di uno perche i valori sono negativi. Vedi anche 6.2) e 4.2)

)

6.14)[ψ(x) = A x(x + a)(x− a) ; W 1 = (21~

2/4µa2) . W 1/W1,ex = (42/4π2) ≈ 1, 06 .]

(La scelta di una funzione di prova dispari, ortogonale allo stato fondamentale pari,

garantisce l’approssimazione per eccesso.)

6.15)[〈H〉 < 0 e condizione sufficiente. a1 > 1.36 aex e a2 > 1.55 aex . La ψ1 ha il

corretto comportamento all’∞ .]

6.16)[WN = ~ω(nx +ny +1) = ~ω(N+1) , dWN

= N+1 . minW =√

3/2 ~ω ≈ 1.22 ~ω .(T = ~

2/2µα2 , V = 3/4 k/α2)

CAPITOLO 18

Evoluzione temporale. Soluzioni.


7.1)[tel ≈ 0.9 10−8sec ; t10−3g ≈ 1016sec ≈ eta dell’universo.

]

7.2)[Solo H; ±a

√2, con probabilita P± = [1±2(

√2±1) cos2(wt/~)]/[2

√2(√

2±1)]. Ogni

osservabile H, A, B, C, individua un sistema completo.]

7.3)[ψ(0) = 1/

√2 |i, 1, 0|T ; ψ(t) = 1/

√2 |i, cos(wt/~), i sin(wt/~)|T . (T = trasposto)

]

7.4)[

L’Equazione di Schrodinger si disaccoppia: [H0 ∓ µ0B(z)]ψi(t) = i~ ∂ψi(t)/∂t ,

i = 1, 2 e 1,+ , 2,− . Dal teorema di Ehrenfest: d2〈z〉i/dt2 ≈ ±µ0/µ ∂B(〈z〉i)/∂〈z〉i ,ed essendo i dati iniziali uguali, le traettorie sono divergenti.

]

7.5)[〈x〉t = −

√3/8

√~/µω cosωt ; 〈W 〉 = 3/4 ~ω.

](ψ0 = 1

2u1(ξ) −

√3u0(ξ) , con un autostati dell’oscillatore armonico.

)

7.6)[Pb = 1 − P−b = 1 − 1

8

[1 +R2 + 2R cos(w2t/~)

]. Pb,3c = 1

8

[1 +R2 − 2R cos(w2t/~)

].

R =√

2 cos(w1t/~) − sin(w1t/~)] (

ψαmax = 1/2 |1,√

2, 1|T .)

7.7)[〈sx〉 = ~/2 cosα(t), 〈sy〉 = −~/2 sinα(t), 〈sz〉 = 0; α(t) = (2µ0B0/~)(t+ e−t − 1).

]

7.8)[P+→− = B2

1/(B20 +B2

1) sin2(√B2

0 +B21 µ0t/~) .

]

7.9)[P~(t) = 1/4

(1 − 2 sin τt + sin2 τt

).]

7.10)[

Posto α(t) = (1 − cosωt)gB/ω e Px,y±(t) , le probabilita della permanenza del

segno (P+) o della inversione del segno (P−) per le osservabili σx o σy sono:

Px+(t) = cos2[α(t)/2] , Px−(t) = sin2[α(t)/2] , Py± = 1/2 [1 ∓ sinα(t)] .]

7.11)[sx(t) = sx cos 2ωt+ sy sin 2ωt , sy(t) = sy cos 2ωt− sx sin 2ωt , sz(t) = sz.

]

7.12)[x = ~/µ p0 t per x < 0 , e x = ~/µ

√p2

0 − k20 t per x > 0 .

](Per il principio della fase stazionaria: ( d/dk(kx− ~k2t/2µ) )

∣∣k=p0

= 0 .)

91

92 18. EVOLUZIONE TEMPORALE. SOLUZIONI.

7.13)[

∆p(t) = cost.] (

Teorema di Ehrenfest.)

7.14)[P↑→↓(t) = (ω1/Ω1)

2 sin2(Ω1 t) , Ω1 =√

(−ω0 + ω/2)2 + ω21 ω0 = µB0/~ ω1 =

µB1/~ . Per |B1/B0| 1 e ω ω0 ovvero Ω1 ≈ ω0 =⇒ | ω1/Ω1| ≈ |B1/B0| ,P↑→↓ ≈ (B1/B0)

2 sin2(ω0t) 1 . Per ω ≈ 2ω0 risonante, anche con |B1/B0| 1 , cioe

Ω1 = ω1 : P↑→↓ ≈ sin2(ω1t) .]

7.15)[Vedi 7.15)

]

7.16)[Vedi 7.15)

]

7.17)[Posto α =

√µω/~ : ∆xt =

(1/β

√2)√

cos2 ωt+ (β4/α4) sin2 ωt ,

∆pt =(µω/β

√2) √

sin2 ωt+ (β4/α4) cos2 ωt .]

(Rappresentazione di Heisenberg, ed evoluzione del pacchetto libero in Appendice.

)

7.18)[ψ(x, t) =

√1/10 e−iW0t/~

[3ψ0 − e−i8W0t/~ψ2

]. τs = (µa2/2~π) s , s = 1, 2, ...

]

7.19)[

∆xt∆yt∆zt =[σ(1 + (~2t2/4σ2µ2)

)]3/2

.]

(In x e y il moto e libero. Lungo z, z(t) = −gt2/2 + pzt/µ+ z .

)

7.20)[a) ψ(x, t) =

√8/5a sin(πx/a)

exp(−itπ2

~/2µa2) + exp(−it2π2~/µa2) cos(πx/a)

.

b) 〈H 〉 = (4π2~

2/5µa2) . c) P (0 ≤ x ≤ a/2; t) = 1/2 + (16/15π) cos[(3π2~/2µa2)t] .

]

7.21)[Con C = A− iB , W0 = 0 , W± = ±~|C| ; ψ0 = 1/

√2

−C/|C| , 0 , C∗/|C|

,

ψ± = 1/2± C/|C| ,

√2 , ±C∗/|C|

. 〈sz〉t = ~ cos |C|t .

](ψ(t) = 1/2

C/|C|(cos |C|t+ 1) , −i

√2 sin |C|t , C∗/|C|(cos |C|t− 1)

)

7.22)[ψ(x, t) = (8

√30/π3

√a)

∑∞m=0(2m+ 1)−3 sin

((2m+ 1)π x/a

)·

· exp[−(i~/2µ)((2m+ 1)π/a

)2t ] .

] (Integrali valutati nel 11.29) .

)

7.23)[ψ(x, t) = (8

√3/π2

√a)

∑∞m=0(−)m(2m+ 1)−2 sin

((2m+ 1)π x/a

)·

· exp[−(i~/2µ)((2m+ 1)π/a

)2t ] .

]

7.24)[i) W ≈ 0.55 W

H

1 ≈ −7.47 eV ; ii) Pl=1,m=1 = 1/5; iii) P (r < 10−10cm) ≈ 3.6 10−6;

iv) ψ(r, t) = 1/√

10[2 e−i/~ W1 t ψ100 + e−i/~ W2 t

(ψ210 +

√2ψ211 +

√3ψ21−1

)].

(Nel punto iii), sviluppare in serie gli esponenziali.

)

7.25)[Posto γ = (1− 4λ2)1/2, Wn = γ(n+ 1/2)− 1/2. |ψ0(t) >= N

∑n c2n(t) | 2n >, con

c2n(t) =[−D(t)/C(t)

]n((2n− 1)!!/(2n)!!

)1/2, C(t) = cos γt− (i/γ) sin γt,

D(t) = −(2λi/γ) sin γt](

Diagonalizzare l’Hamiltoniana, o passare alle x, p. In rappre-

sentazione di Heisenberg: a|0 〉=⇒aH(t)|ψ0(t) 〉 = [C(t)a +D(t)a†] |ψ0(t) 〉 = 0 .

)

18. EVOLUZIONE TEMPORALE. SOLUZIONI. 93

7.26)[< ψ(t) | Lx | ψ(t) >= ~ cosλt , con λ = eB/2µc .

]

7.27)[Per t < a/v , ψ(t) = cos(W+t)u200 + i sin(W−t)u210 , con W± = −e2/4r0 ± 3eEr0 .

Per t > a/v , P200 = cos2(3eEr0a/~v) , P210 = sin2(3eEr0a/~v) .]

7.28)[x(t) = F0/µω

2(1−cosωt) per ωτ ≈ 0 , e x(t) = F0/(µω2)+O(1/ωτ) , per ωτ → ∞ .

Pn(t) ∼ 1 , per τ → ∞, e Pn(t) ∼ 1/n! (F0/ω)2ne−(F0/ω)2 per τ → 0 .]

7.29)[〈 ψ(t) | Lx | ψ(t) 〉 = 〈 ψ0 | Lx cosλt+Ly sinλt | ψ0 〉 = ~ cosλt , con λ = eB/2µc .

B 10−5Gauss.](

Vedi 7.27).)

7.30)[ψ(t) = | cosωt,−i sinωt|T ; P = − sin 2ωt ey + cos 2ωt ez .

]

7.31)[

Posto K(t) =√

1/2µω~∫ ∞0ds f(s) exp[iω s] , si ottiene:

Pn→m(t) = exp[−|K(t)|2]∣∣∣〈 m | exp[iK(t) a†] exp[iK∗(t) a] | n 〉

∣∣∣2

, e in particolare:

P0→m(t) = exp[−|K(t)|2] |K(t)|2m/m! , e

P1→m(t) = exp[−|K(t)|2] |K(t)|2(m−1)/(m− 1)![1 − |K(t)|2/m

]2

.]

7.32)[P (t;A = α) = cos4(µt/2~) . P (t = τ ; | α 〉

A−→

H| α 〉

A) = 3/8 .

]

7.33)[Posto Φ(t) = exp−i

∫ t

0dτ ω(τ) , e c(t) = −i

∫ t

0dτ λ(τ) Φ∗(τ) , si ha:

〈z| a(t) + a†(t) |z〉 = 2ReΦ(t)(z + c(t)) , e 〈z| a†(t)a(t) |z〉 = |z + c(t)|2 .]

7.34)[PL→2L = 64/9π2 ; W = WL

0 = (π2~

2/2µL2) .]

7.35)[Posto ω = |e|B/4µc , P (s = −~/2 ; t = τ) = sin2 ωτ ; τ

P=1= (2n+ 1) 2/ω .

]

7.36)[N = 1/

√2 ; 〈 H 〉 = 3/2 ~ω ; ψ(x, t) =

∑n=0

(1/√

2)n+1

e−iω(n+1/2)t ψn(x) ;

τ = 2π/ω .]

7.37)[Posto ω = |e|B/4µc , P (σz = 1; t = τ) = sin2 ωτ , P (σx = 1; t = τ) = 1

2.]

7.38)[ψ(x, t) = cos β exp(−iW0t/~) u0(x) + sin β exp(−iW2t/~) u2(x) , Wn e un(x)

sono autovalori e autovettori dell’oscillatore armonico. < x >= 0 ad ogni tempo.]

7.39)[ψ(x, t) = 2/

√5 exp (−iwt/~ )ψ1(x)+1/

√5 exp (−4iwt/~)ψ2(x) , dove w e ψn(x)

sono il primo autovalore e l’n-esima autofunzione della buca infinita.

〈 W 〉 = 4π2~

2/5µa2 . P (0 ≤ x ≤ a/2) = 1/2 + 16/15π cos 3wt/~ .]

94 18. EVOLUZIONE TEMPORALE. SOLUZIONI.

7.40)[P↑z ;↑z(2~

2) = 1 , P↑z ;↓z(2~2) = 1/2 , P↑x;↑z(2~

2) = 3/4 ; < S1z >= ~/2 cos(ωt/4),

P (s1z = ~; t) = cos2(ωt/2).]

7.41)[a) W

(0)0 = 3/2 ~ω , W

(0)1 = 5/2 ~ω , W

(0)2 = 7/2 ~ω .

b) Con µB = eB/2µc : W(1)100 = 0 , W

(1)022 = −2µB~ , W

(1)02−2 = 2µB~ , W

(1)020 = 0 ,

W(1)021 = −µB~ , W

(1)02−1 = µB~ . c) ∆nx = ±1 , ∆ny = ∆nz = 0 .

d) P0→1 = A2α2/8~2

∣∣(ei(ω+Ω) t) − 1)/(ω + Ω) + (ei(ω−Ω) t) − 1)/(ω − Ω)∣∣2 .

e) P0→1 ≈ A2α2/8~2 sin2[(ω − Ω)t/2]/[(ω − Ω)t/2]2 . P t→∞

0→1 ≈ (A2α2π/4~2) t δ(ω − Ω) .

]

7.42)[Pn = cos2n(βτ) sin2(N−n)(βτ), con n permanenze e β = (e/4mc)B; βτ = rπ (solo

permanenze) e βτ = (r − 1/2)π (solo inversioni), r = 1, 2, ...]

7.43)[

Ψ(ϕ; t) = N/2 [1 − exp (−i2~t/µλ2) cos 2ϕ] . τ = πµλ2/~ .]

7.44)[

Ψ(ϑ, ϕ; t) = N/3 [ 1 + exp (−i3~t/µλ2) (3 cos2 ϑ− 1) ] . τ = 2πµλ2/3~ .]

7.45)[ψ(x; t) = (π/α2)1/4·

· exp [−α2/x2/2 + A2 − α2x20/2] · exp [−A2e−2iωt + 2αx A e−iωt − iωt/2 ] .

|ψ(x; t)|2 = (π/α2)1/2 exp[−α2 (x− x0 cosωt− p0/µω sinωt)2

].

x(t) = x0 cosωt+ p0/µω sinωt ; p(t) = p0 cosωt− µωx0 sinωt .

∆2x(t) = α2/2 , ∆2p(t) = ~2/2α2 , ∆x(t) · ∆p(t) = ~/2 .

]

CAPITOLO 19

Perturbazioni dipendenti dal tempo. Soluzioni.


8.1)[Al primo ordine perturbativo sono possibili solo le transizioni tra stati un di par-

ita opposta.] (

Nota che con una perturbazione pari, tipo V0x2 cos(ωt) , sono permesse

transizioni solo tra stati con uguale parita a ogni ordine.)

8.2)[∆m = ±1 .

] (Ricorrenza dei polinomi di Hermite.

)

8.3)[ck0(t) = δk1(iF0/2

√2π~α)

[exp(iπ+) sin(π+)/ν+ + exp(iπ−) sin(π−)/ν−

],

con ν± = ν ± ν, π± = πν±t ; P1(t) = |c1(t)|2 .]

8.4)[P0→1(t) = λ2/8

sin2 ω−t/ω

2− + sin2 ω+t/ω

2+ − 2 cos ωt sin ω+t sin ω−t/ω+ω−

.

con ω± = (1 ± ω)/2 . P0→1(τ) = 2λ2 [ω/(1 − ω2)]2

sin2(π/ω) . P0→1(t) ≈ |K(t)|2 .)

8.5)[P0→2(t ≥ T ) ≈ 1/2(1 + δω/2ω)2(δω/ω)2 sin2 ωT .

]

8.6)[P+∞ = (qA2τ 2)/(2~

2mω)πe−ω2τ2/4.]

8.7)[c210,100(t) = ieE0/~ (27

√2/35) r0 τ/(1 − iτ ∆Wk0/~) .

]

8.8)[i) |ckn(t)|2 = 2(1−cosωknt) |Vkn/~ωkn|2 : Vkn = 〈k | V0 | n 〉 , ωkn = (W

(0)k −W (0)

n )/~ .

ii) |ckn(t)|2 = |Vkn/~ωkn|2 . Formule valide anche per tempi finiti, se ωknτ 1.]

8.9)[Pn =

∣∣∣(2[H1]n1/~ωn1) sin(ωn1τ/2)∣∣∣2

, con ωn1 = (W 0n −W 0

1 )/~ ,

[H1]n1 ≈ (4V0b/a) sin(nπ/2) . P2 = P4 = 0 ; P3 ≈ 1.47 10−4 .]

8.10)[i) P2 = (16a2/9π2)

3[ (eEµ/~2π) sin ((3~π2/4µa2) τ) ]

2 ≈ [(16eEa/9π2~) τ ]

2,

P3 = 0 ; ii) non dipende da t ; iii) perturbazione “piccola”, τ “piccolo”.]

8.11)[P = (32aeE0/9π

2)2/(α2

~2 + (∆W )2) .

]

8.12)[P10→2p = 215/310 (E2r2

0/τ2) e−2ωτ .

]

95

96 19. PERTURBAZIONI DIPENDENTI DAL TEMPO. SOLUZIONI.

8.13)[k pari, P = 0 . k dispari P0→k = [ 64a2(k+ 1)2V 2

0 ] / [ π4k4(k+ 2)4~

2 ] F 2i (τ) ,

con F1 =√π τ exp[−ω2

k0 τ2/4 ] , F2 = 2τ (1 + ω2

k0 τ2)−1 , F3 = πτ exp[−ωk0τ ] .

Condizioni di validita : 〈V 〉/~ω0 1 , τω0 1 .] (

Vedi F1 in 8.6).)

8.14)[P

(1)n→n±1 = (d2E2

0/4~2) τ 2/(1 + ω2

0 τ2) .

P(2)0→±2 = (d4E4

0/64~4) τ 4/[ (1+9ω2

0τ2)(1+4ω2

0τ2) ] . P (2)

0→±2 =[P

(1)0→±1

]2

[ 1/4 +O(τ 2ω20) ] .

]

CAPITOLO 20

Momento angolare e spin. Soluzioni.


9.1)[m = 0,±1; P0 = 2/3, P±1 = 1/6 .

]

9.2)[No. Si. No.

](Notare: [ H , L2 ] = (b− a) [ z2 , L2 ] .

)

9.3)[L2 = 2(2 + 1) ~

2, con probabilita 1 . Lz = ±2~ con probabilita 1/2 ciascuno.]

9.4)[Se s1, s2 = 1/2, 1/2 : W0,0 = −3α~

2/4 ; W1sz = α~2/4 + β~sz , sz = −1, 0, 1 ;

Se s1, s2 = 1/2, 3/2 : W1sz = −5α~2/4 + β~sz , sz = −1, 0, 1 ;

W2sz = 3α~2/4 + β~sz , sz = −2,−1, 0, 1, 2 .

]

9.5)[P0,0 = P1,0 = 1/2 ; sz = 0.

]

9.6)(Applicare a ψ gli operatori L2 e Lz in coordinate polari. Vedi Appendice sui

potenziali centrali. Applicare a ψ gli operatori L± .)

9.7)[P+ = cos2(θ/2) , P− = sin2(θ/2) .

] (Sθ = Sz cos θ + Sx sin θ .

)

9.8)[± ~, con probabilita 1/2.

]

9.9)[〈Sx 〉 = 〈Sy 〉 = 0 ; 〈S2

x 〉m = 〈S2y 〉m = (2 −m2) ~

2/2 .]

9.10)(Valutarne l’evoluzione sviluppando ψ(0) sulla base delle autofunzioni di H .

)

9.11)(Applicare gli operatori Sz = s1z + s2z e S2 = S2

z + (S+S− + S−S+)/2 , con

S± = s1± + s2± , agli stati prodotto diretto e a loro combinazioni lineari.)

9.12)[

a) P+(x) = P+(y) = 1/2 , P+(r) = (1 + n)/2 . b) 〈 sx 〉0 = 〈 sy 〉0 = 0 ,

〈 sr 〉0 = n~/2 . c) ∆20(sx) = ∆2

0(sy) = ~2/4 . d) Spin costante del moto.

](Sr = lSx +mSy + nSz. Oppure ruotare lo stato: |1/2 〉r = RϕRθ|1/2 〉z.

)

9.13)[〈S2

T 〉 = ~2/4

((N − 2n)2 + 2N

).

] (S2

T = S2n + S2

N−n + 2Sn · SN−n.)

97

98 20. MOMENTO ANGOLARE E SPIN. SOLUZIONI.

9.14)[ (

Nsz+N/2

).]

9.15)[|0, 0〉 = 1/

√3 ( |1, 1〉|1,−1〉+ |1,−1〉|1, 1〉 − |1, 0〉|1, 0〉 )

] (J− e ortogonalita.

)

9.16)(Avendo terza componente nulla, basta mostrare una delle due: J±|0, 0〉 = 0 .

)

9.17)(Dallo stato di peso massimo |2, 2〉 , con abbassatori e proprieta di ortogonalita.

)

9.18)[Pm

1=j

1= j

1/(j

1+ j

2) .

]

9.19)[P± = 1

2

[(1 ± n) sin2 α + (1 ∓ n) cos2 α±m sin 2α

]; l, m, n = coseni direttori.

]

9.20)[Ps2z=1/2 = 1/3 ; Ps2y=±1/2 = 1/2 ; Ps1y=1 = Ps1y=0 = Ps1y=−1 = 1/3

]

9.21)[〈Lz〉 = ~(x0k2 − y0k1)).

]

9.22)[t = π/4λ~

3 .]

9.23)[〈Lz〉 = 0 ; 〈L2〉 = 2~

2 ; 〈p2/2µ〉 = ~2k2/2µ .

] (Stato di particella libera.

)

9.24)[Con µe,p = µe,pB , A =

√(µe − µp)2 + 4C2 : Wσ1 = µe+ µp+C , ψ1 = | 1 0 0 0 |T ,

Wσ± = −C ±A , ψ± =√C/A | 0 ±

√(A± (µp − µe))/2C

√2C/(A± (µp − µe)) 0 |T ,

Wσ4 = −µe − µp + C , ψ1 = | 0 0 0 1 |T .]

9.25)[| 3/2,±3/2 〉 = | ±±± 〉 , | 3/2,±1/2 〉 = 1/

√3(| ±±∓ 〉+ | ±∓± 〉+ | ∓±± 〉

);

| 1/2,±1/2 〉1 = 1/√

6(2| ± ±∓ 〉 − | ± ∓± 〉 − | ∓ ±± 〉

);

| 1/2,±1/2 〉2 = 1/√

2(| + −± 〉 − | − +± 〉

).

] (Le due 1/2 non sono univocamente

determinate, e si ottengono per ortogonalita tra di loro e con gli stati | 3/2,±1/2 〉.)

9.26)[

Posto c2 = cos β/2 e s2 = sin β/2 : R(1/2)1i = c2 ,−s2 , R(1/2)

2i = s2 , c2 .Posto c = cos β e s = sin β : R

(1)1i = 1

2 1 + c ,−

√2 s , 1 − c ,

R(1)2i = 1

2√

2 s , 2c ,−√

2 s , R(1)3i = 1

2 1 − c ,

√2 s , 1 + c .

]

9.27)[| 0, 0 〉 = (2l + 1)−

1

2

∑m=−l,+l (−)m| l, m ; l,−m 〉.

]

9.28)[

∆2Lx = ∆2Ly = 1/2 n2(2n + 1)/(2n− 1) , ∆2 sin θ = 1 − (2n+ 3)/(2n+ 1) .]

9.29)[Se J = 2j−p la parita e (−)p .

] ([P12, Ji,k] = 0 , con P1,2 operatore di scambio.

)

20. MOMENTO ANGOLARE E SPIN. SOLUZIONI. 99

9.30)[m = 0,±1 , l = 1, 2 ; Pm=0 = 5/14, Pm=±1 = 9/28, Pl=1 = 5/7, Pl=2 = 2/7,

< ψ | Lz | ψ >= 0 , < ψ | L2 | ψ >= 22/7 ~2 .

]

9.31)[W11 = 0 , W10 = −2β , W1−1 = 0 , W00 = 2β . W11 = (eB/µc) ~ , W10 = −2β ,

W1−1 = −(eB/µc) ~ , W00 = 2β . Degenerazione risolta.]

9.32)[W± = ±3/4 β~

2, degeneri 4 volte. W1/2,± = −3/4 β~2±1/2 g~ωL , degeneri 2 volte,

W3/2,±3/2 = 3/4 β~2 ± 3/2 g~ωL , W3/2,±1/2 = 3/4 β~

2 ± 1/2 g~ωL . B = (β~µc/|e|Bg) .]

9.33)[W = −µ~

2l(l + 1) , l = 0, 1, 2 .]

9.34)[< (n1 · s1)(n2 · s2) > = −(l1 + l2) ~

2/4 .] (

Vedi 9.12) .)

9.35)[〈 L2 〉 = 2~

2 ; 〈 Lz 〉 = 0 ; P (θ, ϕ; dΩ) = (1/8π)(sin θ cosϕ+sin θ sinϕ+2 cos θ)2 dΩ .]

9.36)[W j=3

so = 2β~2, d = 7 ; W j=2

so = −β~2, d = 5 ; W j=1

so = −3β~2, d = 3 .

]

9.37)[Posto | ψ 〉 = | + 〉1z

√1/2 | + 〉2z + | − 〉2z , si ottiene: |〈 ψ | 0 〉T |2 = 1/4 .

]

9.38)[

Posto Γ =√A2 +B2 s± = ±~/2 Γ ; χ± = ( a± b± )T con a±/b± =

iA/(B ∓ Γ ) = (B ± Γ )/iA . P+ = (B ∓ Γ − A)2/ 2 [A2 + (B ∓ Γ )2 ] .]

9.39)[| l+1/2, l−1/2 〉 = A | l, l−1; 1/2, 1/2 〉+B | l, l; 1/2,−1/2 〉 , A =

√2l/(2l + 1) ,

B = 1/√

2l + 1 ; | l − 1/2, l − 1/2 〉 = −B | l, l − 1; 1/2, 1/2 〉 + A | l, l; 1/2,−1/2 〉.]

9.40)[P↓ = 2/3 . P (θ, ϕ) = 1/4π .

]

9.41)[< Lx >= 0 ; < L2 >= 1/2 ~

2[l(l + 1) −m2] .]

9.42)[| ψf | 2 = (3/8π) sin2 θ

(1 − 2Re (c∗pcd) cos θ

), con cp , cd coefficienti arbitrari

dell’onda p e dell’onda d , con |cp|2 + |cd|2 = 1 . Se si conserva la parita, il contributo e

solo quello dell’onda p , e vale | ψf | 2 = (3/8π) sin2 θ .]

9.43)[σ∆

a : σ∆b : σ∆

c = 9 : 1 : 2 ; σN∗

a : σN∗

b : σN∗

c = 0 : 4 : 2]

9.44)[a) 1/4, 1/2, 1/4 ; b) 1/2, 1/2 ; c) No.

]

CAPITOLO 21

Molte particelle. Soluzioni.


10.1)[Wne=1,nµ=1 ≈ −(2e4/~2)(me + mr

µ) , con 1/mrµ = 1/mµ + 1/mN . Non c’e dege-

nerazione di scambio. Il muone e molto vicino al nucleo e scherma in parte la carica del

nucleo, per cui: Wschermato

≈ −(e4/2~2)(me + 4mr

µ) . W∞,1 < W1,2 , con W∞,1 = energia di

ionizzazione dell’elettrone, e W1,2 = primo stato eccitato del muone.]

10.2)[Separate le equazioni nelle variabili X del centro di massa x = x1 − x2,

φ(x1, x2) =√

1/2π~ exp(iPX/~) un(x) , con gli un coseni e seni del 1.1);

Wn = P 2/2M + (n2π2~

2)/(8µa2), M = m1 + m2, µ = (m1m2)/(m1 + m2). Poiche 1 ↔ 2

comporta x→ −x, per bosoni solo n dispari, per fermioni solo n pari.]

10.3)[Ψ = Φ(X) unx(x)uny(y)unz(z)χs(σ) , con s = 0, 1 per N = nx + ny + nz pari o

dispari; W = P 2/2M + ~ω (N + 3/2) + −3V0~2/4 , V0~

2/4 , per N pari o dispari.]

10.4)[W2 1S ≈ −4.07 w

0, W2 3S ≈ −4.25w

0; I2 1S ≈ 0.073 w

0, I2 3S ≈ 0.25 w

0.]

10.5)[Il livello e degenere 2 volte: ψ± =

√1/3! det|ψαi

(j)| , con j = 1, 2, 3 e con

α1 = n1, l1, m1, s1 = 1, 0, 0, 1/2 , α2 = 1, 0, 0,−1/2 , α3± = 2, 0, 0,±1/2 .Posto ui(j) = ui00(rj) (i, j = 1, 2) , si trova: (ψ+, V ψ+) = (ψ−, V ψ−) =

= e2∫dr1

∫dr2(|r1−r2|)−1 u2

1(1)u22(2)+u2

1(2)u22(1)+u2

1(1)u21(2)−u1(1)u2(2)u1(2)u2(1) .

](La repulsione coulombiana e diagonale sugli spin e quindi sugli ψ± .

V = V12+V23+V23 e (ψ+, V ψ+) = 3(ψ+, V12ψ+) . V12 e diagonale sulle ψαi(3) , e conviene

sviluppare il determinante lungo questa riga. I prodotti scalari sia tra queste funzioni, sia

tra le funzioni di spin, danno delle δii′ .)

10.6)[ψ0 = u111(x1)u111(x2)χStot=0

; P (x)dx = |u111(x)|2dx;

W0 = (3π2~

2/4µa2) − 3/4 A~2 .

] (Vedi 5.11) .

)

10.7)[∆W10 = 3/8 10−10 erg , ∆W21 = 1/4 10−10 erg

].

(Vedi 10.6) . Per il principio di

esclusione, W0 = 2W111 +W112 , W1 = W111 + 2W112 e W2 = 2W111 +W113 .)

10.8)[Ψ

(0)B =

∑6i=1 ciΨ

(0)Bi (1, 2, 3, 4, 5) , Ψ

(0)Bi =

∑Pε

Pψα1

(1)ψα2(2)ψα3

(3)ψα4(4)ψα5i

(5) ;

101

102 21. MOLTE PARTICELLE. SOLUZIONI.

α1 = 1, 0, 0; 12 ; α2 = 1, 0, 0;− 1

2 ; α3 = 2, 0, 0; + 1

2 ; α4 = 2, 0, 0;− 1

2 ;

α5i = 2, 1, 1, 0,−1,± 12 , i = 1 − 6 .

]

10.9)[10 stati; S = 1, 3 . Detto χijk il prodotto simmetrizzato delle funzioni d’onda di

singolo spin χ1 , χ2 e χ3 : |3/3〉 = χ333 , |3/2〉 = χ332 , |3/1〉 =(2χ322 + χ331

)/√

5 ,

|3/0〉 =(2χ222+χ123

)/√

5 , |3/−1〉 =(2χ122+χ311

)/√

5 , |3/−2〉 = χ112 , |3/−3〉 = χ111 .

|1/1〉 =(χ322 − 2χ331

)/√

5 , |1/0〉 =(χ222 − 2χ123

)/√

5 , |1/− 1〉 =(χ122 − 2χ311

)/√

5.

La funzione data non e accettabile per s = 1/2 .]

10.10)[WLi = −9/4 Z2 + 5965/2916 Zw0 + ... = −14.11w0 + ... = −191.90 ev + ....

]

10.11)[Wvar ≈ −14.47w0 = −196.75 ev .

]

10.12)[Wvar ≈ −14.58w0 = −198.26 ev .

]

10.13)[L pari, S pari , L dispari, S dispari .

] (Vedi 9.29).

)

10.14)[P (r

1, r

2) = 2|ψ(r

1, r

2)|2dr

1dr

2; P (r, r) = |ψ(r, r)|2drdr ;

P (V, V ) =∫

Vdr

1

∫Vdr

2|ψ(r

1, r

2)|2 ; P (V, CV ) = 2

∫Vdr

1

∫CV

dr2|ψ(r

1, r

2)|2 , con

CV =spazio complementare di V .] (

La funzione d’onda di particelle identiche e simme-

trica, ma l’interpretazione probabilistica e la stessa del caso di particelle distinguibili.)

10.15)[La degenerazione di,n degli stati | s = i,W = Wn 〉 e data da :

I potenziale: d0,0 = 1 , d1/2,0 = 1 , d1,0 = 6 , d0,1 = 0 , d1/2,1 = 9 , d1,1 = 9 , d0,2 = 6 .

II potenziale: d0,0 = 1 , d1/2,0 = 1 , d1,0 = 6 , d0,1 = 3 , d1/2,1 = 12 , d1,1 = 27 .

I livelli vengono corretti dal termine µ0B (Lz + 2Sz) .

] (Risolvere il primo potenziale

nella coordinata relativa, e poi in coordinate polari; il secondo nelle coordinate di singola

particella e poi in coordinate cartesiane, moltiplicando e simmetrizzando le funzioni. Nel

secondo caso, nx + ny + nz = 1 corrisponde unicamente a l = 1 in coordinate polari.)

10.16)[W0 = (1/a2 +1/b2 +1/c2)~2π2/µ+(27A/8abc)+ ..., sia per particelle non identiche

che per bosoni. W0 = (5/2a2 + 1/b2 + 1/c2)~2π2/µ+ ... per fermioni, con correzione nulla

al primo ordine.]

10.17)[W = W3 +(N +1) ~ω , ω =

√3k/µ , N = n1 +n2 = 0, 1, 2, ... ; particella libera

in y3 e due oscillatori armonici in y1 e y2 con la stessa frequenza.]

10.18)[Stato fondamentale Y0(y1, y2, y3) = (1/3π2)

1/4 √α exp [−α2/2 (y2

1/2 + 2y22/3)]Y3(y3) .

Questo stato e simmetrico nelle xi e quindi e ammissibile per bosoni identici. Per

fermioni a spin 1/2 invece, la funzione d’onda totale deve essere antisimmetrica, ma tale

21. MOLTE PARTICELLE. SOLUZIONI. 103

non puo essere la parte di spin, in quanto di tre variabili ma con soli due valori. Bisogna

allora considerare stati spaziali eccitati e nuove variabili y ′1 = x2 − x3 e y′′2 = x3 − x1 .]

10.19)[d

1/2N=0 = 1, d

1/2N=1 = 12, d

1/2N=2 = 39, d1

N=0 = 6, d1N=1 = 27, d1

N=2 = 99 .](

Notare che

(100)(010) 6= (100)(100) , mentre (110)(000) e uno solo.)

10.20)[d2s2p = 12 , d2p3p = 36 .

](Si puo sempre simmetrizzare e antisimmetrizzare:

nelprimo caso l1 6= l2 , nel secondo n1 6= n2 .)

10.21)[Detta dn la degenerazione dell’energia in unita n = W/w0 : d2 = d8 = 1, 4, 6 ;

d5 = d10 = 4, 8, 9 . Le degenerazioni si distinguono a seconda che sia n1 = n2 , oppure

n1 6= n2 , con n1, n2 relativi alla singola particella.]

CAPITOLO 22

Argomenti vari. Soluzioni.


11.1)[No. Si hanno misure diverse: e−ρ nel caso dei polinomi generalizzati di Laguerre,

e e−2knr , una per polinomio, nel caso degli stati legati dell’atomo di idrogeno.

11.2)[〈x〉k = a/2 ; ∆kx = a

√1/12 − 1/2k2π2.

]

11.3)[Le due matrici diagonali A e B con −a11 = a22 = a33 = 1 , b11 = b22 = −b33 = 1 ,

e tutti gli altri elementi nulli.]

11.4)[α = ±a , ciascuno degenere due volte. Pa = 3/4 , P−a = 1/4 .

]

11.5)[P0 = 25/4/(1 +

√2) ; P1 = 0 ; P2 = 21/4/(1 +

√2)5 .

] (Attenzione alle norme!

)

11.6)[(ψ,Hψ) = 11hν/6 .

]

11.7)[〈p2 〉 − 〈p 〉2 = ∆2p 6= 0 .

]

11.8)[[sinϕ,Mz] = i~ cosϕ ; ∆um sinϕ ∆umMz = 0 = 〈 cosϕ 〉um .

]

11.9)[P (p, p+ dp) = |ψ(p)|24π p2dp , con φ(p) = (

√23~5r3

0/π)/(~2 + r20p

2)2 .]

11.10)(Teorema di Ehrenfest.

)

11.11)[P (W )dW =

(|c(

√2µW )|2 + |c(−

√2µW )|2

)√µ/2W dW ,

c(p) =√β/

√π exp

[− β2/2 (p− p0)

2].]

11.12)[H = 1/2 p2, X = p, Y = −x ; H = 1/2 x2, X = x, Y = p .

]

11.13)[Tutti i valori di aspettazione di p e di L sono nulli.

] (Funzioni reali di variabile

reale danno valori di aspettazione nulli per operatori autoaggiunti complessi.)

105

106 22. ARGOMENTI VARI. SOLUZIONI.

11.14)[ψ(r, θ, ϕ) =

∑∞l=0

∑lm=−l

∫ ∞0dk clm(k)Rkl(r)Ylm(θ, ϕ), essendo Rkl(r) le autofun-

zioni generalizzate del continuo esprimibili tramite ipergeometriche confluenti.)

11.15)[ηπ− = −1.

] (ψ2n = φl=1(x)χs=1 .

)

11.16)(q = αQ, p = βP, αβ = ~, α2 =

(~

2/λµ)1/3

.)

11.17)[A = (q·p+p·q)/2 .

] (〈W |[A,H]|W 〉 = 0 , [A,p2] = i~ 2p2 , [A,q2] = −i~ 2q2 ,

[A, f(q2)] = −i~ 2q2 df(q2)/dq2 , per f analitica .)

11.18)[χ1 = 15/4 , χ2 = 39/4 , χ3 = 75/4 , χ4,5 =

(63 ±

√3993

)/4 .

]

11.19)[P = (π2

~2/12µV ) (1/a2

1 + 1/a22 + 1/a2

3) .] (

La pressione classica e:

P = µv2/3V = 2T/3V , con V volume e v e T velocita ed energia cinetica media .)

11.20)[No.

] (C e non degenere.

)

11.21)(Teorema di Ehrenfest.

)

11.22)[Px0a = A2E2 4π σ exp[2σ(k2 − k2

0) − 2kx0] , con ux>a(x) = E exp[−kx].]

11.23)[S = −~

2/2µk2] (

Le autofunzioni possono essere scelte reali.)

11.24)[W ≈ 67 ev .

]

11.25)[W

(2)0 = −d2

E E20 I/~

2 ; pE

= 2d2EI/~2 .

] (∂〈d

E〉/∂E0 = −(1/E0)〈∂H/∂E0 〉 =

−(1/E0)∂〈H 〉/∂E0 .)

11.26)[rN = r

0N2/Z ≈ (3/2)2/3 r

0Z−1/3.

] (N ≈ (3/2 Z )1/3 .

)

11.27)[P0→n = (ασ)2n/2nn! exp[−α2σ2/2] , con σ = (µk/~2)1/4 , α = eE/k .

]

11.28)[In entrambi i casi l’incognita e W 2 − η2 .

]

11.29)[1) c1,n = (ψn, φ1) =

√240/π3 [1 + (−)n]/(n+ 1)3 , |c1,0|2 ≈ 0.999 , |c1,2|2 ≈ 0.001 .

W φ1= 10/π2 w0 , W 2

φ1= 120/π4 w2

0 , ∆Wφ1=

√20/π2 w0 , w0 = π2

~2/2µa2 .

2) c2,n = (ψn, φ2) = − (1+(−)n) 8/√

3π(n+1)[(n+1)2−4] , |c2,0|2 ≈ 0.961 , |c2,2|2 ≈ 0.038 .

W φ2= 4/3 w0 , W 2

φ2= 16/3 w2

0 , ∆Wφ2= 4

√2/3 w0 .

]

22. ARGOMENTI VARI. SOLUZIONI. 107

11.30)[Pa1→a1

= 97/169 .]

11.31)[D = −1/2 d/dx−

√2x/(x2 + a2) . φ0 non ha nodi ed e lo stato fondamentale.

]

11.32)[W = −µλ2/2~

2 (vedi 4.1 e 4.2)); PW

= 2√

2/√σπ e−x2

0/2σ k3/(k2 + k2

0)2 .

]

11.33)[P1s = 29/36 , P2s = 1/4 , P2p = 0 .

]

11.34)[Per A gli autovettori sono | 1 〉 e | 2 〉, il primo con autovalore α1 = 1/2 , e il

secondo non determinabile dai dati. Le misure su B sono incompatibili. Per C abbiamo:

γ± = 1 ± 1/2 , con | γ± 〉 = 1/√

2(| 1 〉 ± | 2 〉

).

11.35)[〈ψ|H|ψ〉 = 2π2/3a2 . Pn=1 = 256/27π2 , Pn=2 = 0 .

]

11.36)[Shells piene: 〈 r 〉 ≈ Z−1/3r

0; metalli alcalini: 〈 r 〉 ≈ Z2/3r

0; schermaggio

parziale: 〈 r 〉 ≈ Z2/3−αr0

, α > 1 .]

11.37)[F = 7.6 · 10−9 eV/cm ; W2 = 4 W1 = 152 eV .

] (Teorema di Feynman-Helmann.

)

11.38)[Wj = W0 + 2W1 cos θj ; | j 〉|k = exp[ikθj]/

√N , k = 1, 2, ..., N θj = 2πj/N ;

j = 0, 1, 2, ..., N − 1 .]

11.39)[Pext = 1 − Pint ≈ 16% .

]

11.40)[Massimo e minimo per a = b =

√1/2 e a = −b = −

√1/2 , rispettivamente.

]

11.41)[P1 = 32/9π2 ; P2 = 1/2 = Pmax ; Pp = [ 2π~

3a/(~2π2 − p2a2)2 ] [1 + cos(pa/~)] .]

11.42)[V (x) = ~

2/2µ [j(j − 1)/x2 − 2j/xx0] . Anche il coefficiente di x−1 dipende da j.]

11.43)[Legato perche a norma finita. V (x) = −β + ~

2/2µ (α2 − 2α/x) per 0 ≤ x ≤ ∞ .

Wn = −β + α2~

2/2µ(1 − 1/n2) . P (W ) = 1, 0 per W = −β , 6= −β .]

11.44)[x(t) = X cosωt , Wcl = µω2X2/2 , X =

√2~N/µω .

] (n ≈ s ≈ N.

)

11.45)[| Cl |2 =

[(2l+1) (l− 2)!/(l+2)!

][1+(−)l

]2, l ≥ 2 .

] (ψ =

∑∞l=2 ClYl2(θ, ϕ) ,

con Yl2(ζ, ϕ) = (2π)−1 e2iϕNl2(1 − ζ2) d2/dζ2 Pl(ζ) .)

11.46)[b) P (p) dp = 1/~a

√π exp [−1/a2

~2 p2] dp . c) ∆x = 1/a

√2 , ∆p = a~/

√2

]

108 22. ARGOMENTI VARI. SOLUZIONI.

11.47)[a) W n = p2

n/2µ + k/2 x2n =

√k/µ

√p2

n x2n =

√k/µ

√∆2

nx ∆2np ≥ ~/2

√k/µ =

~ω/2 = W0 . b) Principio di Riesz]

11.48)[a) N =

√α3/π ; b) α = Z/r0 ; c) W0 = Z2e2/2r0 ; d) < V >0= W0 ,

< T >0= −W0 ; e) < r >= 3/2 ~2/µZe2 ; f) r = r0/Z .

]

11.49)[α1 = 3 , α2 = −3 , α3 = 7 ; v1 = 1/

√5 0 2 − 1 , v2 = 1/

√65 −6 2 5 ,

v3 = 1/(3√

5) 4 2 5 ]

CAPITOLO 34

Appendici.

1. EVOLUZIONE LIBERA DELLA GAUSSIANA

Sia data la funzione d’onda iniziale costituita da una gaussiana modulata:

ψ0(x) =(2πσ2

)−1/4exp

[− 1

4σ2(x− x0)

2 +i

~p0(x− x0)

].

Nella rappresentazione dei momenti, essa e data dalla trasformata di Fourier che e ancora

una gaussiana modulata:

ψ0(p) =1√2π~

∫ ∞

−∞

dx exp

[− i

~px

]ψ0(x) =

=

(π~

2

2σ2

)−1/4

exp[− σ2

~2(p− p0)

2 − i

~px0

].

Di questa si puo valutare l’evoluzione temporale, e poi l’antitrasformata di Fourier per

tornare alle coordinate:

ψ(x, t) =1√2π~

∫ ∞

−∞

dp exp

[i

~

(px− p2

2µt

)]ψ0(p) =

=

√√√√√1

√2π σ

(1 + i

~

2σ2µt) exp

− [ x− x0 − (p0/µ) t ]2

4σ2(

1 + i~

2σ2µt) +

i

~

[p0(x− x0) −

p20

2µt

]

.

Per valutare l’integrale precedente si puo completare il quadrato all’esponente arrivando

cosı a un integrale gaussiano.

Valutiamo ora probabilita e varianze. Per lo stato iniziale e immediato perche si tratta

di gaussiane modulate, sia nelle coordinate che negli impulsi, i quadrati delle quali sono

gaussiane, con varianze che si leggono direttamente. Esse sono:

∆x0 = σ , ∆p0 =~

2σ, ∆x0∆p0 =

~

2.

Come e noto, il principio di indeterminazione di Heisenberg e soddisfatto al suo minimo

solo nel caso di gaussiane.

Al tempo t , la distribuzione di probabilita non cambia per l’impulso, essendo costante del

moto, e quindi anche la sua varianza non cambia. Per le coordinate invece si trova:

|ψ(x, t)|2 =1

√2π σ

(1 +

~2

4σ4µ2t2

) exp

− [ x− x0 − (p0/µ) t ]2

2σ2(

1 +~

2

4σ4µ2t2

)

,

377

378 34. APPENDICI.

cioe ancora una gaussiana, ma con varianza dipendente dal tempo. Si ha infine:

∆xt = σ

√1 +

~2

4σ4µ2t2 , ∆pt =

~

2σ, ∆xt∆pt =

~

2

√1 +

~2

4σ4µ2t2 ≥ ~

2.

Il pacchetto iniziale si sparpaglia nelle coordinate, ma non nel momento, e il principio di

Heisenberg e soddisfatto al minimo solo all’istante iniziale.

2. OSCILLATORE ARMONICO E POLINOMI DI HERMITE

L’Hamiltoniana dell’oscillatore lineare armonico e data da:

H = − ~2

2µ

d2

dx2+

1

2k x2.

Introdotte le variabili adimensionali:

ω =

√k

µ, α =

(µk

~2

)1/4

=

√µω

~, ε =

2W

~ω, inoltre: ξ = αx ,

l’equazione dell’oscillatore armonico diventa:

u′′(ξ) + (ε− ξ2)u(ξ) = 0 .

Conviene isolare il comportamento asintotico a ±∞ :

u(ξ) = e−ξ2/2 H(ξ) =⇒ H ′′(ξ) − 2ξH ′(ξ) + (ε− 1)H(ξ) = 0 .

L’equazione e nota come equazione di Hermite. La condizione u ∈ L 2(−∞,+∞) impone la

struttura polinomiale delle funzioni H(ξ) . Si ottengono gli autovalori e le autofunzioni:

εn = 2n+ 1 , un(ξ) = Nn e−ξ2/2 Hn(ξ) ,

dove Hn sono i classici polinomi ortogonali di Hermite (vedi A.7), pari o dispari a seconda

dell’indice n , ortogonali tra 0 e ∞ sulla misura e−ξ2

. Essi sono definiti da:

Hn(ξ) = (−1)neξ2 d2

dξ2e−ξ2

,

oppure dalla funzione generatrice:

e−u2+2uξ =

∞∑

n=0

un

n!Hn(ξ) .

Valgono le seguenti regole di ricorrenza:

d

dξHn = 2nHn−1 , Hn+1 = 2ξHn − 2nHn−1 .

I primi cinque sono i seguenti:

H0(ξ) = 1 , H1(ξ) = 2ξ , H2(ξ) = 4ξ2−2, H3(ξ) = 8ξ3−12ξ , H4(ξ) = 16ξ4−48ξ2+12 .

Tornando al problema dell’oscillatore armonico, gli autovalori dell’energia, la normaliz-

zazione delle autofunzioni e le prime tre autofunzioni normalizzate sono date da:

Wn = (n +1

2) ~ω , Nn =

√α√

π 2nn!,

3. POTENZIALI CENTRALI E COORDINATE POLARI 379

u0(x) =

√α√πe−α2x2/2 , u1(x) = u

0(x)

√2 (αx) , u2(x) = u

0(x)

1√2

(2α2x2 − 1).

Notiamo che l’equazione di Hermite e un’equazione differenziale con coefficienti senza sin-

golarita al finito, e pertanto le soluzioni sono funzioni intere, sviluppabili in serie di potenze;

inoltre, poiche l’equazione e pari, in corrispondenza allo stesso ε esistono soluzioni pari

e dispari, con soluzione generale data dalla combinazione lineare delle due. Quando im-

poniamo le condizioni al contorno, lo spettro risulta puramente discreto e non degenere, e

quindi le soluzioni sono o pari o dispari; inoltre le serie si troncano a polinomi.

Se avviene che il termine ≈ x2 sia solo un tratto dell’intero potenziale, allora occorre

partire dalla soluzione generale accennata prima, e poi operare le saldature. Oppure ridursi

ad altre equazioni note e classificate, ad esempi con un altro cambio di variabili:

ζ = ξ2 = α2x2 , u(ζ) = e−ζ/2 F (ζ) =⇒

ζ F ′′(ζ) + (b− ζ ) F ′(ζ) − a F (ζ) = 0 , con b = 1/2 , a = (1 − ε)/4 .

Questa e una equazione ipergeometrica confluente (vedi A.10), piu generale di quella prece-

dente, e che contiene una diramazione all’origine dovuta alla relazione ξ =√ζ . Imponendo

le condizioni del nostro problema, si riottengono le soluzioni gia viste.

3. POTENZIALI CENTRALI E COORDINATE POLARI

In presenza di un potenziale centrale, grazie alla analoga simmetria del termine cinetico,

conviene esprimere il laplaciano in coordinate polari:[− ~

2

2µ∇2 + U(r)

]u(r) = Wu(r) con

~2

2µ∇2 =

1

2µ

(P 2

r +L2

r2

)e Pr = −i~1

r

∂

∂rr ,

Lx = i~(

sinϕ∂

∂θ+cot θ cosϕ

∂

∂ϕ

), Ly = i~

(− cosϕ

∂

∂θ+cot θ sinϕ

∂

∂ϕ

), Lz = −i~ ∂

∂ϕ

L± = Lx±iLy = ~e±iϕ

[± ∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂ϕ

], L2 = −~

2

[1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

sin2 θ

∂2

∂ϕ2

].

Cerchiamo soluzioni fattorizzate ponendo:

u(r, θ, ϕ) = R(r)Y (θ, ϕ) , Y (θ, ϕ) = Θ(θ)Φ(ϕ) .

Con separazione delle variabili, si ottengono le tre equazioni:

d2

dϕ2Φ(ϕ) + µΦ(ϕ) = 0

1

sin θ

d

dθ

(sin θ

d

dθΘ(θ)

)+

(λ− µ

sin2 θ

)Θ(θ) = 0

[− ~

2

2µ

(1

r

d2

dr2r +

λ

r2

)+ U(r)

]R(r) = WR(r) ,

380 34. APPENDICI.

Le soluzioni devono soddisfare la condizione di normalizzazione della funzione d’onda

tridimensionale u(r, θ, ϕ) ∈ L 2(R3) , e si possono assumere normalizzate singolarmente:∫ ∞

0

dr r2|R(r)|2 = 1 ,

∫ 2π

0

dϕ |Φ(ϕ)|2 = 1 ,

∫ π

0

dθ sin θ |Θ(θ)|2 = 1 ,

Grazie all’autoaggiuntezza dei singoli operatori coinvolti, questo metodo fornisce la solu-

zione completa.

4. ARMONICHE SFERICHE E POLINOMI DI LEGENDRE

Le equazioni debbono essere risolte in sequenza, in ϕ , in θ , in r .

Le autofunzioni in ϕ devono soddisfare condizioni di periodicita, e sono date da:

Φm(ϕ) =1√2π

eimϕ , µ = m2 , m = 0, ±1, ±2 .

Grazie all’autoaggiuntezza dell’operatore derivata seconda nello spazio L 2[0,2π] con con-

dizioni periodiche al contorno, per esse vale la condizione di ortonormalita:∫ 2π

0

dϕ Φ∗m(ϕ)Φm′(ϕ) = δm,m′ .

Nell’equazione in θ , poniamo µ = m2 e, con la sostituzione ζ = cos θ , otteniamo:

d2Θ

dζ2− 2ζ

1 − ζ2

dΘ

dζ+

(λ

1 − ζ2− m2

(1 − ζ)2 (1 + ζ)2

)Θ = 0 .

Come nel caso dell’equazione in ϕ , anche questa e un’equazione agli autovalori per

l’operatore autoaggiunto:

Λpmp = − d

dζ

[(1 − ζ2)

d

dζ

]+

m2

1 − ζ2,

nello spazio L 2[−1,1] ( dζ = sin θ dθ ), con condizioni di regolarita agli estremi.

Per la soluzione, isoliamo il comportamento agli estremi, in ζ = ±1 , ponendo:

Θ(ζ) = (1 − ζ2)pmp/2F (ζ) .

Notiamo che il fattore (1− ζ2)pmp/2 , che darebbe una diramazione in ζ = ±1 , in realta e

un termine regolare sinpmp θ . Per la nuova funzione incognita F (ζ) , otteniamo:

(1 − ζ2)d2

dζ2F (ζ) − 2( pm p +1) ζ

d

dζF (ζ) + [ λ− pm p ( pm p +1) ] F (ζ) = 0 ,

che e manifestamente un’equazione ipergeometrica (vedi A.9), con singolarita fuchsiane in

ζ = ±1 . Per eliminarle, occorre troncare la soluzione in serie a un polinomio. Si ottiene:

λ = l(l + 1) , l =pm p, pm p +1, ... , Θpmp

l (ζ) = N pmp

l (−1)m (1 − ζ2)pmp/2 F pmp

l (ζ) ,

con F pmp

l (ζ) polinomi di grado l− pm p

F pmp

l (ζ) =dpmp

dζ pmpPl(ζ) , Pl(ζ) = (−1)l 1

2l l!

dl

dζ l(1 − ζ2)l .

4. ARMONICHE SFERICHE E POLINOMI DI LEGENDRE 381

I Pl(ζ) sono i polinomi di Legendre di grado l , definiti anche dalla funzione generatrice:

(1 − 2hζ + h2

)−1/2=

∞∑

l=0

hl Pl(ζ) .

I coefficienti di normalizzazione sono uguali a:

N pmp

l =

√2l + 1

2

(l− pm p)!

(l+ pm p)!,

cosicche :∫ 1

−1

dζ Θpmp

l (ζ)Θpmp

l′ (ζ) =

∫ 1

−1

dζ (1 − ζ2)pmp F pmp

l′ (ζ) F pmp

l (ζ) = δl,l′ ,

mentre per pm p6=pm′p in generale il prodotto scalare non sara uguale a zero, in quanto le

due funzioni sono autofunzioni di due operatori diversi, Λpmp e Λpm′p .

A pm p fissato, gli F pmp

l (ζ) sono polinomi ortogonali sulla misura (1−ζ2)pmp , proporzionali

ai polinomi ultrasferici di Gegenbauer (vedi A-S 15.4., A-S 22. e A.7) secondo la relazione:

F pmp

l (ζ) =Γ(2pm p + 1)

2pmp

Γ(pm p +1)C

pmp+1/2l−pmp

(ζ) .

I polinomi di Legendre sono classici polinomi ortogonali (vedi A.7) in L 2[−1,1] sulla misura

unitaria; quelli di ordine piu basso sono dati da:

P0(ζ) = 1 , P1(ζ) = ζ , P2(ζ) = (3ζ2 − 1)/2 , P3(ζ) = (5ζ3 − 3ζ)/2 ,

P4(ζ) = (35ζ4 − 30ζ2 − 1 + 3)/8 , P5(ζ) = (63ζ5 − 70ζ3 + 15ζ)/8 .

Le funzioni Θpmp

l (ζ) , normalizzazione a parte, sono dette funzioni associate di Legendre.

Per riassumere, le autofunzioni angolari, dette armoniche sferiche:

Ylm(θ, ϕ) = Φm(ϕ) Θpmp

l (cos θ) ,

soddisfano le equazioni agli autovalori:

L2 Ylm(θ, ϕ) = ~

2l(l + 1) Ylm(θ, ϕ)

Lz Ylm = ~m Ylm(θ, ϕ) Lz = −i~ ∂/∂ϕ ,

con l’operatore Lz che ha le stesse autofunzioni del suo quadrato, cioe dell’operatore

≈ −∂2/∂ϕ2 , grazie alle condizioni di periodicita. Questo non e vero con condizioni di

annullamento, tipo buca infinita, dove l’impulso −i~ d/dx non e neppure autoaggiunto.

Le armoniche sferiche soddisfano le relazioni di ortogonalita:∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

dθ sinθ Ylm(θ, ϕ) Yl′m′(θ, ϕ) = δl,l′ δm,m′

grazie a quella tra le Φm(ϕ) e, di conseguenza, tra le Θpmp

l (θ) a m fissato. Infine,

ricordando che 1/√

2π deriva dalle Φm , le prime armoniche sferiche sono:

382 34. APPENDICI.

Y00(θ, ϕ) =1

2√π

; Y10(θ, ϕ) =

√3

4πcos θ , Y1±1(θ, ϕ) = ∓

√3

8πsin θ e±iϕ ;

Y20(θ, ϕ) =

√5

4π

(3

2cos2 θ − 1

2

), Y2±1(θ, ϕ) = ∓

√15

8πsin θ cos θ e±iϕ ,

Y2±2(θ, ϕ) =1

4

√15

2πsin2 θ e±2iϕ ;

Y30(θ, ϕ) =

√7

4π

(5

2cos3 θ − 3

2cos θ

), Y3±1(θ, ϕ) = ∓1

4

√21

4πsin θ (5 cos2 θ − 1) e±iϕ

Y3±2(θ, ϕ) =1

4

√105

2πsin2 θ cos θ e±2iϕ , Y3±3(θ, ϕ) = ∓1

4

√35

4πsin3 θ e±3iϕ .

Notiamo infine che, come richiesto, le funzioni associate di Legendre sono dei polinomi in

cos θ e sin θ , cioe sono analitiche regolari.

5. PARTICELLA LIBERA IN TRE DIMENSIONI E FUNZIONI DI BESSEL

L’equazione radiale per la particella libera, cioe con U(r) = 0 , e data da:

d2R(r)

dr2+

2

r

dR(r)

dr+

2µ

~2

[W − ~

2

2µ

l(l + 1)

r2

]R(r) = 0 , oppure :

d2y(r)

dr2+

[2µW

~2− l(l + 1)

r2

]y(r) = 0 con y(r) = rR(r) .

Trattiamo la prima forma con variabile adimensionale, riconducibile a espressioni note:

ρ = kr con κ2 = 2µW/~2 =⇒

=⇒ d2R(ρ)

dρ2+

2

ρ

dR(ρ)

dρ+

[1 − l(l + 1)

ρ2

]R(ρ) = 0 .

Soluzioni particolari, linearmente indipendenti, sono le funzioni di Bessel sferiche del primo

e del secondo tipo (vedi A-S 10.):

jl(z) =√π/2z Jl+1/2(z) yl(z) =

√π/2z Yl+1/2(z) ,

oppure le funzioni di Bessel sferiche del terzo tipo:

h(1)l (z) = jl(z) + iyl(z) =

√π/2z H

(1)l+1/2(z) h

(2)l (z) = jl(z) − iyl(z) =

√π/2z H

(2)l+1/2(z) ,

dove (vedi A-S 9.) le J±ν e le Yν sono dette funzioni di Bessel cilindriche del primo e

del secondo tipo, rispettivamente, oppure funzioni di Weber, e le H(1)ν , H

(2)ν sono dette

funzioni di Bessel cilindriche del terzo tipo, oppure funzioni di Hankel. Le Bessel cilindriche

soddisfano l’equazione:

d2w(z)

dz2+

1

z

dw(z)

dz+

[1 − ν2

z2

]w(z) = 0 .

Le J±ν sono linearmente indipendenti, salvo che per ν intero, e sono legate alle Yν da:

Yν =Jν(z) cos νπ − J−ν(z)

sin νπ.

5. PARTICELLA LIBERA IN TRE DIMENSIONI E FUNZIONI DI BESSEL 383

Jν , Yν , e anche H (1)ν , H

(2)ν , sono linearmente indipendenti per ogni ν .

Vale la pena riportare le equazioni di Lommel:

z2 d2w(z)

dz2+ (2α− 2βν + 1) z

dw(z)

dz+ [ β2γ2 z2β + α(α− 2βν) ] w(z) = 0 ,

avente come soluzione:

w(z) = zβν−αCν(γz

β) ,

essendo α, β, γ delle costanti, e Cν funzioni di Bessel cilindriche (vedi Watson pg. 97).

Torniamo ora al problema fisico della particella libera.

Il caso l = 0 e risolubile elementarmente, e ammette come soluzioni sin kr e cos kr , ma

solo la prima soddisfa la condizione di annullamento all’origine, per cui:

yp0

(r) =√

2/π~ sinp

~r , (y

p′0, y

p0) = δ(p′ − p) p = ~ k .

E un’autofunzione impropria, con autovalore continuo, normalizzata alla delta di Dirac.

Per l 6= 0 , la soluzione generale e data, ad esempio, dalla combinazione lineare di jl(kr)

e yl(kr) , con comportamento all’origine dato da:

jl(z) ∼z→0

zl

(2l + 1)!!yl(z) ∼

z→0

(2l − 1)!!

zl+1,

per cui e accettabile solo la prima:

Rl(r) =√

2/π~ jl(p

~r) ,

normalizzate alla delta di Dirac a partire dai comportamenti asintotici:

Jν(z) ∼|z|→∞

√2/πz cos (z − νπ/2 − π/4)

Yν(z) ∼|z|→∞

√2/πz sin (z − νπ/2 − π/4)

|arg z| < π ,

dove per completezza abbiamo riportato anche il comportamento delle Yν . Riportiamo le

prime funzioni di Bessel sferiche, del primo e del secondo tipo:

j0(z) =sin z

z, j1(z) =

sin z

z2− cos z

z, j2(z) =

(3

z3− 1

z

)sin z − 3

z2cos z ;

y0(z) = −cos z

z, y1(z) = −cos z

z2− sin z

z, y2(z) =

(− 3

z3− 1

z

)cos z − 3

z2sin z .

Accanto alle funzioni sferiche appena trattate, e bene ricordare anche le funzioni sferiche

modificate, vedi A-S 10.2, soluzioni dell’equazione differenziale:

d2w(z)

dz2+

2

z

dw(z)

dz−

[1 +

n(n+ 1)

z2

]w(z) = 0 .

Funzioni di Bessel sferiche modificate del primo tipo:√π/2z In+1/2(z) = e−nπi/2 jn(z eπi/2) (−π < arg z ≤ π/2)

= e3nπi/2 jn(z e−3πi/2) (π/2 < arg z ≤ π) .

384 34. APPENDICI.

Funzioni di Bessel sferiche modificate del secondo tipo:√π/2z I−n−1/2(z) = e3(n+1)πi/2 yn(z e

πi/2) (−π < arg z ≤ π/2)

= e−(n+1)πi/2 yn(z e−3πi/2) (π/2 < arg z ≤ π) .

Funzioni di Bessel sferiche modificate del terzo tipo:√π/2z Kn+1/2(z) = π/2 (−1)n+1

√π/2z [ In+1/2(z) − I−n−1/2(z) ] .

Le coppie In+1/2(z) , I−n−1/2(z) e In+1/2(z) , Kn+1/2(z) sono linearmente indipen-

denti per ogni n .

Ricordiamo infine che anche le funzioni di Airy Ai(z) e Bi(z) , soluzioni dell’equazione

differenziale:

w′′ − z w = 0 ,

sono riconducibile a funzioni di Bessel. Vedi A-S 10.4 .

6. POTENZIALE IDROGENOIDE E POLINOMI DI LAGUERRE

Nell’equazione radiale conviene operare il cambio di funzione:

y(r) = r R(r) =⇒∫ ∞

0

dr |y(r)|2 = 1 , y(0) = 0 regolare ,

soddisfacente l’equazione:− ~

2

2µ

d2

dr2+

[~

2

2µ

l(l + 1)

r2+ U(r)

]y(r) = Wy(r) .

(Nell’analogo problema bidimensionale, si ottiene∫ ∞

0dr |y(r)|2 = 1 da y(r) =

√r R(r) .)

Si tratta di una equazione di Schrodinger monodimensionale in L 2[0,∞) , con un potenziale

efficace contenente la barriera centrifuga. Le condizioni di annullamento agli estremi ren-

dono autoaggiunta la derivata seconda ma, per una vasta classe di potenziali U(r) , anche

l’intera Hamiltoniana e autoaggiunta (o essenzialmente autoaggiunta).

L’atomo idrogenoide soddisfa l’equazione:

d2y(r)

dr2+

2µ

~2

[(W +

Ze0

r

)− ~

2

2µ

l(l + 1)

r2

]y(r) = 0 .

Conviene introdurre le variabili adimensionali:

k =

√2µ|W |~

, r0

=~

2

e20µ

, ζ =Z

kr0

, ρ = 2kr .

- W < 0 . In questo caso l’equazione assume la forma:

d2y(ρ)

dρ2+

[−1

4+ζ

ρ− l(l + 1)

ρ2

]y(ρ) = 0 .

Isolando i comportamenti asintotici in 0 e ∞ , con la sostituzione:

yl(ρ) = ρl+1 e−ρ/2 vl(ρ) =⇒

=⇒ ρd2

dρ2vl(ρ) + (2l + 2 − ρ)

d

dρvl(ρ) − (l + 1 − ζ) vl(ρ) = 0.

6. POTENZIALE IDROGENOIDE E POLINOMI DI LAGUERRE 385

Si tratta di una equazione ipergeometrica confluente (vedi A.10), con una singolarita fuch-

siana all’origine, e una essenziale all’infinito. Imponendo le condizioni di regolarita richieste,

la serie si riduce a un polinomio di grado nr , e si ottengono autovalori e autofunzioni:

ζ − l − 1 = nr = 0, 1, 2, ... vnrl(ρ) = M(−nr; 2l + 2; ρ) .

Questi polinomi sono semplicemente legati ai polinomi generalizzati di Laguerre di grado

n− k , tramite la seguente relazione:

Lkn(ρ) = (−)kn!

(n

k

)M(−n + k; 1 + k; ρ) =⇒ M(−nr; 2l + 2; ρ) ≈ L2l+1

nr+2l+1(ρ) .

Raccogliendo ora tutte le precedenti definizioni, gli autovalori e le autofunzioni dell’e-

quazione radiale dell’atomo idrogenoide sono date da:

Wlnr= −Z

2e20

2r0

1

(nr + l + 1)2=⇒ Wn = −Z

2e20

2r0

1

n2, kn =

1

n

Z

r0,

n = nr + l + 1 = 1, 2, ... nr + 2l + 1 = n + l

ynl(r) = Nnl(2knr)l+1 e−knr L2l+1

n+l (2knr) ,

con

Nnl =

√(2kn)3

(n− l − 1)!

2n[(n+ l)!]3.

Vale ovviamente la ortonormalita:∫ ∞

0

dr y∗nl(r)yn′l(r) = δnn′ .

Notare che la dipendenza dello spettro Wn da un solo numero intero, dipende dal par-

ticolare potenziale che, oltre alla simmetria centrale, ne possiede anche una addizionale,

detta simmetria accidentale. In termini algebrici, questa fa sı che i due parametri ζ e

l , legati al potenziale ∼ 1/ρ e alla barriera centrifuga ∼ 1/ρ2 rispettivamente, vanno

semplicemente a sommarsi nell’equazione per vl(ρ) .

I polinomi Lkn(ρ) sono definiti da:

Lkn(ρ) =

dk

dρk

[eρ dn

dρn(ρne−ρ)

], n = 0, 1, 2, ..., k = 0, 1, 2, ...,

oppure mediante la funzione generatrice:

(−t)k eρt/(1−t)

(1 − t)1+k=

∞∑

n=k

tn

n!Lk

n(ρ) |t| < 1 ,

e soddisfano l’equazione ipergeometrica:

ρd2

dρ2Lk

n(ρ) + (k + 1 − ρ)d

dρLk

n(ρ) + (n− k)Lkn(ρ) = 0 ,

L’espressione esplicita e la seguente:

Lkn(ρ) =

(−1)n

n!

n∑

m=0

(−1)m

(m!)

(n+ k

n−m

)ρm .

Per k = 0 sono detti polinomi di Laguerre, e si indicano con: Ln(ρ) = L0n(ρ) .

386 34. APPENDICI.

Le ynl(r) , a l fissato e al variare di n , non formano un set completo in L 2[0,∞)(r) , in

quanto manca tutto lo spettro continuo, con W > 0 , che trattiamo piu avanti. Cio non e

in contraddizione con la completezza dei polinomi generalizzati di Laguerre (vedi A.7): nel

caso attuale infatti, la variabile effettiva delle ynl(r) e 2knr , una per funzione, e quindi

i teoremi sulla completezza non sono applicabili.

Ricordiamo comunque che le funzioni:

φkn(x) = xk/2e−x/2 Lk

n(x) ,

per ogni fissato k , formano un set ortogonale completo in L 2[0,∞)(x) , sul peso unitario.

Esse sono soluzioni dell’equazione:[− d

dx

(xd

dx

)+

(x

4− k + 1

2+k2

4x

)]φk

n(x) = nφkn(x)

L’operatore che compare alla sinistra e autoaggiunto, con spettro puramente discreto, da

cui, appunto la completezza delle φkn(x) .

Con i nuovi parametri k = 2l + 1 e ξ = (n+ 2l + 1)/2 , l’equazione diventa:

d2

dx2φ(x) +

1

x

d

dxφ(x) +

[−1

4+ξ

x− (l + 1

2)2

x2

]φ(x) = 0 .

Come si vede, ben diversa dall’equazione per le y(ρ) .

Tornando al problema fisico, le soluzioni radiali di indice piu basso sono le seguenti:

posto Z0 = Z/r0

ρ = Z r/r0

=⇒

R10 = 2 Z3/20 e−ρ , R20 =

1√2Z

3/20

(1 − ρ

2

)e−ρ/2 , R21 =

1

2√

6Z

3/20 ρ e−ρ/2 ,

R30 =2

3√

3Z

3/20

(1 − 2

3ρ+

2

27ρ2

)e−ρ/3 ,

R31 =8

27√

6Z

3/20

(1 − ρ

6

)ρ e−ρ/3 , R32 =

4

81√

30Z

3/20 ρ2 e−ρ/3 ,

Raccogliendo le precedenti espressioni, le autofunzioni proprie normalizzate dell’Hamilto-

niana dell’atomo idrogenoide, autofunzioni anche del quadrato del momento angolare e

della sua terza componente, sono:

unlm(ρ, θ, ϕ) = RnlYlm = −

√(2 Z0

n

)3(n− l − 1)!

2n[(n + l)!]3e−ρ/n

(2

nρ

)l

L2l+1n+l (2ρ/n) Ylm(θϕ) ,

con n = 1, 2, 3, ...; l = 0, 1, 2, ..., n− 1 ; m = −l, ,−l + 1, ..., l − 1, l .

Espressioni esplicite si ottengono dalle Rnl e dalle Ylm sopra riportate.

Dalla forma generale invece, si possono ricavare i valori di aspettazione di rp su qualsiasi

autofunzione, cioe per n, l arbitrari:

〈 rp 〉nl = Z−p0 I

(p)nl ,

I(p)nl =

np−1

2p+1

(n− l − 1)!

[(n+ l)!]3

∫ ∞

0

dρ ρ2l+2+p e−ρ[L2l+1

n+l (ρ)]2

.

7. POLINOMI ORTOGONALI 387

Alcuni di questi sono riportati qui di seguito:

I(2)nl =

n2

2

[5n2 + 1 − 3l(l + 1)

], I

(1)nl =

1

2

[3n2 − l(l + 1)

],

I(0)nl = 1 , I

(−1)nl =

1

n2, I

(−2)nl =

2

(2l + 1)n3.

- 0 < W . Si ottengono le equazioni e le relative soluzioni, sostituendo all’inizio k con ik .

Delle due soluzioni generali, quella soddisfacente la condizione di annullamento e regolarita

all’origine, e data da:

yκl(r) = Nκl (2κr)(l+1) e−iκr M(l + 1 + iZ0/κ; 2l + 2; 2iκr) ,

con M(a; c; r) ipergeometrica confluente. Dalle proprieta asintotiche di questa, posto

ηl(κ) = arg Γ(l + 1 + iZ0/κ) ,

si ricava il comportamento asintotico della soluzione:

yκl(r)−→r→∞

√2

π~· cos

(κr +

Z0

κlog (2κr) − π

2(l + 1) − ηl(κ)

).

Si tratta di autofunzioni improprie, oscillanti, non normalizzabili. Su di queste non si

pongono condizioni aggiuntive, tutti gli autovalori impropri ~2/2µ κ2 sono accettabili, e

l’energia non si quantizza. L’insieme delle autofunzioni proprie e improprie, ynl, yκl ,

formano un insieme ortonormale completo generalizzato in L 2[0,∞) (vedi A.16 e A.17). La

normalizzazione dello spettro continuo e quella standard:∫ ∞

0

dr y∗κl(r)yκ′l(r) = δ(W −W ′) .

7. POLINOMI ORTOGONALI

Rimandando a A-S 22. per una trattazione piu estesa, accenniamo a qualche esempio,

rilevante nel nostro contesto.

Un insieme di polinomi di grado n :

Pn(x) =

n∑

i=0

pn,i xi ,

e detto ortogonale sulla misura µ(x) ≥ 0 , nell’intervallo [a, b] , non necessariamente finito,

se vale la relazione:

(Pn,Pm)µ =

∫ b

a

dx µ(x) Pn(x) Pm(x) = 0 , n 6= m , n,m = 0, 1, 2, ...

Con opportune ipotesi di regolarita sulla misura µ(x) , l’integrale precedente definisce un

prodotto scalare nello spazio di Hilbert L 2µ (a, b) , e giustifica cosı il termine ortogonale.

388 34. APPENDICI.

Fissata la misura µ(x) , i coefficienti dei polinomi sono determinati a meno di una costante

moltiplicativa che solitamente viene fissata per motivi di standardizzazione:

∫ b

a

dx µ(x) P2n (x) = hn , n = 0, 1, 2, ...

Per mostrare l’asserto, seguiamo il cosiddetto processo di ortogonalizzazione di Schmidt, di

natura iterativa. Siano allora Pn , n = 0, 1, ..., N − 1 , i primi N polinomi di grado

n ortogonali tra di loro. Quello successivo si puo esprimere nel modo seguente:

PN(x) = xN +

N−1∑

n=0

cN,n Pn ,

dove abbiamo fissato arbitrariamente l’ultimo coefficiente pN,N = 1 . Imponiamo ora

l’ortogonalita di PN (x) con tutti quelli precedenti:

(PN ,Pn)µ = 0 , n = 0, 1, ..., N − 1 .

La soluzione PN(x) e una e una sola. Infatti, se l’unico polinomio di grado N ortogonale

agli N precedenti fosse il vettore nullo, vorrebbe dire che PN(x) e linearmente dipendente

dai N Pn(x) , ma questo e impossibile per la presenza del termine xN . Inoltre, di

polinomi di grado N linearmente indipendenti e ortogonali agli altri Pn ce n’ e uno

solo, dato che lo spazio complessivo e (N + 1)-dimensionale. Tutto cio vale in particolare

per N = 2, 3 , e quindi vale per ogni N .

Riportiamo alcune importanti proprieta soddisfatte da alcuni polinomi. I Pn(x) sono

quelli di Legendre; i polinomi di Laguerre Ln(x) si ottengono da quelli generalizzati Lαn(x)

ponendo α = 0 ; inoltre, tra questi e quelli di Hermite Hn(x) , valgono le relazioni:

L−1/2n (x) =

(−1)n

n! 22nH2n(

√x ) , L1/2

n (x) =(−1)n

n! 22n+1√x

H2n+1(√x ) .

- Formula di Rodriguez e ortogonalita

Pn =1

an µ(x)

dn

dxnµ(x)[g(x)]n Ortogonalita

Pn an g(x) a b µ(x) Standard hn

Pn(x) (−)n 2n n! 1 − x2 -1 1 1 Pn(1) = 1 2/(2n+ 1)

Lαn(x) n! x 0 ∞ e−x xα pn,n = (−)n/n! Γ(α+ n + 1)/n!

Hn(x) (−)n 1 −∞ ∞ e−x2

an = (−1)n√π 2n n!

- Equazioni differenziali e relazioni di ricorrenza:

g2(x) P′′

n + g1(x) P′

n + g0(x) Pn = 0 a1n Pn+1 = (a2n + a3nx) Pn − a4n Pn−1

9. FUNZIONI IPERGEOMETRICHE 389

Pn g2(x) g1(x) g0(x) a1n a2n a3n a4n

Pn(x) 1 − x2 −2x n(n + 1) n + 1 0 2n + 1 n

Lαn(x) x α + 1 − x n n + 1 2n+ α + 1 −1 n + α

Hn(x) 1 −2x 2n 1 0 2 2n

8. EQUAZIONI DIFFERENZIALI FUCHSIANE

Consideriamo l’equazione differenziale lineare omogenea:

w′′ + p(z)w′ + q(z)w = 0 .

Se p(z) e q(z) sono analitiche nell’intorno di un punto z = z , anche le sue soluzioni lo

sono, e sono dunque esprimibili in serie di potenze di (z − z) con raggio di convergenza

non nullo. Se invece p(z) e q(z) hanno singolarita al piu polari del primo e del secondo

ordine, rispettivamente:

p(z) =A(z)

(z − z)q(z) =

B(z)

(z − z)2,

con A(z) e B(z) regolari:

A(z) =

∞∑

0

an(z − z)n B(z) =

∞∑

0

bn(z − z)n ,

il punto z si dice punto singolare regolare, o fuchsiano, e le soluzioni sono della forma:

wi(z) ∼ (z − z)αi

∞∑

0

ci,n(z − z)n , i = 1, 2 , ci,0 6= 0 ,

dove la αi sono le soluzioni dell’equazione determinante:

[ α(α− 1) + a0α + b0 ] = 0 .

Se pero α1 = α2 +n , con n = 0, 1, 2, ... , esiste solo una soluzione che si annulla a potenza

come (z − z)αi , mentre l’altra e logaritmica, ovvero:

w2(z) ∼ w1(z) log(z) + (z − z)α2

∞∑

0

dn(z − z)n .

9. FUNZIONI IPERGEOMETRICHE

Un esempio di equazione totalmente fuchsiana e l’equazione ipergeometrica:

z (1 − z)d2w(z)

dz2+ [c− (a + b+ 1)z]

dw(z)

dz− ab w(z) = 0 ,

con tre punti singolari regolari in z = 0, 1,∞ , e relative radici delle equazioni determinanti:

α1,2(0) = 0, 1 − c α1,2(1) = 0, c− a− b α1,2(∞) = a, b .

390 34. APPENDICI.

La casistica dipende dall’essere interi tutti o alcuni dei parametri c , c− a− b , a− b ,

e la si puo trovare in A-S 15.5. Qui riportiamo solo il caso di tutti i parametri non interi.

w(0)1 (z) = F (a, b; c; z) , w

(0)2 (z) = z1−cF (a− c+ 1, b− c+ 1; 2 − c; z) ;

w(1)1 (z) = F (a, b; 1+a+b−c; 1−z) , w

(1)2 (z) = (1−z)c−a−bF (c−b, c−a; 1+c−a−b; 1−z) ;

w(∞)1 (z) = z−a F (a, 1+a−c; 1+a−b; z−1) , w

(∞)2 (z) = z−b F (b, 1+b−c; 1+b−a; z−1) .

Vale il prolungamento analitico:

F ( a, b; c; z) =Γ(c)Γ(b− a)

Γ(b)Γ(c− a)(−z)−aF ( a, 1 + a− c; 1 + a− b; z−1)+

+Γ(c)Γ(a− b)

Γ(a)Γ(c− b)(−z)−bF ( a, 1 + b− c; 1 + b− a; z−1) .

La funzione F (a, b; c; z) e detta funzione ipergeometrica, rappresentabile con uno

sviluppo in serie convergente nel cerchio unitario |z| = 1 :

F (a, b; c; z) =

∞∑

n=0

(a)n(b)n

(c)n

zn

n!, (a)n = a(a+ 1)...(a+ n− 1) , (a)0 = 1 .

Un altro importante esempio e dato dall’equazione associata di Legendre (vedi A-S 8):

(1 − z2

) d2w(z)

dz2− 2 z

dw(z)

dz−

[ν(ν + 1) − µ2

1 − z2

]w(z) = 0 ,

con ν e µ costanti complesse, con tre punti singolari ordinari, in z = ±1 , ∞ .

Si riduce a una ipergeometrica con un cambio di funzione, e soluzioni di questa sono le

Funzioni Associate di Legendre di primo e secondo tipo (vedi A.4):

|1 − z| < 2 P µν (z) =

1

Γ(1 − µ)

[z + 1

z − 1

]µ/2

F

(−ν, ν + 1; 1 − µ;

1 − z

2

),

|z| > 1 Qµν (z) = eiµπ 2−ν−1 π1/2 Γ(ν + µ+ 1)

Γ(ν + 3/2)z−ν−µ−1 (z2 − 1)µ/2 ·

· F(

1 +ν

2+µ

2,

1

2+ν

2+µ

2; ν +

3

2;

1

z2

).

Le seconde soluzioni linearmente indipendenti possono essere scelte come sopra le w(0,1)2 (z) .

Se pero µ = m intero non negativo, allora le soluzioni si usano scegliere nel modo seguente:

Pmν (z) = (−1)m Γ(ν +m+ 1)

2m m! Γ(ν −m + 1)(1−z2)m/2 F

(m− ν, m + ν + 1; 1 +m;

1 − z

2

),

che nel caso di ν = l intero coincidono con le funzioni associate di Legendre Θpmp

l (z)

introdotte nella A.4, e i polinomi di Legendre legati alle funzioni ipergeometriche:

P 0l (z) = Pl(z) = F

(−l, l + 1; 1;

1 − z

2

),

Il caso µ = m intero non negativo rientra nel caso eccezionale dei coefficenti determinantali

differenti per l’intero m , e la seconda soluzione si sceglie del tipo:

Qmν (z) = (−1)m (1 − z2)m/2 dm

dxmQν(z) , Qν(z) = π

Pν(z) cos νπ − Pν(−z)2 sin νπ

.

10. FUNZIONI IPERGEOMETRICHE CONFLUENTI 391

In particolare, per ν = l intero si ha:

Ql(z) =1

2Pl(z) log

1 + z

1 − z−Rl−1(z) ,

con:

Rl−1(z) =

l∑

n=1

1

nPn−1(z) Pl−n(z) , R−1(z) = 0 .

10. FUNZIONI IPERGEOMETRICHE CONFLUENTI

Se, con opportuni limiti, nell’equazione ipergeometrica si fa confluire la singolarita a z = 1

con quella all’∞, si ottiene l’equazione ipergeometrica confluente, detta anche di Kummer:

zd2w(z)

dz2+ (b− z)

dw(z)

dz− a w(z) = 0 .

Essa ha una singolarita regolare, o fuchsiana, in z = 0 , e una irregolare per z → ∞ .

Due soluzioni linearmente indipendenti, di cui la prima, detta funzione ipergeometrica

confluente, e intera, sono:

w1(z) = M(a, b; z) =∞∑

n=0

(a)n

(b)n

zn

n!, w2(z) = (z)1−b M(1 + a− b, 2 − b; z) ,

oppure:

U(a, b; z) =π

sin πb

[M(a, b; z)

Γ(1 + a− b)Γ(b)− z1−b M(1 + a− b, 2 − b; z)

Γ(a)Γ(2 − b)

].

Se pero b e intero positivo, la seconda soluzione deve avere comportamento logaritmico,

come gia avevamo visto nel caso dell’ipergeometrica. Rimandiamo, ad esempio, a A-S 13.

la casistica completa, e riportiamo qui solo alcuni comportamenti asintotici interessanti.

Per |z| → 0 :

M(a, b; 0) = 1 ;

U(a, b; z) =Γ(b− 1)

Γ(a)z1−b +O( |z|Rb−2 ) , R b ≥ 2 , b 6= 2 ;

U(a, b; z) =Γ(b− 1)

Γ(a)z1−b +O(| log z|) , b = 2 ;

U(a, b; z) = − 1

Γ(a)

[log z +

Γ′(a)

Γ(a)

]+O( |z log z| ) , b = 1

U(a, b; z) =Γ(1 − b)

Γ(1 + a− b)z +O( |z|1−Rb ) , 0 < Rb < 1 .

Per |z| → ∞ :

M(a, b; z) =Γ(b)

Γ(a)ez za−b[1 +O(|z|−1)] , Rz > 0 ,

M(a, b; z) =Γ(b)

Γ(b− a)(−z)−a[1 +O(|z|−1)] , Rz < 0 .

U(a, b; z) = (−z)−a[1 +O(|z|−1)] .

392 34. APPENDICI.

E importante notare che molte funzioni speciali note, gia trattate precedentemente, sono

riconducibili a ipergeometriche confluenti per particolari valori dei parametri. Tra queste:

Bessel, Laguerre, Hermite, delle quali riportiamo le relazioni, rimandando a A-S 13.6 per

una casistica piu completa:

M( a , b ; z )

a b z Relazione Funzione

ν + 1/2 2ν + 1 2iz Γ(1 + ν) eiz(z/2)−ν Jν(z) Bessel

−ν + 1/2 −2ν + 1 2iz Γ(1 − ν) eiz(z/2)ν ·· [cos νπ Jν(z) − sin νπ Yν(z)] Bessel

ν + 1/2 2ν + 1 2z Γ(1 + ν) ez(z/2)−ν Iν(z) Bessel Modificate

n+ 1 2n+ 2 2iz Γ(3/2 + n) eiz(z/2)−n−1/2 Jn+1/2(z) Bessel Sferiche

−n −2n 2iz Γ(1/2 − n) eiz(z/2)n+1/2 J−n−1/2(z) Bessel Sferiche

n+ 1 2n+ 2 2z Γ(3/2 + n)/2 ez(z/2)−n−1/2 In+1/2(z) Bessel Sferiche

−n α + 1 x n!/(α + 1)n Lαn(x) Laguerre

−n 1/2 x2 (−)n n!/(2n)! H2n Hermite

−n 3/2 x2 (−)n n!/(2n+ 1)! H2n+1 Hermite

1/2 3/2 −x2√π /2x erf(x) Funzione degli errori

U( a , b ; z )

a b z Relazione Funzione

ν + 1/2 2ν + 1 2z π−1/2 ez (2z)−νKν(z) Bessel Modificate

ν + 1/2 2ν + 1 −2iz π1/2/2 eiπ(ν+1/2−z) (2z)−νH(1)ν (z) Hankel

ν + 1/2 2ν + 1 2iz π1/2/2 e−iπ(ν+1/2−z) (2z)−νH(2)ν (z) Hankel

n+ 1 2n+ 2 2z π−1/2 ez (2z)−n−1/2Kn+1/2(z) Bessel Sferiche

5/6 5/3 4/3 z3/2 π1/2 z−1 exp[2/3 z3/2] 2−2/3 35/6 Ai(z) Airy

−n α + 1 x (−1)n n! Lαn(x) Laguerre

(1 − n)/2 3/2 x2 2−n Hn Hermite

1/2 1/2 x2√π exp (x2) erfc(x) Funzione degli errori

La funzione degli errori e la sua complementare ammettono la rappresentazione integrale:

erf (z) =2√π

∫ z

0

dt e−t2 , erfc (z) =2√π

∫ ∞

z

dt e−t2 = 1 − erf(z) .

11. DELTA DI DIRAC 393

11. DELTA di DIRAC

La successione di funzioni:

Dn(x) =√n/π e−nx2

n = 1, 2, ...

ha un limite puntuale molto irregolare:

Dn(x) −→n→∞

∞ x = 0

0 x 6= 0 ,

mentre, come funzione di L 2(R) , sarebbe uguale alla funzione identicamente nulla.

Se pero consideriamo una funzione f(x) sufficientemente regolare, esiste il limite:∫ ∞

−∞

dx Dn(x) f(x) −→n→∞

f(0) ,

dove i singoli integrali esistono per ogni n . Si introduce allora la definizione:∫ ∞

−∞

dx δ(x) f(x) = limn→∞

∫ ∞

−∞

dx Dn(x) f(x) = f(0) = F0(f) .

La delta di Dirac e pertanto il funzionale (lineare) F0 che valuta nell’origine funzioni ivi

regolari. E’ l’ analogo continuo della delta di Kroneker δij sul discreto.

Un’altra rappresentazione della delta di Dirac si ottiene dalle proprieta delle trasformate

F (f) e antitrasformate F (f) di Fourier, definite per ogni f ∈ L 2(R) :

F · F (f) = f =⇒ 1√2π

∫ ∞

−∞

dk eikx′ 1√2π

∫ ∞

−∞

dx e−ikx f(x) =

=

∫ ∞

−∞

dx1

2π

[∫ ∞

−∞

dk e−ik(x−x′)

]f(x) = f(x′) .

E da qui infine:1

2π

∫ ∞

−∞

dk e−ik(x−x′) = δ(x− x′) .

Altre definizioni della delta sono le seguenti:

δ(x) = limλ→∞

√λ

πe−λx2

= limε→0+

√1

iπεeix2/ε = lim

λ→∞

sin λx

πx= lim

λ→∞

1

πλ

sin2 λx

x2,

dove si intende il limite del funzionale generato dall’integrale sulle funzioni. Inoltre:

δ(x) =dθ(x)

dxcon θ(x) =

1 x > 0

0 x < 0, δ(x) =

1

x− i0− 1

x+ i0= lim

ε→0+

2iε

x2 + ε2.

Infine, alcune proprieta della delta:

δ(x) f(x) = f(0) , δ(x− y)δ(y − a) = δ(x− a) ,

da intendersi naturalmente sotto il segno di integrale, mentre non esiste δ2(x) ; inoltre:

δ(y(x)) =∑

i=1

δ(x− xi)

|dy/dx|x=xi

,

∫ ∞

−∞

dx δ(n)(x) f(x) = (−)nf (n)(0)

dove x1, x2, ... sono le radici di y(x) = 0 , e δ(n) e f (n) sono le derivate n−esime della

delta e della funzione f , regolare nell’origine insieme a tutte le derivate sino all’ordine n .

394 34. APPENDICI.

12. INTEGRALI GAUSSIANI

∫ ∞

0

dx xne−σx =n!

σn+1

∫ ∞

0

dx x2ne−σx2

=(2n− 1)!!

2(2σ)n

√π

σ

∫ ∞

0

dx x2n+1e−σx2

=n!

2σn+1.

Il primo integrale del secondo tipo si valuta con un classico artifizio:∫ ∞

0

dx e−σx2

=1

2

[ ∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

dx dy e−σ (x2+y2)]1/2

=

=1

2

[ ∫ 2π

0

dϕ

∫ ∞

0

dρ ρ e−σ ρ2]1/2

=1

2

√π

σ.

Gli altri si valutano per parti e per induzione.

13. INTEGRALI PER ATOMI A PIU ELETTRONI

Per valutare le correzioni dovute alla repulsione coulombiana agli stati imperturbati degli

atomi a due e tre elettroni, stato fondamentale e primo stato eccitato, dobbiamo considerare

due classi di integrali:

J100;nlm = e2∫dx1

∫dx2

1

|x1 − x2||u100(x1)|2 |unlm(x2)|2

K100;nlm = e2∫dx1

∫dx2

1

|x1 − x2|u∗100(x1) u

∗nlm(x2) u100(x2) unlm(x1).

I due integrali, J e K , sono detti integrali diretti e di scambio, rispettivamente.

Sfruttiamo due relazioni notevoli. La prima:

1

|x1 − x2|=

1/r1

∑∞l=0 (r1/r2)

l Pl(cos θ) r1 > r2

1/r2∑∞

l=0 (r2/r1)l Pl(cos θ) r2 > r1 ,

legata alla definizione della funzione generatrice dei polinomi di Legendre (vedi A-S 22.9):

1√1 − 2ρξ + ξ2

=∞∑

l=0

ρlPl(ξ) , |ρ| < 1 .

La seconda, costituita dalla regola somma (vedi Bateman ):

Pl(cos θ) =4π

2l + 1

l∑

m=−l

Ylm(θ1, ϕ1) Ylm(θ2, ϕ2) ,

dove θ e l’angolo compreso tra x1 e x2 . Inserendo la prima funzione d’onda:

unlm(x) = unl(r) Ylm(Ω) =⇒ u100(x1) = Z3/20 2e−Z0r1

1

2√π

, Z0 = Z/r0 :

J100;nlm = Z30

e2

π

∫dΩ1dΩ2

∞∑

l′=0

4π

2l′ + 1

l′∑

m′=−l′

Yl′m′(θ1, ϕ1) Yl′m′(θ2, ϕ2) [ Ylm(θ2, ϕ2) ]2 ·

·∫ ∞

0

dr1 r21 e

−2Z0r1

[ ∫ r1

0

dr2 r22 |unl(r2)|2

1

r1

(r2r1

)l′+

∫ ∞

r1

dr2 r22 |unl(r2)|2

1

r2

(r1r2

)l′].

13. INTEGRALI PER ATOMI A PIU ELETTRONI 395

Integrando su Ω1 , per ortogonalita con Y00(θ1, ϕ1) = 1/(2√π) , otteniamo 2

√π δ0l′δ0m′ .

Sommando quindi su l′ e m′ , sopravvive il solo termine Y00(θ2, ϕ2) = 1/(2√π) .

L’integrale su Ω2 da come risultato 1 per la normalizzazione delle Ylm , e infine si

ottiene:

J100;nlm =e2α3

2

∫ ∞

0

dr1 r21 e

−αr1

[1

r1

∫ r1

0

dr2 r22 [unl(r2)]

2 +

∫ ∞

r1

dr2 r2 [unl(r2)]2

]=

=e2α3

2

∫ ∞

0

dr1 r21 e

−αr1

[1

r1

∫ r1

0

dr2 r22 e

−αnr2 [Pnl(r2)]2 +

∫ ∞

r1

dr2 r2 e−αnr2 [Pnl(r2)]

2

],

con α = 2Z0 , αn = α/n , Pnl(r) = −αn3/2

√(n− l − 1)!

2n[(n+ l)!]3(αnr)

l L2l+1n+l (αnr) ,

e con Lsr polinomi di Laguerre. Le espressioni piu semplici sono:

P10(r) = −α3/2 2−1/2 L11(αr) , P20(r) = −α3/2 2−4 L1

2(αr/2) ,

P21(r) = −α5/2 2−5 3−3/2 r L33(αr/2) ,

L11(ρ) = 1 , L1

2(ρ) = 4 − 2ρ , L33(ρ) = 3! .

Con analogo procedimento, per gli integrali di scambio si trova:

K100;nlm =e2

4π

∫dΩ1dΩ2

∫ ∞

0

dr1 r21 u

∗10(r1) unl(r1) Y

ml (θ1, ϕ1) Y

∗ml (θ2, ϕ2)·

·∞∑

l′=0

4π

2l′ + 1

l′∑

m′=−l′

Y ∗m′

l′ (θ1, ϕ1) Ym′

l′ (θ2, ϕ2)·

·[ ∫ r1

0

dr2 r22 u

∗nl(r2) u10(r2)

1

r1

(r2r1

)l′+

∫ ∞

r1

dr2 r22 u

∗nl(r2) u10(r2)

1

r2

(r1r2

)l′]

=

=e2α3

2

1

2l + 1

∫ ∞

0

dr1 r21 e

−γr1 Pnl(r1) ·

·[ 1

r1+l1

∫ r1

0

dr2 r2+l2 e−δr2 Pnl(r2) + rl

1

∫ ∞

r1

dr2 r1−l2 e−δr2 Pnl(r2)

],

con γ = δ = (α + αn)/2 = [(n+ 1)/2n] α .

Data la forma polinomiale dei Pnl , tutti gli integrali, diretti e di scambio, sono momenti

rh1 e

−γr1 e rk2 e

−δr2 di ordine superiore rispetto a quelli fondamentali, dipendenti da l :

I(l)00 (γ, δ) =

∫ ∞

0

dr1 r21 e

−γr1

[ 1

r1+l1

∫ r1

0

dr2 r22 e

−δr2 + rl1

∫ ∞

r1

dr2 r2 e−δr2

].

Pertanto, si possono ottenere tutti da questi derivandoli rispetto a γ e a δ . In realta ,

tutti quelli diretti derivano dal solo I(0)00 , e noi valuteremo qui un solo integrale ottenibile

per derivazione da I(1)00 , cioe l’integrale di scambio K100;21m . Ma questo lo valuteremo

direttamente. Pertanto, tralasciando l’apice (l) :

Ikn(γ, δ) = (−)k+n ∂k+n

∂γk ∂δnI00(γ, δ) ,

I00(γ, δ) =

∫ ∞

0

dr1 r21 e

−γr1

[ 1

r1

∫ r1

0

dr2 r22 e

−δr2 +

∫ ∞

r1

dr2 r2 e−δr2

]= 2

[γ2 + 3γδ + δ2

γ2δ2(γ + δ)3

],

396 34. APPENDICI.

I01(γ, δ) = 2[2γ3 + 8γ2δ + 12γδ2 + 3δ3

γ2δ3(γ + δ)4

],

I02(γ, δ) = 2[6γ4 + 30γ3δ + 60γ2δ2 + 60γδ3 + 12δ4

γ2δ4(γ + δ)5

],

I11(γ, δ) = 2

[6γ4 + 30γ3δ + 60γ2δ2 + 30γδ3 + 6δ4

γ3δ3(γ + δ)5

].

Ovviamente, per k 6= n , Ikn(γ, δ) = Ink(δ, γ) .

Con l’opportuno coefficiente e γ = δ = α = 2Z/r0 , otteniamo il primo risultato:

J100;100 =e2α6

4I00(γ, δ)|γ=α , δ=α =

5

4

α

4e2 =

5

4Zw0 ≈ 34.0 ev (Z = 2) .

Calcoliamo ora quelli successivi, svolgendo il primo per esteso.

J100;200

∣∣∣α=γ , α2=δ

=e2

29α6

∫ ∞

0

dr1 r21 e

−γr1 ·

· 1

r1

∫ r1

0

dr2 r22 e

−δr2

[16−16α2r2 +4(α2r2)

2]+

∫ ∞

r1

dr2 r2 e−δr2

[16−16α2r2 +4(α2r2)

2]

=

=e2α6

27

[4 I00 − 4α2 I01 + α2

2 I02].

Reinserendo i corretti valori γ = α , δ = α2 = α/2 = Z/r0 , si ottiene:

J100;200 =e2α

27

[26 · 11

33− 26 · 25

33+

26 · 59

34

]=

34

81

α

4e2 =

34

81Zw0 ≈ 11.42 ev (Z = 2) .

L’integrale successivo J 100;21m si ottiene da quello appena trovato sostituendo il polinomio

P20 con P21 , entrambi a quadrato, normalizzazione inclusa. Quindi:

1

4(2!)3=⇒ 1

4(3!)3;

[L1

2(α2r2)]2

= [4 − 2α2r2]2 =⇒

[(α2r2) L

33(α2r2)

]2= (3!)2(α2r2)

2 .

Complessivamente, occorre considerare solo il terzo addendo in J100;200 , quello derivante

dalla derivata seconda, moltiplicato per (1/33) [(3!)2/4] = 1/3 e valutato per gli stessi

parametri γ = α , δ = α2 = α/2 = Z/r0 . Pertanto:

J100;21m =e2α

27

[1

32−2 28 · 59

34

]=

2 · 59

243Zw0 ≈ 0.37 ev (Z = 2) .

In modo analogo, calcoliamo gli integrali K , entrambi per γ = δ = (α + α2)/2 = 3α/4 .

Notare che ora i P2l non compaiono al quadrato, ma ce n’e uno in α2r1 e uno in α2r2 :

K100;200 =e2α3

2

∫ ∞

0

dr1 r21 e

−γr1 P20(r1)·

·[

1

r1

∫ r1

0

dr2 r22 e

−δr2 P20(r2) +

∫ ∞

r1

dr2 r2 e−δr2 P20(r2)

]=

=e2α6

27

[4 I00 − 2α2 I01 − 2α2 I10 + α2

2 I11]γ=δ=3α/4

=

=e2α

27

[ 5 · 210

35− 25 · 210

36+

11 · 210

36

]=

32

729Zw0 ≈ 1.19 ev (Z = 2) .

14. RAPPRESENTAZIONE DEI MOMENTI ANGOLARI 397

L’ultimo, K100;21m , lo calcoliamo direttamente:

K100;21m =e2α3

2 · 3

∫ ∞

0

dr1 r21 e

−γr1 P21(r1)

[1

r21

∫ r1

0

dr2 r32 e

−δr2 P21(r2) + r1

∫ ∞

r1

dr2 e−δr2 P21(r2)

]=

e2α3

2 · 3[α52−103−3(3!)2

] ∫ ∞

0

dr1 r31 e

−γr1

[1

r21

∫ r1

0

dr2 r42 e

−δr2 + r1

∫ ∞

r1

dr2 r2 e−δr2

]=

=e2α8

2932

[24

δ5

1

γ2− 3

δ2

4!

(γ + δ)5− 12

δ3

3!

(γ + δ)4− 24

δ4

2!

(γ + δ)3− 24

δ5

1

(γ + δ)2

]=

=e2α8

2932

212

α7367 =

7 · 25

38Zw0 ≈ 0.93ev (Z = 2) .

Con i termini in l = 1 si possono valutare le perturbazioni agli stati 21P e 23P , cui si

fa cenno nel 10.4).

14. RAPPRESENTAZIONE DEI MOMENTI ANGOLARI

In uno spazio di Hilbert separabile, un operatore autoaggiunto compatto A , con spettro

completo discreto, ammette una rappresentazione diagonale; ovvero, i valori di aspettazione

tra i suoi autovettori definiscono una matrice diagonale, cioe :

〈 i | A | j 〉 = αj δij , A | j 〉 = αj | j 〉 , i, j = 1, 2, ...

Due operatori A, B , autoaggiunti, compatti, commutanti, hanno un sistema ortonormale

completo in comune, e vale ancora:

〈 i | A | j 〉 = αj δij 〈 i | B | j 〉 = βj δij ,

A | j 〉 = αj | j 〉 , B | j 〉 = βj | j 〉 .Sulla base degli autovettori comuni, A e B sono rappresentati da due matrici diagonali,

eventualmente ∞−dimensionali.

Se gli operatori non commutano, non esiste alcuna base sulla quale si possano rappresentare

tutti con matrici diagonali. Se pero gli operatori autoaggiunti sono tre, e soddisfano le regole

di commutazione:

[Ji, Jj] = i ~ εijk Jk , i, j, k = 1, 2, 3 ,

allora l’intero spazio di Hilbert si decompone nella somma diretta di sottospazi ortogo-

nali, invarianti rispetto ai tre operatori. Ovvero, consideriamo gli operatori commutanti

J2 , J3 , e un ulteriore operatore autoaggiunto A , commutante con i primi due, definito

appositamente per risolvere l’eventuale degenerazione residua. Essi definiscono una base

ortonormale completa di autostati non degeneri:

| j, m; n 〉 , J2 | j, m; n 〉 = j(j + 1) ~2 | j, m; n 〉 ,

J3 | j, m; n 〉 = m ~ | j, m; n 〉 , A | j, m; n 〉 = αn | j, m; n 〉 .

398 34. APPENDICI.

Su questa base, lo spazio H si decompone nei sottospazi Hjn invarianti e irriducibili:

H =

dj∑

n=1

∑

j

⊕Hjn ,

con le matrici rappresentative e un vettore, ad esempio, ψ3n ∈ H3n dati da:

〈 j, m; n | Ji | j ′, m′; n′ 〉 = Ji(j;m,m′;n) δjj′δnn′ =

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∗∗

. . .∗ ∗∗ ∗

∗ ∗∗ ∗

. . .∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗

. . .

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ψ3n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

00...0000...∗∗∗000...

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

con valori nulli fuori dai blocchi. Questa dunque e la rappresentazione di uno qualsiasi

degli operatori soddisfacenti le regole di commutazione date. Non e una matrice diagonale

o, perlomeno, lo e solo per uno dei Ji , nel nostro caso J3 . E pero una matrice diagonale a

blocchi, cioe ovunque nulla tranne che in blocchi quadrati attorno alla diagonale principale.

Con la tecnica degli operatori di innalzamento e di abbassamento J+ e J− , si ricavano i

singoli blocchi, che risultano non dipendere da n ma solo dalle dimensioni (2j + 1) :

〈 j, m | J1 | j, m′ 〉 =~

2

√(j −m)(j +m + 1) δm′,m+1+

~

2

√(j +m)(j −m+ 1) δm′,m−1 ,

〈 j, m | J2 | j, m′ 〉 =~

2i

√(j −m)(j +m + 1) δm′,m+1−

~

2i

√(j +m)(j −m+ 1) δm′,m−1 ,

〈 j, m′ | J3 | j, m 〉 = m ~ δm′,m .

Ricordiamo che tutto cio si ottiene dalle sole relazioni algebriche di commutazione, e da due

semplici richieste: realta delle rappresentazioni e normalizzazione degli stati. All’interno

del singolo Hjn le fasi relative tra gli stati risultano determinate, e rimane arbitraria

unicamente una fase comune a tutti, ad esempio la fase dello stato di peso massimo.

La dipendenza della rappresentazione dalla sola dimensionalita (a meno di trasformazioni

unitarie) dipende dal fatto che l’algebra dei tre momenti e la piu semplice non banale della

sua categoria, cioe quella delle algebre generatrici dei gruppi unitari unimodulari, detti

SU(n) . Gia l’algebra dei generatori di SU(3) ha due tipi di rappresentazioni con la stessa

dimensionalita .

15. COMPOSIZIONE MOMENTI ANGOLARI 399

15. COMPOSIZIONE MOMENTI ANGOLARI

In uno spazio di Hilbert H siano dati due operatori vettoriali di momento angolare J1 e

J2 , commutanti tra di loro. Introduciamo, per costruzione, un ulteriore operatore autoag-

giunto A , commutante con i precedenti e tale da rendere completo il sistema di operatori

J21 , J1,z , J2

2 , J2,z , A , tale cioe che i loro autovettori | j1 , m1 ; j2 , m2 〉n ,

con A | ∗ 〉n = αn | ∗ 〉n , formino una base completa in H , senza degenerazioni residue.

Definiamo il momento angolare totale, J = J1⊗I2 +J2⊗I1 ≈ J1 +J2 e cerchiamo, nel sot-

tospazio Hn relativo all’autovalore αn , le combinazioni lineari degli stati prodotto diretto

| m1 ; m2 〉 che siano autostati | j / m 〉 dei momenti totali J2 e Jz . Per questi ultimi

abbiamo introdotto il nuovo separatore / tra gli autovalori, e per entrambi abbiamo omesso

gli indici comuni j1 , j2 ed n . Notare che, trattandosi di prodotti diretti, l’ordine e rile-

vante. Cerchiamo quindi lo sviluppo: | j / m 〉 =∑

m1,m2| m1 ; m2 〉〈 m1 ; m2 | j / m 〉 ,

dove 〈 m1 ; m2 | j / m 〉 sono detti coefficienti di Clebsch-Gordan, e si ricavano con

tecnica iterativa standard. Qui pero illustriamo un approccio costruttivo, nell’intento di

chiarire la struttura delle due diverse basi di autovettori.

Consideriamo quindi la seguente tabella con j2 ≤ j1 . Le righe sono ordinate per valori

decrescenti della terza componente di momento angolare totale m = m1 + m2 , riportati

nell’ultima colonna; su ciascuna riga appaiono i vettori | m1 ; m2 > , in ordine di m1

decrescente (e m2 crescente). Gli stati sono tutti presenti, e lo sono una volta sola.

| j1 ; j2 〉 j1 + j2

| j1 ; j2 − 1 〉 | j1 − 1 ; j2 〉 j1 + j2 − 1

| j1 ; j2 − 2 〉 | j1 − 1 ; j2 − 1 〉 | j1 − 2 ; j2 〉 j1 + j2 − 2. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .

| j1 ;−j2 〉 | j1 − 1 ;−j2 + 1 〉 ...... | j1 − 2j2 ; j2 〉 j1 − j2

| j1 − 1 ;−j2 〉 | j1 − 2 ;−j2 + 1 〉 ...... | j1 − 2j2 − 1 ; j2 〉 j1 − j2 − 1. . . .. . . .. . . .

| j2 ;−j2 〉 | j2 − 1 ;−j2 + 1 〉 ...... | − j2 ; j2 〉 0. . . .. . . .. . . .

| − j1 + 2j2 + 1 ;−j2 〉 | − j1 + 2j2 ;−j2 + 1 〉 ..... | − j1 + 1 ; j2 〉 − j1 + j2 + 1

| − j1 + 2j2 ;−j2 〉 | − j1 + 2j2 − 1 ;−j2 + 1 〉 ..... | − j1 ; j2 〉 − j1 + j2. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .

| − j1 + 2 ;−j2 〉 | − j1 + 1 ;−j2 + 1 〉 | − j1 ;−j2 + 2 〉 − j1 − j2 + 2

| − j1 + 1 ;−j2 〉 | − j1 ;−j2 + 1 〉 − j1 − j2 + 1

| − j1 ;−j2 〉 − j1 − j2

La prima riga contiene un singolo vettore con m1 + m2 = j1 + j2 ; in quelle successive il

numero di vettori cresce di un’unita per volta, fino a quella con m1 + m2 = j1 − j2 , che

400 34. APPENDICI.

ne contiene 2j2 + 1 , in corrispondenza a m2 = −j2,−j2 + 1, ... , j2 − 1, j2 . Da questa,

il numero di vettori per riga non cambia fino a quella con m1 + m2 = −j1 + j2 , e le

righe sono in tutto (j1 + j2) − (−j1 + j2) + 1 = 2(j1 − j2) + 1 . Notare che se fosse

stato j1 ≤ j2 avremmo avuto un cambio di segno, per cui, in generale, le righe centrali

sono 2|j1 − j2| + 1 . Le righe successive hanno un numero di vettori decrescenti sino a

m1 +m2 = −j1 − j2 , che ne contiene uno solo. La struttura e speculare rispetto alla riga

intermedia con m = 0 che, nel caso particolare j1 = j2 e l’unica di lunghezza massima.

Notare che |−j1+2j2 ;−j2 〉 = |j1−2(j1−j2) ;−j2 〉 , e che |j2 ;−j2 〉 = | j1−(j1−j2) ;−j2 〉.Vediamo ora come passare concretamente ai momenti totali.

Nella prima riga lo stato e unico, non degenere, e dovendo essere autostato anche di J2

non puo essere altro che | j1 ; j2 >= | j1+j2 / j1+j2 >= | J / J > , cioe dello stato di peso

massimo relativo al momento totale massimo J = j1 + j2 . A partire da questo, e tramite

J− , si trovano tutti gli stati | J / m > con m = J, J−1, ..., −J +1, −J , che si ottengo

come combinazioni lineari degli stati delle righe sottostanti ad m totale decrescente. Tutti

gli stati con questo J massimo sono simmetrici nello scambio 1↔2 perche ottenuti da

uno stato di peso massimo simmetrico con un abbassatore pure simmetrico.

Nella seconda riga sono contenuti lo stato | J / J − 1 > e quello ortogonale a questo, da

identificarsi necessariamente con lo stato | J − 1 / J − 1 > . Avendo due compobenti,

ed essendo il primo simmetrico, il secondo e antisimmetrico. Nella terza riga si possono

trovare | J / J−2 > e | J−1 / J−2 > , entrambi ottenuti da quelli precedenti tramite

abbassatori, e inoltre | J−2 / J −2 > , che si valuta per ortogonalita con i due precedenti.

Scriviamo esplicitamente gli stati a spin totale contenuti nelle prime tre righe.

| J / J >= | j1 ; j2 > J = j1 + j2

| J / J − 1 >= J−1/2[ √

j1 | j1 − 1 ; j2 > +√j2 | j1 ; j2 − 1 >

]

| J − 1 / J − 1 >= J−1/2[−√

j2 | j1 − 1 ; j2 > +√j1 | j1 ; j2 − 1 >

]

| J / J − 2 >= [J (2J − 1)]−1/2[ √

j1 (2j1 − 1) | j1 − 2 ; j2 > +

+ 2√j1j2 | j1 − 1 ; j2 − 1 > +

√j2 (2j2 − 1) | j1 ; j2 − 2 >

]

| J − 1 / J − 2 >= [J (J − 1)]−1/2[−

√j2 (2j1 − 1) | j1 − 2 ; j2 > +

+ (j1 − j2) | j1 − 1 ; j2 − 1 > +√j1 (2j2 − 1) | j1 ; j2 − 2 >

]

| J − 2 / J − 2 >= [(J − 1) (2J − 1)]−1/2[ √

j2 (2j2 − 1) | j1 − 2 ; j2 > −

−√

(2j1 − 1) (2j2 − 1) | j1 − 1 ; j2 − 1 > +√j1 (2j1 − 1) | j1 ; j2 − 2 >

]

Come si vede, l’ultima rappresentazione e nuovamente simmetrica.

15. COMPOSIZIONE MOMENTI ANGOLARI 401

Torniamo ora alla prima tabella dove, scendendo o salendo, la lunghezza delle righe prima

aumenta progressivamente, poi rimane costante, e poi cala nuovamente sino a tornare a

un solo vettore. Come detto prima, una riga piu lunga di un’unita contiene un ulteriore

momento angolare totale, ridotto parimenti di un’unita . Quindi, tutte le righe a lunghezza

costante contengono tutti gli stessi momenti totali, dal massimo al minimo. Gli stati di

momento totale minimo sono pero contenuti solo in queste, uno stato per riga, e pertanto

le righe a lunghezza costante sono in numero pari alla dimensionalita del momento totale

minimo. Essendo il numero di tali righe uguale a 2|j1−j2|+1 , come gia calcolato, |j1−j2|risulta essere il momento angolare totale minimo. Dunque:

j = j1 + j2 , j1 + j2 − 1 , ... , |j1 − j2| + 1 , |j1 − j2| .

Tutti i momenti totali sono presenti, e lo sono una volta sola, uno per riga . Inoltre, in

relazione al singolo j , anche gli autovalori m = −j, −j+1, ..., j−1, j compaiomo tutti e

una volta sola. Quindi, la dimensionalita complessiva di questa nuova base costituita dagli

| j / m 〉 e data da:

dj/m =

j1+j2∑

j=|j1−j2|

(2j + 1) = (2j1 + 1)(2j2 + 1) = dm1;m2.

Ne segue che nel sottospazio j1 , j2 ; n i due operatori J2 e Jz formano un insieme

completo di osservabili, come avveniva per gli operatori J1,z e J2,z . Ovvero, l’operatore

A , che risolve l’eventuale degenerazione degli stati | j1 , m1 ; j2 , m2 〉 , risolve anche

quella degli stati | j1 , j2 ; j / m 〉 .Con terminologia algebrica, la decomposizione del prodotto diretto di due momenti angolari

j1 e j2 in rappresentazioni invarianti irriducibili del momento totale, e data dalla formula:

j1 ⊗ j2 = | j1 − j2 | ⊕ | j1 − j2 + 1 | ⊕ · · · ⊕ j1 + j2 − 1 ⊕ j1 + j2 .

Infine, introduciamo l’operatore di scambio P12 che scambia le coordinate 1↔2 . Questo

commuta col momento angolare totale, che e somma di quelli singoli:

[P12 , Jz

]=

[P12 , J

2]

= 0 .

Questi tre operatori commutanti hanno un sistema ortonormale completo in comune che,

non essendoci degenerazione, e dato dagli stessi stati | j / m 〉 . Pertanto, questi stati sono

anche autostati di P12 , ovvero hanno simmetria pari o dispari. Simmetria comune a tutti

gli stati della stessa rappresentazione, in particolare a quella degli stati di peso massimo

o minimo, in quanto gli abbassatori e gli innalzatori sono simmetrici e non cambiano la

simmetria della rappresentazione.

Dimostriamo ora che le simmetrie si alternano, a partire dalla prima, quella con j = J ,

simmetrica. Per fare cio , possiamo sfruttare una ben nota proprieta dei coefficienti di

Clebsch-Gordan:

〈 j2 , m2 ; j1 , m1 | j / m 〉 = (−1)j1+j2−j〈 j1 , m1 ; j2 , m2 | j / m 〉 ,

402 34. APPENDICI.

applicandola allo sviluppo gia introdotto (con j1 , j2 , n sottintesi):

| j / m 〉 =∑

m1,m2

| m1 ; m2 〉〈 m1 ; m2 | j / m 〉 .

Nello scambio 1↔2 gli stati si scambiano tra di loro, mentre i coefficienti acquistano

un segno (−1)j1+j2−j , uguale per tutti gli m . Dunque, tutti gli stati | j / m 〉 della

rappresentazione j , per 1↔2 cambiano o non cambiano segno a seconda che j1 + j2 − j

sia dispari o pari. Dunque, la prima, quella con j = jmax = j1 + j2 , e simmetrica, e le

altre hanno simmetrie alternate.

16. LO SPETTRO DEGLI OPERATORI AUTOAGGIUNTI

Sia dato un operatore autoaggiunto A = A† in uno spazio di Hilbert H separabile, cioe

con almeno una base numerabile, e consideriamo il problema agli autovalori: A ψα = α ψα ,

con ψα ∈ H . Se esistono soluzioni, valgono le seguenti proprieta.

- Gli autovalori sono reali: α ∈ R .

- Ad autovalori diversi, corrispondono autovettori ortogonali, o meglio autospazi Hα

ortogonali, nel senso che, per α 6= α′ , ψα ∈ Hα e ψα′ ∈ Hα′ , vale (ψα′ , ψα) = 0 .

Trovato Hα , si possono cercare gli autovalori di A nel suo complemento ortogonale

Hα⊥ ,

- Gli autovalori sono numerabili e, grazie alla separabilita dei sottospazi propri dello spazio

H separabile, all’interno di ogni Hα si puo scegliere una base separabile. Quindi, anche

tutti gli autovettori possono essere scelti numerabili. Per questi, si parla di spettro discreto.

-∑

i ⊕Hαi= Hd ⊆ H . Hd potrebbe essere vuoto. Il complemento ortogonale di Hd

rispetto ad H , indicato con Hd⊥ , essendo un sottospazio proprio, possiede anch’esso

almeno una base numerabile, ovviamente non contenente alcun autovettore di A .

- Se H e finito dimensionale, o se l’operatore e compatto, allora Hd ≡ H .

Consideriamo ora un altro approccio al problema, e cioe l’analisi spettrale. Sappiamo che

lo spettro di un’operatore autoaggiunto ha le seguenti caratteristiche.

- Spettro discreto, σ(d) , fatto da valori α ∈ R , in corrispondenza ai quali non esiste il

risolvente (αi − A)−1 , ed esiste pertanto almeno un vettore ψi tale che (αi − A)ψi = 0 ;

gli αi dello spettro discreto sono gli autovalori e gli ψi gli autovettori.

- Spettro continuo, σ(c) : α ∈ R , (α− A)−1 esiste ma non e limitato, e R(α− A) = H ,

ove R e il range dell’operatore.

- Spettro residuo, σ(r) : (α−A)−1 esiste e R(α−A) 6= H . Per gli operatori autoaggiunti

e un’insieme vuoto.

- L’operatore autoaggiunto A ammette la risoluzione spettrale

A =

∫

R

α dEα =⇒ (ψ1, A ψ2) =

∫ ∞

−∞

dα α (ψ1, Eα ψ2) , ψ1 ∈ H , ψ2 ∈ D(A) .

Eα ≡ E((−∞, α]) e una famiglia di proiettori, detta famiglia spettrale associata.

16. LO SPETTRO DEGLI OPERATORI AUTOAGGIUNTI 403

- Valgono le seguenti decomposizioni:

I =

∫

R

dEα , Hd =

∫

σ(d)

dEα , Hc =

∫

σ(c)

dEα .

La seconda deriva dall’aver identificato precedentemente lo spettro discreto con l’insieme

degli autovalori; lo spazio Hc e il complemento ortogonale di Hd rispetto a H , e non

contiene autovettori. Ovviamente, se Hd ≡ /0 , allora Hc ≡ H .

Dunque, nel passaggio da spazi finito a infinito dimensionali, oppure da operatori au-

toaggiunti compatti ad autoaggiunti generali, si puo passare da un insieme completo di

autovettori, alla mancanza totale di autovettori.

Tutto questo strettamente all’interno dello spazio di Hilbert H , nel qual caso si parla

di autovalori e autovettori propri. Tuttavia, l’equazione agli autovalori A ψ = α ψ puo

essere affrontata in modo piu generale. Ad esempio, nel piu semplice caso fisico, quello di

particella libera (monodimensionale), gli operatori di momento lineare e di energia:

p = −i~ d

dxe H0 = − ~

2

2µ

d2

dx2,

sono autoaggiunti, non hanno autovettori propri in L 2(−∞,∞) , ma le equazioni differenziali

da essi generate hanno soluzioni puntuali:

p f = k f : −i~ d

dxf(x) = k f(x) =⇒ fk(x) =

1√2π~

eik/~ x .

H0 f = w f : − ~2

2µ

d2

dx2f(x) = w f(x) =⇒

=⇒ fw(x) =(2π~

√2w/µ

)−1/2

e±ik/~ x w =k2

2µ≥ 0 .

Le autofunzioni, improprie o generalizzate, sono le stesse nei due casi, ma gli autovalori

(impropri) w sono degeneri. Le funzioni sono analitiche su tutta la retta, ma non sono a

quadrato sommabili. La normalizzazione e alla delta di Dirac, in k nel primo caso e in

w nel secondo (vedi A.11, e piu avanti):

〈 fk′ | fk〉 =

∫ ∞

−∞

dx fk′(x)∗ fk(x) ) =1

2π~

∫ ∞

−∞

dx ei(k−k′)/~ x = δ(k − k′) ,

〈 fw′ | fw〉 =

∫ ∞

−∞

dx fw′(x)∗ fw(x) ) =(2π~

√2w/µ

)−1∫ ∞

−∞

dx ei(k−k′)/~ x = δ(w − w′) .

Abbiamo utilizzato il bra-ket di Dirac 〈 | 〉, inteso come estensione del prodotto scalare

( , ) a vettori anche al di fuori dello spazio di Hilbert.

Per recuperare queste soluzioni all’interno degli spazi di Hilbert, si possono affrontare le

equazioni agli autovalori in senso debole, cioe sotto il segno di integrale. Esaminiamo il

caso di p , essendo H0 del tutto equivalente:

〈 p f | g〉 = 〈 k f | g 〉 =⇒∫ ∞

−∞

dx [−i ddxf(x)]∗ g(x) ) = k

∫ ∞

−∞

dx f ∗(x) g(x) =⇒

=⇒∫ ∞

−∞

dx [−if ′(x) − kf(x) ]∗ g(x) ) = 0 .

404 34. APPENDICI.

Essendo f e k le incognite, la relazione deve valere per tutte le g di un sottoinsieme,

possibilmente denso, di H . Questo comporta nuovamente −if ′(x)−kf(x) = 0 , e quindi

le stesse onde piane di prima, ma ora con l’unica condizione che abbiano senso gli integrali,

che sono del tipo:

g(k) =1√2π~

∫ ∞

−∞

dx e−ik/~ x g(x) .

Questa e ovviamente la trasformata di Fourier della funzione g , che esiste ∀ g ∈ L 2(−∞,∞) ,

con ||g||2 = ||g||2 .

Passando ora dalla trasformata di Fourier alla antitrasformata, si ottiene:

g(x) =1√2π~

∫ ∞

−∞

dk eik/~ x g(k) =

∫ ∞

−∞

dk g(k) fk(x) ,

che si puo leggere ovviamente come lo sviluppo della funzione g(x) sulla base delle

autofunzioni generalizzate di p , le fk(x) viste prima, e dei relativi coefficienti g(k).

Alternativamente, a k fisso la trasformata di Fourier puo essere vista anche come funzionale

Fk , con dominio sulle funzioni regolari. Infine, l’insieme delle trasformate per tutti i k

definisce un operatore unitario F da g a g definito su tutto L 2(−∞,∞) .

Considerazioni identiche valgono per l’energia H0 in L 2(−∞,∞) .

Per completezza, ricordiamo che gli stessi operatori p0 e H0 con dominio in L 2[−a,a] , la

buca infinita, hanno caratteristiche ben differenti: p0 non e autoaggiunto, e H0 ha un

set completo di autofunzioni proprie, date da:

fn(x) =1√2a

e±inπ/a x .

Essendo a quadrato sommabili, la normalizzazione e posta uguale a 1.

Consideriamo ora un altro importante caso: l’operatore posizione x , che e autoaggiunto

in L 2(−∞,∞) ma non ha autofunzioni proprie. Infatti, il suo problema agli autovalori:

x f(x) ≡ x f(x) = ξ f(x) =⇒ (x− ξ) f(x) = 0 ,

ammette la soluzione puntuale:

fξ(x) =

any value x = ξ

0 x 6= ξ .

Essa e fortemente discontinua in un punto, ma soprattutto e la funzione nulla in L 2(−∞,∞) ,

soluzione valida per tutti gli operatori lineari, ma per questo banale. Anche in questo caso

il problema agli autovalori si risolve in senso debole:

〈 x f | g 〉 =

∫ ∞

−∞

dx [x f ]∗(x) g(x) = ξ

∫ ∞

−∞

dx f ∗(x) g(x) =⇒

=⇒∫ ∞

−∞

dx [(x− ξ) f(x)]∗g(x) ) = 0 ,

17. AUTOFUNZIONI IMPROPRIE E FUNZIONALI LINEARI LIMITATI 405

che ha per soluzione il funzionale Fξ(h) = 〈 fξ | h 〉 = h(ξ) , con h(x) = (x− ξ)g(x) e la

funzione g continua in ξ . Cioe la delta di Dirac:∫ ∞

−∞

dx f ∗ξ (x) h(x) =

∫ ∞

−∞

dx δ(x− ξ) h(x) = h(ξ) .

Come nel caso di p , questa espressione si presenta formalmente come lo sviluppo della

funzione h(ξ) sulla base delle autofunzioni improprie fξ(x) ≡ δ(x − ξ) dell’operatore

autoaggiunto x , con i relativi coefficienti h(x) .

Diversamente pero da p , le cui autofunzioni improprie sono funzioni ordinarie, benche

non di L 2(−∞,∞) , quelle di x sono interpretabili solo come funzionali su funzioni regolari,

oppure come l’operatore unita in tutto lo spazio di Hilbert.

17. AUTOFUNZIONI IMPROPRIE E FUNZIONALI LINEARI LIMITATI

L’appendice precedente ha mostrato come sia necessario uscire dallo spazio di Hilbert per

dare senso ad autofunzioni formali di alcuni operatori autoaggiunti, molto importanti da un

punto di vista fisico. Si suggeriva di interpretarle come funzionali, invece che come funzioni

ordinarie, e l’argomento trova la sua completa composizione nella teoria delle distribuzioni.

Si tratta di materia piuttosto complessa matematicamente, e noi ci limiteremo a dare solo

alcune linee interpretative, e ad enunciare alcuni risultati per noi importanti.

Iniziamo con alcuni concetti generali sui funzionali.

- Definizione 1. Dati due spazi lineari R1 e R2 (eventualmente con R1 ≡ R2 ≡ R ),

si considerino in essi due sottoinsiemi D bA ⊆ R1 e R bA ⊆ R2 . Una qualsiasi legge di

composizione che associa ad ogni f ∈ D bA uno e un solo elemento f ′ ∈ R bA definisce un

operatore A da R1 in R2 . Gli insiemi D bA e R bA si dicono dominio e codominio (o

range) di A e la legge si scrive f ′ = Af .

Se R2 coincide con un campo numerico (usualmente R dei reali o C dei complessi),

allora A si dice funzionale e si indica con F . Se anche gli f ∈ R1 sono numeri, allora

si parla di funzioni.

La totalita dei funzionali F , con (F + G)(f) = F (f) + G(f) e (αF )(f) = αF (f) , si

dice spazio coniugato e si indica con R1′ .

- Definizione 2. Dati due spazi normati N1 e N2 e un operatore A che trasforma N1 in

N2 , A si dice operatore limitato se esiste un numero reale positivo K tale che ∀f ∈ D bA

si ha ‖Af‖ ≤ K‖f‖ .

- Teorema 1. In particolare, lo spazio N ′ dei funzionali F lineari e limitati in uno spazio

normato N , con l’usuale norma indotta ‖F‖ = sup‖f‖≤1 |F (f)| costituisce uno spazio di

Banach, normato e completo.

- Teorema 2. (Di Riesz.) Sia dato un funzionale lineare limitato F definito in uno spazio

di Hilbert H . Allora esiste un vettore g ∈ H che realizza F tramite il prodotto

scalare con se stesso:

∃g ∈ H : Fg(f) = (g , f) ∀f ∈ H , con ||Fg|| = ||g|| .

406 34. APPENDICI.

Ovvero, il prodotto scalare in uno spazio di Hilbert e il piu generale funzionale lineare

limitato su H : H e il suo coniugato H ′ sono isometrici. In realta ci sono due modi

per definire H ′ , a seconda di come si definisce il prodotto per il corpo dei complessi:

(αFg)(f) = αFg(f) oppure (αFg)(f) = α∗Fg(f) = Fαg(f) .

Nel secondo caso lo spazio generato si dice antilineare, antiisometrico ad H , e talvolta si

indica con H ∗ . D’ora innanzi useremo il termine lineare per entrambi i casi, dato che la

sostanza non cambia, e utilizzeremo la notazione H ′ .

Dunque, uno spazio di Hilbert si puo anche considerare come uno spazio di Banach B

nel quale il prodotto scalare non introduce un’ulteriore struttura dello spazio, ma rappre-

senta l’implementazione di tutti i possibili funzionali lineari limitati su di esso. Questi, a

loro volta, definiscono uno spazio di Banach B′ isometrico con quello di partenza. Qui

comunque si continuera a parlare di spazio di Hilbert.

Possiamo ora affrontare il problema di una possibile estensione di H , spazio metrico

chiuso e quindi, come tale, non estendibile, almeno in modo non banale. Ma H , come

abbiamo visto, e anche isometrico allo spazio dei funzionali lineari limitati su di esso, e

questo si che puo essere esteso, semplicemente riducendo il dominio dei funzionali, da tutto

H a un suo sottoinsieme Φ , proprio e denso. Infatti, oltre ai funzionali definiti ovunque

e appartenenti, come visto prima, a H ′ , con la riduzione del dominio altri ancora sono

possibili, e quindi:

Φ ⊂ H ≈ H′ ⊂ Φ′ : ϕ ∈ Φ′ =⇒ ϕ(f) = 〈 ϕ | f 〉 = c Dϕ = Φ .

Il braket di Dirac si riduce al prodotto scalare ordinario nel caso ϕ ∈ H (vedi A.16).

Il primo contenimento e tra spazi vettoriali, il secondo tra funzionali. Notiamo che Φ non

e stato univocamente definito, e Φ′ si intende usualmente dotato della norma indotta da

quella di Φ , ed e dunque normato e completo,come visto in precedenza. L’arbitrarieta

di Φ si puo risolvere in modo semplice considerando la sua chiusura Φ , che pero , cosı

facendo, va a invadere tutto H , con la simultanea contrazione di Φ′ ad H ′ , per il

teorema di Riesz. E quindi l’ampliamento di H ′ a Φ′ o rimane arbitrario, oppure si

riduce nuovamente ad H ′ .

Questa difficolta puo essere superata se si trova una nuova metrica in Φ , non necessaria-

mente una norma, tale che, sia la sua chiusura sia quella di Φ′ secondo la metrica indotta,

preservino il contenimento stretto di partenza:

Φd ⊂ H ⊂ Φd′ .

Una siffatta tripletta di spazi si dice tripletta di Gel’fand, oppure spazio di Hilbert attrez-

zato (rigged Hilbert space). Vedi Gel’fand-Vilenkin, vol. 4.

Ad esempio, questa tripletta e realizzabile se il sottospazio Φ e strutturabile come Spazio

Numerabilmente Normato, che ora andremo brevemente a descrivere.

- Definizione 3. Due norme || ∗ ||1 e || ∗ ||2 , definite in uno spazio lineare R , si dicono

compatibili se ogni successione fn in R fondamentale rispetto a entrambe le norme

17. AUTOFUNZIONI IMPROPRIE E FUNZIONALI LINEARI LIMITATI 407

e convergente all’elemento nullo in una delle due norme, e convergente all’elemento nullo

anche nell’altra norma. Per la continuita della traslazione questa proprieta vale ovviamente

in ogni punto.

- Definizione 4. Uno spazio lineare R dotato di una successione di norme compatibili e

della ulteriore quasinorma e distanza

d(f, y) = d(f − y) ≡∞∑

i=1

1

2i

||f − y||i1 + ||f − y||i

si definisce Spazio Numerabilmente Normato, inteso come spazio topologico con la topologia

derivata da questa metrica nel modo solito.

Osservazione. Nel Teorema 1. era stato affermato che lo spazio coniugato di uno spazio

normato si puo strutturare a spazio di Banach se si adotta la usuale norma indotta. Se

invece lo spazio di partenza ha una topologia piu complessa, anche la topologia indotta

sullo spazio coniugato risulta in genere piu complessa. Senza entrare nei dettagli delle varie

topologie indotte, si puo enunciare il seguente:

- Teorema 3. Lo spazio coniugato di uno spazio numerabilmente normato e completo

relativamente alla topologia indotta.

Questo rappresenta una caratteristica molto importante che accomuna queste complesse

strutture ai piu semplici spazi normati: una sorta di stabilita rispetto all’operazione di

completamento. In sostanza, il completamento di uno spazio numerabilmente normato non

amplia ulteriormente lo spazio dei funzionali lineri limitati su di esso definiti.

Questa procedura ha una soluzione standard nel caso di H ≡ L 2(R) : il sottoinsieme

Φ ≡ S e costituito da funzioni dotate di tutte le derivate, tutte a decrescita rapida,

strutturato con l’insieme numerabile di norme:

||f(t)||j = supt

i, k < j

∣∣∣∣ti dk

dtkf(t)

∣∣∣∣ ,

e con la convergenza implicata da tutte queste, nel senso che in S si ha convergenza se

e solo se si ha convergenza in ognuna delle norme || ∗ ||j . Ad esempio tramite la distanza

della Definizione 4 . Questo spazio e noto come spazio delle funzioni di prova e, sulla base

del Teorema 3, il suo spazio coniugato S ′ , detto spazio delle distribuzioni temperate, e

uno spazio chiuso:

S ⊂ L2 ⊂ S

′ .

Abbiamo cosı esteso lo spazio L 2 a quello dei funzionali lineari sulle funzioni di prova,

limitati secondo la metrica indotta dall’insieme numerabile di norme definito su S .

*********************************

L 2 e denso in S ′ ? E, in questo caso, S ′ e la chiusura di L 2 con la metrica nuova?

Credo di si, perche si puo’ ottenere un funzionale come successione di funzioni, intese come

generatrici di funzionali.

408 34. APPENDICI.

*********************************

Sulla base di quanto sviluppato sopra, dato un operatore A autoaggiunto nello spazio di

Hilbert H , allarghiamo la ricerca delle autofunzioni a quella degli autofunzionali F .

Anzitutto, definiamo l’azione di un operatore su un funzionale:

F (f) = [AF ](f) ≡ F (Af) = F (f) .

Cioe , la legge di trasformazione che definisce l’operatore A induce una legge di trasfor-

mazione nello spazio dei funzionali:

f−→eAf =⇒ F−→

eAF .

Se A e F sono lineari, anche F e lineare.

Possiamo ora esplicitare l’equazione agli autofunzionali:

A F = αF =⇒ F ( (A− α)f ) = 0 ∀f ∈ D ,

con D denso in H . Se A possiede un insieme completo di autofunzioni proprie fn ,

Afn = αnfn , possiamo sviluppare su queste l’incognita f =∑

n cnfn , e ottenere:

F (∑

n

cn(αn − α)fn ) = 0 .

Le soluzioni di questa equazione sono immediate:

α = αn Fn(fn) = 1 , Fn(fn6=n) = 0 =⇒ Fn(f) = cn .

Cioe gli autovalori sono gli stessi dell’operatore, e gli autofunzionali sono pienamente definiti

dalla loro azione sull’insieme completo fn . Anche la realizzazione pratica del funzionale

Fn e immediata, tramite il prodotto scalare per lo stato fn :

Fn(f) ≡ (fn, f) = cn .

Infatti:

(A Fn)(f) ≡ (fn, A f) = (A fn, f) = αn (fn, f) = αn Fn(f) .

In conclusione, nel caso di spettro proprio completo, gli autofunzionali di A sono quelli

generati dalle sue autofunzioni, con gli stessi autovalori.

Sappiamo pero che vi sono anche operatori autoaggiunti che non possiedono neppure un

autovettore proprio, come ad esempio posizione e momento della particella libera in Mec-

canica Quantistica. Tuttavia, nella precedente Appendice abbiamo visto come questi due

operatori possiedano autofunzioni formali, non appartenenti a L 2 , che possono essere

interpretate come generatori di autofunzionali, e rappresentare un insieme completo, in

senso generalizzato. Chiaramente, ci si chiede se questo fatto abbia valenza generale, e la

risposta e affermativa, nel senso espresso dal seguente:

- Teorema 4. Un operatore autoaggiunto in uno spazio di Hilbert rigato ha un sistema

completo di autofunzionali, corrispondenti ad autovalori generalizzati reali. (Gel’fand. vol

4. pag 126).

18. COSTANTI 409

18. COSTANTI

Numero di Avogadro NA = 6, 0220 · 1023 mole−1

Costante di Boltzmann k = 1, 3807 · 10−16 erg

K−1

= 8, 6174 · 10−5 eV

K−1

Caloria 1 cal = 4, 1855 · 107 erg

Elettronvolt 1 eV = 1, 6022 · 10−12 erg

Velocita della luce nel vuoto c = 2, 9979 · 1010 cm sec−1

Costante di Planck (CdP) h = 6, 6262 · 10−27 erg sec

= 4, 1357 · 10−15 eV sec

CdP per velocita della luce hc = 1, 9865 · 10−16 erg cm

= 1, 2399 · 10−4 eV cm

CdP ridotta ~ = 1, 0546 · 10−27 erg sec

= 6, 5821 · 10−16 eV sec

Carica elettrica elementare e0 = 4, 8032 · 10−10 u.e.s.

= 1, 6022 · 10−19 coulomb

Unita di massa 1 eV/c2 = 1, 7827 · 10−33 gr

Massa dell’elettrone me = 9, 1094 · 10−28 g

= 0, 51099 MeV/c2

Massa del protone mp = 1836, 2 me = 1, 6726 · 10−24 g

= 938, 27 MeV/c2

Unita di massa 1 eV/c2 = 1, 7827 · 10−33 gr

Unita di energia per area ~2/2m = 6, 1044 · 10−28 erg cm2

= 3, 8104 · 10−16eV cm2

Raggio di Bohr r0 = ~2/mee

20 = 5, 2918 · 10−9 cm

Costante di Rydberg R = mee40/4π~

3c = 1, 0974 · 106 cm−1

Unita di energia atomica w0 = Rhc = mee40/2~

2 = 1, 3606 · 10 eV

Costante di struttura fina α = e20/~c = 1/137, 04

Magnetone di Bohr µB = e0~/2mec = 5, 7884 · 10−9 eV gauss−1

π = 3, 141 592 653 589 793 238 e = 2, 718 281 828 459 045 235

Problemi Di Meccanica Quantistica(Alabiso,Chiesa)

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