Appunti di Meccanica Quantistica Relativistica

3 aprile 2012

Indice

1 Il campo scalare 31.1 Dall’equazione di Schrödinger all’equazione di Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Soluzioni dell’equazione di Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Teoria lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Quantizzazione canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Teorema di Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Il campo di Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7 Il momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8 Relazioni di commutazione covarianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9 Il propagatore del campo scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.10 Il campo di Klein-Gordon non hermitiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Il campo elettromagnetico 242.1 Le equazioni di Maxwell in forma covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Teoria lagrangiana del campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Quantizzazione del campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Il campo di Dirac 303.1 L’equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 Lo spinore di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3 Invarianza di gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4 Corrente conservata per l’equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5 Limite non relativistico dell’equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.6 Soluzioni dell’equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.7 Quantizzazione dell’equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.8 Regola di superselezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.9 Momento angolare del campo di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.10 Il propagatore del campo di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Teoria delle interazioni 554.1 Interazione elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 La descrizione di interazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3 La teoria delle perturbazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4 Il teorema di Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5 L’elettrodinamica quantistica 605.1 Scattering di e− su un nucleo atomico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2 Covarianza dell’elettrodinamica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3 Il propagatore del fotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

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5.4 Il problema degli infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.5 Scattering e+e− → µ+µ− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.6 Effetto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.7 Scattering e+e− → γγ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.8 Scattering e−e− → e−e− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6 Teoria del neutrino 816.1 Rappresentazione spinoriale del gruppo di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2 L’equazione di Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.3 Spinori in SL(2,C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.4 Il neutrino di Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.5 Il decadimento β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

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Capitolo 1

Il campo scalare

1.1 Dall’equazione di Schrödinger all’equazione di Klein-Gordon

In meccanica quantistica le grandezze fisiche per un sistema sono rappresentate da operatori; inparticolare alla quantità di moto è associato l’operatore differenziale

p = −i ∂∂x. (1.1)

Lo stato di un sistema è descritto da una funzione d’onda φ(x, t) che risolve l’equazione di Schrödinger

i∂φ

∂t= Hφ. (1.2)

Nel cercare un’estensione relativistica della meccanica quantistica, è naturale tentare di inserire,nell’equazione di Schrödinger, l’espressione relativistica per l’hamiltoniana di una particella√

m2c4 + c2p2 →√m2c4 − 2c2∆. (1.3)

L’equazione d’onda relativistica diventerebbe in questo caso

i∂φ

∂t= (m2c4 − 2c2∆)1/2φ(x, t). (1.4)

Tale equazione non è accettabile, in quanto, poichè contiene derivate di ogni ordine rispetto alla x,richiede la conoscenza della ψ in ogni punto prima di poter essere risolta. Applicando una secondavolta l’operatore i ∂

∂tsi trova che la funzione d’onda deve soddisfare l’equazione di Klein-Gordon

−2∂2φ

∂t2= (m2c4 − 2c2∆)φ(x, t). (1.5)

Studiamo ora in modo generale alcune proprietà delle soluzioni dell’equazione di Klein-Gordon. Nelcaso dell’equazione di Schrödinger è noto che il prodotto scalare tra due soluzioni 〈ψ1(t)|ψ2(t)〉 èindipendente dal tempo grazie all’hermitianità di H.

Siano ora φ1, φ2 soluzioni dell’equazione di Klein-Gordon.

−2∂2φ1

∂t2= (m2c4 − 2c2∆)φ1

−2∂2φ2

∂t2= (m2c4 − 2c2∆)φ2

. (1.6)

3

Moltiplicando la prima per φ∗2, coniugando la seconda e moltiplicandola per φ1 e sottraendo membroa membro, si ottiene

−2φ∗2∂2φ1

∂t2− ∂2φ∗2

∂t2φ1

+ 2c2(φ∗2∆φ1 − φ1∆φ∗2) = 0. (1.7)

Tale equazione può essere riscritta sotto la forma dell’equazione di continuità

∂

∂t

φ∗2←→∂

∂tφ1

− c2∇ · (φ∗2←→∇ φ1) = 0, (1.8)

con a←→b c = abc− cba. Integrando in d3x l’equazione di continuità si trova

∂

∂t

∫d3xφ∗2

←→∂

∂tφ1 = c2

∫d3x∇ · (φ∗2

←→∇ φ1) = c2

∫dΣ n · (φ∗2

←→∇ φ1) = 0, (1.9)

se le funzioni si annullano sufficientemente rapidamente all’infinito. Deduciamo che, se definiamo ilprodotto scalare tra due soluzioni come

(φ2, φ1) = i∫d3xφ∗2

←→∂

∂tφ1, (1.10)

abbiamo per costruzione che tale prodotto scalare rimane costante lungo l’evoluzione temporale. Inrealtà esso non è un prodotto scalare nel senso usuale in quanto non soddisfa gli assiomi richiesti: adesempio ogni φ reale possiede norma identicamente nulla.

Notiamo che se l’equazione di Klein-Gordon può essere considerata un’equazione scalare, vetto-riale, tensoriale, a seconda di quanti indici possieda la soluzione.

Sotto una trasformazione di Lorentz x′µ = Λµνx

ν tra due sistemi di riferimento inerziali, un campoè detto scalare se non trasforma, ossia se φ(x) = φ′(x′), vettoriale se A′µ(x′) = Λµ

νAν(x).

Diciamo che un’equazione è covariante se è invariante in forma in ogni sistema di riferimentoinerziale; se scriviamo l’equazione di Klein-Gordon nella forma(

+ m2c2

2

)φ = 0, (1.11)

vediamo che per verificarne la covarianza è sufficiente dimostrare che l’operatore trasforma comeuno scalare. D’altra parte sappiamo che l’applicazione di ∂µ aggiunge un indice covariante ad untensore, mentre ∂µ ne aggiunge uno controvariante; poichè si può scrivere = ∂µ∂

µ, vediamo chel’applicazione del quadratello equivale all’aggiunta di un indice alto e uno basso e alla loro saturazione.Segue che trasforma come uno scalare. Possiamo concludere che l’equazione di Klein-Gordon ècovariante sotto trasformazioni di Lorentz.

1.2 Soluzioni dell’equazione di Klein-GordonVogliamo ora trovare soluzioni per l’equazione di Klein-Gordon; poniamo innanzitutto = c = 1.Cerchiamo soluzioni aventi la forma di onde piane

eipµxµ

. (1.12)

Derivando una volta un’espressione di questo tipo si ottiene

∂µeipx = ieipx∂µ(pµxµ) = ieipxpµ. (1.13)

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Segue che0 = ( +m2)eipx = (−p2 +m2)eipx, (1.14)

ossia l’onda piana scelta è soluzione se e solo se vale

p2 = m2, (1.15)

ossia se e solo se pµ è il quadrimpulso di una particella di massa m. Notiamo che fissato l’impulsospaziale p sono possibili soluzioni a energia positiva e negativa, rispettivamente

p0 = ±√m2 + p2. (1.16)

Cerchiamo ora il fattore moltiplicativo di normalizzazione; prendiamo due diverse soluzioni a energiapositiva (p0

1, p02 > 0)

φ1 = e−ip1x φ2 = e−ip2x. (1.17)

Dalla definizione di prodotto scalare data sopra abbiamo

(φ1, φ2) = i∫d3x eip1x

←→∂0 e

−ip2x =

= i∫d3x

[−ip0

2eip1xe−ip2x − ip0

1eip1xe−ip2x

]=

=∫d3x

[p0

2eip0

1x0−ip1·xe−ip

02x

0+ip2·x + p01eip0

1x0−ip1·xe−ip

02x

0+ip2·x]

=

= (2π)3p02ei(p0

1−p02)x0

δ3(p1 − p2) + (2π)3p01ei(p0

1−p02)x0

δ3(p1 − p2) == (2π)3(p0

1 + p02)δ3(p1 − p2),

(1.18)

dove l’ultimo passaggio segue dal fatto che l’esponenziale vale uno dove la delta non si annulla.Abbiamo così trovato

(φ1, φ2) = 2√m2 + p2

1(2π)3δ3(p1 − p2), (1.19)

quindi la soluzione dell’equazione di Klein-Gordon normalizzata e con energia positiva è

φ1 = 1√(2π)32ωp

e−ipx := f+p (x). (1.20)

Per costruzione vale quindi(f+p , f

+p′ ) = δ3(p1 − p2). (1.21)

Studiamo le condizioni su p affinchè il campo φ sia uno scalare; sappiamo che deve valere

x′ = Λx⇒ φ′(x′) = φ(x). (1.22)

D’altra parte abbiamo trovato che, a parte il fattore di normalizzazione la soluzione ha la forma

φ(x) = e−ipx; (1.23)

effettuando una trasformazione di Lorentz troviamo che un osservatore in O′ vede un campo

φ′(x′) = φ(x) = φ(Λ−1x′) = e−ipΛ−1x′ . (1.24)

Ora, se indichiamo con p′ l’impulso osservato in O′, vediamo che una trasformazione del tipo pµ =Λνµp′ν mantiene invariata in forma la soluzione nel sistema O′, ossia

φ′(x′) = e−ip′ΛΛ−1x′ = e−ip

′x′ . (1.25)

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Vediamo così che la legge di trasformazione per p è coerente con la sua interpretazione comequadrimpulso, in questo caso nella forma covariante.

Fissiamo ora una convenzione sulle soluzioni a energia negativa: d’ora in poi indicheremo cone−ipx una soluzione con p0 > 0 mentre con eipx una con p0 < 0. Inoltre indicheremo con f−p leautofunzioni normalizzate a energia negativa; in questo modo si ha la comoda relazione

f−p = f+∗p . (1.26)

Con la notazione introdotta si può calcolare facilmente il prodotto scalare tra soluzioni a energianegativa: si trova infatti

(f−p1f−p2) = i

∫d3x f−∗p1 (x)∂0f

−p2(x) = i

∫d3x f+

p1(x)∂0f+∗p2 (x) = −δ3(p1 − p2), (1.27)

ossia le f− hanno norma negativa rispetto al prodotto scalare introdotto. Si può facilmente dimostrareinfine che vale

(f+p1 , f

−p2) = 0. (1.28)

Questi risultati ci porterebbero a definire una soluzione generale a energia positiva come una sovrap-posizione di f+ nella forma

φ(x) =∫d3p g(p)e

−ipx

N. (1.29)

Una teoria di questo tipo è accettabile nel caso di particelle libere, ma si può dimostrare che falliscenon appena viene introdotta una qualunque interazione: infatti tale interazione mescola le solu-zioni a energia positiva con quelle a energia negativa per cui la forma (1.29) non si conserverebbenell’evoluzione.

L’idea vincente consiste nel considerare le soluzioni dell’equazioni di Klein-Gordon come campiquantistici e mostrare che tali campi possono essere interpretati come insiemi di particelle quantizzate.

1.3 Teoria lagrangianaPoichè, come detto, vogliamo trattare le φ come campi quantistici, dobbiamo sviluppare una teorialagrangiana in grado di fornire equazioni generali per l’evoluzione di tali campi. A tale scopo ef-fettueremo un’estensione della teoria lagrangiana classica utilizzando i campi come gradi di libertàgeneralizzati.

Nella teoria classica si costruisce una lagrangiana funzione delle coordinate, delle velocità e deltempo

L(q, q, t), (1.30)

e una corrispondende azione come integrale della lagrangiana

S =∫dt L(q, q, t). (1.31)

La traiettoria seguita dalla particella è allora quella che soddisfa il principio di Hamilton

δS = 0. (1.32)

Alternativamente si può introdurre il formalismo canonico definendo i momenti come

pi = ∂L

∂qi, (1.33)

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e introducendo la funzione hamiltoniana come

H(p, q, t) =∑i

piqi − L(q, p, t) (1.34)

avendo invertito la relazione (1.33). Nel formalismo canonico la dinamica del sistema è descrittadalle equazioni di Hamilton.

Nel passaggio alla teoria dei campi vogliamo definire un’azione come un’integrale sullo spazio-tempo di una densità lagrangiana

S =∫d4xL(x). (1.35)

Nel caso del campo di Klein-Gordon cercheremo una lagrangiana dipendente dai campi, tale che ilprincipio di azione

δS = 0 (1.36)

implichi che il campo φ debba soddisfare l’equazione di Klein-Gordon.Notiamo che all’interno della definizione di azione sono presenti la forma volume d4x, che trasfor-

ma secondod4x′ = | det Λ|d4x = d4x, (1.37)

e quindi in questo caso è uno scalare, e la densità lagrangiana; per avere una teoria Lorentz invariantevogliamo che l’azione sia uno scalare, quindi dobbiamo richiedere che la densità lagrangiana siaanch’essa uno scalare, ossia che

L′(x′) = L(x) se x′ = Λx (1.38)

.L’azione adatta per il campo scalare è data da

S = 12

∫d4x (∂µφ∂µφ−m2φ2); (1.39)

deduciamo quindi che dalla sua stazionarietà segue l’equazione di Klein-Gordon:

δS = 12

∫d4x(∂µδφ∂µφ+ ∂µφ∂

µδφ− 2m2φδφ) =

=∫d4x(∂µφ∂µδφ−m2φδφ) = 0.

(1.40)

Riarrangiando i termini segue

0 =∫d4x∂µ[(∂µφ)δφ]− (∂µ∂µφ)δφ−m2φδφ. (1.41)

In questa formula notiamo che il primo addendo è interpretabile come il flusso di ∂µφδφ attraversoun’ipersuperficie all’infinito; tale termine è però nullo perchè, per definizione, le variazioni δφ sonoscelte nulle agli estremi. Dall’arbitrarietà di δφ segue l’equazione di Klein-Gordon

(∂µ∂µφ+m2φ) = 0. (1.42)

1.4 Quantizzazione canonicaCerchiamo ora di passare al formalismo canonico. La teoria sviluppata finora tratta sistemi con unnumero infinito di gradi di libertà (il valore del campo in ogni punto dello spazio). Per poter effettuareagevolmente il passaggio al formalismo hamiltoniano supporremo inizialmente di poter approssimare

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il sistema fino ad avere una quantità numerabile di gradi di libertà; in un particolare sistema inerzialedividiamo quindi tutto lo spazio in celle di dimensione ∆V , e fissiamo un certo punto xi in ogni cella.Approssimiamo quindi il campo in una cella con

φk(t) = 1∆V

∫cella k

d3xφ(x, t), (1.43)

ossia la sua media sulla cella. Con queste posizioni possiamo scrivere l’azione come

S =∫dt∑k

∆V L(φk(t), φk(t), φk+w(t), t), (1.44)

dove k + w indica le celle vicine alla k-esima, necessarie per valutare le derivate spaziali delle φ. Aquesto punto si possono definire i momenti coniugati

pi = ∂L∂φi

∆V ; (1.45)

nel caso della lagrangiana del campo scalare introdotta prima si ottiene

pi = ∆V φi. (1.46)

Note le variabili e i momenti coniugati si possono definire gli operatori corrispondenti e imporre dellerelazioni di commutazione; nel caso discreto si ha

[φi(t), φj(t)] = 0[pi(t), pj(t)] = 0

[φi(t), pj(t)] = iδij.(1.47)

Cerchiamo ora di effettuare il passaggio al continuo: matematicamente questo può essere fattoprendendo il limite ∆V → 0. Possiamo dimostrare (in modo non stringente) che la relazione dicommutazione che si ottiene è

[φ(x, t), φ(y, t)] = iδ(x− y); (1.48)per fare questo è sufficiente mostrare che

δij

∆V∆V→0−−−−→ δ(x− y). (1.49)

Prendiamo quindi una funzione F (x) di prova e discretizziamola tramite la costruzione effettuatasopra fino a ottenere un valore Fr per ogni cella. Abbiamo che

1∆V

∑s

∆V δrsFs = Fr. (1.50)

Passando al limite ∆V → 0 l’equazione sopra diventa∫d3xF (x)g(x− y) = F (y). (1.51)

Ma dalla definizione di delta di Dirac vediamo che vale proprio

g(x− y) = δ(x− y). (1.52)

Quindi possiamo scrivere le relazioni di commutazione per i campi nella forma continua

[φ(x, t), φ(y, t)] = 0[φ(x, t), φ(y, t)] = 0

[φ(x, t), φ(y, t)] = iδ(x− y).(1.53)

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In precedenza avevamo trovato che le funzioni f+p e f−q erano particolari soluzioni con ben definito

impulso; possiamo quindi scrivere la soluzione generale come sovrapposizione

φ(x) =∫d3p

(apf

+p (x) + bpf

−p (x)

). (1.54)

Poichè vogliamo che φ sia un campo scalare, dobbiamo imporre bp = a∗p; possiamo quindi riscrivereil campo come

φ =∫d3p

(apf

+p (x) + a∗pf

−p (x)

). (1.55)

Per passare alla teoria quantistica dobbiamo rendere il campo un operatore, ossia rendere a e a+

operatori a loro volta. Il campo quantistico diventa

φ =∫d3p

(apf

+p (x) + a+

pf−p (x)

). (1.56)

Se imponiamo delle condizioni periodiche al contorno di un volume V possiamo sostituire l’integralesulle p con una somma su impulsi discreti.

Consideriamo il caso della meccanica quantistica, supponiamo che l’universo sia racchiuso in unvolume V = L3, e imponiamo che le funzioni d’onda siano periodiche di periodo L

ψ(x+ L) = ψ(x). (1.57)

Vogliamo che l’operatore impulso p = −i ∂∂x

sia autoaggiunto, ossia che

(ψ, pφ) = (pψ, φ), ∀φ, ψ. (1.58)

Tradotto nel linguaggio delle funzioni d’onda significa che il termine al finito nell’integrazione perparti deve annullarsi

−iψ∗φ|L0 = 0; (1.59)

vediamo quindi che la condizione (1.57) rende automaticamente l’impulso autoaggiunto.Risolvendo l’equazione agli autovalori per l’impulso risulta che gli autovalori sono discretizzati

secondopL

= 2πn, n ∈ N, (1.60)

inoltre il prodotto scalare tra diverse autofunzioni risulta

1L

∫ L

0exp

(−ipn1x

)exp

(ipn2x

)dx = δn1n2 (1.61)

Vediamo quindi che nel limite V →∞ il modello ad impulsi discreti approssima il modello a impulsicontinui.

Consideriamo ora il caso dell’equazione di Klein-Gordon: con le condizioni imposte le soluzioninormalizzate diventano

f+p (x) = 1

√2ωp√Ve−ipx, (1.62)

mentre la soluzione generale non si scrive più come integrale sugli impulsi, bensì come somma

φ(x, t) =∑

p

[apf

+p (x) + a+

pf−p (x)

]. (1.63)

D’ora in poi potremo scegliere di volta in volta se usare il modello discreto o quello continuo.

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Mettiamoci ora, ad esempio, nel modello discreto; possiamo scrivere l’operatore aq come proie-zione della soluzione generale su una soluzione a ben definito impulso secondo

(f+

p , φ)

= aq, aq = i∫d3x

1√V 2ωq

eiqx/←→∂ 0φ(x, t). (1.64)

Cerchiamo di calcolare il commutatore tra due a con differenti impulsi.

[aq, ap] = −∫d3x

∫d3y

[f+∗q (x)φ(x, t)− iq0 1√

(2π)3ωqeiqxφ(x, t),

f+∗p (y)φ(y, t)− ip0 1√

(2π)3ωpeipyφ(y, t)] =

= −∫d3x

∫d3y

×−ip0f+∗

q (x)f+∗p (y)

[φ(x, t), φ(y, t)

]− iq0f+∗

q f+∗p

[φ(x, t), φ(y, t)

].

(1.65)

Se ora usiamo le relazioni di commutazione (1.53) per i campi, possiamo, grazie alla delta, eliminareun’integrazione e scrivere

[aq, ap] = −∫d3x

[−p0f+∗

q (x)f+∗p (x) + q0f+∗

q (x)f+∗p (x)

]= 0, (1.66)

poichè sappiamo che f+ ⊥ f− = f+∗.Con calcoli analoghi si possono trovare tutte le relazioni di commutazione per a e a+ che si

riassumono in[aq, ap] = [a+

q , a+p ] = 0

[ap, a+q ] = δ3(p− q).

(1.67)

Vediamo quindi che il modello assunto equivale ad avere ∞3 oscillatori armonici indipendenti, unoper ogni punto dello spazio. L’interpretazione che daremo consiste nel trattare a+

pap, ossia il numerodi quanti presenti per l’oscillatore armonico p, come il numero di particelle presenti con impulsotridimensionale p.

1.5 Teorema di NoetherIl teorema di Noether in ambito lagrangiano afferma che se la lagrangiana possiede una simmetria,allora esiste una corrispondente quantità che si conserva lungo la traiettoria del moto. Cerchiamo diapplicare questo teorema al caso del campo scalare, inizialmente per quanto riguarda le traslazionispaziotemporali.

Una traslazione nello spazio-tempo è una trasformazione del gruppo di Poincarè defnita da

x′µ = xµ + aµ. (1.68)

Sappiamo che per definizione di campo scalare, sotto questa trasformazione si deve avere

φ′(x′) = φ(x). (1.69)

Risulta conveniente considerare soltanto il caso di traslazioni infinitesime, così da poter sviluppare alprimo ordine tutte le grandezze; nel nostr caso la condizione si traduce semplicemente nel richiedere

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che le aµ siano infinitesimi del primo ordine in xµ. Si può comunque dimostrare che trasformazionifinite sono sempre ottenibili componendo trasformazioni infinitesime.

L’invarianza della lagrangiana si può scrivere nella forma

0 = L′(x′)− L(x) = L′(x′)− L′(x) + L′(x)− L(x). (1.70)

I primi due addendi possono essere riscritti come l’incremento della lagrangiana primata al variaredel punto; d’altra parte poichè sto considerando variazioni del primo ordine si può confondere lalagrangiana primata con quella non primata. Segue

0 = aµ∂µL(x) + L′(x)− L(x); (1.71)

rimangono da valutare gli ultimi due addendi che rappresentano la variazione della lagrangiana nelpassaggio da campi non primati a campi primati. Poichè per definizione di campo scalare vale

φ′(x′) = φ(x) = φ′(x+ a), (1.72)

possiamo scrivereφ′(x) = φ(x− a) ' φ(x)− aµ∂µφ(x), (1.73)

da cuiδφ(x) = −aµ∂µφ(x). (1.74)

Tenendo presente questo risultato possiamo sviluppare la variazione della lagrangiana

0 = aµ∂µL(x) + ∂L∂φ

δφ+ ∂L∂∂µφ

δ∂µφ =

= aµ∂µL(x) + ∂L∂φ

δφ+ ∂L∂∂µφ

∂µδφ.

(1.75)

Ora imponiamo che siano valide le equazioni del moto di Eulero-Lagrange

∂L∂φ− ∂µ ∂L

∂∂µφ= 0. (1.76)

Sostituendo si ottiene0 = aµ∂µL(x) + ∂µ

∂L∂∂µφ

δφ+ ∂L∂∂µφ

∂µδφ, (1.77)

dove negli ultimi due addendi possiamo riconoscere la derivata di un prodotto. Raggruppando i duetermini otteniamo quindi

0 = aµ∂µL(x) + ∂µ(∂L∂∂µφ

δφ

)(1.78)

e ora nell’ultimo addendo è presente la 4-divergenza di un 4-vettore. Anche il primo addendo puòessere scritto in tale forma utilizzando la metrica per alzare l’indice alla derivata; inoltre possiamosostituire a δφ la (1.74). Ciò che si ottiene è

aν∂µ(gµνL −

∂L∂∂µφ

∂νφ

)= 0. (1.79)

Definendo il tensore energia-impulso canonico come

Tµν = ∂L∂∂µφ

∂νφ− gµνL, (1.80)

11

possiamo esprimere la legge di conservazione nella forma

∂µTµν = 0. (1.81)

Integrandola vediamo che esistono 4 cariche (tante quanti sono i generatori indipendenti delle tra-slazioni) conservate nel tempo lungo le equazioni del moto

P ν =∫d3x T 0ν ; (1.82)

infatti si ha che∂0P

ν =∫d3x ∂0T

0ν = −∫d3x ∂iT iν =

∫dΣ Tν · n = 0, (1.83)

dove l’ultimo passaggio vale se si fa l’ipotesi usuale che i campi si annullino abbastanza velocementeall’infinito.

Analizziamo meglio queste quantità conservate: per definizione si ha che

P 0 =∫d3x T 00, T 00 = ∂L

∂φφ− L. (1.84)

Se definiamo la densità di momento coniugato tramite l’estensione del caso classico

π(x) = ∂L∂φ

, (1.85)

vediamo che possiamo scrivereT 00 = πφ− L = H, (1.86)

ossia T 00 coincide con la densità di hamiltoniana, purchè venga espresso in termini di φ e π.Le altre componenti del 4-vettore conservato rappresentano le tre componenti spaziali dell’impulso

P i =∫d3x T 0i =

∫d3x

∂L∂φ

∂iφ. (1.87)

Nel caso del campo scalare libero, che aveva lagrangiana

L = 12∂µφ ∂

µφ− m2

2 φ2 = 12 φ

2 − 12(∇φ)2 − m2

2 φ2, (1.88)

si può trovare facilmenteπ(x) = ∂L

∂φ= φ(x) (1.89)

eH =

∫d3x

[πφ− 1

2 φ2 + 1

2(∇φ)2 + m2

2 φ2]

=∫d3x

[π2

2 + 12(∇φ)2 + m2

2 φ2]

(1.90)

1.6 Il campo di Klein-GordonAbbiamo visto che la soluzione generale dell’equazione di Klein-Gordon è scrivibile, nel caso di spettrocontinuo, nella forma

φ(x) =∫ d3p

(2π)3/2√2ωp

[ape

−ipx + a+p e

ipx], (1.91)

con relazioni di commutazione date dalle formule

[ap, ap′ ] = [a+p , a

+p′ ] = 0, [ap, a

+p′ ] = δ(p− p′), (1.92)

12

che, come già detto, descrivono un insieme di oscillatori armonici indipendenti. Se ora, nella (1.91),effettuiamo la divisione naturale

φ = φ+ + φ−, (1.93)e inseriamo φ nella hamiltoniana trovata per il campo scalare, troviamo che dopo l’integrazionesopravvivono solo i termini misti del tipo φ+φ−, poichè gli altri si annullano per l’ortonormalità dellef±. Un possibile termine è

12

∫d3x

[φ+φ− +∇φ+ · ∇φ− +m2φ+φ−

]=

= 12

∫d3x

∫d3p

∫d3p′

1(2π)3√2ωp

√2ωp′(apa

+p′e−ipxeip

′xp0p′0 + apa+p′p · p′e−ipxeip

′x +m2apa+p′e−ipxeip

′x)

=

= 12

∫d3p

12ωp

apa+p

((p0)2 + p2 +m2

)=∫d3p

ωp

2(apa

+p

).

(1.94)

Alla fine l’hamiltoniana risulta

H =∫d3p

ωp

2(a+

pap + apa+p

), (1.95)

o nella forma discretaH =

∑p

ωp

2(a+

pap + apa+p

). (1.96)

Nel caso del singolo oscillatore armonico quantistico esisteva uno stato |0〉p di vuoto definito dallarelazione

a|0〉p = 0. (1.97)Nel caso del campo quantizzato deve esistere un analogo stato di vuoto

|0〉 =∏p|0〉p (1.98)

definito daap|0〉 = 0, ∀p. (1.99)

Analogamente all’oscillatore, gli stati eccitati si otterranno applicando un certo numero di volte glioperatori di creazione. Ad esempio uno stato con un livello di eccitazione sarà del tipo

a+k |0〉 := |k〉, (1.100)

o una combinazione lineare di stati simili.Se, utilizzando le relazioni di commutazione, riscriviamo l’hamiltoniana nella forma

H =∑

pωp

(a+

pap + 12

), (1.101)

possiamo calcolare l’energia dello stato di vuoto

H|0〉 =∑

p

12ωp|0〉 (1.102)

che fornisce un assurdo risultato infinito. Poichè in fisica si è interessati solo a differenze di energia,possiamo ridefinire la scala dicendo che le energie verranno sempre calcolate rispetto all’energia delvuoto. Questo equivale a imporre che l’hamiltoniana si riduca a

H =∑

pωpa

+pap. (1.103)

13

L’energia degli stati eccitati sarà data da

Ha+k |0〉 = ωka

+k |0〉, ωk =

√m2 + k2. (1.104)

Uno stato del tipo a+k |0〉 rappresenta quindi uno stato a una particella con impulso tridimensionale

k e energia ωk. Il campo di Klein-Gordon rappresenta quindi un insieme con un numero variabile diparticelle; dimostreremo in seguito che queste particelle possiedono spin nullo.

Seguendo lo stesso procedimento con cui abbiamo trovato l’hamiltoniana per questo sistema, èpossibile trovare l’impulso in termini di operatori di creazione e distruzione partendo dall’espressionegenerica

P i =∫d3x φ(x, t)∂φ(x, t)

∂xi. (1.105)

Ciò che si trova alla fine è

P =∑

k

12(a+

k ak + aka+k

)k =

∑ka+

k akk +∑

k

12k. (1.106)

Con considerazioni analoghe a quelle fatte per l’energia del vuoto ridefiniamo l’operatore impulso inmodo da mangiarsi l’impulso del vuoto; otteniamo così

P =∑

ka+

k akk. (1.107)

Si vede immediatamente che l’impulso del vuoto vale zero

P |0〉 = 0 (1.108)

mentre in generale si ha

Pa+k1. . . a+

kn|0〉 = (k1 + . . .kn)a+k1. . . a+

kn|0〉. (1.109)

Lo stato più generale di singola particella è una combinazione lineare del tipo∑kcka

+k |0〉, (1.110)

e, poichè gli stati a+k |0〉 sono normalizzati secondo 〈0|aka

+k |0〉 = 1, possiamo interpretare ck come la

funzione d’onda di prima quantizzazione.Nel caso di due particelle lo stato più generale è un analoga combinazione∑

k1,k2

fk1,k2a+k1a+

k2|0〉. (1.111)

Se effettuiamo la decomposizione di f in parte simmetrica e parte antisimmetrica secondo

fk1,k2 = 12 (fk1,k2 + fk2,k1) + 1

2 (fk1,k2 − fk2,k1) := fsym + fant, (1.112)

e teniamo conto che a+k1a+

k2= a+

k2a+

k1, ossia è simmetrico per lo scambio di indici, vediamo che fant

non fornisce contributo in quanto saturata con un oggetto simmetrico. Deduciamo che la funzioned’onda per particelle scalari deve essere simmetrica, quindi soddisfare la statistica di Bose-Einstein.

Notiamo infine che nel limite V →∞, ossia passando al caso continuo, uno stato a+|0〉 non è piùnormalizzabile in quanto si ottiene

〈0|ap′ap|0〉 = δ3(p− p′). (1.113)

14

1.7 Il momento angolareVogliamo dimostrare che il campo di Klein-Gordon è formato da particelle di spin zero. Per fareciò dobbiamo costruire l’osservabile momento angolare, ossia la quantità conservata corrispondendeall’invarianza per rotazioni spaziotemporali di una lagrangiana.

Sappiamo che per una trasformazione di coordinate x′µ = Λµν x

ν , i campi trasformano secondo

φ′(x′) = φ(x); (1.114)

vogliamo trovare come sono fatte le λ che rappresentano trasformazioni di Lorentz infinitesime.Per una generica trasformazione infinitesima si ha

Λµν = δµν + εµν , (1.115)

dove ε rappresenta la differenza dalla trasformazione identica indicata con il simbolo di Kronecker.Sappiamo che la definizione di trasformazione appartenente al gruppo di Lorentz è

gµνΛµρΛν

σ = gρσ, (1.116)

ossia una trasformazione di Lorentz deve lasciare invariato in componenti il tensore metrico. In-serendo la (1.115) in quest’ultima relazione, e considerando solo i termini del primo ordine, siottiene

gµν εµρ δ

νσ + gµν δ

µρ ε

νσ = 0, (1.117)

ossiagµσ ε

µρ + gµρ ε

µσ = 0, (1.118)

da cui deduciamo che ε deve essere antisimmetrico

εσρ + ερσ = 0. (1.119)

E’ noto che una matrice 4x4 antisimmetrica possiede 6 parametri indipendenti; in questo caso vediamoquindi che una trasformazione di Lorentz infinitesima può essere caratterizzata da 6 parametri, 3 perle rotazioni spaziali e 3 per i boost nelle varie direzioni.

Cerchiamo ora di costruire la corrente conservata corrispondente all’invarianza della lagrangianaper trasformazioni di Lorentz. Come già fatto, possiamo scrivere l’invarianza nella forma

0 = L′(x′)− L(x) = L′(x′)− L′(x) + L′(x)− L(x); (1.120)

con un’interpretazione dei termini analoga a quella fatta in precedenza possiamo scrivere

0 = εµνxν∂µL(x) + ∂L

∂φδφ+ ∂L

∂∂µφδ∂µφ = εµνx

ν∂µL(x) + ∂L∂φ

δφ+ ∂L∂∂µφ

∂µδφ, (1.121)

con δφ(x) = φ′(x)− φ(x). Se adesso usiamo le equazioni del moto di Eulero-Lagrange otteniamo

0 = εµνxν∂µL(x) + ∂µ

∂L∂∂µφ

δφ+ ∂L∂∂µφ

∂µδφ = εµνxν∂µL(x) + ∂µ

(∂L∂∂µφ

δφ

). (1.122)

Poichè si haφ′(x′) = φ′(Λx) = S(Λ)φ(x), con S(Λ) ' I + 1

2εµνM

νµ (1.123)

abbiamo cheφ′(x) = S(Λ)φ(Λ−1x) ' φ(x) + 1

2εµνM

νµφ(x)− ∂µφεµνxν , (1.124)

15

avendo usato (Λ−1)µν ' δµν − εµν . Segue quindi che

δφ(x) = 12ε

µνM

νµφ(x)− ∂µφεµνxν , (1.125)

e, alzando un indice per comodità, la (1.122) diventa

∂µ(εµνx

νL+ ∂L∂∂µφ

(12ερσM

ρσφ(x)− ερσxσ∂ρφ))

= 0. (1.126)

Notiamo che nell’espressione precedente abbiamo invertito ∂µ con xµ: ciò è lecito in quanto sonosaturati con εµν che è un oggetto antisimmetrico.

La tentazione a questo punto è di semplificare ε da tutta l’espressione, però tale operazionenon è legale in quanto ε è una quantità antisimmetrica e, semplificandolo, perderei informazioninell’equazione. E’ quindi necessario antisimmetrizzare prima di semplificare.

L’antisimmetrizzazione del primo addendo è12ερν (∂ρxν − ∂νxρ)L = ∂µ

12ερν

(xνgρµ − xρgνµ

)L. (1.127)

Nel secondo addendo possiamo decidere di prendere Mµν antisimmetrico fin dall’inizio (una suaeventuale parte simmetrica si annullerebbe una volta saturata con ε). Il terzo addendo diventa

−εµν2 (∂µφxν − ∂νφxµ) . (1.128)

Sostituendo si ottiene

∂µ

12ερν

(xνgρµ − xρgνµ

)L+ 1

2ερν∂L∂∂µφ

Mρνφ− 12∂L∂∂µφ

ερν (∂ρφxν − ∂νφxρ)

= 0, (1.129)

che, se recuperiamo il tensore energia impulso definito da

T νµ = ∂L

∂∂µφ∂νφ− gνµL, (1.130)

possiamo riscrivere nella forma più intuitiva

∂µ

12ερν

[(xρT ν

µ − xνT ρµ

)+ ∂L∂∂µφ

Mρνφ

]= 0 (1.131)

Semplificando ερσ si ottengono 6 equazioni della forma

∂µM[νρ]µ = 0, (1.132)

conM[νρ]

µ :=(xρT ν

µ − xνT ρµ

)+ ∂L∂∂µφ

Mρνφ (1.133)

dove le quadre indicano cheM è antisimmetrico nei due indici. In quest’ultima espressione possia-mo riconoscere che il primo addendo rappresenta il momento angolare orbitale, mentre il secondorappresenta il momento angolare intrinsico, o di spin.

Come sempre per il teorema di Noether, l’integrale della componente temporale della correnteconservata fornisce una quantità costante lungo le equazioni del moto. In questo caso, concentrandosisugli indici spaziali diM[νρ]

0, si ottiene la conservazione del momento angolare totale: ad esempio lacomponente lungo l’asse x è data da

J1 =∫d3xM[23]

0 =∫d3x

[(x2T 3

0 − x1T 20

)+ ∂L∂∂0φ

M23φ

]. (1.134)

16

Nel caso specifico del campo scalare, sappiamo che si deve avere Mρν = 0, quindi il termine di spin èassente. Vediamo quindi che il campo scalare rappresenta un campo di particelle a spin 0. Un altromodo per convincersi di ciò consiste nel vedere che lo stato rappresentante una particella scalare ariposo

a+k=0|0〉 (1.135)

è autostato dell’operatore momento angolare con autovalore 0, ossia

τ [µν]a+k=0|0〉 :=

(∫d3xM[µν]

0

)a+

k=0|0〉 = 0. (1.136)

Possiamo infine dimostrare che il momento angolare trasforma come uno pseudovettore; possiamoinfatti definire il vettore momento angolare totale come

Ji = εijkτjk. (1.137)

Sappiamo che il tensore τ trasforma, sotto una matrice ortogonale R (RtR = I), secondo la legge

T jk = RjlR

km T

lm; (1.138)

inoltre la legge di trasformazione per il tensore di levi civita è

εijkRilRjmRkn = detRεlmn, (1.139)

avendo usato una possibile definizione del determinante di una matrice. Poichè, per una matriceortogonale, detR = ±1, vediamo che la legge di trasformazione di Ji è

Ji = (detR)R li Jl, (1.140)

ossia quella di uno pseudovettore. Notiamo infine che la legge di conservazione per J i equivale,classicamente all’equazione

∂J i

∂t+ J i, H = 0; (1.141)

d’altra parte non possiamo dedurne che per gli operatori valga[J i, H

]= 0, (1.142)

in quanto, in generale, il momento angolare può dipendere esplicitamente dal tempo.

1.8 Relazioni di commutazione covariantiCerchiamo ora di estendere le (1.53) in una forma manifestamente covariante e non per tempi neces-sariamente uguali. Se riprendiamo la decomposizione φ(x) = φ+(x) + φ−(x), dove φ+ contiene solooperatori di distruzione, e φ− solo quelli di creazione, deduciamo immediatamente che[

φ+(x), φ+(y)]

=[φ−(x), φ−(y)

]= 0 (1.143)

in quanto contengono rispettivamente solo operatori di distruzione o creazione. Possiamo quindiscrivere

[φ(x), φ(y)] =[φ+(x), φ−(y)

]+[φ−(x), φ+(y)

](1.144)

17

Possiamo calcolare il commutatore dall’espressione (1.91)

[φ+(x), φ−(y)

]=∫ d3k

(2π)3/2√2ωke−ikx

∫ d3p(2π)3/2√2ωp

eipy[ak, a

+p

]=

=∫ d3pd3k

(2π)3√4ωkωpe−ikxeipyδ3(k− p) =

∫ d3p(2π)32ωp

e−ip(x−y).

(1.145)

Se introduciamo la funzione ∆+ come

∆+(x− y) = −i∫ d3p

(2π)32ωpe−ip(x−y), (1.146)

possiamo scrivere [φ+(x), φ−(y)

]= i∆+(x− y). (1.147)

Con una derivazione analoga si può trovare la relazione[φ−(x), φ+(y)

]= i∆−(x− y), (1.148)

dove ∆− è definita dalla relazione

∆−(x− y) = i∫ d3p

(2π)32ωpeip(x−y) = −∆+(y − x). (1.149)

Se definiamo una nuova funzione ∆(x) come somma delle due appena trovate

∆(x) = ∆+(x) + ∆−(x) = −∫ d3k

(2π)3ωksin kx (1.150)

vediamo che possiamo scrivere il commutatore per eventi generici nella forma

[φ(x), φ(y)] = i∆(x− y). (1.151)

Notiamo che ∆ soddisfa l’equazione di Klein-Gordon

(x +m2)∆(x− y) = 0; (1.152)

inoltre è possibile scriverla in una forma molto comune

∆(x) = −i∫ d4k

(2π3)δ(k2 −m2)ε(k0)e−ikx, (1.153)

doveε(k0) = k0

|k0|. (1.154)

L’uguaglianza delle due espressioni può essere dedotta espandendo la δ

δ(k2 −m2) = δ(k20 − k2 −m2) = δ(k2

0 − ω2k) = 1

2ωk[δ(k0 + ωk) + δ(k0 − ωk)] , (1.155)

ed effettuando l’integrazione rispetto a k0

∆(x) = −i∫ d3k dk0

(2π3)1

2ωk[δ(k0 + ωk) + δ(k0 − ωk)] ε(k0)e−ikx =

= −i∫ d3k

(2π)31

2ωk

[e−ikx − eikx

]= −

∫ d3k(2π)3

1ωk

sin kx.(1.156)

18

Dalla (1.153) possiamo notare che la funzione ∆ è perfettamente invariante per trasformazioni diLorentz, in quanto tali sono tutti i termini che vi compaiono (ε(k0) è invariante per trasformazionidi Lorentz proprie). Da tale invarianza della funzione ∆ deduciamo che le relazioni di commutazione(1.151) sono invarianti in forma sotto trasformazioni di Lorentz.

In particolare, poichè sapevamo che

[φ(x, t), φ(y, t)] = 0, (1.157)

ossia che i campi commutano se presi allo stesso istante di tempo, possiamo dedurre che

[φ(x), φ(y)] = i∆(x− y) = 0 se (x− y)2 < 0. (1.158)

Questo risultato è noto come microcausalità: i campi in eventi separati da un vettore di tipo spaziocommutano, quindi le loro misure sono indipendenti; la microcausalità è richiesta affinchè non sipossano propagare segnali più veloce della luce ossia affinchè si abbia una teoria causale.

Possiamo infine enunciare un ulteriore modo spesso utile per scrivere le funzioni ∆. Infatti si puòscrivere

∆±(x) = −1(2π)4

∫C±

d4k e−ikx

k2 −m2 , (1.159)

dove C± sono cerchi intorno ai poli rispettivamente in k0 = ±ωk, avendo esteso k0 al piano complesso.Usando il teorema dei residui si può effettuare l’integrazione in k0 e ritrovare la definizione precedente(1.146). La funzione ∆ invece è rappresentata dallo stesso integrale ma lungo un contorno chiusoracchiudente entrambi i poli.

1.9 Il propagatore del campo scalareScopo di questa sezione è quello di calcolare il propagatore per il campo di Klein-Gordon. L’impor-tanza e l’utilità dei propagatori saranno chiare quando calcoleremo i processi più semplici tramite lateoria perturbativa.

Dati due campi, se ne può definire il T-prodotto, o prodotto tempo-ordinato, come

T (φ(x)φ(y)) =

φ(x)φ(y) se x0 > y0

φ(y)φ(x) se y0 > x0.

(1.160)

Evidentemente il T-prodotto di due campi può essere scritto anche nella forma

T (φ(x)φ(y)) = θ(x0 − y0)φ(x)φ(y) + θ(y0 − x0)φ(y)φ(x). (1.161)

Definiamo ora un’ulteriore funzione delta detta delta di Feynman:

i∆F (x− y) := 〈0|T (φ(x)φ(y))|0〉; (1.162)

il secondo membro di questa definizione coincide con ciò che viene chiamato il propagatore del camposcalare.

Valutiamo ora come si comporta il propagatore rispetto all’operatore di Klein-Gordon (+m2);preventivamente calcoliamo la derivata prima e la derivata seconda rispetto ad x0 del prodottotempo-ordinato

∂0x(T (φ(x)φ(y))) = ∂0

x

(θ(x0 − y0)φ(x)φ(y) + θ(y0 − x0)φ(y)φ(x)

)=

= θ(x0 − y0)φ(x)φ(y) + θ(y0 − x0)φ(y)φ(x) + δ(x0 − y0)[φ(x), φ(Y )] == θ(x0 − y0)φ(x)φ(y) + θ(y0 − x0)φ(y)φ(x),

(1.163)

19

avendo usato le relazioni di commutazione a tempi uguali (1.53)

∂0x∂

0x (T (φ(x)φ(y))) = ∂0

x

(θ(x0 − y0)φ(x)φ(y) + θ(y0 − x0)φ(y)φ(x)

)=

= θ(x0 − y0)φ(x)φ(y) + θ(y0 − x0)φ(y)φ(x) + δ(x0 − y0)[φ(x), φ(y)

]=

= θ(x0 − y0)φ(x)φ(y) + θ(y0 − x0)φ(y)φ(x)− iδ(x0 − y0)δ(x− y).

(1.164)

Inoltre si vede immediatamente che vale

∇2 (T (φ(x)φ(y))) = θ(x0 − y0)(∇2φ(x)

)φ(y) + θ(y0 − x0)φ(y)

(∇2φ(x)

). (1.165)

Unendo questi risultati possiamo scrivere( +m2

)〈0|T (φ(x)φ(y))|0〉 =

= 〈0|T[(

+m2)φ(x)

]φ(y)

|0〉 − iδ4(x− y) = −iδ4(x− y),

(1.166)

poichè φ(x) è soluzione dell’equazione di Klein-Gordon. Il risultato trovato mostra che il propagatorecoincide con la funzione di Green per l’equazione di Klein-Gordon. Se infatti consideriamo l’equazionenon omogenea (

+m2)φ(x) = J(x), (1.167)

possiamo definire la funzione di Green come la soluzione di( +m2

)G(x− y) = δ4(x− y). (1.168)

Nota la funzione di Green, si può sempre scrivere la soluzione generale come

φ(x) =∫dyG(x− y) J(y) + φ0(x), (1.169)

con φ0 soluzione qualsiasi dell’equazione omogenea.Nel nostro caso vediamo che la delta di Feynman soddisfa(

+m2)

∆F (x− y) = −δ4(x− y); (1.170)

in linea con un metodo che si può seguire nel calcolo delle funzioni di Green possiamo supporre che∆F sia trasformabile alla Fourier secondo

∆F (x− y) =∫ d4k

(2π)4 ∆F (k) e−ikµ(x−y)µ . (1.171)

Inserendo nell’equazione (1.170) troviamo

−δ4(x− y) =( +m2

)∆F (x− y) = −

∫ d4k

(2π)4 ∆F (k) (k2 −m2) e−ikµ(x−y)µ , (1.172)

da cui, utilizzando l’espressione della delta di Dirac come trasformata di Fourier dell’onda piana,possiamo dedurre

∆F (k) = 1k2 −m2 , (1.173)

e∆F (x− y) =

∫ d3k

(2π)41

k2 −m2 e−ik(x−y). (1.174)

Quest’ultimo integrale ha però, come già notato, due poli semplici per k0 = ±ωk. Per calcolarlo èpossibile estendere k0 al piano complesso ed usare il teorema dei residui. A seconda di quali e quantiresidui vengono inclusi nel contorno d’integrazione, e in quale semipiano si considera, si ottengono 4diverse soluzioni: quella ritardata, quella anticipata, quella del T-prodotto e del T-antiprodotto.

20

1.10 Il campo di Klein-Gordon non hermitianoÈ possibile considerare anche un campo di Klein-Gordon non hermitiano, ossia per cui non valgaφ = φ+. Il campo più generale può essere quindi scritto nella forma

φ(x) =∫ d3p

(2π)3/2√2ωp

(ape

−ipx + b+p e

ipx). (1.175)

Vogliamo trattare φ+ come un diverso grado di libertà; poniamo quindi φ := φ+. Voglio che entrambii campi siano campi scalari, ossia soluzioni dell’equazione di Klein-Gordon. Quindi cerchiamo unalagrangiana che implichi le equazioni (

+m2)φ(x) = 0(

+m2)φ(x) = 0.

(1.176)

La lagrangiana che fa al caso nostro è

L = ∂µφ ∂µφ−m2φ φ; (1.177)

infatti una sua variazione è

δL = ∂µ(δφ)∂µφ+ ∂µφ ∂µ (δφ)−m2φ δφ−m2δφ φ. (1.178)

Poichè i due campi sono indipendenti possiamo considerare una variazione del solo campo φ. Inte-grando per parti il primo termini si ottiene

δL = δφ(−∂µ∂µφ−m2φ

). (1.179)

Ponendo la variazione di azione uguale a zero si ottiene esattamente l’equazione di Klein-Gordon.Con un procedimento analogo si ottiene anche la stessa equazione per φ.

Le regole di commutazione per il campo non hermitiano sono

[φ(x), φ(y)]x0=y0 =[φ(x), φ(y)

]x0=y0

=[φ(x), φ(y)

]x0=y0

= 0; (1.180)

se introduciamo le densità di momento canonico come

πφ = ∂L∂φ

= ˙φ πφ = ∂L∂ ˙φ

= φ, (1.181)

possiamo scrivere anche[πφ(x), πφ(y)]x0=y0 = 0

[πφ(x), φ(y)] ≡ [ ˙φ(x), φ(y)] = −iδ(x− y).(1.182)

Utilizzando l’espressione (1.175) possiamo trovare le regole di commutazione per ap e b+p ; le uniche

coppie di operatori a commutatore non nullo sono

[ap, a+p′ ] = [bp, b

+p′ ] = δ(p− p′). (1.183)

Possiamo interpretare a e b come operatori di distruzione per due set di oscillatori armonici indipen-denti; il campo di Klein-Gordon non hermitiano è quindi formato da particelle di tipo a e di tipo b;lo stato fondamentale è definito dalle relazioni

ap|0〉 = bp|0〉 = 0, (1.184)

21

ossia è privo di particelle di qualunque tipo. Notiamo che gli stati con particelle di tipo a sonoortogonali a quelli con particelle di tipo b; infatti, ad esempio per stati ad una particella si ha

〈0|bp a+k′ |0〉 = 〈0|a+

k′ bp|0〉 = 0. (1.185)

La densità hamiltoniana si costruisce secondo

H(x) = πφ φ+ πφ˙φ− L. (1.186)

Considerando campi classici, così da non doversi preoccupare dell’ordinamento, l’hamiltoniana è

H =∫d3x

(2 ˙φ φ− ˙φ φ+∇φ∇φ+m2φ φ

)=∫d3x

(˙φ φ+∇φ∇φ+m2φ φ

); (1.187)

inserendo l’espressione (1.175) ed effettuando le integrazioni, si trova

H =∫d3p

(a+

pap + b+pbp)ωp. (1.188)

Nel caso quantistico si trova lo stesso risultato ma è necessario utilizzare il prodotto bene ordinato.Possiamo notare facilmente che la lagrangiana (1.177) possiede un’invarianza di gauge che non è

presente nel caso hermitiano: essa infatti non varia in forma rispetto alla trasformazione

φ 7→ eiαφ, φ 7→ e−iαφ. (1.189)

Tale simmetria è ovviamente a un parametro (α) e, per il teorema di Noether, porterà ad unasingola legge di conservazione. Cerchiamo quindi di trovare un’espressione per la quantità conservata.L’invarianza della lagrangiana si scrive come sempre

L′(x′)− L(x) = 0; (1.190)

d’altra parte x′ = x in quanto la trasformazione agisce solo sui campi, non sulle coordinate. Segue

L′(x)− L(x) = 0, (1.191)

ossia, espandendo nelle variazioni dei campi,

0 = ∂L∂φ

δφ+ ∂L∂φ

δφ+ ∂L∂∂µφ

δ (∂µφ) + ∂L∂∂µφ

δ(∂µφ

). (1.192)

Come sempre possiamo permutare i simboli δ e ∂µ e usare le equazioni del moto

∂L∂φ

= ∂µ∂L∂∂µφ

, (1.193)

e l’analoga per φ. Quello che si ottiene è

0 =(∂µ

∂L∂∂µφ

)δφ+

(∂µ

∂L∂∂µφ

)δφ+ ∂L

∂∂µφ∂µδφ+ ∂L

∂∂µφ∂µδφ =

= ∂µ(∂L∂∂µφ

δφ+ ∂L∂∂µφ

δφ

).

(1.194)

Sappiamo inoltre che, per una trasformazione di gauge infinitesima, possiamo espandere in seriel’esponenziale presente nelle trasformazioni e scrivere

δφ = iαφ δφ = −iαφ. (1.195)

22

Sostituendo otteniamo

0 = ∂µ(∂L∂∂µφ

iαφ− ∂L∂∂µφ

iαφ

)= ∂µ

(∂L∂∂µφ

iφ− ∂L∂∂µφ

iφ

). (1.196)

Quindi la quadricorrente Jµ, che possiamo definire nelle forme

Jµ := i

(∂L∂∂µφ

φ− ∂L∂∂µφ

φ

)= i

[(∂µφ

)φ− (∂µφ) φ

]= −iφ←→∂µφ, (1.197)

soddisfa la legge di conservazione∂µJµ = 0. (1.198)

La carica conservata lungo le equazioni del moto è quindi

Q =∫d3xJ0(x, t) =

∫d3p

a+

pap − b+p bp

. (1.199)

Possiamo interpretare fisicamente tale conservazione dicendo che la differenza tra il numero totale diparticelle di tipo a e di tipo b deve restare costante nel tempo. Quando considereremo l’interazioneelettromagnetica vedremo che tale carica conservata coinciderà con la carica elettrica.

23

Capitolo 2

Il campo elettromagnetico

2.1 Le equazioni di Maxwell in forma covarianteSappiamo che l’elettrodinamica classica è riassumubile nel set di equazioni covarianti∂νF

µν(x) = Jµ(x)∂µFρσ + ∂ρFσµ + ∂σFµρ = 0

, (2.1)

dove Jµ = (ρ, j) è il quadrivettore densità di carica mentre F µν è il tensore di Faraday. Se in-troduciamo il tensore duale come F µν = εµνρσFρσ possiamo scrivere la seconda equazione nellaforma

∂νFµν = 0. (2.2)

Osserviamo che la prima equazione di Maxwell (quella inomogenea) è perfettamente covariante perqualsiasi trasformazione di coordinate; la seconda invece, poichè richiede l’introduzione del tensoreduale e quindi di poter alzare e abbassare gli indici, è covariante solo rispetto al gruppo di Lorentz.

Sappiamo anche che se introduciamo il potenziale vettore Aµ = (φ,A), definito dalla relazione

Fµν = ∂νAµ − ∂µAν , (2.3)

allora le equazioni di Maxwell sono equivalenti a

Aµ − ∂µ(∂νAν) = Jµ. (2.4)

È noto che quest’ultima equazione possiede una libertà di gauge: è infatti invariante per trasforma-zioni del tipo

Aµ 7→ Aµ + ∂µΛ. (2.5)

Poichè stiamo facendo una teoria lagrangiana, in linea con la meccanica classica, saremo costrettia considerare lagrangiane costruite partendo da Aµ e non da E o B. La conseguenza di ciò sarà laperdità dell’unicità della soluzione: a qualunque istante nel tempo è possibile fare una trasformazionedi gauge per ottenere un nuovo potenziale vettore e quindi ricominciare a farlo evolvere.

La gauge più semplice in cui si può lavorare è la gauge di Lorenz, in cui vale la relazione

∂µAµ = 0. (2.6)

Si può vedere che è sempre possibile ridursi ad un campo in gauge di Lorenz, pur di effettuare unatrasformazione di gauge con Λ soluzione di

Λ = −∂µAµ(x), (2.7)

24

che è un’equazione risolubile in quanto sappiamo le funzioni di Green per l’equazione di Klein-Gordon.In gauge di Lorentz le equazioni di Maxwell sono riassunte da

Aµ(x) = Jµ(x), (2.8)

che ha come soluzioneAµ(x) =

∫d3y G(x− y)Jµ(y) + Aµ0(x), (2.9)

dove Aµ0 è una soluzione dell’equazione omogenea, mentre G(x − y) è la funzione di Green, ossia lasoluzione di

G(x− y) = δ4(x− y). (2.10)

Per la derivazione che vogliamo fare risulta più comodo imporre la condizione

divA = 0 (2.11)

detta gauge di radiazione. Come si vede subito tale condizione non è esplicitamente covariante inquanto, sotto trasformazioni di Lorentz, le componenti spaziali e temporale di A si mescoleranno;dopo ogni trasformazione di Lorentz è però possibile effettuare una trasformazione di gauge cheriporta il sistema nella gauge di radiazione.

Cerchiamo ora di capire se effettivamente è sempre possibile mettersi nella gauge di radiazione;sia quindi Aµ tale che divA = 0, ∃A′µ = Aµ + ∂µΛ tale che divA′ = 0? Si vede subito che lacondizione che deve soddisfare Λ è

∆Λ = −divA, (2.12)

ossia l’equazione di Poisson, che sappiamo avere sempre una soluzione.In gauge di radiazione possiamo quindi separare le equazioni di Maxwell inA

i − ∂i∂0A0 = J i

A0 − ∂0∂0A0 = J0 ⇒ −∆A0 = J0 . (2.13)

Nel vuoto la seconda equazione possiede soltanto la soluzione nulla (o almeno la soluzione nulla èl’unica fisicamente accettabile, in quanto si annulla all’infinito), quindi, per J ≡ 0 si ha

A0 = 0, (2.14)

mentre la prima equazione èAi = 0, (2.15)

ossia ogni componente soddisfa l’equazione di Klein-Gordon con massa nulla.

2.2 Teoria lagrangiana del campo elettromagneticoLa lagrangiana per il campo elettromagnetico libero è

L = −14FµνF

µν ; (2.16)

verifichiamo che l’annullarsi della variazione di azione implichi effettivamente le equazioni di Maxwell

0 = δS = −24

∫d4xF µνδFµν =

= −12

∫d4xF µνδ [∂νAµ − ∂µAν ] = −1

2

∫d4xF µν [∂νδAµ − ∂µδAν ] .

(2.17)

25

Integrando per parti otteniamo

0 = 12

∫d4x (∂νF µνδAµ − ∂µF µνδAν) =

∫d4x ∂νF

µν δAµ (2.18)

da cui segue, per l’arbitrarietà della variazione,

∂νFµν = 0. (2.19)

Le altre equazioni di Maxwell sono automaticamente soddisfatte in quanto abbiamo imposto che Fµνsiano quadrirotore del potenziale.

Usando il teorema di Noether si può costruire il tensore energia-impulso del campo elettromagne-tico. Quello che risulta è

T ρσ = ∂L∂∂ρAµ

∂σAµ − gρσL (2.20)

a cui corrisponde il quadrimpulso conservato

P σ =∫d3xT 0σ =

∫d3x

∂L∂Aµ

∂σAµ − g0σL. (2.21)

In particolare la componente temporale del quadrimpulso vale

P 0 =∫d3x

∂L∂Ai

∂0Ai − L. (2.22)

Si vede subito che∂L∂Ai

= F 0i = −Ei; (2.23)

inoltre per definizione si haF 0

i = ∂iA0 − ∂0Ai, (2.24)

da cui∂0Ai = ∂iA

0 − F 0i. (2.25)

Sostituendo troviamo cheP 0 =

∫d3x

(−Ei

(−F 0

i + ∂iA0)− L

); (2.26)

se notiamo infine che possiamo riscrivere la lagrangiana nella forma

L = −14(2F 0iF0i + FijF

ij)

= −14(−2E2 + 2B2

)= 1

2(E2 −B2

), (2.27)

ottieniamo, integrando per parti il termine Ei∂iA0,

P 0 =∫d3x

E2 +

(∂iEi

)A0 − 1

2(E2 −B2

)=∫d3x

12(E2 + B2

). (2.28)

Per il teorema di Noether P 0 è costante lungo le equazioni del moto; lo stesso vale per le componentispaziali del quadrimpulso

P i = 12

∫d3x (E×B)i . (2.29)

Allo stesso è possibile costruire il momento angolare; avevamo visto che un campo generico, peruna trasformazione di Lorentz Λ delle coordinate, trasforma come

φ′(x′) = S(Λ)φ(x), con S(Λ)ρσ = Iρσ + 12εµνM

µνρσ, (2.30)

26

dove, per una trasformazione infinitesima, si ha

Λρσ = δρσ + ερσ, (2.31)

con ερσ = −εσρ Cerchiamo di trovare un’espressione esplicita, nel caso del campo elettromagnetico,delle matrici Mµν

ρσ.Poichè il campo elettromagnetico è rappresentato da un vettore Aµ, sappiamo che trasforma in

generale secondoA′ρ(x′) = Λρ

σAσ(x) al I ordine= Aρ(x) + ερσA

σ(x), (2.32)

mentre dalla (2.30) vediamo che

A′ρ(x′) = Aρ(x) + 12εµνM

µνρσA

σ(x), (2.33)

e, confrontando, troviamo12εµνM

µνρσ = ερσ = gρµ g ν

σ εµν . (2.34)

Prima di poter semplificare ε, bisogna tenere conto dell’antisimmetria, e quindi antisimmetrizzare ilsecondo membro; otteniamo quindi

εµνMµνρ

σ = (gρµ g νσ − gρν g µ

σ ) εµν . (2.35)

Abbiamo così trovato che valeMµνρ

σ = gρµ g νσ − gρν g µ

σ . (2.36)

2.3 Quantizzazione del campo elettromagneticoCerchiamo ora di arrivare ad una teoria quantizzata del campo elettromagnetico. Notiamo fin d’orache, se usiamo la lagrangiana (2.16), ci scontriamo subito con un grosso problema: infatti definendo,come al solito, il momento coniugato come

πµ = ∂L∂Aµ

, (2.37)

si vede che la componente temporale si annulla identicamente

π0 = ∂L∂A0

≡ 0. (2.38)

D’altra parte questo è, se non altro, prevedibile, in quanto, se il formalismo canonico fosse com-pletamente applicabile potremmo predire con certezza l’evoluzione completa del campo Aµ, mentreabbiamo visto che è possibile perturbare tale evoluzione effettuando, a qualunque istante del tempo,una trasformazione di gauge.

Se ci mettiamo nella gauge di Lorenz, l’azione risulta

S = −14

∫d4x (∂νAµ − ∂µAν) (∂νAµ − ∂µAν) = −1

2

∫d4x (∂νAµ∂νAµ − ∂µAν∂νAµ) , (2.39)

e si può vedere che, imponendo la condizione di gauge, e proseguendo, si ottiene una teoria nonequivalente all’elettrodinamica; sarebbero infatti presenti degli ulteriori gradi di libertà non fisici,mentre solo un sottospazio di Hilbert dello spazio in cui vive la teoria descriverebbe l’elettrodinamica.

27

Come detto, noi ci metteremo nella gauge di radiazione divA = 0; come abbiamo già dimostrato,in gauge di radiazione, le equazioni di Maxwell libere sono riassunte da

A0 = 0divA = 0A = 0

. (2.40)

Imponiamo che ogni componente Ai sia soluzione dell’equazione di Klein-Gordon con massa nulla

A(x, t) =∫d3p

1(2π)3/2

√2|p|

(αpe

−ipx +α∗peipx), (2.41)

dove gli α sono dei vettori tridimensionali che dobbiamo fissare imponendo la condizione divA = 0

divA =∫d3p

1(2π)3/2

√2|p|

(−ip ·αpe

−ipx + ip ·α∗peipx)

= 0, (2.42)

da cui seguep ·αp = 0. (2.43)

Scegliamo come αp, per ogni p, due vettori indipendenti e ortonormali ε1(p), ε2(p) tali che la ternap, ε1(p), ε2(p) sia una terna ortonormale destrorsa. Possiamo quindi scrivere il campo nella forma

A(x, t) =∫d3p

1(2π)3/2

√2|p|

(a(i)εi(p)e−ipx + a(i)+εi(p)eipx

), (2.44)

dove è sottintesa la somma sugli indici i.Per passare ad una teoria quantizzata bisogna, come sempre, rendere gli a(i) operatori e imporre

delle regole di commutazione; in questo caso imponiamo[a(i)

p , a(j)p′]

=[a(i)+

p , a(j)+p′

]= 0[

a(i)p , a

(j)+p′

]= δ (p− p′) δij.

(2.45)

Si può verificare che, usando tali regole, e calcolando l’energia usando

E =∫d3x

12(E2 + B2

), E = −A, B = rotA, (2.46)

si trovaE =

∑i

∫d3p

12ωp

(a(i)+

p a(i)p + a(i)

p a(i)+p

). (2.47)

Se definiamo tutti i prodotti come bene ordinati e buttiamo via l’energia di punto zero arriviamo a

E =∑i

∫d3p

(ωpa

(i)+p a(i)

p

), (2.48)

che è ancora l’energia di un insieme di oscillatori armonici indipendenti. Anche nel caso del campoelettromagnetico esiste quindi uno stato |0〉 definito dalla condizione

a(i)p |0〉 = 0, ∀p, i; (2.49)

gli stati eccitati hanno la stessa interpretazione che nel caso del campo scalare: ad esempio in unostato a(i)+

p |0〉 è presente un fotone con impulso p, energia ωp e polarizzazione lungo εi(p).

28

Per costruzione ci sono due stati indipendenti con fissato impulso (uno per ogni vettore di pola-rizzazione): essi corrispondono agli stati in cui il fotone ha spin ben definito lungo la direzione delmoto. In realtà lo spin del fotone è 1 però esistono solo due stati di spin indipendenti: ciò è dovutoal fatto che il fotone ha massa nulla. Sappiamo che, se costruiamo, con il teorema di Noether, ilmomento angolare del fotone, otteniamo un’espressione del tipo

J = x× p + s (2.50)

somma di un contributo orbitale e uno di spin. Normalmente per poter isolare il contributo di spin erasufficiente porre la particella a riposo e annullare così il contributo orbitale; in questo caso però nonpossiamo mettere a riposo il fotone, per cui l’unica cosa che possiamo fare è misurare la componentedello spin lungo la direzione del moto sfruttando la relazione

J · p = s · p; (2.51)

infatti Lipi = εijkxjpkpi = 0 in quanto pkpi è simmetrico per scambio di indici.Si può far vedere che, per una terna ortonormale ε1(p), ε2(p), p come la nostra, uno stato(

a(1)+p ± a(2)+

p

)|0〉, (2.52)

rappresenta un fotone con momento p ed elicità ±1.Infine diamo alcune indicazioni su come interpretare il formalismo sviluppato nel passaggio a

campi elettromagnetici macroscopici. Se abbiamo costruito l’operatore campo elettrico E(x) con ilformalismo lagrangiano, allora un’onda elettromagnetica macroscopica è rappresentata da uno stato|α〉 tale che

〈α|E(x)|α〉 6= 0. (2.53)

Se però prendiamo un qualunque stato a n fotoni |α〉 = a+p1 . . . a

+pn|0〉, si vede subito che

〈α|E(x)|α〉 = 0, (2.54)

in quanto E, di volta in volta, crea oppure distrugge un fotone. Per ottenere effetti macroscopici ènecessario considerare i cosiddetti stati coerenti: essi sono definiti come autostati dell’operatore didistruzione

a|α〉 = α|α〉, (2.55)

e si può dimostrare facilmente che sono scrivibili nella forma

|α〉 =∞∑n=0

αn√n!

(a+)n|0〉. (2.56)

Se prendiamo il generale campo elettromagnetico in una scatola con condizioni periodiche al contorno

A(x) =∑p,i

1√V√2ωp

(a(i)

p εipe−ipx + a(i)+

p εipeipx), (2.57)

allora per uno stato coerente |α〉, vale

〈α|A(x)|α〉 = 1√V√2ωp

(αpε

1pe−ipx + α∗pε

2pe

ipx), (2.58)

ossia macroscopicamente si ha un’onda oscillante in direzione ortogonale a p. Se i vettori di po-larizzazione fossero stati ε1

p ± iε2p, allora l’onda macroscopica generata sarebbe stata polarizzata

circolarmente.

29

Capitolo 3

Il campo di Dirac

3.1 L’equazione di DiracPassiamo ora a studiare l’equazione che descrive i campi fermionici. Dirac propose che l’equazioneche governa il moto di un elettrone relativistico dovesse essere

i∂ψ

∂t=[−ic

(αi

∂

∂xi

)+mc2β

]ψ, (3.1)

dove αi e β devono essere 4 operatori adimensionali agenti su uno spazio diverso da quello dellecoordinate spaziotemporali (altrimenti l’equazione non sarebbe più del primo ordine). Vogliamodedurre quanto più riusciamo su tali operatori; supponiamo quindi che essi siano matrici agenti suvettori colonna in uno spazio vettoriale a N dimensioni

ψ1(x)...

ψN(x)

. (3.2)

Poichè vogliamo che la nostra equazione descriva particelle relativistiche, dobbiamo imporre valgala solita relazione

E2 = m2c4 + c2p2. (3.3)

Un possibile modo di ottenere ciò consiste nel richiedere che ogni ψi(x) soddisfi l’equazione di Klein-Gordon. Per ricondurci all’equazione di Klein-Gordon, che contiene derivate seconde, deriviamorispetto al tempo l’equazione di Dirac

i∂2ψ

∂t2=[−icαi∂i +mc2β

] ∂ψ∂t. (3.4)

Possiamo ora sostituire a ∂ψ∂t

la sua espressione derivante dall’equazione di Dirac e ottenere

i∂2ψ

∂t2=[−icαi∂i +mc2β

] −i[−icαj∂j +mc2β

]ψ (3.5)

Svolgendo i prodotti si ottiene

i∂2ψ

∂t2= −i

[−2c2αiαj∂i∂j − ic3m

αi, β

∂i +m2c4β2

]ψ, (3.6)

30

e imponiamo ora che tale equazione sia l’equazione di Klein-Gordon componente per componente.Affinchè ciò avvenga si deve quindi avere

αi, β

= 0, (3.7)

eβ2 = 1. (3.8)

Inoltre, poichè ∂i∂j è simmetrico per scambio di indici, possiamo riscrivere il primo termine nellaforma

αiαj∂i∂j = αiαj + αjαi

2 ∂i∂j = αi, αj2 ∂i∂j (3.9)

e quindi richiedere che αi, αj

= 2δij. (3.10)

Possiamo a questo punto chiederci quale sia la dimensione minima che deve avere lo spazio in cuioperano le matrici αi e β, affinchè tali matrici possano esistere e soddisfare le relazioni enunciate. Seusiamo la (3.7) e la (3.10), troviamo

αiβ + βαi = 0⇒ βαiβ = −αi, (3.11)

da cuiTr(βαiβ

)= −Tr

(αi)

; (3.12)

d’altra parte, poichè la traccia è invariante per una permutazione ciclica delle matrici, si ha

Tr(βαiβ

)= Tr

(αiβ2

)= Tr

(αi), (3.13)

da cui segueTr(αi)

= 0 (3.14)

eTr (β) = 0 (3.15)

Inoltre, usando la (3.8) con i = j, si ha (αi)2

= I, (3.16)

da cui gli autovalori di αi sono tutti e soli 1 o -1. Poichè αi deve avere traccia nulla, devono essercitanti 1 quanti -1, segue che la dimensione N dello spazio deve essere necessariamente pari.

In due dimensioni una base dello spazio delle matrici è costituita da I, σi, dove le σi sono lematrici di Pauli, che soddisfano

σi, σj

= 2δij. (3.17)

Si vede subito che è impossibile completare il set delle σi con una quarta matrice indipendente soddi-sfacente la stessa regola di commutazione; infatti, ogni matrice 2x2M è scrivibile come combinazionedelle matrici di base

M = M0I +Miσi, (3.18)

per cui, se M deve essere indipendente dalle σi, deve avere M0 6= 0, ma questo impedisce cheanticommuti con le σi.

La dimensione minima affinchè possano esistere le matrici αi e β è 4. Possiamo infatti costruiredelle matrici

αi =(

0 σi

σi 0

)β =

(1 00 −1

), (3.19)

31

e verificare che soddisfino le relazioni richiesteαi, β

=(

0 σi

σi 0

)(1 00 −1

)+(

1 00 −1

)(0 σi

σi 0

)=

=(

0 −σiσi 0

)+(

0 σi

−σi 0

)= 0

αi, αj

=(

0 σi

σi 0

)(0 σj

σj 0

)+(

0 σj

σj 0

)(0 σi

σi 0

)=

=(σiσj 0

0 σiσj

)+(σjσi 0

0 σjσi

)= 2δij.

(3.20)

Tale set è quindi quello che fa al caso nostro; l’unica arbitrarietà rimasta nelle matrici consiste nellapossibilità di effettuare una trasformazione unitaria.

Con queste scelte avrò che la soluzione dell’equazione di Dirac avrà la forma

ψ(x, t) =

.

.

.

.

exp−iEt− px

. (3.21)

Se sostituiamo nell’equazione di Dirac, troviamo

E

.

.

.

.

exp−iEt− px

=

= picαi

.

.

.

.

exp−iEt− px

+ βmc2

.

.

.

.

exp−iEt− px

.

(3.22)

Se prendiamo la particella a riposo vediamo che si ha

E

a

b

c

d

= mc2

a

b

−c−d

, (3.23)

ossia si hanno due soluzioni per cui E = mc2 e due per cui E = −mc2. Vedremo che le soluzioni adenergia negativa saranno collegate all’esistenza delle antiparticelle.

3.2 Lo spinore di DiracStudiamo ora la (eventuale) covarianza relativistica dell’equazione di Dirac. Per cominciare facciamodelle imposizioni preliminari per semplificare l’espressione. Innanzitutto ritorniamo nel sistema diunità naturali in cui = c = 1. Ora moltiplichiamo a sinistra l’equazione di Dirac per la matrice β(è un operazione lecita, che non fa perdere informazione, in quanto β è invertibile)

iβ∂ψ

∂t= −iβαi ∂

∂xiψ +mψ. (3.24)

32

Se adesso poniamoγ0 := β

γi := βαi,(3.25)

possiamo scrivere l’equazione di Dirac nella forma

iγ0∂0ψ =(−iγi∂i +m

)ψ, (3.26)

e, raggruppando, si ottiene l’equazione di Dirac nella forma in cui è usualmente scritta

iγµ∂µψ = mψ. (3.27)

Notiamo che le matrici γµ non sono tutte hermitiane:

γ0+ = γ0, γi+ =(βαi

)+= αiβ = −βαi = −γi, (3.28)

ossia γ0 è hermitiana, mentre le γi sono antihermitiane.Le regole di commutazione per αi e β, diventano, in termini di γµ,

γµ, γν = 2gµνγ0, γi

=β, βαi

= ββαi + βαiβ = αi − αi = 0

γi, γj

=βαi, βαj

= βαiβαj + βαjβαi = −

αi, αj

= −2δij.

(3.29)

Se introduciamo la notazione di Feynman

v/ := vµγµ, (3.30)

possiamo scrivere l’equazione di Dirac nella forma

(i∂/−m)ψ = 0. (3.31)

Se vogliamo studiarne la covarianza dobbiamo, come sempre, ipotizzare di avere due riferimenti O eO′ collegati da una trasformazione di Lorentz x′ = Λx. Se ψ(x) risolve l’equazione di Dirac per unosservatore in O, ci chiediamo se esiste una S(Λ) tale che ψ′(x′) = S(Λ)ψ(x) risolva l’equazione diDirac in O′ (

iγµ′∂µ′ −m

)ψ′(x′) = 0. (3.32)

Tale S(Λ) deve essere invertibile e possiamo quindi scrivere

ψ(x) = S−1(Λ)ψ′(x′); (3.33)

sostituendo nell’equazione di Dirac troviamo

iγµS−1(Λ)∂µψ′(x′)−mS−1(Λ)ψ′(x′) = 0. (3.34)

Se ora moltiplichiamo per S(Λ) a sinistra troviamo

iS(Λ)γµS−1(Λ)∂µψ′(x′)−mψ′(x′) = 0. (3.35)

Ora, usando la consueta regola della derivazione a catena, abbiamo

∂ψ′(x′)∂xµ

= ∂ψ′(x′)∂x′ν

∂x′ν

∂xµ= Λν

µ

∂ψ′(x′)∂x′ν

, (3.36)

33

che, sostituita nella (3.35), fornisce

iS(Λ)γµS−1(Λ)Λνµ

∂

∂x′νψ′(x′)−mψ′(x′) = 0. (3.37)

Affinchè anche in O′ sia valida l’equazione di Dirac dobbiamo quindi richiedere

S(Λ)γµS−1(Λ)Λνµ = γν , (3.38)

ossiaΛνµγ

µ = S−1(Λ)γνS(Λ) (3.39)

Se questa equazione ammette una soluzione S(Λ), allora l’equazione di Dirac è covariante e le suesoluzioni sono oggetti che trasformano con tale S(Λ). Per definizione gli oggetti ψ che trasformanosecondo una S(Λ) soluzione della (3.39), sono detti spinori.

Cerchiamo una soluzione della (3.39) per trasformazioni di Lorentz proprie infinitesime. Comesappiamo, in questo caso si ha

Λνµ = δνµ + ενµ, (3.40)

dove ε è antisimmetrico nello scambio di indici; inoltre, in generale, possiamo scrivere

S(Λ) = I + εµνMµν , (3.41)

dove, per ogni µν, Mµν è una matrice 4x4. Inserendo queste ultime due relazioni nella (3.39), etenendo solo i termini del primo ordine, si trova

ενµγµ = γνερσMρσ − ερσMρσγ

ν . (3.42)

Prima di poter semplificare ε, bisogna, come sempre, antisimmetizzare i termini in cui compare. Ilsecondo membro è già antisimmetrico perchè le M sono arbitrarie. Il primo membro necessita invecedi essere trattato. Innanzitutto facciamo comparire ερσ come a destra

ερσgνρ gσµγµ = γνερσMρσ − ερσMρσγ

ν , (3.43)

e poi antisimmetrizziamo

12ε

ρσ(gνρ gσµ − gνσ gρµ

)γµ = ερσ [γµ,Mρσ] . (3.44)

Semplificando ε otteniamo infine

12(gνρgσµ − gνσgρµ

)γµ = [γν ,Mρσ] , (3.45)

e, si può far vedere (ad esempio semplicemente per sostituzione) che una sua soluzione è

Mρσ = 18 [γρ, γσ] , (3.46)

e corrispondentementeS(Λ) = I + 1

8εµν [γµ, γν ] . (3.47)

Notiamo che non è ovvio che la rappresentazione del gruppo di Lorentz costituita dalle S(Λ) sia uni-taria; infatti esiste un teorema che afferma che un gruppo compatto possiede solo rappresentazioniunitarie, ma il gruppo di Lorentz non è compatto in quanto descritto da un parametro −1 < v < 1

34

(non è quindi chiuso). Studiamo quindi l’eventuale unitarietà di S(Λ): affinche sia unitaria sappia-mo che si deve avere 1

8εµν [γµ, γν ] antihermitiano; se ci mettiamo nel caso delle rotazioni spazialisopravvivono soltanto le componenti spaziali εij e si vede facilmente che(

εij[γi, γj

])+= εij

[γj+, γi+

]= εij

[γj, γi

]= −εij

[γi, γj

]; (3.48)

quindi nel caso delle rotazioni spaziali effettivamente S(Λ) è hermitiana.Si può far vedere però che per trasformazioni di Lorentz generiche (proprie), in generale, la

rappresentazione non è hermitiana, bensì vale la formula

S−1(Λ) = γ0S+(Λ)γ0. (3.49)

Tocchiamo infine brevemente l’argomento delle trasformazioni di Lorentz non proprie, in parti-colare il caso della trasformazione di parità definita da

x′0 = x0

x′1 = −x1

x′2 = −x2

x′3 = −x3

(3.50)

che è quindi rappresentata da una trasformazione di Lorentz

Λ =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

. (3.51)

Sullo spazio degli spinori la parità sarà rappresentata da un operatore P che, per definizione dellematrici γµ in termini di matrici di Pauli, dovrà soddisfare le relazioniP γ

0P−1 = γ0

P γiP = −γi; (3.52)

si vede immediatamente che, a meno di una fase, tali relazioni sono soddisfatte se poniamo P ≡ γ0.Studiamo ora alcuni utili quantità che sono definibili a partire dagli spinori e dalle matrici γ. Se

abbiamo uno spinore

ψ =

ψ1...ψ4

, (3.53)

allora lo spinore aggiunto è dato da

ψ+ =(ψ+

1 . . . ψ+4

), (3.54)

e trasforma secondoψ+′(x′) = ψ+(x)S+(Λ). (3.55)

Introduciamo per comodità di notazione lo spinore barrato come

ψ := ψ+γ0. (3.56)

35

Allora possiamo mostrare che la quantità definita da

Jµ := ψ(x)γµψ(x), (3.57)

trasforma come un quadrivettore sotto trasformazioni di Lorentz; infatti

J′µ(x′) = ψ

′(x′)γµψ′(x′) = ψ+′(x′)γ0γµψ′(x′) == ψ+S+(Λ)γ0γµS(Λ)ψ(x) = ψ+(x)γ0γ0S+(Λ)γ0γµS(Λ)ψ(x);

(3.58)

se adesso usiamo la (3.49) troviamo

J′µ(x′) = ψ+(x)γ0S−1(Λ)γµS(Λ)ψ(x), (3.59)

e, usando la (3.39), si ottiene infine

J′µ(x′) = ψ(x)Λµ

νγνψ(x) = Λµ

ν Jµ(x). (3.60)

Nello spazio delle matrici 4x4 ci sono ovviamente 16 matrici indipendenti; si può costruire unabase partendo dalle matrici γµ considerando

I 1 matriceγµ 4 matrici

γ5 := iγ0γ1γ2γ3 1 matriceγ5γµ 4 matrici

σµν := [γµ, γν ] 6 matrici.

(3.61)

Notiamo che la matrice γ5 è hermitiana, infatti

γ5+ = −i(−γ3

) (−γ2

) (−γ1

) (γ0)

= γ5, (3.62)

e inoltre soddisfa

(γ5)2 = −γ0γ1γ2γ3γ0γ1γ2γ3 = γ1γ2γ3γ1γ2γ3 = −γ2γ3γ2γ3 = −γ3γ3 = I. (3.63)

Per ognuna delle 16 matrici si può costuire una quantità con proprietà di trasformazione bendefinite secondo trasformazioni di Lorentz; nel caso di I si ha

ψψ := ψ′(x′)Iψ′(x′) = ψ

′(x′)ψ′(x′) = ψ(x)S−1(Λ)S(Λ)ψ(x), (3.64)

ossia uno scalare. Per le γµ abbiamo già dimostrato che la quantità

ψγµψ (3.65)

trasforma come un quadrivettore; la matrice γ5 invece fornisce una quantità scalare solo sotto tra-sformazioni di Lorentz proprie, non sotto la parità: tale oggetto si definisce pseudoscalare. Possiamoinfatti scrivere

γ5 = i

4!εµνρσγµγνγργσ, (3.66)

per cuiψ′(x′)γ5ψ′(x′) = i

4!εµνρσψ′(x′)γµγνγργσψ′(x′) =

= i

4!εµνρσψ(x) S−1(Λ)γµS(Λ) S−1(Λ)γνS(Λ)

×S−1(Λ)γρS(Λ) S−1(Λ)γσS(Λ)ψ(x) =

= i

4!εµνρσΛµσ1Λν

σ2Λρσ3Λσ

σ4ψ(x)γσ1γσ2γσ3γσ4ψ(x) =i

4! det(Λ) εσ1σ2σ3σ4ψ(x)γσ1γσ2γσ3γσ4ψ(x) =

= det(Λ)ψ(x) = γ5ψ(x).

(3.67)

36

Quindi per trasformazioni di Lorentz proprie ψγ5ψ rimane invariato, mentre, ad esempio, nel casodella parità cambia segno.

Analogamente si può dimostrare che ψγ5γµψ è uno pseudovettore, ossia un vettore che non cambiasegno sotto trasformazioni di parità: infatti

ψ′(x′)γ5γµψ′(x′) = ψ(x) S−1(Λ)γ5S(Λ) S−1(Λ)γµS(Λ)ψ(x) =

= det(Λ)Λµνψ(x)γ5γµψ(x).

(3.68)

Infine si può far vedere facilmente che ψσµνψ si comporta come un tensore doppio antisimmetricio.Queste quantità sono dette covarianti di Dirac bilineari

3.3 Invarianza di gaugeVogliamo ora considerare la situazione in cui le particelle descritte dall’equazione di Dirac liberavengono sottoposte all’azione di un campo elettromagnetico; cerchiamo di studiare la eventualeinvarianza di gauge della teoria. In meccanica quantistica sappiamo che, se una particella soggettaad un’hamiltoniana

H = p2

2m + V (x) (3.69)

viene sottoposta anche all’azione di un campo elettromagnetico descritto da potenziali A e φ, allorala sua nuova hamiltoniana si ottiene tramite le sostituzioni minimali

p 7→ p− e

cA, H 7→ H + eφ. (3.70)

In questo caso si vede che l’hamiltoniana non è invariante di gauge, mentre le equazioni del moto losono. Si può dimostrare che, in meccanica quantistica, una trasformazione di gauge è una trasforma-zione canonica e, inoltre, che ad ogni trasformazione canonica ne corrisponde una unitaria, e più omeno viceversa. Poichè la meccanica quantistica è invariante per trasformazioni unitarie, segue cheuna trasformazione di gauge non cambia le predizioni fisiche della teoria.

Ci si convince facilmente che, in quattro dimensioni, la sostituzione minimale deve essere

Pµ 7→ Pµ + eAµ, (3.71)

ossia,i∂

∂xµ7→ i

∂

∂xµ− eAµ. (3.72)

Sotto questa trasformazione, l’equazione di Dirac libera diventa(iγµ

∂

∂xµ− eγµAµ

)ψ −mψ = 0, (3.73)

ossia(i∂/− eA/−m)ψ = 0. (3.74)

Vedremo che questa equazione è parte dell’elettrodinamica quantistica (per avere la QED completadovremmo considerare il campo elettromagnetico come variabile invece che fissato). Se effettuiamouna trasformazione di gauge sul campo ovviamente l’equazione cambia:

Aµ 7→ Aµ + ∂µΛ =⇒ (i∂/− eA/− e∂/Λ−m)ψ′(x) = 0, (3.75)

37

dove abbiamo usato ψ′ per indicare che la soluzione è una funzione differente. Possiamo peròrimangiare tale differenza nell’equazione con la trasformazione unitaria sul campo ψ

ψ′(x) = eikΛ(x)ψ(x), (3.76)

dove k è una costante che dobbiamo determinare. Inserendo si trova

(i∂/− eA/− e∂/Λ−m) eikΛ(x)ψ(x) = 0 (3.77)

da cuieikΛ(x) (i∂/+ iik∂/Λ− eA/− e∂/Λ−m)ψ(x) = 0. (3.78)

Se scegliamo k = −e possiamo ritrovare l’equazione di Dirac per ψ

(i∂/− eA/−m)ψ(x) = 0. (3.79)

Abbiamo così visto che l’introduzione del campo elettromagnetico rende la teoria invariante di gaugeper trasformazioni di gauge locali (in cui Λ dipende da x); vedremo che in QED la carica conservatacorrispondente a questa invarianza è la carica elettrica.

3.4 Corrente conservata per l’equazione di DiracVerifichiamo che la quantità costruita precedentemente

Jµ(x) = ψ(x)γµψ(x) (3.80)

è una corrente conservata, e permette di costruire un prodotto scalare tra soluzioni dell’equazione diDirac.

Quel che dobbiamo dimostrare è che ∂µJµ = 0 lungo le equazioni del moto; a tal propositoricaviamo l’equazione per ψ: se facciamo l’aggiunta dell’equazione di Dirac otteniamo

−i∂µψ+γµ+ −mψ+ = 0, (3.81)

e, moltipicando a destra per γ0 otteniamo

−i∂µψ+γµ+γ0 −mψ = 0. (3.82)

Ora possiamo utilizzare la relazione γµ+γ0 = γ0γµ e ottenere

ψ(i←−∂/ +m

)= 0. (3.83)

Possiamo allora verificare la conservazione di Jµ

∂µJµ = ∂µ

(ψγµψ

)= ψ (∂/ψ) +

(ψ←−∂/)ψ = mψψ −mψψ = 0. (3.84)

Ne segue l’indipendenza dal tempo dell’integrale della sua componente temporale∫d3x J0(x, x0) =

∫d3xψγ0ψ =

∫d3xψ+ψ. (3.85)

Quest’oggetto può anche essere interpretato come un prodotto scalare tra soluzioni dell’equazionedi Dirac; a differenza dal caso di Klein-Gordon, in questo caso il prodotto scalare è anche definitopositivo

38

3.5 Limite non relativistico dell’equazione di DiracUna volta scritta e studiata matematicamente l’equazione si pone il problema dell’interpretazionedei gradi di libertà che possiede nelle soluzioni, in particolare le componenti ad energia negativa.Cerchiamo indicazioni sull’interpretazione passando al limite non relativistico per l’equazione inpresenza di campo elettromagnetico. Per l’occasione usciamo dal sistema di unità naturali e scriviamol’equazione di Dirac nella forma

i∂ψ

∂t= cα ·

(p− e

cA)ψ +mc2β ψ + eϕψ; (3.86)

Possiamo definire π := p− e

cA e introdurre gli spinori a due componenti φ e χ come

ψ(x, t) =(φ(x, t)χ(x, t)

). (3.87)

Inoltre, ricordiamo che, nello spazio degli spinori a 4 componenti, avevamo scelto come matrici α eβ

α =(

0 σ

σ 0

)β =

(1 00 −1

). (3.88)

Allora possiamo scrivere la (3.86) in forma matriciale secondo

i(

∂φ∂t∂χ∂t

)= c

(0 π · σ

π · σ 0

)(φ

χ

)+mc2

(1 00 −1

)(φ

χ

)+ e

(ϕφ

ϕχ

), (3.89)

ossiai(

∂φ∂t∂χ∂t

)= c

(0 π · σ

π · σ 0

)(φ

χ

)+(

(mc2 + eϕ) φ(−mc2 + eϕ)χ

). (3.90)

Finora abbiamo soltanto riscritto l’equazione di Dirac sotto la forma equivalente di sistema diequazioni

i∂φ

∂t= cπ · σχ+ eϕφ+mc2φ

i∂χ

∂t= cπ · σφ+ eϕχ−mc2χ

. (3.91)

Sappiamo che se dovremo fare il limite ultrarelativistico dovremo considerare energie molto più piccoledi quella dovuta alla massa a riposo di una particella; per eliminare quindi il termine contenente lamassa a riposo nella prima equazione (che sarà quella interessante) effettuiamo la trasformazione difase (

φ

χ

)= e

−imc2t

(φ

χ

). (3.92)

L’equazione di Dirac si riduce quindi ai∂φ

∂t= cπ · σχ+ eϕφ

i∂χ

∂t= cπ · σφ+ eϕχ− 2mc2χ

. (3.93)

Ora, sappiamo che le soluzioni con le prime due componenti non nulle (nel nostro caso le componentiincluse in φ) sono quelle a energia positiva, mentre le altre due hanno energia negativa. Per passare

39

al limite non relativistico voglio che le componenti basse siano trascurabili rispetto a quelle alte;questo per codificare matematicamente il fatto che, in condizioni normali (non relativistiche), lamateria predomina sull’antimateria. Considereremo quindi che le componenti di χ siano trascurabilirispetto a quelle di φ; allo stesso modo trascureremo il termine eϕχ, in quanto dello stesso ordinedi χ. Inoltre, per costruzione, il termine i∂χ

∂t, che, in teoria quantistica corrisponde all’energia, ora

contiene soltanto l’energia non a riposo e quindi può essere trascurato.La seconda equazione diventa quindi

χ ' 12mcπ · σφ, (3.94)

e, inserendola nella prima, otteniamo

i∂φ

∂t= (π · σ)2

2m φ+ eϕφ. (3.95)

Cerchiamo ora di calcolare (π · σ)2

(π · σ)2 = πiπjσiσj; (3.96)

d’altra parteσiσj = 1

2 [σi, σj] + 12σi, σj = i εijk σk + δij. (3.97)

Segue(π · σ)2 = i εijk πiπjσk + πiπi = π2 + i εijk πiπjσk. (3.98)

Valutiamo l’ultimo termine svolgendo i calcoli

εijkπiπj = εijk

(pi −

e

cAi

)(pj −

e

cAj

), (3.99)

dove i termini commutanti si annullano in quanto simmetrici e saturati con ε. Rimaniamo solo con

εijkπiπj = −ecεijk (piAj + Aipj) = −e

cεijk

(−i ∂

∂xiAj + Aipj

)=

= −ecεijk

(−i∂Aj

∂xi+ Ajpi + Aipj

)= e

cεijk i

∂Aj∂xi

,

(3.100)

dove il termine Aipj+Ajpi si annulla ancora una volta perchè simmetrico e saturato con una quantitàantisimmetrica. Se adesso ricordiamo la relazione

εijk∂Aj∂xi

= (rotA)k , (3.101)

vediamo che(π · σ)2 = π2 + ie

cB · σ. (3.102)

Inserendo il tutto nell’equazione per φ otteniamo

i∂φ

∂t=[

12m

(p− e

cA)2

+ ie2mcB · σ + eϕ

]φ, (3.103)

ossia l’equazione di Schrödinger per una particella di spin 12 e fattore g pari a 2 immersa in un campo

elettromagnetico.

40

Questo procedimento di passaggio al limite non relativistico ci ha permesso quindi di dedurre che lesoluzioni a energia positiva rappresentano particelle di spin 1

2 , tipicamente elettroni. Inoltre abbiamoscoperto, in modo del tutto naturale, il valore del fattore g dell’elettrone, che in meccanica quantisticarelativistica deve essere postulato; in realtà il valore di g non è proprio pari a 2: l’imprecisione nelnostro calcolo è dovuta al fatto che abbiamo considerato il campo elettromagnetico fissato, senzaconsiderare gli effetti della presenza dell’elettrone sul campo. L’elettrodinamica quantistica, checonsidera sia le particelle sia il campo elettromagnetico come variabili, predice correttamente ilvalore del fattore g con una straordinaria precisione.

3.6 Soluzioni dell’equazione di DiracTorniamo all’equazione di Dirac libera

(i∂/−m)ψ = 0, (3.104)

e cerchiamone soluzioni della formaψ(x) = ur(p)e−ipx, (3.105)

dove ur(p) è uno spinore a 4 componenti; l’indice r discriminerà tra gli eventuali spinori indipendentiegualmente possibili. Sappiamo che ∀p esistono 2 soluzioni con E > 0 e due con E < 0: utilizziamoquindi la convenzione p0 > 0 e indichiamo con gli spinori u le soluzioni a energia positiva; per quellea energia negativa useremo

ψ(x) = vr(p)eipx. (3.106)

Sostituendo nell’equazione di Dirac la (3.105), troviamo la condizione che deve soddisfare u

(i∂µγµ −m)ur(p)e−ipx = 0⇒ (p/−m)ur(p) = 0 : (3.107)

ψ è soluzione se e solo se ur(p) è autovettore di p/ con autovalore m. Se ricordiamo la forma dellematrici γ possiamo scrivere

p/−m = pµγµ −m =

(p0 −m piσi−piσi −p0 −m

)=(p0 −m −p · σp · σ −p0 −m

). (3.108)

Se effettuiamo ancora una volta la divisione

ψ(x) =(φ

χ

), (3.109)

possiamo scrivere l’equazione agli autovalori nella forma matriciale(p0 −m −p · σp · σ −p0 −m

)(φ

χ

)= 0. (3.110)

Tale sistema ha soluzioni per (guardando la seconda equazione)

χ = p · σp0 +m

φ, (3.111)

e, sostituendo nella prima, si ottiene

(p0 −m)φ− (p · σ)2

p0 +mφ = 0, (3.112)

41

o, ricordando che (p · σ)2 = p2,

(p0 −m)φ− p2

p0 +mφ = 0. (3.113)

Affinchè l’unica soluzione non sia quella nulla dobbiamo quindi imporre

p0 −m+ p2

p0 +m= 0, (3.114)

ossia(p0)2 −m2 = p2. (3.115)

Ritroviamo quindi l’usuale equazione per energia e momento (da cui d’altronde eravamo partiti,avendo imposto la validità dell’equazione di Klein-Gordon per ogni componente). I valori possibiliper p0, una volta fissato p, sono quindi

p0 = ±√

p2 +m2 ≡ ±Ep. (3.116)

Per la convenzione imposta, prendiamo solo la soluzione con p0 > 0; allora, se vale la (3.116), si hauna soluzione per φ arbitrario e

χ = p · σp0 +m

φ, (3.117)

ossia lo spinore a 4 componenti è dato da

ur(p) =

φ

p · σp0 +m

φ

, (3.118)

dove φ può essere un arbitrario vettore bidimensionale. Notiamo quindi che ci possono essere duespinori indipendenti a energia positiva, in quanto esistono due vettori a due dimensioni indipendentitra loro. Una possibile scelta per φ può essere

φ1 =(

10

), φ2 =

(01

), (3.119)

ma tutte sono lecite. A seconda della scelta si possono avere spinori che rappresentano diversi statidi polarizzazione ben definita per l’elettrone (momento angolare lungo un certo asse, elicità. . . ).

Ora che abbiamo trovato un sistema di soluzioni, non resta che normalizzarle. Vogliamo quindiimporre la condizione

∫d3xψ+ψ = 1; per fare ciò prenormalizziamo gli spinori in modo da avere

urus = δrs. Tale condizione, scritta in forma matriciale, è

(φ+r φ+

r

p · σE +m

)(1 00 −1

)φs

p · σE +m

φs

= δrs, (3.120)

ossiaφ+r φs − φ+

r

(p · σ) 2(E +m)2φs = δrs. (3.121)

Ora, se supponiamo che φr e φs siano ortonormali, come ad esempio nel caso della scelta (3.119),tenendo conto che (p · σ)2 = p2, deduciamo

δrs

(1− p2

(E +m)2

)= δrs. (3.122)

42

D’altra parte si può scrivere

1− p2

(E +m)2 = E2 +m2 + 2mE − p2

(E +m)2 = 2m2 + 2Em(E +m)2 = 2m

E +m, (3.123)

avendo usato E2 = p2 +m2. Quindi gli spinori prenormalizzati sono scritti nella forma

ur(p) =√E +m

2m

φs

p · σE +m

φs

. (3.124)

Con un ragionamento analogo possiamo trovare la normalizzazione per gli spinori v imponendo

vrvs = −δrs. (3.125)

Infine è immediato cheur(p)vs(p) = 0. (3.126)

Notiamo che u e v sono autovalori dell’operatore p/ con autovalori diversi (+m e −m); d’altra partep/ non è un operatore autoaggiunto nella metrica

(ψ1, ψ2) = ψ+1 ψ2. (3.127)

Introducendo invece la metrica (non definita positiva)

(ψ1, ψ2) = ψ+1 γ

0ψ2, (3.128)

abbiamo che l’operatore p/ è autoaggiunto:

(p/ψ1, ψ1) = (p/ψ2)+ γ0ψ2 = ψ+1 pµγ

µ+γ0ψ2 = ψ+1 γ

0pµγµψ2 = ψ+

1 γ0p/ψ2 = (ψ1, p/ψ2), (3.129)

quindi i suoi autovettori saranno ortogonali in tale metrica.Fisicamente però non siamo interessati alla normalizzazione degli spinori u, v, bensì a quella in

termini di corrente conservata, secondo la metrica∫d3xψ+ψ; per arrivare alla normalizzazione finale

imponiamo stavolta che gli spinori soddisfino

u+r us = δrs

E

m. (3.130)

Allora le soluzioni dell’equazione di Dirac saranno scrivibili nella forma

ψr,1 =√E

mur(p)e−ipx

ψr,2 =√E

mvs(p)eipx.

(3.131)

Possiamo dimostrare che gli spinori soddisfano la relazione di completezza∑r

(ur(p)ur(p)− vr(p)vr(p)) = I, (3.132)

dove il segno − è dovuto al fatto che gli spinori v sono normalizzati a −δrs. Per verificarlo, mostriamoche è valida per la base formata dagli spinori u e v; per linearità potremo estendere poi il risultatoa tutto lo spazio. ∑

r

(ur(p)ur(p)− vr(p)vr(p))us(p) = δrsur(p) = us(p),∑r

(ur(p)ur(p)− vr(p)vr(p)) vs(p) = δrsvr(p) = vs(p).(3.133)

43

La relazione di completezza è quindi valida; possiamo far vedere che la somma nella (3.132) puòessere decomposta nella somma di due proiettori. Infatti sappiamo che(∑

r

ur(p)ur(p))us(p) = us(p); (3.134)

d’altra parte si hap/+m

2m us(p) = 2m2mus(p) = us(p), (3.135)

quindi possiamo identificare il proiettore sulle energie positivie con

p/+m

2m . (3.136)

Verifichiamo che sia effettivamente un proiettore, ossia che soddisfi P 2 = P

(p/+m)(p/+m)4m2 = p/p/+m2 + 2mp/

4m2 ; (3.137)

d’altra parte abbiamo

p/p/ = pµpνγµγν = pµpν

γµ, γν2 = pµpνg

µν = p2 = m2, (3.138)

per cui(p/+m)(p/+m)

4m2 = 2m2 + 2mp/4m2 = p/+m

2m . (3.139)

Segue cheΛ+(p) = p/+m

2m (3.140)

è effettivamente il proiettore sulle energie positive; allo stesso modo si dimostra che

Λ−(p) = −∑r

vr(p)vr(p) = −p/+m

2m (3.141)

è il proiettore sulle energie negative. Notiamo che i due proiettori soddisfano

Λ+(p) + Λ−(p) = I. (3.142)

Ricapitolando abbiamo trovato che la soluzione generale dell’equazione di Dirac può essere scrittanella forma

ψ(x) =2∑r=1

∫ d3p(2π)3/2

√m

E

(cr(p)ur(p)e−ipx + d∗r(p)vr(p)eipx

). (3.143)

3.7 Quantizzazione dell’equazione di DiracDall’espressione trovata per la soluzione dell’equazione di Dirac, vediamo subito che non possiamotrattare la ψ come un’ordinaria funzione d’onda, in quanto sono presenti componenti ad energianegativa, che non possono avere un significato fisico. Dovremo quindi trattare la ψ come un campo,e sostituire a c e d+ gli operatori c e d+, a cui andranno imposte regole di commutazione. Ilproblema, nel caso del campo di Dirac, è che le particelle in questione sono fermioni, quindi le regoledi commutazione saranno più complicate rispetto al caso del campo scalare.

Cerchiamo innanzitutto di costruire delle osservabili per il nostro campo; per fare ciò è necessariopartire da una lagrangiana che implichi l’equazione di Dirac. Notiamo a questo proposito che, nel

44

passaggio al formalismo canonico, ci aspettiamo di incontrare difficoltà in quanto l’equazione di Diracè già di per sè del primo ordine. La lagrangiana che scegliamo è

L = ψ(i∂/−m)ψ, (3.144)

dove, per ora, ψ e ψ sono due campi distinti e indipendenti. In seguito vedremo che, lungo le equazionidel moto, si avrà l’uguaglianza ψ = ψ+γ0.

Come sempre dobbiamo richiedere che la lagrangiana trasformi come uno scalare; siano alloradue sistemi O e O′ collegati secondo una trasformazione di Lorentz x′µ = Λµ

νxν . Se l’osservatore in

O′ vede un campo ψ′ con lagrangiana

L′(x′) = ψ′(i∂/′ −m)ψ′(x), (3.145)

dovrà esistere una legge di trasformazione ψ′(x′) = S(Λ)ψ(x) tale che

L(x) = ψ(i∂/−m)ψ(x). (3.146)

D’altra parte, sostituendo ψ(x) nella (3.145), si deve avere

L(x) = ψS−1(Λ)(i∂′µγµ −m)S(Λ)ψ(x); (3.147)

sappiamo però che∂′µ = ∂

∂x′µ= ∂xν

∂x′µ∂

∂xν=(Λ−1

)νµ∂ν , (3.148)

per cuiL(x) = ψS−1(Λ)

(i(Λ−1

)νµ∂νγ

µ −m)S(Λ)ψ(x). (3.149)

Per confronto otteniamo che ψ deve trasformare come uno spinore, come desiderato

S−1(Λ)γµS(Λ) = γνΛµν . (3.150)

Se effettuiamo una variazione dell’azione derivante da tale lagrangiana, otteniamo

δS =∫d4x δL =

∫d4x

(δψ (i∂/−m)ψ + ψ(i∂/−m)δψ

); (3.151)

siccome i due campi sono indipendenti possiamo prendere δψ = 0 e ottenere, imponendo δS = 0

(i∂/−m)ψ = 0. (3.152)

Se invece prendiamo δψ = 0 otteniamo∫d4xψ(i∂/−m)δψ = 0; (3.153)

integrando per parti si ha ∫d4xψ(−i

←−∂/ −m)δψ = 0, (3.154)

da cui si trova l’equazione per ψψ(i←−∂/ +m) = 0. (3.155)

In questo modo abbiamo trovato, come predetto, che lungo le equazioni del moto si ha l’identificazioneψ = ψ+γ0.

45

Se passiamo al formalismo canonico dobbiamo introdurre i momenti coniugati. Vediamo subitoche si ha

πψ = ∂L∂ψ

= iψγ0 = iψ+

πψ = ∂L∂ψ

= 0.(3.156)

Apparentemente sembra che si abbia un problema analogo a quello avuto con la quantizzazione delcampo elettromagnetico; in realtà il problema è meno grave in quanto, data una condizione inizialeper il campo di Dirac, l’equazione di Dirac è risolta univocamente (senza l’ambiguità derivantedall’invarianza di gauge).

Imponiamo allora che il campo di Dirac sia un operatore con sviluppo dato da

ψ(x) =2∑r=1

∫ d3p(2π)3/2

√m

E

(cr(p)ur(p)e−ipx + d+

r (p)vr(p)eipx). (3.157)

Inoltre fissiamo, convenzionalmente, che per le u si abbiano i due spinori bidimensionali indipendenti

φ1 =(

10

), φ2 =

(01

), (3.158)

mentre per le v si abbia la convenzione opposta

φ1 =(

01

), φ2 =

(10

). (3.159)

Iniziamo quindi a costruire le osservabili per il campo di Dirac. La densità hamiltoniana è

H =(πψ)αψα − L = iψ+ψ − iψ+∂0ψ − iψ+γ0γi∂iψ +mψ; (3.160)

se ricordiamo che, per definizone, γ0γi = αi, γ0 = β, allora abbiamo

H = −iψ+αi∂iψ +mψ+βψ = ψ+ α · p +mβψ. (3.161)

Segue che l’hamiltoniana èH =

∫d3xψ+α · p +mβψ, (3.162)

mentre il momento èP =

∫d3xψ+pψ. (3.163)

Possiamo verificare queste deduzioni a partire dal tensore energia impulso

Tµν = ∂L∂∂µψ

∂νψ + ∂L∂∂µψ

∂νψ − gµνL. (3.164)

Ad esempio possiamo calcolareT0i = ∂L

∂∂0ψ∂iψ = iψ+∂iψ, (3.165)

da cuiPi =

∫d3x T0i. (3.166)

Quindi abbiamo trovato che il momento (con componenti di segno opposto)

P =∫d3xψ+(−i∇)ψ, (3.167)

46

come ricavato in precedenza.Se inseriamo lo sviluppo generale per il campo di Dirac nella (3.162), possiamo trovare l’espres-

sione per l’hamiltoniana in termini di operatori di creazione e distruzione

H =2∑r=1

∫d3pEp

(c+r (p)cr(p)− dr(p)d+

r (p)). (3.168)

Quest’hamiltoniana non è però definita positiva e include ancora l’energia del vuoto; se utilizziamole regole di quantizzazione bosoniche[

dr(p), d+s (p′)

]= δrsδ(p− p′) (3.169)

per invertire il termine dr(p)d+r (p) e ci rimangiamo l’energia del vuoto, rimaniamo ancora con un

hamiltoniana non definita positiva e non definita inferiormente.Il problema è che l’equazione di Dirac descrive particelle di spin 1

2 , quindi è incompatibile conle regole di quantizzazione bosoniche. Dobbiamo richiamare quello che in meccanica quantistica eradetto oscillatore di Fermi: supponiamo di avere uno spazio di Hilbert in cui vive un operatore a chesoddisfa la relazione

a, a+

= 1a, a = 0a+, a+

= 0;

(3.170)

allora, dalla seconda e terza regola si può ottenere

a2 = 0, a+2 = 0. (3.171)

In tale spazio esisterà uno stato di vuoto |0〉 definito dalla relazione

a|0〉 = 0; (3.172)

se definiamo l’operatore numero secondo N = a+a, vediamo che

N2 = a+a a+a = a+(aa+ + a+a

)a = a+

a, a+

a = a+a = N. (3.173)

Poichè N è hermitiano, i suoi autovalori devono soddisfare n2 = n, quindi si può avere solo n = 0,n = 1. I corrispondenti sono a+|0〉 e (a+)2 |0〉: infatti

Na+|0〉 = a+a a+|0〉 = a+a, a+

|0〉 = a+|0〉

N(a+)2|0〉 = 0.

(3.174)

Quindi l’oscillatore di fermi rappresenta uno spazio in cui è possibile avere solo una o nessunaparticella; l’impossibilità di avere stati a due particelle è la codifica matematica del principio diesclusione.

Nello spazio di Hilbert degli stati della teoria di Dirac vogliamo quindi imporre le regole dianticommutazione di fermi

c+r (p), cs(p′)

=d+r (p), ds(p′)

= δrsδ(p− p′); (3.175)

tutte le anticommutazioni di altre combinazioni di operatori di creazione o distruzione si annullano.

47

In questo modo possiamo trovare che l’hamiltoniana diventa correttamente

H =2∑r=1

∫d3pEp

(c+r (p)cr(p) + d+

r (p)dr(p))

; (3.176)

quest’espressione era ottenibile da quella precedente illimitata inferiormente utilizzando il prodottobene ordinato di operatori, con la regola aggiuntiva di un cambio segno per ogni inversione di operatorid e d+. Analogamente il momento diventa

P =2∑r=1

∫d3p p

c+r (p)cr(p) + d+

r (p)dr(p). (3.177)

Avendo imposto le regole di anticommutazione possiamo calcolare ψ, ψ+ e oggetti simili: seintroduciamo gli indici di Dirac, risulta facilmente che

ψα(x), ψβ(x)x0=y0 = 0,ψ+α (x), ψ+

β (x)x0=y0

= 0,ψ+α (x), ψβ(x)

x0=y0

= δαβδ(x−y). (3.178)

In questo spazio esisterà uno stato di vuoto |0〉 definito dalle relazioni

dr(p)|0〉 = cr(p)|0〉 = 0, ∀r,p. (3.179)

Gli stati ad una particella sono della forma

c+r (p)|0〉 d+

r (p)|0〉, (3.180)

dove gli stati con c+ rappresentano stati con una particella, mentre quelli con d+ sono stati ad unaantiparticella. Notiamo che gli stati a una particella sono ortogonali a quelli a una antiparticella,infatti

〈0|cr(p)d+r (p)|0〉 = 〈0|

cr(p), d+

r (p)|0〉 = 0. (3.181)

Tramite il teorema di Noether possiamo costruire una corrente conservata lungo le equazioni delmoto; sappiamo già che la sua quarta componente fornirà il prodotto scalare ψγµψ, che è costantedurante l’evoluzione temporale. Richiamiamo che la forma della lagrangiana per il campo di Dirac è

L = ψ(i∂/−m)ψ; (3.182)

cerchiamo una trasformazione di fase che lasci invariata tale lagrangiana: si vede immediatamenteche la trasformazione è

ψ 7→ eiαψ, ψ 7→ e−iαψ, (3.183)

con α ∈ C. Per una trasformazione infinitesima si ha

δψ = iαψ, δψ = −iαψ, (3.184)

e, per il teorema di Noether, si ha che la corrente conservata è, introducendo per un momento gliindici di Dirac,

Jµ = ∂L∂∂µψβ

iαψβ = iψγµiαψ. (3.185)

Se semplifichiamo α troviamo che la corrente

Jµ = ψγµψ (3.186)

soddisfa∂µ(ψγµψ

)= 0. (3.187)

48

Sappiamo quindi cheQ =

∫d3x J0(x, x0) (3.188)

è indipendente da t. Sostituendo si ha

Q =∫d3xψ+ψ =

2∑r=1

∫d3p

(c+r (p)cr(p)− d+

r (p)dr(p)), (3.189)

dove, nell’ultima uguaglianza abbiamo usato la seconda quantizzazione e il buon ordinamento dioperatori; se intepretiamo gli operatori c come operatori di oscillatore di un campo di particelle, ei d oscillatori di un campo di antiparticelle, vediamo che si conserva la differenza tra il numero diparticelle e quello di antiparticelle, ossia la carica elettrica totale.

Poniamo allora, per convenzione, che gli operatori c descrivano degli elettroni, mentre i d deipositroni. Lo stato più generale in cui siano presenti due elettroni è

2∑r1,r2=1

∫d3p1

∫d3p2 fr1,r2(p1,p2)c+

r1(p1)c+r2(p2)|0〉; (3.190)

vediamo che la funzione fr1,r2(p1,p2) rappresenta esattamente la funzione d’onda di prima quantiz-zazione. Evidentemente, poichè c+

r1(p1) e c+r2(p2) anticommutano, il loro prodotto è antisimmetrico;

segue che anche la funzione d’onda dei due elettroni deve essere antisimmetrica. Abbiamo cosìverificato che le particelle descritte dall’equazione di Dirac sono effettivamente dei fermioni.

Il principio di esclusione di Pauli si può ricavare facilmente in questo formalismo notando che

c+r (p)c+

r (p)|0〉 = −c+r (p)c+

r (p)|0〉 = 0. (3.191)

3.8 Regola di superselezioneNella quantizzazione dell’equazione di Dirac avevamo imposto la regola di anticommutazione

ψ(x, x0), ψ(y, x0)

= 0. (3.192)

D’altra parte, affinchè la teoria sia correttamente causale, è necessario che sia nullo il commutatorea tempi uguali. Per avere ciò è necessario restringere lo spazio degli stati ammissibili ad un sotto-spazio di Hilbert dello spazio degli stati globale; tale procedimento di restrizione è detto regola disuperselezione.

Ciò che va imposto è l’impossibilità di avere stati che siano sovrapposizione di stati a numerifermionici differenti; ad esempio non possiamo avere uno stato della forma

c+r (p)|0〉+ c+

r1(p1)c+r2(p2)|0〉. (3.193)

Tale impossibilità implica che bisogna rinunciare a misurare il campo ψ; infatti, come nel caso delcampo elettromagnetico, per avere un campo macroscopico è necessario avere, per esempio,

〈0|ψ|0〉 6= 0. (3.194)

Sappiamo che gli stati che realizzano questa condizione sono gli stati coerenti, sovrapposizione distati per numeri fermionici da 0 a ∞. La regola di superselezione implica che gli stati coerenti per ilcampo di Dirac non siano ammissibili, da cui l’impossibilità di avere un campo ψ macroscopico.

49

3.9 Momento angolare del campo di DiracCalcoliamo ora, tramite il teorema di Noether, il momento angolare per il campo di Dirac; sappiamoche, per trasformazioni di Lorentz infinitesime, si ha

Λ = I + ε, (3.195)

con ε matrice antisimmetrica, e, per il campo di Dirac,

S(Λ) = I + 18εµν [γµ, γν ] . (3.196)

Se consideriamo la particolare trasformazione di Lorentz che descrive una rotazione attorno all’assez, abbiamo che, all’interno di ε sopravvive solo la componente

ε12 = −ε21. (3.197)

Quindi abbiamo che

S(Λ) = I + 18(ε12

[γ1, γ2

]+ ε21

[γ2, γ1

])= I + 1

4ε12[γ1, γ2

]. (3.198)

Calcoliamo quindi [γ1, γ2].[γ1, γ2

]=(

0 σx−σx 0

)(0 σy−σy 0

)−(

0 σy−σy 0

)(0 σx−σx 0

)=(

−σxσy 00 σxσy

)+(σyσx 0

0 σyσx

)=(

[σy, σx] 00 [σy, σx]

)=(−2iσz 0

0 −2iσz

).

(3.199)

Segue

S(Λ) = I + 14ε12

(−2iσz 0

0 −2iσz

), (3.200)

e, definendo la componente z del momento angolare per il campo di Dirac come

Σz =

σz2 0

0 σz2

, (3.201)

troviamoS(Λ) = I − iε12Σz. (3.202)

Abbiamo così trovato che Σz è correttamente il generatore delle rotazioni attorno all’asse z; inoltre,siccome nella sua definizione subentra 1

2σz, troviamo ancora che lo spin delle particelle descritte deve

essere 12 .

Avevamo trovato in precedenza che lo spinore più generale è scrivibile nella forma

ur(p) ∝

φr

p · σE +m

φr

, (3.203)

dove φr è un generico spinore a 2 dimensioni. Scegliamo in questo caso

φ1 =(

10

), φ2 =

(01

), (3.204)

50

ossia gli autovettori di σz. È immediato vedere che, se p = 0 e r = 1, si ottiene lo spinore a riposo1000

(3.205)

che è autovettore di Σz con autovalore 12 . Per p generico, invece, ur(p) non è autovettore di Σz, a

meno che p non sia nella direzione z. È però sempre possibile effettuare un boost, senza rotazione,in modo da mettere la particella a riposo; come già trovato lo spinore a riposo sarà autostato di Σz.

Un’altra rappresentazione utile è quella in cui il momento angolare viene proiettato lungo ladirezione del moto; il corrispondente operatore di momento angolare, detto elicità, è

Σ · p|p|

. (3.206)

Per avere gli autostati dell’elicità dovrò prendere una combinazione lineare appropriata di φ1 e φ2.Notiamo che la componente del momento angolare nella direzione del moto è sempre costante, inquanto l’elicità commuta con l’hamiltoniana di Dirac[

Σ · p|p|

,p ·α+ β

]= 0. (3.207)

Precedentemente avevamo visto che, dato il tensore di energia impulso θµν , con il teorema diNoether si poteva costruire un tensore a 3 componenti definibile con

xiθ0jxjθoi + ∂L∂∂iφ

M ijφ. (3.208)

Il corrispondente momento angolare lungo l’asse z è

Mz =∫d3x

[ψ+(−ix×∇)zψ + ψ+Σzψ

], (3.209)

e, come prevedibile, è somma di una parte angolare e una di spin.Se costruiamo uno stato con una particella a riposo c+

1 (0)|0〉, abbiamo un autovettore di Mz conautovalore 1

2 .

Mzc+1 (0)|0〉 = 1

2c+1 (0)|0〉; (3.210)

analogamente per gli stati a una antiparticella

Mzd+1 (0)|0〉 = 1

2d+1 (0)|0〉. (3.211)

Avevamo scelto come spinore v1

v1 ∼

φ2

p · σE +m

φ2

, (3.212)

proprio per avere, coerentemente, che v1 sia autovettore dello spin con autovalore 12 .

51

3.10 Il propagatore del campo di DiracRiprendiamo l’espansione per il campo di Dirac

ψα(x) =2∑r=1

∫ d3p(2π)3/2

√m

Ep

(cr(p)(ur(p))αe−ipx + d+

r (p)(vr(p))αeipx). (3.213)

Possiamo vedere facilmente che〈0|ψ(y)ψ(x)|0〉 = 0, (3.214)

in quanto le particelle create da ψ(x) non vengono distrutte da ψ(y). L’unico prodotto che possoavere diverso da zero è

〈0|ψα(x)ψ+β (y)|0〉. (3.215)

Innanzitutto si ha

ψ+β (x) =

2∑r=1

∫ d3p(2π)3/2

√m

Ep

(c+r (p)(u+

r (p))βeipx + dr(p)(v+r (p))βe−ipx

); (3.216)

sostituendo otteniamo

〈0|ψα(x)ψ+β (y)|0〉 =

=2∑s=1

2∑r=1

∫ d3p(2π3/2)

√m

Ep

(u+r (p)

)β

∫ d3q(2π3/2)

√m

Eq(us(q))α 〈0|cs(q)c+

r (p)|0〉eipye−iqx =

=2∑s=1

2∑r=1

∫ d3p(2π3/2)

√m

Ep

(u+r (p)

)β

∫ d3q(2π3/2)

√m

Eq(us(q))α 〈0|

cs(q), c+

r (p)|0〉eipye−iqx =

=2∑r=1

∫ d3p(2π)3

m

Ep

(u+r (p)

)β

(ur(p))αe−ip(x−y)

, (3.217)

avendo usato le regole di anticommutazione per il campo di Dirac. Ora, vogliamo usare la relazionedi completezza ∑2

r=1 ur(p)ur(p) = p/+m

2m ; per potervisi ricondurre moltiplichiamo per γ0 quantotrovato e otteniamo

〈0|ψα(x)ψδ(y)|0〉 = 〈0|ψα(x)ψ+β (y)|0〉γ0

βδ =

=2∑r=1

∫ d3p(2π)3

m

Ep(ur(p))α (ur(p))δ e

−ip(x−y) =∫ d3p

(2π)3m

Ep

(p/+m

2m

)αδ

.(3.218)

Quindi, sopprimendo gli indici di Dirac, si ha

〈0|ψ(x)ψ(y)|0〉 =∫ d3p

(2π)3p/+m

2Epe−ip(x−y) =

∫ d3p(2π)3

i∂/+m

2Epe−ip(x−y) = (i∂/x +m) i∆+(x− y;m),

(3.219)dove ∆+ è proprio la funzione già utilizzata nel caso del campo di Klein-Gordon. Possiamo verificareche 〈0|ψ(x)ψ(y)|0〉 risolve l’equazione di Dirac

(i∂/x −m)〈0|ψ(x)ψ(y)|0〉 = 0; (3.220)

infatti

(i∂/x −m)(i∂/x +m)i∆+(x− y) =[(i∂/x)2 −m2

]i∆+(x− y) = −

[(∂/x)2 +m2

]i∆+(x− y). (3.221)

52

Se però calcoliamo ∂/2 troviamo

∂/2 = γµγν∂µ∂ν = 12 γ

µ, γν ∂µ∂ν = ∂µ∂µ = , (3.222)

per cui [(i∂/x)2 −m2

]i∆+(x− y) = −

[ +m2

]i∆+(x− y) = 0. (3.223)

Analogamente si può effettuare lo stesso conto per gli spinori a energia positiva

〈0|ψ+β (y)ψα(x)|0〉 =

=2∑r=1

2∑s=1

∫ d3p(2π)3/2

√m

Ep(vr(p))αeipx

∫ d3q(2π)3/2

√m

Eq

(v+(q)

)β〈0|ds(q)d+

r (p)|0〉e−iqy =

=2∑r=1

2∑s=1

∫ d3p(2π)3/2

√m

Ep(vr(p))αeipx

∫ d3q(2π)3/2

√m

Eq

(v+(q)

)β〈0|

ds(q), d+

r (p)|0〉e−iqy =

=2∑r=1

∫ d3p(2π)3

m

Ep(vr(p))α

(v+r (p)

)βeip(x−y).

(3.224)

Poichè, come prima, vogliamo usare la relazione di completezza per v e v, inseriamo un γ0 così daottenere

〈0|ψ+β (y)ψα(x)|0〉γ0

βδ =2∑r=1

∫ d3p(2π)3

m

Ep(vr(p))α (vr(p))δ e

ip(x−y). (3.225)

Ora, sappiamo che la relazione di completezza è2∑r=1

vr(p)vr(p) = p/−m2m ; (3.226)

inserendo si ottiene

〈0|ψδ(y)ψα(x)|0〉 = −∫ d3p

(2π)3m

Ep

(−p/+m

2m

)αδ

eip(x−y), (3.227)

da cui

〈0|ψ(y)ψ(x)|0〉 = −(i∂/x +m)∫ d3p

(2π)31

2Epeip(x−y) = (i∂/x +m)i∆−(x− y). (3.228)

Mettendo insieme i due risultati abbiamo

〈0|ψ(x)ψ(y)|0〉+ 〈0|ψ(y)ψ(x)|0〉 ≡ 〈0|ψ(x), ψ(y)

|0〉 = (i∂/x +m)i∆(x− y); (3.229)

avevamo imposto le regole di anticommutazione per il campo di Dirac e avevamo notato che ap-parentemente queste regole non sembrano facilmente collegabili con una teoria causale, in quantonon è semplice mettere in relazione l’anticommutazione con l’hamiltoniana con la misurabilità diun’osservabile. D’altra parte, la comparsa del segno - nella (3.228) mette a posto tutto in quantol’anticommutatore risulta dipendere dalla ∆(x− y) che, come visto nel caso del campo scalare, con-duce ad una teoria correttamente causale; infatti sappiamo che, se (x−y) è di tipo spazio, la funzione∆ si annulla identicamente, quindi l’anticommutatore è nullo a distanze di tipo spazio.

Calcoliamo il propafatore del campo di Dirac; ricordiamo che nel caso di Klein-Gordon avevamo

〈0|T (φ(x)φ(y))|0〉 = θ(x0 − y0)〈0|φ(x)φ(y)|0〉+ θ(y0 − x0)〈0|φ(y)φ(x)|0〉 =

= i∆F (x− y) ≡ i∫ d4q

(2π)4e−iq(x−y)

q2 −m2 + iε.

(3.230)

53

Il prodotto tempo-ordinato non è invariante di Lorentz, in quanto una trasformazione di Lorentz puòinvertire l’ordine temporale di due eventi; tuttavia la microcausalità forniva comunque l’invarianzadi Lorentz annullando il commutatore per eventi di tipo spazio.

Nel caso del campo di dirac abbiamo

iSF (x− y) := 〈0|T (ψ(x)ψ(y))|0〉 = θ(x0 − y0)〈0|ψ(x)ψ(y)|0〉 − θ(y0 − x0)〈0|ψ(y)ψ(x)|0〉; (3.231)

anche qui abbiamo che, se (x − y) è di tipo tempo, il prodotto tempo ordinato è un invariante diLorentz; per distanze di tipo spazio invece i campi anticommutano e la microcausalità annulla ilprodotto. La presenza del segno meno quindi è necessaria per conservare la covarianza in una teoriaquantizzata con gli anticommutatori. Inserendo le espressioni calcolate sopra si ottiene

iSF (x− y) = θ(x0 − y0)(i∂/x +m)∫ d3q

(2π)32Eqe−iq(x−y) + θ(y0 − x0)(i∂/x +m)

∫ d3q(2π)32Eq

eiq(x−y).

(3.232)Se potessimo far passare θ oltre l’operatore (i∂/x −m) otterrei

iSF (x− y) = (i∂/x −m)i∆F (x− y), (3.233)

però c’è il termine aggiuntivo

i∂0xθ(x0 − y0)γ0i∆+(x− y)− i∂0

xθ(y0 − x0)γ0i∆−(x− y) == −δ(x0 − y0)

∆+(x− y) + ∆−(x− y)

= −δ(x0 − y0) [φ(x), φ(y)] = 0,

(3.234)

in quanto il commutatore a tempi uguali di due campi di Klein-Gordon si annulla. Il termineaggiuntivo non è quindi presente, quindi otteniamo

iSF (x− y) = (i∂/x −+m)i∆F (x− y) =

= (i∂/x +m)i∫ d4q

(2π)4e−iq(x−y)

q2 −m2 + iε= i

∫ d4q

(2π)4q/+m

q2 −m2 + iεe−iq(x−y).

(3.235)

Un altra espressione possibile per il propagatore è

iSF (x− y) = i∫ d4q

(2π)4eiq(x−y)

q/−m+ iε, (3.236)

dove 1q/è la matrice inversa di q/. Possiamo verificare l’equivalenza tra le due espressioni moltiplicando

la seconda per q/+m

q/+m

i∫ d4q

(2π)4eiq(x−y)

q/−mq/+m

q/+m= i

∫ d4q

(2π)4eiq(x−y)

(q/−m)(q/+m)(q/+m); (3.237)

d’altra parte

(q/+m)q/−m) = q/2 −m2 = pµpνγµγν −m2 = pµpν

12 γ

µ, γν −m2 = pµpµ −m2; (3.238)

quindi

i∫ d4q

(2π)4eiq(x−y)

q/−m= i

∫ d4q

(2π)4q/+m

q2 −m2 e−iq(x−y). (3.239)

54

Capitolo 4

Teoria delle interazioni

4.1 Interazione elettromagneticaOra che abbiamo introdotto i campi liberi vogliamo estendere la teoria per permettere che tali campiinteragiscano. Il prototipo delle interazioni sarà il campo di Dirac e+ e− in campo elettromagnetico;lo spazio di Hilbert degli stati sarà quindi il prodotto

He+e− ⊗Hγ. (4.1)

Lo stato di vuoto sarà ora definito da

aik|0〉 = crk|0〉 = drk|0〉 = 0, (4.2)

mentre avremo stati a un fotoneai+k |0〉 (4.3)

e stati, ad esempio, a un elettronecr+q |0〉. (4.4)

Per ottenere le equazioni per i campi interagenti dovrò scrivere la lagrangiana della teoria; unendole due lagrangiane dei campi liberi si ottiene

L = ψ(i∂/−m)ψ − 14FµνF

µν , (4.5)

che descrive i campi di Dirac ed elettromagnetico disaccoppiati.Una buona strada per cercare la lagrangiana di interazione è quella di mantenere l’invarianza

di gauge; la lagrangiana di campo elettromagnetico possiede già l’invarianza di gauge richiesta, esappiamo che l’equazione di Dirac è invariante sotto la trasformazione

ψ 7→ eiαψ, ψ 7→ e−iαψ. (4.6)

La trasformazione di gauge per cui richiediamo l’invarianza è

ψ 7→ eiα(x)ψ, ψ 7→ e−iα(x)ψ. (4.7)

Avevamo visto che, se una particella di Dirac viene inserita in un campo elettromagnetico, lalagrangiana adatta si ottiene effettuando la sostituzione minimale

i∂µ 7→ i∂µ + eAµ; (4.8)

55

si ottieneva quindiL = ψ(i∂/−m)ψ − eψA/ψ − 1

4FµνFµν . (4.9)

In questa lagrangiana, la trasformazione di gauge Aµ 7→ Aµ + ∂µα(x) si compensa con ψ 7→eieα(x), ψ 7→ e−ieα(x)ψ; abbiamo quindi ottenuto l’invarianza di gauge. Prendiamo quindi la (4.9)come lagrangiana per l’elettrodinamica quantistica.

Le equazioni del moto che se ne deducono sono(i∂/−m)ψ − eA/ψ = 0∂νF

µν − eψγµψ = 0.(4.10)

Queste equazioni sono accoppiate, quindi descrivono l’evoluzione di due campi che si influenzano avicenda; notiamo che la quadricorrente conservata nell’equazione di Dirac è diventata in questo casola corrente elettrica sorgente del campo elettromagnetico.

Le (4.10) sono le equazioni fondamentali dell’elettrodinamica quantistica; la loro risoluzione for-nisce la migliore descrizione possibile dell’interazione tra particelle cariche e campo elettromagnetico.Tali equazioni non sono però lineari; in effetti in generale non siamo in grado di integrarle esattamen-te. Possiamo però utilizzare la teoria perturbativa ed ottenere soluzioni approssimate a qualunqueordine; il metodo perturbativo consiste essenzialmente nello sviluppare in serie un’equazione rispettoad un parametro piccolo: nel nostro caso tale parametro coinciderà con la costante di struttura finee2

4π = 1137 . Per fare ciò dobbiamo modificare leggermente il modo di trattare stati e operatori nella

nostra teoria.

4.2 La descrizione di interazioneL’elettrodinamica quantistica, per come l’abbiamo costruita, pone le basi sull’esistenza di una la-grangiana che descrive completamente i campi e le loro interazioni; tale lagrangiana è funzione esclu-sivamente di un evento nello spaziotempo, quindi tutte le interazioni che se ne deducono avrannonatura locale.

Vogliamo introdurre la cosiddetta descrizione di interazione, che fornisce un ambito più adattoall’utilizzo della teoria delle perturbazioni; supponiamo di avere una densità lagrangiana funzione dicampi e scomponibile nella forma

L = L0 + LI , (4.11)

ove L0 sia bilineare nei campi, ossia descrivente campi non interagenti, mentre LI contenga le in-terazioni. Ipotizziamo che LI non contenga derivate di alcun ordine dei campi. Da tale densitàlagrangiana possiamo costruire il formalismo canonico introducendo i momenti coniugati

πα(x) = ∂L0

∂φα, (4.12)

dove α è un indice che corre su tutti i campi presenti in L; abbiamo derivato solo L0 in quanto peripotesi, le derivate di LI si annullerebbero. Noti i momenti coniugati si può introdurre la densitàhamiltoniana tramite

H = παφα − L = παφα − L0︸ ︷︷ ︸H0

−LI = H0 − LI ; (4.13)

notiamo quindi che anche la densità hamiltoniana possiede una decomposizione in densità hamilto-niana libera H0 e di interazione

HI = −Li. (4.14)

56

Integrando si ottiene l’hamiltoniana della teoria

H =∫d3xH = H0 −

∫d3xLI , (4.15)

ossiaH = H0 +HI , (4.16)

con HI = −∫d3xLI . Se riprendiamo l’operatore di evoluzione temporale per l’equazione di Schrö-

dinger, e lo applichiamo a una hamiltoniana della forma (4.16), troviamo

U(t− t0) = e−iH(t−t0) = e−i(H0+HI)(t−t0) 6= e−iH0(t−t0)e−iHI(t−t0), (4.17)

dove l’ultimo passaggio, che permetterebbe una comoda decomposizione di U(t − t0), non è lecitoin quanto H0 e HI , in generale, non commutano. D’ora in poi, per semplicità, supporremo t0 = 0;per recuperare il caso generale è sufficiente sostituire ovunque t con (t − t0). Se |ψs〉 è lo stato delsistema nella descrizione di Schröedinger, e As è un’analoga osservabile, effettuiamo la trasformazioneunitaria su stati ed operatori

|ψs〉 7→ |ψI〉 = eiH0t|ψs〉, As 7→ AI = eiH0tAse−iH0t; (4.18)

come sappiamo, la meccanica quantistica è invariante sotto trasformazioni unitarie, quindi le pre-dizioni fisiche fornite nel nuovo schema devono essere identiche a quelle ottenute nello schema diSchröedinger. In effetti si vede immediatamente che il valore di aspettazione di un operatore risulta

〈ψI |AI |ψI〉 = 〈ψs|e−iH0tAIeiH0t|ψs〉 = 〈ψs|As|ψs〉. (4.19)

Notiamo che, se non esistesse l’hamiltoniana di interazione, la descrizione di interazione coinciderebbecon la descrizione di Heisenberg. Cerchiamo di isolare le equazioni di evoluzione, in descrizione diinterazione, per stati ed operatori; nel caso degli operatori si ha, per definizione

AI(t) = eiH0tAse−iH0t. (4.20)

Per gli stati notiamo preliminarmente che

|ψI(t = 0)〉 = |ψs(t = 0)〉 := |ψ(0〉, (4.21)

mentre, per ottenere lo stato evoluto al tempo t, in descrizione di interazione, è sufficiente trasformareil corrispondente vettore dalla descrizione di Schröedinger

|ψI(t)〉 = eiH0te−i(H0+HI)t|ψ(0)〉. (4.22)

Possiamo quindi ricavare l’equazione di evoluzione per il vettore di stato

id|ψI(t)〉dt

= iiH0eiH0te−i(H0+HI)t|ψ(0)〉+ i(−i)eiH0t(H0 +HI)e−i(H0+HI)t|ψ(0)〉 =

= −eiH0tH0|ψs(t)〉+ eiH0tH0|ψs(t)〉+ eiH0tHIe−iH0teiH0t|ψs(t)〉 = eiH0tHIe

−iH0teiH0t|ψs(t)〉 == (HI)I |ψI(t)〉.

(4.23)Se scriviamo indichiamo la hamiltoniana di interazione in descrizione di interazione con HI(t) (ladipendenza dal tempo sottintende che stiamo usando la descrizione di interazione), possiamo scrivere

id|ψI(t)〉dt

= HI(t)|ψI(t)〉. (4.24)

57

Abbiamo così ottenuto che gli operatori evolvono secondo la teoria libera, che già conosciamo (equa-zioni di Dirac e Maxwell), e abbiamo isolato l’hamiltoniana di interazione, che tratteremo come unapiccola perturbazione.

D’ora in poi sottintenderemo sempre di essere nella descrizione di interazione. Notiamo che, comegiusto che accada, anche nella nuova teoria il prodotto scalare tra due ket di stato rimane costantenel tempo grazie all’hermitianità della hamiltoniana; infatti

d

dt〈ψ2(t)|ψ1(t)〉 = d〈ψ2(t)|

dt|ψ1(t)〉+ 〈ψ2(t)|d|ψ1(t)〉

dt= −i〈ψ2(t)| −HI(t) +HI(t)|ψ1(t)〉 = 0 (4.25)

4.3 La teoria delle perturbazioniCerchiamo ora di scrivere le nuove equazioni di evoluzione in un modo che evidenzi facilmente i terminidi ogni ordine nello sviluppo della hamiltoniana di interazione. Il punto di partenza è riscrivere la(4.24) in forma integrale. Per fare questo la integriamo nel tempo e otteniamo

i∫ t

t0dt′

d|ψ(t′)〉dt′

=∫ t

t0HI(t′)|ψ(t′)〉dt′, (4.26)

da cui|ψ(t)〉 = |ψ(t0)〉 − i

∫ t

t0dt′HI(t′)|ψ(t′)〉. (4.27)

In questo modo abbiamo isolato il contributo di ordine 0 nel parametro di sviluppo, ossia |ψ(t0)〉;se sopravvivesse solo tale contributo avremmo una teoria priva di interazioni, in cui il vettore distato rimane uguale a sè stesso nell’evoluzione temporale. Ci aspettiamo che, se g → 0 (dove g è lacostante di accoppiamento, ossia il parametro di sviluppo), il contributo con HI(t) sia trascurabilerispetto a |ψ(t0)〉.

A questo punto iteriamo il procedimento sostituendo |ψ(t′)〉 nella (4.27) con la (4.27)

|ψ(t)〉 = |ψ(t0)〉 − i∫ t

t0dt1HI(t1)

|ψt0〉 − i

∫ t1

t0dt2HI(t2)|ψ(t2)〉

=

= |ψ(t0)〉︸ ︷︷ ︸Ordine 0

− i∫ t

t0dt1HI(t1)|ψ(t0)〉︸ ︷︷ ︸

I ordine

−∫ t

t0dt1

∫ t1

t0dt2HI(t1)HI(t2)|ψ(t2)〉︸ ︷︷ ︸

Almeno del II ordine

.(4.28)

Ci si convince facilmente che, interando infinite volte, si ottiene

|ψ(t)〉 = |ψ(t0)〉+∞∑n=1

(−i)n∫ t1

t0dt1

∫ t1

t0dt2 . . .

∫ tn−1

t0dtnHI(t1)HI(t2) . . . HI(tn)|ψ(t0)〉. (4.29)

Notiamo che, nel prodotto delle n hamiltoniana, possiamo inserire senza problemi il prodotto tempoordinato, in quanto negli integrali ogni tn rimane sempre minore di tn−1; inoltre, una volta inseritoil prodotto tempo-ordinato, possiamo estendere ogni integrale fino a t e dividere per n!. Otteniamocosì la nota formula di Dyson, o sviluppo di Dyson

|ψ(t)〉 = |ψ(t0)〉+∞∑n=1

(−i)nn!

∫ t

t0dt1 . . .

∫ t

t0dtn T (HI(t1) . . . HI(tn)) |ψ(t0)〉, (4.30)

o, simbolicamente,|ψ(t)〉 = T exp

[−i∫ t

t0dt′HI(t′)

]|ψ(t0)〉. (4.31)

58

Abbiamo quindi trovato che l’operatore di evoluzione temporale può essere scritto nella forma

U(t, t0) = T exp[i∫ t

t0

∫R3d4xLI(x)

]; (4.32)

questa formula è particolarmente adatta al calcolo perturbativo di processi di diffusione.Supponiamo, ad esempio, di voler considerare l’effetto Compton; abbiamo quindi, a t = −∞, un

γ e un e− e questa situazione evolve fino a t = +∞, in cui i rivelatori trovano γ′ e e−′ . Definiamoun operatore, detto matrice S, come

S = U(+∞,−∞); (4.33)

se indichiamo lo stato iniziale con |i〉, lo stato al tempo +∞ sarà, per definizione,

S|i〉; (4.34)

se, inoltre, indichiamo con |f〉 lo stato in cui sono presenti γ′ e e−′ , quello potremo dedurre con inostri rivelatori sarà l’ampiezza di probabilità

〈f |S|i〉 (4.35)

4.4 Il teorema di WickSappiamo che, nella teoria delle perturbazioni che abbiamo costruito, per ottenere il contributo diordine n è necessario calcolare prodotti tempo ordinati di n operatori. In tale calcolo ci viene inaiuto il teorema di Wick.

Supponiamo di dover calcolare il T-prodotto di un numero arbitrario di operatori di campo liberi

T (A,B,C . . .X, Y, Z). (4.36)

Se definiamo contrazione per un prodotto di operatori

AB := 〈0|T (AB)|0〉, (4.37)

il teorema di Wick afferma che

T (A,B,C,D . . .X, Y, Z) =N(ABCD . . .XY Z) +N(ABCD . . .XY Z) +N(ABCD . . .W )+

+ termini con una contrazione +N(ABCD . . .XY Z)+

+ termini con due contrazioni + altri termini fino ad esaurire la serie.(4.38)

Nel caso di operatori fermionici, per calcolare un termine del tipo

N(ABCD) (4.39)

è necessario prima anticommutare D con C e B fino ad averlo adiacente all’operatore A con cui vacontratto.

59

Capitolo 5

L’elettrodinamica quantistica

5.1 Scattering di e− su un nucleo atomicoAvendo sviluppato tutti gli strumenti necessari passiamo ora al calcolo di sezioni d’urto per i processipiù semplici in cui si abbia interazione di paricelle di Dirac con campi elettromagnetici.

Il primo esempio che consideriamo è lo scattering di un elettrone su un nucleo atomico che, vistala grande massa, supporremo fisso in un punto dello spazio. Sottolineiamo che, in questo caso,non si può ancora parlare di elettrodinamica quantistica in quanto il campo elettromagnetico non ètrattato come una variabile, bensì ancora come un campo esterno. Il potenziale vettore creato da unnucleo atomico a riposo nell’origine delle coordinate spaziali ha componenti spaziali nulle e quartacomponente di natura coulombiana, ovvero

A0 = Ze

4π|x| , A = 0. (5.1)

Sappiamo che la lagrangiana di interazione è

LI = −e : ψ(x)A/(x)ψ(x) : = −e : ψ(x)A0γ0ψ(x) : . (5.2)

Poichè abbiamo supposto il nucleo fisso e immutabile, i vettori di stato dipenderanno soltanto dainumeri quantici dell’elettrone; quindi, se supponiamo che nello stato iniziale sia presente un elettronedi impulso p e polarizzazione r, possiamo scrivere il vettore di stato come

|p, r〉 = c+r (p)|0〉 = |i〉. (5.3)

In questo esempio supponiamo di metterci in un volume finito; i possibili impulsi saranno quindi

pn = 2πL

n, (5.4)

dove n è una qualsiasi terna di interi.Per il processo che stiamo studiando vogliamo rilevare uno stato finale della forma

|f〉 = c+r′(p′)|0〉 = |p′, r′〉. (5.5)

L’ampiezza di transizione sarà quindi

〈0|c+r′(p′)Sc+

r (p)|0〉, (5.6)

doveS = T exp

[i∫ +∞

−∞d4xLI(x)

]. (5.7)

60

Il termine di ordine 0 in questo sviluppo coincide con S = I, indica un elettrone che non ha interagitoed è visibile mettendo i rivelatori sull’asse p. Poichè non siamo interessati all’ampiezza di noninterazione trascuriamo il termine di ordine 0 e supponiamo di mettere i rivelatori al di fuori dell’assep.

Il termine di primo ordine risulta invece

〈0|cr′(p′)S c+r (p)|0〉 = −ie〈0|cr′(p′)

∫d4x : ψ(x)A/ψ(x) : c+

r (p)|0〉 =

= −ie∫d4x 〈0| cr′(p′) : ψ(x)A/ψ(x) : c+

r (p)|0〉.(5.8)

All’interno dell’elemento di matrice non compaiono termini con operatori d in quanto è presente ilbuon ordinamento.

Inserendo l’espansione per il campo di Dirac ψ(x) si ottiene

〈0|cr′(p′)S c+r (p)|0〉 =

= −ie∫d4x

∑p1,s

∑p2,s′

1V

√m

Ep1

√m

Ep2

e−ip1xeip2xur′(p2)A/ur(p1)〈0|cr′(p′)c+s′(p2)cs(p1)c+

r (p)|0〉 =

= −ie∫d4x

∑p1,s

∑p2,s′

1V

√m

Ep1

√m

Ep2

e−ip1xeip2xur′(p2)A/ur(p1)〈0|cr′(p′), c+

s′(p2)

cs(p1), c+r (p)

|0〉 =

= −ie∫d4x

∑p1,s

∑p2,s′

1V

√m

Ep1

√m

Ep2

e−ip1xeip2xur′(p2)A/ur(p1)δp′p2δr′,s′δpp1δrs =

= −ie∫d4x

1V

√m

Ep

√m

Ep′e−i(p−p

′)xur′(p′)A/ur(p) =

= −ie∫Vd3x

1V

√m

Ep

√m

Ep′

(∫ ∞−∞

dx0 e−i(p0−p′0)x0

)e−i(p−p′)·xA0(x)ur′(p′)γ0ur(p) =

= − ieV

m

Ep2π δ(p0 − p′0)︸ ︷︷ ︸

δ(Ep−Ep′ )

(∫Vd3x e−i(p−p′)·xA0(x)

)︸ ︷︷ ︸

Trasformata di Fourier di A0(x)

ur′(p′)γ0ur(p).

(5.9)La presenza della δ nelle energie implica che la teoria permette soltanto processi in cui l’energia siconserva; in effetti, in analogia con il caso classico, abbiamo che un potenziale non dipendente daltempo implica la conservazione dell’energia. Non abbiamo ottenuto la δ negli impulsi in quanto èpresente un potenziale esterno; per questo processo si conserva soltanto il modulo dell’impulso spa-ziale, non la sua direzione. Quando il campo elettromagnetico sarà anch’esso una variabile vedremoche la teoria implica la completa conservazione del quadrimpulso.

Per trovare la probabilità di rilevamento dobbiamo, come sempre, fare il modulo quadro dell’am-piezza; notiamo subito che si ottiene il quadrato della delta di Dirac, che è un oggetto impossibileda definire. Possiamo però reinterpretare il risultato:

2πδ(E − E ′)2πδ(E − E ′) = 2πδ(0)2πδ(E − E ′); (5.10)

ora, se richiamiamo l’espressione della delta di Dirac tramite trasformata di Fourier,

δ(E − E ′) = 12π

∫ +∞

−∞dx0 ei(E−E

′)x0, (5.11)

vediamo che, per un esperimento reale il dominio di integrazione non può essere davvero tutto R,per cui

δ(0) = 12π

∫ ∞−∞

dx0 = T

2π , (5.12)

61

dove T è il tempo totale di durata dell’esperimento. Segue

2πδ(E − E ′)2πδ(E − E ′) = 2πTδ(E − E ′). (5.13)

Possiamo liberarci di T cercando la probabilità di rilevamento per unità di tempo, ossia dividendoper T stesso. Otteniamo

e2

V 2m2

E2p

2πδ(Ep − Ep′)∣∣∣A0(p− p′)

∣∣∣2 ∣∣∣ur′(p′)γ0ur(p)∣∣∣2 . (5.14)

I nostri rivelatori però non riusciranno mai a scattare soltanto per esattamente un impulso pn = 2πnL

,ma saranno sensibili ad un certo range di impulsi

∆px∆py∆pz =(2πL

)3∆nx∆ny∆nz. (5.15)

La probabilità per unità di tempo va quindi moltiplicata per il numero di impulsi finali presenti intale intervallo

V

(2π)3e2

V 2m2

E2p

2πδ(Ep − Ep′)∣∣∣A0(p− p′)

∣∣∣2 ∣∣∣ur′(p′)γ0ur(p)∣∣∣2 d3p′. (5.16)

Per ottenere la sezione d’urto, che è la quantità davvero rilevante in un esperimento, bisogna dividerela probabilità per unità di tempo per il flusso incidente, ossia per il numero di particelle passanti,nell’unità di tempo, per una sezione ortogonale al fascio incidente. Il flusso è definito come la densitàdi particelle per la velocità

Φ = ρv, (5.17)

e, poichè ci siamo messi in un volume finito, se decidiamo di sparare una particella alla volta,otteniamo

ρ = 1V⇒ Φ = v

V. (5.18)

Notiamo che questo ragionamento classico è in accordo con la descrizione quantistica che stiamoadottando; infatti, mettendoci per semplicità nel caso del campo di Klein-Gordon, possiamo calcolarela densità di quadricorrente

Jµ = iφ+←→∂ µφ, (5.19)

e, prendendo per il campo di Klein-Gordon l’espressione

φ(x) = e−ipx√V 2Ep

, (5.20)

troviamo, per le componenti spaziali,

ji = i

V 2Ep

(eipx∂ie−ipx − e−ipx∂ieipx

)= i

V 2Ep

(−ipi − ipi

)= pi

V Ep; (5.21)

se richiamiamo chepi

Ep= mγvi

mγ= vi, (5.22)

otteniamoji = vi

V, (5.23)

in accordo con quanto detto per il flusso.

62

La sezione d’urto differenziale per il processo risulta quindi

dσ = V

(2π)3e2

V 2m2

E2p

V

|v|2πδ(Ep − Ep′)

∣∣∣A0(p− p′)∣∣∣2 ∣∣∣ur′(p′)γ0ur(p)

∣∣∣2 d3p′ =

= e2

(2π)3m2

E2p

Ep

|p|2πδ(Ep − Ep′)

∣∣∣A0(p− p′)∣∣∣2 ∣∣∣ur′(p′)γ0ur(p)

∣∣∣2 d3p′.(5.24)

Possiamo riarrangiare l’espressione utilizzando le coordinate polari per p′

d3p′ = |p′|2d|p′|dΩp′ = |p′|2d|p′| sin θp′dθp′dφp′ ; (5.25)

inoltre possiamo utilizzare

EpdEp =√m2 + p2d

(√m2 + p2

)=√m2 + p2 2|p|d|p|

2√m2 + p2 = |p|d|p|. (5.26)

Se notiamo inoltre che la conservazione dell’energia implica |p| = |p′|, segue

dσ = e2

(2π)3m2

E2p

Ep

|p|2πδ(Ep − Ep′)

∣∣∣A0(p− p′)∣∣∣2 ∣∣∣ur′(p′)γ0ur(p)

∣∣∣2 |p′|EpdEpdΩp′ =

= e2

(2π)3 2πm2δ(Ep − Ep′)∣∣∣A0(p− p′)

∣∣∣2 ∣∣∣ur′(p′)γ0ur(p)∣∣∣2 . (5.27)

Concentriamoci ora sul termine che comprende gli spinori; per poterlo calcolare dovrei conoscerele polarizzazioni esatte delle particelle all’inizio e alla fine dell’esperimento. Poichè in genere sieffettuano esperimenti di diffusione senza osservare le polarizzazioni, dobbiamo mediare la sezioned’urto sulle polarizzazioni iniziali e sommare sulle polarizzazioni finali utilizzando le relazioni dicompletezza.

dσ = e2

4π2m2∣∣∣A0(p− p′)

∣∣∣2 12∑rr′

∣∣∣u(p′, r′)γ0u(p, r)∣∣∣2 dΩp′ . (5.28)

Cerchiamo di svolgere esattamente le somme presenti nella (5.28); dobbiamo calcolare∑rr′

(u(p′, r′)γ0u(p, r)

) (u(p′, r′)γ0u(p, r)

)+=∑rr′u(p′, r′)γ0u(p, r)u+(p, r)γ0γ0u(p′, r′) =

=∑rr′u(p′, r′)γ0 u(p, r)u(p, r)︸ ︷︷ ︸

Proiettore su E>0

γ0u(p′, r′) =∑r′u(p′, r′)γ0 p/+m

2m γ0u(p′, r′).(5.29)

Ora, definiamo, per comodità, un operatore A come

A = γ0 p/+m

2m γ0, (5.30)

e sottintendiamo la dipendenza dalle variabili primate

u′ := u(p′, r′). (5.31)

Se reintroduciamo gli indici di Dirac per effettuare il calcolo, possiamo scrivere

∑r′αβ

u′αAαβu′β =

∑r′αβ

u′β u′α︸ ︷︷ ︸

Proiettore

Aαβ =∑αβ

(p/′ +m

2m

)βα

Aαβ = Tr(p/′ +m

2m γ0 p/+m

2m γ0). (5.32)

Segue chedσ = e2

8π2m2

4m2

∣∣∣A0(q)∣∣∣2 Tr ((p/′ +m)γ0(p/+m)γ0)

)dΩp′ . (5.33)

63

Introduciamo qualche risultato sulle tracce delle matrici γ che sono utili per proseguire nel calcolodella sezione d’urto. Sappiamo che ∀µ vale

Tr (γµ) = 0. (5.34)

Inoltre, per un numero dispari di matrici γ vale

Tr (γα . . . γµ) = 0; (5.35)

infatti, poichè sappiamo che (γ5)2 = I, possiamo scrivere

Tr (γα . . . γµ) = Tr((γ5)2γα . . . γµ

)= Tr

(γ5γα . . . γµγ5

). (5.36)

Ora possiamo usare γµ, γ5 = 0 per riavvicinare le due matrici γ5. Poichè le facciamo commutareun numero dispari di volte con le matrici γµ, alla fine sopravvive un segno meno. Quindi abbiamotrovato

Tr (γα . . . γµ) = −Tr (γα . . . γµ) = 0. (5.37)

Nel caso della sezione d’urto che stiamo calcolando abbiamo

Tr((p/′ +m)γ0(p/+m)γ0

)= Tr

(p/′γ0p/γ0

)+m2Tr

((γ0)2

), (5.38)

dove i termini aggiuntivi sono nulli in quanto contenenti tracce di 3 matrici γ.Ora enunciamo un’ulteriore utile formula, di cui omettiamo la dimostrazione; se a1, a2, a3, a4 sono

dei quadrivettori, si ha

Tr (a/1a/2a/3a/4) = 4 (a1 · a2 a3 · a4 − a1 · a3 a2 · a4 + a1 · a4 a2 · a3) , (5.39)

dove i prodotti scalari vanno ovviamente intesi nella metrica di Minkowski. Applicando quest’ultimaformula si ottiene

Tr(p/′γ0p/γ0

)+m2Tr

((γ0)2

)= 4

(2E ′E − p · p′ +m2

)= 8E2 − 4p · p′ + 4m2; (5.40)

il prodotto scalare tra i due quadrimpulsi può essere espanso nella forma

p · p′ = EE ′ − p · p′ = E2 − p2 cos θ, (5.41)

dove θ è l’angolo tra l’impulso spaziale iniziale e finale, detto angolo di scattering. Sostituendootteniamo quindi

Tr(p/′γ0p/γ0

)+m2Tr

((γ0)2

)= 8E2 − 4E2 + 4p2 cos θ + 4m2 = 4E2 + 4p2 cos θ + 4m2. (5.42)

La sezione d’urto è quindi

dσ = e2

32π2

∣∣∣A0(q)∣∣∣2 4

E2 + p2 cos θ +m2

= e2

8π2

∣∣∣A0(q)∣∣∣2 E2 + p2 cos θ +m2

. (5.43)

Concentriamoci ora sul termine contenente la trasformata di Fourier; per definizione avevamo

A0(q) =∫d3x−Ze4π|x|e

−iq·x. (5.44)

Sappiamo che

∆(

14π|x|

)= −δ(x), (5.45)

64

dove ovviamente il laplaciano va inteso in senso distribuzionale; inoltre se antitrasformiamo la (5.44)otteniamo

14π|x| =

∫ d3q(2π)3 A0(q)eiq·x. (5.46)

Applicando il laplaciano a quest’ultima relazione si ottiene

−∫ d3q

(2π)3 eiq·x = −δ(x) = ∆ 1

4π|x| = −∫ d3q

(2π)3 q2A0(q)eiq·x, (5.47)

per cuiA0(q) = Ze

q2 ⇒ |A0(q)|2 = Z2e2

q4 . (5.48)

Sostituendo, otteniamo per la sezione d’urto

dσ

dΩp′= Z2e4

8π2q2

(E2 + p2 cos θ +m2

); (5.49)

possiamo ora utilizzare la definizione q = p′ − p, per scrivere

q2 = p2 + p2 − 2p2 cos θ = 2p2(1− cos θ) = 4p2 sin2 θ

2 , (5.50)

per cui il termine al denominantore fornisce una dipendenza del tipo

dσ

dΩp′∝ 1

16p4 sin4 θ

2

= 1

16E4v4 sin4 θ

2

(5.51)

Allo stesso modo possiamo riscrivere il termine tra parentesi secondo

E2 +p2 cos θ+m2 = 2E2−p2 +p2 cos θ = 2E2(

1− p2

2E2 (1− cos θ))

= 2E2(

1− v2 sin2 θ

2

). (5.52)

Unendo questi risultati otteniamo l’espressione per la cosiddetta sezione d’urto di Mott

dσ

dΩp′= Z2e2

64π2E2v4 sin4 θ

2

(1− v2 sin2 θ

2

), (5.53)

che descrive correttamente la diffusione di un elettrone nel campo coulombiano di un nucleo all’ordinepiù basso nella costante di accoppiamento. Tale formula ovviamente perde validità per nuclei pesantiin quanto la costante Ze diventa troppo grande per essere un buon parametro perturbativo.

Per avere la sezione d’urto totale σ è necessario effettuare l’integrazione su tutti gli angoli solidiωp′ . Nota σ, sappiamo che la quantità

σNcφ, (5.54)

dove Nc è il numero di centri scatteratori e φ è il flusso di particelle entranti, fornisce il numero totaledi rilevamenti dei nostri detector. Notiamo però che, effettuando l’integrazione, l’integrale in dθ è

divergente per via della presenza di(

sin4 θ

2

)−1

.

Il problema è che il potenziale coulombiano decresce a zero troppo lentamente; anche particellelontanissime dal centro diffusore risentono del suo effetto, per cui non possiamo definire in modorigoroso la matrice S. Fortunatamente, in un esperimento reale, la particella proiettile non risente finoall’infinito dell’influsso del nucleo; in effetti, dopo che il proiettile si è allontanato a sufficienza, tutte

65

le altre cariche del laboratorio tendono a schermare il nucleo, il cui effetto è quindi asintoticamentetrascurabile. Supponiamo che il nucleo abbia una distribuzione di carica elettrica descritta da unadensità di carica ρ(x) che differisca da una delta di Dirac; sappiamo che il potenziale coulombianodi una tale distribuzione ha la forma

A0(x) = 14π

∫d3y

ρ(y)|x− y|

. (5.55)

Questo è un integrale di convoluzione di |x−y| con la distribuzione ρ(y). Dalla teoria sulle trasformatedi Fourier sappiamo che, se FT è l’operatore di Fourier,

FT (A0) = FT

(1

|x− y|

)FT (ρ) = 1

|q|2ρ(q). (5.56)

Se inseriamo questa trasformata di Fourier nella sezione d’urto otteniamo un andamento della forma

dσ

dΩp′= 1

q4 |ρ(q)|2 . (5.57)

Vediamo che, se ρ(0) = 0, può accadere che la singolarità si cancelli. D’altra parte chiaramente si ha

ρ(0) ∝∫d3x ρ(x); (5.58)

la condizione ρ(0) = 0 equivale quindi a carica elettrica nulla, condizione approssimativamentesoddisfatta in un esperimento reale.

5.2 Covarianza dell’elettrodinamica quantisticaAvevamo detto che la lagrangiana dell’elettrodinamica quantistica è

L = ψ(i∂/−m)ψ − 14FµνF

µν − eψA/ψ; (5.59)

avevamo inoltre imposto la condizione di gauge divA = 0, detta gauge di Coulomb. Come già dettotale gauge non è Lorentz invariante, il che implica che saranno presenti passaggi non covarianti; lalibertà di gauge permetterà però di imporre la condizione di Coulomb sui risultati finali, così daottenere una teoria, di fatto, covariante.

Le equazioni di Maxwell nella gauge di Coulomb sono

∂νFµν = e : ψγµψ :, (5.60)

dove il prodotto bene ordinato va inserito, ovviamente, solo nel caso quantistico. Trattando i campicome classici possiamo scrivere

∂ν (∂νAµ − ∂µAν) = Aµ − ∂µ∂νAν = jµ, (5.61)

la cui componente temporale è

A0 − ∂0(∂0A0 + ∂iA

i) = −∆A0 = j0. (5.62)

Tale equazione non descrive una situazione con una corretta evoluzione temporale, quindi non èLorentz invariante. In effetti la soluzione dell’equazione è data dal potenziale coulombiano per unadensità di carica elettrica

A0(x, x0) = 14π

∫ d3y|x− y|

j0(y, x0), (5.63)

66

che descrive un’azione istantanea, non una propagazione del segnale.Vogliamo studiare l’hamiltoniana dell’elettrodinamica quantistica nella gauge che abbiamo scelto;

ricordiamo che

H =∫d3xH =

∫d3x

(∂L∂ψ

ψ + ∂L∂Ai

Ai − ψ(i∂/−m)ψ − 12(E2 −B2) + eψA/ψ

); (5.64)

come già fatto vedere in precedenza il momento coniugato per il campo elettromagnetico è

∂L∂Ai

=(∂iA0 − ∂0Ai

), (5.65)

per cui l’hamiltoniana diventa

H =∫d3x

(ψ+(−iα · ∇+ βm)ψ +

(Ai − ∂iA0

)Ai − 1

2(E2 −B2

)+ eψA/ψ

). (5.66)

Effettuando un integrazione per parti sul quarto termine si ha

−∫d3x ∂iA0 Ai =

∫d3xA0 ∂iA

i = 0, (5.67)

per la condizione di Coulomb. Analizziamo ora il termine contenente il campo elettrico; sappiamoche

E = −∇A0 − A. (5.68)

Nella hamiltoniana abbiamo quindi

−12

∫d3x E2 = −1

2

∫d3x

(∇A0 + A

)2= −1

2

∫d3x

(A2 +

(∇A0

)2+ 2∇A0 · A

), (5.69)

dove, utilizzando ancora l’integrazione per parti e la condizione di Coulomb, si può vedere che ildoppio prodotto si annulla. La nostra hamiltoniana è a questo punto

H =∫d3x

ψ+(−iα · ∇+ βm)ψ︸ ︷︷ ︸

Hamiltoniana di Dirac

+ 12A2 + 1

2B2︸ ︷︷ ︸Hamiltoniana del

campo elettromagnetico

−12(∇A0)2 + eψA/ψ

. (5.70)

Possiamo ancora sviluppare il termine

−12

∫d3x

(∇A0

)2= −1

2

∫d3x∇A0 · ∇A0 = 1

2

∫d3xA0 ∆A0 = −1

2

∫d3xA0j0. (5.71)

Possiamo così scrivere la hamiltoniana nella forma

H =∫d3x

[HD

0 +Hγ0 −

12A0j0 + A0j0 + Aiji

]=∫d3x

[HD

0 +Hγ0 + 1

2A0j0 + Aiji

]=

= HD0 +Hγ

0 −∫d3x A · j + 1

8π

∫d3x

∫d3y

1|x− y|

j0(x, x0)j0(y, x0).(5.72)

Vediamo che l’hamiltoniana della nostra teoria non è Lorentz invariante (in quanto non lo sono gliultimi due termini). Tuttavia vedremo che, una volta inseriti nella matrice S, i termini non Lorentzinvarianti forniranno un termine che è Lorentz invariante.

67

5.3 Il propagatore del fotoneIntroduciamo ora il propagatore del fotone; abbiamo posticipato ad ora tale argomento per poterutilizzare qualche strumento della teoria delle interazioni sviluppata.

Avevamo trovato che il più generale campo elettromagnetico in gauge di Coulomb può esserescritto nella forma

A(x) =2∑i=1

∫ d3k√(2π)3 2ωk

(a

(i)k ε(k, i)e−ikx + a

(i)+k ε(k, i)eikx

), A0 = 0 (5.73)

dove εik sono vettori arbitrari purchè formino una terna ortonormale destrorsa con k|k|

. Poniamo perconvenzione che gli ε abbiano parità definita da

ε(−k, 1) = −ε(k, 1), ε(−k, 2) = ε(k, 2). (5.74)

Come sempre il propagatore sarà definito da

〈0|T (A(x), A(y))|0〉; (5.75)

effettuiamo prima un calcolo preliminare in componenti

〈0|Ai(x)Aj(y)|0〉 =2∑

r,r′=1

∫ d3k d3k′

(2π)3√2ωk√

2ωk′εj(k, r)εi(k′, r′)e−ik′xeiky〈0|a(r′)

k′ a(r)k |0〉 =

=2∑

r,r′=1

∫ d3k d3k′

(2π)3√2ωk√

2ωk′εj(k, r)εi(k′, r′)e−ik′xeiky〈0|

a

(r′)k′ , a

(r)k

|0〉 =

=2∑

r,r′=1

∫ d3k d3k′

(2π)3√2ωk√

2ωk′εj(k, r)εi(k′, r′)e−ik′xeikyδ(k− k′)δrr′ =

=∫ d3k

(2π)3 2ωke−ik(x−y)

2∑r=1εj(k, r)εi(k, r).

(5.76)

Il propagatore è combinazione lineare di due termini di questo tipo con le rispettive funzioni gradino

〈0|T (Ai(x), Aj(y))|0〉 = θ(x0 − y0)〈0|T (Ai(x), Aj(y))|0〉+ θ(y0 − x0)〈0|T (Aj(y), Ai(x))|0〉, (5.77)

e si può scrivere, utilizzando un integrale già calcolato in precedenza, nella forma

〈0|T (Ai(x), Aj(y))|0〉 =∫ d4k

(2π)4i

k2 + iε

2∑r=1εi(k, r)εj(k, r)e−ik(x−y). (5.78)

Vogliamo scrivere questa espressione in una forma manifestamente covariante; per andare verso lacovarianza dobbiamo agire in modo da mascherare la dipendenza dai tre indici spaziali dei vettori ε.In seguito cercheremo di ricondurre la somma ∑2

r=1 εi(k, r)εj(k, r) ad una somma di completezza in

dimensione 4. Definiamo quindi dei vettori

εµ(k, r) =(

0ε(k, r)

). (5.79)

Per ottenere una tetrade ortogonale possiamo inoltre tentare di introdurre due ulteriori vettori

kµ =(k0

k

), ηµ =

(10

). (5.80)

68

In questo modo otteniamo

kµεµ = k0ε0 + k · ε = 0, ηµεµ = 0, kµηµ = k0, (5.81)

quindi la tetrade non è ancora ortogonale. Se però ridefiniamo il vettore k secondo

k 7→ k − (k · η)η, (5.82)

otteniamo correttamente(kµ − (k · η)ηµ) ηµ = 0. (5.83)

Rimane a questo punto da normalizzare la tetrade. Sappiamo che ε(k, r) è normalizzato a -1, η ènormalizzato a 1 e dobbiamo normalizzare k − (k · η)η;

(k − (k · η)η)2 = k2 + (k · η)2 − 2(k · η)2 = k2 − (k · η)2 =(k0)2− k2 −

(k0)2

= −k2. (5.84)

Per normalizzare k a -1 lo ridefiniamo secondo

k := k − (k · η)η√(k · η)2 − k2

. (5.85)

Sappiamo che, per una metrica definita positiva, una relazione di completezza in n dimensioni èn∑i=1

viµviν = δµν , (5.86)

mentre, nel nostro caso, dobbiamo avere

2∑r=1

εµ(k, r)εν(k, r) = −gµν − kµkν + ηµην . (5.87)

Per verificare che questa è la corretta relazione, la applichiamo ad ognuno dei vettori della tetrade everifichiamo che si ottiene un’identità. Cominciamo con εν(k, r′).

2∑r=1

εµ(k, r)εν(k, r)εν(k, r′) = −gµνεν(k, r′)− kµkνεν(k, r′) + ηµηνεν(k, r′)

−2∑r=1

εµ(k, r)δrr′ = −εµ(k, r′) + 0(5.88)

e, usando la δrr′ per effettuare la somma, si ottiene effettivamente un’identità. Allo stesso modo perην

2∑r=1

εµ(k, r)εν(k, r)ην = −gµνην − kµkνην + ηµηνην

0 = −ηµ − 0 + ηµ,

(5.89)

e per kν2∑r=1

εµ(k, r)εν(k, r)kν = −gµν kν − kµkν kν + ηµην kν

0 = −kµ + kµ + 0.(5.90)

69

Poichè la relazione di completezza (5.87) è valida se valutata sui vettori di una base, deduciamo chevale su tutto lo spazio. Possiamo espandere il prodotto tra i due k nella (5.87)

2∑r=1

εµ(k, r)εν(k, r) = −gµν + ηµην − (kµ − (k · η)ηµ) (kν − (k · η)ην)(k · η)2 − k2 =

= −gµν + ηµην − kµkν

(k · η)2 − k2 + (k · η) [kµην + kνηµ](k · η)2 − k2 − (k · η)2ηµην

(k · η)2 − k2 .

(5.91)

Per avere un’espressione manifestamente covariante vorrei avere soltanto gµν al secondo membro;dobbiamo trovare un motivo per poter trascurare gli altri termini.

Sappiamo che, nell’interazione elettromagnetica, l’operatore che subentra nella teoria delle per-turbazioni, ad esempio al secondo ordine, è

T((ψxA/xψx

),(ψyA/yψy

))= N

((ψxA/xψx

),(ψyA/yψy

))+ termini con una contrazione. (5.92)

Il termine in cui compare il propagatore del fotone è ovviamente

N(ψxA/xψx, ψyA/yψy

); (5.93)

vediamo che, inserendo l’espressione per il propagatore dedotta dalla (5.91), i termini in cui è presentein kµ vanno a saturarsi con termini del tipo ψγµψ, ossia con la corrente conservata fornendo

kµjµ. (5.94)Poichè la corrente conservata soddisfa

∂µjµ = 0; (5.95)prendendo la trasformata di Fourier si ottiene

kµjµ = 0, (5.96)quindi possiamo trascurare il contributo al propagatore derivante dai termini con kµ.

Rimangono da considerare i termini in ηµην nella (5.91). Possiamo scrivere

ηµην

1− (k · η)2

(k · η)2 − k2

= −ηµην k2

(k · η)2 − k2 = −ηµην k2

k2 . (5.97)

Nel propagatore, oltre al termine in gµν , sarà quindi presente un termine del tipo

−ηµην∫ d4k

(2π)41

k2 + iε

k2

k2 e−ik(x−y) = −ηµην

∫ d4k

(2π)41k2 e

−ik(x−y) = −ηµηνδ(x0−y0)∫ d3k

(2π)31k2 e

ik·(x−y).

(5.98)Notiamo che tale termine fornisce contributo soltanto per tempi uguali (per via della presenza delladelta) e che nell’integrale di Fourier è presente la funzione di Green del campo elettrostatico. Possiamoquindi riscrivere il contributo nella forma

−ηµηνδ(x0 − y0) 14π

1|x− y|

. (5.99)

Possiamo però recuperare l’espressione dell’hamiltoniana di interazione che avevamo trovato nellasezione precendente

HI = e∫ψ+A · γψ + 1

8π

∫ d3xd3y|x− y|

j0(x, x0)j0(y, x0); (5.100)

più avanti vedremo che, nel calcolo delle sezioni d’urto, il termine elettrostatico nella (5.100) sicancella con la (5.99).

Abbiamo quindi trovato che il propagatore del fotone soddisfa la relazione

〈0|T (Aµ(x), Aν(y))|0〉 =∫ d4k

(2π)4−igµν

k2 + iεe−ik(x−y) (5.101)

70

5.4 Il problema degli infinitiIn questa sezione sottolineiamo brevemente un problema evidente con cui ci si scontra immediata-mente sviluppando una teoria come la nostra. Possiamo mostrare facilmente che nella nostra teoriasaranno presenti degli infiniti: supponiamo infatti di descrivere la distribuzione di carica elettricasu di una particella con una distribuzione ρ(x); in presenza di tale carica la massa della particellasubirà una correzione secondo

me 7→ me + 1c2

18π

∫ d3xd3y|x− y|

ρ(x)ρ(y). (5.102)

Se però le particelle sono puntiformi, proprio come stiamo supponendo, l’unica distribuzione possibileper la carica è ρ(x) = eδ(x− y); segue che la correzione è

me 7→ me +∫ 1

0 , (5.103)

ossia un assurdo. Tale problema era presente anche nella teoria classica, ma poteva essere aggiratosupponendo le particelle delle sferette di estensione minima ma finita. Poichè però la nostra teoria èrelativistica incontriamo un problema in quanto una sfera non è un invariante di Lorentz, quindi, seuna particella fosse sferica in un sistema di riferimento, non lo sarebbe in un altro.

Con considerazioni analoghe si può vedere che lo stesso problema si presenta nel caso della caricaelettrica.

5.5 Scattering e+e− → µ+µ−

Cerchiamo ora di avvicinarci al più semplice calcolo di sezione d’urto possibile nella nostra teoria.Innanzitutto dobbiamo espandere lo spazio degli stati per poter includere, oltre a e+, e−, γ, ancheµ+, µ−; ciò equivale ad avere due campi di Dirac diversi ed indipendenti, differenziati per il valoredella massa. La lagrangiana libera sarà quindi

L0 = ψe(i∂/−me)ψe + ψµ(i∂/−mµ)ψµ + Lc.e.m0 , (5.104)

mentre quella di interazione sarà

LI = −eψeA/ψe − eψµA/ψµ. (5.105)

Notiamo che la lagrangiana L = L0 + LI è invariante per trasformazioni di fase comuni ai campiψe e ψµ, il che comporta la conservazione della carica elettrica, ma anche per trasformazioni di faserelative a solo uno dei due campi, il che comporta la conservazione di un nuovo numero quantico,detto numero leptonico elettronico in un caso e numero leptonico muonico nell’altro.

Dimostriamo innanzitutto che non può esistere un processo al primo ordine del tipo e− → e−γ;sapendo che l’hamiltoniana di interazione è HI = −LI , possiamo scrivere che l’elemento di matriceal primo ordine della matrice S (ossia lo sviluppo di primo ordine di S − I) è

S − I I ordine= −ie∫d4x

(: ψe(x)A/(x)ψe(x) : + : ψµ(x)A/(x)ψµ(x) :

). (5.106)

Se scegliamo come stato iniziale uno stato con un elettrone di momento p

|i〉 = |e−〉 = |p〉, (5.107)

71

e come stato finale uno con un elettrone di momento p′ e un fotone di momento q

|f〉 = |e−γ〉 = |p′q〉, (5.108)

possiamo scrivere l’ampiezza di transizione come

〈f |S − I|i〉 = −ie∫d4x

∫d3k1

∫d3k2

∫d3k3

× 1(2π)9/2√2ωk3

√m

Ek1

√m

Ek2

〈p′q|c+k2a+

k3ck1|p〉e−ik1xuk2γ

µuk1eik2xεµ(k3)eik3x =

= −ie∫d4x

∫d3k1

∫d3k2

∫d3k3

× 1(2π)9/2√2ωk3

√m

Ek1

√m

Ek2

δ3(k2 − p′)δ3(k1 − p)δ3(k3 − q)e−ik1xuk2γµuk1e

ik2xεµ(k3)eik3x =

= −ie∫d4x

1(2π)9/2√2ωq

√m

Ep

√m

Ep′up′γ

µupεµ(q)e−ipxeip′xeiqx.

(5.109)Se effettuiamo l’integrazione in d4x otteniamo un risultato proporzionale a

δ4(p− p′ − q), (5.110)

ossia la corretta conservazione del quadrimpulso. Notiamo però che, se ci mettiamo nel sistema incui e−p è a riposo, il bilancio energetico fornisce

me = E ′ + Eγ, (5.111)

e, poichè necessariamente E ′ ≥ me e Eγ > 0, troviamo un assurdo. In effetti tale argomento hacarattere generale: non possiamo costruire in alcun modo un processo al primo ordine. Dovremoquindi concentrarci su processi al secondo ordine, ossia sul termine del secondo ordine dello sviluppodella matrice S

S(2) = (−ie)2

2!

∫d4x1

∫d4x2

×T(ψe(x1)A/(x1)ψe(x1) + ψµ(x1)A/(x1)ψµ(x1), ψe(x2)A/(x2)ψe(x2) + ψµ(x2)A/(x2)ψµ(x2)

).

(5.112)

Poichè vogliamo calcolare la sezione d’urto per un processo del tipo e+e+ → µ+µ−, non tutti i prodottiincrociati del T -prodotto qui sopra sono interessanti: per l’esattezza non dobbiamo guardare i terminiin cui compaiono prodotti del tipo

HeIHe

I , HµIH

µI , (5.113)

dove HeI è l’hamiltoniana di interazione per gli elettroni e Hµ

i quella per i muoni. Se introduciamo lecorrenti, troviamo che l’elemento di matrice S da calcolare è (sottintendendo l’indice per gli elettroni)

−e2

2

∫d4x1

∫d4x2

T(j(µ)ν (x1)Aν(x1), jρ(x2)Aρ(x2)

)+ T

(jρ(x1)Aρ(x1), j(µ)

ρ (x2)Aν(x2)). (5.114)

Se invertiamo i nomi delle variabili nel secondo addendo troviamo, grazie alla commutatività delT -prodotto,

−2e2

2

∫d4x1

∫d4x2T

(j(µ)ν (x1)Aν(x1), jρ(x2)Aρ(x2)

). (5.115)

Possiamo a questo punto utilizzare il teorema di Wick; troviamo che l’unica contrazione da calcolareè

T(

: ψµA/ψµ : , : ψA/ψ), (5.116)

72

in quanto tutte le altre prevedono propagatori in cui sono coinvolti un operatore elettronico e unomuonico; tali propagatori sono quindi nulli. Possiamo quindi scrivere

S(2) = −e2∫d4x1

∫d4x2

∫d4k−igµν

k2 + iεe−ik(x1−x2)N

(j(µ)ν (x1), jρ(x2)

). (5.117)

L’elemento di matrice tra gli stati inziali e finali si è quindi ridotto, a meno di fattori, a

〈qq′|N(j(µ)ν (x1)jρ(x2)

)|pp′〉. (5.118)

Poichè il ket è uno stato elettronico e il bra uno muonico, possiamo scomporre il prodotto normalesecondo

〈qq′|j(µ)ν (x1)|0〉〈0|jρ(x2)|pp′〉, (5.119)

e ottenere

〈f |S(2)|i〉 = −e2∫d4x1

∫d4x2

∫ d4k

(2π)4−igνρ

k2 + iεe−ikx(x1−x2)〈qq′|j(µ)

ν (x1)|0〉〈0|jρ(x2)|pp′〉. (5.120)

Utilizzando le espressioni generali per il campo di Dirac possiamo calcolare facilmente〈0|jρ(x2)|pp′〉 = 〈0| : ψ(x2)γρψ(x2) : |pp′〉 =

=∫d3k1

∫d3k2

1(2π)3

√m

Ek1

√m

Ek2

vk2γρuk1e−ik1x2eik2x2〈0|dk2d

+p′ck1c

+p |0〉 =

=∫d3k1

∫d3k2

1(2π)3

√m

Ek1

√m

Ek2

vk2γρuk1e−ik1x2eik2x2〈0|

dk2 , d

+p′

ck1 , c+p

|0〉 =

=∫d3k1

∫d3k2

1(2π)3

√m

Ek1

√m

Ek2

vk2γρuk1e−ik1x2eik2x2δ(p′ − k2)δ(k1 − p) =

= 1(2π)3

√m

Ep

√m

Ep′vp′γρupe

−ipx2eip′x2 .

(5.121)

Possiamo a questo punto cominciare ad introdurre i diagrammi di Feynman, ossia una versionegrafica della teoria delle perturbazioni. A seconda delle condizioni iniziale e finale, possiamo scrivereun grafico che permette il calcolo della sezione d’urto senza dover fare tutto il calcolo della matriceS con le contrazioni di Wick.

Cerchiamo di recuperare le formule (5.120) e (5.121) tramite i diagrammi di Feynman; poichèabbiamo una corrente elettronica ψA/ψ dobbiamo inserire una figura del tipo

che è il vertice fondamentale dell’elettrodinamica quantistica. Le due linee continue inferiori rappre-sentano i fermioni nello stato inziale mentre la linea superiore è il propagatore del fotone. Analoga-mente, data la presenza della corrente muonica finale, dobbiamo inserire un disegno del tipo

73

Vedremo che l’unico modo per connettere queste due figure rispettando le regole di Feynman è

Avendo costruito questo diagramma, abbiamo delle regole precise che ci permettono di arrivare alcalcolo della sezione d’urto. Innanzitutto concentriamoci sulla corrente elettronica: le regole diconodi scrivere un vp per l’antielettrone iniziale, un −ieγρ per il vertice e un up′ per l’elettrone iniziale.Per quanto riguarda la corrente muonica, dobbiamo scrivere uq′ per il muone finale, −ieγν per ilvertice e vq per l’antimuone finale. Infine la regola di Feynman per il progatore fotonico impone discrivere un fattore −igρν

k2 + iε, dove k è il quadrimpulso del fotone. Troviamo così il cosiddetto elemento

di matrice invarianteMif := (−ie)2 −igρν

k2 + iεu

(µ)q′ γ

νv(µ)q vpγ

ρup′ . (5.122)

Una ulteriore regola afferma che in ogni vertice deve vigere la conservazione del quadrimpulso. Nelnostro caso avremo quindi p+ p′ = k = q + q′, per cui possiamo scrivere

Mif := (−ie)2 −igρν(p+ p′)2 + iε

u(µ)q′ γ

νv(µ)q vpγ

ρup′ . (5.123)

Recuperiamo ora per un attimo la teoria del propagatore del fotone, in particolare la formula (5.91);vediamo che il termine kµkν , se introdotto nell’elemento di matrice invariante, fornisce un contributoidenticamente nullo. Se scriviamo infatti

(−ie)2−i (gρν + kρkν)(p+ p′)2 + iε

u(µ)q′ γ

νv(µ)q vpγ

ρup′ , (5.124)

grazie alla conservazione del quadrimpulso abbiamo che il termine aggiuntivo è un prodotto di fattoridel tipo

kρ vpγρup′ = (p+ p′)ρ vpγ

ρup′ = vpp/up′ + vpp/′up′ . (5.125)

Se ricordiamo le equazioni che soddisfano gli spinori u, possiamo scrivere

kρ vpγρup′ = −mvpup′ +mvpup′ = 0, (5.126)

per cui possiamo ignorare il termine aggiuntivo nel propagatore.Notiamo inoltre che possiamo omettere il termine iε al denominatore nel propagatore del fotone:

esso era stato aggiunto per trattare adeguatamente la singolarità in k2 = 0, ma possiamo dimostrareche, a causa della conservazione del quadrimpulso in ogni vertice, il quadrato del momento del fotonenon può mai essere nullo. Tale momento sarà infatti, come detto,

k = p+ p′ = q + q′; (5.127)

se ci mettiamo nel sistema del centro di massa avremo che la somma degli impulsi spaziali è nullamentre per la componente temporale vale

2Ep = 2Eq, (5.128)

74

ossia √m2e + p2

e =√m2µ + q2

µ. (5.129)

Se trascuriamo la massa dell’elettrone troviamo

pe =√m2µ + q2

µ > 0, (5.130)

per cui(p+ p′)2 = (Ecm)2 > 0. (5.131)

Possiamo quindi scrivere l’elemento di matrice invariante nella forma

Mif = (−ie)2 −igρν(p+ p′)2 u

(µ)q′ γ

νv(µ)q vpγ

ρup′ . (5.132)

Per ottenere la probabilità di transizione dobbiamo aggiungere i fattori cinematici e quelli di nor-malizzazione ed effettuare il modulo quadro; se ci mettiamo con condizioni periodiche in un volumefinito la probabilità di transizione sarà∣∣∣∣∣∣

√m

Ep

√m

Ep′

√mµ

Eq

√mµ

Eq′Mif

(1√V

)4

(2π)4δ4(p+ p′ − q − q′)

∣∣∣∣∣∣2

=

=m2m2

µ

EpEp′EqEq′|Mif |2

(1√V

)8 ((2π)4δ4(p+ p′ − q − q′)

)2.

(5.133)

Per comodità di notazione indichiamo con p1 il quadrimpulso dell’elettrone, p2 quello del positrone,p3 quello del muone e p4 quello dell’antimuone; usiamo inoltre una notazione analoga per gli spinori(ad esempio v2 := v(p2, r2)). Possiamo quindi riscrivere l’elemento di matrice come

Mif = (−ie)2 −igµν(p1 + p2)2 v2γ

µu1 u3γνv4 (5.134)

Per avere la sezione d’urto dobbiamo moltiplicare per le densità degli stati finali V d3p3

(2π)3V d3p4

(2π)3 inquanto il detector rivelerà un certo volumetto di impulsi; inoltre dobbiamo dividere per il tempo didurata dell’esperimento T e per il flusso 2v

V

v'1' 2V. Infine, analogamente al processo considerato in

precedenza, possiamo interpretare il quadrato della delta di Dirac secondo∣∣∣(2π)4δ4(pi − pf )∣∣∣2 = (2π)4δ4(pi − pf )(2π)4δ4(0) = (2π)4δ4(pi − pf )TV. (5.135)

In questo modo otteniamo infine

dσ = |Mif |21V 4

m2e

p01 p

02

m2µ

p03 p

04

V 2d3p3d3p4

(2π)3(2π)3 (2π)4δ4(p1 + p2 − p3 − p4)TV 1T

V

2 =

= |Mif |2m2e

p01 p

02

m2µ

p03 p

04

d3p3

(2π)3d3p4

(2π)3(2π)4δ4(p1 + p2 − p3 − p4)

2 .

(5.136)

La presenza della delta di conservazione afferma che abbiamo avuto un effettiva trasformazione dienergia in massa, come previsto teoricamente dalla relatività speciale.

Se ci mettiamo nel sistema del baricentro abbiamo p1 + p2 = 0 = p3 + p4 e E1 + E2 = 2E =E3 + E4 = 2E ′, ossia, come già detto,√

m2e + p2

1 =√m2µ + p2

3. (5.137)

75

Vediamo che il processo considerato è un processo a soglia in quanto, affinchè quest’ultima relazionesia soddisfatta, p1 deve essere sufficientemente grande. Nel sistema di riferimento del baricentroavremo quindi

dσ = |Mif |2m2em

2µ

2E4 (2π)4δ4(pi − pf )d3p3d

3p4

(2π)6 . (5.138)

Possiamo usare la parte tridimensionale della delta per integrare ad esempio in d3p4: dobbiamosostituire −p3 ovunque compaia p4; otteniamo così

dσ = |Mif |2m2em

2µ

2E4 (2π)4δ(Ei − Ef )d3p3

(2π)6 . (5.139)

Notiamo inoltre che la delta nelle energie implica la conservazione del modulo dell’impulso; sepassiamo in coordinate polari scriviamo

dσ =m2em

2µ

2E41

(2π)2 |Mif |2δ(2E − 2E ′)p′2dp′dΩp′ . (5.140)

Se usiamo la relazione già ricavata p′dp′ = E ′dE ′, la proprietà della delta di Dirac δ(2f) = 12δ(f), e

integriamo su p′, troviamo

dσ =m2em

2µ

2E41

(2π)2 |Mif |212p′EdΩp′ =

m2em

2µ

2E31

(2π)2 |Mif |212p′dΩp′ (5.141)

Possiamo ora recuperare l’espressione per l’elemento di matrice invariante e scrivere

Mif = (−ie)2 −igµν(p1 + p2)2 v2γ

µu1 u3γνv4 = (−ie)2−igµν

(2E)2 v2γµu1 u3γ

νv4. (5.142)

Se sostituiamo nella sezione d’urto, mediamo sulle polarizzazioni iniziali di elettroni e positroni esommiamo su quelle finali di muone e antimuone, otteniamo

dσ

dΩp′=

m2em

2µ

4E3(2π)2p′14e

4∑pol

116E4 |gµνv2γ

µu1 u3γνv4|2. (5.143)

Per proseguire nel conto dobbiamo effettuare la somma sulle polarizzazioni; il procedimento è analogoa quello del processo considerato in precedenza.∑

pol

|gµνv2γµu1 u3γ

νv4|2 =∑pol

gµν(u+

1 γµ+γ0v2

) (v+

4 γν+γ0u3

)gρσ (v2γ

ρu1) (u3γσv4) . (5.144)

Possiamo dimostrare che valeγµ+γ0 = γ0γµ, (5.145)

per cui ∑pol

|gµνv2γµu1 u3γ

νv4|2 =∑pol

gµνgρσ (u1γµv2) (v4γ

νu3) (v2γρu1) (u3γ

σv4) . (5.146)

Utilizzando nuovamente le relazioni di completezza

∑pol

uu = p/+m

2m ,∑pol

vv = p/−m2m (5.147)

76

possiamo scrivere∑pol

|gµνv2γµu1 u3γ

νv4|2 = gρσgµνTr(γµ

p/2 −me

2me

γρp/1 +me

2me

)Tr(γνp/3 +mµ

2mµ

γσp/4 −mµ

2mµ

). (5.148)

Sostituendo otteniamodσ

dΩp′= 1

16 · 64E7(2π)2p′e4

4 gρσgµνTr (γµ (p/2 −me) γρ (p/1 +me))Tr (γν (p/3 +mµ) γσ (p/4 −mµ)) .

(5.149)A questo punto possiamo imporre me ' 0, il che corrisponde fisicamente a trascurare la massadell’elettrone rispetto a quella del muone. Otteniamo così

dσ

dΩp′= 1

16 · 64E7(2π)2p′e4

4 gρσgµνTr (γµ p/2 γρ p/1)Tr (γν (p/3 +mµ) γσ (p/4 −mµ)) ; (5.150)

se utilizziamo la formula (5.39) per la traccia di prodotti di matrici γ otteniamo (

gρσgµνTr (γµ p/2 γρ p/1)Tr (γν (p/3 +mµ) γσ (p/4 −mµ)) =

= 4gρσ4gµν pµ2pρ1 − gµρp1p2 + pµ1pρ2pν3p

σ4 − gνσp3p4 + pν4p

σ3 −m2

µgνσ.

(5.151)

Se sostituiamo quest’espressione nella sezione d’urto vediamo che abbiamo espressioni del tipo p2 ·p3 p1 · p4; possiamo introdurre l’angolo θ tra gli impulsi finali e proseguire il calcolo.

Alla fine, nel limite di muone e antimuone ultrarelativistici si può ottenere

σ ∝ 1E2 (5.152)

5.6 Effetto ComptonPassiamo ora a considerare il processo γ + e− → γ + e−. Indichiamo con q e q′ i quadrimpulsi deifotoni iniziali e finali, con polarizzazioni sottintese; analogamente per gli elettroni con p e p′.

Si può facilmente vedere che al primo ordine nella carica elettrica nessun contributo è presente;al secondo ordine abbiamo invece 2 vertici

Possiamo accoppiare il primo con gli operatori di creazione delle particelle iniziali e il secondo conquelli delle particelle finali, oppure viceversa; in questo modo si può eliminare l’ 1

n! nello sviluppo diDyson. Possiamo quindi enunciare la regola di Feynman ulteriore di considerare soltanto i diagrammidi Feynman topologicamente distinti; uno possibile è quindi

77

Non abbiamo ancora enunciato una regola di Feynman per quando sono presenti fotoni iniziali ofinali; se però recuperiamo lo sviluppo di Dyson e utilizziamo l’espressione generale per il campoelettromagnetico possiamo vedere facilmente che dobbiamo inserire il tetravettore εµ sia per fotoniiniziali che finali. L’elemento di matrice invariante sarà quindi

(−ie)2εµ(q′)up′γµ ip/+ q/+m

(p+ q)2 −m2 + iεγν upε

ν(q). (5.153)

Dobbiamo però considerare che c’è un altro modo di unire i due vertici e ottenere un diagrammaammissibile

Per tale diagramma l’elemento di matrice è invece

(−ie)2up′ε/(q) i p/− q/′ +m

(p− q′)2 −m2 + iεε/′(q′)up (5.154)

Per ottenere l’elemento di matrice completo dobbiamo sommare i due contributi. Per comoditàutilizziamo l’espressione del propagatore con le matrici inverse

Mif = (−ie)2εµ(q′)up′γµ i1

p/+ q/−m+ iεγν upε

ν(q) + (−ie)2up′ε/(q) i 1p/− q/′ −m+ iε

ε/′(q′)up

(5.155)Soffermiamoci un momento a studiare l’(eventuale) invarianza di gauge dell’elemento di matrice

invariante dedotto dalle regole di Feynman; sappiamo che la fisica del campo elettromagnetico ingauge di Lorentz (∂µAµ = 0) è invariante per trasformazioni del tipo Aµ 7→ Aµ∂µΛ con Λ funzio-ne scalare arbitraria verificante Λ = 0. Tale proprietà suggerisce che la corrispondente legge ditrasformazione per εµ (che è parente della trasformata di Fourier di Aµ) debba essere

εµ 7→ εµ − ikµΛ(k), (5.156)

in quanto −ikµ è la trasformata di Fourier di ∂µ. Dobbiamo quindi verificare che l’εµ trasformatofornisce un identico elemento di matrice; possiamo ricordare che, nel caso del processo e+e− → µ+µ−,il termine in kµ nel propagatore non forniva contributo (a causa della conservazione della jµ) e potevaquindi essere trascurato. Verifichiamolo nel caso dell’effetto Compton; se scriviamo

Mif = εµ(q)εν(q′)Mµν(q, q′, p, p′), (5.157)

allora quello che dobbiamo dimostrare è

qµε′ν(q′)Mµν(q, q′, p, p′) = 0. (5.158)

78

Sostituendo abbiamo

i(−ie)2up′ε/′(q′) 1

p/+ q/−mq/up + i(−ie)2up′q/

1p/− q/′ −m

ε/′(q′)up =

(p/−m)up=0= i(−ie)2up′ε/′(q′) 1

p/+ q/−m(p/+ q/−m)up + i(−ie)2up′q/

1p/− q/′ −m

ε/′(q′)up =

p−q′=p′−q= i(−ie)2up′ε/′(q′) 1

p/+ q/−m(p/+ q/−m)up + i(−ie)2up′q/

1p/′ − q/−m

ε/′(q′)up =

up′ (−p/′+m)=0= i(−ie)2up′ε/

′(q′) 1p/+ q/−m

(p/+ q/−m)up + i(−ie)2up′(−p/′ + q/+m) 1p/′ − q/−m

ε/′(q′)up =

= i(−ie)2up′ε/′(q′)up + i(−ie)2up′ε/

′(q′)up = 0.(5.159)

Abbiamo così dimostrato che le regole di Feynman forniscono un elemento di matrice con la correttainvarianza di gauge. Se adesso effettuiamo il modulo quadrato otteniamo (reintroducendo gli indicidi polarizzazione dei fotoni)

|Mif |2 = εµr (q)ε′νs (q′)MµνM∗ρσε

ρr(q)ε′σs (q′). (5.160)

A questo punto dobbiamo come sempre effettuare la media sulle polarizzazioni iniziali e la sommasu quelle finali; le somme sulle polarizzazioni degli elettroni (presenti inMµνM∗

ρσ) si effettuano conprocedimenti del tutto analoghi a quelli già discussi. La somma sulle polarizzazioni dei fotoni saràinvece

|Mif |2 = 12∑rs

εµr (q)ε′νs (q′)MµνM∗ρσε

ρr(q)ε′σs (q′). (5.161)

Possiamo però richiamare la relazione di completezza ottenuta precedentemente2∑r=1

εµr (q)ερr(q) = −gµρ, (5.162)

a meno di termini in kµ, che non forniscono contributo per quanto dimostrato appena sopra, e terminiin k2 che si annullano in quanto i fotoni in questo processo sono esterni (su mass-shell) e soddisfanok2 = 0. Troviamo così che l’elemento di matrice invariante per l’effetto Compton è dato da

Mif = 12g

µρgνσMµνM∗ρσ. (5.163)

I passi successivi che portano al calcolo della sezione d’urto sono analoghi a quelli già effettuati equindi li omettiamo.

5.7 Scattering e+e− → γγ

Passiamo ora a considerare un processo con due elettroni iniziali e due fotoni finali. Si vede facilmenteche i diagrammi di Feynman possibili sono

79

Il primo diagramma fornisce(−ie)2vp2γ

µεµ(p4)iS(k)γνεν(p3)up1 = (−ie)2vp2ε/(p4)iS(p1 − p3)ε/(p3)up1 =

= (−ie)2v2ε/4i

p/1 − p/3 −mε/3u1,

(5.164)

mentre il secondo(−ie)2v2ε/3

i

p/1 − p/4 −mε/4u1. (5.165)

Sommando i due contributi si ottiene

Mif = (−ie)2(v2ε/4

i

p/1 − p/3 −mε/3u1 + v2ε/3

i

p/1 − p/4 −mε/4u1

), (5.166)

e aggiungendo i fattori cinematici e di normalizzazione si ottiene l’ampiezza di transizione

Sif =√

m

V E1

√m

V E2

√m

2V ω3

√m

2V ω4Mif (2π)4δ4(pf − pi). (5.167)

Per ottenere la sezione d’urto dobbiamo moltiplicare |Sif |2 per d3n, ossia il numero di impulsi in unvolumetto rivelati dal detector, dividere per il tempo T di durata dell’esperimento e dividere per ilflusso di particelle incidenti |v1 − v2|

V; in questo modo si ottiene

dσ = d3n |Sif |2

|v1 − v2|TV

= V T (2π)4δ4(pi − pf )m2

4V 4E1E2ω3ω4|Mif |2

V

(2π)3d3p3

V

(2π)3d3p4

V

Tvrel=

= 1(2π)2 δ

4(pf − pi)m2

4E1E2ω3ω4|Mif |2d3p3d

3p4.

(5.168)

Il calcolo prosegue allo stesso modo che negli altri casi; si può effettuare la somma sulle polarizzazioni,eliminare la delta spaziale integrando su un impulso e la delta temporale passando in coordinate polariper l’impulso e integrando.

Notiamo che, poichè i fotoni sono bosoni, la sezione d’urto deve essere simmetrica per scambio deidue fotoni finali. Questa è la ragione per cui abbiamo sommato i contributi dovuti ai due diagrammi.

5.8 Scattering e−e− → e−e−

Anche per lo scattering tra elettroni abbiamo, al secondo ordine, due diagrammi:

L’elemento di matrice invariante è

Mif = (−ie)2u3γνu1

(−i)gµν(p1 − p3)2u4γ

µu2 − (ie)2u4γνu1

−igµν(p1 − p4)2u3γ

µu2. (5.169)

Come intuibile, i contributi dovuti ai due diagrammi sono stati combinati con un segno meno inquanto gli elettroni sono fermioni e quindi la sezione d’urto deve essere antisimmetrica per scambio.

80

Capitolo 6

Teoria del neutrino

6.1 Rappresentazione spinoriale del gruppo di LorentzVogliamo ora trovare un modo di descrivere i neutrini, trattandoli come particelle di spin 1/2, massanulla e carica elettrica nulla. Cominciamo con alcune nozioni sulle rappresentazioni del gruppo diLorentz che ci torneranno utili.

Sappiamo che il gruppo di Lorentz proprio è l’insieme di quelle trasformazioni di Lorentz chesoddisfano det Λ = 1 e Λ0

0 ≥ 1. Una rappresentazione di un gruppo è una corrispondenza g 7→ A(g),dove A(g) è un operatore lineare in uno spazio vettoriale che soddisfi

g = g1 · g2 =⇒ A(g) = A(g1) · A(g2) ∀g1, g2. (6.1)

Se Λ è un elemento infinitesimo del gruppo di Lorentz proprio, sappiamo che possiamo scriverlo nellaforma

Λµν = δµν + εµν . (6.2)

Si può vedere facilmente che la matrice S(Λ) trovata in precedenza, che forniva la legge di trasfor-mazione tra spinori

S(Λ) = I + 18εµν [γµ, γν ] , (6.3)

è una rappresentazione del gruppo di Lorentz proprio, detta rappresentazione spinoriale.Una rappresentazione di un gruppo è detta irriducibile se non esistono sottospazi vettoriali

non banali invarianti per tutti gli elementi della rappresentazione. Possiamo dimostrare che larappresentazione spinoriale non è una rappresentazione irriducibile; sappiamo infatti che[

I, γ5]

= 0, (6.4)

inoltre [[γµ, γν ] , γ5

]=[γµγν − γνγµ, γ5

]= γµγνγ5 − γνγµγ5 − γ5γµγν + γ5γνγµ, (6.5)

e, usando la proprietà γµ, γ5 = 0, si ottiene[[γµ, γν ] , γ5

]= γ5γµγν − γ5γνγµ − γ5γµγν + γ5γνγµ = 0. (6.6)

Poichè l’identità e [γµ, γν ] generano tutto lo spazio della rappresentazione S(Λ), segue[S(Λ), γ5

]= 0. (6.7)

Utilizzando la matrice γ5 possiamo costruire due proiettori nello spazio degli spinori

1− γ5

21 + γ5

2 . (6.8)

81

È immediato dimostrare che queste due espressioni definiscono due proiettori: essi sono banalmenteovunque definiti e hermitiani; rimane quindi da dimostrarne solo l’idempotenza

1 + γ5

21 + γ5

2 = 1 + 2γ5 + (γ5)2

4 = 2 + 2γ5

4 = 1 + γ5

2 , (6.9)

e analogamente per 1− γ5

2 . Inoltre si può mostrare che sono proiettori ortogonali, ossia che proiettanosu sottospazi ortogonali

1− γ5

21 + γ5

2 = 1− (γ5)2

4 = 0. (6.10)

Dato un generico spinore ψ, possiamo quindi decomporlo nelle sue componenti left e right definendo

ψR = 1 + γ5

2 ψ, ψL = 1− γ5

2 ψ. (6.11)

Utilizzando le regole di commutazione calcolate sopra, otteniamo subito che i sottospazi left e rightsono invarianti per tutti gli elementi della rappresentazione spinoriale:

S(Λ)ψL = S(Λ)1− γ5

2 ψ = 1− γ5

2 S(Λ)ψ ∈ HL, (6.12)

e analogamente per ψR. Le rappresentazioni left e right forniscono rappresentazioni irriducibili delgruppo di Lorentz.

6.2 L’equazione di WeylUtilizzando i due proiettori costruiti possiamo proiettare l’equazione di Dirac sui due sottospaziinvarianti:

1 + γ5

2 (i∂/−m)ψ = 0

1− γ5

2 (i∂/−m)ψ = 0

=⇒

i∂/ψL −mψR = 0i∂/ψR −mψL = 0

(6.13)

In questo modo abbiamo ottenuto due equazioni accoppiate per le componenti left e right. Se peròla massa della particella si annulla otteniamo due equazioni indipendenti per le due componenti. Ineffetti, se richiamiamo l’espressione con cui abbiamo introdotto l’equazione di Dirac

i∂ψ

∂t= (α · p + βm)ψ, (6.14)

vediamo che, nel caso di m = 0, non è più necessario che le matrici α e β agiscano in uno spaziodi dimensione 4. Possiamo infatti scegliere N = 2 e scegliere αi = ±σi (la differenza rispetto alcaso di massa non nulla è che non dobbiamo preoccuparci della matrice β, ossia di una matrice cheanticommuti con le matrici di Pauli e l’identità). Otteniamo quindi due equazioni

i∂ψ

∂t= σ · pψ, i

∂ψ

∂t= −σ · pψ, (6.15)

dette equazioni di Weyl. Uno spinore ψ soluzione di un’equazione di Weyl è detto spinore di Weyl adue componenti.

Cerchiamo soluzioni delle equazioni di Weyl della forma

ψ = ue−ipx. (6.16)

82

Sostituendo otteniamo

Eue−ipx = σ · pue−ipx ⇒ Eu = σ · pu⇒ Eσ · pu = (σ · p)2 u⇒ E2u = p2u⇒

E ±√|p|2 ⇒ |p|u = σ · pu⇒ u = σ · p

|p|u.

(6.17)

Abbiamo quindi trovato che ψ è soluzione a energia positiva se u è autostato dell’elicità con autovalore+1.

6.3 Spinori in SL(2,C)Vogliamo studiare SL(2,C), ossia il gruppo delle matrici complesse 2x2 con determinante 1. Sappia-mo che le matrici σµ = I,σ sono una sistema indipendente di matrici 2x2. Dato un quadrivettorexµ nello spazio di Minkowski possiamo costruire la matrice hermitiana

xµσµ =(x0 + x3 x1 − ix2

x1 + ix2 x0 − x3

). (6.18)

Vediamo così che il determinante della matrice xµσµ è

detxµσµ = x20 − x2

1 − x22 − x2

3 = xµxµ, (6.19)

ossia coincide con la norma minkowskiana di xµ. Per ogni matrice A ∈ SL(2, C), possiamo imporrela legge di trasformazione tra matrici

xµσµ 7→ x′µσµ = A(xµσµ)A+. (6.20)

Segue chedetxµσµ = detx′µσµ, (6.21)

ossia A induce una trasformazione di Lorentz tra xµ e x′µ, in quanto la norma minkowskiana rimaneinvariata. Si può vedere facilmente che, sotto questa corrispondenza, ogni trasformazione di Lorentzè indotta da due matrici di SL(2, C): A e −A.

Sappiamo che un sottogruppo delle trasformazioni di Lorentz è il gruppo delle rotazioni spaziali

x′0 = x0, x′ = Rx, conRRT = 1. (6.22)

All’interno di SL(2,C) le rotazioni sono descritte dal sottogruppo SU(2) delle matrici unitarie, ossiasoddisfacenti A+A = 1. Se sviluppiamo il calcolo troviamo

x′µσµ = x

′0 + x′iσi = A(x0 + xiσi)A+ = A(x0 + xiσi)A−1 = x0 + AxiσiA

−1, (6.23)

ossia effettivamente una matrice unitaria lascia invarianta la componente temporale di un quadrivet-tore.

Possiamo costruire ora due rappresentazioni del gruppo SL(2,C). Una possibile è rappresentatadalle matrici che trasformano spinori uα secondo la legge

u′α = Aαβuβ. (6.24)

Un’altra possibile rappresentazione fa uso della matrice complessa coniugata; la legge di trasforma-zione che soddisfa è

v∗α = A∗αβvβ. (6.25)

83

Abbiamo così introdotto due diverse rappresentazioni; nota una delle due leggi di composizione sipuò ricavare l’altra facendo

A1A2 7→ (A1A2)∗ = A∗1A∗2. (6.26)

Recuperando il passaggio da quadrivettore a matrice xµ 7→ xαβ = (xµσµ)αβ possiamo vedere che,sotto trasformazione di Lorentz, la matrice segue la legge

x′αβ = Aαγxγδ(A+

)δβ

= AαγA∗βδxγδ, (6.27)

ossia xαβ trasforma come il prodotto tensoriale della rappresentazione A e di quella A∗; più pre-cisamente si comporta come uno spinore uα sul primo indice e vβ sul secondo. Possiamo quindiscrivere

xµ 7→ xαβ, con x′αβ = AαγA∗βδxγδ. (6.28)

Se indichiamo le due rappresentazioni con 2 e 2, possiamo dire che un quadrivettore appartiene a2⊗ 2.

Dati due spinori uα e vβ, possiamo costruire la quantità

εαβuαvβ, con ε =(

0 1−1 0

); (6.29)

per una matrice di SL(2,C) tale quantità trasforma secondo

εαβu′αv′β = εαβAαγuγAβδvδ = εαβAαγAβδuγvδ = detAεγδuγvδ = εαβuαvβ, (6.30)

ossia è un invariante. Se poniamo uα := εαβuβ, possiamo scrivere tale invariante nella forma

εαβuαvβ = uαvα = −uαvα. (6.31)

Possiamo inoltre introdurre l’operatore quadrigradiente in tale spazio secondo

σµ∂µ = (∂)αβ =

∂0 + ∂3 ∂1 − i∂2

∂1 + i∂2 ∂0 − ∂3

. (6.32)

Vediamo quindi che le equazioni di Weyl

∂αβuβ = 0, ∂αβv

α = 0, (6.33)

sono equazioni invarianti nello spazio spinoriale 2x2. Se non volessimo uguagliare a zero dovremmoavere, ad esempio nel primo caso, uno spinore wα e un coefficiente di proporzionalità delle dimensionidi [L]−1 = [M ]

∂αβuβ = mwα. (6.34)

Notiamo fin da subito che l’equazione di Weyl viola la parità in quanto è assente la matrice γ0 ≡ β,che avevamo visto rappresentare proprio la trasformazione di Lorentz P . Abbiamo visto inveceche possiamo trovare soluzioni dell’equazione di Weyl con elicità ben definita; vedremo che sottol’operatore di parità l’elicità cambia segno.

84

6.4 Il neutrino di WeylRiprendiamo l’argomento delle componenti left e right di uno spinore. Avevamo costruito l’operatoredi proiezione sulle componenti left

1− γ5

2 = 12

(1 −1−1 1

). (6.35)

Se cerchiamo una generica soluzione left a energia positiva dell’equazione di Dirac nella forma

ψL = e−ipxuL(p), con uL(p) =(φ

χ

), (6.36)

dobbiamo imporre che uL(p) sia effettivamente uno spinore left; affinchè ciò si avveri, deve essere ilrisultato dell’applicazione del proiettore su un generico spinore, ossia

12

(1 −1−1 1

)(φ

χ

)= 1

2

(φ− χχ− φ

). (6.37)

Quindi il più generico uL(p) deve essere della forma(φ

−φ

), (6.38)

e ovviamente, poichè l’equazione di Dirac è intesa a massa nulla, deve soddisfare

p/uL = 0 =⇒(

E −p · σp · σ −E

)(φ

−φ

)= 0. (6.39)

Poichè sappiamo già che si ha E = |p|, otteniamo che φ deve essere autostato dell’operatore elicitàcon autovalore −1 p · σ

|p|φ = −φ. (6.40)

Nel modello standard si descrive il neutrino proprio come un campo di Dirac a massa nulla di tipoleft, ossia con elicità −1 e spin opposto alla direzione di propagazione. Un discorso analogo puòessere effettuato per le soluzioni a energia negativa; in questo modo possiamo esprimere il genericocampo di Dirac di tipo left (manteniamo il fattore di normalizzazione dipendente dalla massa eimmaginiamo di prendere il limite m→ 0)

ψL(x) =∫ d3p

(2π)3/2

√m

Ep

(apuL(p)e−ipx + b+

pvL(p)eipx). (6.41)

Nel caso del campo di Dirac con massa avevamo due possibili polarizzazioni, in quanto c’erano duepossibili spinori u(p) indipendenti: a+

1 (0)|0〉 era autostato dello spin lungo la direzione z+ mentrea−1 (0)|0〉 lungo z−; analogamente (con φ scambiate) per le energie negative. Ora abbiamo solo

b+p |0〉 che crea un antineutrino di tipo right (6.42)

ea+

p |0〉 che crea un neutrino di tipo left. (6.43)

Il neutrino right semplicemente non è presente.

85

Possiamo vedere meglio perchè la parità non è conservata nella decomposizione in left e right:sappiamo che, per applicazione di parità

x0′ = x0, x′ = −x, (6.44)

uno spinore trasforma secondoψ′(x′) = γ0ψ(x). (6.45)

D’altra parte si vede, ad esempio, che uno spinore right viene mandato in uno spinore left sottoparità:

γ0ψR = γ0 1 + γ5

2 ψ = 1− γ5

2 γ0ψ ∈ HL. (6.46)

Poichè un neutrino ha elicità −1, sotto parità dovrebbe ottenere elicità +1 (p cambia segno, maσ no), ma abbiamo detto che in natura non esistono neutrini di tipo right. D’altra parte si vedefacilmente che l’equazione di Weyl stessa non è simmetrica rispetto alla parità in quanto

i∂ψ

∂t= −p · σψ Parità7−→ i

∂ψ

∂t= p · σψ. (6.47)

6.5 Il decadimento β

Cerchiamo di studiare il processo n→ p+e−+νe detto decadimento beta del neutrone. Per descriveretale processo Fermi propose la lagrangiana

LF = GF√2

[ψPγ

µ

(1 + gA

gVγ5)ψn

] [ψeγµ(1− γ5)ψν

]≡ GF√

2HµLµ, (6.48)

dove all’ultimo membro vengono messe in evidenza la corrente adronica e quella leptonica. Fermiinizialmente scrisse la lagrangiana senza i termini con γ5, ma non sapeva dell’effetto di violazionedi parità nel decadimendo β. LF invece viola correttamente la parità in quanto i prodotti mistiψpγ

µψn · ψeγµγ5ψν sono prodotti di vettori con pseudovettori, ossia oggetti di parità non definita.Ricordiamo che in QED avevamo che, al secondo ordine nella teoria delle perturbazioni, l’ampiezza

di trasnzione era data da−e

2

2

∫d4x

∫d4y T

[(ψA/ψ

)x

(ψA/ψ

)y

]; (6.49)

per un processo senza fotoni inziali dovevamo contrarre gli operatori di campo elettromagneticoottenendo il propagatore del fotone

−e2

2

∫d4x

∫d4y i∆µν

F (x− y)N (jµ(x), jν(y)) . (6.50)

Anche partendo LF si ottiene una particella vettoriale, dotata di massa, con un propagatore del tipo∫ d4k

(2π)4−igµν

k2 −M2 + iεe−ik(x−y); (6.51)

se però consideriamo il processo a basse energie possiamo immaginare M →∞. Otteniamo così cheil propagatore si riduce a

−igµν

M2 δ4(x− y), (6.52)

ossia una cosiddetta interazione di contatto.

86

Il contributo alla matrice S diventa in questo modo

− e2

M2

∫d4x jµ(x)jν(x), (6.53)

e vediamo la comparsa di una nuova costate di accoppiamento e

Mdotata di massa che possiamo

trattare perturbativamente.Possiamo notare che in natura è presente anche il processo coniugato del decadimento β n →

p+e+ +νe, mentre la lagrangiana di Fermi non lo prevede, in quanto non possiede i corretti operatoridi creazione; l’inghippo è che LF non è hermitiana, mentre il teorema CPT prevede simmetria traparticelle e antiparticelle in ipotesi di hermiticità della lagrangiana. Se avessimo L = LF + L+

F

otterremmo correttamente anche i processi per le antiparticelle.Vogliamo a questo punto calcolare la vita media del neutrone, o, equivalentemente, la probabilità

di decadimento per unità di tempo. L’ampiezza di decadimento tra −∞ e +∞ è, al primo ordine inGF ,

−i∫d4x〈p e−νe|HF (x)|n〉, con HF (x) = −LF (x). (6.54)

Inserendo l’espressione di LF otteniamo

iGF√

2

∫d4x〈p e−νe|Hµ(x)Lµ(x)|n〉 = i

GF√2

∫d4x〈p|Hµ(x)|n〉〈e−νe|Lµ(x)|0〉. (6.55)

Possiamo preliminarmente fare il bilancio del quadrimpulso del processo; le leggi di conservazionesono, nel sistema in cui il neutrone è in quiete,

0 = pp + pe + pν , mn = Ep + Ee + Eν . (6.56)

Poichè, come già detto, vogliamo considerare il processo a basse energie, possiamo considerare ilprotone e il neutrone come non relativistici e scrivere

Ek,p =p2p

2mp

= (pe + pν)2

2mp

, ET,p = mp + (pe + pν)2

2mp

, (6.57)

da cuimn −mp = (pe + pν)2

2mp

+√m2e + p2

e + |pν |. (6.58)

Poichè i due momenti spaziali dei leptoni sono divisi per la massa del protone, posso trascurarel’energia cinetica del protone e scrivere

mn −mp ' Ee + Eν . (6.59)

Se estendessimo a questo caso la teoria delle perturbazioni della QED vedremmo che il diagrammadi Feynman corretto per questo processo è

87

a patto di considerare il protone e il neutrone come particelle di Dirac. Noi sappiamo che quest’as-sunzione è falsa, ma è ragionevole nell’approssimazione di basse energie effettuata. In realtà peròtale diagramma non descrive esattamente il processo come lo stiamo considerando, in quanto stiamotrascurando il bosone intermedio; il diagramma adatto è quindi

La corrente adronica fornisce, per estensione delle regole di Feynman della QED,

upγµ

(1 + gA

gVγ5)un

√mp

V Ep

√mn

V Ene−ipnxeippx, (6.60)

mentre la corrente leptonica

ueγµ(1− γ5)vν√me

EeV

√mν

EνVeipexeipνx. (6.61)

Integrando in d4x si ottiene (2π)4δ4(pi − pf ) per cui

upγµ

(1 + gA

gVγ5)un︸ ︷︷ ︸

hµ

(2π)4δ4(pn − pp − pe − pν)ueγµ(1− γ5)vν︸ ︷︷ ︸lµ

√mp

V Ep

√mn

V En

√me

EeV

√mν

EνV. (6.62)

Notiamo che, poichè abbiamo preso il neutrone a riposo, abbiamo che mn = En. Inoltre, poichè ilprotone non è relativistico, all’interno di up sopravviveranno soltanto le due componenti alte. Poichèle matrici γi e γ5 connettono componenti basse con componenti alte, sopravviveranno soltanto icontributi dovuti a γ0 e γiγ5. Si vede quindi che si ha

h0 = φ+p φn, hi = gA

gVφ+p σiφn. (6.63)

Effettuando il modulo quadrato e aggiungendo i vari fattori come per la sezione d’urto si ottiene

dΓ = G2F

2 |hµ lµ|2

1V

1V

1V 2

me

Ee

mν

Eν(2π)4δ4(pi − pf )V T

1Tv3 d

3pp(2π)3

d3pe(2π)3

d3pν(2π)3 =

= G2F

2 |hµ lµ|2

me

Ee

mν

Eν(2π)4δ4(pi − pf )

d3pp(2π)3

d3pe(2π)3

d3pν(2π)3 .

(6.64)

Vogliamo sommare sugli spin del protone finale mantenendo fissa, per ora, la polarizzazione delneutrone. Scriviamo quindi

hµ = φ+p a

µφn, con aµ =

1

gAgVσ

. (6.65)

88

Sommando sugli spin finali otteniamo che la parte adronica del modulo quadro è∑spin p

φ+n a

ν φp φ+p︸ ︷︷ ︸

I2x2

aµφn = φ+n a

νaµφn = Tr(aµφnφ

+n a

ν). (6.66)

Il neutrone iniziale, invece, non può essere ottenuto con polarizzazione totale in una direzione; sipuò avere solo una polarizzazione parziale descritta da una matrice densità. Supponiamo che ilmacchinario preparatore fornisca degli stati ψi con probabilità pi. Possiamo costruire la matricedensità come

ρ =∑i

pi|ψi〉〈ψi|. (6.67)

In questo modo, il valor medio di un’osservabile è

A =∑i

pi〈ψi|A|ψi〉 =∑i,n

pi〈ψi|A|n〉〈n|ψi〉 =∑i,n

pi〈n|ψi〉〈ψi|A|n〉 =∑n

〈n|ρA|n〉 = Tr (ρA) . (6.68)

Se quindi, nella traccia (6.66), sostituiamo a φnφ+n una matrice densità

ρ = A|+〉〈+|+B|−〉〈−|, (6.69)

che descrive una frazione A polarizzaza positivamente e una frazione B negativamente, troviamo chela somma sulle polarizzazioni fornisce

Hµν := Tr(aµ

1 + Pσ3

2 aν), (6.70)

con P = A−B. Infatti abbiamo che, per una tale matrice densità, ρ = 1 + Pσ3

2 .A questo punto è possibile calcolare facilmente le varie componenti di Hµν usando le proprietà

delle matrici di Pauli. Ad esempio si haH00 = 1 (6.71)

e

H ij = Tr(gA

gV

)2

σi1 + Pσ3

2 σj

=

= 12

(gAgV

)2

Tr (σiσj) + PTr (σiσ3σj) = 12

(gAgV

)2

2δij + 2iεji3P .

(6.72)

La somma sugli spin della parte leptonica fornisce invece∑pol

ueγµ(1− γ5)vν v+ν (1− γ5)γ+

ρ γ0ue =

∑pol

ueγµ(1− γ5) vν vν︸ ︷︷ ︸Proiettore

(1 + γ5)γρue =

=∑pol

ueγµ(1− γ5)p/ν −mν

2mν

(1 + γ5)γρue.(6.73)

A questo punto possiamo mandare a zero la massa del neutrino; il fattore a denominatore si cancellacon quello di normalizzazione e si ottiene così∑

pol

ueγµ(1− γ5)p/ν(1 + γ5)γρue =∑pol

ueγµp/ν(1 + γ5)2γρue = 2∑pol

ueγµp/ν(1 + γ5)γρue =

= 2Tr(γµp/ν(1 + γ5)γρ

p/e +me

2me

)= 1me

Tr (γµp/νγρp/e) + 1me

Tr(γµp/νγ

5γρp/e)

+ Tr(γµp/νγ

5γρ).(6.74)

89

Possiamo ora usare la relazione

Tr(γ5 (a/1a/2a/3a/4)

)= 2iεµνρσaµ1aν2a

ρ3aσ4 (6.75)

e proseguire il calcolo. Concentriamoci adesso sulla delta di conservazione; sappiamo che pp =−(pν − pe) e mn − mp = ∆m = Eν − Ee; la delta nelle energie diventa quindi δ(∆m − Eν − Ee).Possiamo inoltre passare in coordinate polari

d3pe = p2edpedΩe = peEedEedΩe

d3pν = p2νdpνdΩν = pνEνdEνdΩν ,

(6.76)

e, sostituendo il tutto e integrando, ad esempio, sull’energia del neutrino, si ottiene

dΓ = G2F

(2π)3pepνdEedΩedΩν4HµνLµν . (6.77)

Se integriamo sugli angoli dΩν , troviamo che le componenti lineari in pν si mediano a 0, mentre laquarta componente fornisce un 4π. Troviamo così

dΓ = G2F

(4π)3 (1 + 3λ2) 1 + Aen(pve cos θen) pνEνpeEed cos θdEe, (6.78)

doveλ = gA

gV, e Aen = −2λ(1 + λ)

1 + 3λ2 . (6.79)

Integrando nel tempo possiamo trovare l’ampiezza di non decadimento

Γ = G2F (∆m)5

60π3

1 + 3(gAgV

)2 30

∫dt t(1− t2)

√t2 −

(me

∆m

)2(6.80)

e il tempo di vita medio tramiteτ = 1

Γ . (6.81)

Poichè il tempo di vita medio è una grandezza effettivamente misurabile in laboratorio, per confrontoè possibile ricavare i valori dei vari parametri della teoria, ad esempio la costante GF .

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