Elementi di meccanica quantistica - DPIA Udine ...luca/tma/main_sli2PerPagina.pdf · Luca Selmi,...

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%Luca Selmi, Dispositivi per l’Elettronica

Elementi di meccanica quantistica

• meccanica classica: una particella puntiforme e descritta com-

piutamente da posizione ~r e quantita di moto ~p = m~v. In

ogni istante e inoltre possibile valutare con certezza posizione,

velocita ed energia.

• A livello microscopico (dimensioni confrontabili con quelle

atomiche) la descrizione classica non e piu sufficiente ed e nec-

essario assumere una natura ondulatoria per la materia e ri-

correre alla meccanica quantistica i cui principi fondamentali

sono:

– una particella viene descritta da un’onda (funzione

d’onda) la cui frequenza e lunghezza d’onda sono rispetti-

vamente associate ad energia e quantita di moto. Tali fun-

zioni d’onda sono soluzione della equazione di Schrodinger

ed il loro modulo-quadro e proporzionale alla probabilita

di un certo stato (posizione, tempo, velocita, energia) per

la particella;

– energia, quantita di moto, posizione nello spazio-tempo di

una particella sono note solo a meno di una incertezza

ineliminabile (principio di indeterminazione);

– per le particelle di Fermi (Fermioni) vale il principio di

esclusione di Pauli, in base al quale non e possibile avere

due particelle nello stesso stato contemporaneamente.

– e possibile attribuire comportamento corpuscolare alle

onde elettromagnetiche (fotoni, E=h ν).

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Dualismo onda-particella

• una particella di energia E e quantita di moto ~p e descritta

da un’onda con frequenza f e costante di propagazione ~k che

obbediscono alle relazioni di Einstein:

E = hf = hω (7)

~p = h~k (8)

• ~k e un vettore parallelo alla direzione di propagazione dell’onda

con le dimensioni fisiche dell’inverso di una lunghezza (|~k| =

2π/λ).

• ~k e la velocita di fase dell’onda stanno fra loro nella relazione:

vp · k = ω. Direzione e verso di vp sono coincidenti con quelli

di ~k.

• L’onda e descritta matematicamente dalla funzione d’onda

Ψ(~r, t) che soddisfa l’equazione di Schrodinger ed e legata alla

probabilita di trovare la particella nel volume d~rdt dalla re-

lazione:

PΨ(~r, t) = |Ψ(~r, t)|2d~rdt (9)

• Esempio di funzione d’onda e costituito dall’onda piana com-

pletamente individuata da energia (espressa attraverso la pul-

sazione ω e eq. 7) e una quantita di moto (in relazione con la

costante di propagazione tramite eq. 8, risulta completamente

delocalizzata nello spazio-tempo). Nella notazione degli ingeg-

neri:

Ψ(~r, t) = A · exp(jωt)exp(−j~k · ~r) (10)

con |Ψ(~r, t)|2 = Ψ(~r, t) · Ψ(~r, t)∗ = A2

• La costante A viene determinata imponendo una condizione

di normalizzazione della funzione d’onda.

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Equazione di Schrodinger tempo-dipendente

• La funzione d’onda per una particella di massa m in un

campo di forze elettrostatico con energia potenziale U soddisfa

l’equazione di Schrodinger (nella notazione dei fisici cambiano

alcuni segni):

jh∂Ψ(~r, t)

∂t=

h2

2m∇2Ψ(~r, t) − U(~r, t)Ψ(~r, t) (11)

• Tale equazione assume il significato di bilancio energetico gen-

eralizzato al caso quantistico.

• Sostituendo a Ψ(~r, t) l’eq. (10) valida per un’onda piana

nell’ipotesi di propagazione lungo l’asse x: ~k · ~r = kxx. Con

semplici passaggi:

hω =h2k2

x

2m+ U (12)

• e l’applicazione delle relazioni (7), (8) portano alla espressione

classica dell’energia di una particella come somma di energia

cinetica e potenziale:

E =|~p|22m

+ U (13)

• Poiche E e p sono costanti, lo e anche U (particella libera), con

opportuna scelta del riferimento dell’energia tale da annullare

U definisce la relazione di dispersione della funzione d’onda

per l’elettrone libero:

ω =hk2

2m

• l’onda piana di energia arbitraria e soluzione di eq.(11) per

U = 0.

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Equazione di Schrodinger per stati stazionari

• Il potenziale U = U(~r) sia indipendente dal tempo, si as-

suma inoltre per la funzione d’onda una forma fattorizzata:

Ψ(~r, t) = Ψ(~r) · φ(t).

• Sostituendo tale espressione nella (11) e dividendo entrambe i

per Ψ(~r, t) si ottiene:

jh∂φ(t)

∂t

1

φ(t)=

h2

2m∇2 − U(~r)

Ψ(~r)

1

Ψ(~r)(14)

• Il primo membro dipende solo da t mentre il secondo dipende

solo da x, entrambi e membri devono essere costanti e, dato il

significato dell’equazione di Schrodinger e le dimensioni fisiche

in gioco, risulta naturale (e consistente con quanto visto con

riferimento all’onda piana) indicare tale costante con −E, (E:

energia totale della particella).

• Seguono le equazioni:

∂φ(t)

∂t= j

E

hφ(t) (15)

h2

2m∇2Ψ(~r) + (E − U(~r)) Ψ(~r) = 0 (16)

Da (15) segue:

φ(t) = A · exp (jEt/h) = A · exp (jωt) (17)

• L’equazione (16) si dice equazione di Schrodinger per

stati stazionari e la sua soluzione Ψ(~r) descrive uno stato

stazionario ad energia completamente definita ma indetermi-

nato temporalmente (la probabilita di trovare la particella e la

medesima in tutti gli istanti).

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Pacchetti d’onda

• Un’onda piana descrive un’entita ad energia definita ma com-

pletamente delocalizzata spazialmente e temporalmente.

• Approssimazione della particella classica ottenibile sovrappo-

nendo funzioni d’onda a energia e quantita di moto definite e

fra loro distinte (analogia con l’antitrasformata di Fourier).

Ψk(~r, t) = Bk exp(jω(~k)t − j~k · ~r)

dove ω(~k) = E/h = hk2/2m e Bk e una costante di pro-

porzionalita differente per le varie onde e quindi dipendente

da ~k (funzione ”peso” in ~k).

• La sovrapposizione di queste funzioni d’onda costituisce

un pacchetto d’onde e risulta soluzione dell’equazione di

Schroedinger (lineare) in quanto ottenuto come sovrappo-

sizione lineare di soluzioni.

Ψ(~r, t) =∫ ∞−∞ Ψkd

3k (18)

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Pacchetti d’onda (2)

• il pacchetto risulta solo parzialmente localizzato in posizione e quan-tita di moto

• esempio: pacchetto gaussiano.

B(k) = C exp

−(k − k0)2

4∆k2

(19)

P (x, t) = |Ψ(x, t)|2 = |A|2 exp

− (x − hk0

m t)2

2[

14∆k2 + ( h∆kt

m )2]

(20)

• Se tali indeterminazioni sono contenute, il pacchetto si comporta ap-prossimativamente come una particella classica. In particolare, sia~k0 il vettore d’onda corrispondente al massimo della densita di prob-abilita per il pacchetto (determinato dalla funzione ”peso” Bk(~k)),si assume ~k0 come il vettore d’onda del pacchetto e la velocita dipropagazione del pacchetto (velocita di gruppo) si ottiene per lin-earizzazione della relazione ω(~k) nell’intorno di ~k0.

ω(k) = ω(k0) +dω

dk|k0

(k − k0) + . . . = ω0 + ω′0(k − k0) (21)

Ψ(x, t) =∫ ∞

−∞Bk exp(jω(k)t − jkx)dk

≈∫ ∞

−∞Bk exp(j[ω0 + ω′

0(k − k0)]t − jkx)dk

= exp(j[ω0 − ω′0k0]t)

∫ ∞

−∞Bk exp(−jk[x − ω′

0t])dk

• Poiche∫∞−∞ Bkexp(−jk[x−ω′

0t]) = Ψ(x−ω′0t, 0) l’equazione precedente

ci dice che, a meno di un termine di fase, la funzione d’onda al tempo t

ha in ciascun punto il medesimo valore che essa assumeva al tempo t =0 in una posizione spostata di ω′

0t = dω/dk|0t. Pertanto il pacchettosi muove alla velocita di gruppo ~vg = ∇kω|~k0

= 1h∇kE(~k)|k0

.

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Principio di indeterminazione

• Il principio di indeterminazione di Heisenberg puo essere rica-

vato dalla equazione di Schrodinger e pone un limite inferiore

alla incertezza con la quale lo stato di una particella (posizione,

quantita di moto, energia e tempo) si puo ritenere noto.

• Indicando con ∆px la componente lungo la direzione x

della quantita di moto, ∆x l’incertezza sulla posizione, ∆E

l’incertezza sull’energia e ∆t l’incertezza temporale, valgono le

seguenti relazioni:

∆px ∆x ≥ h/2 (22)

∆E ∆t ≥ h/2 (23)

• L’equazione 22 puo essere riscritta, con ovvie modifiche, per

le componenti lungo le direzioni y e z dei vettori posizione e

quantita di moto.

• incertezze non eliminabili ma non apprezzabili in ambito

macroscopico.

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Discretizzazione dell’energia

• Quantizzazione energia (esempio elettrone in una buca di al-

tezza infinita);

– Buca 1-D estensione d; U = 0 internamente; U → ∞all’esterno (Ψ → 0).

– soluzione all’interno della buca:

h2

2m

d2Ψ(x)

dx2+ EΨ(x) = 0

– soluzione generale:

Ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx); k =

√

√

√

√

√

2mE

h2

– condizioni al contorno: Ψ → 0 ai confini

B = 0, E =n2h2π2

2md2

– soluzione per un insieme numerabile di valori per E (au-

tovalori);

– energia discretizzata tanto piu quanto e minore d (confina-

mento); concetto di stato legato.

– per d → ∞ recuperiamo un continuo di livelli energetici

(elettrone libero).

• Principio di esclusione di Pauli.

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Buca e barriera di potenziale

• Buca 1-D generica.

d2Ψ(x)

dx2= −2m

h2 (E − U(x))Ψ(x)

• I valori permessi di energia sono autovalori della seguente

equazione:

− h2

2m

d2Ψ(x)

dx2+ U(x)

Ψ(x) = EΨ(x)

• Nelle zone in cui l’autovalore E > U(x): Ψ(x) > 0 ⇒d2Ψ(x)/dx2 < 0 e viceversa ⇒ funzione d’onda oscillante

• Nelle zone in cui l’autovalore E < U(x): Ψ(x) > 0 ⇒d2Ψ(x)/dx2 > 0 e viceversa ⇒ funzione d’onda esponenzial-

mente crescente/decrescente a seconda delle condizioni al con-

torno.

• Se l’autovalore E À U(x) le fluttuazioni di U sono poco rile-

vanti Ψ(x) ' Ψ+ exp(−jkx) + Ψ− exp(jkx)

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Struttura elettronica dei materiali

• Teoria classica:

– forza di attrazione coulombiana elettrone-nucleo (numero

atomico Z); potenziale:

U(r) = − Zq2

4πε0r

– forza repulsiva inter-elettronica (spesso trascurata - mod-

ello idrogenoide);

– la teoria classica prevede emissione di radiazione elettro-

magnetica da parte degli elettroni che dovrebbero finire

per ricadere sul nucleo;

– non permette di spiegare spettri di emissione a righe

(dovuti alla quantizzazione dell’energia).

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• Teoria quantistica dell’atomo di H:

– descrizione dell’elettrone di tipo ondulatorio-probabilistico

mediante funzione d’onda Ψ(~r, t) legata alla probabilita di

presenza di una particella nel volume d~rdt

PΨ(~r, t) = |Ψ(~r, t)|2d~rdt

– soluzione equazione di Shrodinger (si considerino i soli stati

stazionari);

h2

2m∇2Ψ(~r) + (E − U(~r)) Ψ(~r) = 0

– quantizzazione di energia (n), momento angolare (l∈[0,n-

1]), di sua componente rispetto ad una direzione (m∈[-l,l])

e spin (s=± 1/2);

– allo zero assoluto l’elettrone occupa uno stato a minima

energia (n=1).

• il modello idrogenoide e generalizzabile ad atomi di numero

atomico maggiore di uno per i quali il riempimento degli stati

disponibili avviene per energie crescenti (separazione in ener-

gia degli stati corrispondenti allo stesso numero quantico per

interazione elet-elet ....);

• la struttura di riempimento degli stati disponibili e rispecchiata

dall’organizzazione della tabella periodica degli elementi.

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Distribuzione energetica degli elettroni in un cristallo

• I nuclei degli atomi che costituiscono un reticolo cristallino

sono disposti a costituire un reticolo ordinato e periodico;

• in assenza di potenziali impressi si ha per-

tanto una distribuzione periodica di potenziale;

• il potenziale associato al campo di forze di attrazione coulom-

biana nucleo-elettrone presenta dei minimi in corrispondenza

di ogni nucleo;

• la distribuzione energetica dei livelli elettronici permessi

nel cristallo e ricavabile dalla soluzione dell’equazione di

Schrodinger tempo invariante:

−(h2/2m0)∇2Ψ(~r) + UC(~r)Ψ(~r) = EΨ(~r) , (24)

dove UC(~r) rappresenta il potenziale periodico agente sul sin-

golo elettrone del cristallo.

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Proprieta elettroniche del reticolo cristallino

• Se L e il periodo minimo del cristallo, deve essere:

|Ψ(x + nL)|2 = |Ψ(x)|2 (25)

Ψ(x+nL) e Ψ(x) possono differire solo per un termine di fase.

pertanto:

Ψ(x + nL) = exp(jknL)Ψ(x) (26)

• Questa relazione e soddisfatta dalle cosiddette onde di Bloch

• Teorema di Bloch: la funzione d’onda dell’elettrone nel poten-

ziale periodico del cristallo e esprimibile come prodotto di

un’onda piana per una funzione periodica con periodicita data

dal cristallo;

Ψk(x) = exp(−jkx)uk(x)

• nel caso dello spazio libero (uk(x) = 1) k assume significato di

costante di propagazione (nel caso 3-D si tratta di un vettore

detto vettore d’onda), h~k = ~p). Nel caso di elettrone nel

potenziale periodico del cristallo, k viene ancora detto vettore

d’onda ed e associabile alla quantita di moto della particella.

• La forma funzionale generale delle onde che rappresentano gli

elettroni in un cristallo dipende solo da considerazioni di sim-

metria (periodicita) del cristallo.

• uk(x) e periodica con la periodicita del cristallo e puo quindi

essere sviluppata in serie di Fourier. Pertanto:

Ψk(x) = exp(−jkx)uk(x) = exp(−jkx)+∞∑

h=−∞Ak,h exp(−2π

Lhx)

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Bande di energia di un cristallo

• Affinche una particolare onda di Bloch rappresenti un elet-

trone del cristallo deve soddisfare l’equazione di Schrodinger

con il potenziale del cristallo. Sostituendo nell’equazione di

Schrodinger si ottiene un’equazione omogenea in Ψk(x):

HΨk(x) = EΨk(x)

• Assegnato k, possono esistere soluzioni non nulle di Ψk(x) se e

solo se E assume precisi valori (in generale piu di uno). Questi

sono gli unici valori permessi di energia per un elettrone che

abbia nel cristallo un vettore d’onda pari a k.

• I valori E(k) prendono il nome di autovalori dell’operatore H.

A ciascun autovalore corrisponde una autofunzione Ψk(x).

• La funzione E(~k) prende il nome di struttura a bande del

cristallo. Essa rappresenta la relazione di dispersione delle

onde che rappresentano gli elettroni nel cristallo.

• E(k) e periodica di periodo 2π/L in k, dove L e il minimo

periodo di ripetizione della struttura del cristallo nello spazio

reale. E pertanto sufficiente rappresentarla all’interno di un

solo periodo, per esempio quello compreso tra −π/L e π/L.

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Reticolo cristallino del Silicio

• Il reticolo diretto e costituito dall’intersezione

di due reticoli cubici a facce centrate cias-

cuno di lato 5.4A a temperatura ambiente.

• I piani reticolari posso essere identificati attraverso

una terna di indici interi detta indici di Miller.

• La periodicita (in 3D) e definita da un vettore ~lm,n,p tale che

tutti i punti del reticolo sono esprimibili come (m,n, p interi):

~lm,n,p = m~a + n~b + p~c

• Qualsiasi funzione dello spazio f(~r) e periodica di periodo~lm,n,p.

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Reticolo reciproco

• Poiche tutte le grandezze fisiche devono essere periodiche in ~r,

possono essere rappresentate come una serie di Fourier:

f (~r +~lm,n,p) =∑

~l∗m,n,p

A~l∗m,n,pexp

(

~l∗m,n,p · (~r +~lm,n,p))

(27)

f(~r +~lm,n,p) = f(~r) implica exp(

~l∗m,n,p ·~lm,n,p

)

= 1, cioe:

~l∗m,n,p ·~lm,n,p = 2π (28)

• Il reticolo reciproco e definito dai vettori ~l∗m,n,p (m, n, p inter:

~l∗m,n,p = m~a∗ + n~b∗ + p~c∗

dove

~a∗ =2π

Ω~b × ~c ~b∗ =

2π

Ω~c × ~a ~c∗ =

2π

Ω~a ×~b

Ω = ~a ·~b × ~c

• Il reticolo reciproco di un reticolo a facce centrate e un reticolo

cubico a corpo centrato. La cella elementare puo essere ot-

tenuta individuando tutti i piani passanti per il punto mediano

alle congiungenti un nodo con i suoi primi vicini e ortogonali

ad essa (cella di Wigner-Seitz).

• La relazione di dispersione e period-

ica nello spazio del reticolo reciproco.

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Struttura a bande del Silicio

• Struttura a bande lungo le direzioni principali

• Dettaglio della cima della banda di valenza

• Superfici ad energia costante.

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• I livelli energetici sono dunque organizzati in bande permesse

separate da intervalli (gap) proibiti;

• Le due bande piu esterne sono dette banda di valenza e di

conduzione:

– banda di valenza: occupata dagli elettroni appartenenti al

guscio energetico piu esterno fra quelli occupati che pren-

dono parte ai legami covalenti;

– banda di conduzione: e quella immediatamente superiore,

risulta normalmente non occupata da elettroni.

• si individuano tre tipi di particelle:

– particelle libere (energie superiori al massimo del poten-

ziale U0) le cui energie sono distribuite a formare quasi un

continuo di stati permessi;

– particelle legate (energie molto inferiori a U0) confinate

all’interno delle varie buche con bassissima probabilita di

passaggio da una buca all’altra, si tratta degli elettroni ad

energie piu basse che sono fortemente legati ai rispettivi

nuclei;

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Approssimazione di massa efficace

• Nell’intorno del minimo della banda di conduzione (~k =~k0) l’equazione di dispersione puo essere approssimata con

un’espressione del secondo ordine:

E(~k) = E(~k0) +h2

2

|kx − kx0|2m∗

x

+|ky − ky0|2

m∗y

+|kz − kz0|2

m∗z

dove le m∗ prendono il nome di masse efficaci.

• La massa efficace dipende dalla direzione di ~k considerata.

• Nel caso del silicio m∗x = m∗

l , kx0 = 0.85X , m∗y = m∗

t , ky0 = 0,

m∗z = m∗

t , kz0 = 0,

• Poiche in una dimensione vg = h−1dE(k)/dk = dE(p)/dp,

l’accelerazione della particella vale:

a =dvg

dt=

d2E(p)

dp2

dp

dt=

1

h

d2E(k)

dk2

dk

dt

Confrontando l’espressione con la legge di Newton,

F = ma =dp

dt⇒ a =

1

m

dp

dt

emerge che la curvatura della struttura a bande (d2E/dp2)

assume il significato di inverso della massa inerziale della par-

ticella. Formalmente, nel caso generale possiamo scrivere:

1

m∗

i,j=

1

h2

∂2E

∂ki∂kj

cui corrisponde l’eq. di Newton in forma matriciale:

ai =3

∑

j=1

1

m

ijFj

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Approssimazione di massa efficace

• Trascurando l’anisotropia della relazione E(~k) possiamo scrivere

E(~k) = E(~k0) +h2|~k − ~k0|2

2m∗

dove m∗ e una opportuna media delle masse efficaci nelle tre direzioni(banda sferica e parabolica).

• Utilizzando questa forma della relazione di dispersione, l’equazione diSchrodinger corrispondente ad un potenziale periodico UC(~r) ed uno

impresso U(~r) si trasforma in (Eq.24):

− h2

2m∗∇2 + U(~r)

ξ(~r) = (E1 − E(~k0))ξ(~r) (29)

dove E1 sono gli autovalori dell’Hamiltoniana comprendente il poten-ziale del cristallo. Questa rappresenta l’equazione di un elettrone dimassa m∗ soggetto al solo potenziale impresso U(~r) e con energia mis-urata rispetto al fondo della banda di conduzione E(~k0). L’effetto delcristallo appare solo attraverso la massa efficace.

• La funzione d’onda dell’elettrone vale

Ψ(~r, t) = Ψ(~r) exp(jωt) = ξ(~r)uk(~r) exp(jωt) (30)

dove uk(~r) e una funzione con la periodicita del cristallo che rapp-resenta le variazioni della densita di carica su scala atomica micro-scopica. La funzione ξ(~r) invece e la cosiddetta funzione inviluppo,soluzione dell’equazione di Schroedinger nella quale appare esclusi-vamente il potenziale impresso, e quindi lentamente variabile nellospazio.

• Nel caso di Uimpr(~r) = 0 la funzione inviluppo si riduce ovviamentead un’onda piana e la Ψ ad un’onda di Bloch.

• Gli autovalori del problema completo E1 sono quelli dell’EMA (E(~k)piu E(~k0)

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Il concetto di lacuna

• La cima della banda di valenza (doppiamente degenere) ha curvatura negativa. L’energiadegli elettroni nella b.v. e dunque decritta dalla relazione:

Eel = − h2k2

el

2|m∗|

con ~k ed E riferite al massimo.

• Se la banda di valenza non e totalmente piena gli elettroni possono muoversi al suo internodando luogo ad una corrente (addizionale rispetto a quella dovuta agli elettroni in bandadi conduzione).

~Jv.b. = − q

Ω

∑

~kel pieni

~vel( ~kel) (31)

La velocita di questi elettroni soddisfa inoltre le relazioni:

~vel( ~kel) =1

h∇ ~kel

Eel( ~kel) (32)

dh~kel

dt= −q ~F (33)

• E possibile rappresentare il moto degli elettroni in banda di valenza attraverso la dinamicadei molto meno numerosi stati vuoti ?

• Notiamo che se il moto e semiclassico i valori di ~r e ~k ad un dato istante determinanounivocamente tutti i valori successivi. Pertanto le traiettorie degli stati vuoti e degli statipieni non si intersecano mai. Gli stati vuoti evolvono secondo le medesime leggi degli statipieni eq.32,33.

• E possibile rappresentare il moto degli stati vuoti attraverso il moto di una quasi-particella(lacuna) di massa e carica positive pari in valore assoluto a quelle degli elettroni ?

• Definiamo questa particella come avente ~kh = − ~kel e Eh = −Eel dove i ~k coinvolti sonoquelli degli stati vuoti.

• Sostituendo si ha:

hd~kh

dt= q ~F (34)

Eh =h2k2

el

2|m∗| (35)

h ~vh = ∇khEh(kh) = h2kh/|m∗| = −h2kel/|m∗| = ∇kel

Eel(kel) = h ~vel, (36)

Inoltre poiche∑

~kel pieni

~vel( ~kel) = −∑

~kel vuoti

~vel( ~kel) (37)

si ha anche~Jv.b. = − q

Ω

∑

~kel pieni

~vel( ~kel) =q

Ω

∑

~kh

~vh( ~kh) (38)

• La rappresentazione adottata soddisfa le eq.32, 33, 31.

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Densita degli stati in ~k

• In un semiconduttore di dimensione finita e disponibile solo un

numero finito di stati ~k. Infatti, considerando una catena di n

atomi lunga d e imponendo condizioni periodiche agli estremi

della catena abbiamo:

Ψ(x + nL) = exp(jknL)Ψ(x) ⇒ exp(jknL) = 1

I valori discreti di k ammessi sono pertanto:

km =2π

nLm =

2π

dm m = 1, ...n

Ogni stato occupa 2π/d nello spazio k e quindi Vk = (2π)3/Ω

nello spazio ~k (Ω = volume del cristallo). Ogni stato puo

ospitare 2 elettroni.

• La densita degli stati definita come il numero di stati elettronici

permessi per unita di volume in ~r e in ~k vale dunque

g = 2n3

ΩVk= 2

1

(2π)3=

1

4π3(39)

• La densita degli stati in E (numero di stati per unita di volume

e di energia) e definita come:

g(E) =1

4π3

∫

δ(E − E(~k))d~k ,

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Densita degli stati in E

• Per una banda sferica e parabolica abbiamo:

E − EC =h2k2

2m∗ ⇒ k =

√

√

√

√

√

2m∗

h2 (E − EC)

Il numero di stati elettronici con vettore d’onda compreso tra

k e k + dk e pari al volume della corteccia sferica (4πk2dk)

diviso per il volume dello stato ((2π)3/Ω)e vale:

dN =4πk2dkΩ

(2π)3

Assumendo una banda di conduzione sferica e parabolica si ha

dk

dE=

1

2

√

√

√

√

√

2m∗

h2

1√E − EC

Sostituendo otteniamo il numero di stati elettronici per unita

di volume in ~r e con energia compresa tra E ed E + dE.

Tenendo conto dello spin:

g(E) = 2dn

dE= 2

dN

ΩdE=

4π

h3(2m∗)3/2

√E − Ec

• Per energie non troppo maggiori di Ec (minori di Ev) la densita

degli stati in energia e data da:

gc(E) =4π

h3(2m∗

n)3/2√

E − Ec E ≥ Ec

gv(E) =4π

h3(2m∗

p)3/2

√Ev − E E ≤ Ev

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Densita degli stati in E

• Superfici ad energia costante.

Nel caso di bande ellissoidali e tenendo conto della molteplicita

delle valli:

m∗e = 62/3(m∗

l )1/3(m∗

t )2/3

m∗h =

[

(m∗light)

3/2(m∗heavy)

3/2]2/3

• m∗l = 0.916m0, m∗

t = 0.19m0, m∗light = 0.16m0, m∗

heavy =

0.49m0

• L’andamento della relazione di dispersione puo essere cal-

colato per via numerica attraverso opportuni algoritmi.

0 1 2 3 4 5

Energy [eV]

0

2

4

6

DO

S [cm

-3 e

V-1]

Electrons

Holes

'

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'

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Conduzione nei materiali

• Relazione bande di energia - conduzione:

– gli elettroni nelle bande di valenza e di conduzione possono

muoversi lungo il reticolo;

– una banda completamente occupata (valenza) non con-

tribuisce alla conducibilita elettrica perche in virtu della

simmetria della banda, ad ogni stato con vettore d’onda ~kj

ne corrisponde uno con vettore d’onda −~kj e quindi con

quantita di moto uguale ed opposta; essendo entrambi gli

stati occupati il loro contributo complessivo alla corrente

e‘ nullo.

– la banda di conduzione, qualora parzialmente occupata,

contribuisce alla conducibilita elettrica in misura pro-

porzionale agli elettroni che la occupano in quanto ogni

elettrone e in grado di muoversi acquisendo energia cinet-

ica senza che ne esista necessariamente uno con quantita

di moto uguale ed opposta.

• Conduttori, isolanti e semiconduttori:

– nel caso dei conduttori banda di valenza e di conduzione

sono parzialmente sovrapposte a costituire una unica suc-

cessione di stati energetici solo parzialmente occupati, tutti

gli elettroni presenti in tale banda contribuiscono alla con-

duzione nel cristallo);

– nel caso di isolanti e semiconduttori le due bande sono sep-

arate da un gap di ampiezza rilevante rispetto alla energia

fornita dalla agitazione termica 3/2KT ≈ 38 meV per

T=300K.

– isolanti e semiconduttori si differenziano per l’ampiezza del

gap.

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Semiconduttori

• Semiconduttori intrinseci:

– presentano ampiezza del gap sufficientemente contenuta

(0.5− 1.5 eV) perche risulti possibile a temperatura ambi-

ente la transizione banda di valenza - banda di conduzione;

– conduzione dovuta ad elettroni della banda di conduzione

e alle lacune in banda di conduzione (mancanza di elettroni

di legame);

– lacuna: pseudoparticella a carica positiva cui e possibile

attribuire proprieta analoghe a quelle dell’elettrone ed una

carica elettrica positiva.

– nel caso di semiconduttori intrinseci ad ogni elettrone in

banda di conduzione corrisponde una lacuna in banda di

valenza (ni=pi).

• semiconduttori elementari: elementi del IV gruppo (Si, Ge),

legami covalenti;

• semiconduttori composti: composti di elementi appartenenti

al III-V gruppo (es. GaAs) o al II-VI gruppo (es: CdTe),

legami chimici misti covalenti-ionici (semiconduttori polari).

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Proprieta dei portatori di carica

• Carica: elettroni di conduzione e lacune sono dotati di carica

elettrica (q=±1.602 · 10−19 C).

• Massa:

– elettrone libero soggetto a campo elettrico ~F :

~Force = −q ~F = m0d~v

dt

– un elettrone nella banda di conduzione di un cristallo

risente dell’effetto del potenziale coulombiano periodico

dovuto ai nuclei atomici;

– il suo movimento puo essere schematizzato come una suc-

cessione di spostamenti interrotti da eventi di collisione con

i nuclei (che assumiamo istantanei e localizzati);

– il movimento fra due collisioni successive e descritto

dall’equazione del moto classico in cui alla massa a riposo

m0 si sostuisca la massa efficace m∗ e il campo F e dovuto

alle sole forze impresse;

h~k = m∗∂~vG

∂t= −q ~F

– m∗ riassume l’effetto del potenziale periodico dovuto al

reticolo; il portatore e assimilato a particella classica libera

e soggetta al solo campo elettrico impresso (o di di built-

in).

Semic. material m∗n/m0 m∗

p/m0

Si 1.18 0.81

Ge 0.55 0.36

GaAs 0.066 0.52

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Conduzione elettrica nei semiconduttori

• La conducibilita elettrica e limitata dalla concentrazione di

portatori disponibili;

• Nel caso di semiconduttori intrinseci n = p = ni, funzione

della temperatura del reticolo;

Semic. material gap(eV) ni@300K (cm−3)

Si 1.12 1 ×1010

Ge 0.66 2 ×1013

GaAs 1.42 2 ×106

• ni e molto inferiore alla concentrazione volumetrica di elettroni

di valenza (per Si a T=300K ni ≈ 1 × 1010cm−3 rispetto a

4 · 5 × 1022 = 2 × 1023cm−3, dove il fattore 4 deriva dai 4

orbitali che contribuiscono alla banda di valenza).

• Considerando una barretta di semiconduttore intrinseco di 1

µm2 di sezione soggetta ad un campo di 105 V/cm e con una

mobilita‘ dei portatori di 1000 cm2/Vs abbiamo:

σ = qµnni = 1.6 · 10−19 × 1000 × 1010 = 1.6 · 10−6[Ω−1cm−1]

I = A · J = A · σE = 10−8 × 1.6 · 10−6 × 105 = 1.6nA

La corrente e‘ estremamente piccola !

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Drogaggio semiconduttori

• Introduzione di atomi di prefissati elementi finalizzata a mod-

ificare la concentrazioni n e p a temperatura ambiente;

• nel caso del Si, elementi del V gruppo (donatori) per incre-

mentare n ed atomi di elementi del III gruppo (accettori) per

aumentare p;

Donatori |∆E (meV) Accettori |∆E (meV)

Sb 39 B 45

P 45 Al 67

As 54 Ga 72

In 16

Ec

Ev

Ev

Ec

∆ E

T=0K T=300K

• A temperatura ambiente (quasi) tutti gli atomi donatori (ac-

cettori) risultano ionizzati e contribuiscono a n (p).

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Densita degli stati

• densita in energia degli stati nelle bande di conduzione e di

valenza:

– per energie non troppo maggiori di Ec (minori di Ev):

gc(E) =4π(2m∗

n)3/2√

(E − Ec)

h3

=m∗

n

√

2m∗n(E − Ec)

π2h3 , E ≥ Ec

gv(E) =4π(2m∗

p)3/2

√

(Ev − E)

h3

=m∗

p

√

2m∗p(Ev − E)

π2h3 , E ≤ Ev

– si tratta di numero di stati disponibili per unita di energia

e di volume in funzione dell’energia.

ENERGYEE cv

g (E) g (E)v c

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Distribuzione energetica all’equilibrio

• Probabilita di occupazione degli stati elettronici;

• Funzione di Fermi;

f(E) =1

1 + e(E−EF )/KT

• EF : Energia di Fermi;

• Assume il significato di energia alla quale la probabilita di

occupazione passa da valori pressoche unitari a valori prossimi

allo 0.

f(E)

EE F

f(E)

EE F

0.5

• Nel caso dei semiconduttori il livello di Fermi e posizionato

all’interno del gap energetico (per T=0K banda di valenza

completamente occupata, banda di conduzione vuota).

• Approssimazione (distribuzione di Boltzmann)

f (E) ≈ e−(E−EF )/KT , EF ≤ EC − 3 · KT

1 − f(E) ≈ e(E−EF )/KT , EF ≥ EV + 3 · KT

• La condizione necessaria per la validita della statistica di Boltz-

mann EV + 3 ·KT ≤ EF ≤ EC − 3 ·KT individua il caso di

semiconduttore non-degenere.

• Band tails dovute al drogante

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Concentrazione dei portatori all’equilibrio

• Note le espressioni per la densita in energia e volume degli stati

elettronici e per la probabilita di occupazione in energia di tali

stati:

n =∫ 1

4π3f (E(~k))d~k =

∫ ∞EC

gC(E)f (E)dE

p =∫ EV

−∞ gV (E)(1 − f(E))dE

• L’uso della statistica di Fermi porta ad un integrale non cal-

colabile in forma chiusa;

n =m∗

n

√2m∗

n

π2h3

∫ ∞EC

√E − ECdE

1 + e(E−EF )/KT

• Adottando la distribuzione di Boltzmann e risolvendo

l’integrale in E:

n = NCe−(EC−EF )/KT

p = NV e−(EF−EV )/KT

con NC = 2[

m∗nKT

2πh2

]3/2, NV = 2

[

m∗pKT

2πh2

]3/2: densita efficaci

degli stati in banda di conduzione e di valenza.

• a temperatura ambiente: NC,V = (2.5 ×1019cm−3)(m∗

n,p/m0)3/2

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Calcolo della concentrazione dei portatori di carica

• Nel caso di una banda sferica parabolica:

n =∫ ∞EC

4π(2m∗)3/2

h3

√E − EC

1 + exp((E − EF )/kT )dE

pongo E − EC = ε, cioe dE = dε:

n =∫ ∞0

4π(2m∗)3/2

h3

√ε

1 + exp((ε + EC − EF )/kT )dε

• Approssimo con la distribuzione di Maxwell Boltzmann e

pongo t2 = ε, cioe dε = 2tdt,√

ε = t

n =∫ ∞0

4π(2m∗)3/2

h32t2 exp(−t2/kT ) exp(−(EC −EF )/kT )dt

pongo t2/kT = ξ2

n = 24π(2m∗kT )3/2

h3exp(−(EC −EF )/kT )

∫ ∞0

ξ2 exp(−ξ2)dξ

Poiche∫ ∞0

ξ2 exp(−αξ2)dξ =1

4α

√

√

√

√

π

αotteniamo infine

n = 2

2m∗kTπ

h2

3/2

exp (−(EC − EF )/kT )

= 2

m∗kT

2πh2

3/2

exp (−(EC − EF )/kT )

• Per tenere conto dell’andamento ellissoidale e della molteplicita

delle valli e necessario sostituire m∗ con opportune masse

equivalenti m∗n ed m∗

p.

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Legge dell’azione di massa

• concentrazioni n, p di equilibrio nell’approssimazione della sta-

tistica di Boltzmann:

np = NCNV e−(EC−EV )/KT = NCNV e−EG/KT

• In un semiconduttore non degenere all’equilibrio termodinam-

ico il prodotto p · n non dipende dalla posizione del livello di

Fermi (e quindi dal drogaggio).

• nel caso particolare di semiconduttore intrinseco: n = p = ni;

segue:

ni =√

NCNV e−EG/2KT

• pertanto, indipendentemente dalla presenza o meno di atomi

droganti, all’equilibrio vale:

np = n2i

Equazioni di Shockley

• Indicando con EFi il livello di Fermi del semiconduttore in-

trinseco (vedremo come valutarlo) abbiamo:

ni = NCe−(EC−EFi)/KT ni = NV e(EV −EFi)/KT

• sommando e sottraendo EFi dalle espressioni:

n = NCe−(EC−EF )/KT p = NV e−(EF−EV )/KT

otteniamo le relazioni di Shockley

n = nie(EF−EFi)/KT p = nie

−(EF−EFi)/KT

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Relazione EF - concentrazioni di portatori

• Livello di Fermi intrinseco (impongo n = p = ni):

NCe(EFi−EC)/KT = NV e−(EFi−EV )/KT

EFi =EC + EV

2+

KT

2ln

NV

NC

per Si, T=300K, KT2 ln

(

NVNC

)

≈ −13meV ;

• semiconduttore drogato non-degenere, ionizzazione completa:

EF = EFi + KT ln(n/ni) = EFi − KT ln(p/ni)

EF = EFi +KT

2ln(n/p)

– drogaggio prevalente N:

EF ≈ EFi + KTln(ND/ni)

limite per non-degenerazione: ND ≤ 1.6 × 1018cm−3;

– drogaggio prevalente P:

EF ≈ EFi − KTln(NA/ni)

limite per non-degenerazione: NA ≤ 9.1 × 1017cm−3;

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Condizione di neutralita della carica

• In un semiconduttore uniformemente drogato di estensione tale

da potersi trascurare gli effetti di bordo ed in condizioni di

equilibrio termodinamico si ha neutralita della carica elettrica:

p − n + N+D − N−

A = 0

ove: N+D e N−

A rapresentano le concentrazioni volumetriche di

atomi droganti donatori ed accettori ionizzati;

• nell’ipotesi di completa ionizzazione dei droganti: N+D = ND,

N−A = NA;

Concentrazione dei portatori di carica:

• imponendo la neutralita della carica elettrica e la legge di

azione di massa e assumendo la completa ionizzazione del dro-

gante:n2

i

n− n = NA − ND

n =ND − NA

2+

ND − NA

2

2

+ n2i

1/2

p =NA − ND

2+

NA − ND

2

2

+ n2i

1/2

• Conta ND − NA ⇒ compensazione dei droganti.

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Concentrazione dei portatori di carica:

• semplificazioni per casi notevoli:

– semiconduttore intrinseco: NA = ND = 0 → n = p =

ni(T );

– semiconduttore drogato con prevalenza di una specie

sull’altra:

∗ ND−NA À ni ⇒ n = ND−NA2 +

[

(

ND−NA2

)2+ n2

i

]1/2'

ND2 +

[

(

ND2

)2+ n2

i

]1/2' ND

2 + ND2 = ND

⇒ n ≈ ND, p ≈ n2i/ND;

∗ NA − ND À ni → p ≈ NA, n ≈ n2i/NA;

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Dipendenza della concentrazione dalla temperatura

• Precedente trattazione effettuata nelle ipotesi:

– ionizzazione completa;

– ND(NA) À ni;

• tali ipotesi sono rispettate in un intervallo di valori di T di

ampiezza limitata:

– limite inferiore: ionizzazione incompleta (freeze-out);

– limite superiore: ni(T ) > ND(NA) (comportamento in-

trinseco).

0.5

1.0

1.5

n/N D

T(K)0 100 200 300 400 500

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Semiconduttore non-degenere all’equilibrio

• La trattazione svolta fino ad ora si riferisce alla condizione di

equilibrio termodinamico:

– assenza di scambi di energia e materia fra semiconduttore

e ambiente esterno;

– corrente elettrica nulla (assenza di uno spostamento col-

lettivo di portatori di carica lungo una direzione preferen-

ziale).

• Anche in condizioni di equilibrio i portatori di carica non sono

immobili ma si muovono in maniera casuale interagendo con

il reticolo i cui nuclei oscillano nell’intorno della posizione di

equilibrio. Tali movimenti casuali danno luogo ad una corrente

complessiva nulla (distribuzione angolare uniforme dei vettori

velocita).

• L’approssimazione di Boltzmann ricavata come caso limite

della distribuzione di Fermi, costituisce la descrizione statis-

tica per un gas di particelle classiche non interagenti fra loro

(gas perfetto) per le quali non vale il principio di esclusione.

• Applichiamo i risultati della meccanica statistica per i gas per-

fetti in condizioni di equilibrio al ”gas elettronico” in assenza

di ”esclusione” (semiconduttore non degenere):

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Portatori di carica: analogia con gas perfetti

• elettrone (lacuna) descritto da funzione d’onda che soddisfa

l’equazione di Schrodinger nell’approssimazione della massa

efficace con energia cinetica (associata alla sua propagazione

nello spazio) misurata rispetto ad EC (EV );

• quantita di moto ~p = hk = m∗n~vp, (massa e velocita della

particella classica sono sostituiti da massa efficace e velocita di

gruppo del pacchetto d’onde);

• Distribuzione dei portatori: F(~p), numero di elettroni con ~p

fra ~p e ~p + d~p: dn(~p) = F(~p)dpxdpydpz.

dn(px, py, pz) = n

1

2πm∗nKT0

3/2

exp

− |~p|22m∗

nKT0

dpxdpydpz

• in funzione del modulo |~p| = p:

dn(p) = n

1

2πm∗nKT0

3/2

exp

− |~p|22m∗

nKT0

p|2dp∫ π

0

∫ 2π

0sin θdθdφ

dn(p) =4n√π

1

2m∗nKT0

3/2

exp

− |~p|22m∗

nKT0

p|2dp

• dalla relazione di dispersione: E = p2

2m∗n

effettuando il cambio

di variabili segue:

dn(E) =2n√π

1

KT0

3/2 √Eexp

− E

KT0

dE

• il secondo membro e nella forma f(E) · gC(E)dE con: gC(E)

densita degli stati in banda di conduzione e f (E) distribuzione

statistica di Boltzmann.

• Energia media della popolazione: < E >= 32KBT .

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Relazione fra energia dei portatori, potenziale

elettrico e bande

• Il teorema della massa efficace permette di considerare un elettrone(lacuna) in banda di conduzione (valenza) come particella libera conenergia cinetica misurata rispetto al livello EC(~r) = EC + Uimpr(~r)ovvero (EV (~r) = EV + Uimpr(~r));

• EC(~r) ed EV (~r) sono pertanto rappresentative (a meno di unacostante) dell’energia potenziale di elettroni (Epot) e lacune;

• per una particella di carica -q si ha:

– potenziale elettrico φ(~r):

−qφ(~r) = EPot(~r) = EC(~r) ⇒ φ(~r) = −1q(EC(~r) − ERef);

– Se il livello di Fermi intrinseco e‘ parallelo al bordo della banda diconduzione (non vero in eterogiunzioni e in presenza di variazionispaziali del band-gap) possiamo scegliere ERef in modo tale cheφ(~r) = −1

qEFi(~r)

– campo elettrico: F = −∇φ → F = 1q∇EC = 1

q∇EFi

• La presenza di campo elettrico corrisponde quindi ad un piegamento

delle bande

• Concentrazione in funzione del potenziale elettrico: sapendo cheall’equilibrio n = ni exp (EF − EFi)/KT (relazione di Shockley) ot-teniamo:

n = ni exp (q(φ − φF )/KT ) p = ni exp (−q(φ − φF )/KT )

dove φF e il valore (costante perche‘ all’equilibrio) del potenziale cor-rispondente all’energia di Fermi.

• Se lo zero del potenziale e preso in corrispondenza del livello di Fermiallora:

n = ni exp qφ/KT p = ni exp−qφ/KT

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Portatori di carica fuori equilibrio

• Vi sono due condizioni di ”fuori equilibrio” di importanza ril-

evante:

– presenza di campo elettrico impresso dovuto ad azioni

esterne o di disuniformita spaziale delle concentrazioni

dei portatori cui consegue l’insorgere di correnti elettriche

(fenomeni di ”trasporto”);

– temporanea variazione delle concentrazioni rispetto alla

condizione di equilibrio che produce l’insorgere di fenomeni

di generazione o ricombinazione tendenti a ristabilire

l’equilibrio;

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Densita di corrente e di carica in M.Q.

• In meccanica quantistica la probabilita di trovare una par-

ticella rappresentata dalla funzione d’onda Ψ all’interno del

volume Ω e data da:∫

ΩPΨdΩ =

∫

Ω|Ψ|2dΩ (40)

• |Ψ|2 assume dunque il significato di densita di probabilita di

trovare una particella.

• L’equazione di continuita:

∇ · ~JΨ +∂PΨ

∂t= 0 (41)

definisce implicitamente una densita di corrente di proba-

bilita.

• Poiche ∂PΨ/∂t = Ψ∂Ψ∗/∂t + Ψ∗∂Ψ/∂t e poiche

dall’equazione di Schroedinger:

jh∂Ψ(~r, t)

∂t=

h2

2m∇2Ψ(~r, t) − U(~r, t)Ψ(~r, t) (42)

otteniamo:

~JΨ = −jh

2m(Ψ∇Ψ∗(~r, t) − Ψ∗∇Ψ(~r, t)) (43)

• Se Ψ e nulla in un punto dello spazio allora lo stato da essa

rappresentato non da contributo alla corrente.

• Se Ψ e reale (elettroni confinati) allora ~JΨ e identicamente

nulla.

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Effetto Tunnel quantistico (I)

• Consideriamo una barriera di potenziale di altezza U compresa trax = 0 ed x = d, ed un flusso di particelle incidente con energia E < U .La generica soluzione dell’equazione di Schroedinger nelle tre regionix < 0; 0 < x < d; x > d vale:

ΨI(x) = A exp(−jkIx) + B exp(+jkIx)

ΨII(x) = C exp(αx) + D exp(−αx)

ΨIII(x) = E exp(−ikIIIx)

• Sostituendo ΨI(x), ΨII(x), ΨIII(x) nell’equazione di Schroedinger ot-teniamo:

kI = kIII = k =

√

√

√

√

2m∗(E − U(x > d))

h2

α =

√

√

√

√

2m∗(U(0 < x < d) − E)

h2

• Imponendo la continuita della funzione d’onda e della sua derivataprima in x = 0 ed x = d otteniamo:

ΨI(0) = ΨII(0) ⇒ A + B = C + D (44)

ΨII(d) = ΨIII(d) ⇒ Ceαd + De−αd = Ee−jkd (45)

Ψ′I(0) = Ψ′

II(0) ⇒ −jkA + jkB = αC − αD (46)

Ψ′II(d) = Ψ′

III(d) ⇒ αCeαd − αDe−αd = −jkEe−jkd (47)

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Effetto Tunnel quantistico (II)

• Chiamo Equazione (2 → 4) l’equazione ottenuta eliminando

E per sostituzione della Eq.(45) nella Eq.(47). Inoltre dalle

Eq.(44) ed Eq.(46) ottengo

2C = −jk

α(A − B) + A + B (48)

2D = +jk

α(A − B) + A + B (49)

• Sostituendo queste ultime due equazioni nella Eq.(2 → 4) ot-

tengo infine:

B(

(α + jk)2eαd − (α − jk)2e−αd)

=

= A(

(α + jk)(α − jk)e−αd − (α + jk)(α − jk)eαd)

da cui finalmente:

B

A=

(α2 + k2) sinh(αd)

(k2 − α2) sinh(αd) − 2jαk cosh(αd)(50)

T = 1−R = 1−|B|2|A|2 =

4α2k2

(k2 − α2)2 sinh2(αd) + 4α2k2 cosh2(αd)(51)

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Trasporto di carica

• La definizione precedente e utile solo quando la corrente e dovutaa, o limitata da, fenomeni di tunneling elastico. In presenza di col-lisioni occorre valutare le funzioni d’onda risolvendo l’equazione diSchroedinger in presenza del potenziale di scattering.

• Se la distanza percorsa dalle particelle tra due successivi eventi discattering e grande rispetto alle dimensioni del pacchetto d’onde cherappresenta la particella, e piccola rispetto alle dimensioni del dis-positivo, e lecito e conveniente adottare un approccio semiclassico alproblema del trasporto.

• In presenza di forze impresse lentamente variabili nello spazio sappi-amo che possiamo interpretare EC(~r) = Uimpr(~r) + E(~k0) (ed EV (~r))

come energia potenziale di elettroni (lacune) e ∆E(~k) = E(~k)−E(~k0)come energia cinetica, dove E(~k) e la relazione di dispersione delcristallo per Uimpr = US = 0.

• Dall’approssimazione di massa efficace, l’energia totale nel sistemaperturbato dal campo impresso e data da

E1(~r,~k) = EC(~r) + E(~k) (52)

• Per un elettrone rappresentato da un pacchetto d’onda centrato in ~r,~k

e che si sposta in modo elastico E1 = costante. Pertanto:

dE1(~r,~k)

dt= ∇kE1(~r,~k) · d~k

dt+ ∇rE1(~r,~k) · d~r

dt= 0 (53)

che implica

~vg · hd~k

dt+ ~vg · ∇EC(~r) = 0 ⇒ dh~k

dt= −∇EC(~r) = ~Fe (54)

• Questa equazione del moto semiclassica descrive lo spostamento delpacchetto, in essa il momento del cristallo h~k gioca lo stesso ruolo delmomento di una particella classica.

• Si osservi che se E(~k0) = E0(~r) dipende dal punto, allora la pseudo-forza −∇EC(~r) viene a comporsi di due termini: uno dipendentedalle forze impresse, l’altro dal gradiente del fondo della banda diconduzione.

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Trasporto di carica: Equazione di Boltzmann

• Agenti esterni che rimuovano il sistema dalla condizione di

equilibrio modificano la distribuzione energetica rispetto alla

dist. Fermi Dirac. La funzione di distribuzione diviene fun-

zione della coordinata spaziale ~r e del tempo t, f(~r, ~p, t).

• Il numero di portatori in ogni elemento di volume d~rd~p

e semplicemente dato dalla Distribuzione dei portatori

F(~r, ~p, t)d~rd~p = (1/4π3h3)f (~r, ~p, t)d~rd~p

• le variazioni temporali e spaziali di F(~p, ~r, t) (e di f(~p, ~r, t))

sono descritte dall’equazione di Boltzmann:

∂F∂t

+

d~r

dt

· ∇rF +

d~p

dt

· ∇pF =

∂F∂t

C

• Le variazioni complessive di F sono dovute alla sua dipendenza

da t + al flusso netto di F nello spazio ~r + il flusso netto di

F nello spazio ~p. Queste variazioni devono uguagliare quelle

dovute alle collisioni.

rr r+dr

out-flow=

out-flow=in-flow=

g

in-scattering=

f(r+dr)

in-flow=

gen.-rec.

g

out-scattering=

in

out

f(r)

p

p+dp

p

(df/dt) dr dp

f(p+dp) p dr

v dp

f(p) p dr (df/dt) dr dp

v dp

∂F∂t

drdp + (f(r, p + dp) − f(r, p))dp

dtdr +

(f (r + dr, p) − f (r, p))dr

dtdp =

∂F∂t

in−

∂F∂t

out

drdp

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Trasporto di carica: Equazione di Boltzmann

• Equazione di Newton della meccanica classica:

d~p

dt= ~Force = ±q(~F + ~vg × ~B)

• Per ~B = 0 l’equazione di Boltzmann diviene, dunque:

∂F∂t

+ ~vg · ∇rF ± q ~F · ∇pF =∂F∂t

∣

∣

∣

∣

C

• Per particelle classiche, ~v = ~p/m, mentre la relazione tra energia ci-netica e momento vale E(~p) = p2/2m e quindi E = 1

2mv2.

• Per elettroni e lacune nei semiconduttori vale unicamente:

~v = ~vg = ∇pE(~p) =1

h∇kE(~k)

Ogni tipo di semiconduttore ha una sua funzione E(~p) che puo esserecalcolata univocamente dai principi della meccanica quantistica e dallaconoscenza della struttura cristallina del semiconduttore.

• Nota f(~r, ~p, t), ovvero f(~r,~k, t), e immediato calcolare la concen-trazione, n, e la densita di corrente, ~Jn, degli elettroni come (analoga-mente per le lacune):

n =1

4π3

∫

f(~r,~k, t)d~k

~Jn =−q

4π3

∫

f(~r,~k, t)vg(~k)d~k

• Solo per particelle con energia cinetica molto piccola la re-lazione energia-momento E(~p) coincide con la relazione classicanell’approssimazione parabolica: E(~p) = p2/2m∗ (approssimazioneparabolica).

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Equazione di Boltzmann: termine di collisione

∂F∂t

∣

∣

∣

∣

C=

∫

~p′ [S(~r, ~p′, ~p)F(~r, ~p′, t) − S(~r, ~p, ~p′)F(~r, ~p, t)] d~p′

S(~r, ~p, ~p′) frequenza dell’evento di scattering che produce una tran-

sizione istantanea dallo stato ~r, ~p a ~r, ~p′.Equazione di Boltzmann: Limiti di validita

* Validita‘ del modello a bande.

* Il campo elettrico varia lentamente sulla scala delle dimensioni

del pacchetto d’onde che descrive le particelle in moto (Teo-

rema di Ehrenfest).

* Approccio statistico, valido in presenza di molte particelle.

* Trattazione semiclassica: legge di Newton + elementi quan-

tistici nel calcolo del termine di collisione. In particolare il

concetto di F e classico perche specifica nello stesso istante

~r e ~p della particella. L’applicazione del principio di indeter-

minazione comporta un’incertezza di alcuni Angstrom nella

localizzazione della particella se E e determinata a meno di

KBT .

* Per descrivere in modo semplice il termine di collisione si con-

siderano solo collisioni binarie, indipendenti da F , e che avven-

gono in tempo nullo.

* La forma precedente dell’integrale di collisione non rispetta il

principio di esclusione (semiconduttore non degenere).

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Risoluzione della BTE

• La BTE e un’equazione integro-differenziale alle derivate

parziali nello spazio a sette dimensioni (~r, ~p, t). La soluzione

diretta in forma chiusa e molto difficile anche nei casi piu sem-

plici.

La difficolta della soluzione deriva dalla disomogeneita spaziale

del dispositivo, dai modelli usati per i meccanismi di collisione

(∂F∂t |C) e dalla complessita della struttura a bande (E(~p)).

• La risoluzione della BTE puo avvenire in via numerica tramite

metodi statistici per la soluzione diretta (Monte Carlo), oppure

metodi numerici approssimati (momenti).

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Il metodo dei momenti

• Il piu noto metodo approssimato e‘ quello dei momenti che si

basa su:

* Riduzione del numero delle dimensioni del dominio della

funzione incognita, ottenuta sostituendo alla BTE (in F)

una serie di equazioni nei momenti di F rispetto a ~p.

* Drastica approssimazione per il termine di collisione (ap-

prossimazione del tempo di rilassamento) che concentra

l’effetto di tutti i tipi di collisione in un unico parametro τ

che rappresenta la rapidita con cui il sistema ritorna allo

stato di equilibrio.

• I momenti di F rispetto a ~p hanno un significato fisico intu-

itivo, infatti:

n(~r, t) =∫

~pF(~r, ~p, t)d~p momento di ordine zero

~P =∫

~p~pF(~r, ~p, t)d~p momento di ordine uno

W =∫

~p

p2

2mF(~r, ~p, t)d~p momento di ordine due

dove n rappresenta la concentrazione di elettroni, ~P il mo-

mento complessivo, ~P/n il momento medio del singolo elet-

trone, W l’energia cinetica complessiva nell’approssimazione

parabolica p2/2m = E, W/n l’energia media del singolo elet-

trone.

• Le nuove equazioni si ottengono dalla BTE moltiplicandola per

la corrispondente potenza di ~p e integrandola in ~p.

• Occorre fare qualche ipotesi fisica/empirica per chiudere il sis-

tema di equazioni

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Modello drift-diffusion

• Esempio del metodo dei momenti e il modello drift-diffusion.

Integrando in ~p la BTE e sostituendo all’incognita F la quan-

tita:

n(~r, t) =∫

~pF(~r, ~p, t)d~p

che rappresenta il momento di ordine zero della F , si ottiene

la ben nota equazione di continuita per gli elettroni:

∂n

∂t=

1

q∇ · (n < ~v >) +

∂n

∂t|G−R =

1

q∇ · ~Jn +

∂n

∂t|G−R

• Questa equazione non fornisce alcuna informazione sulla dis-

tribuzione delle particelle in ~p e quindi non e sufficiente a de-

scrivere il trasporto.

• Per ottenere una conoscenza piu precisa della distribuzione si

devono prendere in considerazione i momenti di ordine supe-

riore della F rispetto a ~p.

• Se mi limito al momento di ordine uno ottengo dalla BTE inte-

grata in ~p un’equazione in ~Jn che opportunamente semplificata

(in particolare e fondamentale l’assunzione che la temperatura

elettronica coincida con quella del cristallo), si riduce alla for-

mulazione della densita di corrente nel modello drift-diffusion:

~Jn = −qµnn∇φ + qDn∇n

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Modello drift-diffusion

• Variabili: n, p, φ, ~Jn, ~Jp

• Equazioni di Continuita:

∂n

∂t=

1

q∇ · ~Jn − U

∂p

∂t= −1

q∇ · ~Jp − U

• Equazioni della Corrente:

~Jn = −qµnn∇φ + qDn∇n

~Jp = −qµpp∇φ − qDp∇p

• Equazione di Poisson:

∇ · (ε∇φ) = −ρ = −q(p − n + N+D − N−

A )

• Equazioni per esprimere mobilita, coefficienti di diffusione, fun-

zione di Generazione-Ricombinazione (U = R−G) in funzione

delle variabili del modello.

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Modello Idrodinamico

• Tenendo conto anche dell’equazione di bilancio dell’energia,

ottenibile dalla BTE con l’introduzione del momento del sec-

ondo ordine (energia media), si perviene al cosiddetto modello

idrodinamico.

• Nel modello idrodinamico l’equazione di bilancio del momento

diviene:

~Jn −τ

q

(

~Jn · ∇) ~Jn

n= qnµn

~F +1

n∇

nkTe

q

• Le differenze rispetto al modello Drift-Diffusion riguardano

principalmente due aspetti:

– Te rimane dentro il segno di gradiente nel termine diffusivo.

– e presente nel termine sinistro, un fattore correttivo che

puo essere importante in regioni nelle quali la velocita

( ~Jn/n) varia rapidamente nello spazio.

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Risoluzione diretta della BTE:

il metodo Monte Carlo

• Il metodo Monte Carlo e un metodo diretto e non approssimato

di risolvere l’equazione del trasporto di Boltzmann

• La dinamica di ciascuna particella viene descritta in modo

semiclassico attraverso la seguente espressione:

d~p

dt= ±q ~F + R(~r, ~p, t)

• Il termine R(~r, ~p, t) rappresenta l’effetto delle collisioni che

modificano la dinamica della particella (dovute a impurita ion-

izzate, vibrazioni del reticolo, etc . . . ).

• Nel metodo Monte Carlo traiettorie deterministiche calcolate

sulla base dell’equazione semiclassica del moto:

d~p

dt= ±q ~F

si alternano ad eventi istantanei di collisione descritti da oppor-

tune funzioni di probabilita S(~r, ~p, t) che esprimono la prob-

abilita che un determinato evento di scattering avvenga per

unita di tempo (scattering rates). La frequenza di questi

eventi determina la durata delle traiettorie (voli liberi).

• Simulando il moto di molte particelle si possono accumulare

tutte le informazioni necessarie alla conoscenza della funzione

di distribuzione f e della distribuzione dei portatori F

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Metodo Monte Carlo: volo libero

• Durante il volo libero:

d~p

dt= −q ~F ~r(t) = ~r(0) +

∫ t

0~vg(t

′)dt′

• Supponendo il campo costante e diretto verso −x abbiamo:

px(t) = px(0) − qFxt; py(t) = py(0); pz(t) = pz(0)

x(t) = x(0) +E(t) − E(0)

−qFx; y(t) = y(0) +

py(0)

m∗y

t; z(t) = z(0) +pz(0)

m∗z

t

con E(t) = p2(t)/2m∗ in bande sferiche paraboliche.

• Indichiamo con Γ =∑

i∑

~k′ Si(~k,~k′) lo scattering rate totale. Se Γfosse costante, la variazione nel numero di particelle che non subisconoscattering (nns) tra t e t + dt varrebbe dnns = −Γnnsdt. Pertanto:

nns(t) = nns(0) exp(−Γt)

• La probabilita di sopravvivere senza scattering fino a t vale dunque

P (t) =nns(t)

nns(0)= exp(−Γt)

• La probabilita di subire un urto tra t e t + dt vale dunque

P(t)dt = Γ exp(−Γt)dt

• Scegliendo numeri casuali r, la probabilita‘ di avere r entro dr deveessere pari a quella di avere una collisione tra t e t + dt

P(t)dt = P(r)dr

Se r ha distribuzione uniforme tra 0 e 1 allora P(r) = 1. Integrando:

∫ r

0dr =

∫ t

0Γ exp(−Γt′)dt′ ⇒ r = 1 − exp(−Γt)

• Poiche r1 = 1−r ha la medesima distribuzione uniforme di r abbiamo:

t = −Γ−1 ln(r1) (55)

• Se Γ non e costante massimizzo Γ e aggiungo il self scattering, La sceltadel meccanismo di scattering e dello stato dopo-scattering dipendonoda ulteriori numeri casuali

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Metodo Monte Carlo e BTE

• La simulazione Monte Carlo puo procedere con il calcolo successivodelle traiettorie di numerose particelle.

• Consideriamo un dispositivo costituito da fette unidimensionali dispessore infinitesimo e definiamo il contributo della particella j allaconcentrazione come

δnj(~r, t) = δ[~r − ~rj(t)]

• Il contributo alla funzione di distribuzione e dunque

δfj(~r, ~p, t) = δ[~r − ~rj(t)]δ[~p − ~pj(t)]

• Derivando rispetto al tempo

∂δfj

∂t= ∇rj

δfj ·d~rj

dt+ ∇pj

δfj ·d~pj

dt

doved~rj

dt= vg,j

d~pj

dt= −q ~F +

∂~pj

∂t|coll

• Dalla definizione del contributo di una particella alla f abbiamo

∇rjδfj = −∇rδfj ∇pj

δfj = −∇pδfj

• Sostituendo:

∂δfj

∂t= −∇rδfj · ~vg,j + q ~F · ∇pδfj + ∇pj

δfj ·d~pj

dt|coll

• Sommando su tutte le traiettorie otteniamo:

∂f

∂t+ ∇rf · ~vg − q ~F · ∇pδf =

∂f

∂t|coll

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Vantaggi e limiti del metodo Monte Carlo

• Fornisce una soluzione esatta dell’Equazione di Boltzmann

(BTE)

• Consente di aggiungere agevolmente nuovi meccanismi di scat-

tering

• Consente di incorporare facilmente fenomeni quantistici quali

il tunneling

• Consente di incorporare effetti di ”Collisional Broadening”

• Consente di incorporare effetti ”full band”

• Storicamente si e rivelato un metodo affidabile e robusto di

soluzione della BTE

• Puo essere generalizzato al caso di trasporto in sottobande

• Richiede tempi di calcolo elevati

• La soluzione e affetta da rumore di natura statistica

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Trasporto in presenza di campo elettrico

Corrente di ”deriva”

• In presenza di un campo elettrico impresso (d.d.p. fra gli es-

tremi di una barretta) elettroni di conduzione e lacune sono

soggetti alla forza coulombiana che ne determina un orienta-

mento prevalente del vettore velocita in direzione del campo

elettrico (verso concorde o meno a seconda della polarita).

~Jp,drift = qp~vp,drift

~Jn,drift = −qn~vn,drift

• ~J : vettore densita di corrente; ~vdrift: vettore velocita di deriva

(drift), cioe velocita media delle particelle;

• applichiamo il teorema dell’impulso ad un elettrone rappresen-

tativo della popolazione elettronica dotato di velocita pari alla

velocita‘ media di deriva e che effettua voli liberi compresi fra

due collisioni successive di durata τsc:

−q ~Fτsc = m∗~vdrift

µn = |vdrift|/|F | =qτsc

m∗

• per campi elettrici non troppo elevati la velocita di deriva e

proporzionale all’intensita del campo

• ~vp,drift = µp~F , ~vn,drift = −µn

~F

~Jp,drift = qpµp~F

~Jn,drift = qnµn~F

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Trasporto in presenza di campo elettrico

Corrente di ”deriva”

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Mobilita

• Presenta dipendenza da: materiale semiconduttore, tipo di

portatore, densita di drogante, temperatura.

• Limitata da interazioni (scattering) con: vibrazioni reticolari

(aumentano con T); impurita ed atomi droganti ionizzati.

• Vibrazioni reticolari: onde di deformazione elastica che si pro-

pagano attraverso il cristallo producendo l’oscillazione degli

atomi del reticolo nell’intorno della loro posizione di riposo

e, pertanto, la perturbazione del potenziale dovuto ai nuclei

(potenziale imperturbato tenuto in conto attraverso m∗).

• L’interazione reticolare (scattering fononico) provoca scambio

di quantita di moto ed energia fra portatori e reticolo.

• Alle vibrazioni reticolari e possibile attribuire natura corpus-

colari: fononi dotati di massa nulla e di energia e quantita di

moto.

• Le impurita neutre o ionizzate ionizzate (atomi droganti) per-

turbano il potenziale elettrostatico del reticolo ideale; pro-

ducono scambio di energia trascurabile ma variazione apprez-

zabile della quantita di moto.

• Ad ognuno dei meccanismi di scattering e associabile un libero

cammino medio e, quindi un valore di mobilita.

• Regola di composizione delle mobilita: Mathiessen rule

1

µ=

∑

i

1

µi

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Trasporto in presenza di campo elettrico: ”mobilita”'

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Trasporto in presenza di campo elettrico: resistivita

• In una barretta di semiconduttore con concentrazioni uniformi

la corrente e dovuta unicamente a ”deriva”; nell’ipotesi di bassi

campi elettrici (linearita):

~J = ~Jp−drift + Jn−drift = q(pµp + nµn)~F

• Resistivita ρ:

ρ =1

q(pµp + nµn)

• drogaggio prevalente N: n ≈ ND, p ≈ n2i/ND ¿ n, ρ ≈ 1

qNDµn

• drogaggio prevalente P: p ≈ NA, n ≈ n2i/NA ¿ p, ρ ≈ 1

qNAµp

•

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Effetti di alti campi elettrici: portatori caldi e

saturazione di velocita

• In presenza di campi elettrici elevati (F > 1kV/cm) l’energia

acquisita durante un volo libero (∆E = q ~F · ~∆r) diviene rile-

vante.

• La distribuzione energetica dei portatori si discosta da quella

di equilibrio (aumento dell’energia media della popolazione).

• La probabilita che un elettrone ecciti onde elastiche (emissione

di un fonone) dissipando parte della sua energia cinetica, au-

menta all’aumentare della sua energia.

• L’energia media della popolazione elettronica viene deter-

minata dal bilanciamento degli scambi energetici portatore-

campo e portatore-reticolo.

• Gli scattering fononici tendendo a disperdere la distribuzione

angolare dei vettori velocita delle singole particelle, produce

una saturazione nella caratteristica velocita-campo o, equiva-

lentemente, una riduzione della mobilita elettronica.

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Relazione velocita-campo elettrico

• Formule empiriche per la relazione velocita-campo

– Silicio:

v =µ0F

[

1 +(

µ0Fvsat

)β]1/β

– Arseniuro di Gallio:

v =µ0F + vsat (F/F0)

4

1 + (F/F0)4

• vsat rappresenta il valore di saturazione della velocita ' 107

cm/s

• µ0 rappresenta il valore di mobilita per F → 0

• β determina la forma della regione di transizione tra regime di

mobilita e di velocita saturata

• I vari parametri assumono valori numerici diversi per elettroni

e lacune e nei diversi materiali semiconduttori; sono, in gen-

erale, dipendenti dalla temperatura.

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Diffusione dei portatori di carica

• Fenomeni di trasporto di carica si verificano anche in assenza

di campo elettrico a causa di gradienti di cancentrazione.

• In presenza di un gradiente di concentrazione n, si verifica

uno spostamento netto di elettroni che tende ad annullare il

gradiente che lo ha originato.

• In assenza di altre forze, il movimento di portatori e dovuto alla

sola agitazione termica dei portatori; ogni singolo portatore

si muove in modo casuale (distribuzione angolare del vettore

velocita uniforme).

• Legge di Fick della diffusione: il flusso di particelle a concen-

trazione η attraverso una superficie e proporzionale alla com-

ponente del gradiente di η in direzione normale alla superficie:

Φ = −D∇η · ~u

• Correnti di diffusione:

~Jp−diff = −qDp∇p

~Jn−diff = qDn∇n

• Correnti totali:

~Jp = qµpp~F − qDp∇p

~Jn = qµnn~F + qDn∇n

~J = ~Jp + ~Jn

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Livello di Fermi all’equilibrio

• Si consideri una regione di semiconduttore a drogaggio non

uniforme o una etero-struttura costituita dalla unione lungo

un piano di due diversi materiali (di cui uno semiconduttore e

l’altro metallo o dielettrico);

• ipotesi di equilibrio termodinamico;

• la posizione relativa del livello di Fermi rispetto ad EC e EV

risulta dipendente dalla posizione (dipendenza da drogaggio e

materiale);

• il livello di Fermi risulta costante nella struttura infatti:

– dati due stati elettronici a medesima energia adiacenti fra

loro, le probabilita di transizione fra l’uno e l’altro sono fra

loro uguali per l’ipotesi di equilibrio termodinamico (flusso

netto di particelle attraverso una arbitraria superficie iden-

ticamente nullo, temperatura uniforme).–

P1→2 = g1(E)F (E)g2(E)(1 − F (E))

P2→1 = g2(E)F (E)g1(E)(1 − F (E))

– imponendo P1→2 = P2→1 segue EF1 = EF2.

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Relazioni di Einstein

• Correnti in condizioni di equilibrio termodinamico:

~Jn = ~Jp = 0

• cio non comporta l’annullamento delle singole componenti di

deriva e diffusione, ma solo il loro bilanciamento (si imponga~Jn = 0)

qµnndφ

dx= qDn

dn

dxdn

n=

µn

Dndφ

lnn

n0=

µn

Dn(φ − φ0)

• dall’espressione n = nieq(φ−φF )/(KT ) e dall’ipotesi di equilibrio

termodinamico (φF = const):

Dn

µn=

KT

q

• analogamente per le lacune vale:

Dp

µp=

KT

q

• le due relazioni precedenti sono chiamate relazioni di Einstein

e, per quanto valide a rigore solo in caso di equilibrio, sono

utilizzate anche in caso di piccoli scostamenti dall’equilibrio

termodinamico.

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Generazioni e ricombinazione di carica

• processi fisici che portano alla creazione di coppie elettrone -

lacuna (generazioni) o alla loro eliminazione (ricombinazioni);

• le generazioni (ricombinazioni) tendono a ristabilire la con-

dizione di equilibrio prendendo il sopravvento in condizioni di

fuori-equilibrio in cui la concentrazione dei portatori risulta

inferiore (superiore) a quella di equilibrio;

• comportano uno scambio di energia fra i portatori coinvolti

e il reticolo o l’ambiente esterno; energia termica, radiazione

elettromagnetica o energia cinetica fornita da campo elettrico;

• transizioni assistite da fotoni o fononi, ionizzazione da impatto,

ricombinazioni Auger, transizioni assistite da centri di ricom-

binazione, tunneling banda a banda

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Generazioni e ricombinazione di carica SRH

• Generazioni-ricombinazioni indirette attraverso stati di trap-

pola inter-gap (Shockley-Read-Hall):

• costituiscono il meccanismo di generazione-ricombinazione ter-

mica piu rilevante.

– R: numero di ricombinazioni per unita di tempo e volume.

– G: numero di generazioni per unita di tempo e volume.

– U = R − G: numero netto di coppie el. /lac. che ricom-

binano per unita di tempo e volume.

R − G =∂p

∂t=

∂n

∂t=

np − n2i

τp(n + n1) + τn(p + p1)

• Et: livello energetico della trappola (inter-gap);

• n1 = NC exp(

Et−ECKBT

)

, p1 = NV exp(

EV −EtKBT

)

;

• τp, τn: tempi di vita medi dei portatori.

• Si noti come U sia esprimibile come prodotto di una funzione

della temperatura e di un fattore che quantifica lo spostamento

rispetto alla condizione di equilibrio:

U = u0(T )(np − n2i )

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Generazioni e ricombinazione di carica SRH

• In generale per processi binari: Rn = Rp = R = rθnp

In particolare, all’equilibrio: R0 = G0 = rθn0p0 = rθn2i

Un = Up = U = R − G ' R − G0 = rθ(np − n2i )

• Approssimazione per minoritari e piccolo scostamento dall’equilibrio(basse iniezioni, quasi neutralita):

n − n0 = n′ = p − p0 = p′

U = rθ [(n0 + n′)(p0 + p′) − n0p0] ' rθ(n0 + p0)n′ = rθ(n0 + p0)p

′

Tempo di Vita Medio: τn = τp = [rθ(n0 + p0)]−1

U ' n′

τn= p′

τp

– semiconduttore N, p − p0 ¿ n0, p0 ¿ n0

R − G ' p − p0

τp

τn = τp ' 1/rθn0

– semiconduttore P, n − n0 ¿ p0, n0 ¿ p0

R − G ' n − n0

τn

τn = τp ' 1/rθp0

• I tempi di vita medi derivano il loro nome dal fatto che in un semi-conduttore uniformemente perturbato da un eccesso di portatori n′ eper piccole iniezioni abbiamo

dn′

dt= −n′

τn

n′(t) = n′(0) exp(−t/τn)

< t > =

∫∞0 tn′dt∫∞0 n′dt

= τn

• Il tempo di vita del portatore minoritario (es.: lacune in semicon-duttore n-type) e inversamente proporzionale alla concentrazione deiportatori maggioritari.

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Stati superficiali

• Alla superficie del cristallo la struttura periodica e interrotta;

alterazione della struttura a bande.

• Rinconducibile a bande del cristallo 3-D piu stati inter-gap

localizzati spazialmente in una regione superficiale di piccolo

spessore (pochi strati atomici).

• Comunemente si tratta di stati di tipo accettore o donatore che

tendono a fissare la posizione del livello di fermi alla superficie

rendendola quasi indipendente dalla densita di drogante.

• Es: semic. N con stati accettori ad energie prossime ad un sin-

golo valore E < EFi; un aumento dello stato di occupazione

dei livelli accettori produce un innalzamento del livello di Fermi

rispetto ad EFi vicino alla sup. e tende a ridursi il piegamento

delle bande; aumenta la carica fissa negativa che tende a resp-

ingere le cariche mobili (elettroni) compensando l’effetto sul

piegamento delle bande.

• semiv P con stati accettori ad E < EFi: aumento dello stato

di occupazione produce innalzamento di EF in prossimita su-

perficie e pertanto un aumento del piegamento di bande che e

compensato dal fatto che l’aumento della carica negativa fissa

richiama lacune che tendono a ridurre l’estensione della regione

svuotata e a ridurre il piegamento di banda.

• Tali stati superficiali aumentano la probabilita di ricombi-

nazione SRH.

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Ricombinazione superficiale

• La presenza di stati superficiali aumenta la probabilita di ri-

combinazione della carica in corrispondenza di un sottile strato

cui attribuiamo uno spessore δ.

• Consideriamo una corrente di elettroni lungo x e si abbia una

distribuzione di stati di trappola uniforme sul piano normale

alla direzione dell’asse x. Sia campo elettrico nullo in direz. x.

dJn

dx= q

n − no

τn(56)

Jn ≈ qDndn

dx

• Si integri eq.(56) sul volume di superficie S e spessore δ, ap-

plicando il teorema della divergenza (corrente nulla sul piano

di superficie):

JnS = −qS∫ δ

0

n − n0

τndx

• definendo la velocita di ricombinazione superficiale Sn =∫ δ0

1τn

dx e sostituendo l’espressione della Jn:

Dndn

dx= −Sn(n − n0) (57)

• Tale equazione costituisce la condizione al contorno su n e sulla

sua derivata alla superficie del semiconduttore;

• caso limite semiconduttore di estensione infinita: SN → ∞,

n = n0.

• procedimento analogo porta all’equazione duale valida per le

lacune.

'

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'

&

$


Tempo di rilassamento dielettrico

• Il tempo di risposta dei portatori maggioritari puo essere valu-

tato con riferimento ad una barretta uniforme di silicio drogata

ND. Trascurando le generazioni ricombinazioni (U = 0):

∂n

∂t=

1

q

∂Jn

∂x

• Drogaggio e n costanti implicano Jn = σnE = qµnnE. Per-

tanto:1

q

∂Jn

∂x=

σn

q

∂E

∂x= −σn

(n − ND)

εSi

• Ponendo σn ' qµnND e sostituendo otteniamo:

d(n − ND)

(n − ND)= −qµnND

εSidt

n − ND = (n(0) − ND) exp (−t/td)

• td = tempo di rilassamento dielettrico = εSi/σn = εSi/qµnND

• µ =' 500cm2/V s, ND ' 1020 implica td ' 1ps

• Il tempo di risposta dei portatori maggioritari ad una pertur-

bazione (tempo di rilassamento dielettrico) e molto inferiore a

quello dei portatori minoritari (tempo di vita)

• Il tempo di rilassamento dielettrico e tipicamente piccolo

rispetto ai tempi di commutazione degli attuali dispositivi elet-

tronici

'

&

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'

&

$


Generazione per ionizzazione da impatto

• Un elettrone in banda di conduzione puo interagire con uno in

banda di valenza promuovendolo in banda di conduzione. A

seguito dell’interazione otteniamo due eletttroni in banda di

conduzione e una lacuna in banda di valenza.

• L’interazione puo avvenire in modo diretto o mediata da un

fonone. In ogni caso l’interazione deve conservare il momento

e l’energia totale.

• Possiamo descrivere il processo tramite una funzione

S(~ki, ~kf , ~k1, ~k2) che rappresenta il numero di eventi di ion-

izzazione per unita di tempo di un elettrone nello stato ~ki.

Integrando su tutte le terne ~kf , ~k1, ~k2 che conservano E e ~k

otteniamo:

GII,n(~r) =1

4π3

∫

SII(~k)f(~r,~k)d~k ,

• Integrando sugli stati iniziali di energia E otteniamo SII(E).

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

Kinetic Energy Ek [eV]

107

109

1011

1013

Scattering r

ate

s [s

] impact ion. (e)

impact ion. (h)

SII

• Il numero di coppie elettrone-lacuna generate per unita di

tempo e di volume dagli elettroni vale dunque:

GII,n(~r) =∫ ∞EG

SII(E)f (~r, E)g(E)dE

'

&

$


'

&

$


Meccanismi di Generazione-Ricombinazione

• La transizione dalla banda di valenza alla banda di conduzione

deve avvenire rispettando la conservazione dell’energia e del

momento.

• I fononi hanno energia piccola rispetto al gap (60 meV ¿EG =1.12 eV) ma possono avere momento apprezzabile.

• I fotoni hanno momento trascurabile sulla scala di dimensioni

della prima zona di Brillouin ma possono avere energia ap-

prezzabile (kphot. = 2π/λ = E/hc ' 107m−1 per un fotone

con E ' 1 eV mentre le dimensioni della prima zona sono

π/a ' 1010 m−1 con a ' 5A).

• Nei semiconduttori a gap indiretto sono sfavorite le transizioni

assistite da fotoni

• I processi assistiti da soli fotoni o soli fononi richiedono inter-

azione con molte particelle simultaneamente per rispettare i

vincoli di conservazione dell’energia e del momento.

'

&

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'

&

$


Generazione per ionizzazione da impatto

• A livello macroscopico possiamo modellare il fenomeno sup-

ponendo che il numero di nuove coppie (∆N) generate da

un portatore entro il volume ∆V nell’intervallo ∆t sia pro-

porzionale al numero di quelli entranti in ∆V . La costante di

proporzionalita prende il nome di coefficiente di ionizzazione.

∆N = αn|~v|∆t∆V

GII(~r) =∆N

∆V ∆t= αnn|~vn|+αpp|~vp| = αn

| ~Jn(~r)|q

+αp|~Jp(~r)|

q

• Ricordando l’espressione di Jn otteniamo

αn,p(~r) =∫

SII(~k)f (~r,~k)d~k∫

f(~r,~k)vg(~k)d~k

• Il coefficiente di ionizzazione dipende dalla funzione di dis-

tribuzione. E una proprieta non locale.

• SII e maggiore per gli elettroni che per le lacune

• A parita di campo e ad alta energia f(E) e maggiore per gli

elettroni che per le lacune.

• A parita di energia la velocita e maggiore per gli elettroni che

per le lacune.

• Pertanto αn e maggiore di αp.

• In generale G e elevato dove J e α sono elevati: regioni di alto

campo con molti portatori caldi all’interno delle quali vengono

iniettate correnti non trascurabili. (regioni svuotate di diodi

in inversa e transistori bipolari.)

'

&

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'

&

$


Coefficienti di ionizzazione del Silicio

• In condizioni di campo elettrico costante in ~r e t es-

iste un legame biunivoco tra campo elettrico e fun-

zione di distribuzione. Pertanto si possono esprimere

i coefficienti di ionizzazione in funzione del campo.

0.0e+00 5.0e-06 1.0e-05

1/E(cm/V)

1

100

10000

α(c

m-1)

Slotboom bulk (1987)

Slotboom surface (1987)

Grant (1972)

Maes,De Meyer, VanOverstraten (1990)

VanOverstraeten,DeMan(1970)

0e+00 1e-06 2e-06 3e-06 4e-06 5e-06 6e-06

1/E(cm/V)

10

100

1000

10000

100000

β(c

m-1)

Grant

Van Overstraeten , De Man

• Possiamo approssimare i coefficienti di ionizzazione con

l’espressione:

α = A exp

−B

F

Il logaritmo di α e una funzione lineare di 1/F .

'

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'

&

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Modello elementare della ionizzazione

• Il numero di portatori generati per unita di tempo e spazio e

proporzionale al numero di quelli esistenti con energia superi-

ore ad una soglia ΦII .

• I portatori acquisiscono energia esclusivamente attraverso voli

liberi (privi di scattering).

∆n ∝ n · P (no scattering)

• Probabilita di non subire scattering tra t e t + dt:

P (t + dt) = P (t) (1 − S(E)dt)

• S(E) = 1/τ (E) dove τ (E) e il tempo medio tra due eventi di

scattering successivi.

dP (t)

dt= −P (t)

τ (E)⇒

∫ P

1

dP

P= −

∫ t

0

dt′

τ (E)

P = exp

−∫ t

0

dt′

τ (E)

• Consideriamo una situazione unidimensionale ed esprimiamo

la probabilita in funzione del campo:

dP

dt=

dP

dE

dE

dk

dk

dt=

dP

dEhv

qF

h

dP

dt= − P

τ (E)=

dP

dEqFv(E) ⇒ dP

P= − dE

qFτ (E)v(E)

P = exp

− E

qFτ (E)v(E)

= exp

− E

qFλ(E)

'

&

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'

&

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Moltiplicazione a valanga

• La moltiplicazione a valanga aumenta il numero di portatori e

quindi la corrente che scorre nel dispositivo.

• Definiamo coefficiente di moltiplicazione il rapporto tra la cor-

rente uscente dalla regione di moltiplicazione e quella iniettata

all’interno della medesima.

• Se la ionizzazione rappresenta l’unico fenomeno rilevante di

generazione-ricombinazione:

1

q

dJn

dx= G = αn

Jn

q+ αp

Jp

q(58)

• In condizioni stazionarie ∇ · J = 0, cioe J = Jn + Jp =

costante. Sostituendo:

dJn

dx= (αn − αp)Jn + αpJ

• In generale α = α(f(~r)). Per campi lentamente variabili α =

α(F (~r)).

• In regime di debole moltiplicazione Jp ¿ Jn ' J :

Jn(W ) ' Jn(0) exp(

∫ W

0αn(F (ξ))dξ

)

Mn =Jn(x)

Jn(0)' exp

(∫ x

0αn(F (ξ))dξ

)

'

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'

&

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Moltiplicazione a valanga: caso generale

• Nel caso generale abbiamo:

dJn

dx= (αn − αp)Jn + αpJ

• Ponendo Jn(x) = y(x); αn − αp = a(x), αpJ = b(x) si ha:

dy

dx= a(x)y + b(x) (59)

L’equazione omogenea associata sarebbe:

dy

y= a(x)dx ⇒ y(x) = y(0) exp

(∫ x

0a(ξ)dξ

)

• L’integrale particolare si ottiene con il metodo della variazione dellecostanti:

y = C(x) exp(∫ x

0a(ξ)dξ

)

dy

dx=

dC(x)

dxexp

(∫ x

0a(ξ)dξ

)

+ C(x)a(x) exp(∫ x

0a(ξ)dξ

)

=dC(x)

dxexp

(∫ x

0a(ξ)dξ

)

+ a(x)y

Sostituendo nella (59) si ha:

dC(x)

dx= b(x) exp

(

−∫ x

0a(ξ)dξ

)

C(x) =∫ x

0b(x′) exp

−∫ x′

0a(ξ)dξ

)

dx′ + C(0)

dove dalla relazione precedente risulta C(0) = Jn(0). Pertanto siottiene:

y = C(x) exp(∫ x

0a(ξ)dξ

)

Jn(x) =Jn(0) +

∫ x0 αpJ exp (− ∫ x

0 (αn − αp)dx) dx

exp (− ∫ x0 (αn − αp)dξ)

'

&

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'

&

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Moltiplicazione a valanga: caso generale

• Calcoliamo l’espressione precedente per x = W . Anche ammettendoche in x = W avvenga una iniezione di lacune (Jp(W ) 6= 0), in regimedi scarica la moltiplicazione domina sul flusso di portatori iniettati.Pertanto J ' Jn(W ).

• Definiamo:

Mn =Jn(W )

Jn(0)' J

Jn(0)

ricaviamo:

Jn(W )

J' 1 =

M−1n +

∫ W0 αp exp (− ∫ x

0 (αn − αp)dξ) dx

exp

− ∫ W0 (αn − αp)dx

)

1

Mn= exp

−∫ W

0(αn − αp)dξ

)

−∫ W

0αp exp

(

−∫ x

0(αn − αp)dx

)

dx

Poiche si ha:

(αp − αn) exp(

−∫ x

0(αn − αp)dx

)

=d

dxexp

(

−∫ x

0(αn − αp)dx

)

e quindi:

∫ W

0(αp−αn) exp

(

−∫ x

0(αn − αp)dx

)

dx = exp

−∫ W

0(αn − αp)dx

)

−1

otteniamo:∫ W

0αp exp

(

−∫ x

0(αn − αp)dξ

)

dx =

=∫ W

0αn exp

(

−∫ x

0(αn − αp)dξ

)

dx + exp

−∫ W

0(αn − αp)dx

)

− 1

e quindi, infine:

1

Mn= 1 −

∫ W

0αn exp

(

−∫ x

0(αn − αp)dξ

)

dx

'

&

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'

&

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Rottura a valanga (Breakdown)

• La condizione di scarica avalanga e che l’integrale di moltipli-

cazione In valga 1:

In =∫ W

0dxαn exp

(

−∫ x

0(αn − αp)dξ

)

= 1 ⇒ Mn = ∞

• La corrente aumenta in modo indefinito e puo essere limitata

solo dal circuito esterno.

• Tensione di Breakdown: tensione per la quale l’integrale di

moltiplicazione vale 1.

• affinche si raggiunga la condizione di valanga deve innescarsi

un processo di retroazione positiva che coinvolge necessaria-

mente la presenza di lacune.

Dipendenza dalla temperatura

• A parita di campo elettrico se T cala cala lo scattering con i

fononi; la distribuzione diventa piu calda.

• Lo scattering rate da ionizzazione da impatto risente della tem-

peratura principalmente per effetto delle variazioni del gap en-

ergetico.

• la velocita cambia poco perche dipende dalla struttura a bande.

• In generale, se T cala ionizzazione da impatto e moltiplicazione

a valanga crescono.

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'

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Regioni svuotate e quasi neutre

Regioni quasi neutre

• Esempio 1: semiconduttore con drogaggio che passa da ND1 =

1016 cm−3 a da ND2 = 1018 cm−3 in 1 µm

• All’equilibrio Jn = 0. Ipotizzando dn/dx ' dND/dx si ha

| ~E| = −Vth1

ND1

dND

dx≈ −2.5 × 103 V/cm

• Consideriamo ora un campo che varia tra 0 e 104 V/cm in

0.5 µm. Dall’equazione di Poisson abbiamo = ρ/ε ' 2 ×108 V/cm2 che trascurando le lacune corrisponde a |ND−n| '1015 cm−3 ¿ ND1

• Pertanto n(x) ' ND(x) a conferma dell’espressione del campo

elettrico derivata in precedenza

Regioni svuotate

• Esempio 2: campo che varia tra 0 e 104 V/cm in 0.005 µm.

Dall’equazione di Poisson abbiamo = ρ/ε ' 2 × 1010 V/cm2

che trascurando le lacune corrisponde a |ND − n| '1017 cm−3 ' ND

• Pertanto n(x) ¿ ND(x). In pratica la regione tende a svuo-

tarsi di portatori

E spesso possibile schematizzare i dispositivi attraverso la giustap-

posizione di regioni quasi neutre nelle quali n = ND (oppure

p = NA) e regioni svuotate nelle quali p ' n ' 0

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'

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Giunzioni p-n

• Equilibrio ⇒ EF = cost = φn = φp

• Esiste una differenza di potenziale di built-in

• Jn = Jp = 0 ma il campo elettrico non e nullo ovunque ⇒Johmica = −Jdiffusiva

EFn − Ei,n = KT ln(nn0

ni) = KT ln(

ND

ni)

Ei,p − EFp = KT ln(pp0

ni) = KT ln(

NA

ni)

qψ0 = Ei,p − Ei,n = KT ln

NDNA

n2i

'

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'

&

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Giunzioni brusche

• Utilizziamo l’approssimazione di completo svuotamento (accu-

rata tranne che in forte polarizzazione diretta). Modello del

diodo a giunzione brusca con due regioni quasi neutre ed una

regione svuotata nel mezzo.

• In ipotesi di completo svuotamento (dovuta al drogante ioniz-

zato) e assenza di compensazione l’eq. di Poisson diventa:

−d2φ

dx2=

qND

εSi0 ≤ x ≤ xn

−d2φ

dx2= −qNA

εSi− xp ≤ x ≤ 0

• Integrando si ottiene:

Emax =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−dφ

dx

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x=0=

qNDxn

εSi=

qNAxp

εSi

• Ciascun lato della giunzione ospita la medesima carica di svuo-

tamento in modulo

|Qd| = qNDxn = qNAxp = εSiEmax [C/cm2]

• xn e xp sono funzioni di NA, ND e della tensione

'

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'

&

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Giunzioni brusche

• Poiche il profilo di campo e triangolare la caduta di potenziale

totale vale (Wd = xn + xp):

φm = ψ0 − V = −∫ xn

−xpE(x)dx =

Emax(xn + xp)

2=

EmaxWd

2

Wd =

√

√

√

√

√

√

2εSi(NA + ND)φm

qNAND

• La capacita differenziale di svuotamento vale:

Cd =d|Qd|dφm

=εSi

Wd

Giunzioni Asimmetriche

• Si ha spesso a che fare (diodi, source MOSFET, Emettitore

bipolari) con giunzioni asimmetriche in cui ND À NA o vicev-

ersa.

• Nel caso ND À NA il livello di Fermi nella regione n+ degenera

sul bordo della banda di conduzione. Pertanto:

qψ0 = Efn − Ein + KT ln

NA

ni

' EG

2+ KT ln

NA

ni

Wd =

√

√

√

√

√

√

2εSi(ψ0 − V )

qNA

• Esempio: Ψ0 ' 1 V, V = 0 V, NA = 1015 cm−3, Wd ' 1µm,

Emax ' 2 · 104 V/cm. Se invece NA = 1017 cm−3, Wd '0.1µm, Emax ' 2 · 105 V/cm.

'

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'

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Pseudo-Livelli di Fermi

• Equazioni della Corrente:

~Jn = −qµnn∇φ + qDn∇n = −qµnn

∇φ − Dn

µn

∇(n/ni)

n/ni

• Utilizzando la relazione di Einstein

~Jn = −qµnn∇

φ − Vth lnn

ni

= −qµnn∇φn

• φn = Pseudo Livello di Fermi per elettroni (Imref)

• Analogamente per le lacune:

~Jp = −qµpp∇

φ + Vth lnp

ni

= −qµpp∇φp

• Concentrazione dei portatori:

n = ni exp ((φ − φn)/Vth)

p = ni exp ((φp − φ)/Vth)

np = n2i exp ((φp − φn)/Vth)

• Per confronto con le analoghe espressioni: all’equilibrio φn =

φp = φF

• Se esiste una direzione lungo la quale ~Jn e nulla o trascur-

abile rispetto alle componenti ohmiche e diffusive, allora lungo

quella direzione φn e praticamente costante. Analogamente

per φp.

• Se il semiconduttore si trova in condizioni di quasi equilibrio

pn = n2i allora φn = φp.

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Pseudo-Livelli di Fermi

in Regioni svuotate e quasi neutre

Regioni quasi neutre N

• n ' ND = 1017 cm−3, µn ' 1000 cm2/V s, Jn ' 103 A/cm2

implica dφn/dx ' 60 V/cm mentre Ψ0/Wd ' 1 V/0.1 µm ≈105 V/cm À qdφn/dx. Pertanto φn e praticamente costante

attraverso una regione quasi neutra n, anche ad elevati livelli

di corrente.

Estremita delle regioni svuotate

• Poiche in condizioni stazionarie ∇ · Jn = qU , se U e trascur-

abile Jn e costante attraverso la regione svuotata. Pertanto:

nµndφn/dx|xn = nµndφn/dx|−xp. Poiche n(xn) À n(−xp)

mentre µn ≈ µp ne segue che dφn/dx|xn ¿ dφn/dx|−xp

Regioni quasi neutre P

• La concentrazione di elettroni in eccesso decade esponenzial-

mente. Pertanto Jn decade rapidamente a zero. Altret-

tanto fa dφn/dx. Al limite, quando n = n2i/NA abbiamo

φn = φ − Vth ln(n/ni) = φ + Vth ln(NA/ni). Pertanto

EFn = EFi − KT ln(NA/ni).

Le variazioni spaziali di φn sono tutte confinate entro brevi dis-

tanze dal bordo dello strato svuotato dal lato P. Dualmente per le

variazioni di φp.

'

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'

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Pseudo-Livelli di Fermi in giunzioni p-n

• Lontano dalla regione di giunzione le concentrazioni hanno i

valori di equilibrio e quindi φn = φp

• nelle regioni quasi neutre lo pseudolivello del portatore mag-

gioritario e pressoche costante

• attraverso le regioni svuotate gli pseudolivelli sono circa

costanti

'

&

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'

&

$


Corrente nelle giunzioni brusche

• In condizioni stazionarie la corrente totale J e solenoidale. Quindipuo essere valutata in qualsiasi sezione della giunzione.

J(x) = Jn(x) + Jp(x) = cost.

• Dall’equazione di continuita abbiamo anche:∫ xn

−xp

dJn = Jn(xn) − Jn(−xp) =∫ xn

−xp

qUdx = JGR

• Calcoliamo J al bordo della regione svuotata

J = Jn(xn) + Jp(xn) = Jp(xn) + Jn(−xp) + JGR

• Per calcolare Jp(xn) valutiamo Jp nella regione n per differenzarispetto al caso di equilibrio (Jp = 0).

Jp(x) − 0 = qµp(pF − p0F0) − qDpd(p − p0)

dx

= qµp(p0 + δp)(F0 + δF ) − qµpp0F0 − qDpd(p − p0)

dx

' qµpp0δF + qµpδpF0 + qµpδpδF − qDpd(p − p0)

dx

• Poiche siamo nella regione quasi neutra n

Jp(x) = −qDpd(p − p0)

dx

• Nell’ipotesi di piccole iniezioni:

dJp

dx= −qU = −q

p − p0

τp= −qDp

d2(p − p0)

dx2

d2(p − p0)

dx2=

p − p0

L2p

dove L2p = Dpτp e la lunghezza di diffusione, cioe la distanza media-

mente percorsa da un portatore prima di ricombinare.

'

&

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'

&

$


Corrente nelle giunzioni brusche (II)

• Detto p′ = p − p0 abbiamo:

p′(x) = A exp(x/Lp) + B exp(−x/Lp)

Imponiamo p′(W ) = 0. Poiche p(xn) = n21 exp(V/Vth)/n(xn) =

p(xn) = n21 exp(V/Vth)/ND, si ha anche:

p′(0) =n2

i

ND(exp (V/Vth) − 1)

da cui p′(0) = A + B e p′(W ) = A exp(W/Lp) + B exp(−W/Lp) = 0.

B = p′(0) exp(W/Lp) [exp(W/Lp) + exp(−W/Lp)]−1

A = −p′(0) exp(−W/Lp) [exp(W/Lp) − exp(−W/Lp)]−1

p′(x) = p′(0)sinh((W − x)/Lp)

sinh(W/Lp)

• derivando, sostituendo e calcolando al bordo della regione svuotata,otteniamo:

Jp = −qDpdp′

dx= −qDpp

′(0)

−cosh(W/Lp)

sinh(W/Lp)

1

Lp

=qDp

Lp

n2i

ND

1

tanh(W/Lp)

exp

V

Vth

)

− 1

)

• Al limite per W ¿ Lp l’andamento diventa pressoche lineare:

p′(x) ' p′(0)(W − x)/Lp

W/Lp= p′(0)

1 − x

W

)

Jp ' qDp

W

n2i

ND

exp(V

Vth) − 1

)

tanh(W/Lp) ' W/Lp

• Al limite per W À Lp l’andamento diventa pressoche esponenziale:

p′(x) = p′(0)sinh((W − x)/Lp)

sinh(W/Lp)' p′(0)

exp((W − x)/Lp)

exp(W/Lp)= p′(0) exp(−x/Lp)

Jp ' qDp

Lp

n2i

ND

exp(V

Vth) − 1

)

tanh(W/Lp) ' W/Lp

'

&

$


'

&

$


Corrente nella giunzione p-n

• Consideriamo il caso di diodo a base corta: p′(x) e una funzione

lineare di x. Pertanto Jp(x) = −qDpdp′/dx e indipendente

da x. Quindi dJp/dx = 0. Ma poiche dJp/dx = −qU se

ne deduce che U = 0. Quindi nell’approssimazione di diodo

a base corta i portatori minoritari raggiungono il contatto in

un tempo talmente breve da rendere insignificanti le ricombi-

nazioni.

• La corrente totale nella giunzione vale (giunzione a base lunga):

I = A(Jp + Jn + JGR)

= A

qDp

Lp

n2i

ND+

qDn

Ln

n2i

NA

exp

V

Vth

− 1

+ AJGR

• La corrente totale nella giunzione a base corta vale:

I = A(Jp + Jn + JGR)

= A

qDp

Wn

n2i

ND+

qDn

Wp

n2i

NA

exp

V

Vth

− 1

+ AJGR

dove Wp e Wn indicano la lunghezza delle regioni quasi neutre

di tipo p- ed n-, rispettivamente.

• In una giunzione n+/p polarizzata in inversa:

J ' Jn =qDnn

2i

NALn+

∫ xp

0qUdx

• U e determinata da diversi meccanismi: SRH, BBT, II, etc. . . .

Pertanto:

U = UII + UBBT + USRH + . . .

'

&

$


'

&

$


Corrente inversa della giunzione p-n

• II: Poiche in prima approssimazione i coefficienti di ioniz-

zazione dipendono in modo esponenziale dal campo elettrico,

solo la regione di campo massimo fornisce un contributo ap-

prezzabile alla moltiplicazione.

• Nel caso di una giunzione brusca fortemente asimmetrica n+/p

Emax = 2Ψ0 − V

xn + xp' 2

Ψ0 − V

xpxp '

√

√

√

√

√

2ε

qNA(Ψ0 − V )

Emax =

√

√

√

√

√

2qNA(Ψ0 − V )

ε

• Per ridurre la generazione II occorre limitare il drogaggio, con-

sentire ampie regioni svuotate e rendere graduale la giunzione

• BBT: Nelle giunzioni attuali fortemente drogate da ambo i

lati il campo nella regione di giunzione e abbastanza forte e la

distanza tra bande abbastanza modesta da consentire fenomeni

di tunneling banda a banda (|F | = 1 MV/cm, EG ' 1 eV,

dtun = 10 nm).

• Il BBT non e un fenomeno rigenerativo. Non porta ad una

crescita illimitata della corrente.

• Nel BBT il coefficiente di temperatura della tensione di break-

down e opposto a quello della moltiplicazione a valanga.

• BBT e l’effetto dominante per tensioni di breakdown < 6 V

circa.

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Simulazioni con il modello drift-diffusion

potenziale elettrostatico e campo elettrico

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

[microns]

−1

−0.5

0

0.5

[V]

Electrostatic Potential

Vp=0.8V

Vp=0.65V

Vp=0.4V

Vp=0V

Vp=−0.3V

n−type 1e16

p−type 5e17

0 0.2 0.4 0.6

[microns]

0

20000

40000

60000

80000

[V/m

]

Electric Field

Vp=0.65V

Vp=0V

Vp=−0.3V

Giunzione p+/n (p+ = 1017cm−3/n = 1016cm−3)

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'

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diagrammi a bande e pseudopotenziali

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

[microns]

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

[eV

]

EC

EV

−qVel

φn=φ

p

VAPP

=VP−V

N=0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

[microns]

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

[eV

] EC

EV

φn

−qVel

φp

−qVAPP

VAPP

=VP−V

N=0.4V

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

[microns]

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

[eV

] EC

EV

−qVEL

φp

VAPP

=VP−V

N=−0.3V

−qVAppφ

n

'

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'

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concentrazioni, carica spaziale e gen.ric.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

[micros]

102

107

1012

1017

n/p

conc. [#

/cm

−3]

Carrier Concentration

Vp=0.65V

Vp=0.4V

Vp=0V

Vp=−3V

n=1e16

p=5e17

0 0.2 0.4 0.6 0.8

[microns]

−2e+16

−1e+16

0

1e+16

2e+16

space C

harg

e [#]

Vp=0.6V

Vp=0.4V

Vp=0V

Vp=−0.3V

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

[microns]

1010

1015

[cm

−3s

−1]

SRH Recombination

Vp=0.6V

Vp=0.4V

Vp=−0.3V

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'

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Diodi p-i-n

• Al fine di poter sostenere elevate tensioni inverse e necessarioimpedire un eccessivo aumento del campo elettrico at-traverso l’introduzione di uno strato quasi-intrinseco (N ' 0)

−d2φ

dx2=

qND

εSid ≤ x ≤ xn

−d2φ

dx2= 0 0 ≤ x ≤ d

−d2φ

dx2= −qNA

εSi− xp ≤ x ≤ 0

Emax =qNAxp

εSi=

qND(xn − d)

εSi

φm =Emax(Wd + d)

2

Wd =

√

√

√

√

2εSi(NA + ND)φm

qNAND+ d2

• A parita di φm abbiamo

Wd

Wd0=

√

√

√

√

√1 +d2

W 2d0

Emax

Emax0=

√

√

√

√

√1 +d2

W 2d0

+d

Wd0

−1

Cd

Cd0=

Wd0

Wd=

1√

1 + d2/W 2d0

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Giunzioni Metallo/Semiconduttore (Schottky

barrier)

• E0 detto livello energetico del vuoto, rappresenta l’energia di un elet-trone libero che non risente piu dell’effetto del cristallo.

E0 − EF,M = qΦM

E0 − EF,S = qχ + EG/2 − |KBT

2qln(NV /NC)| − KBT

qln(ND/ni)

qΦB = q(ΦM − χ) = barriera metallo − semic.

qΨ0 = q(ΦM − ΦS) = barriera semic. − metallo

• Con i valori tipici NC = 2.8 · 1019 cm−3, NV = 1.04 · 1019 cm−3,ni = 6.4 · 109 cm−3, EG =1.12 eV, KBT/q ln NV /NC = -13mV, KBT/q ln 1017/ni = 0.427 V, qχ(Si) =4.17 eV, si ottiene:

ΦM ΦB Ψ0

Al 4.10 -0.07 -0.216Au 4.75 0.58 0.434Pt 5.30 1.13 0.984

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Giunzioni Metallo/Semiconduttore (Schottky

barrier)

• Molti metalli presentano livello di Fermi inferiore a quello di siliciodrogato n. All’atto della formazione della giunzione metallo - semi-conduttore gli elettroni si trasferiscono dal semiconduttore al metallo.Il trasferimento di carica implica la nascita di un campo elettrico nellaregione di giunzione e la formazione di uno strato svuotato dal latodel semiconduttore.

• La presenza di stati di interfaccia puo alterare in modo sostanzialel’allineamento delle bande ed impedire la formazione corretta dellagiunzione.

• Per ottenere invece contatti dal comportamento ohmico ed evitareproblemi di scarsa riproducibilita della barriera dovuti a stati super-ficiali il metallo viene deposto su silicio ad alto drogaggio. Di con-seguenza, la barriera, se anche si forma, viene facilmente penetrataper effetto tunnel quantistico, dando luogo al comportameno ohmicodesiderato.

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Schottky barrier lowering

• Le cariche emesse dalla barriera metallo-semiconduttore, in

analogia con quelle emesse da catodi nel vuoto, perturbano il

potenziale nella regione tra gli elettrodi. Per calcolare questa

perturbazione assumiamo il che il catodo sia un conduttore

ideale e utilizziamo il metodo delle immagini. Indicando con

y la distanza della carica emessa dall’interfaccia:

F =(−q)(+q)

4π(2y)2ε0= − q2

16πy2ε0

Poiche il potenziale e il lavoro compiuto dalla forza, l’energia

potenziale e:

U = −φ = −∫ y

∞−q2

16πε0y2dy = − q2

16πε0y

• L’energia potenziale complessiva vale dunque:

U = φB − q|F |y − q2

16πε0y

Il massimo della barriera si ha per

dU

dy= −q|F | + q2

16πε0y2= 0 ⇒ ym =

√

√

√

√

√

q

16πε0|F |

∆φB = −q|F |ym − q2

16πε0y2m

= −2q|F |ym = −q

√

√

√

√

√

q|F |16πε0

• Se la barriera separa silicio e ossido di silicio occorre sostituire

ad ε0 il valore εeff = εoxεsi+εoxεsi−εox

• I valori di ε devono comunque essere quelli ad alta frequenza

(εox,hf = 2.15ε0 anziche 3.9ε0)

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Fotodiodi a Valanga

• Si tratta di diodi p-i-n o metallo semiconduttore fabbricati

in modo tale da presentare una tensione di rottura a valanga

molto uniforme in tutti i punti della giunzione.

• Il diodo viene polarizzato in prossimita della tensione di scarica

a valanga attraverso un opportuno circuito di amplificazione e

quencing.

• L’assorbimento di un fotone nella regione svuotata del diodo

porta alla creazione di una coppia elettrone-lacuna.

• i due portatori vengono accelerati dal forte campo elettrico

presente e a loro volta generano nuovi portatori, innescando

una scarica a valanga.

• Il circuito di quencing rivela l’improvviso incremento della cor-

rente e riduce immediatamente la tensione ai capi del diodo,

spegnendo il fenomeno di moltiplicazione a valanga

• Come risultato si ottiene un impulso di corrente molto intenso

per ogni fotone incidente. Il segnale generato dal fotone e

amplificato dal meccanismo super-rigenerativo della moltipli-

cazione a valanga. Il rapporto segnale rumore e molto elevato.

• Applicazioni: fotorivelatori; rivelatori di singolo fotone.

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Foto-generazione

• Se il semiconduttore e sottoposto ad un flusso uniforme di

fotoni incidenti [fotoni/m3s], man mano che questi penetrano

nel materiale, generano coppie elettrone-lacuna e pertanto il

fascio luminoso viene assorbito.

• La variazione di flusso su una distanza ∆x e proporzionale al

flusso e alla distanza ∆x:

dΦ(x) = −α(x)Φ(x)dx

• Detto Φ(0) il flusso incidente, ed ipotizzando α indipendente

da x, per integrazione otteniamo:

Φ(x) = Φ(0) exp (−αx)

• α [m−1] prende il nome di coefficiente di assorbimento ed in

generale dipende dalla lunghezza d’onda (energia) dei fotoni.

Valori tipici: 1 µm−1 per Eph ' 3eV ⇒ λ ' 400 nm. 100 −1000 µm−1 per Eph ' EG ⇒ λ ' 1 µm.

• Il tasso di generazione di coppie elettrone lacuna puo essere

espresso come G(x) = γΦ(x) dove γ e il numero di coppie

generate da ciascun fotone incidente (photon yield). Valori

tipici: γ = 1 per fotoni fino a circa 3 eV. Oltre questo limite

si innescano fenomeni secondari di generazione da impatto.

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Celle Solari

• In generale la densita di corrente in un diodo sottoposto ad un

flusso fotonico vale J = Jn + Jp + JGR + JGR,ph

JGR,ph = q∫ +∞−∞ Uphdx = q

∫ +∞−∞ (Rph − Gph)dx

• Le coppie in eccesso generate dal flusso fotonico rendono np >

n2i e pertanto incrementano il tasso di ricombinazione R.

• A grande distanza dalla regione svuotata le coppie si annichi-

lano per ricombinazione (Rph ' Gph ⇒ Uph ' 0). Le cop-

pie generate entro una lunghezza di diffusione dal bordo della

regione svuotata hanno ragionevole probabilita di essere sep-

arate dal campo elettrico della giunzione (Rph ' 0,⇒ Uph '−Gph).

• Pertanto la regione “attiva” del dispositivo ha dimensioni ap-

prossimativamente pari a Ln + Wd + Lp.

• Se α−1 À Ln + Wd + Lp, Φ(x) e circa costante nella regione

attiva del dispositivo. Otteniamo quindi:

I = A(Jideale+JGR,ph) = Is

exp(qV

nKBT) − 1

−qA∫ xn+Lp

−xp−LnγΦ(x)dx

• Poiche Wd e normalmente o trascurabile o fissata dalla ge-

ometria e drogaggio del dispositivo ad un valore indipendente

dalla tensione applicata, le caratteristiche del diodo illuminato

sono sostanzialmente quelle di una normale giunzione p-n ma

traslate verso il basso della quantita JGR,ph, proporzionale al

flusso incidente. Il Diodo puo dunque fornire energia elettrica.

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Celle Solari (II)

• Fattori di merito: Isc, Voc, Imax, Vmax

Pmax = VmaxImax = Voc Isc FF (fill factor)

η = efficienza =Pmax

Pin

Voc = V (Iideale = −IGR,ph) =nkBT

qln

IL

Is+ 1

Is e il termine piu importante. Poiche Is dipende da n2i ∝

exp(−EG/KBT ) Voc cresce all’aumentare del gap. D’altro

canto Isc cala all’aumentare di EG perche una porzione in-

feriore della luce incidente e in grado di generare coppie e-h.

• Esiste un valore ottimo di EG ≈ 1.4 eV che massimizza

l’efficienza di conversione

• Minimizzare le ricombinazioni, gli effetti di shadowing e le

riflessioni (anti-reflective coating)

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Celle Solari (III)

• La risposta spettrale e limitata da diversi fattori: Verso

le lunghezze d’onda elevate (basse energie) da EG; verso

le lunghezze d’onda piccole dall’assorbimento e dal calo

del numero di fotoni (per una data potenza ottica incidente)

• Per qualificare le celle si fa riferimento ad una curva

di radianza media terrestre opportunamente normal-

izzata per tenere conto a seconda delle applicazioni

(spaziali, terrestri) dell’assorbimento da parte dell’atmosfera.

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Light Emitting Diodes (LED)

• Nei semiconduttori a gap indiretto i processi radiativi (in particolarericombinazioni con emissione di fotoni) sono penalizzati dalla neces-sita di conservare il momento e pertanto dominano processi di ri-combinazione assistiti da trappole e smaltimento dell’energia tramiteproduzione di calore.

• Nei semiconduttori a gap diretto, invece, i processi di ricombinazioneradiativa sono molto probabili ed efficienti nello smaltire l’eccesso deiportatori; possono pertanto costituire la base per lampade allo statosolido.

• Poiche la distribuzione dei portatori che ricombinano e tipicamentemolto vicina ad una maxwelliana di equilibrio (〈E〉 = 3KBT/2) ifotoni emessi hanno energie prossime ad EG (Eph ≈ EG + 3KBT ).

• Emissione nel visibile richiede 0.4µm < λ < 0.7µm e pertantoEG[eV ] = 1.24/λ[µm] compreso tra 1.77 eV e 3.1 eV

• I semiconduttori IV-IV (Si, Ge) hanno gap troppo piccolo ed indi-retto. I principali semiconduttori III-V dotati di EG nel giusto in-tervallo (GaP, AlAs, SiC) sono a gap indiretto. Quelli di tipo II-IVcon EG giusto e diretto (ZnSe) pongono problemi tecnologici nellafabbricazione delle giunzioni.

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Light Emitting Diodes (II)

• La trasmissione della luce da un materiale ad alto indice di rifrazione(e.g., semiconduttore con n = n1 ≈ 3-4) ad uno a basso n = n2

implica una riflessione parziale o totale della luce incidente, a secondadell’angolo di incidenza.

• Per incidenza normale (nr = n1/n2)

Tn =4nr

(1 + nr)2

La riflessione totale avviene per

sin θc =n2

n1

Ipotizzando una distribuzione angolare uniforme ed una polarizzazionecasuale della luce emessa, complessivamente si ha:

T ≈ Tn(sin θc)

2

2=

2

nr(1 + nr)2

• Esempio: n1 = 3.4 (GaP), n2 = 1: Tn = 70%, θc = 17.1o, T ' 3%

• La capsula epossidica migliora il coefficiente di trasmis-sione all’uscita del semiconduttore e consente di al-largare l’angolo critico. La coppetta riflettentemigliora ulteriormente l’efficienza di emissione della luce.

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Light Emitting Diodes in GaAs0.6P0.4

• Sono stati i primi LED rossi (1970).

• Gap diretto

• η = Pout/Pin e λ decrescono al crescere della frazione molare

x

• La sensibilita dell’occhio umano cresce al decrescere di λ

nell’intervallo esplorabile variando x.

• Il miglior compromesso si ottiene per x = 0.4

• La composizione del materiale nel substrato viene variata con

continuita per evitare problemi di mismatch del reticolo.

• La composizione del materiale nello strato superiore viene vari-

ata per incrementare il gap e minimizzare il riassorbimento dei

fotoni emessi

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Light Emitting Diodes in GaAs0.35P0.65:N,

GaAs0.14P0.86:N, GaP:N, AlInGaP

• I materiali GaAsP e GaP sono a gap indiretto; tuttavia l’azoto

(gruppo V) forma trappole isoelettroniche molto localizzate in

~r circa 0.1 eV al di sotto del bordo della banda di conduzione.

• Di conseguenza queste trappole presentano un’ampia dis-

tribuzione di ~k permessi, che favoriscono enormemente le tran-

sizioni assistite verso la banda di valenza, senza modificare

apprezzabilmente l’energia del fotone.

• Usando come substrato GaP non drogato, e quindi a gap piu

elevato, ed uno strato sottostante altamente riflettente, e pos-

sibile evitare significativo assorbimento dei fotoni emessi ed

aumentare l’emissione.

• Tecnologie base per led arancioni, verdi e gialli

• Nella tecnologia AlInGaP gli strati di confinamento sono lat-

tice matched al GaAs

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Light Emitting Diodes in AlGaAs

• Leghe di AlGaAs con EG < 2eV sono a gap diretto.

• L’emissione avviene in uno strato attivo con EG ' 1.9 eV tra

due strati di confinamento a gap leggermente piu elevato per

minimizzare il riassorbimento.

• Nei LED ad alta efficienza il substrato di GaAs assorbente

viene parzialmente sostituito da un substrato epitassiale (100-

200 µm) di AlGaAs.

• Poiche lo strato epitassiale e lattice matched as GaAs le ricom-

binazioni radiative sono minimizzate.

• Tecnologia base per led rossi (automobili, scarpe, etc...)

Light Emitting Diodes in GaN e SiC

• GaN ha EG = 3.36 eV ed e a gap diretto.

• L’emissione avviene nello strato di InGaN con EG = 2.75 eV

tra due strati a gap elevato di InGaN.

• Non fa uso di materiali ad elevata tossicita.

• Tecnologia base per led blue.

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Effetti dinamici nelle giunzioni

• La corrente totale nella giunzione e somma delle componenti di con-duzione e spostamento; la prima di queste componenti e data da untermine stazionario (dc, pedice st) ed uno tempo variante (ac) cuicontribuiscono sia elettroni che lacune.

JT = Jcond + εSi∂E

∂t= Jn,st + Jp,st + Jn + Jp + εSi

∂E

∂t

• Per stimare il termine di spostamento mi pongo nel punto di giunzione.nst(xj) e n(xj) sono modeste nella regione svuotata mentre il campoelettrico assume il massimo valore assoluto. Pertanto e ragionevoleritenere che Jn ' 0, Jp ' 0 e dunque:

JT − JT,st = JT = +εSidEj

dt

• Sotto l’ipotesi di quasi stazionarieta (Ej(t) = Ej(V (t)))

JT − JT,st = JT = +εSidEj

dV

dV

dt

che consente di definire la capacita differenziale di svuotamento

Cd = εSidEj

dV

• Applicando il teorema di Gauss alla porzione di regione svuotata chesi estende entro la regione drogata n (che comprende la carica Qd =εSiEmax > 0) e ricordando che φm = Ψ0 − V :

Ej = −Emax = −Qd

εSi

dEj

dV= − 1

εSi

dQd

dV=

1

εSi

dQd

dΦm

Cd =dQd

dΦm= qND

dxn

dΦm= q

NAND

NA + ND

dWd

dΦm=

√

√

√

√

2εSiqNAND

NA + ND

1

2√

Φm=

εSi

Wd

'

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Effetti dinamici nelle giunzioni (II)

• La corrente totale nella giunzione vale dunque:

JT = Jn,st + Jp,st + Jn + Jp + CddV

dt

• Per stimare i termini rimanenti osserviamo che per x → ∞ si ha:Jp(∞) ' 0, E(∞) = 0, Jp,st(∞) = 0 e dunque:

JT (∞) − JT,st(∞) = Jn(∞) = Jn(∞) − Jn,st(∞)

• integrando l’equazione di continuita per gli elettroni:

Jn(∞) − Jn(−∞) = q∫ ∞

−∞Udx + q

d

dt

∫ ∞

−∞ndx

Jn,st(∞) − Jn,st(−∞) = q∫ ∞

−∞Ustdx

• Poiche Jn(−∞) = Jn,st(−∞) = 0, e assumendo la stazionarieta di∫

Udx, cioe:q

∫ ∞

−∞Udx = q

∫ ∞

−∞Ustdx

e ricordando che la concentrazione di equilibrio n0 e indipendente daltempo otteniamo:

Jn(∞) − Jn,st(∞) = Jn(∞) = qd

dt

∫ ∞

−∞ndx = q

d

dt

∫ ∞

−∞(n − n0)dx

Jn(∞) = qd

dt

∫ −xp

−∞n′dx + q

d

dt

∫ xn

−xp

n′dx + qd

dt

∫ ∞

xn

n′dx

• Nelle regioni quasi neutre n′ = p′. Pertanto:

Jn(∞) = qd

dt

∫ −xp

−∞n′(x, t)dx + q

d

dt

∫ xn

−xp

n′(x, t)dx + qd

dt

∫ ∞

xn

p′(x, t)dx

• Definiamo gli eccessi di carica minoritaria nelle regioni quasi neutre n

e p (Qne Qp, rispettivamente):

Qn(t) = q∫ −xp

−∞n′dx Qp(t) = q

∫ ∞

xn

p′dx

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'

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Effetti dinamici nelle giunzioni (III)

• In regime di basse iniezioni q ddt

∫ xn−xpn′dx e proporzionale a q

∫ xn−xpUdx =

JGR e pertanto e ragionevolmente trascurabile.

• La componente tempo variante della corrente puo dunque essereespressa come varazione temporale delle cariche minoritarie accumu-late nelle regioni quasi neutre:

Jn(∞) =dQn

dt+ q

d

dt

∫ xn

−xp

n′(x, t)dx +dQp

dt' dQn

dt+

dQp

dt

• Ricordando le espressioni di p′(0) = n2i /ND(exp(V/Vth) − 1) e Jp,st

derivate in precedenza per il diodo a base lunga e a base corta (dovesi assume xn = 0):

p′(x) = p′(0)

1 − x

W

)

W ¿ Lp

Jp,st ' qDp

W

n2i

ND

(

exp(V

Vth) − 1

)

p′(x) = p′(0) exp(−x/Lp) W À Lp

Jp,st ' qDp

Lp

n2i

ND

(

exp(V

Vth) − 1

)

otteniamo dunque (Wn e la larghezza della regione quasi neutra n):

Qp = qp′(0)Wn

2, W ¿ Lp Qp = qp′(0)Lp, W À Lp

Jp,st = qDpp

′(0)

Wn, Jp,st = q

Dpp′(0)

Lp

• Pertanto:

Qp = qp′(0)Wn

2, W ¿ Lp Qp = qp′(0)Lp, W À Lp

Jp,st =Qp

τp, (base lunga) Jp,st =

Qp

tBp, (base corta)

dove τp = tempo di vita medio delle lacune nella regione quasi neutran e tBp = W 2

n/2Dp si puo dimostrare essere il tempo medio di transitoattraverso la regione quasi neutra n dell’eccesso di lacune p′.

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Tempo di transito in base

• Scriviamo l’espressione della corrente statica nella giunzione

come se questa fosse dovuta al transito dell’eccesso di carica p′

Jp,st = qv(x)p(x) = qv′p′(x) = qp′(0)

1 − x

Wp

v′

dove v′ rappresenta una velocita fittizia associata al solo ec-

cesso di carica

• Inoltre: Jp(0) = qDpp′(0)/Wp e quindi v′(0) = Dp/Wp.

• In presenza di ricombinazioni trascurabili Jp(x) ' Jp(0) e

quindi:

qp′(0)

1 − x

Wp

v′ =qDpp

′

Wp

1

v′=

Wp

Dp

1 − x

Wp

• Il tempo medio di attraversamento della base vale dunque:

∫ Wp

0

dx

v′=

Wp

Dp

∫ Wp

0

1 − ξ

Wp

dξ =W 2

p

2Dp= tp,B (60)

'

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'

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Modello a controllo di carica della giunzione

• Componendo tutti i termini abbiamo:

JT,st = Jn,st + Jp,st =Qn

tn+

Qp

tp+ JGR ' Qn

tn+

Qp

tp

JT ' Qn

tn+

Qp

tp+

dQn

dt+

dQp

dt+ Cd

dV

dt

dove tn e tp sono opportuni tempi caratteristici che tendono al tempodi vita medio e al tempo di transito, nei casi di giunzione a base lungae corta, rispettivamente.

• Assumendo verificata un’ipotesi di quasi stazionarieta Qn(t) =Qn(V (t)) si ha:

dQn

dt=

dQn

dV

dV

dt= Cdiff

dV

dt

• Poiche Qn = Jn,sttn si ha

dQn

dV= tn

dJn,st

dV= gntn

• In condizioni di polarizzazione diretta dJn,st/dV = Jn,st/Vth e pertanto

Cdiff =tnJn,st

Vth

• la capacita di diffusione e direttamente proporzionale alla corrente.

JT =Qn

tn+

Qp

tp+ (Cdiff,n + Cdiff,p + Cd)

dV

dt

• Questo rappresenta il modello a controllo di carica della giunzione.

• Interpretazione circuitale come parallelo di un diodo ideale e di duecondensatori anomali con capacita differenziale Cd e Cdiff .

'

&

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'

&

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Trasporto in eterogiunzioni

• In generale sappiamo che:

Jn = −qµnndφn

dxJp = −qµnn

dφp

dx

• Esprimiamo EFn = −qφn = −qφ+ξn e quindi φn = φ−ξn/q.

Pertanto:

Jn = −qµnndφ

dx+ µnn

dξn

dx

• Per calcolare dξn/dx osservo che ξn e la differenza tra pseudo-

livello di Fermi ed energia elettrostatica ξn = EFn − (−qφ)

Pertanto E − EFn = E − (−qφ) + (−qφ) − EFn = E ′ − ξn

con E ′ = E − (−qφ).

• Considero l’espressione della concentrazione:

n =∫ +∞−∞ gC(E)

1

1 + exp((E − EFn)/KBT )dE

=∫ +∞−∞ gC(E ′)

1

1 + exp((E ′ − ξn)/KBT )dE ′

e derivo notando che ξn non dipende da E ′

dn

dx=

∫ +∞−∞

dgC(E ′)

dx

1

1 + exp((E ′ − ξn)/KBT )dE ′ +

+dξn

dx

∫ +∞−∞ gC(E ′)

d

dξn

1

1 + exp((E ′ − ξn)/KBT )

dE ′

Pertanto:

dξn

dx=

dndx − ∫ +∞

−∞dgC(E′)

dx1

1+exp((E′−ξn)/KBT )dE ′

∫ +∞−∞ gC(E ′) d

dξn

(

11+exp((E′−ξn)/KBT )

)

dE ′

'

&

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'

&

$


Trasporto in eterogiunzioni (II)

• Sostituisco nell’espressione della densita di corrente e osservo che iltermine proporzionale a dn/dx non dipende dalle variazioni spazialidella struttura a bande. Pertanto deve essere pari al classico qDn:

Jn = −qµnndφ

dx+

+ µnndn

dx

∫ +∞

−∞gC(E ′)

d

dξn

1

1 + exp((E ′ − ξn)/KBT )

dE ′

−1

−

−

∫ +∞

−∞dgC(E ′)

dx

1

1 + exp((E ′ − ξn)/KBT )dE ′

×

×

∫ +∞

−∞gC(E ′)

d

dξn

1

1 + exp((E ′ − ξn)/KBT )

dE ′

−1

=

= −qµnndφ

dx+ qDn

dn

dx− qµnn

1

q

d DEC

dx

)

• Definisco i quasi-campi per elettroni e lacune:

Fn = −dφ

dx− 1

q

d DEC

dxFp = −dφ

dx+

1

q

d DEV

dx

• Valgono le equazioni del drift-diffusion in cui i quasi-campi sostituis-cono i campi elettrici.

• Ciascun quasi-campo dipende dalle variazioni spaziali della d.o.s. nellacorrispondente banda ⇒ non e assolutamente detto che i quasi campisiano uguali, ne che abbiano lo stesso segno !

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Trasporto in eterogiunzioni (III)

• Vediamo come si trasformano le espressioni precedenti nel limite diMaxwell-Boltzmann:

d DEC

dx=

∫ +∞−∞

dgC(E′)dx

11+exp((E′−ξn)/KBT )dE ′

∫ +∞−∞ gC(E ′) d

dξn

(

11+exp((E′−ξn)/KBT )

)

dE ′=

= kBTddx (

∫ +∞−∞ gC(E ′) exp(−E ′/KBT ))

∫ +∞−∞ gC(E ′) exp(−E ′/KBT )

DEC = kBT ln(∫ +∞

−∞gC(E ′) exp(−E ′/KBT )

)

+ const.

• Naturalmente DEC deve annullarsi quando gC tende alla densita deglistati uniforme g∗C . Pertanto, indicando con n∗ la concentrazione inassenza di variazioni di gC otteniamo:

DEC = kBT ln

∫ +∞−∞ gC(E ′) exp(−E ′/KBT )

∫ +∞−∞ g∗C(E ′) exp(−E ′/KBT )

= kBT ln

∫ +∞−∞ gC(E ′) exp(−E ′/KBT )

n∗

= kBT ln(n/n∗)

da cui:

n =∫ +∞

−∞gC(E ′) exp (−E ′/KBT ) =

= n∗ exp(DEC/KBT ) = NC exp (−(E∗C − DEC − EF )/KBT )

• Analogamente:

p = p∗ exp(DEV/KBT ) = N ∗V exp ((E∗

V + DEV − EF )/KBT )

• Nell’ambito della statistica di Maxwell-Boltzmann ed in condizioni diequilibrio DEC puo essere interpretato come uno spostamento delbordo della banda di conduzione.

• DEC > 0 se ci sono stati ad energie piu basse del bordo della bandadi conduzione imperturbata. DEV > 0 se ci sono stati ad energie piualte del bordo della banda di valenza imperturbata.

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Concentrazioni nelle eterogiunzioni

• Ricordando che:

n = n∗ exp(DEC/KBT ) p = p∗ exp(DEV/KBT )

dove n∗ e p∗ sono le concentrazioni (non necessariamente di equilibrio)in assenza di modulazioni della densita degli stati e quindi del gap.

• Il prodotto delle concentrazioni all’equilibrio vale dunque:

n0p0 = n2i,eff = NCNV exp(−EG/kBT ) exp((DEC + DEV )/KBT )

= n2i exp(−∆EG/kBT )

mentre in generale fuori equilibrio possiamo anche scrivere

n = ni exp((φ − φn)/KBT ) exp(DEC/KBT )

p = ni exp(−(φ − φp)/KBT ) exp(DEV/KBT )

e quindi:

pn = n2i exp((DEC + DEV )/KBT ) exp((φp − φn)/KBT )

= n2i,eff exp((φp − φn)/KBT )

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Trasporto di portatori minoritari

• In una regione quasi neutra N abbiamo:

Jp = −qµppdφ

dx+ µpp

d DEV

dx− qDp

dp

dx

Ricordando che all’equilibrio EF e costante

p0 = NV exp ((E∗V + DEV − EF )/KBT )

dp0

dx=

p0

KBT

[

dE∗V

dx+

d DEV

dx

]

Pertanto:

−qdφ

dx+

d DEV

dx=

dE∗V

dx+

d DEV

dx=

KBT

p0

dp0

dx

Jp = qµppKBT

q

1

p0

dp0

dx− qDp

dp

dx

• Poiche in basse iniezioni nella regione quasi neutra N si ha n ' ND −NA = N otteniamo p0 = n2

i,eff/N e quindi:

Jp = qµppKBT

q

1

n2i,eff

dn2i,eff

dx− 1

N

dN

dx

− qDpdp

dx

• Posso ottenere campi di built-in nella regione quasi neutra sia variandoil doping che graduando il bandgap (e quindi ni,eff)

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Guadagno del transistore bipolare

• Indicando con 0−E e 0+E gli estremi della regione svuotata di emettitore,

e con 0−C e 0+C gli estremi della regione svuotata di collettore abbiamo:

IE = −A(Jn(0−E) + Jp(0

−E))

IC = −A(Jn(0+C) + Jp(0

+C))

• Integrando l’equazione di continuita in condizioni stazionariedJn/dx = qU(x) tra due generiche sezioni otteniamo

Jn(x2) = Jn(x1) + q∫ x2

x1

U(x)dx

• Poiche in regione normale la giunzione BE e polarizzata in diretta(ed e quindi sede di ricombinazioni non del tutto trascurabili), mentrela giunzione di collettore e polarizzata in inversa (ed e quindi sededi generazioni/ricombinazioni sostanzialmente trascurabili, a meno dinon trovarsi in regime di scarica a valanga, cosa che per il momentoescludiamo) possiamo scrivere:

IE = −A(Jn(0+E) + Jp(0

−E) − q

∫ 0+E

0−EU(x)dx)

IC = −A(Jn(0−C) + Jp(0

+C))

In questo modo le correnti IE ed IC sono espresse attraverso le correntidi portatori minoritari sul bordo della regione quasi neutra.

• Ricordando l’espressione IC = hFBIE + ICB0 risulta hFB = IC(ICB0 =0)/IE. ICB0 rappresenta IC quando IE = 0; in queste condizioni lacorrente di collettore e dovuta esclusivamente alla corrente di satu-razione inversa della giunzione BC, e quest’ultima e dominata dallapiccola corrente dovuta alle poche lacune minoritarie che dal collet-tore muovono verso l’emettitore (il drogaggio di collettore e inferiorea quello di base). Pertanto, IC(ICB0 = 0) ' −AJn(0

−C) e con ottima

approssimazione possiamo scrivere:

hFB =Jn(0

−C)

Jn(0+E)

· Jn(0+E)

Jn(0+E) + Jp(0

−E) − q

∫ 0+E

0−EU(x)dx

= αT · γE

dove Jn(0+E), Jn(0

−E) e Jn(0

−C) sono quantita negative.

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Fattore di trasporto in base

• Definiamo il fattore di trasporto

αT =Jn(0

−C)

Jn(0+E)

=Jn(0

+E) + q

∫ 0−C0+

E

U(x)dx

Jn(0+E)

= 1 +q

∫ 0−C0+

E

U(x)dx

Jn(0+E)

= 1 − δT

dove δT > 0 prende il nome di difetto di trasporto in base.

• Il difetto di trasporto rappresenta il rapporto tra numero di elettronipersi per unita di tempo a causa delle ricombinazioni nell’attraversarela regione quasi neutra di base ed il numero di elettroni iniettati perunita di tempo nella medesima regione.

• Ponendo U = (n − n0)/τn,B ed approssimando il profilo n(x) conuna retta, poiche n(0+

E) = n2i exp(VBE/Vth)/NA, n(0−C) ' 0, posto

WB = x(0+E) − x(0−C) si ha:

δT =qn2

i exp(VBE/Vth)WB

2τn,BNA

WBNA

qDn,Bn2i exp(VBE/Vth)

=1

2

WB

Ln,B

2

=tn,B

τn,B

dove tn,B = W 2B/2Dn,B rappresenta il tempo di transito degli elettroni

attraverso la regione di base (eq. 61).

• Per avere αT = 0.99 ⇒ δT ' 0.01 occorre WB/Ln,B ' 0.14. Ipo-tizzando Ln,B =

√

Dn,Bτn,B ' 16µm e WB = 0.2µm si avrebbehFB ' 0.9999, cioe hFE ' 104. Chiaramente per WB ≈ 0.1µm il fat-tore di trasporto in base non costituisce una importante limitazionedel guadagno.

• WB dipende principalmente dalla tensione VBC (Effetto Early). Pos-sibilita di punch-through.

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Tempo di transito in base

• Con un calcolo analogo a quello effettuato per gli effetti di-

namici delle giunzioni, scriviamo l’espressione della corrente

statica nella giunzione come se questa fosse dovuta al transito

dell’eccesso di carica n′

Jn,B = qv(x)n(x) = qv′n′(x) = qn′(0+E)

1 − x

WB

v′

dove v′ rappresenta una velocita fittizia associata al solo ec-

cesso di carica

• Inoltre: Jn(0+E) = qDn,Bn′(0+

E)/WB e quindi v′(0+E) =

Dn,B/WB.

• In presenza di ricombinazioni trascurabili Jn(x) ' Jn(0+E) e

quindi:

qn′(0+E)

1 − x

WB

v′ =qDn,Bn′

WB

1

v′=

WB

Dn,B

1 − x

WB

• Il tempo medio di attraversamento della base vale dunque:

∫ WB

0

dx

v′=

WB

Dn,B

∫ WB

0

1 − ξ

WB

dξ =W 2

B

2Dn,B= tn,B (61)

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Efficienza di emettitore

• Definiamo l’ efficienza di emettitore

γE =Jn(0

+E)

Jn(0+E) + Jp(0

−E) − q

∫ 0+E

0−EU(x)dx

=1

1 + δE + δR

dove, ipotizzando un profilo p(x) di tipo lineare nella regione di emet-titore (emettitore corto) si ha:

δE =Jp(0

−E)

Jn(0+E)

=−qDp,E(dp/dx)0−E

qDn,B(dn/dx)0+E

=Dp,E

Dn,B

NA,B

ND,E

n2i,E exp(VBE/Vth)

n2i,B exp(VBE/Vth)

WB

WE

dove WE e la larghezza della regione di emettitore.

δE =Dp,E

Dn,B

n2i,E

n2i,B

NA,B

ND,E

WB

WE=

µp,E

µn,B

n2i,E

n2i,B

NA,B

ND,E

WB

WE

dove µn,B e µp,E rappresentano le mobilita dei portatori minoritarinelle regioni quasi neutre. Le mobilita dei portatori minoritari gen-eralmente differiscono (anche se non tanto) da quelle dei portatorimaggioritari).

• La distinzione tra concentrazione intrinseca nell’emettitore e nella baseconsente di tenere conto di effetti di bandgap narrowing. Poiche n2

i =NCNV exp(−EG/KT ) si ha

n2i,E

n2i,B

' exp((EG,B − EG,E)/KT ) = exp(∆EG/KT )

con ∆EG ' 90 meV per ND,E ' 1020 cm−3.

• I prodotti NA,BWB/2 e ND,EWE/2 rappresentano le dosi del drogantenelle regioni quasi neutre di base ed emettitore (numeri di Gummel

della base e dell’emettitore, rispettivamente). Otteniamo quindi:

δE =Dp,E

Dn,B

GB

GEexp(∆EG/KT )

• Esempio: µn = 1400 cm2/Vs, µp = 500 cm2/Vs, ND,E = 1020 cm−3,NA,B = 1018 cm−3, WB = 0.2 µm, WE = 0.4 µm, exp(−90/26) '0.0314, δE = 1/(700 × 0.0314 ' 1/22)

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'

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Ricombinazioni nella regione svuotata di emettitore

• Definiamo il difetto di ricombinazione

δR =−q

∫ 0+E

0−EU(x)dx

Jn(0+E)

che esprime l’effetto delle ricombinazioni nella regione svuotata dellagiunzione BE.

• Stimiamo un valore limite superiore per δR massimizzando U .

U =pn − n2

i

τ0(p + n + 2ni)⇒ Umax = U((p + n) = (p + n)min)

• Per minimizzare p = n annullo il differenziale d(p + n). Poiche fuoriequilibrio abbiamo n = n2

i exp(VBE/Vth)/p = k2/p posso scrivere(WEB = larghezza della regione svuotata della giunzione BE):

d(p + n)

dp=

d

dp

p +k2

p

= 1 − k2

p2

p = n = k = ni exp(VBE/2Vth)

q∫ 0+

E

0−EU(x)dx < q

∫ 0+E

0−EUmaxdx =

qn2i exp(VBE/Vth)WEB

2τ0 exp(VBE/2Vth)

=qWEBni exp(VBE/2Vth)

2τ0

δR <qWEBni exp(VBE/Vth)

2τ0

WBNA,B

qDn,Bn2i exp(VBE/Vth)

=

=qWEBWBNA,B

2τ0niDn,B exp(VBE/2Vth)

• Il difetto di ricombinazione dipende da VBE ed e particolarmente ril-evante a VBE piccole.

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Guadagno del transistore bipolare

• Ricordando che hFE = hFB/(1 − hFB) e linearizzando per

valori piccoli dei difetti, si ha

hFB = αTγE = (1 − δT )1

1 + δE + δR

' (1 − δT )(1 − δE − δR) ' 1 − δT − δE − δR

hFE ' 1

δT + δE + δR

• δE e δT sono sostanzialmente indipendenti dal punto di lavoro

mentre δR dipende esponenzialmente da VBE. Pertanto hFE

non e costante e quindi non lo e neppure hfe. In generale

hFE = hFE(IC) ⇒ hfe =dIC

dIB6= hFE

hfe =dIC

dIB=

dIC

d(IC/hFE)=

dICdIChFE

− ICh2

FEdhFE

=hFE

1 − dhFEdIC

IChFE

pertanto quando dhFE/dIC > 0 si ha hfe > hFE e viceversa.

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'

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Moltiplicazione a valanga nella regione di collettore

• Nella regione svuotata della giunzione di collettore entrano: una cor-rente di elettroni −AJn(0

−C) = αTγEIE = hFBIE ed una corrente di

lacune −AJp(0+C) = ICB0

• Indicando con Mn ed Mp i coefficienti di moltiplicazione di elettroni elacune attraverso la regione di carica spaziale di collettore, ed assimi-lando Mn ≈ Mp = M abbiamo:

IC = MnhFBIE + (Mp − 1)ICB0 + ICB0

= MNhFBIE + MpICB0 ' M(hFBIE + ICB0)

• Il coefficiente di moltiplicazione puo essere espresso con la relazioneempirica:

M ' 1

1 − | VCB

BVCB0|n

• Per IE = 0 valutiamo la tensione di breakdown della sola giunzionebase collettore. Essa ovviamente coincide con BVCB0.

• Piu in generale abbiamo IC = MhFB(IB + IC) + ICB0, da cui:

IC =M(hFBIB + ICB0)

1 − MhFB

la condizione di breakdown ad un generico valore di IB e dunque:

M =1

1 − | VCB

BVCB0|n =

1

hFB

da cui si ottiene:

BVCB = BVCB0

(

hFB

hFE

)1/n

• La tensione di breakdown a base aperta e dunque

BVCE0 = BVCB0

hFB(IB = 0)

hFE(IB = 0)

1/n

+ VBE(IB = 0)

Valori tipici per una tecnologia 0.25 µm sono n = 2÷6, BVCB0 ' 9 V,BVCE0 ' 2.6 V.

• Fenomeno del base current reversal e del punch through

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Modello a controllo di carica del BJT (I)

• Abbiamo visto in precedenza che hFB = IC(ICB0 = 0)/IE e che inregione normale di funzionamento:

hFB =Jn(0

−C)

Jn(0+E) + Jp(0

−E) − q

∫ 0+E

0−EU(x)dx

=Jn(0

−C)

Jn(0−C) − q

∫ 0−C0+

E

U(x)dx + Jp(0−E) − q

∫ 0+E

0−EU(x)dx

• Poiche IC = −AJn(0−C) e poiche hFB = IC/(IC + IB) l’espressione

precedente ci suggerisce che

IB = −A

−q∫ 0−C

0+E

U(x)dx + Jp(0−E) − q

∫ 0+E

0−EU(x)dx

)

La corrente di base e costituita di tre contributi: il primo dovuto allelacune che si ricombinano con gli elettroni nella regione quasi neutradi base; il secondo dovuto alle lacune che si ricombinano nella regionedi carica spaziale della giunzione base emettitore; il terzo dovuto allelacune iniettate nella regione quasi neutra di emettitore.

• Definiamo Qn,B = q∫ 0−C0+

E

n′dx, Qn,d = q∫ 0+

E

0−En′dx, Qp,E = q

∫ 0−E−∞ p′dx.

Poiche in regime di piccole iniezioni U e proporzionale a n′ = p′ larelazione suggerisce di scrivere

IB =Qn,B + Qn,E + Qp,E

τBF=

QF

τBF

essendo τBF un opportuno tempo e QF l’eccesso di carica minoritariaaccumulato nel transistore.

• Scriviamo inoltre IC = QF/τF dove hFE = τBF/τF .

• Poiche n′(0+E) e p′(0−E) sono proporzionali a (exp(Vbe/Vth)−1) abbiamo

QF = QF0 (exp(Vbe/Vth) − 1)

Pertanto

IES = QF0

(

1

τF+

1

τBF

)

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Modello a controllo di carica del BJT (II)

• Definiamo Qd,C > 0 la carica dovuta al drogante donore ionizzato nellaporzione di collettore della regione svuotata associata alla giunzioneBC. Un incremento dQd,C > 0 di questa carica implica la rimozionedi elettroni dal collettore e quindi un contributo positivo alla correntedi collettore. Contestualmente si avra una fuoriuscita di lacune dallabase dovuta all’ampliarsi della porzione di base della regione svuotatanella giunzione BC ed associata alla variazione −dQd,C < 0 della caricadi svuotamento dal lato della base.

• Analoghi ragionamenti valgono in relazione alla carica di svuotamentodella giunzione BE (Qd,E > 0 dal lato dell’emettitore).

• In regime di segnali tempo varianti possiamo dunque scrivere:

ib(t) =QF

τBF+

dQF

dt− dQd,C

dt− dQd,E

dt

ic(t) =QF

τF+

dQd,C

dt

ie(t) =QF

τF+

QF

τBF+

dQF

dt− dQd,E

dt

• Considerando anche la possibilita di funzionamento in regione di satu-razione e definendo la carica QR come somma degli eccessi di carica mi-noritaria immagazzinati nel transistore a seguito della polarizzazionediretta della giunzione BC abbiamo:

ib(t) =QF

τBF+

QR

τBR+

dQF

dt+

dQR

dt− dQd,C

dt− dQd,E

dt

ic(t) =QF

τF+

dQd,C

dt− QR

τR− QR

τBR− dQR

dt

ie(t) =QF

τF+

QF

τBF− QR

τR+

dQF

dt− dQd,E

dt

doveQR = QR0 (exp(Vbc/Vth) − 1)

ICS = QR0

(

1

τR+

1

τBR

)

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'

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Applicazioni del Modello a controllo di carica (I)

• Commutazione di un transistore bipolare in configurazione emettitorecomune polarizzato a tensione Vce = VCC a seguito di una variazioneistantanea della corrente di base dal valore ib1 al valore ib2. Trascu-rando i contributi dovuti alla carica di svuotamento:

ib(t) =QF

τBF+

dQF

dtQF (0) = ib1τBF

QF (∞) = ib2τBF

QF (t) = QF (0) + (QF (∞) − QF (0)) (1 − exp(−t/τBF )) =

= ib2τBF

(

1 +

(

ib1 − ib2ib2

)

exp(−t/τBF )

)

ic(t) = hFE (ib2 + (ib1 − ib2) exp(−t/τBF ))

• Ritardo di collettore

• Commutazione di un transistore bipolare in configurazione emettitorecomune polarizzato tramite una resistenza a tensione Vce = VCC −RIC a seguito di una variazione istantanea della corrente di base dalvalore ib1 al valore ib2 che mantiene il transistore sempre in regionenormale di funzionamento. Trascurando i contributi dovuti alla caricadi svuotamento sulla corrente di collettore ma non su quella di base,ed approssimando la capacita della giunzione base collettore con unvalore costante Cj,BC abbiamo:

ib(t) =QF

τBF+

dQF

dt+ Cj,BC

dVBC

dtVBC = VB − VC = VB − (VCC − RLic)

dVBC

dt=

dVB

dt− dVCC

dt+ RL

diCdt

' RL

τF

dQF

dt

ib(t) =QF

τBF+

dQF

dt

(

1 +RLCj,BC

τF

)

Pertanto in questo caso la costante di tempo del transitorio di ib, equindi anche di ic vale

τ ′BF = τBF

(

1 +RLCj,BC

τF

)

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Transistori bipolari

• Instabilita termica

• Effetto Kirk (base push-out)

• Tunneling banda a banda nella giunzione base-emettitore

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Frequenza di taglio di transistori BJT

• La frequenza di taglio di un transistore BJT e definita come

la frequenza per la quale Ai,cc = 1

• In generale per il transistore bipolare si puo dimostrare che:

fT =1

τT=

1

τE + τB + τC + (CBE + CBC)/gm + CBC(RE + RC)

• τB e in tempo di ritardo in base, τC quello nel collettore (im-

portante nelle moderne tecnologie)

• In generale, e trascurando le generazioni ricombinazioni:

ωn =1

q

dJn

dx− U =

1

q

dJn

dx

Jn = −qn0v − qnv0 ' −qnv0

1

q

dJn

dx= −ω

Jn

qv0⇒ dJn

Jn

= −ωdx

v0

Integrando e per ω → 0 otteniamo

Jn(x) = Jn(0) exp

−ω∫ x

0

dx′

vo

' Jn(0)

1 − ω∫ x

0

dx′

v0(x′)

La funzione di trasferimento vale:

Jn(x)

Jn(0)=

1 − ω∫ x

0

dx′

v0(x′)

= 1 − ωτ (x)

dove il ritardo dell’onda di corrente τ (x) e dato dal tempo di

transito dei portatori attraverso la regione considerata.

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'

&

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Teorema di Ramo

• In generale una carica in movimento tra due elettrodi ne induce

altre sugli elettrodi in un tempo confrontabile con quello di

propagazione delle onde elettromagnetiche

• L’intensita della carica indotta dipende dalla posizione della

carica inducente

• Se la posizione della carica inducente cambia, le cariche indotte

devono cambiare, cioe deve esistere una corrente attraverso

l’elettrodo anche se la carica non ha ancora raggiunto il medes-

imo. Il ritardo dell’onda di corrente potrebbe dunque essere

diverso dal tempo di transito.

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'

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Diagramma a bande della struttura MOS

'

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'

&

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Potenziale superficiale e carica

• Choose point (1) at the surface and point (2) in the substrate:

n1 = ns φ1 = φs n2 = n2i/NA φ2 = 0

ns =n2

i

NAexp

φs

Vth

ps = NA exp

−φs

Vth

-10 0 10 20 30 40

φs/V

th

10-20

10-15

10-10

10-5

100

105

ns/N

A, p

s/N

A

ns/N

A

ps/N

A

depletionacc. inv.

-10.0 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0

φs/V

th

0

2

4

6

8

10

ns/N

A, p

s/N

A

ns/N

A

ps/N

A

depletionacc. inv.

'

&

$


'

&

$


Depletion and Inversion charges

• For 0 < φs < 2φF we can neglect the free carrier charge.

• The bulk charge (Qs) is solely due to the ionized impurities.

d2φ

dy2= − ρ

εsi=

qNA

εsi⇒ yd =

√

√

√

√

√

2ε

qNAφs

Qs ' QB(φs) ' −qNAyd(φs)

• For φs > 2φF the inversion charge tends to dominate:

Qn = −∫ ∞0

qn(φ(y))dy

'

&

$


'

&

$


Potenziale e carica nella struttura MOS

'

&

$


'

&

$


Threshold Voltage

• Defined as the gate voltage that yields ns = NA

• Find φTs such that ns = NA:

φs+VSB0ψ

ns = ND exp

φs − (VSB + ψ0)

Vth

φTs = VSB + Vth ln

NDNA

n2i

+ Vth lnNA

ND= VSB + 2φF

• Find VG such that φs = φTs :

B|Q |

oxt0 y

|Q |

|Q |n

G

φs

V-V

GB

FB

Vox

φ

oxt0 y

Gauss surf.

• If the oxide is ideal (no charges inside)

VOX = EOXtox =εsi

εoxtox

−Qn + QB

εsi

= −Qn + QB

εox

'

&

$


'

&

$


Tensione di Soglia del MOS

• Trascurando le cadute nel gate, il bilancio dei potenziali nella

struttura fornisce:

VGB = VFB + φs + Vox

dove Vox = V (0) − V (tox). Poiche E(x) = −dV (x)/dx abbi-

amo:

Vox =∫ tox

0E(x)dx =

∫ tox

0[E(t−ox) + E(x) − E(t−ox)]dx

Applicando Gauss nel substrato si ha E(t+ox) = −Qs/εsi (segno

- dovuto al verso del flusso). Inoltre εoxE(t−ox) = εsiE(t+ox).

Pertanto:

Vox =∫ tox

0−Qs/εoxdx +

∫ tox

0[E(x) − E(t−ox)]dx

= − Qs

Cox− 1

εox

∫ tox

0dx

∫ tox

xρox(ξ)dξ

dove ρox(ξ) e la densita di carica nell’ossido (C/m3).

• Integrando per parti:

Vox = − Qs

Cox− 1

εox

[

x∫ tox

xρox(ξ)dξ

]tox

0+

∫ tox

0

toxtox

xρox(x)dx

= − Qs

Cox− 1

Cox

∫ tox

0

x

toxρox(x)dx

= − Qs

Cox− Qss + Qox

Cox

Qss(φs) rappresenta la carica degli stati superficiali (x =

tox); Qox rappresenta il momento della carica fissa distribuita

nell’ossido rispetto all’interfaccia gate/ossido; Qs(φs) = QB +

Qn rappresenta la carica presente nel semiconduttore (svuota-

mento ed inversione).

'

&

$


'

&

$


Threshold Voltage

φs

V-V

GB

FB

Vox

φ

oxt0 y

• For an ideal oxide we have:

VGB = VFB + φs −QB(φs)

Cox− Qn(φs)

Cox

• Below threshold we have Qn ' 0. Hence:

V TGB = VFB + φT

s − QB(φTs )

Cox= VFB + φT

s +qNA

Coxyd(φ

Ts )

• Using the previous expression for yd we have:

yd =

√

√

√

√

√

2εsi

qNAφs ⇒ yT

d =

√

√

√

√

√

2εsi

qNA(2φF + VSB)

V TGB = VFB + 2φF + VSB + γ

√

2φF + VSB

V TGS = VT = VFB + 2φF + γ

√

2φF + VSB =

= VT0 + γ[

√

2φF + VSB −√

2φF

]

VT0 = VFB + 2φF + γ√

2φF

• VT0 depends on gate material workfunction, oxide capacitance,

depletion charge.

• γ (body effect coefficient) depends on oxide capacitance and

substrate doping.

'

&

$


'

&

$


Tensione di Soglia del MOS

• Possiamo riformulare l’espressione precedente come:

Vox = − Qs

Cox− 1

Cox

∫ tox

0

x

toxρox(x)dx

= − Qs

Cox− 1

Cox

∫ tox

0ρox(x)dx

∫ tox0

xtox

ρox(x)dx∫ tox0 ρox(x)dx

= − Qs

Cox− Qss

Cox− XρQ

∗ox

εox

• Xρ rappresenta il centroide della carica nell’ossido, Q∗ox rapp-

resenta la carica totale per unita di area presente nell’ossido.

• Poiche alla soglia φs = 2φF + VSB, e trascurando la carica di

inversione alla soglia, otteniamo:

V TGB = VFB+2φF+VSB−

Qs(2φF + VSB)

Cox−Qox

Cox−Qss(2φF + VSB)

Cox

• Gli stati superficiali, caricandosi all’aumentare della tensione

di gate provocano un progressivo innalzamento della ten-

sione di soglia effettiva, che si traduce in una riduzione della

pendenza sottosoglia (cioe in un aumento del fattore S =

d(log10ID/dVGS)[mV/dec])

• tox = 50A, Cox ' 6.9 · 10−7, NA = 7e17 cm−3, VFB = −1 V

⇒ 2φF ' 0.93 V, γ ' 4.83 × 10−7/Cox ' 0.7, VT ' −1 +

0.93 + 0.58 ' 0.6

'

&

$


'

&

$


Capacita del condensatore MOS

• La capacita differenziale del condensatore vale:

CG =dQG

dVG=

dQG

dφs

dφs

dVG

• In generale QG = −Qs − Qss − Qox, Qs = QB + Qn e dQG = −dQs −dQss. (Qox rappresenta carica fissa). Dalla relazione:

VG = VFB + φs + φp −Qs

Cox− Qss + Qox

Cox

otteniamo:

dVG

dφs= 1+

dφp

dQG

d(−Qs − Qss)

dφs+

1

Cox

d(−Qn)

dφs+

d(−QB)

dφs+

d(−Qss)

dφs

• La variazione di ciascuna carica al variare del corrispondente poten-ziale di controllo definisce la capacita‘ differenziale di quella dis-tribuzione di carica.

Cd =d(−QB)

dφsCn =

d(−Qn)

dφsCss =

d(−Qss)

dφsCp =

dQG

dφp

• Pertanto:

dVG

dφs= 1 +

Cd + Cn + Css

Cp+

Cd + Cn + Css

Cox

CG =d(−Qn − QB − Qss)

dφs

dφs

dVG=

= (Cn + Cd + Css)

1 +Cn + Cd + Css

Cp+

Cn + Cd + Css

Cox

−1

1

CG=

1

Cn + Cd + Css+

1

Cp+

1

Cox

• Possiamo interpretare CG come serie di tre capacita: Cp, Cox ed ilparallelo Cn + Cd + Css

'

&

$


'

&

$


Capacita del condensatore MOS

• Dall’espressione della carica di svuotamento nel substrato abbiamo:

QB = −qNAyd = −√

2εsiqNAφs

Cd = −dQB

dφs=

√2εsiqNA

2√

φs=

εsi

yd

yd cresce (Cd cala) in regione di depletion, poi satura ad un valorepressoche costante in quanto in inversione φs e quasi costante.

• Dall’espressione della carica di svuotamento nel poly-silicio abbiamo:

QG = qNDyd,p =√

2εsiqNDφp

Cp =dQG

dφp=

2εsiqND

2√

φp

=εsi

yd,p

yd,p cresce (Cp cala) in regione di depletion del poly. Questo puo farcalare la capacita complessiva in inversione.

• Dall’equazione di Poisson e dall’espressione della carica di inversioneabbiamo:

d2φ

dx2' q

εsin =

q

εsi

n2i

NAexp

(

φ

Vth

)

dφ

dx

d2φ

dx2dx =

q

εsi

n2i

NAexp

(

φ

Vth

)

dφ

dxdx

∫ dφ/dx

0

dφ

dxd

(

dφ

dx

)

=∫ φ

0

q

εsi

n2i

NAexp

(

φ

Vth

)

dφ

E(x)2 =2q

εsiVth

n2i

NA

(

exp

(

φ

Vth

)

− 1

)

• Applicando Gauss abbiamo E(t+ox) = −Qn/εsi e quindi:

Qn = −√

√

√

√2εsiKTn2

i

NA

[

exp

(

φs

Vth

)

− 1

]

' −√

√

√

√2εsiKTn2

i

NAexp

(

φs

Vth

)

Cn =d(−Qn)

dφs=

√

√

√

√2εsiKTn2

i

NA

1

2Vthexp

(

φs

2Vth

)

=|Qn|2Vth

effetti quantistici riducono il valore effettivo di Cn rispetto a quantoprevisto dal calcolo classico.

'

&

$


'

&

$


Corrente di Drain (I)

S

VVV D

G

DI

• The drift-diffusion electron current density is:

Jn = −qµnndφ

dx+ qDn

dn

dx

• Integrating in y and z with constant mobility, assuming a sur-

face sheet of charge and remembering that Dn = µnVth:

I = −qW∫ ∞0

nµndφ

dxdy + qWVth

∫ ∞0

µndn

dxdy

= Wµndφs

dxQn(x) − WVthµn

dQn(x)

dx

• Integrating along x:

I =W

Lµn

∫ φs(L)

φs(0)Qn(φs)dφs − Vth

(

Qn(φs(L)) − Qn(φs(0)))

= −ID

'

&

$


'

&

$


Corrente di drain: modello di ordine zero

• We neglect the diffusive component of the drain current.

• Gradual Channel Approximation: take Qn(x) = Qn(φs(x)) is

taken from one-dimensional theory. Neglecting Qox and Qss:

VGB = VFB + φs + Vox

Qn(φs) = −Cox

VGB − VFB − φs +QB(φs)

Cox

• Assuming inversion conditions everywhere from source to drain

(i.e. VGS > VT and VGD > VT ) φs changes from 2φF + VSB

to 2φF + VDB

• Let us define ψ(x) = φs − 2φF − VSB

• ψ(x) = 0 at the source, ψ(x) = VDS at the drain.

• Assume QB = −γCox

√φs constant along the channel:

QB(φs) = QB(2φF + VSB). Then:

Qn(x) = −Cox(VGS − VT − ψ(x))

I ' W

Lµn

∫ φs(L)

φs(0)Qn(φs)dφs

I = −W

LµnCox

∫ VDS

0[VGS − VT − ψ] dψ =

= −W

LµnCox

(VGS − VT )VDS − 1

2V 2

DS

'

&

$


'

&

$


Corrente di drain: modello completo

• Nelle stesse ipotesi fatte precedentemente, ma senza introdurre ap-prossimazioni sull’andamento della carica di svuotamento QB =−γCox

√φs:

Qn(x) = −Cox(VG − VFB − φs − γφs)

I ' W

Lµn

∫ φs(L)

φs(0)

Qn(φs)dφs

• Definisco ψ(x) = φs − 2φF

• ψ(x) = VSB al source, ψ(x) = VDB al drain.

I = −W

LµnCox

∫ VDB

VSB

[

VG − VFB − 2φF − ψ − γ√

2φF + ψ]

dψ

= −W

LµnCox[(VG − VFB − 2φF ) (VDB − VSB) − V 2

DB

2+

V 2SB

2

− 2

3γ

(

(2φF + VDB)3/2 − (2φF + VSB)3/2)

]

• Ricordando che VDB = VDS + VSB si ha

I = −W

LµnCox[(VGS − VFB − 2φF ) VDS − V 2

DS

2

− 2

3γ

(

(2φF + VDB)3/2 − (2φF + VSB)3/2)

]

• Questo rappresenta il modello completo (GCA) del MOSFET

'

&

$


'

&

$


Derivazione di modelli semplificati

• Consideriamo il termine −2/3γ(. . .) come una funzione di f(VDB, VSB)e linearizziamo nell’intorno di VDB = VSB, cioe per piccole VDS.

f(VDB, VSB) ' f(VDB, VSB) +∂f(VDB, VSB)

∂VDB VDB=VSB

· VDS

+1

2

∂2f(VDB, VSB)

∂V 2DB VDB=VSB

· V 2DS

= 0 + γ√

2φF + VSBVDS − γ

4

1√2φF + VSB

V 2DS

• Sostituendo nel modello completo:

I = −W

LµnCox[

(

VGS − VFB − 2φF − γ√

2φF + VSB

)

VDS

− V 2DS

2(1 +

γ

2

1√2φF + VSB

)]

• Ricordando le spressioni di VT , βn, Cd e ponendo

m =γ

2

1√2φF + VSB

=

√2εSiqNA

Cox

1

2√

2φF + VSB

εSi

εSi=

Cd

Cox

otteniamo

ID = βn

(VGS − VT ) VDS − V 2DS

2(1 + m)

• Troncando lo sviluppo di f(VDB, VSB) al primo ordine si ottiene nuo-vamente il modello elementare del MOS

• Il rapporto Cd/Cox vale tipicamente 0.1 ÷ 0.4

• Il modello elementare prevede correnti e tensioni di saturazione piuelevate del modello completo. E possibile aggiustare empiricamente ivalore di βn in modo da riprodurre il valore di ID,sat ma al prezzo dielevate discrepanze in regione lineare.

'

&

$


'

&

$


Corrente di drain: effetto di vsat

• La teoria sviluppata finora ipotizza un regime ohmico (v = µE) intutto il canale

• Se la lunghezza di canale diventa inferiore a circa 0.5 µm questa ipotesiperde di validita‘: occorre considerare il fenomeno della saturazionedella velocita.

• Ripartendo dall’espressione della corrente di drain e riconoscendo cheil termine µndφs/dx rappresenta la velocita degli elettroni nel canalesi ha:

ID = −µnWQn(φs(x))dφs

dx= −WQn(φs(x))v(x)

• Approssimiamo la dipendenza di v dal campo con β = 1:

v =µnF

[

1 + (µnF/vsat)β

]1/β' µn

dφs

dx[

1 + (µndφs

dx /vsat)]

• Passiamo dalla variabile φs alla variabile ausiliaria V = φs − 2φF

ID = −WQn(V )µn

dVdx

[

1 + µn

vsat

dVdx

] = −[

µnWQn(V ) +µn

vsatID

]

dV

dx

• Ricordando l’espressione della carica di inversione e integrando otte-niamo:

ID = −βn(VGS − VT − VDS/2)VDS

1 + µn

vsat

VDS

L

che coincide con l’espressione convenzionale corretta dal fattore a de-nominatore.

'

&

$


'

&

$


Tensione di saturazione

• Ricalcoliamo la tensione VDS,sat e la corrente ID,sat sulla base dellanuova espressione.

dID

dVDS= −β

2

2(VGS − VT − VDS)(1 + µn

vsat

VDS

L ) − (2(VGS − VT ) − VDS) µn

vsat

VDS

L

(1 + µn

vsat

VDS

L )2

• La condizione dID/dVDS = 0 implica:

2(VGS − VT − VDS) =µn

vsat

V 2DS

L

moltiplicando ambo i termini per 2(VGS − VT ), sommando V 2DS

V 2DS

1 +2µn(VGS − VT )

vsatL

= 4(VGS − VT )2 + V 2DS − 4VDS(VGS − VT )

V 2DS

1 +2µn(VGS − VT )

vsatL

= (2(VGS − VT ) − VDS)2

Estraendo la radice otteniamo infine:

VDS,sat = VDS(dId/dVDS = 0) =2(VGS − VT )

1 +√

1 + 2µn(VGS−VT )vsatL

• Se 2µn(VGS−VT )vsatL

¿ 1 allora VDS,sat ' VGS − VT come nel transistore acanale lungo

• In generale invece VDS,sat ¿ VGS − VT

• Notiamo infine che, posto k = 2µn(VGS−VT )vsatL

vale:

V 2DS,sat

√1 + k = 2(VGS − VT )VDS,sat − V 2

DS,sat (A)

'

&

$


'

&

$


Corrente di saturazione

• Sostituendo l’espressione (A) in quella della corrente abbiamo:

ID,sat =β

2

2(VGS − VT )VDS,sat − V 2DS,sat

1 + µn

vsat

VDS,sat

L

=β

2

V 2DS,sat

√1 + k

1 + µn

vsat

VDS,sat

L

ID,sat =WCoxvsat(VGS − VT )

1 + vsat

µn

LVDS,sat

√1 + k

1 +√

1 + k=

WCoxvsat(VGS − VT )

1 + 1+√

1+k(√

1+k)2−1

√1 + k

1 +√

1 + k

ID,sat =WCoxvsat(VGS − VT )√

1 + k

1 +√

1 + k

1 + 1√1+k−1

=WCoxvsat(VGS − VT )

1 +√

1 + k(√

1 + k−1)

ID,sat = WCoxvsat(VGS − VT )

√

1 + 2µn(VGS − VT )/vsatL − 1√

1 + 2µn(VGS − VT )/vsatL + 1

• Al limite di dispositivo ultracorto 2µn(VGS−VT )/vsatL À 1 otteniamo:

ID,sat = WCoxvsat(VGS − VT )

pertanto ID,sat e indipendente da L e gm e costante in VGS

• Al limite di dispositivo lungo trascurando k al denominatore e lin-earizzando il numeratore si ha:

ID,sat ' WCoxvsat

2(VGS − VT )((1 + k)1/2 − 1)

' WCoxvsat

2(VGS − VT )

k

2=

β

2(VGS − VT )2

che coincide con l’espressione classica.

'

&

$


'

&

$


Mobility

Dependence on vertical field

y

QB

Qn

siliconox.

Eeff =1

εsi

QB +Qn

2

'∫∞0 n(y)E⊥(y)dy

∫∞0 n(y)dy

'

&

$


'

&

$


Scaling

• I ∝ W/L. Therefore, if we take W ′ = W/α, L′ = L/α, then:

I ′ = I

• First introduced to develop new technologies with smaller di-

mensions and lower supply voltages (constant field scaling)

• System level needs forced to adopt constant voltage scaling

rulesParameter const.field const.voltage

Dimensions 1/k 1/k

VDD 1/k 1

Fields 1 k

Doping k k2

VT 1/k 1

Current 1/k k

Capacitance 1/k 1/k

Delay 1/k 1/k2

Power Delay 1/k3 1/k

'

&

$


'

&

$


Short Channel Effects (SCE)

rr

y2

jd

L

L1

VT = VFB + 2φF − Q′B

CoxWL

Q′B = −qNAWyd

L + L1

2

• Long Channel:

L1 ' L ⇒ Q′B

CoxWL' independent of L

• Short Channel:

L1 ' L − 2(√

(rj + yd)2 − y2d − rj) =

= L

1 − 2rj

L

√

√

√

√

√

√

1 +2yd

rj− 1

⇒ Q′B

CoxWLdecreases with L

'

&

$


'

&

$


Quasi 2D Model

• integriamo l’equazione di Poisson entro la regione svuotata:

∫ yd

0

d2φ

dx2dy +

∫ yd

0

d2φ

dy2dy =

∫ yd

0

qN(x)

εsidy

Approssimiamo d2φ/dx2 con d2φs/dx2 ed introduciamo un

fattore correttivo η sul valore dell’integrale.

yd

η

d2φs

dx2+ Ey(x, 0) − Ey(x, yd) =

qN(x)yd

εsi

• Dalle condizioni al contorno:

Ey(x, yd) = 0

Ey(x, 0) = εox(VG − VFB − φs(x))/εsitox

otteniamo la seguente equazione per il potenziale superficiale:

d2φs

dx2− φs

λ2= −φ0

s

λ2

φ0s = VG − VFB − qN(x)yd

Cox

• Scriviamo la soluzione tra xl ed xr e calcoliamo le derivate:

φs(x) = A sinh((x − xl)/λ) + B sinh((xr − x)/λ) + Cdφs

dx=

A

λcosh((x − xl)/λ) − B

λcosh((xr − x)/λ)

d2φs

dx2=

A

λ2sinh((x − xl)/λ) +

B

λ2sinh((xr − x)/λ)

'

&

$


'

&

$


Quasi 2D Model (II)

• Sostituendo e imponendo le condizioni al contorno φs(xl) =

φs,l e φs(xr) = φs,r otteniamo:

C = φ0s

B =φs,l − φ0

s

sinh((xr − xl)/λ)

A =φs,r − φ0

s

sinh((xr − xl)/λ)

• Ricordando che φs,l = Ψ0, φs,r = Ψ0 + Vds, xr = L,xl = 0:

φs(x) = φ0s + (Ψ0 − φ0

s)sinh((L − x)/λ)

sinh(L/λ)

+ (Ψ0 − φ0s)

sinh(x/λ)

sinh(L/λ)+ VDS

sinh(x/λ)

sinh(L/λ)

• Lunghezza caratteristica:

λ =

√

√

√

√

√

εsi

ηεoxtoxyd

• Riduzione di λ ⇒ riduzione di tox ed yd ⇒ incremento di NA

• Per il transistore SOI Double Gate dobbiamo sostituire yd con

Tsi/2:

λ =

√

√

√

√

√

εsi

2ηεoxtoxTsi

• Riduzione di λ ⇒ riduzione di tox e Tsi ⇒ non e necessario

modificare NA

'

&

$


'

&

$


Short Channel Effects (SCE)

0.0 0.5 1.0

Gate Voltage [V]

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

I DSxL

[A

µm

]

LG=0.5µm

LG=0.6µm

LG=0.8µm

LG=1.0µm

LG=2.0µm

LG=25µm

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Channel length LG [ µm ]

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Th

resh

old

vo

lta

ge

VT [

V ]

L1 = L

1 − 2rj

L

√

√

√

√

√

√

1 +2yd

rj− 1

• Reduce rj

• Reduce yd '√

2εsiqNA

2φF ⇒ increase NA

'

&

$


'

&

$


Short Channel Effects

• Surface potential:

-0.15 -0.05 0.05 0.15

Distance [µm]

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

Su

rfa

ce

po

ten

tia

l φ

s [

V]

VDS

=0.1 V

VDS

=1 V

• Threshold voltage:

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Channel length LG [ µm ]

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Th

resho

ld v

olta

ge

VT [

V ]

• Subthreshold current:

0.0 0.5 1.0

Gate Voltage [V]

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

I DSxL

[A

µm

]

LG=0.5µm

LG=0.6µm

LG=0.8µm

LG=1.0µm

LG=2.0µm

LG=25µm

'

&

$


'

&

$


Ground Plane MOSFET

yd

yR

yR

yd

NS

NP2φF

φ

• Threshold Voltage:

VT = VFB + 2φF + γP

√

√

√

√

√2φF +q(NP − NS)

2εsix2

R +q(NP − NS)xR

Cox

• Characteristic length:

λ =

√

√

√

√

√

√

εsi

εoxtoxyd

1 +εsitoxεoxyd

−1

• Example: λ bulk = 23; λ GP = 16.

• Advantages

– Limit depletion region extension

– Decouple VT from yd

– Reduce vertical field at the surface

• Limitations

– Large body effect

dVT

dVSB=

γ√2φF + VSB

=2εsitoxεoxyd

– Large subthreshold slope

S = ln(10)Vth

1 +Cd

Cox

= ln(10)Vth

1 +εsi

εox

toxyd

'

&

$


'

&

$


Threshold Voltage and Halo Parameters

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Channel length [µm]

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

Thre

shold

voltage V

T [V

]

no-halo

θ=7o (a)

θ=7o (b)

θ=25o (a)

θ=25o (b)

θ=45o (a)

θ=45o (b)

0.0 0.1 0.2 0.3

Channel length [µm]

10-10

10-9

10-8

10-7

I OF

F (

@V

GS=

0V

) [A

/µm

]

no-halo

θ=7o (a)

θ=7o (b)

θ=25o (a)

θ=25o (b)

θ=45o (a)

θ=45o (b)

'

&

$


'

&

$


Halo extensions (P-pockets)

N+P+ +P

NN N+

Lvert

Ypeak

θX peak

latL

P-pocket P-pocket

Peak Doping Value N P

P-substrate

Ground-Plane

• Laterally non uniform channel profile with high doping halos

(pockets) at the source/drain edges

• First order analysis by means of the Voltage-Doping Transfor-

mation [Gwoziecki99] or quasi-2D integration of the Poisson’s

equation [Yu97].

ChannelLP RP

(N )p(N )p (N )c

L LL

gL

ox

t

(N )+ (N )+

X X

P C P

X =XL,C

X =XR,CL,LP R,LP R,RP R,RP

'

&

$


'

&

$


Threshold Voltage and Halo Parameters

0.0

0.4

0.8

VT [ V

]

0.00 0.04 0.08 0.12

Pocket length LP [µm ]

0.0

0.4

0.8

VT [ V

]

LG = 0.50 µm

LG = 0.20 µm

LG = 0.15 µm

LG = 0.10 µm

VDS

=1mV

VDS

=1V

LP,crit

LP,crit

-0.1 0.0 0.1

Distance [ µm ]

0.40

0.50

0.60

0.70

Su

rfa

ce

po

ten

tia

l φ

s [

V ] L

P<L

P,crit, V

T=0.34V

LP=L

P,crit, V

T=0.34V

LP>L

P,crit, V

T=0.46V

VGS

=VT

LG=0.3µm

'

&

$


Quantizzazione nel canale del transistore MOS

• Equazione di Schrodinger per stati stazionari:

h2

2m∗∇2Ψ(~r) + [E − U(~r)]Ψ(~r) = 0 (62)

• ipotesi: potenziale 1-D: U(x, y, z) ≈ U(x), x direzione nor-

male all’interfaccia Si-SiO2;

• separazione delle variabili: Ψ(~r) ≈ Ψ(x) · Φ(y, z);

• Sia U costante nelle direzioni y, z (es. U = 0), Φ(y, z) e

rappresentativa di particelle libere sul piano yz (onda piana);

• applicando la separazione delle variabili a (62) e semplifi-

cando il fattore Φ(y, z) ci si riconduce al problema matematico

definito dal seguente sistema di equazioni 1-D:

h2

2m∗d2Ψ(x)

dx2+ (E + φ(x)/q)Ψ(x) = 0 (63)

d2φ

dx2= − q

εSI(p − n + N+

D − N−A ) (64)

m∗: massa efficace per propagazione nella direzione x; due

sistemi di valli con : m∗ = ml = 0.91m0, molteplicita 2;

m∗ = mt = 0.19m0, molteplicita 4. → una eq. (63) per ogni

sist. valli.

• con:

n(x) =2

∑

j=1

∞∑

i=1Ni,j|Ψi,j(x)|2

Ni,j =nvjmDjKBT

πh2 ln

1 + exp

EFn − Ei,j

KBT

• condizioni al contorno su Ψ(x) e EFn.

• concentrazione lacune calcolata con formule ”3-D”.

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