U.Gasparini, Fisica I 1

La forza con cui un corpo sferico omogeneo di massa M attrae un’altra massa è la stessa che si avrebbe se tutta la massa fosse concentrata nel centro della sfera :

m

F

FMT

m

FmM

RT

2

distanza dalcentro dellasfera omogenea

Forza gravitazionale di un corpo sferico omogeneo

MT

U.Gasparini, Fisica I 2

Forza esercitata sulla massa mP da un “guscio sferico” di massa M:

dm

mP

df = mPdm / x2

C

R

r

x R rcos cos

x

F dFforza esercitata dall’ “anello” di massa dM

P

“anello” di raggio Ra=r sin e massa dM = drdrdrrdrdrrdRdV a sin2sin22 2

dmx

m

x

dmmdfdF P

anello

P coscoscos22

dF

drdrx

mdM

x

m PP sin2coscos 222

R r

x

cosxdx

Rr

“Guscio sferico”

Ra

distanza da mP a dm forza esercitata da dm su mP

dM

dr

d

dV

(vediseguito)

dM

U.Gasparini, Fisica I 3

dF R rm

xrdx

RdrP ( cos )

22

rx

R

x R r r2 2 2 2 ( cos ) sin

rx R r

Rcos

2 2 2

2

2 2xdx Rr d sin

sin d xdx

Rr

R Rr r2 22 cos

dFR r

x

m

RrdxdrP

2 2

2 21

F dFm

Rrdr

R r

xdx

guscio

P

R r

R r

2

2 2

2 1

4rFm

Rr dr

m

RMP P 2

224

M

Forza esercitata dall’intero ‘guscio’ di massa M :

Differenziando:

massa del guscio sferico

Quindi:

U.Gasparini, Fisica I 4

F ( r ) = - M m uR

r2

M

r

FuR

m

G( r ) F( r ) = - M uR

mG ( r )P

“linee di forza” del campo:tangenti in ogni punto alladirezione del campo

Forza gravitazionale esecitata da una massa M su una massa m:

“Campo gravitazionale” generato dalla massa M:

Campo della forza gravitazionale

r2

U.Gasparini, Fisica I 5

P1

G

Le linee di forza “visualizzano” l’andamento del campo; la loro densità è proporzionale all’intensità del campo.

Campo gravitazionale generato da due masse uguali:

P2

U.Gasparini, Fisica I 6

“Flusso” del campo vettoriale G attraverso unasuperficie orientata infinitesima :

dS= dS uN

superficie di area dS

Gd G dS

Flusso attraverso una superficie finita S:

S

S S

d G dS

GdS

“Flusso” di un campo vettoriale

U.Gasparini, Fisica I 7

Il flusso del campo gravitazionale attraverso una qualsiasi superficie chiusa è proporzionale alla somma delle masse all’interno della superficie:

S

S

ii

G dS m 4

G

miMj

In particolare:

m

S

S

G=-G(r )u R

r S

S

G dS G r r m

( )4 42

G rm

r( )

2

teorema di Gauss

Teorema di Gauss :

U.Gasparini, Fisica I 8

Forza gravitazionale all’interno di una sfera omogenea di massa M :

G= - G( r) uRrm(r) S

S

G dS G r r m r

( ) ( )4 42

G rm r

r

r

r( )

( )

2

3

2

4

3 G r r( ) 4

3

R

r

)(

)(

rmG

rF

Forza gravitazionale su una massa m a distanza r dal centro di una distribuzionesferica di raggio R e massa :

R

4

3rm

mMr 2

M R4

33

r > Rr < R

Applicazione del teorema di Gauss :

U.Gasparini, Fisica I 9

U U r U r W F r ds12 2 1 1 2

1

2

( ) ( ) ( )

1

2F

dsr1

r2

M

m mM

ruR2

U mMu ds

rmM

dr

rR

r

r

12 21

2

2

1

2

ds

uR

u ds u ds drR R cos

U r U r mMr

mMr rr

r

( ) ( )2 11 2

1 1 1

1

2

Posto : r1 U r( )1 0 r r2

U rmM

r( )

Energia potenziale della forza gravitazionale

U.Gasparini, Fisica I 10

r

U(r)

mMr

R

mMR

E’ la minima velocità iniziale v0 (nel punto a distanza r = R) necessaria per sfuggire all’attrazione gravitazionale ( per arrivare ad r = con velocità nulla)

U R E U r Eki

kf( ) ( )

mMR

mv1

200

2

vM

R02

Per la Terra:R R mT 6 4 106. M kgT 6 1024.

v km s0 11 /

Per il Sole: kmRRR TS62 107.010

M M kgS T 10 106 30 v km s0 620 /

“Velocità di fuga”

Dalla conservazione dell’ energia meccanica:

U.Gasparini, Fisica I 11

Terra (Sett.1977)Giove (Feb.1979)

Saturno (Ott.1980)

Urano (Gen.1986), Nettuno (Ago.1989)

Il viaggio del “Voyager”

Ha inviato i suoi ultimi segnali qualche hanno fa, dopo aver superato l’ orbita di Plutone; attualmente vaga nello spazio interstellare, a circa 10 miliardi di km da noi; è l’oggetto più lontanomai lanciato dall’ Uomo. Potrebbe raggiungere Proxima Centauri, la stella più vicina al Sole (4,2 anni-luce), tra circa 40000 anni.

Nella sua traiettoria, ha utilizzato i pianeti giganti come“fionde gravitazionali”, per raggiungerei pianeti esterni del sistema solare

U.Gasparini, Fisica I 12

“Curva di rotazione”(o cuva“kepleriana”) del sistema solare:dalla legge di gravitazione universale, per un pianeta in orbita circolare di raggio R:

ma mv

R

mM

R

2

2

vM

R

v(km/s)

R km( )1090.5 1. 1.5 2. 2.5 3.

40.

30.

20.

10.

Terra

Marte

GioveSaturno

Urano

Venere

La curva di rotazione della nostra galassia (“Via Lattea”) non segue la stessa legge:

200.

100.

v(km/s)

)10( 3R150.100.

1.

50. 200.

SoleAmmassi globulari

Grandi nubi di Magellano

Piccole nubi di Magellano

“Curva di rotazione”

anni-luce

U.Gasparini, Fisica I 13

La “curva di rotazione” delle galassie non segue la legge kepleriana :

per spiegare l’andamento di v(r) delle stelle nelle galassie, misurato dall’osservazionedel ‘redshift’ (= spostamento verso il rosso) degli spettri di emissione della luce, è necessario ammettere l’esistenza di materia oscura nell’Universo(es.: stelle di neutroni, buchi-neri, neutrini, nuove particelle di natura sub-nucleare…)che contribuisca alla massa totale della galassia stessa, sorgente della forza gravitazionale

Curva di rotazione delle galassie