Dinamica dei corpi in rotazione

Le leggi che governano il moto dei corpi in rotazione non sono nuove leggi fisiche, ma derivano matematicamente dalle tre leggi di Newton, quindi sono dei teoremi di meccanica.La derivazione di questi teoremi è a volte complessa e quindi non verrà in generale svolta in un corso elementare

Momento angolare: corpo puntiforme

Il momento angolare per un corpo puntiforme P di massa m che si muove di moto circolare uniforme con velocità v secondo una circonferenza di raggio r ha una definizione molto semplice

Unità di misura: Kg∙m2/s

rvmL V

r

P

O

Momento angolarePoiché il prodotto m∙v è la quantità di moto p, il momento angolare può anche essere definito in questo modo:

rpL

V

r

P

O

Momento angolareAltrimenti, poiché la velocità lineare v è legata alla velocità angolare ω dalla relazione:

Il momento angolare può essere anche così scritto:

2rmLV

r

P

O

rv

Momento di inerziaLa quantità:

Viene definita MOMENTO DI INERZIA del corpo rispetto al centro O della traiettoria. Con questa posizione il momento angolare può anche sinteticamente essere così scritto:

IL

2rmI

Momento angolare e quantità di moto

Da notare l’analogia formale tra quantità di moto e momento angolare, entrambe date dal prodotto di una velocità (quella lineare nel primo caso, quella angolare nel secondo) per una grandezza legata alla massa del corpo

Questa analogia formale si traduce in una analogia tra le leggi che presiedono alla variazione di tali grandezze

ILvmp

Energia cineticaAnche l’energia cinetica può essere espressa in termini di momento di inerzia e velocità angolare, infatti:

2

2

1vmEc

rv

22

2

1 rmEc2

2

1 IEc2rmI

Energia cineticaQuesta espressione dell’energia cinetica in termini del momento di inerzia e della velocità angolare non è molto interessante nella trattazione del corpo puntiforme ma lo diventa nel caso del corpo rigido

2

2

1 IEc

Vettore momento angolareCosì come la quantità di moto, anche il momento angolare è in realtà un vettore.Il vettore L è perpendicolare al piano di rotazione del corpo, e il suo verso è dato dal pollice della mano destra, tenuto perpendicolare al palmo, quando le altre dita ruotano accompagnando la rotazione del corpo

V

r

P

O

L

Definizione generale: raggio vettoreSi dice RAGGIO VETTORE di un punto P rispetto al punto O (polo) il vettore che unisce il punto O con il punto P

Il verso del raggio vettore è quello che va da O a P

r

P

O

Definizione generale: momento angolare

Si dice MOMENTO ANGOLARE del punto materiale P rispetto al polo O il prodotto vettoriale del raggio vettore per la quantità di moto del corpo P

r

P

O

prL

V

L

Definizione generale: momento angolare

Naturalmente, nel caso del moto circolare uniforme, la definizione generale si riduce a quella particolare

r

P

O

V

L

rpL

Momento di una forzaIl momento di una forza rispetto a un fulcro O è il prodotto della forza F per il braccio b, ovvero la distanza tra il fulcro e la retta del vettore forza

bFM

O

F

b

Momento di una forza: definizione generale

Il momento di una forza rispetto a un fulcro O è il prodotto vettoriale del raggio vettore che unisce il fulcro al punto di applicazione della forza e il vettore forza stesso

FrM

O

F

r

M

Variazione del momento angolare

Se un corpo è soggetto a una forza F per un tempo t la variazione della quantità di moto del corpo è regolata dalla seconda legge di Newton

Analogamente, la variazione del momento angolare di un corpo soggetto a una forza di momento M per un tempo t è:

tFp

tML

Cenno alla dimostrazioneQuesta legge è un teorema. La dimostrazione è semplice nel caso del moto circolare, infatti in questo caso vi sono diverse semplificazioni:

• le grandezze sono semplici scalari e non vettori• il momento angolare è semplicemente p∙r• la forza agente è perpendicolare al raggio della curva (infatti una componente radiale verrebbe annullata dalla reazione vincolare)• il braccio è uguale al raggio, quindi il momento della forza è semplicemente F∙r

Cenno alla dimostrazione

rpL

F

r

O

rFM

Cenno alla dimostrazionePartendo dalla seconda legge di Newton:

Si moltiplicano entrambi i membri per r

Poiché r è costante può essere portato dentro al segno di Δ

E sostituendo secondo quanto visto nella precedente diapositiva si ha la tesi

tFp

tFrpr

tFrpr )(

tML

Conservazione del momento angolareIl momento angolare è una delle grandezze meccaniche soggette a conservazione

Per momento angolare totale si intende, naturalmente, la somma dei momenti angolari di tutti i corpi facenti parte del sistema

In un sistema isolato il momento angolare totale è costante

Momento angolare: corpo rigido

Un corpo rigido è un corpo esteso (ovvero che occupa un volume non nullo) e la cui forma non può subire nessuna modifica. I corpi solidi sono in prima approssimazione corpi rigidi.

Per prima cosa prenderemo in considerazione un corpo rigido rotante intorno a un asse fisso a, come una ruota, con una data velocità angolare ω

Momento angolare: corpo rigido

Il corpo può essere diviso in un insieme di piccole particelle, ognuna delle quali possa essere considerata un corpo puntiforme.Ognuna di queste particelle descrive una circonferenza di raggio r intorno all’asse di rotazione e ha un suo momento angolare dato dalla formula nota:

2rml

r

a

Momento angolare: corpo rigido

Da notare che è stata usata, tra le diverse varianti, la formula che contiene la velocità angolare: infatti tutte le particelle che formano il corpo hanno la stessa velocità angolare, ma diverse velocità lineari

2rml

r

a

Momento angolare: corpo rigido

Si dice momento angolare del corpo rigido rispetto all’asse a la somma di tutti i momenti angolari delle particelle che lo compongono

2ii rmL

r

a

Momento di inerzia

Poiché ω è una costante possiamo metterla in evidenza e porla fuori dal simbolo di sommatoria

La quantità:

Viene detta MOMENTO DI INERZIA del corpo rispetto all’asse a

2ii rmL

2ii rmI

Momento angolare e energia cineticaIl momento angolare del corpo rigido rotante intorno a un asse fisso può quindi essere scritto nella stessa forma di quello del corpo puntiforme

Allo stesso modo l’energia cinetica

IL

2

2

1 IEc

Momento angolare: verso

Per quanto riguarda il verso ci si regola esattamente come per la particella puntiforme:Il verso del vettore momento angolare è quello del pollice della mano destra quando le altre dita della mano girano seguendo la rotazione del corpo a

L

Significato del momento di inerzia

Così come la massa può essere considerata come la misura della tendenza di un corpo a mantenere il suo stato di quiete o moto rettilineo uniforme (infatti maggiore è la massa, più è difficile modificare il moto) il momento di inerzia può essere considerato come la misura della tendenza di un corpo a mantenere il suo stato di moto circolare uniforme: maggiore è il momento di inerzia, più sarà difficile modificare il moto rotatorio del corpo

VolanoNel motore a scoppio sull’albero motore viene applicato un volano, ovvero un disco di elevato momento di inerzia: lo scopo è quello di stabilizzare il moto rotatorio dell’albero stesso, che altrimenti andrebbe a scatti e tenderebbe ad arrestarsi

Momenti di inerzia a confronto

Il momento di inerzia non dipende solo dalla massa ma, come si nota dalla formula, anche da come essa è distribuita intorno all’asse di rotazione:

• se la massa è concentrata intorno all’asse di rotazione r sarà piccolo e quindi I sarà piccolo

• se la massa è concentrata lontano dall’asse di rotazione r sarà grande quindi I sarà grande

2ii rmI

Momenti di inerzia a confronto

Ad esempio, a parità di massa un anello avrà un momento di inerzia maggiore di un disco, perché la sua massa è concentrata soprattutto alla periferia, quindi lontano dall’asse di rotazione

Effetto pattinatoreQuando un pattinatore sta ruotando su se stesso può variare la sua velocità angolare allargando o stringendo gli arti:

• aprendo gli arti il momento di inerzia aumenta perché la massa è distribuita più lontano dall’asse di rotazione• stringendo gli arti il momento di inerzia diminuisce perché la massa è più concentrata intorno all’asse di rotazione

Effetto pattinatorePer il principio di conservazione del momento angolare:

• quando il momento di inerzia aumenta la velocità angolare diminuisce• quando il momento di inerzia diminuisce la velocità angolare aumenta

IL

Effetto pattinatoreLo stesso effetto è utilizzato anche nei tuffi e nella danza

Collasso gravitazionaleDurante il collasso gravitazionale di una stella che ha esaurito il suo combustibile nucleare il momento di inerzia diminuisce, perché la massa si concentra verso il centro, e quindi la velocità angolare aumenta.Le stelle di neutroni, ultima fase del collasso per stelle di massa non troppo grande, ruotano su se stesse molto rapidamente

Collasso gravitazionaleIl momento angolare posseduto dal sole e dai pianeti del sistema solare è quello che aveva la nebulosa originaria.La velocità di rotazione doveva essere all’inizio molto piccola, ma man mano che le masse si concentravano diveniva sempre più grande

Momento di inerzia dei corpiCome si nota dalla formula il momento di inerzia non dipende solo dalla forma del corpo ma anche dall’asse di rotazione: per ogni asse di rotazione esiste un diverso momento di inerzia, per cui i momenti di inerzia di un corpo sono infiniti.E’ però possibile dimostrare che per ogni corpo rigido esistono tre assi, detti assi principali di inerzia, e che tutti i momenti di inerzia relativi a qualsiasi altro asse sono una combinazione dei momenti di inerzia relativi ai tre assi principali

Momento di inerzia dei corpi

Giroscopio

Si dice giroscopio un corpo rigido (solitamente un disco) libero di ruotare nello spazio.

Nella pratica il disco deve essere montato su un supporto: perché il disco sia libero di ruotare si adotta un particolare montaggio che prende il nome di sospensione cardanica

Giroscopio

Per la conservazione del momento angolare, quando un giroscopio viene orientato verso una direzione, ad esempio verso la stella polare, esso tende a mantenere fissa questa direzione anche quando viene spostato in altri punti

L

Bussola giroscopica

Questo effetto oggi è utilizzato per sostituire le bussole magnetiche (che non indicano il nord geografico, ma quello magnetico) con le più efficienti bussole giroscopiche

Moto di precessione

Quando un giroscopio viene sottoposto ad una forza avente un dato momento, l’effetto è quello di spostare l’asse di rotazione in direzione del momento torcente stesso

L

M

Moto di precessione

Infatti, per la legge del moto:

Come si vede dal disegno, se si aggiunge al vettore L il vettore ΔL si ottiene un nuovo vettore L’, che rappresenta il momento angolare modificato, spostato nella direzione di M

L

M

ΔL

tML

L’

Moto di precessione

Se questo avviene in modo continuo, anche il vettore momento angolare, e quindi l’asse di rotazione si spostano di continuo, e ciò provoca un moto detto di precessione.Nel moto di precessione la punta del vettore L descrive un cono

Trottola

Questo moto lo si osserva nella trottola: la forza che genera il momento torcente è la forza peso, il punto O è il punto di contatto della trottola col piano di appoggio, supposto fisso a causa della reazione vincolare, il raggio vettore va da O al baricentro della trottola

F=mg

O

M

L

r

ΔL

RuotaLo stesso effetto si ha quando una ruota rotola sul terreno: la stabilità giroscopica impedisce che la ruota cada (come succederebbe se la ruota fosse ferma) facendo invece curvare la traiettoria (infatti la ruota nel suo percorso procede sempre perpendi-colarmente al vettore L)

F=mg

O

M

L

r

ΔL

Precessione degli equinoziLa Terra può essere considerata un grande giroscopio. A causa del suo rigonfiamento equatoriale le forze combinate di sole e luna producono una forza di momento non nullo che provoca un moto di precessione dell’asse di rotazione, proprio come una trottola

M

L

ΔL

Precessione degli equinoziQuesto fa sì che nel corso dei secoli l’asse di rotazione non sia volto verso lo stesso punto della volta celeste e che i punti di intersezione tra il piano di rotazione e quello di rivoluzione (che corrispondono agli equinozi) si spostino nella fascia dello zodiaco con un periodo di circa 25.800 anni

M

L

ΔL

Moto traslatorio e rotatorioFino ad ora sono stati studiati separatamente il moto di un corpo puntiforme nello spazio (moto di traslazione) e la rotazione di un corpo esteso intorno a un asse fisso.In realtà di solito anche i corpi estesi, oltre al moto rotatorio, compiono un moto traslatorio, come ad esempio la Terra

Moto traslatorio e rotatorioNella Terra separiamo il moto traslatorio che la Terra compie intorno al sole in un anno (moto di rivoluzione) da quello di rotazione della Terra intorno al proprio asse in un giorno (moto di rotazione)

Moto traslatorio e rotatorioIn realtà questo è sempre possibile; il moto di un corpo rigido può essere separato in:• Moto traslatorio del baricentro, equivalente a quello di un punto materiale, con massa pari alla massa del corpo, una data velocità v, e regolato dalla legge:

• Moto rotatorio, equivalente a quello di un corpo rigido intorno a un asse passante per il baricentro, con momento di inerzia dato I e, una data velocità angolare ω, regolato dalla legge:

tFp

tML

Moto traslatorio e rotatorioUn esempio è dato dal moto della ruota di un’automobile:

• il centro della ruota trasla parallelamente al terreno con velocità pari a quella dell’automobile

• la ruota gira intorno a tale centro con moto circolare

V

V

ω

Moto traslatorio e rotatorioE’ da notare che in questo caso moto rotatorio e traslatorio sono sincronizzati.Infatti, in assenza di slittamento il punto della ruota a contatto col terreno è fermo, quindi è necessario che la velocità periferica di rotazione della ruota sia uguale e contraria a quella di traslazione. Se R è il raggio della ruota tra velocità di traslazione e velocità angolare sussiste pertanto la relazione:

V

ω

Rv

Terra e lunaAnche il moto di rotazione della luna su se stessa è sincronizzato con quello di rivoluzione intorno alla Terra, per cui la luna rivolge sempre la stessa faccia alla Terra.Ciò è dovuto a una complessa interazione gravitazionale che ha trasferito energia e momento angolare tra Terra e luna.

Terra e soleAl contrario, il moto di rotazione della Terra su se stessa non è sincronizzato con quello di rivoluzione intorno al sole perché le forze agenti sono risultate troppo deboli

Moto traslatorio e rotatorioIl momento angolare complessivo del corpo può essere separato in due componenti:

• Momento angolare del punto materiale, dovuto al moto traslatorio rispetto a un polo O

• Momento angolare intrinseco, dovuto alla rotazione del corpo rigido intorno all’asse di rotazione

Moto traslatorio e rotatorioNella fisica atomica e subatomica queste due componenti hanno un nome particolare:

• Il momento angolare dovuto alla traslazione della particella (ad esempio la rotazione di un elettrone intorno al nucleo atomico) si chiama momento angolare orbitale

• Il momento angolare intrinseco dovuto alla rotazione della particella su se stessa si chiama spin

Energia cineticaAnche l’energia cinetica può essere separata in due componenti:

• Quella dovuta alla traslazione del punto materiale, detta energia cinetica traslazionale

• Quella dovuta alla rotazione del corpo rigido su se stesso, detta energia cinetica rotazionale

Energia cineticaL’energia cinetica di un corpo rigido può quindi essere scritta in questa forma:

Dove v è la velocità di traslazione del punto materiale e ω la velocità angolare di rotazione del corpo rigido intorno all’asse

22

2

1

2

1 IvmEc

Lo yoyoLo yoyo fornisce un semplice esempio di come l’energia cinetica in un corpo rigido si suddivide tra traslazionale e rotazionale.

Se si lascia cadere lo yoyo come se fosse un sasso l’energia potenziale della forza peso si trasforma in energia cinetica traslazionale, come in caduta libera

Lo yoyoSe invece lo yoyo viene lasciato tenendo la cordicella, l’attrito della corda mette in rotazione il disco e l’energia potenziale si trasforma in gran parte in energia cinetica rotazionale, per cui lo yoyo scende più lentamente aumentando progressivamente la velocità di rotazione

Lo yoyoQuando lo yoyo giunge a fine corsa, sempre grazie al filo la rotazione si inverte e il disco comincia a risalire man mano che l’energia cinetica rotazionale si ritrasforma in energia potenziale (salvo la parte persa per attrito)