Cinematica Studio generale del moto

3. CinematicaStudio generale del moto

1. Introduzione

La cinematica classica e` la parte della meccanica che studia ilmovimento dei corpi indipendentemente dalle cause che lo deter-minano e si fonda essenzialmente sui concetti di spazio euclideo etempo assoluto.

Considerando la cinematica come geometria del movimento, e`essenziale associare al punto della geometria, lelemento sico chein cinematica da esso viene rappresentato. Si dira` dunque che unpunto e` atto a rappresentare un corpo mobile se le dimensioni diquestultimo sono abbastanza piccole rispetto a quelle del campodi movimento, e se non si considera leventuale movimento indi-pendente delle parti di cui il corpo e` costituito. Per esempio sipuo` rappresentare con un punto mobile un elettrone che si muoveattorno al nucleo, oppure la Terra nel suo movimento di rivolu-zione attorno al Sole, trascurando il moto di rotazione attorno alsuo asse, e cos` via.

Pertanto deniamo punto mobile un punto suscettibile diposizioni diverse rispetto ad un osservatore e sempre individuabilenelle varie posizioni. La sua posizione puo` essere stabilita da unvettore r che va da un punto sso prestabilito O alla posizione Pdel punto mobile, oppure da coordinate, cartesiane, polari, cilin-driche, opportunamente scelte.

Un punto mobile si dice libero se non e` soggetto a nessunacondizione; vincolato se esistono certe condizioni alle quale devesoddisfare. Tali condizioni sono chiamate vincoli ; essi sono de-niti come bilateri se, per esempio, il punto deve appartenere aduna data supercie, ad una linea ecc . . . , mentre sono unilaterise impongono condizioni meno restrittive, per esempio se impedi-scono al punto di attraversare una data supercie.

O

x

y

P

P0

s

z

Fig. 3.1

La posizione di un punto soggetto a vincoli bilateri puo` essereindividuata da un numero di coordinate minore di tre. Per esem-pio, se un punto e` vincolato ad una linea, basta dare come coor-dinata la lunghezza dellarco misurato a partire da una origine P0alla posizione P sulla linea, secondo un verso pressato, gura 1.

38 Capitolo 3 - Cinematica Studio generale del moto

Un insieme di punti mobili, liberi o vincolati, si chiama siste-ma di punti o, piu` brevemente, sistema. Il sistema puo` esseresoggetto a vincoli, fra i quali dobbiamo annoverare anche quelliche caratterizzano la natura del sistema, come ad esempio il vin-colo della rigidita`, e quelli che impongono particolari limitazionidi mobilita`, come ad esempio lesistenza di un punto o di un assesso.

Consideriamo un sistema mobile costituito da N punti. Ogniposizione del sistema e` determinata da N vettori ri che vannoda unorigine pressata, solidale con un osservatore, ai punti Pi.Tale posizione e` anche individuata dai valori di ogni genere dicoordinate adottate. Le coordinate o i vettori presuppongono unosservatore ovvero una terna di riferimento pressata, gura 2.

I vincoli imposti al sistema stabiliscono legami fra le 3N coor-dinate dei suoi punti; si verichera`, allora, che sono necessarie,per individuare la posizione del sistema, un numero di coordinateminore di 3N . Se queste coordinate cos` individuate risultanoindipendenti, si diranno coordinate libere o lagrangiane.

x

z

y

O

r1

P1P2

r2

r3

P3

Fig. 3.2

x

y

O

d

P1

P2

Fig. 3.3

Come esempio consideriamo un sistema costituito da duepunti, giacenti nel piano x-y di un riferimento cartesiano orto-gonale, e tali che la loro distanza si mantenga sempre costantee pari a d, gura 3. Il sistema e` soggetto ad un vincolo bila-tero perche giace su un piano e ad un vincolo che dipende dallanatura del sistema, perche la distanza tra i due punti deve rima-nere costante. Le 6 coordinate dei punti P1 e P2 sono legate dalle3 relazioni:

(x2 x1)2 + (y2 y1)2 = d2, z1 = 0, z2 = 0.Per individuare la posizione del sistema basta assegnare 3 coordi-nate: quelle di uno dei punti ed una coordinata dellaltro, oppure

1. Introduzione 39

le coordinate di un punto e langolo indicato in gura 3. Questecoordinate sono indipendenti e costituiscono le coordinate liberedel sistema.

Il numero di coordinate libere che si possono assegnare perindividuare la posizione di un sistema costituisce il numero digradi di liberta` del sistema stesso; in altri termini: se i punti delsistema sono individuati da r coordinate di qualsiasi specie e traqueste sussistono s equazioni traducenti i vincoli, il numero digradi di liberta` del sistema risulta uguale ad r s. Nellesem-pio precedente il numero di gradi di liberta` e` 3 perche 6 sono lecoordinate dei punti e 3 le relazioni traducenti i vincoli.

Sistemi di punti molto importanti sono i sistemi rigidi; essisi deniscono tali se la loro congurazione geometrica non cam-bia col movimento. Supponiamo che un sistema occupi una certaposizione S nello spazio, determinata dalla posizione di ogni suopunto, e successivamente una posizione S diversa, gura 4. Taliposizioni siano determinate rispetto ad un osservatore O, ovverorispetto ad una terna di riferimento con origine in O. Se los-servatore in O, qualunque siano le posizioni S ed S del sistema,puo` mutare la propria origine in O in maniera tale da vedere, daquesta nuova origine, il sistema in modo identico a quello con cuilo vedeva da O, il sistema si dice rigido.

A

B

C

D

A

B C

D

O

y

z

x

y

z

O

x

Fig. 3.4

Ne segue che la congurazione geometrica dei sistemi rigidinon dipende dallosservatore e pertanto rimane immutata anchenel passaggio del sistema dalla posizione S ad S nel riferimentoO. Le gure geometriche, determinate dai punti del sistema rigidoin una posizione S, sono dunque uguali a quelle determinate dagli


stessi punti in unaltra posizione S; anzi le due gure sono sovrap-ponibili.

La proprieta` di conservazione delle gure geometriche puo`essere assunta come denizione di sistema rigido, quando si pre-supponga la nozione di congruenza. Infatti consideriamo il siste-ma rigido di gura 4 nelle posizioni S ed S; se il segmento ABe` congruente con AB ed il segmento BC con BC , anche ilsegmento AC e` congruente con AC . Allora langolo ABC e`congruente con langolo ABC , il triangolo ABC col triangoloABC e cos` via. Poiche questo ragionamento vale per tre puntiqualsiasi del sistema, ne segue che tutte le gure geometriche chepossiamo considerare sono congruenti.

Ma una terna di punti qualsiasi e` individuata dalle coordinatecorrispondenti, dunque la posizione di un sistema rigido e` stabilitadalle nove coordinate di tre punti non allineati. Tali coordinatenon sono coordinate libere, poiche tra esse hanno luogo tre rela-zioni che esprimono linvarianza delle mutue distanze dei tre punti.Se il sistema rigido e` libero, cioe` non e` imposto altro vincolo senon quello della rigidita`, sussistono solo le tre relazioni che espri-mono linvarianza delle mutue distanze di tre punti generici delsistema; pertanto i gradi di liberta`, o coordinate libere, sono sei,(9 3 = 6). Se il sistema rigido e` vincolato, il numero di gradi diliberta` diminuisce. Infatti se, per esempio, il sistema ha un puntosso, assunto questultimo come uno dei tre punti, si hanno: letre coordinate di tale punto e le tre relazioni che stabiliscono ledistanze fra i tre punti; dunque 6 relazioni. I gradi di liberta` delsistema si riducono a tre, (9 6 = 3). Se il sistema rigido hadue punti ssi A e B, cioe` puo` ruotare attorno allasse da essiindividuato, note le sei coordinate di tali punti e le due relazioniche stabiliscono le distanze del terzo punto dai due pressati, sihanno otto relazioni. Pertanto il sistema rigido ha un solo gradodi liberta`, (9 8 = 1): langolo di rotazione attorno allasse sso.

s

P

P

L1

L2

L3

L4

Fig. 3.52. Spostamento

s1

s2

s3s4

s5

sT

Fig. 3.6

Deniamo spostamento di un punto, relativo al passaggio dauna posizione P ad una posizione P il vettore

s = (P P ). (1)Lo spostamento dipende solo dalla posizione iniziale e nale delpunto e non dal suo percorso lungo una qualsiasi linea L, gura 5.Se un punto esegue spostamenti successivi, s1, s2,... sn, lo sposta-mento totale sT e` dato dalla somma vettoriale degli spostamenti,gura 6.

sT = s1 + s2 + + sn.

2. Spostamento 41

Deniamo spostamento di un sistema di punti, linsieme deglispostamenti dei punti del sistema relativo al passaggio da unacongurazione iniziale ad una congurazione nale.

Un importante spostamento e` lo spostamentorigido, caratteristico dei sistemi rigidi. In questo casoad ogni gura geometrica nella posizione iniziale cor-risponde una gura congruente nella posizione nale.Per quanto si e` detto al paragrafo precedente, per indi-viduare uno spostamento rigido basta dare lo sposta-mento di tre punti non allineati.

x

y

z

A

B

C

D

A

B

C

D

T

O

Fig. 3.7

Diamo qualche cenno, omettendo le dimostrazioniche vengono svolte nel corso di Meccanica Razionale,sugli spostamenti rigidi fondamentali.

2.1. Spostamento rigido traslatorio

Lo spostamento si dice traslatorio se tutti i punti del sistemasubiscono lo stesso spostamento. Questo spostamento comune atutti i punti si chiama traslazione ed e` individuato dal vettoretraslazione T.

In gura 7 e` mostrato lo spostamento traslatorio di un tetrae-dro; gli spostamenti (A A), (B B),... sono tutti uguali.

A

B

R

P

P

Fig. 3.8

2.2. Spostamento rigido rotatorio

Uno spostamento rigido e` rotatorio se a due punti del sistemacompete spostamento nullo. Se A e B sono tali punti, la rettapassante per A e B si dice retta ssa dello spostamento rotatorioo asse di rotazione; a tutti i punti di questo asse compete spo-stamento nullo. Se un punto, non appartenente allasse, compieuno spostamento (P P ), e` individuato anche lo spostamentodel semipiano contenente A,B e P , ed essendo A e B ssi, talespostamento deve essere rotatorio, gura 8. Per la condizione dirigidita`, langolo di rotazione e` lo stesso qualunque sia il puntogiacente nel semipiano. Attribuendo una orientazione allasse,denita dal versore u, risulta stabilito il segno dellangolo di rota-zione che si ritiene positivo se il verso dellasse coincide con quellodellavanzamento di una vite destra, negativo al contrario; dun-que il versore ed il valore dellangolo individuano completamentelo spostamento considerato.

Deniamo rotazione il vettore

R = u; (2)

dunque, assegnato un punto dellasse, il vettore rotazione indivi-dua lasse, il verso e lampiezza della rotazione. Se viene assegnato


x

y

z(A)

(A)

(F)

(C)

R2

R2

R1

R1

Fig. 3.9

solo R, risultano determinati lampiezza della rotazione e lorien-tamento dellasse, ma non la posizione di questultimo.

E` molto importante notare che le rotazioni nite, caratteriz-zate da modulo e direzione, pur essendo per comodita` espresseda vettori, non vericano lalgebra vettoriale. Per convincersenebasta considerare le rotazioni di 90 di un libro attorno a dueassi ortogonali, come illustrato in gura 9. Fissata la posizioneiniziale A, si ruoti il libro attorno allasse z, impartendo la rota-zione R1 e successivamente, attorno allasse x, la rotazione R2; illibro risultera` nella posizione C. Riportando il libro nella posi-zione A, imprimiamo per prima la rotazione R2 attorno allasse xe successivamente R1 attorno allasse z. La posizione nale F , e`diversa da quella raggiunta in C. Concludiamo che la proprieta`commutativa della somma vettoriale non e` soddisfatta; in altritermini

R1 + R2 = R2 + R1. (3)

P

QP

O

d

Fig. 3.10

Le rotazioni innitesime viceversa non presentano questo pro-blema. Consideriamo il vettore rotazione innitesimo du, orto-gonale al piano del foglio ed un punto nella posizione P che pereetto della rotazione giunge in P , gura 10. I vettori

d u (P O), (P P ) = dr,hanno rispettivamente moduli r|d| e 2r| sin d/2|. A meno diinnitesimi di ordine superiore a |P P |, e` manifestamente

|P P | = |d u (P O)|,in quanto 2r sin d/2 2rd/2 = rd. Ma, ancora a meno di in-

2. Spostamento 43

nitesimi di ordine superiore a |P P |, la direzione di (P P ),corda PP , coincide con la direzione della tangente alla circon-ferenza, lungo cui e` diretto il vettore du (P O). Pertanto,a meno di innitesimi di ordine superiore a quelli che si conside-rano, trascurabili per il teorema fondamentale sugli innitesimi,scriveremo:

(P P ) = dr = d u (P O). (4)Inne se il punto e` soggetto a due generici spostamenti dr1 e dr2determinati da due rotazioni innitesime, si ha

dr = dr1 + dr2 = d1u1 (P O) + d2u2 (P O)= (d1u1 + d2u2) (P O).

Questa relazione esprime che la somma degli spostamenti delpunto dovuti a due rotazioni innitesime e` equivalente allo spo-stamento dovuto alla somma delle rotazioni innitesime, (leggedel parallelogramma delle rotazioni innitesime).

2.3. Spostamento rigido parallelo ad un piano

Uno spostamento rigido nel quale ogni punto subisce uno spo-stamento parallelo ad un piano, chiamato piano direttore, puo`essere studiato considerando soltanto gli spostamenti in dettopiano e si chiama spostamento piano. Per esempio, uno sposta-mento traslatorio e` uno spostamento piano, il piano direttore e` unpiano qualsiasi, parallelo alla traslazione; uno spostamento rota-torio e` piano, il piano direttore, in tal caso, e` un qualsiasi pianoperpendicolare allasse di rotazione.

2.4. Spostamento rigido polare

Se in un sistema rigido un punto O, chiamato polo o centrodello spostamento, e` sso, lo spostamento del sistema si chiamapolare o sferico. Per la condizione di rigidita`, gli estremi dei vet-tori (P O) e (P O) che individuano un generico spostamento(P P ), appartengono ad una supercie sferica con centro nelpolo. Si puo` dimostrare, e cio` peraltro e` intuitivo, che ogni spo-stamento polare, ad un certo istante, e` uno spostamento rotatoriocon asse istantaneo di rotazione passante per il polo (Eulero).

2.5. Spostamento rototraslatorio

Uno spostamento rigido composto di uno spostamento trasla-torio e di uno rotatorio si chiama rototraslatorio. Se in tale spo-stamento il vettore traslazione ed il vettore rotazione sono paral-leli, lo spostamento si dice elicoidale; lasse dellelica coincide conlasse di rotazione; e` il caso dellavanzamento della vite nella suamadrevite.


3. Moto del punto

Nello studio del moto di un punto e` fondamentale associareordinatamente alle posizioni P0, P1,...Pn del punto, misurate daun certo osservatore, la successione dei valori t0, t1,...tn dei tempicorrispondenti. Nella meccanica classica lesperienza mostra chedue osservatori diversi, nelle situazioni piu` comuni di esperienza,misurano gli stessi intervalli di tempo. In meccanica relativisticacio` non si verica ed il tempo va considerato come una coordinatalegata allosservatore, come le coordinate spaziali. Stabilito dun-que un tempo assoluto, indipendente dallosservatore, lo scopodella cinematica e` quello di stabilire relazioni tra lo spazio per-corso dal punto ed il tempo impiegato a percorrerlo.

x

y

z

L

P

Oi

k

j y(t)

z(t)

x(t)

r(t)

Fig. 3.11

Fissiamo una terna cartesiana di riferimento solidale con los-servatore, dora in poi terna cartesiana ed osservatore rappresen-

teranno la stessa cosa e indicheremo luna o laltroindierentemente, e individuiamo la posizione P delpunto con un vettore r che va dallorigine O dellaterna a P , come in gura 11. Lequazione vettoriale

r = r(t), (5)

denisce lequazione del moto del punto, che di solitoe` una funzione regolare. Il vettore r(t) puo` essereespresso in forma cartesiana per mezzo delle sue com-ponenti:

r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k. (6)

Cio` signica che la (5) equivale alle tre relazioni sca-lari:

x = x(t), y = y(t), z = z(t), (7)

che chiamiamo equazioni del moto o moti componenti. Questeequazioni possono anche essere interpretate come le equazioniparametriche della linea L, luogo delle successive posizioni P , chechiamiamo traiettoria.

La sola conoscenza della traiettoria non basta a caratterizzareil moto del punto; bisogna associare a questa una legge che ne diala posizione in funzione del tempo, cioe` la legge oraria; per esempiole leggi dei moti componenti espresse dalle (7). Peraltro, note que-ste ultime, si puo` ricavare lequazione della traiettoria eliminandoil tempo. Inoltre, una legge che da` la posizione del punto sullatraiettoria in funzione del tempo, si ottiene ssando sulla traiet-toria la posizione P0, occupata allistante t = t0, e la posizionegenerica P allistante t. La lunghezza s dellarco P0P , coordinatacurvilinea, contata positivamente secondo un verso pressato, infunzione del tempo t, individua in ogni istante la posizione P sulla

4. Velocita` del punto 45

traiettoria. Il moto del punto e` dunque individuato assegnando,insieme alla traiettoria, la legge oraria:

s = s(t), (8)

che in genere e` una curva regolare, rappresentabile in un riferi-mento cartesiano che ha come ascisse il tempo e come ordinate lospazio s, gura 12.

O

s

t

s(t)

s0

t0

Fig. 3.12

P

P

x

y

z

O

r

r(t + t)

r(t)

Fig. 3.13

4. Velocita` del punto

Consideriamo un punto in moto su una traiettoria la cui posi-zione P e` individuata ad un certo istante t dal vettore r(t); alli-stante t+t la sua posizione sara` in P ed il vettore r avra` subitoun incremento:

r = r(t + t) r(t),che e` lo spostamento del punto nellintervallo di tempo t, gura13. Il vettore

v =rt

, (9)

che ha direzione della corda dellarco PP , denisce la velocita`media nellintervallo di tempo t. Se consideriamo intervalli ditempo sempre piu` piccoli, innitesimi, la velocita` media relativaa questi intervalli diverra` sempre piu` prossima alla velocita` delpunto mobile allistante t e scriveremo:

v = limt0

rt

=dr

dt= r. (10)

La velocita` istantanea e` uguale alla derivata del vettore r rispettoal tempo. Indicheremo la derivata di una grandezza funzione del


tempo, soprasegnando con un punto la grandezza stessa. Lope-razione analitica di derivazione assume cos` un preciso signicatosico.

Nel SI la velocita` si misura in metri al secondo (m/s).Il vettore velocita` e` diretto come la tangente alla traiettoria

in P , gura 13; infatti r e` diretto lungo la corda dellarco PP

e quando si considerano intervalli di tempo innitesimi, cioe` P

tende a P , la corda tende alla tangente alla traiettoria; la direzionedel vettore velocita` e` concorde col verso del moto.

Il modulo del vettore velocita` e` dato dal rapporto fra la lun-ghezza innitesima della corda dr che congiunge due punti in-nitamente vicini e lintervallo innitesimo di tempo dt corrispon-dente. E` ovvio che in queste condizioni, a meno di innitesimi diordine superiore, dr coincide con lelemento di arco ds, pertantoil modulo della velocita` sara`:

v =dsdt

= |s|. (11)In altri termini: il modulo della velocita` istantanea coincide colvalore assoluto della derivata della lunghezza dellarco rispetto altempo.

O t t

s

t

s(t)

t + t

0

Fig. 3.14

Questa denizione ha anche una interpretazione geometrica:infatti consideriamo la curva oraria di gura 14; la velocita` media,rapporto tra la lunghezza dellarco o spazio percorso ed il corri-spondente intervallo di tempo, s/t, e` rappresentata dal valorenumerico di tan 0. Allorche gli intervalli di tempo diventano sem-pre piu` piccoli, innitesimi, il modulo della velocita` media tendeal modulo della velocita` allistante t ed e` rappresentata dal valorenumerico di tan , dove e` langolo che forma la tangente allacurva oraria con lasse orizzontale in corrispondenza allistante t.

Il vettore velocita`, indicando con il versore della tangentealla traiettoria, puo` essere rappresentato in forma intrinseca oriferita allarco, con la notazione

v =ds

dt = s . (12)

Se r(t) e` dato dalla (6), essendo i versori della terna di riferimentocostanti perche la terna e` ssa, la sua derivata e` semplicemente:

v drdt

= x(t) i + y(t) j + z(t) k. (13)

La velocita` e` cos` espressa in forma cartesiana mediante le derivatedelle componenti di r, le quali non sono altro che le componenticartesiane della velocita`:

vx =dx

dt x(t), vy = dy

dt y(t), vz = dz

dt z(t).

5. Moto dei sistemi di punti 47

Il modulo della velocita` e` quindi

v =

v2x + v2y + v2z

x2 + y2 + z2. (14)

Siamo ora in grado di esprimere la lunghezza dellarco di traiet-toria. Infatti scegliendo un arco innitesimo ds e considerandoun parallelepipedo elementare, di spigoli dx, dy, dz, tale che dsne congiunga due vertici opposti, a meno di innitesimi di ordinesuperiore, possiamo scrivere:

ds =

dx2 + dy2 + dz2 =

x2 + y2 + z2dt, (15)

da cui

s = t

t0

x2 + y2 + z2dt, (16)

relazione che, una volta precisato il segno, dipendente dal versossato sulla traiettoria, permette di trovare la lunghezza dellarcos in funzione del tempo.

Dividendo la (15) per dt, si ha

dsdt =

(dx

dt

)2+(dy

dt

)2+(dz

dt

)2=

x2 + y2 + z2,

che, in conformita` con la (14), da` il modulo della velocita`.

5. Moto dei sistemi di punti

Si denisce atto di moto di un sistema di punti la distribuzionedelle velocita` di tutti i punti del sistema, ad un certo istante.

Se vi e` la velocita` del generico punto allistante t, essendovi = dri/dt, si ottiene dri = vidt, che rappresenta lo sposta-mento innitesimo del punto nella posizione Pi, nel-lintervallo di tempo dt. Linsieme degli spostamentiinnitesimi di tutti i punti si chiama spostamento ele-mentare del sistema allistante t.

O

x

y

zP

Fig. 3.15

Particolare importanza presenta latto di motodei sistemi rigidi; in questo caso e` opportuno de-nire una terna cartesiana Oxyz, solidale col sistema,in moto rispetto ad una terna ssa , gura 15.In questa rappresentazione ogni punto P del sistema,pur muovendosi rispetto a , durante il moto hasempre posizione invariata rispetto a Oxyz; in altritermini le coordinate x, y, z di P risultano costanti,ossia indipendenti dal tempo. Il moto di P , rispettoa , e` completamente denito una volta pressatele sue coordinate x, y, z, costanti rispetto a Oxyz, ela posizione della terna solidale rispetto a quella ssa;allo scopo basta assegnare la posizione dellorigine O


e i versori degli assi i, j, k di Oxyz, in funzione del tempo. Alloralequazione del moto di P e` data dalla relazione:

(P ) = (O ) + x i + y j + z k.Oppure, sottintendendo , perche sso:

P = O + x i + y j + z k.

5.1. Atto di moto rigido traslatorio

Se il sistema trasla rigidamente, tutti i suoi punti, ad uncerto istante, sono animati della stessa velocita`. I versori i, j,k della terna Oxyz mantengono costante la loro direzione; percio`detta vO la velocita` dellorigine della terna solidale col sistema,funzione del tempo, questo solo vettore individua latto di mototraslatorio dellintero sistema, rispetto alla terna . Se vOe` costante, il moto si dice traslatorio uniforme. ManifestamentedrO = vOdt, individua lo spostamento traslatorio elementare delsistema.

5.2. Atto di moto rigido rotatorio

Si e` visto che lo spostamento rigido rotatorio attorno ad unasse sso, passante per due punti A e B del sistema, ai qualicompete spostamento nullo, e` individuato dal vettore rotazione u. Se langolo di rotazione e` una funzione nota del tempo = (t), il rapporto /t tra langolo di rotazione e lintervallodi tempo impiegato a descriverlo, denisce la velocita` angolaremedia del moto rotatorio; in simboli:

=t

.

La velocita` angolare istantanea e` data da

= limt0

t

=d

dt ,

cioe` dalla derivata rispetto al tempo dellangolo di rotazione. Lavelocita` angolare si misura in rad/s. In base alla convenzionestabilita sul verso di percorrenza degli angoli, la velocita` angolaresara` positiva o negativa se il moto rotatorio e` destro o sinistro,rispetto allasse orientato.

Si noti che in un moto rotatorio tutti i punti del sistema simuovono di moto circolare in piani ortogonali allasse di rotazione,luogo dei punti dei centri delle circonferenze descritte dai puntidel sistema.


Servendoci del vettore rotazione u, deniamo vettore velo-cita` angolare la grandezza

= limt0

t

u =d

dtu =

d

dt, (17)

dove si e` posto d u = d, vettore rotazione innitesimo.Nel moto rotatorio la velocita` angolare ha direzione paral-

lela allasse di rotazione, ed il suo modulo e` funzione del tempo.

B

P

r

A

v=r

Fig. 3.16

In conformita` con la (4), lo spostamento innitesimo dr di ungenerico punto del sistema e` dato da:

dr = d (P ) = d r,dove r = (P ) e` il vettore che individua il punto rispetto adun punto , che riterremo sso, scelto arbitrariamente sullasse dirotazione.

Poiche dr = vdt, dalla precedente si ottiene la velocita` delpunto:

dr

dt= v = r. (18)

Questa equazione individua ad ogni istante latto di moto rota-torio del sistema; gura 16. La velocita` angolare ad ogni istanteassume un unico valore mentre le velocita` dei vari punti del siste-ma sono diverse. Il moto rotatorio e` uniforme se e` costante.

5.3. Atto di moto rigido polare

Ricordiamo che in uno spostamento polare rigido un punto O(polo) rimane sso. Latto di moto polare e` descritto da equazioniidentiche alle (17) e (18); pero`, a dierenza di quanto avviene nelmoto rotatorio, il vettore varia da istante ad istante in moduloe direzione; la rotazione avviene attorno ad un asse istantaneo dirotazione passante per il polo O. Dimostriamo ora come per ilmoto polare sia possibile determinare, in ogni istante, il vettore che, per la (18), permette di individuare latto di moto.

La terna cartesiana ssa e la terna mobile, solidale col sistemarigido, animato dal moto polare, hanno la stessa origine, O ;allora i versori degli assi della terna solidale, mutando ad ogniistante di direzione, sono funzioni del tempo:

i = i(t), j = j(t), k = k(t).

Sostituendo nella (18), al posto di r, successivamente i, j, k, si ha:

di

dt= i, dj

dt= j, dk

dt= k. (19)

Moltiplicando scalarmente la prima per j, la seconda per k, la terzaper i e ricordando le proprieta` del prodotto misto, paragrafo 7-II,


si ottiene:di

dt j = i j = i j = k,

ed analogamente

dj

dt k = i, dk

dt i = j.

Queste relazioni danno semplicemente le componenti cartesianedi secondo gli assi della terna mobile; si ha dunque:

=(dj

dt k)

i +(dk

dt i)

j +(di

dt j)

k

= xi + yj + zk,

(20)

che risolve il problema, una volta note le funzioni i(t), j(t), k(t).Le (19) e (20) sono note sotto il nome di formule di Poisson.E` importante notare come le (19) possano essere espresse

mediante una unica formula. Consideriamo infatti un genericovettore V, costante rispetto alla terna Oxyz, solidale col sistemarigido in moto. Con riferimento alla terna ssa , derivandorispetto al tempo lidentita`

V = Vxi + Vyj + Vzk,

si ottiene:dV

dt= Vx

di

dt+ Vy

dj

dt+ Vz

dk

dt,

e tenendo presente le (19),

dV

dt= Vx( i) + Vy( j) + Vz( k).

Raccogliendo a fattor comune:

dV

dt= V. (21)

Questa espressione comprende ovviamente, come casi particolari,le equazioni (19).

5.4. Atto di moto rigido rototraslatorio

Consideriamo un sistema rigido animato di moto rotatorio,con velocita` angolare di direzione ssa, e di velocita` di trasla-zione vT , entrambe funzioni solo del tempo. Tenuto conto della(18), la velocita` di un generico punto P del sistema, rispetto alriferimento sso , e` data dalla relazione:

v = vT + (P ), (22)dove e` un qualsiasi punto dellasse di rotazione. Il moto cos`denito si dice rototraslatorio e la velocita` del punto e`, istante


per istante, somma delle velocita` di traslazione vT e di rotazione (P ), questultima dipendente da P , gura 17.

La velocita` del punto P puo` essere espressa ininniti modi. Infatti, scelto un qualsiasi punto O,solidale col sistema rigido, in accordo con la (22), lavelocita` di tale punto sara`

vO = vT + (O ),e sottraendo membro a membro dalla (22), si ottiene:

v = vO + (P O), (23)

P

v

(P

Fig. 3.17

Questa equazione presenta analogia formale con la(22), ma ne dierisce per il fatto che O e` un gene-rico punto mobile del sistema. E` chiaro pero` che ilvettore (P O) ha la stessa caratteristica del vet-tore (P ), solo nella terna in cui sia sso Oe costante la direzione di . Per linvariabilita` delladirezione di , tale e` la terna con origine in O, assiparalleli a quelli della terna , che pertanto e` ani-mata di moto traslatorio di velocita` vO, dipendentesolo dal tempo, come vT . In questa terna il motorotatorio avviene attorno allasse passante per O eparallelo ad .

Un moto rototraslatorio di particolare importanza e` il motorototraslatorio uniforme, in cui sia vT che sono costanti rispettoalla terna . In queste condizioni risultano altres` costanti siavO che rispetto alla terna Oxyz. Dimostriamo ora che nel motorototraslatorio uniforme, la velocita` del punto puo` essere rappre-sentata in modo che la velocita` di traslazione risulti parallela a ,ossia in modo che il moto considerato risulti elicoidale.

Q

v

Fig. 3.18

Scomponiamo infatti vT nei componenti v e v, rispettiva-mente parallelo e ortogonale a . A causa dellortogonalita` di ved , esiste un particolare punto Q tale che:

v = (Q ), (24)dove (Q ) e` un vettore costante, al pari di vT ed , gura 18.

Scrivendo la (22) come:

v = v + v + (P ),e sostituendovi la (24), si ottiene:

v = v (Q ) + (P ) = v + (P Q).Il moto risulta elicoidale attorno ad un asse passante per Q eparallelo ad . Appare dunque giusticato, una volta individuatoQ, chiamare elicoidale qualunque moto rototraslatorio uniforme.


Al ne di determinare il punto Q, si osservi che il prodottovettoriale v rappresenta il vettore di modulo v, ruotato di90 in senso antiorario rispetto a v; percio` il prodotto vettoriale ( v) risulta un vettore opposto a v e pari a 2v.Dunque:

v = 12

( v).Ma, tenuto conto della (24), si ha:

(Q ) = 12

( v),ossia:

(Q ) = 12

( v) 12

( vT ). (25)La (25) e` lequazione vettoriale dellasse del moto elicoidale, pas-sante per Q, parallelo sia a v che alla velocita` angolare, che vienechiamato anche asse del moto rototraslatorio uniforme. Dunqueogni atto di moto rototraslatorio uniforme puo` essere ricondottoad un moto elicoidale e, in particolare, se v = 0, ad un motorotatorio.

Consideriamo ora il moto rototraslatorio piu` generale, in cui puo` cambiare di direzione istante per istante. Si osservi cheil vettore (P O), per quanto detto al paragrafo 5, e` costanterispetto alla terna Oxyz solidale col sistema. Pertanto, in virtu`della (21), la sua derivata rispetto al tempo, nel riferimento sso,risulta:

d(P O)dt

= (P O), dP

dtdO

dt= (P O),

ossia:v = vO + (P O), (26)

relazione analoga alla (23), dove, come se` detto, vO rappresentala velocita` di traslazione del riferimento solidale e (P O),con denito dalla (20), rappresenta la velocita` di rotazione delsistema attorno ad un asse istantaneo, passante per O.

La (26) si puo` ritenere lequazione piu` generale del moto rigidorototraslatorio, ove si considerino i valori assunti dai vettori v(t),vO(t) e (t) al tempo t.

Dunque latto di moto rototraslatorio e` lo stesso che si avrebbese il sistema fosse animato, allistante t, di moto rototraslato-rio uniforme. Per quanto si e` detto prima, nellistante conside-rato, esso e` riconducibile ad un moto elicoidale. Come varianonel tempo i vettori v ed , varia altres` il moto elicoidale istan-taneo. La retta passante per O, parallela ad si chiama asseistantaneo di rotazione, mentre lasse istantaneo del moto elicoi-dale, anchesso parallelo ad , si dice asse di moto del sistemarigido nellistante considerato.


Lequazione dellasse di moto e` analoga alla (25):

(QO) = 12

( vO). (27)

Indicando con rO il vettore (P O), dalla (26), si ottiene lo spo-stamento elementare:

dr = vdt =dO + dt rO.

Moltiplicando scalarmente la (26) per , si ha

v = vO = cost, (28)relazione valida anche con riferimento alle (22) e (23).

Si deduce che le velocita` di ogni punto del sistema hanno lastessa componente v secondo una retta parallela ad . La (28) sichiama trinomio invariante dellatto di moto rigido perche costi-tuito dalla somma dei prodotti delle componenti omonime. Natu-ralmente linvarianza non si riferisce al tempo da cui il trinomiodipende.

Anche il trinomio si annulli e` necessario e suciente che levelocita` v e siano mutuamente ortogonali oppure che una diesse sia nulla. Per esempio in un atto di moto rigido rotatorio iltrinomio invariante e` nullo, poiche la velocita` di qualunque puntoe` sempre ortogonale alla velocita` angolare.

La velocita` di un punto, ad ogni istante, si puo` dunque espri-mere come somma della velocita` di traslazione v, parallela a ,comune a tutti i punti,

v =v

e di una velocita` v v, ortogonale a , diversa per ogni punto.

5.5. Atto di moto rigido piano

Nel moto rigido piano, come nello spostamento rigido piano,la velocita` di un punto giace sempre in un piano parallelo al pianodirettore. Tali sono il moto rigido traslatorio ed il moto rigidorotatorio; in questultimo, invariabile nel tempo e` la direzionedi , ortogonale al piano direttore. Linvariante scalare e` semprenullo. Nel moto rigido piano la componente della velocita` parallelaad e` sempre nulla, v = 0, pertanto un atto di moto rigidopiano rototraslatorio, si puo` ridurre sempre ad un atto di motorotatorio con asse istantaneo di rotazione, che e` anche lasse dimoto, ortogonale al piano direttore. Tale asse incontra il pianodirettore in un punto Q, chiamato centro istantaneo di rotazione,che puo` essere determinato per mezzo della (27). Gracamente,note le velocita` di due punti P1 e P2, che giacciono nel pianodirettore e, allistante t, sono tangenti alle loro traiettorie, il punto


Q

v1

v2P1

P2

Fig. 3.19

O

P

y

x

Q

vo

Fig. 3.20

di intersezione delle loro normali determina univocamente il centroistantaneo di rotazione, gura 19.

Esempi

1. Un corpo rigido ruota attorno ad un asse che passa per lorigine di unaterna di riferimento ortogonale e forma angoli uguali con gli assi coordinati.Determinare la velocita` di un punto posto sullasse x di ascissa x = 3m,sapendo che la velocita` angolare e` costante ed ha modulo 2 rad/s.

Poiche i coseni direttori dellasse di rotazione sono uguali, e`

3 cos2 = 1, cos = 13.

Le componenti di sono

x = y = z =3;

pertanto

=3(i + j + k).

Essendo

v = r, r = xi,e svolgendo il prodotto vettoriale si ottiene

v =x

3(j k), v =

2

3x = 15m/s

2. Un disco di raggio R rotola in un piano orizzontale, lungo una rettaorientata nel verso del moto. La velocita` del centro O del disco sia vO, parallelaalla retta, come in gura 20. Trovare il centro istantaneo di rotazione.

Si tratta di un moto piano in cui il piano direttore e` quello del foglio.Fissato un riferimento solidale col disco, con origine nel centro O, asse xparallelo alla retta lungo cui avanza il disco, e asse z ortogonale ad esso,positivo uscente, la velocita` angolare ha come unica componente lungo z, .Dalla (27), svolgendo il prodotto vettoriale e chiamando xQ e yQ le coordinatedel centro istantaneo di rotazione Q, si deduce

xQ = 0, yQ = vO

.


Il punto Q, in ogni istante, ha velocita` nulla, percio`

vO = | (O Q)| = R,e le precedenti diventano

xQ = 0, yQ = vO

= R.

Il centro istantaneo di rotazione coincide con la traccia della generatrice deldisco nel punto di contatto con la retta orizzontale.

La velocita` di un punto P del disco e`

v = (P Q),Tenendo conto che (P Q) = (O Q) + (P O), si puo` scrivere

v = [(O Q) + (P O)] = vO + (P O).Il moto di rotolamento e` rototraslatorio; composto da una traslazione convelocita` vO, parallela alla retta orizzontale, e una rotazione attorno allassedel disco.

Il centro istantaneo di rotazione puo` anche essere determinato, osservandoche la velocita` di Q devessere nulla istante per istante. Dalla (23) si ha

vQ = vO + (QO) = 0, (QO) = vO;nel punto Q le velocita` rotazionale e traslazionale sono opposte.

Svolgendo il prodotto vettoriale, nel riferimento O, si ottiene

xQ = 0, yQ = vO

= R,

come prima.Si osservi ancora che la velocita` di un punto del disco puo` essere espressa

dal termine di pura rotazione, v = (P Q), oppure come somma dellavelocita` di traslazione e di quella di rotazione attorno allasse del disco, v =vO + (OQ). In ogni caso la velocita` e` tangente alla traiettoria che, vistadallosservatore solidale col piano direttore, e` una cicloide, gura 21.

P

P

PL

l

Fig. 3.21

In Meccanica Razionale si dimostra in generale, che il luogo dei puntiQ, traccia dellasse istantaneo del moto, visti dallosservatore sso col pianodirettore, e` una linea L che si chiama base del moto; mentre tale luogo, vistoda un osservatore solidale con la gura mobile, e` una linea l che si chiamarulletta del moto. In ogni istante base e rulletta hanno in comune il centro Qdi istantanea rotazione.

Nel caso del disco che rotola, la base e` la retta orizzontale e la rullettala circonferenza che rappresenta il disco; in questo moto il centro O dellarulletta, rispetto allosservatore sso, si muove di moto rettilineo con velocita`vO, parallela alla base, mentre la base, rispetto allosservatore solidale conla rulletta, e` dotata di moto traslatorio con velocita` vO. Si realizza cos` latrasformazione per frizione di un moto rotatorio attorno ad O, in un mototraslatorio e viceversa.

Se la base e` una circonferenza e la rulletta unaltra circonferenza, facendorotolare senza strisciare la seconda sulla prima si ottiene un moto epicicloidale,se la seconda circonferenza e` esterna alla prima, un moto ipocicloidale in casocontrario; un punto della rulletta genera rispettivamente una epicicloide o


L

P

P

P

Pl

l

b)a)

L

Fig. 3.22

una ipocicloide. In gura 22 sono mostrate tali traiettorie, nel caso in cui ilrapporto tra il raggio R della base e il raggio r della rulletta e` uguale a 4.

In questo moto il centro O della rulletta ruota attorno al centro O dellabase con velocita` angolare . Un osservatore ruotante rispetto ad O convelocita` angolare , vede il centro O sso, e la base ruotante rigidamenteattorno ad O con velocita` angolare . La rulletta ruota attorno ad O senzastrisciare sulla base, e deve avere una velocita` angolare tale che la velocita`del punto di contatto Q sia uguale a R. Ne segue:

R = r,valendo il segno positivo o il segno negativo se il moto e` epicicloidale o ipoci-cloidale. In ogni caso si ha

= rR

;

il rapporto tra le velocita` angolari e` costante e si realizza la trasformazioneper frizione di un moto rotatorio attorno ad O in un moto rotatorio attornoad O e viceversa.

3. Una trave e` appoggiata su rulli di raggio R che rotolano senza strisciarerispetto alla trave e rispetto al terreno. Determinare il legame che intercorretra la velocita` di avanzamento della trave e quella dei rulli, gura 23.

Q

R

P

Fig. 3.23

Lasse istantaneo di rotazione di ogni rullo passa per il puntoQ di contatto col terreno; la velocita` di avanzamento dei rulli e`in modulo vO = R, mentre la velocita` del punto P , dove il rullotocca la trave ha modulo vP = 2R. Questa e` pure la velocita` diavanzamento della trave, doppia di quella dei rulli.

I rulli restano indietro rispetto alla trave e se si dispone di unnumero limitato di essi, per percorrere un lungo tratto, e` necessarioraccogliere quelli che restano dietro e portarli davanti alla trave.

Questo metodo di trasporto apparve certamente spontaneo ai primitivi, nchequalcuno non ebbe lidea geniale di collegare rigidamente agli estremi dellatrave due assi orizzontali alle cui estremita` sistemo` quattro dischi forati alcentro. La ruota era inventata.

6. Accelerazione del punto 57

6. Accelerazione del punto

Consideriamo un punto P che si muove su una certa traiet-toria; sia v(t) la sua velocita` allistante t e v(t + t) la velocita`allistante t + t; v = v(t + t) v(t) sara`la variazione di velocita` durante lintervallo ditempo considerato, gura 24.

P

x

z

yO

v

r(t)

v(t)

v(t)

v(t + t)r (t + t)

v(t+t )

P

Fig. 3.24

Si denisce accelerazione media il rapporto

a =vt

,

che e` un vettore diretto come v e indica larapidita` con cui varia la velocita` nellintervallodi tempo t.

Se consideriamo intervalli di tempo semprepiu` piccoli, innitesimi, laccelerazione mediatende allaccelerazione allistante t, che indichia-mo col vettore a, cioe`:

a = limt0

vt

=dv

dt v,

oppure

a =d2r

dt2 r = x(t)i + y(t)j + z(t)k. (29)

Laccelerazione e` la derivata rispetto al tempo del vettore velo-cita`, ovvero la derivata seconda, rispetto al tempo, del vettoreposizione. Nel SI laccelerazione si misura in metri al secondoper secondo (m s2).

Il modulo dellaccelerazione risulta

a =

x2 + y2 + z2.

Per formulare laccelerazione sotto forma intrinseca va premessaqualche nozione di geometria dierenziale.

6.1. Alcuni elementi di geometria dierenziale

Consideriamo un arco di traiettoria s che congiunge una posizione pres-sata P0 con la posizione P generica del punto. Il vettore r e le sue componenti,x(t), y(t), z(t) possono essere considerate funzioni dellarco s qualora si ricavit dalla funzione s(t), cioe` la funzione inversa t = t(s); cos` si ottiene:

x = x(s), y = y(s), z = z(s).

Lo scopo di assumere s come variabile anziche t e` quello di rendere piu` semplicii calcoli; daltra parte si puo` passare da una variabile allaltra, avendo intro-dotto la variabile intermedia s, tenendo presente che se x = x(s), la derivatarispetto al tempo e`

dx

dt=

dx

ds

ds

dt

e viceversa.


Consideriamo il rapporto:

r(s)

s,

che, scalarmente, e` il rapporto tra la corda di un elemento darco e lelementostesso; il limite di tale rapporto, che chiamiamo ,

lims0

r

s=

dr

ds= ,

e` il versore della tangente alla traiettoria in un punto P . Il modulo e` ovvia-mente unitario perche quando larco diventa innitesimo, corda ed arco ten-dono ad assumere lo stesso valore. Le componenti di rispetto alla ternacartesiana ortogonale, sono i coseni direttori della tangente orientata.

Consideriamo sulla traiettoria due punti P e P e le tangenti in questipunti; quando P tende a P le due tangenti individuano un piano che sichiama piano osculatore. Esso e` il piano in cui meglio si adagia il tratto in-nitesimo ds di traiettoria e, per denizione, contiene i versori e delletangenti considerate. Nel piano osculatore deniamo una circonferenza oscu-latrice, o cerchio osculatore C, che e` la circonferenza passante per tre puntiinnitamente vicini della traiettoria, sulla quale si adatta al meglio larco in-nitesimo ds. Il raggio R e il centro di tale circonferenza sono, rispettivamente,il raggio ed il centro di curvatura della traiettoria; 1/R e` chiamata prima cur-vatura. In gura 25 e` mostrato un arco s di traiettoria, piccolo ma nito, edi versori delle tangenti condotte nei suoi estremi P, P . Quando larco diventainnitesimo, i due versori appartengono sia alla traiettoria che alla circonfe-renza osculatrice e le normali ad essi permettono di individuarne il raggio edil centro.

P

PR

O

C

s

Fig. 3.25

P

L

b

n

Fig. 3.26

La traiettoria in un punto P e` caratterizzata da tre versori: , cheabbiamo gia` denito, dal versore n della normale principale, ortogonale a

e giacente nel piano osculatore, dal versore b della binormale ortogonale alpiano osculatore; la terna formata dai tre versori individua in ogni punto untriedro (mobile) che si chiama triedro principale; gura 26.

I tre versori ora deniti, sono dati da:

=dr

ds, n =

dds

dds

1 = d2rds2

d2rds21

, b = n; (30)

6. Accelerazione del punto 59

Per determinare n osserviamo che = 1, quindi derivando rispetto ad s siha:

2 dds

= 0;

ne segue che il vettore d/ds che, si noti, non ha modulo unitario, e` ortogonaleal versore ; cio` si puo` capire dalla gura 25 dove si osserva che il vettore tende a disporsi ortogonalmente a appena larco diventa innitesimo,puntando verso il centro di curvatura. Pertanto il suo versore

dds

dds

1coincide proprio con n.

O

R

ds

d

Fig. 3.27

Consideriamo un arco innitesimo ds di traiettoria che appartiene quindialla circonferenza osculatrice, gura 27; si ha ds = Rd, essendo R il raggiodi curvatura. La prima curvatura della traiettoria e` denita da

1

R=

d

ds. (31)

Per determinare langolo innitesimo d consideriamo i versoridelle tangenti in corrispondenza ad s e, limitandosi a variazionidel primo ordine, ad s + ds:

, = +dds

ds;

essi hanno entrambi modulo unitario, quindi il modulo del loroprodotto vettoriale e` uguale a sin d d perche le tangentisono innitamente vicine.

Svolgendo infatti tale prodotto, si ha:

( +

dds

ds)

= + dds

ds = dds

ds,

da cui discende: dds

ds

= d, dds

= dds

1R

.

Ma ha modulo unitario, quindi la precedente si puo` scriveredds

= 1R

,

e, tenendo presente la seconda delle (30),

dds

=n

R. (32)

Esprimiamo ora la prima curvatura in funzione di t. Essendo:

=dr

ds=

dr

dt

(ds

dt

)1= r

(ds

dt

)1,

d2r

ds2=

d

dt

[r(

ds

dt

)1] dtds

=

(rds

dt d

2s

dt2r

)(ds

dt

)3,

si ricava:

1

R=

dds

= r(dsdt)1

(

rds

dt d

2s

dt2r

)(ds

dt

)3= |r r|

(ds

dt

)3=|r r||r|3 .


Dunque la (32) diventa:

1

R=

1

(x2 + y2 + z2)3/2|(yz zy)i + (zx xz)j + (xy yx)k|. (33)

Non ci occuperemo della seconda curvatura, che e` denita nel piano di e dib, perche ai ni del calcolo dellaccelerazione non interessa.

Quando la traiettoria giace in un piano, che supponiamo sia quello x-ydella terna di riferimento, nella (33) sopravvive solo la componente secondo z,allora la prima curvatura diventa:

1

R=

xy yx(x2 + y2)3/2

, (34)

oppure, se la traiettoria e` data sotto forma esplicita:

1

R=

d2y/dx2

[1 + (dy/dx)2]3/2. (35)

Le (34) e (35) si possono dimostrare anche in maniera piu` elementare: Consi-deriamo una traiettoria piana i cui moti componenti sono

x = x(t), y = y(t).

Langolo innitesimo d tra le tangenti in due punti innitamente vicini dellatraiettoria puo` essere ricavato tenendo presente che:

tan =dy

dx=

dy/dt

dx/dt=

y

x, = tan1 y

x,

da cui, derivando rispetto al tempo:

d

dt=

yx xyx2 + y2

, d = yx xyx2 + y2

dt.

ma, essendo

1

R=

d

ds=

d

dt

dt

ds=

d

dt

(ds

dt

)1,

dsdt

= v = (x2 + y2)1/2,si ottiene

1

R=

xy yx(x2 + y2)3/2

,ddt

= vR

.

Analogo ragionamento vale per una traiettoria espressa sotto forma esplicita.

6.2. Accelerazione sotto forma intrinseca

Siamo ora in grado di esprimere laccelerazione del punto informa intrinseca. Essendo la velocita` data da

v =ds

dt = s ;

derivando rispetto al tempo, si ottiene

a =dv

dt= s + s

d

ds

ds

dt= s + s2

d

ds.

Ricordando la (32):

a = s +s2

Rn = s +

v2

Rn. (36)

Poiche e n giacciono nel piano osculatore, anche laccelerazionegiace in tale piano.

7. Accelerazione dei sistemi di punti 61

Concludiamo che, in generale, a dierenza della velocita`, lac-celerazione non e` diretta lungo la tangente alla traiettoria; essapresenta una componente tangenziale at uguale alla derivata se-conda dellarco s rispetto al tempo, ed una componente normalean uguale al rapporto tra il quadrato della velocita` e il raggio dicurvatura:

a = s, an =v2

R. (37)

Il componente normale dellaccelerazione ha il verso della normaleprincipale, cioe` e` diretto verso la concavita` della traiettoria.

7. Accelerazione dei sistemi di punti

A

B

P

r

r

v

ddt

Fig. 3.28

Ci limitiamo a considerare il moto dei sistemi rigidi. Nelmoto rigido traslatorio tutti i punti, ad un certo istante, hannola stessa velocita`; essi avranno quindi, in ogni istante, la stessaaccelerazione. Nel moto rigido rotatorio latto di moto, comeabbiamo visto, e` dato dalla relazione:

v = r,che derivata rispetto al tempo da`:

a =d

dt r + r = d

dt r + ( r). (38)

Il vettore d/dt, diretto lungo lasse di rotazione, si chiamaaccelerazione angolare e si indica con :

=d

dt.

Laccelerazione angolare va misurata in rad/s2. I termini

d

dt r, ( r) = v,

rappresentano rispettivamente laccelerazione tangenziale e lac-celerazione centripeta; questultima e` ortogonale allasse di rota-zione, gura 28.

Nel moto rigido polare laccelerazione e` data formalmentedalla (38) in cui pero` si deve tenere conto che varia, istanteper istante, oltre che in modulo anche in direzione.

Nel moto rigido rototraslatorio, essendo:

v = vO + (P O) = vO + rO,derivando rispetto al tempo, si ha:

a = aO +d

dt rO + ( rO). (39)

Laccelerazione e` somma dellaccelerazione di O e dellaccelera-zione del moto rotatorio attorno ad un asse passante per O.


Esempi

4. Una particella si muove su una circonferenza di raggio R, con legge oraria:

R = s =1

2bt2, =

1

2Rbt2,

con b costante. Determinare laccelerazione, la velocita` angolare e laccelera-zione angolare.

Il moto non e` uniforme, dunque laccelerazione ha una componente tan-genziale ed una componente normale, centripeta. Dalla precedente, derivandorispetto al tempo, si ha s = bt e s = b, pertanto

a =dv

dt= s = b, an =

v2

R=

s2

R=

b2t2

R.

La velocita` angolare e laccelerazione angolare risultano:

= =1

Rbt, = =

b

R.

5. Una particella compie un moto cicloidale; determinarne velocita` e acce-lerazione.

O

P

x

y

Cr

x

y

Fig. 3.29

Le equazioni del moto, gura 29, sono date da:

x = r( sin), y = r(1 cos),dove = t. Derivando rispetto al tempo, si ottiene

x = r(1 cost), y = r sint;quindi:

v2 = x2 + y2 = 22r2(1 cost).La velocita` della particella e` massima nel punto piu` alto della traiettoria,si annulla quando transita in corrispondenza alla base del moto. Derivandoancora, si ottengono le componenti cartesiane dellaccelerazione:

x = 2r sint, y = 2r cost,

da cui si ottiene il modulo:

a =

x2 + y2 = 2r.

Laccelerazione e` centripeta. Tenendo presente le (37), i moduli delle accele-razioni tangenziale e normale risultano:

at =dv

dt=

d

dt

[r

2(1 cost)]

= 2rsint

2(1 cost),

an =v2

R= 2r

cost 12(1 cost)

,

dove 1/R e` dato dalla (34).

In conformita` al risultato trovato piu` sopra, si ha ancora:

a =

a2t + a2n =

2r.

8. Cenno sul problema inverso della cinematica 63

8. Cenno sul problema inverso della cinematica

Questo problema sara` svolto con ogni dettaglio in dinamica;tuttavia, data la sua importanza, conviene formularlo n da ora.

Abbiamo ricavato velocita` ed accelerazione mediante succes-sive derivazioni rispetto al tempo del vettore posizione r(t). Dalladenizione di accelerazione si ha:

dv = a(t)dt

che, come e` noto dallanalisi, rappresenta una equazione dieren-ziale che si puo` integrare, nota laccelerazione a(t) e la velocita` v0iniziale del punto allistante t = 0, assegnata nel problema comecondizione iniziale. In simboli:

v =

a(t)dt + v0; (40)

si rammenti che nelloperazione di derivazione le costanti scom-paiono e di cio` bisogna tener conto nellintegrazione che, comenoto, e` loperazione inversa.

La (40) e` una equazione vettoriale che, in un problema tridi-mensionale, si scinde nelle tre equazioni scalari:

x(t) =

x(t)dt + x0,

y(t) =

y(t)dt + y0,

z(t) =

z(t)dt + z0.

(41)

Una volta ricavata la velocita`, essendo:

dr(t) = v(t)dt,

con una successiva integrazione si ricava il vettore posizione:

r(t) =

v(t)dt + r0;

anche qui r0 e` la posizione del punto allistante t = 0.Questa equazione, in modo analogo a quanto detto per la

velocita`, si traduce nelle tre relazioni scalari:

x(t) =

x(t)dt + x0,

y(t) =

y(t)dt + y0,

z(t) =

z(t)dt + z0,

(42)

che integrate danno le equazioni dei moti componenti.

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