1. 2 La cinematica Velocità Accelerazione Il moto del proiettile Salto verticale La lezione di...

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Corso di Fisica-

CinematicaProf. Massimo Masera

Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia FarmaceuticheAnno Accademico 2011-2012

dalle lezioni del prof. Roberto CirioCorso di Laurea in Medicina e Chirurgia

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La cinematica

Velocità

Accelerazione

Il moto del proiettile

Salto verticale

La lezione di oggi

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Meccanica e cinematica Meccanica: studio del moto gli oggetti

forze esterne dimensioni massa distribuzione della massa

Cinematica (dal greco kinema, moto):

studio del moto indipendentemente da cosa lo ha causato unidimensionale: moto lungo una linea retta moto uniforme e accelerato

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Posizione, cammino, spostamento

Velocità, accelerazione

Il moto rettilineo uniforme in 2D

Il generico moto in 2D


5

Sistema di coordinate cartesiane

origine

0

verso

direzione

unità di misura

m1 2 3 4 5 6 7 8 9

scala

6


0 m1 2 3 4 5 6 7 8 9

xfinale è maggiore di xiniziale

xfinale > xiniziale

xf > xi

7


xfinale è minore di xiniziale

xfinale < xiniziale

xf < xi

0m 9 8 7 6 5 4 3 2 1

8

Posizione

La persona in figura è alla posizione x = 3 m

0m 9 8 7 6 5 4 3 2 1

9

Cammino

CAMMINO (quantità sempre positiva)

lunghezza complessiva del tragitto

Casa amico Casa tua Drogheria

Cammino = 2.1 km + 4.3 km = 6.4 km

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Spostamento

SPOSTAMENTO (positivo o negativo)

Cambiamento di posizione = (Posizione finale – Posizione iniziale)

Dx = xfinale – xiniziale

Dx = xf – xi

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EsercizioUn giocatore di scacchi esegue la sua mossa,

spostando la regina di 4 caselle verso nord e di 2

caselle verso ovest (lato casella = 2.5 cm).

Determinare il cammino totale

percorso dalla regina e lo spostamento.

N

E

S

W

cammino totale = 6 caselle

= 6 x 2.5 cm = 15 cmspostamento = √ 16 + 4 = 4.5 caselle = 4.5 x 2.5 cm = 11.25 cm

http://colorideibambini.it/Giovani/Scacchi/Scacchi/images/completa.png

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13

•Velocità media

Unità di misura: m/s

Moto rettilineo. Legge oraria

• Descrive la posizione di un oggetto in funzione del tempo

• A fianco è data una rappresentazione grafica di un esempio di legge oraria

• Questa rappresentazione è utile per introdurre il concetto di velocità

12

12

tt

xx

t

xv

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Velocità media

La velocità è una grandezza vettoriale.

è la pendenza della retta che unisce due punti sulla curva x(t)

v

m/s23

6

:esempioNell'

s

mv

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Velocità media

Dimensioni: [L T-1]Unità di misura (Sistema Internazionale): m

s-1

NOTATempo impiegato è sempre > 0Spostamento può essere < > 0

Velocità media può essere < > 0

Moto rettilineo lungo x

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Velocità istantanea

Il corpo varia la sua posizione in modo continuo da un punto al successivo, percorrendo in “piccoli” intervalli

di tempo “piccole” traiettorie.

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Accelerazione media

if

if

inizialefinale

inizialefinalem t- t

v- v

t- t

v- v

t

v a

impiegato tempo

velocita' media oneaccelerazi ]T [L

[T]

]T [L 2--1

Unità di misura (Sistema Internazionale): m s-2

La interpreto come:

in 1 secondo, la velocità è variata di tot metri al secondo

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Accelerazione istantanea

NOTAQuando parleremo di velocità e accelerazione, intenderemo SEMPRE velocità istantanea e accelerazione istantanea.

Se si tratta di velocità (accelerazione) media,

lo si deve indicare esplicitamente

costa at; v v 0

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Le equazioni del moto uniformemente accelerato

at v v 0

a

t

v

t

x

t

v0

x0

a = cost

v aumenta linearmente

con il tempo

x aumenta con il quadrato del

tempo

tv xx 0

200 at

2

1 t v xx

at2/1v at vv1/2 v 000

20

Velocità vs. spazio

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EsercizioUn bambino lancia dal balcone una pallina verso

l’alto, verticalmente, con velocità iniziale di 6 m/s.

Determinare:

l’altezza massima raggiunta dalla pallina

(spazio totale percorso dall’oggetto in salita)

il tempo impiegato dalla pallina per raggiungere la massima altezza

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EsercizioSoluzione

Per determinare l’altezza massima raggiunta dalla pallina nel suo moto verticale, si prende in considerazione la legge oraria del moto uniformemente accelerato (con so = 0; a = -g = -9.8 m/s2 )

s = hmax = (6 m/s)2 / (2×9.8 m/s2) = 1.8 m

Il tempo impiegato dalla pallina a raggiungere l’altezza massima si ricava da:

v0

-g

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Vettori posizione e spostamento

Vettore Posizione

ovvero

sono nel punto P1

P1

Vettore Spostamento

ovvero

vado da P1 a P2P1

P2

if r - r r

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Vettore velocità

t

r vm

Dt è uno scalare

e sono parallelimv

r

t

rlim v

0t

La velocità istantanea è tangente alla traiettoria

in ogni istante

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e sono paralleli...

Il vettore accelerazione

t

v a m

t

vlim a

0t

v

... ma ... cosa importantissima ... mentre segue il moto, in generale non lo segue l’accelerazione non è generalmente parallela alla velocità

a v

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EsercizioUn camion si muove di moto rettilineo uniforme

percorrendo una distanza pari a 110 km in 57 minuti.

Determinare la velocità media del camion.

spazio percorso

Dx = 110 km

tempo impiegato

Dt = 57 min

= (57 / 60) = 0.95 h

Soluzione

vmedia = Dx / Dt

= 110 km / 0.95 h

= 116 km/h

http://www.google.it/imgres?imgurl=http://www.liuc.it/ricerca/clog/icone/Camion_1.jpg&imgrefurl=http://www.liuc.it/ricerca/clog/clog_var.asp?tipo=iconelista&scheda=4&usg=__OGQM6t7gfLD4nEXku_ymJ2GqGsQ=&h=174&w=208&sz=10&hl=it&start=1&itbs=1&tbnid=qPwGdKP-ZjlqTM:&tbnh=88&tbnw=105&prev=/images?q=camion&hl=it&tbo=1&imgtype=clipart&tbs=isch:1

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28

Il moto in due dimensioni

e.g.: il moto del proiettile

Si applica a qualunque corpo sottoposto solo alla forza gravitazionale (forza peso) accelerazione costante

Proiettile Generico corpo

Il segreto:

Applicare le equazioni del moto unidimensionale

lungo i due assi cartesiani

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Moto rettilineo uniforme in 2D

30


O

31


O

32


O

A

33


A

O

costante v0

34


35


36


-100 ms 0.26 costante v v

s 5.0 t Condizioni al contorno

m 1.3 (5.0s))ms (0.26 t v d -10

m 1.2 )25 (cosm) (1.3 θ cos dx 0

m 0.55 )25(sen m) (1.3 θsen dy 0

Metodo ‘1’

37

-10-100x ms 0.24 )25 (cos)ms (0.26 θ cos v v

-10-100y ms 0.11 )25(sen )ms (0.26 θsen v v

m 1.2 s) (5)ms (0.24 t vx -10x

m 0.55 s) (5)ms (0.11 t vy -10y

-100 ms 0.26 costante v v

s 5.0 t

Moto rettilineo uniforme

in 2D

Metodo ‘2’

Condizioni al contorno

38

Moto rettilineo uniforme in 2D:

equazioni generali

t v xx 0x0 t v yy 0y0

39

Composizione dei moti: esempio

Una persona sta scendendo dalla scaletta di un vagone merci. Il vagone si muove di moto rettilineo uniforme con v=0.70 m/s, e la persona scende con moto rettilineo uniforme con v=0.20 m/s.

Quali sono modulo e verso della velocità della persona rispetto al suolo? Vts

velocità del treno rispetto al suolo

Vpt velocità della persona

rispetto al treno

Vps velocità della persona rispetto al

suolo

q

40

EsercizioSoluzione

Si esprimono in componenti i vettori velocità del treno rispetto al suolo (vts) e della persona rispetto al treno (vpt):

Il vettore velocità della persona rispetto al suolo è quindi

Modulo e verso di questo vettore sono dati rispettivamente da …

m/s 0.70 v ps x,

m/s 0.20 - v ps y,

o1-

-1

ps x,

ps y, 16 - 0.2857) (-atan ms 0.70

ms 0.20-atan

v

vatan θ

1-222ps y,

2ps x,psps ms 73.0)20.0()70.0( v v v v

41






42

Genericomoto in 2D con

accelerazione costante

NotaQuesto sistema di equazioni

permette la soluzione di qualunque problema di

cinematica in 2 dimensioni (accelerazione costante)

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44

Il moto di un proiettileUn proiettile è un qualunque corpo che, avendo

una certa velocità iniziale, sia sottoposto esclusivamente al campo gravitazionale

45

Moto di un proiettile Ipotesi:

trascuro la resistenza dell’aria (piuma vs. ferro) L’accelerazione di gravità è costante (quota) trascuro la rotazione della Terra

(missili intercontinentali)

Ho solo accelerazione di gravità

(sulla Terra g = 9.81 ms-2), diretta verso il basso

46

Moto di un proiettile

L’accelerazione è

uguale nei 2 casi

Relatività galileiana Caduta di un grave

47

Equazionidel moto di un

proiettile

t v xx 0x0

20y0 gt

2

1 t v yy

gt -v v 0yy 0xx v v

L’ipotesi è che:-2

y ms 9.81- g- a

48

Lancio ad angolo 0o

V0,x

tvx 0x2gt

2

1 h y

gt - v y 00xx v v v

49

La traiettoria è parabolica

tvx 0x

2gt 2

1 h y

bx ay 2parabola

50

La gittataDomanda:

Dove atterra un proiettile lanciato orizzontalmente,da altezza h e con velocità v0x?

Risposta:

Posso calcolare la distanza, imponendo la condizione che la yfin del proiettile sia 0

tvx 0x

2gt 2

1 h y

tvx 0x

2gt 2

1 h 0

tvx 0x

g

2h t

g

2hvx 0x

Gittata: (velocità scalare media) x (tempo di caduta)

51

n. 54, pag. M115 Walker

Un lanciatore del peso lancia il peso con una velocità iniziale dimodulo 3.50 m/s da un’altezza di 1.50 m dal suolo. Calcolare qual è lagittata del lancio se l’angolo è:

1) 20°

2) 30°

3) 40o

Esercizio

52

SoluzioneUn lanciatore del peso lancia il peso con una velocità iniziale di modulo3.5 m/s da un’altezza di 1.5 m dal suolo. Calcola qual è la gittata dellancio se l’angolo è:1) 20o

2) 30o

3) 40o

t) θ cos (v x 0

) t(g 1/2 - t ) θsen (v y 0 200

t) (3.29 x 0 1.5 - t ) (1.2 - ) t(g 1/2 2

s 0.69 t

Risolvo per q = 20o

Per q = 30o

Per q = 40o

s 0.76 t

s 0.83 t

53

Lancio con un angolo qualunque e x0=y0=0

t cosθvx 0

20 gt

2

1 t senθvy

gt -senθv v 0y

cosθv v 0x Gittata (y=0):

54

Lancio con un angolo qualunquee con posizione iniziale qualunque

gt -senθv v 0y

cosθv v 0x

Uguale al caso precedente,

ma ri-compaiono x0 e y0

t cosθ v xx 00

200 gt

2

1 t senθ v y y

55

Moto parabolico(Moto di un proiettile con e senza aria)

56

EsercizioUn delfino salta dall’acqua con v0 = 12 ms-1, verso l’allenatrice che è a

d = 5.50 m e h = 4.10 m. Nell’istante in cui il delfino esce dall’acqua, l’allenatrice lascia cadere una palla.

Dimostrare che il delfino riesce a prendere la palla.

57

EsercizioSoluzione

o36.7 m 5.50

m 4.10arctan

d

harctan θ

Comincio a calcolare q

gt -senθv v d 0dy

cosθv v d 0dx

t cosθ v x d 0d

2d 0d gt

2

1 t senθ v y

2 p gt

2

1 h y

58

EsercizioIl delfino raggiunge la distanza della palla quando

xd = d = 5.50m

gt -senθv v d 0dy cosθv v d 0dx

t cosθ v x d 0d

2d 0d gt

2

1 t senθ v y

2p gt

2

1 h y


s 0.572 ms 9.62

m 5.50

cosθv

x t

1-d 0

d

2d 0d gt

2

1 t senθ v y

2p gt

2

1 h y

... e questo evento succede al tempo t = 0.572 s

59

EsercizioAl tempo t = 0.572 s il delfino si troverà ad

un’altezza...


t cosθ v x d 0d

2d 0d gt

2

1 t senθ v y

2p gt

2

1 h y

gt -senθv v d 0dy

cosθv v d 0dx

t cosθ v x d 0d

2p gt

2

1 h y

m 2.50 m 1.60 - m 4.10 s) (0.572)ms (9.81 2

1 s) 0.572())sen(36.7ms (12.0 y 22-o1-

d

Al tempo t = 0.572 s il delfino si troverà ad un’altezza di 2.50 m

60

EsercizioAl tempo t = 0.572 s la palla si troverà ad

un’altezza...

gt -senθv v d 0dy

cosθv v d 0dx

t cosθ v x d 0d

2d 0d gt

2

1 t senθ v y

2p gt

2

1 h y

gt -senθv v d 0dy

cosθv v d 0dx

t cosθ v x d 0d

2d 0d gt

2

1 t senθ v y

m 2.5 m 1.60 - m 4.10 s) (0.572)s (9.81 2

1 m 4.10 y 22-

p

Al tempo t=0.572 s la palla si troverà ad un’altezza di 2.50 m

61

Moto circolare uniforme (1)

Un oggetto che si muove lungo una traiettoria circolare con velocità costante in modulo è in moto circolare uniforme.

Il vettore velocità varia continuamente la propria direzione.

Quindi l’oggetto è sottoposto ad accelerazione.

Il vettore accelerazione è diretto verso il centro della circonferenza accelerazione centripeta

Il tempo impiegato a descrivere una circonferenza di raggio r è detto periodo

62


xP

yP

Questi calcoli non sono presenti nei testi consigliati

63


Modulo dell’accelerazione centripeta


64


L’accelerazione è effettivamente diretta verso il centro della circonferenza. Infatti:

Quindi = il vettore accelerazione ha direzione radiale ed è rivolto al centro.


65

Accelerazione radiale e tangenziale

In generale, la velocità cambia per intensità e direzione lungo la traiettoria Vettore velocità: sempre tangente alla traiettoria Vettore accelerazione può essere espresso come:

Il raggio dei cerchi tratteggiati è il raggio di

curvatura della traiettoria nei punti A, B e C

con versore tangenziale versore normale alla traiettoria, diretto verso il centro di curvatura

Accelerazione tangenziale

Accelerazione radiale

La dimostrazione è nelle 2 slide seguenti (non c’è nel testo)

66

f

x

yC


Ora occorre dimostrare che df/dt=v/R ….

67

f

x

yC

f+df

df R


Nel tempo dt, il punto percorre un cammino elementare ds=vdt arco di circonferenza ds=Rdf

(1)

(2)

Quindi, sostituendo la (2) nell’espressione ricavata per l’accelerazione, si ottiene:

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Moto armonico (1)

xP

yP

Nel moto circolare uniforme la velocità angolare è costante:

In un periodo T viene descritto un angolo giro, quindi

La proiezione del punto P sull’asse x (o y) descrive un moto armonico:

Questo argomento non è presente nei testi consigliati

69

Moto armonico (2)

70

Moto relativo unidimensionale

Se i due sistemi di riferimento si muovono a velocità costante l’uno rispetto all’altro, si ha:

L’accelerazione del punto materiale P è la stessa nei due sistemi di riferimento

71

Moto relativo bidimensionale

derivando rispetto al tempo, si trova:

Se è costante, allora:

72

Con la cinematica 2D risolvo il problema del moto di un proiettile

Prossima lezione: Le leggi di Newton

Riassumendo

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