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| Capitolo 6 | La descrizione del moto |

Il moto di un proiettile

Composizione dei motiAbbiamo studiato i moti unidimensionali di una particella. Ora estendiamo il discorso ai moti che avvengono in un piano, che sono moti bidimensionali.

Per descrivere un moto nel piano bisogna introdurre innanzitutto un sistema di coordinate bidimensionale. Scegliamo dunque un’ori-gine, O, e un verso positivo per l’asse x e per l’asse y, come mostrato in figura 1.

Consideriamo la situazione mostrata in figura 2a, che descrive un moto bidimensionale con velocità costante. Una tartaruga parte dall’origine nell’istante t = 0 e si muove con velocità scalare costante v0 = 0,26 m/s nella direzione che forma un angolo di 25° al di sopra dell’asse x.Di quanto si è spostata la tartaruga nelle direzioni x e y dopo 5,0 secondi?Innanzitutto, osserviamo che la tartaruga percorre in linea retta una distanza:

d = v0t = (0,26 m/s)(5,0 s) = 1,3 m

come indicato in figura 2a. Per la definizione di seno e coseno, possiamo scrivere:

x = d cos 25° = 1,2 m y = d sen 25° = 0,55 m

Un modo alternativo per affrontare il problema è quello di trattare separatamente i moti nelle due direzioni x e y. Per prima cosa determiniamo la velocità della tartaruga in ciascuna direzione; riferendoci alla figura 2b, vediamo che la componente x della velocità è:

v0x = v0 cos 25° = 0,24 m/s

e la componente y è:

v0y = v0 sen 25° = 0,11 m/s

Determiniamo ora la distanza percorsa dalla tartaruga in direzione x e in direzione y moltiplicando la velocità in ciascuna direzione per il tempo:

x = v0xt = (0,24 m/s)(5,0 s) = 1,2 m y = v0yt = (0,11 m/s)(5,0 s) = 0,55 m

Questi risultati sono naturalmente in accordo con quelli ottenuti prima.

Per riassumere, possiamo considerare il moto della tartaruga come una combinazione di moti separati in dire-zione x e in direzione y.

+x

+y

x

y

O

figura 1

Sistema di coordinate bidimensionale

x

y

y = d sen u d = v0t

x = d cos u

a)

u = 25°O

y = v0yt

x = v0xtx

y

b)

u = 25°v0y = v0 sen u

v0x = v0 cos u

v0

O

figura 2

Moto bidimensionale con velocità costante

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In generale, se supponiamo che la tartaruga parta da una posizione x = x0 e y = y0 nell’istante t = 0, possiamo scrivere le equazioni del moto in x e in y:

x = x0 + v0xt y = y0 + v0yt

È merito di Galileo l’aver capito che la procedura che abbiamo appena applicato in una semplice situazione vale per qualunque moto nel piano: i moti lungo l’asse x e lungo l’asse y sono indipendenti e la loro compo-sizione fornisce il moto bidimensionale complessivo.Questo principio di indipendenza dei moti è alla base della descrizione del moto in due dimensioni.

Le leggi del moto di un proiettileApplichiamo ora l’indipendenza dei moti orizzontale e verticale al moto dei proiettili.Ma che cosa intendiamo in fisica con il termine “proiettile”?Un proiettile è qualunque oggetto scagliato, battuto o lanciato in qualsiasi altro modo e lasciato poi libero di seguire una traiettoria determinata soltanto dall’azione della gravità. Avremo quindi a che fare con proiettili in una grande varietà di situazioni fisiche.Nello studio del moto di un proiettile facciamo le seguenti ipotesi:

• la resistenza dell’aria viene ignorata;

• l’accelerazione di gravità è costante, verso il basso e ha modulo uguale a 9,81 m/s2;

• la rotazione della Terra viene ignorata.

Consideriamo il moto di un proiettile, ad esempio una palla da tennis, lanciato con un angolo u rispetto all’orizzontale, come in figura 3.Supponiamo che il proiettile parta da un punto di coordinate (x0 ; y0). Poiché abbiamo scelto l’asse y con il verso positivo in alto, la compo-nente y dell’accelerazione è negativa:

ay = -g = -9,81 m/s2

La gravità non produce alcuna accelerazione in direzione x. Perciò la componente x dell’accelerazione è zero:

ax = 0

Le componenti della velocità iniziale _ › v 0 sono:

v0x = v0 cos u v0y = v0 sen u

Il proiettile ha un moto uniforme con velocità v0x = v0 cos u nella direzione x e un moto uniformemente acce-lerato con velocità iniziale v0y = v0 sen u e accelerazione ay = -g nella direzione y.Le sue leggi del moto sono dunque:

Moto di un proiettile

x = x0 + v0xt y = y0 + v0xt - 1 __

2 gt2

u u vx = v0x vy = v0y - gt

Se scegliamo gli assi in modo che il proiettile parta dall’origine, avremo allora x0 = y0 = 0 e le leggi del moto diventano:

Moto di un proiettile (partenza dall’origine)

x = v0xt y = v0xt - 1 __

2 gt2

u u vx = v0x vy = v0y - gt

(x0 ; y0)

O

ax = 0ay = -g

x

y

a

v0

v0x

v0yu

figura 3

Lancio di un oggettoUna palla da tennis viene lanciata con un angolo u rispetto all’orizzontale.

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ESERCIZI

1. Un proiettile viene lanciato dall’origine con velocità iniziale di modulo 20,0 m/s e con un angolo di 35,0° sopra l’orizzontale. Determina le posizioni x e y del proiettile nell’istante t = 0,500 s.

Calcoliamo innanzitutto le componenti cartesiane della velocità istantanea:

v0x = v cos u = (20,0 m/s)0,819 = 16,4 m/s

v0y = v sen u = (20,0 m/s)0,574 = 11,5 m/s

Sostituendo il valore di t nelle relazioni x = v0xt e y = v0yt - 1

__ 2

gt2, otteniamo:

x = v0xt = (16,4 m/s)(0,500 s) = 8,20 m

y = v0yt - 1

__ 2

gt2 = (11,5 m/s)(0,500 s) - 1

__ 2

(9,81 m/s2)(0,500 s)2 = 4,52 m

2. Determina le componenti x e y della velocità del proiettile dell’esercizio 1 nell’istante t = 0,500 s.

Sostituendo il valore di t nelle relazioni vx = v0x e vy = v0y - gt, otteniamo:

vx = 16,4 m/s

vy = 11,5 m/s - (9,81 m/s2)(0,500 s) = 6,59 m/s

Traiettoria di un proiettileLa figura 4 mostra il moto del proiettile trattato negli esercizi precedenti, lanciato dall’origine con velocità iniziale di modulo 20,0 m/s e con un angolo di 35,0° sopra l’orizzontale.Le posizioni mostrate nel diagramma corrispondono agli istanti t = 0,1 s; 0,2 s; 0,3 s; …Il punto rosso indica la posizione considerata negli esercizi 1 e 2.

O x (m)

y (m)

654

7

32

1

5 10 15 20 25 30 35

figura 4

Istantanee di una traiettoria

Notiamo che i punti riportati in figura non sono ugualmente spaziati, anche se si riferiscono a intervalli di tempo uguali. Infatti i punti sono raggruppati nella zona più alta della traiettoria e ciò significa che il proiettile resta una frazione di tempo relativamente lunga nei pressi del punto più alto. La traiettoria mostrata in figura ha un aspetto caratteristico: si tratta di una parabola. La traiettoria del moto di un proiettile è infatti sempre una traiettoria parabolica, come aveva già scoperto Galileo. Osserviamo che, man mano che il proiettile sale in alto, la componente lungo y della sua velocità diminuisce, fino a che, dopo essersi annullata per un istante in corrispondenza dell’altezza massima, cambia segno quando il proiettile comincia a cadere. L’altezza mas-sima si trova quindi imponendo la condizione vy = 0, come vedremo nel problema che segue.

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Problem solving

Un colpo difficileUn giocatore di golf lancia una pallina con un angolo di 54,0° sopra l’orizzontale e una velo-cità v0 = 13,5 m/s.Qual è l’altezza massima raggiunta dalla pallina?

La figura mostra la pallina che parte dall’origine, x0 = 0, y0 = 0, con un angolo di lancio di 54,0°, e che descrive una parabola.

O

6

4

2

4 8 12 16Distanza, x (m)

Alte

zza,

y (

m)

54,0°

L’altezza massima, ymax, si trova imponendo la condizione di annullamento della componente verticale della velocità, cioè vy = 0. Dalla relazione vy = v0y - gt = 0 si ricava il tempo t che,

sostituito in y = v0yt - 1 __

2 gt2, permette di determinare ymax.

Dall’equazione vy = v0y - gt, imponendo la condizione vy = 0 ricaviamo t:

v0y - gt = 0 → t = v0y ___ g

Calcoliamo v0y e sostituiamo in t = v0y ___ g :

v0y = v0 sen u da cui t = v0 sen u

_______ g

Inseriamo questo valore di t nell’equazione y = v0yt - 1 __

2 gt2 e determiniamo ymax:

ymax = (v0 sen u) v0 sen u

_______ g

- 1 __

2 g a v0 sen u

_______ g

b2 =

v20 sen2 u

________ 2g

Sostituiamo i valori numerici:

ymax = (13,5 m/s)2 (sen2 54,0°)

___________________ 2(9,81 m/s2)

= 6,08 m

Se la pallina atterra sul green allo stesso livello da cui è partita, dopo aver percorso una distanza orizzontale di 17,8 m, la sua coordinata x in corrispondenza dell’altezza massima è x = 17,8 m/2 = 8,90 m.

Dopo quanto tempo la pallina ricade a terra? [2,24 s]

Descrizione del problema

Strategia

Soluzione

Osservazioni

Prova tu

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Gittata di un proiettileLa gittata, o range, R di un proiettile è la distanza orizzontale che il proiettile percorre prima di atterrare.Consideriamo il caso mostrato in figura 5, nel quale un proiettile viene lanciato con velocità v0 con un angolo u rispetto all’orizzontale.Si può dimostrare che la gittata di un proiettile è data dalla formula seguente:

Gittata di un proiettile

R = v2

0 __ g sen 2u

Poiché R varia con l’angolo come sen 2u, la gittata massima si ottiene quando sen 2u è massimo, cioè quando sen 2u = 1 (fig. 6). Poiché sen 90° = 1, segue che U = 45° è l’angolo che rende massima la gittata.La gittata massima è quindi:

Rmax = v2

0 __ g

ESERCIZIo

3. In una partita di calcio il pallone viene calciato dal portiere e ricade a una distanza orizzontale di 60 m. Se il pallone è stato lanciato con un angolo di 40° sopra l’orizzontale, qual era il modulo della sua velocità iniziale?

Dall’equazione R = v2

0 __ g sen 2u ricaviamo v0:

v0 = √_____

gR ______

sen 2u 

Sostituendo i valori numerici otteniamo:

v0 = √____________

(9,8 m/s2)(60 m)

______________ sen 80°

= 24 m/s

Alte

zza,

y (

m)

Proiettili con u = 30° e u = 60° seguono traiettorie diverse, ma hanno la stessa gittata.

Proiettile con gittata massima.

Distanza, x (m)

u = 60°

u = 45°

u = 30°

O

15

12,5

10

7,5

5

2,5

40302010

figura 6

Gittata e angolo di lancio in assenza di resistenza dell’aria

x

y

OR

v0

u

figura 5

Gittata di un proiettile

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Lancio ad angolo zeroUn caso particolare del moto di un proiettile è quello in cui l’oggetto viene lanciato orizzontalmente, cioè in modo che l’angolo fra la velocità iniziale e l’orizzontale sia u = 0.Supponiamo che una pallina cada da un tavolo da ping-pong di altezza h con una velocità di modulo v0, come mostrato in figura 7.Se scegliamo il livello del suolo come y = 0 e il punto di rilascio della palla direttamente al di sopra dell’origine, la posizione iniziale della palla è data da:

x0 = 0 y0 = h

La velocità iniziale è orizzontale e corrisponde al caso u = 0. Di con-seguenza, la componente x della velocità iniziale è semplicemente il modulo della velocità iniziale:

v0x = v0 cos 0° = v0

e la componente y della velocità iniziale è zero:

v0y = v0 sen 0° = 0

Sostituendo questi valori di v0x e v0y nelle leggi del moto di un proiettile otteniamo i seguenti risultati per il lancio ad angolo zero (u = 0):

Moto di un proiettile (lancio ad angolo zero)

x = v0xt y = h - 1 __

2 gt2

u u vx = v0 = costante vy = v0y - gt

Osserviamo che la componente x della velocità rimane la stessa in ogni istante e che la componente y decresce linearmente nel tempo. Di conseguenza, x cresce linearmente nel tempo e y decresce proporzionalmente a t2. In figura 8 sono mostrate le posizioni, a intervalli di tempo uguali, di un proiettile lanciato ad angolo zero.

x

y

O

v0

h

figura 7

Proiettile lanciato orizzontalmente

Il moto orizzontale è uniforme (distanze uguali in tempi uguali)

Il moto verticale è accelerato (l’oggetto si muove più velocemente in ogni successivo intervallo)

O

x (m)

y (m)10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

21 643 5 7

figura 8

Traiettoria di un proiettile lanciato orizzontalmente

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Problem solving

Lascia cadere la palla!Un ragazzo sullo skateboard si muove a una velocità costante di modulo 1,30 m/s e lascia cadere una palla da un’altezza di 1,25 m rispetto al suolo. Posto x0 = 0 e y0 = h = 1,25 m, determina:a) x e y per t = 0,500 s;b) il modulo v della velocità e la direzione del moto della palla nell’istante t = 0,500 s.

La palla parte dal punto x0 = 0 e y0 = h = 1,25 m. La sua velocità iniziale è orizzontale, quindi v0x = v0 = 1,30 m/s e v0y = 0. Inoltre, essa accelera a causa della gravità nel verso negativo dell’asse y, per cui ay = -g, e si muove con velocità costante in direzione x, quindi ax = 0.

Le posizioni x e y sono date da x = v0t e y = h - 1 __

2 gt2 rispettivamente. Basta sostituire il tempo in

queste espressioni. Analogamente, le componenti della velocità sono vx = v0 e vy = -gt.

a) Sostituiamo t = 0,500 s nelle equazioni del moto di x e y:

x = v0t = (1,30 m/s)(0,500 s) = 0,650 m

y = h - 1 __

2 gt2 = 1,25 m -

1 __

2 (9,81 m/s2)(0,500 s)2 = 0,0238 m

Notiamo che in questo istante la palla è a poco più di 2 cm dal suolo.

b) Calcoliamo le componenti della velocità nell’istante t = 0,500 s, utilizzando vx = v0 e vy = -gt:

vx = v0 = 1,30 m/s vy = -gt = -(9,81 m/s2)(0,500 s) = -4,91 m/s

Utilizziamo queste componenti per determinare v e l’angolo u che individua la direzione del moto:

v = √______

vx2 + vy

2 = √___________________

(13,0 m/s)2 + (-4,91 m/s)2 = 5,08 m/s

u = tg-1a vy __ vx

b = tg-1a -4,91 m/s _________ 13,0 m/s

b = -75,2°

La posizione x della palla non dipende dall’accelerazione di gravità e la posizione y non dipende dalla velocità iniziale orizzontale v0 della palla. Ad esempio, se il ragazzo avesse una velocità maggiore quando lascia cadere la palla, la palla si muoverebbe più velocemente in direzione oriz-zontale e lo seguirebbe durante la sua caduta, ma il moto verticale non cambierebbe rispetto al caso analizzato; la palla cadrebbe a terra esattamente nello stesso tempo e rimbalzerebbe fino alla stessa altezza, come prima.

Dopo quanto tempo la palla tocca terra?[se si osserva il risultato ottenuto per la domanda a), è chiaro che il tempo di caduta è leggermente superiore a 0,500 s; ponendo y = 0 otteniamo il valore esatto del tempo: t = √

____ 2h/g = 0,505 s]

Descrizione del problema

Strategia

Soluzione

Osservazioni

Prova tu

x

y

O

h = 1,25 m

v0

g

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Risolvi i problemi

1. Vento in poppaUna barca a vela scivola spinta dal vento con una velo-cità costante di modulo 4,2 m/s in direzione 32° nord rispetto a ovest. Dopo un viaggio di 25 minuti quale distanza ha percorso la barca:a) verso ovest?b) verso nord?

[a) 5,3 km; b) 3,3 km]

2. Gita in collinaPartendo da ferma, un’automobile accelera a 2,0 m/s2 su una strada di collina inclinata di 5,5° sopra l’orizzontale. Se viaggia per 12 secondi, quale distanza percorre:a) in direzione orizzontale?b) in direzione verticale?

[a) 140 m; b) 14 m]

3. PRobLEMa SVoLTo

Una particella passa dall’origine di un sistema di rife-rimento con una velocità

_ › v = 6,2 m/s in direzione y e un’accelerazione

_ › a = -4,4 m/s2 in direzione x.a) Quali sono le posizioni lungo l’asse x e l’asse y dopo

5,0 s?b) Quali sono le velocità nella direzione x e nella dire-

zione y dopo lo stesso intervallo di tempo?c) La velocità della particella nel tempo aumenta,

diminuisce o prima aumenta e poi diminuisce?

SOLUZIONE

a) Il moto è uniformemente accelerato lungo l’asse x, mentre è uniforme lungo l’asse y.

Applica le leggi del moto per determinare le posizioni. Nella direzione x ottieni:

x = 1 __

2 axt

2 = 1 __

2 (-4,4 m/s2)(5,0 s)2 = -55 m

e nella direzione y:

y = vyt = (6,2 m/s)(5,0 s) = 31 m

b) Calcola la velocità lungo l’asse x:

vx = axt = (-4,4 m/s2)(5,0 s) = -22 m/s

La velocità lungo l’asse y si mantiene costante ed è vy = 6,2 m/s.

c) Il modulo della velocità totale è dato dall’espressione:

v = √______

vx2 + vy

2 = √________

(axt)2 + vy

2

da cui si puoi dedurre che la velocità della particella aumenta nel tempo.

4. L’elettrone nel tuboUn elettrone in un tubo a raggi catodici si sta muo-vendo orizzontalmente alla velocità di 2,10 · 107 m/s, quando le placche di deflessione gli forniscono un’ac-celerazione verso l’alto di 5,30 · 1015 m/s2.a) Quanto tempo impiega l’elettrone a percorrere una

distanza orizzontale di 6,20 cm?b) Qual è il suo spostamento verticale durante questo

tempo?[a) 2,95 ns; b) 2,31 cm]

5. angolo di lancio di un proiettileUn proiettile viene lanciato con una velocità iniziale di modulo v0. Nel punto di massima altezza la sua velocità è 1/2 v0. Qual è stato l’angolo di lancio del proiettile?

[60°]

6. auguri!Un tappo viene sparato da una bottiglia di champagne con un angolo di 35,0° sopra l’orizzontale. Se il tappo cade a una distanza orizzontale di 1,30 m dopo 1,25 s, qual è il modulo della sua velocità iniziale? [1,27 m/s]

7. Il volo del palloneUn pallone viene calciato con una velocità di modulo 9,85 m/s con un angolo di 35,0° sopra l’orizzontale. Se il pallone atterra allo stesso livello da cui era stato cal-ciato, per quanto tempo rimane in aria? [1,15 s]

8. PREVEDI/SPIEGaLanci una palla in aria con velocità iniziale di 10 m/s e un angolo di 60° sopra l’orizzontale. La palla ritorna al livello dal quale era partita in un tempo T. a) Quale dei diagrammi A, B, C riportati in figura

rappresenta meglio la velocità della palla in fun-zione del tempo?

b) Quale fra le seguenti è la spiegazione migliore per la risposta?1) La gravità determina un aumento del modulo

della velocità durante il volo.2) Nel punto di massima altezza il modulo della

velocità della palla è zero.3) Il modulo della velocità della palla diminuisce

durante il volo, ma non si annulla.

Vel

ocità

(m

/s)

15

10

5

0

A

B

C

TT

Tempo

12

[a) B; b) la 3; la 1 e la 2 sono false]

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9. PRobLEMa SVoLTo

Il prato a un livello più altoUn giocatore di golf colpisce una pallina con velocità iniziale di modulo 30,0 m/s e un angolo di 50,0° sopra l’orizzontale. La pallina atterra su un prato che è 5,00 m al di sopra del livello di quello dove era stata battuta.a) Per quanto tempo resta in aria la pallina?b) Quale distanza ha percorso la pallina in direzione

orizzontale quando atterra?c) Quali sono il modulo e la direzione della velocità

della pallina un istante prima dell’atterraggio?

6

5

4

3

2

1

Distanza

Alte

zza

(m)

50,0°

SOLUZIONE

a) Poni y = (v0 sen u)t - 1 __

2 gt2 = 5,00 m e sostituisci i

valori v0 = 30,0 m/s e u = 50,0°; ottieni l’equazione di secondo grado in t:

4,90t2 - 22,98t + 5,00 = 0

Risolvi l’equazione con la formula risolutiva:

t1,2 = 22,98 ± √

_______ 529 - 98 _________________

9,81

Nell’istante t = 0,229 s la palla si sta muovendo verso l’alto, nell’istante t = 4,46 s la palla sta scendendo. Scegli il secondo istante, t = 4,46 s.

b) Sostituisci t = 4,46 s nell’equazione x = (v0 cos u)t per calcolare la distanza percorsa dalla pallina in dire-zione orizzontale:

x = (30,0 m/s)(cos 50,0°)(4,46 s) = 86,0 m

c) Utilizza vx = v0 cos u per calcolare vx:

vx = (30,0 m/s)(cos 50,0°) = 19,3 m/s

Sostituisci t = 4,46 s in vy = v0 sen u - gt per deter-minare vy:

vy = (30,0 m/s)(sen 50,0°) - (9,81 m/s2)(4,46 s) = = -20,8 m/s

Calcola v e u:

v = √___________________

(19,3 m/s)2 + (-20,8 m/s)2 = 28,4 m/s

u = tg-1 a -20,8 m/s _________ 19,3 m/s

b = -47,1°

10. Palle di neveDelle palle di neve vengono lanciate con una velocità di modulo 13 m/s da un balcone alto 7,0 m rispetto al suolo. La palla A è lanciata diritta verso il basso; la palla B invece è lanciata in una direzione che forma un angolo di 25° sopra l’orizzontale.a) Quando le palle di neve cadono a terra, il modulo

della velocità di A è maggiore, minore o uguale al modulo della velocità di B? Giustifica la risposta.

b) Verifica la risposta al punto a) calcolando il modulo della velocità di atterraggio di entrambe le palle di neve.

[a) uguale; b) vA = vB = 18 m/s]

11. Determina la direzione del moto delle due palle di neve del problema precedente nell’istante in cui toccano terra. [uA = -90°; uB = -47°]

12. PREVEDI/SPIEGaDue tuffatori si lanciano orizzontalmente dalla spor-genza di una scogliera. Il tuffatore 2 si lancia con una velocità doppia di quella del tuffatore 1.a) Quando i tuffatori toccano l’acqua, la distanza oriz-

zontale percorsa dal tuffatore 2 è il doppio, quattro volte maggiore o uguale a quella percorsa dal tuffa-tore 1?

b) Quale fra le seguenti è la spiegazione migliore per la risposta?1) Il tempo di caduta è lo stesso per entrambi i

tuffatori.2) Lo spazio di caduta dipende da t2.3) Entrambi i tuffatori, in caduta libera, percor-

rono la stessa distanza.[a) il doppio; b) la 1; la 2 è corretta ma non pertinente;

la 3 è falsa]

13. PREVEDI/SPIEGaDue giovani tuffatori si tuffano da una piattaforma in un lago. Il tuffatore 1 si lascia cadere diritto verso il basso, mentre il tuffatore 2 prende la rincorsa sulla piattaforma e si lancia orizzontalmente con velocità iniziale di modulo v0.a) Al momento dell’entrata in acqua, la velocità del

tuffatore 2 è maggiore, minore o uguale rispetto a quella del tuffatore 1?

b) Quale fra le seguenti è la spiegazione migliore per la risposta?1) Entrambi i tuffatori sono in caduta libera,

quindi entrano in acqua con la stessa velocità.2) Quando entrano in acqua i due tuffatori hanno

la stessa velocità verticale, ma il tuffatore 2 ha una velocità orizzontale maggiore.

3) Il tuffatore che si lascia cadere verticalmente acquista una velocità maggiore rispetto a quello che si lancia orizzontalmente.

[a) maggiore; b) la 2; la 1 e la 3 sono false]

t1 = 0,229 s

t2 = 4,46 s

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14. Un brutto tiroUn arciere tira una freccia orizzontalmente verso un bersaglio lontano 15 m. L’arciere scocca la freccia esattamente in direzione del centro del bersaglio, ma lo colpisce 52 cm più in basso. Qual era il modulo della velocità iniziale della freccia? [46 m/s]

15. Le cascate VictoriaIl grande fiume Zambesi forma le imponenti cascate Victoria nell’Africa centro-meridionale, alte approssi-mativamente 108 m. Se, appena prima di precipitare nella cascata, il fiume scorre orizzontalmente con una velocità di 3,60 m/s, qual è il modulo della velocità dell’acqua quando colpisce il fondo? Assumi che l’ac-qua sia in caduta libera. [46,2 m/s]

16. Gravità su ZirconUn astronauta sul pianeta Zircon lancia un sasso oriz-zontalmente con una velocità di modulo 6,95 m/s. Il sasso, lanciato da un’altezza di 1,40 m dal suolo, atterra a una distanza orizzontale di 8,75 m dall’astro-nauta. Qual è il valore dell’accelerazione di gravità su Zircon? [1,77 m/s2]

17. Saltare un crepaccioUn alpinista nella traversata di un costone di ghiaccio si trova di fronte un crepaccio. Il lato opposto del cre-paccio è 2,75 m più in basso e dista orizzontalmente 4,10 m. Per attraversare il crepaccio, l’alpinista prende la rincorsa e salta in direzione orizzontale. a) Qual è la minima velocità iniziale necessaria per

attraversare con sicurezza il crepaccio? b) In che punto atterra l’alpinista, se la sua velocità

iniziale è 6,00 m/s?c) Qual è la sua velocità nell’istante in cui atterra?

x

h

v0

d

y

O

g