Cinematica 2d - Corso di Laurea in...

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Cinematica 2d

Monaco Alfonso

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Moto parabolico n  Il moto nelle direzioni X e Y possono essere separati n  Nella direzione X il moto è rettilineo uniforme n  Nella direzione Y il moto è uniformemente accelerato (per effetto

della gravità) n  Questi due moti combinati danno una traiettoria parabolica

X

Y

V0Y

A

V0

V0X

y = V0Y/V0X *x – g*x2/(2*V0X2)

x (t) = V0X*t = V0*CosA*t;

y (t) = V0Y*t – g*t2/2 = V0*SinA*t – g*t2/2;

g

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Esercizio (traccia)

n  Un sasso viene lanciato con una velocità di modulo pari a v = 17 m/s e con un angolo di q = 58° sopra l’orizzontale.

n  Trascurando la resistenza dell’aria, determinare il tempo impiegato a raggiungere la massima altezza.

n  Qual è la massima altezza e la sua distanza dall’origine?

Fisica con elementi di matematica - Cinematica 2D 4

Esercizio (soluzione)

1.  |V0| = 17 m/s 2.  Angolo A = 58°

X

Y

V0Y

A

h V0

L

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Esercizio (soluzione) 1.  |V0| = 17 m/s 2.  Angolo A = 58°

•  t per raggiungere la max altezza = ?

La massima altezza viene raggiunta quando la componente lungo Y della velocità è nulla!!!

VY = V0Y – g t =

X

Y

V0Y

A

h

V0*Sen(A) – g*t = 0

V0

t = V0*SenA /g = 17 Sen (58°)/9.8 = 1.47 s

L

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•  h = ?, L = ?

Componente X: moto rettilineo uniforme

L = V0X t = V0*Cos(A)*t = 17 * Cos(58°) * 1.47 = 13.24 m

X

Y

V0Y

A

h V0

L

V0X

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•  h = ?, L = ?

X

Y

V0Y

A

h V0

L

V0X

Componente Y: moto rettilineo uniformemente ritardato

h = V0Y*t – g t2/2 = V0*SenA *t – g t2/2 = 17 * Sen(58°) * 1.47 – 9.8 * 1.472 /2 = 10.60 m

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Esercizio (traccia)

n  Una palla viene lanciata da una finestra dell’ultimo piano di un edificio. La palla ha una velocità iniziale v0 = 10 m/s ed una inclinazione verso il basso di 30.0°. La palla arriva al suolo dopo 3.0 sec. Determinare:

1) La distanza L misurata dalla base dell’edificio, in un piano orizzontale, del punto di impatto con il suolo;

2) L’altezza da cui viene lanciata la palla; 3) Il tempo impiegato dalla palla per raggiungere un punto

nell’aria, 10.0 m al di sotto del livello di lancio.

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Esercizio (soluzione) 1.  |V0| = 10 m/s 2.  Angolo A = - 30° 3.  Tempo di impatto al suolo T = 3.0 s

•  L = ?

X

Y

A

h

V0

L

10


•  L = ?

X

Y

A

h

V0

L

L = V0X*T = V0*Cos(A) *t = 10 * Cos (-30°) * 3.0 = 25.98 m

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•  h = ?

= - 10 * Sen(-30*) * 3.0 +9.8 32/2 = = 59.1 m

X

Y

A

h

h = - V0 *Sen(A) *T + g *T2/2 =

V0

L

0 = h + V0Y*T – g *T2/2

Quando la palla tocca terra la sua componente Y sarà y = 0 !!!

Condizione iniziale sulla componente Y

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•  t (y = 59.1 - 10) = ?

X

Y

A

h

V0

L

h + V0Y *t – g*t2/2 = 59.1 -10 In questo caso dobbiamo imporre y = 59.1 – 10 = 49.1 m !!!

g*t2/2 - V0Y*t -10 = 0

Equazione di secondo grado in t

Ammette DUE soluzioni:

1.  t = 1.01 s

2.  t = -2.02 s

NON ACCETTABILE

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Esercizio (traccia)

n  Un proiettile viene sparato con velocità iniziale v0 = 250 m/s da un’arma posta ad una altezza di 30 metri rispetto al terreno e con un angolo di inclinazione verso l’alto di 30°. Calcolare:

a)  per quanto tempo rimane il proiettile in aria; b)  a che distanza orizzontale il proiettile andrà a colpire il

terreno.

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1.  |V0| = 250 m/s 2.  Angolo A = 30° 3.  h0 = 30 m

•  T = ?

X

V0Y A

V0

L

V0X h

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Esercizio (soluzione) 1.  |V0| = 250 m/s 2.  Angolo A = 30° 3.  h0 = 30 m

•  T = ?

Moto lungo Y

y = y0 + V0Y *t – g*t2/2

X

V0Y A

V0

L

V0X

Equazione di secondo grado in T

h

h + V0 *Sen(A) T – g *T2/2 = 0

1.  T = 25.75 sec

2.  T = -0.24 sec

NON ACCETTABILE

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• L = ?

X

V0Y A

V0

L

V0X h

Componente X: moto rettilineo uniforme

L = V0X*T = V0 Cos(A)*T = 250 * Cos(30°) * 25.75 = 5575 m

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Esercizio (traccia) n  Un aereo di soccorso lancia un pacco viveri mentre vola

a 200 m di altezza rispetto al suolo e ad una velocità di 40.0 m/s. Determinare:

1.  dopo quanto tempo il pacco viveri raggiunge il suolo; 2.  a quale distanza il pacco raggiunge il suolo, rispetto al

punto in cui viene lasciato cadere (distanza sull’asse X). 3.  Con quale velocità la palla raggiunge il suolo

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1.  |V0| = 40 m/s 2.  h = 200 m

•  T = ?, L = ?

X

Y

h

V0

L


Esercizio (soluzione) 1.  |V0| = 40 m/s 2.  h = 200 m

•  T = ?, L = ?

X

Y

h

T = (2*h/g)0.5 = 6.39 sec

V0

L

0 = h – g*T2/2

Quando la palla tocca terra la sua componente Y sarà y = 0 !!! Notate che non c’è componente Y per la velocità!!!

Condizione iniziale sulla componente Y

L = V0*T= 255.6 m


Esercizio (soluzione) 1.  |V0| = 40 m/s 2.  h = 200 m

•  Vfin = ?

X

Y

h

V0

L Vfin

VfinX = V0 = 40 m/s

poiché non c’è accelerazione lungo X!!

VfinY = -g*T = -62,62 m/s

poiché non c’è velocità iniziale lungo Y

|Vfin| = (VfinX 2 + VfinY

2)0.5 = 74.31 m/s

Direzione Vfin = ArcTan(VfinY/VfinX) = -57.43°

In senso orario rispetto all’asse X positivo

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Moto circolare

X

Y Velocità angolare media: ω = Δθ/ Δt

Δθ Notate l’analogia con il moto rettilineo; al posto dello spostamento abbiamo la variazione dell’angolo

Vt

ω  può essere definita istante per istante se Δt tende a 0 In generale: vt = ω × R

R

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Moto in 2 D (circonferenza)

X

Y

θ

La velocità tangenziale vale (costante in modulo ma non in direzione): vt = ω*R ω = 2π/Τ = 2π*f

Vt

Moto circolare uniforme:

ω è costante in modulo direzione e verso. R

L’accelerazione è diretta verso l’interno della traiettoria (accelerazione centripeta).

Il suo modulo è ac = ω2*R = Vt2/R

ac Vale l’equazione oraria: θ = θ0 + ω t

Dipende dal cambio della direzione di vt e non dal suo modulo (che è costante)

Τ (periodo): tempo necessario a compiere un giro (s) f (frequenza): giri effettuati nell’unità di tempo = 1/T (s-1 = Hz)

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Esercizio (traccia)

n  Un disco in vinile viene messo in rotazione da un giradischi in modo da compiere 33,3 giri al minuto.

n  Calcolare la velocità angolare del disco. n  Uno dei brani musicali incisi sul disco dura 4

min e 12 sec. Calcolare quante rotazioni compie il disco durante la riproduzione del brano.

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X

Y

1.  Frequenza f = 33.3 min-1

2.  tbrano = 4 min 12 s = 252 s •  velocità angolare ω = ?, •  Numero di rotazioni in tbrano = ?

f = 33.3 min-1 = 33.3/60 s-1 = 0.556 s-1 = 0.566 Hz

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X

Y

1.  Frequenza f = 33.3 min-1 = 0.566 hz


Il moto è circolare uniforme (velocità angolare costante poiché la frequenza è costante)

ω = 2 π f = 6.28 * 0.556 = 3.49 radianti/s

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X

Y

1.  Frequenza f = 33.3 min-1 = 0.566 hz


Il numero di giri dipende dalla durata del brano e dalla frequenza!!!

n = tbrano* f = 252 * 0.556 = 142.2 giri

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Esercizio (traccia)

n  Un disco ha raggio R = 20 cm e ruota con velocità angolare costante ω = 10 rad/s.

n  Calcolare la velocità tangenziale di un oggetto fermo sul disco a distanza 10 cm dal centro e sul bordo.

n  Calcolare l’accelerazione centripeta a 10 cm dal centro e sul bordo.

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Esercizio (soluzione) 1.  ω = 10 rad/sec2.  R = 20 cm = 0.2 m 3.  r = 10 cm = 0.1 m

•  vt(r=10)=?, vt(r=20)=?

X

Y

vt

R vt

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X

Y

1.  ω = 10 rad/s2.  R = 20 cm = 0.2 m 3.  r = 10 cm = 0.1 m

•  vt(r=0.1)=?, vt(r=0.2)=?

Il moto è circolare uniforme (velocità angolare costante)

La velocità tangenziale dipende dalla posizione sul disco

vt(r=10) = ω*r = 10 * 0.1 = 1 m/s

vt(r=20) = ω*r = 10 * 0.2 = 2 m/s

vt

R vt

Anche se la velocità angolare è la stessa, oggetti a distanza diversa dal centro hanno velocità tangenziali diverse

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X

Y

•  ac(r=0.1)=?, ac(r=0.2)=?

Il moto è circolare uniforme (velocità angolare costante)

C’è solo accelerazione centripeta (poiché la velocità varia in DIREZIONE ma non in MODULO)

ac(r=0.1) = ω2*r = 102 * 0.1 = 10 m/s2

ac(r=0.2) = ω2*r = 102 * 0.2 = 20 m/s2

at R

Oggetti a distanza diversa dal centro hanno accelerazioni centripete diverse.

1.  ω = 10 rad/s2.  R = 20 cm = 0.2 m 3.  r = 10 cm = 0.1 m

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Esercizio (traccia) n  Un’auto procede in direzione Nord-Est con velocità

costante v = 75 km/h. all’istante t0 una seconda auto si trova a 20 km dalla prima in direzione Est. La seconda auto si muove, partendo da ferma, con accelerazione cotante. Sapendo che le due auto si incontrano dopo 20 min, determinare:

1.  Il punto P dove le due auto si incontrano; 2.  Il modulo e la direzione di a; 3.  Quanta strada ha percorso la seconda auto.

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v = 75 km/h = 21 m/s L = 20 km = 2*104 m t = 20 min = 1200 s

L

x

y

v a

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L

x

y

v a

vx = v*cos(45°) = 16 m/s vy = v*sen(45°) = 16 m/s P(x,y) = ?

La prima auto si muove di moto rettilineo uniforme Xp = vx*t = 16 * 1200 = 19200 m Yp= vy*t = 16*1200 = 19200 m

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L

x

y

v a

vx = v*cos(45°) = 16 m/s vx = v*cos(45°) = 16 m/s a = ?

La seconda auto si muove di moto rettilineo unif. accelerato x2 = L -1/2*ax*t2 y2 = 1/2*ay*t2 Imponiamo xp=x2 , yp=y2 , ax = 2*(L- xp)/t2 = 0.001 m/s2 ay = 2*(xp)/t2 = 0.027 m/s2

|a| = (ax

2 + ay2)1/2 = 0.027 m/s2

dir(a) = arctg(ay/ax) = 98°

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L

x

y

v a

vx = v*cos(45°) = 16 m/s vx = v*cos(45°) = 16 m/s s2 = ?

x2 = 800 m y2= 19200m s2= (x2

2 + y22)1/2 = 19217 m

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Esercizio (traccia) n  Una palla all’estremità di una fune ruota con moto

uniforme lungo una circonferenza orizzontale di raggio R = 0.250 m. Il piano della circonferenza è ad una altezza di 2.00 m dal suolo. La fune si rompe e la palla atterra a 4.00 m (misurati sull’orizzontale) dal punto in cui la fune si muove.

n  Calcolare l’accelerazione centripeta della palla durante il suo moto.

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Esercizio (soluzione) 1.  r = 0.25 m, h = 2 m

2.  L = 4 m •  accelerazione centripeta = ?

h

r dopo il distacco della pallina

X

Y

h

V0

L

V0

Per l’accelerazione centripeta ci serve la velocità V0

Usiamo il moto parabolico!!!!

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h


X

Y

h

V0

L

V0

Componente X: L = V0 T Componente Y: h - gT2/2 = 0

Chiamiamo T l’istante in cui la palla tocca terra

V0 = L / T T = (2 h / g)0.5

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h


X

Y

h

V0

L

V0

Combinandole otteniamo

V0 = (g L2 / 2h)0.5 = 6.26 m/s

Accelerazione centripeta

ac = V02/r = 156.75 m/s2

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