1Cinematica

Il linguaggio matematico che descrive il moto dei corpi

La matematica è la “lingua” con la quale la fisica si esprime. Per poter usare le teorie della fisicadovremo quindi prima di tutto capire come rappresentare un fenomeno con il formalismo matematico e,visto che la meccanica si occupa di formulare le leggi fondamentali che governano il moto dei corpi,dovremo imparare ad utilizzare la matematica per descrivere la posizione dei corpi e il cambiamentodella loro posizione nel tempo. Questo è il compito della cinematica: in questo primo capitolo cioccuperemo essenzialmente della descrizione del moto degli oggetti più semplici, i cosiddetti puntimateriali, quegli oggetti ideali che possiedono una massa ma che, almeno sulla scala alla quale nestudiamo il movimento, hanno un’estensione trascurabile. Non ci preoccuperemo quindi di lororotazioni, deformazioni o qualsiasi altro moto “interno” perché sono (per ipotesi) così piccoli chequesti cambiamenti non saremmo in grado di apprezzarli. Ne studieremo perciò solo la posizione ecominceremo a capire come la matematica ci fornisca gli strumenti adatti a questo scopo. Una voltamesse queste basi sarà abbastanza naturale, in capitoli successivi, applicare queste regole ai corpiestesi che immagineremo come insiemi di molti o, molto spesso, di moltissimi punti materiali.L’importanza della cinematica è spesso sottovalutata dagli studenti perché in essa non troveremo veree proprie leggi fisiche, in fondo non diremo nulla che ci spieghi le ragioni del moto dei corpi ma senzadi essa non potremmo affrontare con il necessario rigore tutti gli argomenti che verranno in seguito e viconsiglio quindi di non fare anche voi l’errore di sottovalutare l’importanza della cinematica.Vi è poi un altro motivo per prendere sul serio questo capitolo ed è quello che esprimeva quattrocentoanni fa Galileo quando metteva le basi della scienza moderna. Con la cinematica per la prima voltascopriremo come i fenomeni naturali possono trovare una descrizione rigorosa proprio con glistrumenti matematici che introdurremo in questo capitolo. Essi ci consentiranno di prevedere in modorigoroso le conseguenze delle teorie e quindi di sottoporle in maniera stringente a quello che è il loronaturale banco di prova: la verifica sperimentale. Da questo punto di vista la possibilità di descrivere ifenomeni naturali con il formalismo matematico è l’ipotesi più di base che possiamo immaginare per lacostruzione della scienza fisica degli ultimi secoli e la rivoluzione che dobbiamo a Galileo e Newtonconsiste proprio nell’affermazione che il libro della natura è scritto con la lingua della matematica.Qualcuno ha detto che in questo senso la matematica è “la lingua di Dio”.

1.1 La rappresentazione della posizione del punto nello spazio

Il modo più comune per rappresentare la posizione di un punto nello spazio tridimensionale (3D) è per mezzo delle sue coordinate cartesiane, cioè diuna terna di numeri reali (x,y,z). Le coordinate cartesiane non sono altro che i valori delle tre coordinate in corrispondenza della proiezione ortogo-nale del punto sugli assi del sistema di riferimento.Ad ogni punto materiale può quindi essere associata una terna di numeri reali e potremo dire sempre che

(1.1)P º PHx, y, zL

Le coordinate cartesiane del punto P

x 3

y 3

z 8

Punto

di vista

Normale

Da sopra

Di fronte

Da destra

PHx,y,zL

x

y

z

Hx,0,0L H0,y,0L

H0,0,zL

-10

-5

0

5

10

-10-5

510

-10

-5

5

10

Figura 1.1: le coordinate cartesiane di un punto nello spazio

Le coordinate cartesiane del punto P sono mostrate più in dettaglio in figura 1.2. Al punto P corrispondono le sue proiezioni ortogonali sui piani(x,y), (x,z) e (y,z), cioè , rispettivamente i punti (x,y,0), (x,0,z) e (0,y,z), mentre le proiezioni di questi punti sui tre assi coordinati sono rappresentatidalle terne (x,0,0), (0,y,0) e (0,0,z).

Le coordinate cartesiane del punto P

x 7

y 3

z 5

Punto

di vista

Normale

Da sopra

Di fronte

Da destra

PHx,y,zL

x

y

z

Hx,0,0L

H0,y,0L

H0,0,zL

Hx,y,0L

Hx,0,zL

H0,y,zL-10

-5

0

5

10

-10-5

510

-10

-5

5

10

Figura 1.2: le coordinate cartesiane di un punto nello spazio

| Cap.1 - Cinematica

pag. 2

1.1.1 La notazione vettorialeLa terna di coordinate (x,y,z) può essere interpretata come le componenti del vettore posizione

(1.2)r = rx + ry + rz = x ux + y uy + z uz.

dove i vettori rx, rx, e rx sono le componenti cartesiane del vettore posizione r e ux,uy e uz sono i versori degli assi cartesiani, cioè i vettori di modulounitario paralleli ai tre assi e ad essi concordi in verso.

Il vettore r, che congiunge l’origine al punto P, è quindi la somma di tre vettori tra loro ortogonali, aventi le direzioni dei tre assi cartesiani e modulopari alle coordinate cartesiane del punto P.N.B. nella notazione che seguiremo d'ora in avanti i vettori saranno indicati in grassetto, mentre le quantità scalai (i numeri) saranno indicati cometesto normale.

Le componenti cartesiane del vettore r

x 6

y 8

z 6

Punto

di vista

Normale

Da sopra

Di fronte

Da destra

x

y

z

r

rx

ry

rz

rxry

rz

-10

-5

0

5

10

-10-5

510

-10

-5

5

10

Figura 1.3: il vettore posizione e le sue componenti cartesiane

La posizione di un punto è quindi univocamente determinata dalle tre coordinate cartesiane, per questo motivo il punto materiale è l’esempio piùsemplice di un sistema con 3 gradi di libertà .

1.1.2 L’evoluzione temporale del motoLa posizione del punto, nel caso più generale, varierà con il tempo e quindi le sue coordinate cartesiane saranno funzione della variabile (delparametro) t. Un altro modo di esprimere il medesimo concetto è affermare che il vettore posizione r è funzione del tempo ed esplicitamente loindicheremo come r(t). r(t) è una funzione vettoriale del parametro t. In tutta generalità si potrà dire che il moto del punto materiale è completamentenoto quando è nota la funzione vettoriale del tempo

(1.3)r HtL = rxHtL + ryHtL + rzHtL = x HtL ux + y HtL uy + z HtL uz.

Un modo del tutto equivalente e molto utile per rappresentare il vettore posizione è

(1.4)r HtL = rHtL urHtL

Nella 1.4 il vettore posizione r(t) è espresso come il prodotto del suo modulo r(t) per il suo versore urHtL.Va sottolineata una differenza fondamen-tale fra i versori che compaiono nelle 1.3 e 1.4: nell’espressione 1.3 solo le tre coordinate cartesiane x(t), y(t) e z(t) dipendono dal tempo, mentre iversori ux,uye uz sono costanti. La 1.3 infatti è la rappresentazione della posizione del punto rispetto al sistema di riferimento fisso individuatodall’origine O e dai tre versori degli assi coordinati. Per definizione questo è un sistema di riferimento la cui l’origine e le direzioni degli assicoordinati sono costanti, cioè non dipendono dal tempo.Il versore urHtL che compare nella 1.4, invece, dipende esplicitamente dal tempo perchè rappresenta la direzione di r(t) il quale, in generale, varieràsia in modulo che in direzione. La 1.4 è un’espressione che non fornisce esplicitamente la posizione del punto rispetto ad uno specifico sistema diriferimento: solo se si conoscono le componenti del versore ur(t) rispetto al sistema di riferimento di origine O e di assi con direzione ux,uye uz,allora le 1.3 e 1.4 diventano equivalenti. Le 1.3 e 1.4 sono rappresentazioni diverse dello stesso vettore e quindi, visto che il modulo di r(t) dalla 1.4 è semplicemente r(t) (il modulo delversore urHtL è per definizione unitario), deve essere

(1.5)r(t)= x2 HtL + y2 HtL + z2 HtL

Se chiamiamo urxHtL, ur

yHtL e ur

zHtL le componenti cartesiane del versore urHtL, se, cioè , lo esprimiamo come

(1.6)urHtL = urxHtL ux + ur

yHtL uy + urzHtL uz

A.Carnera - Appunti di meccanica

pag. 3

allora la 1.4 diventa

(1.7)r HtL = rHtL urHtL = rHtL IurxHtL ux +ur

yHtL uy +urzHtL uzM

A questo punto si possono direttamente ricavare le componenti cartesiane del versore ur(t) imponendo l’uguaglianza di ciascuna delle componenticartesiane del secondo membro della 1.3 con quelle corrispondenti della 1.7

(1.8)

xHtL = rHtL urxHtL

yHtL = r HtL ury HtL

zHtL = r HtL urz HtL

e quindi

(1.9)

urxHtL =

xHtLrHtL

=xHtL

x2 HtL+y2 HtL+z2 HtL= ΑHtL = cosHΘxHtLL

uryHtL =

yHtL

rHtL=

yHtL

x2 HtL+y2 HtL+z2 HtL= ΒHtL = cosIΘyHtLM

urzHtL =

zHtLrHtL

=zHtL

x2 HtL+y2 HtL+z2 HtL= ΓHtL = cosHΘzHtLL

Nelle 1.9 vengono definite le quantità Α, Β e Γ che sono i coseni direttori del vettore r(t) mentre ΘxHtL, ΘyHtL e ΘzHtL sono gli angoli fra il versore urHtL(e quindi anche r(t)) e gli assi del sistema di riferimento fisso. I coseni direttori sono le coordinate cartesiane del versore urHtL. Risulta immediata-mente che vale la relazione

(1.10)Α2HtL + Β

2HtL + Γ2HtL = 1

che è la conseguenza del fatto che Α(t), Β(t) e Γ(t) sono le coordinate cartesiane di un vettore di modulo 1.

1.1.2.1 Approfondimento: i gradi di libertà del sistema

| Cap.1 - Cinematica

pag. 4

1.1.3 Rappresentazione in coordinate sfericheLe coordinate cartesiane non sono le sole che si possano costruire per identificare univocamnete la posizione di un punto nello spazio tridimension-ale. In molti casi il problema fisico presenta simmetrie che rendono più naturale l’uso di coordinate che siano più esplicitamente rappresentative delladirezione del vettore posizione. Il caso più comune è quello di un sistema a simmetria sferica (vedremo più avanti il caso molto importante deisistemi di forze centrali).

Se riprendiamo la rappresentazione vettoriale data dalla equazione 1.4, vediamo che essa per identificare la posizione del punto usa la sua distanzadall’origine (r(t)) e la direzione dello spostamento, rappresentata dal versore urHtL. Nelle 1.9 la direzione viene espressa dai tre coseni direttori Α, Β eΓ che abbiamo visto sono sovrabbondanti perché legate dalla 1.10. Un modo più pratico di rappresentare la direzione di urHtL viene fornito dai dueangoli Θ(t) e j(t) mostrati in figura 1.6, detti rispettivamente declinazione e azimuth. La declinazione Θ(t) è l’angolo che il vettore posizione formacon l’asse z, mentre l’azimuth j(t) è quello che la proiezione di r(t) sul piano (x,y) forma con l’asse x.

Le coordinate sferiche del punto P

r 8

ΘΠ

4

ΦΠ

4

Punto

di vista

Normale

Da sopra

Di fronte

Da destra

x

y

z

r

Θ

j

j

-10

-5

0

5

10

-10-5

510

-10

-5

5

10

Figura 1.6: il vettore r(t) e le sue componenti sferiche

Le regole per il passaggio da coordinate sferiche a coordinate cartesiane risultano essere

(1.15)

xHtL = rHtL sin@ΘHtLD cos@jHtLDyHtL = r HtL sin@ΘHtLD sin@j HtLDzHtL = rHtL cos@ΘHtLD

Trasformazione da coordinate sferiche

a coordinate cartesiane

r 8

ΘH° L 45

jH° L 45

x = 4.

y = 4.

z = 5.66

r

xy

z

Θ

j

-100

10-100

10

-10

0

10

Figura 1.7: trasformazione da coordinate sferiche a coordinate cartesiane

A.Carnera - Appunti di meccanica

pag. 5

Le trasformazioni inverse danno le

(1.16)

rHtL = x2HtL + y2HtL + z2HtL

ΘHtL = ArcCosB z

x2+y2+z2F

jHtL = ArcTanB x

yF

Trasformazione da coordinate cartesiane

a coordinate sferiche

x 8

y 8

z 8

r = 13.8564

Θ = 54.7356°

j = 45.°

r

xy

zΘ

j

-100

10-100

10

-10

0

10

Figura 1.8: trasformazione da coordinate cartesiane a coordinate sferiche

1.1.3.1 Applicazione: descrizione del moto su una superficie sfericaCome anticipato nella sezione 1.1.2.1, le coordinate sferiche sono le più adatte a descrivere il moto di un punto vincolato a stare su di una superficiesferica. In coordinate sferiche una superficie sferica centrata sull’ortigine è rappresentata dall’equazione r=R, dove R è il raggio della superficie. Alvariare di Θ e j il vettore posizione esplora tutti i punti della superficie.

Rappresentazione in coordinate sferiche

del moto su una superficie sferica

R 14

ΘH° L 45

jH° L 45

r

xy

z Θ

j

-100

10-100

10

-10

0

10

Figura 1.9: fissato il raggio R della sfera, gli angoli Θ e j identificano univocamente il punto sulla superficie sferica

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pag. 6

1.2 Le derivate del vettore posizione: velocità e accelerazioneSe il punto P(x,y,z) è in moto, il suo vettore posizione varia nel tempo. Ci porremo ora il problema della descrizione matematica rigorosa dellavelocità e dell’accelerazione del punto materiale.

1.2.1 Definizione della derivata rispetto al tempo di un vettoreSe un vettore V dipende dal tempo, se cioè si esprime come V(t), allora la sua derivata rispetto al tempo è definita dalla

(1.17)dVHtL

dt= Lim

Dt®0

V Ht + DtL - VHtL

Dt= Lim

Dt®0

DV

DtVa sottolineato che una quantità vettoriale è caratterizzata da un modulo, da una direzione e da un verso. Questo implica che per essere costante, equindi per avere derivata temporale nulla, un vettore deve essere costanete in modulo, direzione e verso: un vettore di modulo costante ma la cuidirezione varia nel tempo avrà quindi derivata temporale diversa da zero.

La derivata temporale di un vettore di modulo costante

1.2.2 Il vettore velocità Il vettore velocità del punto P(x,y,z), la cui posizione è individuata da r(t) è definita dalla

(1.23)v HtL =drHtL

dtNel sistema internazionale l’unità di misura della velocità è m/s.

Dalla 1.17 segue che la velocità può anche essere scritta

(1.24)vHtL =drHtL

dt= Lim

Dt®0

DrHtL

DtL’equazione 1.3 fornisce l’espressione dell’evoluzione temporale del vettore posizione r(t) nel tempo, espressa in termini delle sue componenti nelsistema di riferimento cartesiano “fisso”. Se si applica la definizione 1.23 alla 1.3 si ottiene

(1.25)vHtL =d

dtIxHtL ux + yHtL uy + zHtL uzM =

dxHtL

dtux +

dyHtL

dtuy +

dzHtL

dtuz = vxHtL ux + vyHtL uy + vzHtL uz

Nella 1.25 si è sfruttato il fatto che i versori degli assi del sistema di riferimento sono dei vettori costanti e quindi le loro derivate temporali sononulle. La dipendenza della posizione dal tempo e quindi anche la dipendenza della velocità dal tempo è tutta contenuta nelle funzioni scalari x(t), y(t)e z(t) e nelle loro derivate temporali. In altri termini il vettore velocità ha, nel sistema di riferimento cartesiano fisso, componenti

(1.26)

vxHtL =dxHtL

dt

vyHtL =dyHtL

dt

vzHtL =dzHtL

dt

1.2.2.1 Il vettore velocità e il concetto di traiettoriaNel suo moto il punto materiale percorre una successione di punti geometrici infinitamente prossimi l’uno all’altro, percorre cioè una curva nellospazio. Questa curva, scandita (parametrizzata) dal tempo t vierne chiamata traiettoria del punto materiale.Vediamo in concreto gli effetti che ha la definizione di derivata di un vettore, data dalla 1.23, sulle proprietà del vettore velocità . Studieremo inparticolare le triettorie piane sia per la loro semplicità , sia perchè esse rappresentano una categoria importantissima di moti, i moti piani appunto, chesono quelli che hanno luogo per effetto delle più generali forze presenti in natura, le forze centrali, come vedremo più avanti.

1.2.2.2 La direzione della velocitàLa prima proprietà è descritta dalla figura 1.9: la tendere di Dt a zero il vettore Dr/Dt tende ad avere la direzione alla tangente alla traiettoria nel puntoP(t). La figura 1.10 ci mostra quindi che la velocità ha sempre la direzione della tangente alla traiettoria e il verso che punta ai punti contraddis-tinti da valori crescenti del tempo.Il versore della velocità è quindi sempre il versore uT, tangente alla traiettoria in quello specifico punto.

A.Carnera - Appunti di meccanica

pag. 7

t -3 Dt 4.449

PHtL

PHt+DtL

uT HPL Dr

Dt

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

Fig. 1.10 Il limite per Dt®0 del rapporto Dr

Dt è tangente alla traiettoria

La dimostrazione rigorosa di quanto mostrato in figura 1.10 è una conseguenza immediata di quello che sappiamo dalla geometria analitica: sel’equazione che descrive la traiettoria è y=f(x), allora la derivata df(x)/dx rappresenta la tangente dell’angolo che la retta tangente alla curva nelpunto di (x,y) forma con l’asse delle ascisse. D’altra parte, la tangente dell’angolo che il vettore velocità forma con l’asse delle ascisse è dato dalrapporto fra le sue componenti cartesiane

(1.27)vy

vx

=dy dt

dx dt=

dy

dx=

df HxL

dx

quindi la velocità è un vettore che ha la direzione della tangente alla triettoria, c.v.d.

1.2.2.3 Il modulo della velocitàIl modulo della velocità , è , per definizione, la quantità scalare

(1.28)vHtL = vHtL ×vHtL

e, utilizzando la 1.25 si ha

(1.29)vHtL =dxHtL

dt

2

+dyHtL

dt

2

+dzHtL

dt

2

= vx2HtL + vy

2HtL + vz2HtL

La traiettoria è un oggetto geometrico unidimensionale, cioè ogni suo punto è individuabile univocamente per mezzo di un’unica coordinata, peresempio la lunghezza s dell’arco di curva a partire da un punto O della traiettoria arbitrariamente scelto.

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pag. 8

s 5

O

s

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

Fig. 1.11 La coordinata curvilinea s misura la lunghezza della traiettoria a partire dal punto O

Per traiettorie piane, come quella mostrata in figura 1.11, la lunghezza dell’arco infinitesimo è

(1.30)ds = dx2+ dy2

che può essere riscritta

(1.31)ds =dxHtL

dtdt

2

+dyHtL

dtdt

2

= dt vx2HtL + vy

2HtL

e quindi

(1.32)ds

dt= vx

2HtL + vy2HtL = vHtL

La 1.32 mostra esplicitamente che il modulo della velocità non è altro che la derivata rispetto al tempo dello spazio percorso lungo la traiettoria.

Quindi, riassumendo, il vettore velocità è tangente alla traiettoria ed ha per modulo ds/dt, dove s è lo spazio percorso lungo la traiettoria.

(1.33)v HtL = vHtL uT HtL =ds

dtuT HtL

1.2.3 Il vettore accelerazioneIn maniera del tutto analoga a quanto si è fatto nel definire la velocità , si definisce il vettore accelerazione che è la derivata temporale del vettorevelocità (oppure la derivata temporale seconda del vettore posizione)

(1.34)a HtL =dvHtL

dt=

d2 rHtL

dt2

Nel sistema internazionale l’unità di misura dell’accelerazione è m s2.

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pag. 9

Dalle 1.25 e 1.26 seguono direttamente le

(1.35)aHtL =d

dtIvxHtL ux + vyHtL uy + vzHtL uzM =

d2 xHtL

dt2ux +

d2 yHtL

dt2uy +

d2 zHtL

dt2uz = axHtL ux + ayHtL uy + azHtL uz

(1.36)

axHtL =dvxHtL

dt=

d2 xHtL

dt2

ayHtL =dvyHtL

dt=

d2 yHtL

dt2

azHtL =dvzHtL

dt=

d2 zHtL

dt2

Le proprietà del vettore accelerazione risultano particolarmente evidenti se si utilizza la notazione vettoriale 1.33, dalla quale deriva

(1.37)a HtL =d

dtHvHtL uT HtLL =

dvHtL

dtuT HtL +vHtL

duT HtL

dtL’accelerazione quindi può essere scomposta in due componenti: la prima, tangente alla traiettoria, è l’accelerazione tangenziale

(1.38)aT HtL =dvHtL

dtuT HtL

e la seconda è l’accelerazione normale

(1.39)aN HtL = vHtLduT HtL

dt

è ortogonale alla traiettoria perchè duT HtL

dt è la derivata temporale di un vettore di modulo costante (unitario) e quindi è ortogonale al versore uT HtL,

cioè appunto normale alla tangente alla traiettoria.

1.3 Il moto rettilineo

Per cominciare a vedere le conseguenze e le applicazioni delle definizioni di velocità e accelerazione cominciamo dallo studio del moto rettilineo.Il moto rettilineo è il caso più semplice di un modo in uno spazio unidimensionale e quindi la posizione del punto verrà descritta da un’unicacoordinata. Risulta immediato fal coincidere l’asse delle x del nostro sistema di riferimento cartesiano con la retta del moto: in questo modo dovràsempre essere

(1.40)yHtL = 0 e zHtL = 0

La posizione del punto sarà quindi univocamente determinata dalla

(1.41)r HtL = xHtL ux,

la velocità dalla

(1.42)v HtL =dxHtL

dtux = vxHtL ux

e l’accelerazione potrà essere scritta come

(1.43)aHtL =dvHtL

dtux =

d2 xHtL

dt2ux = axHtL ux

essendo nulle le derivate rispetto al tempo delle 1.40. La notazione vettoriale sarà in questo caso superflua e, senza perdere di rigore, potemo

esprimere la posizione, la velocità e l’accelerazione per mezzo delle quantità scalari x(t), vHtL =dxHtL

dt e aHtL =

dvHtL

dt.

Va sottolineato che, poichè il versore tangente alla traiettoria coinciderà sempre con il versore uT, che è un vettore costante, dalla 1.37 risulterà chel’accelerazione non potrà avere che la componente tangenziale, essendo sempre nulla la componente normale espressa dalla 1.39.

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pag. 10

1.3.1 L’integrazione del motoSe facciamo l’ipotesi che si conosca esplicitamente l’andamento dell’accelerazione in funzione del tempo, cosa che purtroppo, come vedremo, nonsarà molto frequente, la soluzione del problema dell’integrazione del moto, cioè quello di ricavare esplicitamente la funzione x(t), detta legge orariadel moto, a partire dalla conoscenza dell’accelerazione, formalmente consiste nella soluzione dell’equazione differenziale del secondo ordinenell’incognita x(t)

(1.44)d2 xHtL

dt2= aHtL

La soluzione della 1.44 passa per due successive fasi di integrazione. Con la prima si ottiene l’espressione della velocità

(1.45)vHtL - v0 = àv0

vHtL

â v = à0

t dvHtL

dtâ t = à

0

t

aHtL â t

mentre con la seconda si ottiene la legge oraria del moto

(1.46)xHtL - x0 = àx0

xHtL

â x = à0

t dxHtL

dtâ t = à

0

t

vHtL â t.

1.3.1.1 Le condizioni iniziali del moto.Nelle 1.45 e 1.46 sono state introdotte delle quantità che necessitano una spiegazione.Prima di tutto l’integrazione ha come estremo inferiore il tempo t=0, poi compaiono x0 e v0. Si tratta di quantità tra loro legate: la scelta di porrel’istante iniziale del moto (l’estremo inferiore di integrazione) a t=0 ha il significato di decidere l’origine dell’asse dei tempi. E’ una scelta analoga aquella di porre in un punto particolare l’origine del nostro sistema di riferimento e non pregiudica in nulla la generalità della soluzione del problema.Se osserviamo la 1.45 è chiaro che poniamo a zero anche l’estremo superiore di integrazione l’espressione ci fornirà la velocità a t=0, ma coinci-dendo gli estremi di integrazione l’integrale sarà nullo e quindi avremo v Ht = 0L = v0. Il significato di v0è quindi quello di velocità all’istante in cuit=0, quella che viene chiamata la velocità iniziale. Analogamente per t=0 la 1.46 esprime la posizione a t=0, x Ht = 0L = x0. La x0ha quindi il signifi-cato di posizione iniziale.

C’è un altro modo per spiegare la necessità di introdurre le due costanti v0e x0: noi stiamo risolvendo l’equazione 1.44 che è una equazione differen-ziale del secondo ordine. La soluzione completa di una equazione differenziale del secondo ordine dipende da due costanti di integrazione, nel nostrocaso noi le abbiamo definite come la velocità e la posizione del punto all’istante iniziale. Si tratta anche in questo caso di una convenzione, il motosarebbe perfettamente definito anche se avessimo scelto un altro istante per assegnare posizione e velocità ma quella che abbiamo fatto è la scelta piùnaturale ed anche quella che fornisce la forma più semplice della legge oraria del moto.

Per la prima volta abbiamo avuto a che fare con delle quantità che ritroveremo sempre quando dovremo risolvere esplicitamente il prob-lema di determinare la legge oraria del moto: le condizioni iniziali del moto. Esse sono richieste dalla natura matematica del problema che èdescritto dall’equazione del moto 1.44, che è una equazione differenziale del secondo ordine. D’ora in avanti la natura del sistema fisico chestudieremo (le masse dei corpi, le forze agenti, le forme e le dimensioni degli oggetti) ci permetteranno di scrivere un’equazione del tipo della1.44 per ogni grado di libertà del sistema, cioè per ognuna delle coordinate di cui abbiamo bisogno per determinarne univocamente lo stato.Quindi sapremo per ogni tipo di sistema fisico quali sono le equazioni del moto, ma da sole esse non bastano dper scrivere la legge oraria delmoto, cioè le funzioni del tempo che, una volta scelto il sistema di riferimento e l’istante iniziale, ci permetteranno di calcolare il valore ditutte le coordinate che determinano la posizione del nostro sistemain ogni istante. La legge oraria del moto potrà descrivere“concretamente” il movimento solo dopo che avremo assegnato un preciso valore a due costanti di integrazione (nel nostro caso la posizionee la velocità iniziali ma in altri casi potrebbero avere significati un po’ diversi) per ogni grado di libertà del sistema.

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pag. 11

1.3.1.2 Moto rettilineo uniformemente acceleratoSe l’accelerazione è costante nel tempo le 1.45 e 1.46 possono essere risolte esplicitamente

(1.47)vHtL = v0 + à0

t

a â t = v0 + a t

(1.48)xHtL = x0 + à0

t

Hv0 + a tL â t = x0 + v0 t +1

2a t2

Moto rettilineo

uniforme

t

a 0

v0 2.5

x0 0

t0 0

Moto

-20 -10 0 10 20x

Velocità

-10 -5 5 10t

-20

-10

10

20

v

Posizione

-10 -5 5 10t

-20

-10

10

20

x

Fig. 1.12 Animazione del moto e andamenti della velocità e della posizione in funzione del tempo per un moto rettilino uniformemente accelerato

La figura 1.12 mostra gli aspetti essenziali di un moto rettilineo con accelerazione costante. Se l’accelerazione è nulla il moto viene detto rettilineouniforme, la velocità è costante e la 1.48 si riduce a

(1.49)xHtL = x0 + v0 t

la coordinata x è una semplice funzione lineare del tempo.

Se, invece, l’accelerazione a è diversa da zero il moto vine detto uniformemente accelerato e la velocità varia linearmente col tempo (cresce se a>0,cala se a<0) e la posizione ha un andamento quadratico (parabolico) con il tempo

(1.50)xHtL = x0 + v0 t +1

2a t2

Alcune osservazioni:

1) se modificate v0 o x0nell'animazione, gli andamenti della velocità e della posizione non cambiano forma ma solo si spostano (traslano e/o ruotano)nei grafici relativi. Questo fa vedere chiaramente che il cambiamento delle condizioni iniziali del moto non ne influenza la natura. Come vedremo piùavanti questo è direttamente connesso alla scelta del sistema di riferimento nel quale rappresentiamo il moto.

2) Nei grafici il moto viene mostrato anche per valori di t < t0. t0rappresenta il valore di tempo che segna il nostro cronometro quando lo facciamopartire, che non è necessariamente zero. I grafici della velocità e della posizione per valori di t < t0 sono punteggiati ed il punto è grigio chiaroanziché nero. Questa parte del moto non è però “virtuale”. Noi non abbiamo fatto alcuna ipotesi su quando il moto effettivamente inizia, abbiamosolo scelto arbitratiamente il momento in cui far partire il nostro cronometro ed il valore del parametro tempo da assegnare a quell’istante.Il problema inverso: discussione e interpretazione fisica

Finora ci siamo posti il problema di determinare la posizione in funzione del tempo ma, evidentemente, è del tutto legittimo porsi il problema

inverso: in che istante il punto si troverà alla coordinata x*? Evidentemente la soluzione si ottiene risolvendo l’equazione x* = x0 + v0 t +1

2a t2nel-

l’incognita t. Si tratta di una equazione di secondo grado che ha la soluzione generale

(1.51)t1,2*

=-v0 ± v0

2 + 2 aHx* - x0L

a

si possono verificare 3 casi a seconda che il discriminante D=v02 + 2 aHx* - x0L sia positivo, nullo o negativo.

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pag. 12

1. Discriminante positivo:esistono due distinti istanti, t1 e t2, nei quali il punto passa per la coordinata x*. Niente esclude che uno o entrambi siano minori di zero: vuole semplicemente dire che il punto aveva quella posizione prima che noi facessimo partirte il cronometro!

2. Discriminante nullo:l’annullarsi del determinante implica che l’istante a cui il punto raggiunge la coordinata x* è t* = -

v0

a. La velocità in questo momento vale

vHt*L = v0 + a t* = 0. Il significato è chiaro: questa posizione coincide con il punto in cui la velocità da positiva diventa negativa (o viceversa). E’ il punto di inversione del moto.

3. Discriminante negativo:non è fisicamente possibile che il punto raggiunga la coordinata x*. L’accelerazione ha direzione opposta alla velocità iniziale e la direzione del moto si inverte prima che il punto possa raggiungere x*.

Moto rettilineouniformemente accelerato

t

a -2

v0 4

x0 15

x*-10

t1 t2-10 -5 5 10

t

-20

-10

10

20

x

Fig. 1.13 Rappresentazione grafica del problema della determinazione degli istanti nei quali la coordinata vale x*

La figura 1.13 mostra graficamente il significato delle soluzioni dell’equazione di secondo grado date dalla 1.51. Facendo variare il valore di x*lacondizione 1 si verifica quando la linea rossa tratteggiata interseca in due punti la parabola che rappresenta l’andamento di x in funzione di t, lacondizione 2 si ha quando la retta è tangente alla parabola al suo massimo o minimo mentre la 3 rappresenta la situazione nella quale non vi è alcunaintersezione. Ovviamente le tre condizioni dipendono dai parametri del moto: accelerazione e posizione e velocità iniziali.

Il significato fisico del discriminante della 1.51 D=v02 + 2 aHx* - x0L sarà molto più chiaro quando introdurremo il concetto di energia e studieremo

le condizioni per la sua conservazione ma già ora possiamo capire qualcosa di più sulle proprietà matematiche del moto in condizioni di acceler-azione costante. Se integriamo l’accelerazione non sul tempo, come abbiamo fatto nella 1.47 per ricavare la velocità , ma sulla coordinata x otteniamo

(1.52)àx0

x*

a â x = a Hx*- x0L

d’altra parte, indicando con v*la velocità del punto alla coordinata x*, si può scrivere

(1.53)àx0

x*

a â x = àx0

x* dv

dtâ x = à

v0

v* dx

dtâ v = à

v0

v*

v â v =1

2v*2

-1

2v0

2

uguagliando le 1.52 e 1.53 si ha

(1.54)a Hx*- x0L =

1

2v*2

-1

2v0

2 v*2

= v02

+ 2 a Hx*- x0L

qundi il discriminante D non è altro che il quadrato della velocità del punto quando si trova a x*, che deve essere necessariamente una quantità ³0 peravere significato fisico. Vedremo più avanti che questo equivale a dire che la posizione x* può essere raggiunta se e solo se il punto materiale haenergia sufficiente.

1.4 Moti piani

1.4.1 Formulazione generale del problemaPer determinare la posizione del punto materiale in funzione del tempo utilizzeremo un sistema di riferimento cartesiano bidimensionale(assi x e y)rispetto al quale il vettore posizione potrà essere espresso dalla uguaglianza

(1.55)r HtL = xHtL ux + yHtL uy

L’equazione del moto sarà un’equazione differenziale del secondo ordine vettoriale

(1.56)d2 r HtL

dt2= a Hr, tL

la cui soluzione, cioè la funzione r(t), è la legge oraria del moto.

A.Carnera - Appunti di meccanica

pag. 13

All’equazione vettoriale 1.56 corrispondono due equazioni scalari (il sistema è appunto a due gradi di libertà ) che, in coordinate cartesiane sono

(1.57)

d2 x HtL

dt2= ax Hx, y, tL

d2 y HtL

dt2= ay Ix, y, tM

la soluzione completa delle 1.57 richiederà la specificazione di due costanti di integrazione (p.es. posizione e velocità iniziali) per ciascuna coordi-nata. Quindi la legge oraria del moto sarà , nella sua forma più generale

(1.58)x = xIx0, y0, vx0, vy0, tM

y = yIx0, y0, vx0, vy0, tM

nella quale le condizioni iniziali sono definite dalle

(1.59)r0 = r Ht = 0L = x0 ux + y0 uy

v0 = v Ht = 0L = vx0 ux + vy0 uy

1.4.2 Moto di un graveIn regioni di spazio sufficientemente ristrette gli effetti della attrazione gravitazionale terrestre possono essere ben approssimati da una accelerazione,uguale per tutti i corpi, rivolta verso il basso e la cui direzione viene convenzionalmente indicata come “verticale”. L’accelerazione di gravità sullaterra ha un valore medio g=9.80665 m s2e varia, dipendendo principalmente dalla latitudine e dalla quota rispetto al livello del mare, da un minimodi circa 9.78 m s2all’equatore a 9.832 m s2ai poli. Nel seguito noi utilizzeremo sempre un valore approssimato, ponendo g=9.81 m s2.

Il sistema di riferimento più naturale per descrivere un moto sotto l’azione della accelerazione gravitazionale ha un asse, convenzionalmente l’asse y,rivolto verticalmente verso l’alto e l’asse x di conseguenza orizzontale. In questo sistema di riferimento il vettore accelerazione è

(1.60)a = 0 ux - g uy

cioè l’accelerazione ha componenti

(1.61)ax = 0

ay = -g

Poiché l’accelerazione ha componenti costanti l’integrazione del moto si presenta particolarmente semplice e la legge oraria del moro è semplice-mente la combinazione di un moto rettilineo uniforme lungo l’asse x e di uno uniformemente accelerato lungo l’asse y. Dalle 1.61 infatti si ottiene

(1.62)vx = v0 x

vy = v0 y - g t

e da una ulteriore integrazione sul tempo si ottiene la legge oraria del moto

(1.63)

x = x0 + v0 x t

y = y0 + v0 y t -1

2g t2

La traiettoria dei gravi

Per ottenere l’espressione esplicita della traiettoria che un grave percorre nel moto di caduta libera bisogna eliminare il parametro t dalle equazioni1.63. Se v0 x ¹ 0, si ottiene

(1.64)

t =x - x0

v0 x

y = y0 +v0 y

v0 x

Hx - x0L -1

2g

x - x0

v0 x

2

= y0 - x0

v0 y

v0 x

- gx0

2

2 v0 x2

+v0 y

v0 x

+ gx0

v0 x2

x -g

2 v0 x2

x2

e posti

A = y0 - x0v0 y

v0 x- g x0

2

2 v0 x2

B =v0 y

v0 x+ g x0

v0 x2

C = -g

2 v0 x2

y = A + B x + C x2

La 1.64 mostra chiaramente che la traiettoria di caduta libera di un grave è una parabola con la concavità rivolta verso il basso (in coefficiente C ènegativo).

Se, invece, v0 x = 0 la prima delle 1.63 mostra che x = x0 = cost. ed il moto è rettilineo uniformemente accelerato lungo l’asse y, quindi è il puro motoverticale di caduta libera di un grave.Il moto del proiettile

La traiettoria che percorre un proiettile sparato da un cannone è un esempio tipico di applicazione di quanto detto nella sezione precedente. Il modopiù naturale di scegliere il sistema di riferimento è di porre l’origine dove si trova il cannone. In questo modo se stabiliamo che t=0 è l’istante dellosparo, le condizioni iniziali del moto sono:

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pag. 14

La traiettoria che percorre un proiettile sparato da un cannone è un esempio tipico di applicazione di quanto detto nella sezione precedente. Il modopiù naturale di scegliere il sistema di riferimento è di porre l’origine dove si trova il cannone. In questo modo se stabiliamo che t=0 è l’istante dellosparo, le condizioni iniziali del moto sono:

(1.65)

¶xHt = 0L = x0 = 0yHt = 0L = y0 = 0

vxHt = 0L = v0 x

vyHt = 0L = v0 y

La legge oraria del moto allora sarà

(1.66)xHtL = v0 x t

yHtL = v0 y t -1

2g t2

Proviamo ora a calcolare quale sarà la massima quota, che chiameremo h, che il proiettile raggiungerà lungo la traiettoria. Un modo puramentematematico per definire rigorosamente il problema potrebbe partire dall’equazione della traiettoria data nella 1.64. Si otterrebbe

(1.67)

A = 0

B =v0 y

v0 x

C = -g

2 v0 x2

e quindi

y =v0 y

v0 x

x -g

2 v0 x2

x2

per trovare h si calcolerà la derivata di y rispetto a x e la si annullerà . Troveremo così il valore di x* pr il quale y è massima. A questo punto h nonsarà altro che il valore di y per x = x*

(1.68)

dy

dx=

v0 y

v0 x

-g

v0 x2

x

v0 y

v0 x

-g

v0 x2

x*= 0 x*

=v0 x v0 y

g

h = yHx = x*L =1

2

v0 y2

g

Un altro modo, più “fisico”, di impostare il problema è il seguente: la condizione di massima altezza si ha quando si annulla la componente y dellavelocità . Questo è l’istante in cui la velocità cessa di essere rivolta verso l’alto e il proiettile incomicia a perdere quota. Matematicamente la con-dizione quindi è

(1.69)vy = v0 y - g t*= 0 t*

=v0 y

g

che mi determina l’istante di massima quota. Poi dalla seconda delle 1.66 si ottiene

(1.70)h = yHt = t*L = v0 y

v0 y

g-

1

2g

v0 y

g

2

=1

2

v0 y2

g

Siamo così arrivati in due passaggi al risultato 1.68. Si trova quindi che l’altezza massima dipende solo dalla componente y della velocità iniziale.

Potete verificare direttamente il senso di questi risultati facendo variare i parametri della figura 1.14.

tHsL

v0 xHmsL 40 v0 yHmsL 40

100 200 300 400 500xHmL

-50

50

100

150

yHmL

v = 56.6 msxmax = 326.2 m

hmax = 81.5 m

Fig. 1.14 Il moto del proiettile: la gittata e la massima altezza raggiunta dipendono dalle condizioni iniziali

Posto in questi termini il problema è però un po’ irrealistico: possiamo arbitrariamente aumentare le componenti v0 x e v0 ydella velocità e qundi fararrivare il nostro proiettile a qualsiasi altezza ed a qualsiasi distanza.Proviamo allora a impostarlo in modo leggermente diverso: supponiamo che il cannone possa imprimere al proiettile una velocità iniziale massima dimodulo v0 (fra poco potremo dire che è nota la massima energia che il cannone può trasferire al proiettile) . Fissato quindi il modulo v0 della velocitàiniziale potremo variare l'angolo di sparo, cioè l'angolo Θ che la velocità forma rispetto all'orizzontale nell'istante iniziale. Le condizioni iniziali delmoto si scriveranno quindi

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pag. 15

Posto in questi termini il problema è però un po’ irrealistico: possiamo arbitrariamente aumentare le componenti v0 x e v0 ydella velocità e qundi fararrivare il nostro proiettile a qualsiasi altezza ed a qualsiasi distanza.Proviamo allora a impostarlo in modo leggermente diverso: supponiamo che il cannone possa imprimere al proiettile una velocità iniziale massima dimodulo v0 (fra poco potremo dire che è nota la massima energia che il cannone può trasferire al proiettile) . Fissato quindi il modulo v0 della velocitàiniziale potremo variare l'angolo di sparo, cioè l'angolo Θ che la velocità forma rispetto all'orizzontale nell'istante iniziale. Le condizioni iniziali delmoto si scriveranno quindi

(1.71)

¶xHt = 0L = x0 = 0yHt = 0L = y0 = 0

vxHt = 0L = v0 x = v0 cosHΘLvyHt = 0L = v0 y = v0 sinHΘL

Possiamo a questo punto porci la domanda di quale sarà l’angolo al quale sarà massima la “gittata” cioè la distanza alla quale il proiettile ritornerà alsuolo. L’altra possibile domanda, e cioè a quale angolo di sparo si raggiungerà la massima altezza ha una risposta ovvia: visto che la quota massimadipende solo dalla componete y della velocità , che è massima quando Θ vale Π/2, la massima altezza si raggiungerà sparando direttamente verso l’altoverticalmente.La prima domanda invece richiede un minimo di calcoli. La condizione che definisce rigorosamente il problema è

(1.72)yHtmaxL = 0

cioè la condizione che il proiettile tocchi il suolo. Usando la seconda delle 1.66 si ha

(1.73)v0 y tmax -1

2g tmax

2= v0 y -

1

2g tmax tmax = 0

una delle due soluzioni Htmax=0) è banale in quanto descrive l’istante iniziale, la seconda

(1.74)tmax =2 v0 y

g

è quella che ci interessa. La coordinata x in questo istante avrà il valore

(1.75)xmax = v0 x tmax = 2v0 x v0 y

g= 2

v02

gcosHΘL sinHΘL = 2

v02

g

1

2sinH2 ΘL =

v02

gsinH2 ΘL

la distanza massima raggiungibile si avrà quando sin(2 Θ)=1, cioè quando Θ =Π

4. Se provate a variare l’angolo di sparo nella figura qui sotto, vedete

che, tenendo fisso il valore di v0, la distanza massima si ottiene prpprio per Θ=45°.

tHsL

v0HmsL 60 Θ H° L 45

100 200 300 400 500xHmL

-50

50

100

150

yHmL

v = 60. msxmax = 367. m

hmax = 91.7 m

Fig. 1.15 Il moto del proiettile: le condizioni iniziali possono essere espresse per mezzo del modulo della velocità iniziale e dell’angolo di sparo

Se si osserva l’evoluzione del moto del proiettile nelle figure 1.14 e 1.15 si può notare che il modulo della velocità al momento dell’impatto al suoloè identico al modulo della velocità al momento dello sparo. In realtà si può anche vedere, sia pure un po’ meno facilmente, che il modulo dellavelocità , a parità di condizioni iniziali, dipende solo dall’altezza del proiettile dal suolo. Se riprendiamo le componenti della velocità date dalle 1.62,possiamo ricavare il modulo quadro della velocità

(1.76)v2= vx

2+ vy

2= v0 x

2+ Iv0 y - g tM2

se si inverte la seconda delle 1.66, scrivendo t in funzione di y si ottiene

(1.77)t =

voy - v0 y2 - 2 g y

g

che si può sostituire nella 1.76 ottenendo con semplici passaggi

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pag. 16

(1.78)

v2= v0 x

2+ v0 y

2- 2 g y = v0

2- 2 g y

v2+ 2 g y = v0

2= cost.

il modulo quadro della velocità , e quindi anche il modulo della velocità , dipende solo dalla coordinata y ed in particolare per y=0 dovrà esserev = v0.Ancora una volta questo risultato, che adesso potrebbe sembrare una pura stranezza matematica, diventerà quasi banale quando ci saremoimpadroniti del concetto di energia e delle sue leggi di conservazione.

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pag. 17

1.4.3 Il moto circolare

1.4.3.1 Le coordinate polari

Il moto che si svolge su di una traiettoria circolare, caratterizzata dall’equazione Hx - x0L2 + Hy - y0L2 = R2, dove il punto di coordinate Hx0, y0L è ilcentro della circonferenza e R ne è il raggio, è un esempio interessante per studiare le proprietà dei vettori velocità e accelerazione. Un modosemplice per parametrizzare un moto su una circonferenza di raggio R centrata sull’origine (potremo sempre scegliere un sistema di riferimento conorigine sul centro della circonferenza) è utilizzare le coordinate polari (r, Θ) che sono definite dalle

(1.79)

¶x = R cos Θ

y = R sin Θ

R = x2 + y2

Θ = arctanIy

xM

r 7 Θ H° L 50

Θr

x= 4.5

y= 5.4

Θ= 0.

Θ= 30.

Θ= 60.

Θ= 90.

Θ= 120.

Θ= 150.

Θ= 180.

Θ= 210.

Θ= 240.

Θ= 270.

Θ= 300.

Θ= 330.

r= 2

r= 4

r= 6

r= 8

r= 10

-10 -6 -2 2 6 10

-10

-6

-2

2

6

10

1.16 rappresentazione del punto nel piano per mezzo di coordinate polari

Il moto circolare è caratterizzato, in coordinate polari, da r=R=cost. e Θ variabile nel tempo. L’espressione vettoriale della posizione del punto saràquindi

(1.80)r HtL = R urHΘL

con

(1.81)urHΘL = cos Θ ux + sin Θ uy

1.4.3.2 La velocità nel moto circolareLa velocità nel moto circolare sarà data dalla

(1.82)v HtL =dr HtL

dt= R

durHΘ L

dt= -R sin Θ

dΘ

dtux + R cos Θ

dΘ

dtuy = R

dΘ

dtuΘ

dove si è utilizzata la definizione del versore uΘ, dipendente dal tempo perché dipende dal tempo la coordionata Θ,

(1.83)uΘ =dur

dΘ= -sin Θ ux + cos Θ uy

Si ricava immediatamente che i versori ur e uΘ sono tra loro ortogonali, poiché il prodotto scalare ur.uΘ = 0. Ce lo potevamo aspettare: ur è infatti unvettore di modulo costante e abbiamo già dimostrato che questo implica che la sua derivata temporale gli è necessariamente ortogonale. Il versore uΘ

è quindi perpendicolare al raggio, cioè è tangente alla traiettoria circolare.La derivata di Θ rispetto al tempo viene chiamata velocità angolare e si ndica di solito con la tettera Ω

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pag. 18

(1.84)Ω =dΘ

dtil modulo della velocità dalla 1.82 risulta

(1.85)vHtL = Ω R

quindi il vettore velocità è

(1.86)v HtL = RdΘ

dtuΘ = Ω R uΘ

Questo risultato è coerente con quanto abbiamo visto precedentemente, quando si era visto che il modulo della velocità è sempre v =ds

dt. La

lunghezza dell’arco infinitesimo di traiettoria circolare è infatti ds=R dΘ quindi v =ds

dt=

R dΘ

dt= R Ω.

1.4.3.3 L’accelerazione nel moto circolareL’accelerazione si ottiene derivando la 1.86

(1.87)a HtL =dv HtL

dt=

d

dtR

dΘ

dtuΘ = R

d2 Θ

dt2uΘ +

dΘ

dt

duΘ

dt

Il primo termine dipende chiaramente dalla variazione nel tempo della velocità angolare mentre il secondo appare perchè la direzione tangente allatraiettoria, espressa da uΘ, non è costante nel tempo, dipende qundi dal fatto che la traiettoria è curva.La derivata del versore uΘ rispetto al tempo può essere ottenuta a partire dalla 1.83

(1.88)duΘ

dt=

duΘ

dΘ

dΘ

dt= I-cos Θ ux - sin Θ uyM

dΘ

dt= -ur

dΘ

dt= uN

dΘ

dtnella quale si è usata la definizione del versore normale alla traiettoria uN=-ur.

L’accelerazione nel moto circolare è

(1.89)a HtL = -RdΘ

dt

2

ur + Rd2 Θ

dt2uΘ = R Ω

2 uN + R Α uΘ

avendo definito l ' accelerazione angolare Α

(1.90)Α =d2 Θ

dt2

L’accelerazione nel moto circolare ha quindi due componenti: la prima diretta nel verso opposto del versore urè detta accelerazione centripeta oaccelerazione normale e vale

(1.91)aN = R Ω2 uN

e il modulo dell’accelerazione centripeta è

(1.92)aN =HR ΩL2

R=

v2

RL’accelerazione centripeta è sempre presente, anche nei moti circolari uniformi nei quali la velocità angolare Ω=cost. Come si è già accennatol’accelerazione centripeta esiste perché la traiettoria è curva.La componente tangenziale dell’accelerazione invece è diversa da zero solo se la velocità angolare non è costante, quindi se il moto circolare èaccelerato.

Il secondo termine della 1.89 è l’accelerazione tangenziale

(1.93)aT = Rd2 Θ

dt2uΘ = R Α uΘ

L’accelerazione tangenziale esprime la variazione del modulo della velocità infatti dalla 1.85

(1.94)dv

dt=

d

dtHR ΩL =

d

dtR

dΘ

dt= R

d2 Θ

dt2= R Α

A.Carnera - Appunti di meccanica

pag. 19

1.4.3.4 Il moto circolare uniformemente acceleratoSe l’accelerazione angolare Α è costante il moto circolare viene detto uniformemente accelerato, in analogia con il moto rettilineo.In un moto circolare uniformemente accelerato le equazioni del moto diventano del tutto analoghe a quelle ottenute nel moto rettilineo uniforme-mente accelerato

(1.95)Α = cost.

Ω = Ω0 + Α t

Θ = Θ0 + Ω0 t +1

2Α t2

queste sono le leggi che descrivono il moto del punto in figura 1.17. Se Ω è positivo il moto si sviluppa verso valori di Θ crescenti, cioè in versoantiorario.

Se Α¹0, Ω varia nel tempo e varia molto rapidamente anche la componente centripeta (normale) dell’accelerazione che dipende dal quadrato di Ω,come si vede dalla 1.91.

tHsL

j = 90. °

Ω = 0.75 s-1

Ω0Hs-1L 0.75 ΑHs-2L 0

v

a

j

Moto circolare uniforme

1.17 Moti circolari uniformi o uniformemente accelerati

La figura 1.17 mostra come può variare la direzione del vettore accelerazione: se Α=0, l’accelerazione è puramente centripeta e forma con la velocitàun angolo j=90°. Se Ω è nulla ma l’accelerazione angolare Α¹0 la sola componente dell’accelerazione è quella tangenziale e quindi il vettoreaccelerazione è parallelo a v, quindi j=0. In tutti i casi intermendi l’accelerazione presenta entrambe le componenti.

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pag. 20

1.4.3.5 Commenti e note sull’accelerazioneQuanto detto nel paragrafo precedente sull’accelerazone nel moto circolare mette in luce che i concetti “intuitivi” di velocità e, soprattutto, diaccelerazione descrivono correttamente solo il moto rettilineo. Solo in questo caso non solo il modulo della velocità rappresenta istante per istante lospazio percorso nell’unità di tempo ma anche il modulo dell’accelerazione misura effettivamente il tasso di variazione istantanea della velocità . Se la

traiettoria è curva il modulo della velocità è ancora ds/dt ma il modulo dell’accelerazione non è più d2 s dt 2!

Più rigorosamente, se riprendiamo l'espressione vettoriale dell'accelerazione, la componente tangenziale ha la direzione del versore uΘ, tangente alla

traiettoria che identifica la direzione del moto, mentre la componente centripeta ha la direzione del versore uN =duΘ

dΘ e rende conto della variazione

del vettore tangente alla traiettoria, quantificandone la curvatura: se uΘ è costante, cioè se la traiettoria è rettilinea, l'accelerazione centripeta siannulla.

Possiamo vedere la cosa ancora da un altro punto di vista: il modulo dell’accelerazione centripeta dalla 1.92 è aN =v2

R, quindi se il modulo della

velocità è costante,

(1.96)LimR®¥

aN = LimR®¥

v2

R= 0

L’accelerazione centripeta si annulla su di una traiettoria circolare di raggio infinito. Ma un cerchio di raggio infinito è una retta e di nuovo arriviamoalla conclusione che per traiettorie rettilinee l’accelerazione centripeta è nulla.

Abbiamo visto che la presenza dell’accelerazione centripeta è legata alla curvatura della traiettoria. Per una traiettoria circolare vale la relazione

(1.97)ds = R dΘ

che possiamo prendere come definizione del raggio della circonferenza

(1.98)R =ds

dΘ

Il significato della 1.98 è spiegato nella figura 1.18 nella quale la lunghezza dell’arco di circonferenza è fissato a 200 (in unità di lunghezza qualsiasi,potrebbero essere metri o pollici o kilometri...). Il cursore fa variare il raggio della circonferenza in un ampio intervallo di valori. L’angolo al centroDΘ è geometricamente identico all’angolo fra le tangenti alle due estremità dell’arco. Al variare di R l’angolo DΘ varia in proporzione inversa e, perR®¥, DΘ®0 e le rette tangenti passati per gli estremi dell’arco diventano parallele. La traiettoria è a questo punto una retta.

r

DΘ= 28.13 °

DΘ DΘ

R =

Ds

DΘ

=

200

0.4910= 407.4

-100 -50 0 50 100

1.18 Il raggio della circonferenza come rapporto fra Ds e DΘ

La relazione 1.98 è alla base del concetto di curvatura locale di una curva piana qualsiasi che svilupperemo nel prossimo paragrafo.

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pag. 21

1.4.4 Il moto lungo traiettorie piane qualsiasi

1.4.4.1 L’accelerazione nel moto pianoE’ abbastanza naturale immaginare che il moto lungo una traiettoria piana di forma qualsiasi condividerà aspetti delle traiettorie rettilinee e delletraiettorie circolari. Gli uni domineranno sugli altri altri a seconda della curvatura della traiettoria.

La figura 1.10 già mostrava che la velocità , così come definita dalla relazione 1.33 vale qualsiasi sia la forma della traiettoria. Ricordando ledefinizioni 1.83 e 1.88

(1.99)

uΘ =dur

dΘ

uN =duΘ

dΘ

possiamo quindi sempre scrivere

(1.100)v HtL =ds

dtuΘ HtL

d'altra parte l'accelerazione è per definizione

(1.101)a HtL =dv

dt=

d

dt

ds

dtuΘ +

ds

dt

duΘ

dt=

d2 s

dt2uΘ +

ds

dt

dΘ

dt

duΘ

dΘ= aT + aN

con

(1.102)aN =ds

dt

dΘ

dt

duΘ

dΘ=

ds

dΘ

dΘ

dt

dΘ

dt

duΘ

dΘ= R

dΘ

dt

2

uN

dove si è estesa a curve qualsiasi la definizione di R data dalla 1.98. Si è così definito il raggio di curvatura locale della traiettoria, cioè il raggiodella circonferenza il cui arco infinitesimo coincide con il tratto infinitesimo ds della traiettoria nel punto dato.

Se si considera che dalla 1.98 discende che ds=R dΘ, allora la 1.102 può essere riscritta nella forma equivalente

(1.103)aN = R1

R2

dRΘ

dt

2

uN =1

R

ds

dt

2

uN =v2

RuN

Quindi le due componenti dell’accelerazione sono

(1.104)

aT =d2 s

dt2uΘ accelerazione tangenziale

e

aN = RdΘ

dt

2

uN =v2

RuN accelerazione centripeta

Il significato delle componenti tangenzile (aT) e normale o centripeta (aN) rimangono gli stessi che abbiamo già visto nel moto circolare e sonoesemplificati nella figura 1.19

| Cap.1 - Cinematica

pag. 22

t

moto uniforme

moto accelerato

Traiettoria orizzontale

Traiettoria inclinata

Traiettoria parabolica

Traiettoria varia

v

Posizione Velocità e accelerazione

-5 -3 -1 1 3 5

-4

-2

0

2

4

6

-5 -3 -1 1 3 5

v-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

1.19 le componenti tangenziali e normali dell’accelerazione in un moto piano qualsiasi

La parte sinistra della figura mostra il moto allo scorrere di t, la parte destra focalizza l’attenzione su velocità e accelerazione.

Esaminiamo i vari moti previsti, sapendo che la forma della traiettoria può comunque essere modificata trascinando i quattro cerchi grigi del pannellodi sinistra.

I due bottoni rettangolari permettono di scegliere tra moti con modulo della velocità costante (moto uniforme) oppure con modulo dell’accelerazionetangenziale costante (moto accelerato). Gli altri quattro pulsanti permettono di scegliere quattro forme diverse pre-programmate di traiettoria.

Se si sceglie il moto uniforme e si esamina l’andamento della velocità e dell’accelerazione nel pannello di destra, si può vedere che nei due casi dimoto rettilineo, orizzontale o inclinato, il vettore velocità rimane rigorosamente costante con direzione parallela (tangente) alla retta di moto.Se invece, sempre con selezionato il moto uniforme, si scelgono le altre due traiettorie, che sono curve, il vettore velocità rimarrà costante solo inmodulo e il suo estremo si muoverà lungo una circonferenza. Nel pannello di destra compare la freccia rossa che indica l’accelerazione. L’acceler-azione sarà sempre ortogonale alla velocità , cioè sempre puramente centripeta e sarà massima nei tratti di triettoria di maggior curvatura (cioè conraggio di curvatura più piccolo), coerentemente con quanto prevede la 1.104 per la quale se la velocità è costante in modulo l’accelerazione normaleè massima quando R è minimo.

Se invece si sceglie il moto accelerato compare anche la componente tangenziale dell’accelerazione che è parallela alla velocità . Quindi nei due motirettilinei vedremo che il modulo della velocità cresce linearmente col tempo ma la velocità e l’accelerazione non cambieranno direzione mentre neimoti lungo triettorie curve l’accelerazione sarà la somma vettoriale del contributo tangenziale (costante) e di quello normale (che varia lungo latraiettoria come abbiamo già visto). Il risultato quindi è in genere un’accelerazione che non è né parallela né ortogonale alla velocità , se non nei puntiin cul la curvatura della traiettoria cambia di segno e quindi il raggio di curvatura localmente diventa infinito comportando l’annullamento dellacomponente centripeta dell’accelerazione.

A.Carnera - Appunti di meccanica

pag. 23

1.4.4.2 Riassunto dei concetti geometrici usati nella descrizione della velocità e dell’accelerazioneUn’analisi riassuntiva di come siamo arrivati alla descrizione delle caratteristiche geometriche, cioè di forma, delle traiettorie piane qualsiasi èproposta dalla figura 1.20.

s 11 Ds 4

Passo 1

Passo 2

Passo 3

P=PHsL

P1=PHs-

Ds

2L

P2=PHs+

Ds

2L

Dr

Ds

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

1.20 studio passo passo della geometria locale della traiettoria

Passo 1: definizione del versore tangente alla traiettoria nel punto P.

I due punti P1e P2 delimitano un arco di traiettoria di lunghezza Ds centrato sul puno P. La linea tratteggiata indica il vettore Dr = P1 P2 . Variandoila lunghezza Ds dell'arco di traiettoria si può vedere come il vettore Dr/Ds tenda al versore tangente alla traiettoria in P, dimostrando la definizione

(1.105)uTHPL =dr

ds= Lim

Ds®0

r IP +Ds

2M - r IP -

Ds

2M

Ds= Lim

Ds®0

Dr

DsNel passo 1 della figura la dimostrazione si ottiene portando a zero il parametro Ds.

Passo 2: definizione del versore normale alla traiettoria nel punto P.Consideriamo adesso i due versori tangenti nei punti P1e P2 , uT HP1L e uT HP2L, e la loro differenza DuT . Definiamo il versore

(1.106)uN =

duT

ds= Lim

Ds®0

uT IP +Ds

2M - uT IP -

Ds

2M

Ds= Lim

Ds®0

DuT

Ds

esso risulta normale alla tangente la traiettoria nel punto P e rivolto verso la concavità della traiettoria. Se la traiettoria nel punto P fosse esattamentecircolare il vettore uN avrebbe la direzione del raggio.Anche in questo caso nel passo 2 della figura la dimostrazione si ottiene portando a zero il parametro Ds.

Passo : costruzione della circonferenza che coincide con l’arco infinitesimo di traiettoria ds.

Prendiamo, lungo la direzione individuata da uN , un punto C che disti da P una lughezza R definita dalla

(1.107)R =ds

dΘ=

dΘ

ds

-1

= LimDs®0

Θ IP +Ds

2M - ΘIP -

Ds

2M

Ds

-1

= LimDs®0

DΘ

Ds

-1

se tracciamo la circonferenza di raggio R centrata in C, il suo arco infinitesimo che passa per P coincide con l’arco infinitesimo di traiettoria in P. Rviene chiamaro il raggio di curvatura ed il cerchio cerchio osculatore in P.Nel passo 3 portate a zero il parametro Ds: otterrete il cerchio osculatore nel punto P. Se poi variate la coordinata s vdrete come il cerchio osculatoreriproduce la curvatura locale della triettoria.

| Cap.1 - Cinematica

pag. 24

se tracciamo la circonferenza di raggio R centrata in C, il suo arco infinitesimo che passa per P coincide con l’arco infinitesimo di traiettoria in P. Rviene chiamaro il raggio di curvatura ed il cerchio cerchio osculatore in P.Nel passo 3 portate a zero il parametro Ds: otterrete il cerchio osculatore nel punto P. Se poi variate la coordinata s vdrete come il cerchio osculatoreriproduce la curvatura locale della triettoria.

1.5 Accelerazione dipendente dalla posizione o dalla velocitàIn generale l’accelerazione non è costante e neppure dipende esplicitamente dal tempo. Le equazioni 1.47 e 1.48, che ci hanno permesso di ricavarela legge oraria del moto nel caso semplice di accelerazione costante non ci sono più di aiuto. Già la prima delle due non è esplicitamente risolvibile

perché non conoscaiamo la funzione a(t) e quindi non sappiamo risolvere l’integrale Ù0ta â t e quindi non conosciamo l’andamento della velocità con

il tempo.

Il problema del moto deve quindi essere visto come quello della soluzione dell’equazione differenziale del secondo ordine

(1.108)aHrL =d2 r HtL

dt2

nell’incognita r(t). Si può facilmente immaginare che di solito il problema è complesso e assai spesso non ne esistono soluzioni analitiche esatte.Esistono però casi molto importanti nei quali si riesce abbastanza facilmente a risolvere l’equazione del moto 1.108.

1.5.1 Il moto armonico sempliceConsideriamo un moto rettilineo nel quale l’accelerazione dipenda linearmente dalla coordinata x

(1.109)aHxL = -Ω2 x

Ω è una costante positiva detta pulsazione. L’equazione del moto è perciò

(1.110)d2 xHtL

dt2= -Ω

2 xHtL d2 xHtL

dt2+Ω

2 xHtL = 0

L’equazione 1.110 ha un’enorme importanza nella descrizione dei fenomeni fisici caratterizzati da un comportamento oscillatorio ed è nota comeequazione del moto armonico semplice. Discuteremo ampiamente in un prossimo capitolo il significato dell’equazione 1.110 e i dettagli della suasoluzione, per il momento vi propongo una forma della legge del moto x(t) e verifichiamo che soddisfa alla 1.110. La soluzione da provare è

(1.111)xHtL = A sinHΩ t + jL

La verifica che la 1.111 soddisfa alla 1.110 è diretta: prima otteniamo la velocità per derivazione rispetto al tempo

(1.112)vHtL =d xHtL

dt= A Ω cosHΩ t + jL

e poi otteniamo con una seconda derivazione l’accelerazione

(1.113)aHtL =d vHtL

dt= -A Ω

2 sinHΩ t + jL

Basta confrontare il secondo membro della 1.113 con la 1.111 per vedere che la 1.113 diventa proprio la 1.110

(1.114)d2 xHtL

dt2= -Ω

2 xHtL

il che dimostra, appunto, che la 1.111 è una soluzione della 1.110.

Nella 1.111 compaiono le due costanti A e j: la cosa non dovrebbe stupirvi perché abbiamo già ricordato che ogni volta che risolviamo un’e-quazione differenziale del secondo ordine devono apparire due costanti di integrazione. Nel caso del moto uniformemente accelerato avevamo vistoche le due costanti avevano il significato di posizione iniziale x0 = xHt = 0L e v0 = vHt = 0L. Proviamo a seguire la stessa linea di pensiero per capire ilsignificato di A e j. Scriviamo la posizione e la velocità iniziali usando le 1.111 e 1. 112

(1.115)¶x0 = x Ht = 0L = A sin j

v0 = v Ht = 0L = A Ω cos j

(1.116)x0 = A sin j

v0

Ω= A cos j

x0

2 +v0

2

Ω2= A2 Isin2 j + cos2 jM = A2

x0

v0Ω= tg j

cioè

(1.117)

A = x02

+v0

2

Ω2

j = arctgx0

v0 Ω

A.Carnera - Appunti di meccanica

pag. 25

quindi anche in questo caso le due costanti di integrazione si ricavano direttamente se sono note la posizione e la velocità iniziale.

La costante A è detta ampiezza dellle oscillazioni perché sarà sempre -Abx(t)bA, perchè -1bsin(Ω t+j)b1, è nota come fase iniziale visto chex(t=0)=A sin j.

Le 1.117 diventano particolarmente chiare se il moto inizia con velocità nulla, se cioè è v0 = 0. Allora la seconda delle 1.115 comporta che

(1.118)v0 = 0 A = 0 oppurej =

Π

2

j =3 Π

2

la soluzione A=0 va esclusa perchè si tratta della soluzione banale in cui il punto è fermo all’otigine: x(t)=0. La prima delle 1.115 allora ci fornisce lesoluzioni

(1.119)A = x0 per j =

Π

2

A = -x0 per j =3 Π

2

Analogamente se facciamo l’ipotesi che il punto a t=0 si trovi all’origine con v0 ¹ 0

(1.120)j = 0 e A =

v0

Ω

j = Π e A = -v0

Ω

La figura 1.21 mostra il tipico andamento oscillatorio della posizione in funzione del tempo. Potete variare i parametri e vedere come il moto nerisente. Nel pannello superiore che mostra l’animazione se attivate lo scorrere del tempo sono anche rappresentati i vettori velocità e accelerazione: sivede chiaramente che la velocità è massima quando il punto si trova nel centro delle oscillazioni e si annulla alle estremità , dove il moto si inverte.Opposto è l’andamento dell’accelerazione che invece è massima quando il punto si trova alle coordinate x=±A e si annulla a x=0.

Moto armonico semplice

t HsL

Ω Hs-1L2 Π

5

x0 HmL -5

v0 HmsL 0

A= 5.00 m j= -0.50 Π rad.

x= 4.96 m

v= -0.79 ms

a= -7.83 ms2

v-10 -5 0 5 10 15

x

a-10 -5 0 5 10 15

x

1 2 3 4 5

-15

-10

-5

5

10

15x

+A

-A

1.21 il moto armonico semplice date la posizione e la velocità iniziali

L’andamento della posizione, della velocità e della accelerazione è mostrato nei grafici della figura 1.22. Nella figura è anche indicato il tempo T,detto periodo delle oscillazioni. T è definito come l’intervallo di tempo dopo il quale il moto ritorna identico (in posizione, velocità e accelerazione).E’ facile convincersi che il periodo T è legato alla pulsazione Ω dalla relazione

(1.121)T =2 Π

Ω

infatti l’argomento della funzione seno nella 1.111, dopo che è trascorso un intervallo T dal tempo t diventa

(1.122)ΩHt + TL + j = Ω t +2 Π

Ω+ j = Ω t + j + 2 Π

qundi la funzione seno acquista un valore identico a quello che aveva al tempo t e così anche le sue derivate. Il moto quindi si ripete all’infinito conperiodicità T. Nella figura si nota anche che la velocità ha valore nullo quando x è massima e viceversa x è nulla quando la velocità è massima. Lavelocità è sfasata rispetto alla posizione di Π/2. L’accelerazione invece si trova sempre in opposizione di fase rispetto alla posizione: è minimaquando la x assume il valore massimo e viceversa: l’accererazione è sfasata di Π rispetto alla posizione.

| Cap.1 - Cinematica

pag. 26

Moto armonico semplice

t HsL

Ω Hs-1L4 Π

5

A HmL 5

j HradL 0

x0= 0.00 m v0= 12.60 ms T= 2.50 s

x= 2.41 m

v= 11.00 ms

a= -15.20 ms2

1 2 3 4 5

-15

-10

-5

5

10

15x

Posizione

+A

-A

T

1 2 3 4 5

-30

-20

-10

10

20

30

vVelocità

+Ω A

-Ω A

T

1 2 3 4 5

-50

50

aAccelerazione

+Ω2A

-Ω2A

T

1.22 posizione, velocità e accelerazione nel moto armonico semplice

1.5.2 Accelerazione dipendente dalla velocità : l’attrito viscoso

1.5.2.1 moto in presenza del solo attrito viscosoL’accelerazione può dipendere nonsolo dal tempo o dalla posizione ma anche dalla velocità . Una delle forme più comuni di attrito dà luogo appuntoad una accelerazione che ha la caratteristica di essere proporzionale alla velocità e ad essa opposta, si parla in questo caso di attrito viscoso. Nel casosemplice di un moto rettilineo l’equazione del moto assume allora la forma

(1.123)a =dv

dt= -k v

dv

dt+k v = 0

nella quale il coefficiente k è una costante positiva. Nella forma 1.123 l’equazione del moto può essere risolta per integrazione diretta. La 1.123infatti può essere riscritta come

(1.124)1

vdv = -k dt

e integrando membro a membro

A.Carnera - Appunti di meccanica

pag. 27

(1.125)à1

vâ v = -à k â t + ln C1 lnHvHtLL - ln C1 = -k t ln

vHtL

C1

= -k t

Per sole ragioni di praticità nella 1.125 la costante di integrazione è stata espressa come ln C1. Facendo l’esponenziale di entrambi i membri si ottiene

(1.126)vHtL

C1

= e-k t vHtL = C1 e-k t

= v0 e-k t

Nella 1.126 si è potuto dare alla costante di integrazione il significato di velocità iniziale perché v Ht = 0L = C1, quindi possiamo senz’altro porreC1 = v0.La 1.126 ci fornisce quindi l'andamento della velocità nel tempo. Una caratteristica interessante della 1.126 è il suo andamento per tempi lunghi. Sefacciamo il limite per t che tende all'infinito otteniamo

(1.127)Limt®¥

vHtL = Limt®¥

v0 e-k t= 0

se aspettiamo un tempo sufficientemente lungo l’effetto della presenza dell’attrito viscoso è quello di arrestare il moto.

Dalla definizione di velocità discende immediatamente

(1.128)dx

dt= v0 e-k t

la cui integrazione permette di ricavare la legge oraria del moto

(1.129)à â x = à v0 e-k t'â t ' + C2 xHtL = C2 -

v0

kIe-k t

- 1M = x0 +v0

k-

v0

ke-k t

Nella 1.129 si è definita x0 = C2 perché si ha che x Ht = 0L = C2.

1.5.2.2 attrito viscoso più attrito costanteUn caso lievemente più complicato si presenta quando oltre all’accelerazione dovuta alla presenza di un attrito viscoso vi è anche una componentecostante all’accelerazione. Un esmpio tipico è il problema di descrivere la caduta di un grave tenendo conto anche dell’attrito dell’aria. Se orientiamoun asse verticale rivolto verso l’alto e chiamiamo come al solito g l’accelerazione di gravità (vista la convenzione per l’asse, g sarà <0), l’equazionedel moto che descrive il nostro sistema è

(1.130)a =dv

dt= -k v +g

dv

dt+k v = g

La seconda delle 1.130 ha la forma di un’equazione differenziale non omogenea, in quanto il secondo membro non è nullo. La sua omogeneaassociata è la 1.123 che abbiamo già risolto. Dalla teoria delle equazioni differenziali sappiamo che la soluzione generale della 1.130 sarà la sommadella soluzione dell’omogenea associata più una soluzione particolare della 1.130. Trovare una soluzione particolare è in questo caso semplice.Immaginiamo un moto a velocità costante, allora la prima delle 1.130 ha la forma

(1.131)-k v + g = 0

e quindi immediatamente si ha

(1.132)v =g

kche è la soluzione partiocolare che cercavamo. Quindi l’espressione della velocità che soddisfa alla nostra equazione non omogenea 1.130 è datadalla somma della 1.126 e della 1.133

(1.133)vHtL = C1 e-k t+

g

k

In questo caso non è possibile attribuire alla costante di integrazione C1il significato di velocità iniziale infatti v(t=0)=C1 +g

kquindi stavolta vale la

(1.134)C1 = v0 -g

ke la 1.133 diventa

(1.135)vHtL = Kv0 -g

kO e-k t

+g

k

| Cap.1 - Cinematica

pag. 28

Velocità in presenza di un attrito viscoso

-g 9.81

k 0.3

v0 0

5 10 15 20t

-100

-50

0

50

100v

v=

g

k

1.23 il risultato della prima integrazione: la velocità in funzione del tempo

Anche in questo caso è interessante studiare il comportamento della 1.133 per tempi lunghi

(1.136)Limt®¥

vHtL = Limt®¥

KC1 e-k t+

g

kO =

g

kla velocità adesso non si annulla (a meno che g non sia uguale a 0) ma tende al valore costante g/k. Per tempi sufficientemente lunghi il moto diventain pratica un moto rettilineo uniforme.

I passaggi successivi per ricavare la legge oraria del moto sono a questo punto del tutto analoghi a quanto visto nel punto precedente

(1.137)dx

dt= Kv0 -

g

kO e-k t

+g

k

(1.138)à â x = à BKv0 -g

kO e-k t

+g

kF â t + C2 xHtL = -

1

kKv0 -

g

kO e-k t

+g

kt + C2

Per capire il significato fisico della costante C2, anche questa volta vediamo il valore di x a t=0:

(1.139)x0 = xHt = 0L = -v0

k+

g

k2+ C2 C2 = x0 +

v0

k-

g

k2

e la 1.138 può essere riscritta

(1.140)xHtL = x0 +v0

k-

g

k2+

g

kt -

1

kKv0 -

g

kO e-k t

A.Carnera - Appunti di meccanica

pag. 29

Legge oraria del moto

in presenza di un attrito viscoso

t

-g 9.81

k 0.3

v0 0

5 10 15 20t

-600

-500

-400

-300

-200

-100

x

v=

g

k

1.24 la seconda integrazione fornisce la legge oraria del moto. Per tempi lunghi l’andamento è quellotipico di un moto rettilineo uniforme.

La figura 1.23 mostra l’andamento della coordinata verticale x in funzione di t in un moto con accelerazione data dalla somma dell’accelerazione digravità g e di un’accelerazione dovuta ad un attrito viscoso con coefficiente k. Si assume che la posizione iniziale sia x0 = 0 e si può far variare lavelocità iniziale che può essere positiva (diretta verso l’alto) o negativa (diretta verso il basso). Anche il modulo di g ed il coefficiente di attritoviscoso possono essere fatti variare. La linea tratteggiata in rosso mostra l’andamento asintotico con velocità limite g/k.

Il punto nero alla sinistra della figura mostra il moto del punto al variare del tempo. Vengono registrate le posizioni ad intervalli di tempo costanti perevidenziare la prima fase del moto in cui a parità di intervalli di tempo lo spazio percorso varia (moto accelerato) e la seconda nella quale lo spaziopercorso diventa praticamente lo stesso a parità di tempo trascorso tra una registrazione della posizione e la successiva.

1.6 Complementi

1.6.1 Il vettore velocità angolareTrattando il moto circolare abbiamo introdotto il concetto di velocità angolare definendola come la derivata dell’angolo polare Θ rispetto al tempo. lequantità in gioco sono tutte scalari e di consegunza anche la velocità angolare così definita risulta scalare. Vi sono molti casi in cui il sistema fisico ècostituito da molti punti che percorrono traiettorie circolari attorno ad un comune asse di rotazione. Tipico è il caso di un corpo rigido che è imperni-ato su un asse: tutti i punti che lo compongono percorrono delle circonferenze con centro posto sull’asse e con diverse distanze dall’asse ma la natura“rigida” del sistema li vincola ad avere tutti la stessa velocità angolare. E’ perciò assai utile definire un vettore che contenga l’informazione non solodell’intensità della velocità angolare ma anche della direzione dell’asse di rotazione.

| Cap.1 - Cinematica

pag. 30

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t HsL

Ω Hs-1LΠ

50

Moto di rotazione attorno all'asse z

z

1.25 sistema di 10 punti materiali che ruotano rigidamente attorno all’asse z.

Si definisce allora un vettore velocità angolare Ω che ha modulo Ω =dΘ

dt, direzione quella dell’asse di rotazione (convenzionalmente z) e verso

positivo secondo la convenzione per cui dalla punta del vettore il moto venga visto svolgersi in senso antiorario. La proprietà principale del vettore Ωcosì definito è che, se l’origine del sistema di riferimento è posta sull’asse di rotazione z, la velocità risulta

(1.141)v = Ω r

A.Carnera - Appunti di meccanica

pag. 31

Punto

di vista

Normale

Da sopra

Da sotto

Di fronte

t HsL

Ω Hs-1LΠ

50

R HmL 3

z HmL 3

zO HmL -1

Il vettore velocità angolare

O

Ωr

R v

Θ

1.26 il vettore velocità angolare di un punto che ruota attorno all’asse z.

Come si può vedere dalla figura, se si pone la condizione che l’origine stia sull’asse z, il raggio della traiettoria R è dato da R= r sin Θ. Dalladefinizione di prodotto vettore e dalla 1.141 discende la relazione tra i moduli

(1.142)v = Ω r sin Θ = Ω R

che coincide con la 1.85. Quindi la definizione che abbiamo dato del vettore velocità angolare è del tutto coerente con quello che abbiamo già visto aproposito del moto circolare. La figura 1.26 mostra anche che il vettore velocità è ortogonale al piano definito dal vettore Ω e dal vettore r. Quindi vè anche sempre ortogonale a r. Il moto che compie il vettore r attorno all’asse z è chiamato moto di precessione.

A questo punto anche l'accelerazione del punto può essere ricavata con lo stesso formalismo

(1.143)a =dv

dt=

dΩ

dtr + Ω

dr

dt=

dΩ

dtr + Ω v =

dΩ

dtr + Ω Ω r

se confrontiamo questo risultato con la 1.89 che ci dava a = R Α uΘ + R Ω2 uN = aT + aN e ricordando che il risultato di un prodotto vettore è unvettore ortogonale ai due fattori otteniamo

(1.144)aT =

dΩ

dtr

aN = Ω Ω r

| Cap.1 - Cinematica

pag. 32

Quindi utilizzando la definizione di vettore velocità angolare abbiamo potuto ricavare molto rapidamente le espressioni della velocità e dell’acceler-azione nel moto circolare.

1.6.2 Velocità e accelerazione in coordinate sfericheNella sezione 1.1.3 abbiamo introdotto il sistema di coordinate sferiche per la rappresentazione del vettore posizione r(t)= r(t) urHtL. Dalle 1.15 siricava che rispetto agli assi del sistema di riferimento cartesiano fisso la forma del vettore r, se si utilizzano le coordinate sferiche, diventa

(1.145)rHtL = rHtL Isin@ΘHtLD cos@jHtLD ux + sin@ΘHtLD sin@jHtLD uy + cos@ΘHtLD uzM

che implicitamente fornisce la rappresentazione del versore ur in coordinate sferiche

(1.146)ur = sin@ΘHtLD cos@jHtLD ux + sin@ΘHtLD sin@jHtLD uy + cos@ΘHtLD uz

La velocità sarà quindi

(1.147)v =dr

dt=

dr

dtur + r

dur

dtE’ quindi necessario calcolare la derivata rispetto al tempo del versore ur.

(1.148)dur

dt=

¶ur

¶r

dr

dt+

¶ur

¶ Θ

dΘ

dt+

¶ur

¶ j

dj

dt

Si è utilizzata la definizione di derivata parziale rispetto al tempo di un vettore VHx1, x2, x3 ) rispetto alle generiche coordinate x1, x2, x3, che è

(1.149)¶V

¶ x1

= LimDx1®0

V Hx1 + Dx1, x2, x3L - VHx1, x2, x3L

Dx1

e le analoghe per le altre due coordinate

Dalla 1.146 si ricavano

(1.150)¶ur

¶r= 0

(1.151)¶ur

¶ Θ= cos Θ cos j ux + cos Θ sin j uy - sin Θ uz

(1.152)¶ur

¶ j= -sin Θ sin j ux + sin Θ cos j uy

Il vettore della 1.151 è un vettore unitario perché

(1.153)¶ur

¶ Θ.

¶ur

¶ Θ= cos2

Θ cos2j + cos2 Θ sin2

j + sin2Θ = cos2

Θ Icos2j + sin2

jM + sin2Θ = cos2

Θ + sin2Θ = 1

quindi possiamo definire il versore

(1.154)uΘ =¶ur

¶ Θ= cos Θ cos j ux + cos Θ sin j uy - sin Θ uz

la 1.152 può invece essere riscritta

(1.155)¶ur

¶ j= sin Θ I-sin j ux + cos j uyM = sin Θ uj

dove si è posto

(1.156)uj = -sin j ux + cos j uy

Alle tre coordinate sferiche r, Θ e j sono quindi associati tre versori, ur, uΘ, uj, che rappresentano la direzione in cui varia il vettore r a seguito delcambiamento della rispettiva coordinata.Variando i valori delle tre coordinate sferiche nella figura 1.27 si può vedere il significato dei tre versori che abbiamo qui definito.

A.Carnera - Appunti di meccanica

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Punto

di vista

Normale

Da sopra

Di fronte

r 8

ΘΠ

4

Φ4 Π

3

x

y

z

r

Θ j

ur

uΘ

uj

-10

0

10

-10

10

-10

10

1.27 la rappresentazione del vettore posizione in coordinate sferiche e i versori associati alle variazioni di r, Θ, e j

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