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Meccanica

8. Statica

http://campus.cib.unibo.it/2425/

Domenico GalliDipartimento di Fisica e Astronomia

22 febbraio 2017

Traccia

1. Statica

2. Forze

3. Forza Peso

4. Forza Elastica

5. Equazioni Cardinali della Statica

6. Forze Vncolari

7. Forze di Attrito

D. Galli

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Meccanica – 8. StaticaStatica Forze Forza Peso Forza Elastica Equazioni Cardinali Forze Vncolari Forze di Attrito

Statica

Cinematica: descrizione del moto, a prescindere dalle cause chemodificano lo stato di moto (forze).Equilibrio: si ha quando un corpo soggetto a forze, inizialmente inquiete rispetto a un prestabilito SdR, rimane nello stato di quiete:

In uno stato di equilibrio le forze non modificano lo stato di moto.

Statica: studio delle forze (che sono causa dei cambiamenti dellostato di moto) nelle configurazioni di equilibrio.

D. Galli

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Forza

Concetto di forza: nasce dallo “sforzo” muscolare.Definizione operativa (specificazione del procedimento con cui sieffettua la misura): cordicella + dinamometro.

La retta su cui si dispone la cordicella rappresenta la direzione dellaforza, il dinamometro ne misura il modulo.Il dinamometro è costituito da una molla a forma di elica cilindrica e dauna scala graduata che consente di misurarne l’allungamento.I Cordicella ideale: infinitamente sottile, perfettamente flessibile e inestensibile.I Molla ideale: massa nulla, segue precisamente la legge di Hooke:

~F = −k−→∆l

dove ~F è la forza,−→∆l è l’allungamento e k è una costante (detta costante

elastica).

dinamometroD. Galli

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Natura Vettoriale delle Forze

Si trova sperimentalmente che le forze si sommano vettorialmente.

Per 3 forze applicate a un punto materiale si ha l’equilibrio se:

~F3 = −Ä~F1 + ~F2

ä⇒ ~F1 + ~F2 + ~F3 = ~0

D. Galli

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Unità di Misura della Forza

Nel Sistema Internazionale la forza si misura in Newton (simbolo N).

1 N ≈ 0.101972 kgf

dove kgf è il chilogrammo-forza del deprecato Sistema Tecnico.

Definiremo il Newton successivamente, dopo avere affrontato ilSecondo Principio della Dinamica.

D. Galli

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Forza Peso

La forza peso ~Fp agisce su tutti i corpi che si trovano in prossimità dellasuperficie terrestre.

Dovuta all’attrazione gravitazionale della Terra sui corpi;Ha direzione orientata che punta approssimativamente verso ilcentro della Terra;Ha modulo costante con ottima approssimazione:

Il modulo diminuisce lievemente con l’altezza sul livello del mare:I Salendo di 1000 m un corpo di peso 1 N riduce il peso di circa 0.0003 N.

La forza peso che agisce su di un corpo omogeneo dipende dalvolume V del corpo e dal suo peso specifico ps:∥∥∥~Fp∥∥∥ = V ps

dove il peso specifico ps dipende dal materiale di cuiè costituito il corpo.

D. Galli

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Centro di Gravità o Baricentro

Corpo rigido: si può idealmente suddividerlo in n parti sufficiente-mente piccole rispetto al contesto considerato, da poter essereconsiderate puntiformi.

Ogni parte i del corpo rigido, i = 1, . . . , n, è soggettaalla forza peso: ~F1, . . . , ~Fn.

Se il corpo non è troppo esteso (rispetto alla dimen-sione della Terra) tali forze sono parallele tra loro.

L’insieme delle forze peso è riducibile a una sola forza,la risultante ~R, detta peso totale del corpo, applicatanel centro dei vettori paralleli, che in questo caso prendeil nome di Centro di Gravità (o Baricentro) G.

D. Galli

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Centro di Gravità o Baricentro (II)

Il Centro di Gravità (essendo il centro dei vettori parallelidelle forze peso) è definito dalla relazione:

~rOG =1∥∥∥ ~R∥∥∥

n∑i=1

∥∥∥~Fi∥∥∥ ~rOPi ,~R =

n∑i=1

~Fi

Scelta una terna ortogonale di riferimento con l’originenel centro di riduzione O, posto:{

~rOPi = xi ı̂+ yi ̂+ zi k̂

~rOG = xG ı̂+ yG ̂+ zG k̂

possiamo anche scrivere, nella base cartesiana:

xG =1

‖ ~R‖

n∑i=1

∥∥∥~Fi∥∥∥ xi, yG =1

‖ ~R‖

n∑i=1

∥∥∥~Fi∥∥∥ yi, zG =1

‖ ~R‖

n∑i=1

∥∥∥~Fi∥∥∥ ziD. Galli

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Centro di Gravità o Baricentro (III)

Per un sistema costituito da 2 soli punti materiali, il centro di gravitàsi trova sul segmento che congiunge i 2 punti, a distanza da essiinversamente proporzionale al loro peso.

Per un sistema di n punti materiali che giacciono su di una retta, ilcentro di gravità si trova sulla medesima retta.

Per un sistema di n punti materiali che giacciono su di un piano, ilcentro di gravità si trova sul medesimo piano.

Se un sistema può essere diviso in più parti, il suo centro di gravitàcoincide col centro di gravità dei centri di gravità parziali.

D. Galli

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Centro di Gravità o Baricentro (IV)

Per un corpo omogeneo (porzioni di ugual volume hanno ugual peso),suddividendolo in n parti di ugual volume, sufficientemente piccolerispetto al contesto considerato, da poter essere considerate puntiformi,si ha:~Fi = ~F , , i = 1, 2, . . . , n

xG =1

‖ ~R‖

n∑i=1

‖~Fi‖ xi =1

n‖~F‖

n∑i=1

‖~F‖ xi =1

n‖~F‖‖~F‖

n∑i=1

xi =1

n

n∑i=1

xi

yG =1

n

n∑i=1

yi

zG =1

n

n∑i=1

zi

~rOG =1

n

n∑i=1

~rOPi

D. Galli

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Centro di Gravità o Baricentro (V)

Per un corpo omogeneo (porzioni del corpo di ugual volume hanno ugualpeso), detto ps il peso specifico, possiamo anche scrivere ‖~Fi‖ = Vi ps e‖ ~R‖ = V ps, per cui:

~rOG =1

‖ ~R‖

n∑i=1

‖~Fi‖ ~rOPi =1

‖ ~R‖

n∑i=1

Vi ps ~rOPi =ps

‖ ~R‖

n∑i=1

Vi ~rOPi =

=1

V

n∑i=1

Vi ~rOPi

D. Galli

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Centro di Gravità o Baricentro (VI)

Se si fa tendere n→∞, la sommatoria è sostituita da un integrale divolume. Per un corpo omogeneo si ha:

~rOG =1

V

n∑i=1

~rOPi Vi, V =n∑i=1

Vi

~rOG =1

V

∫∫∫C

~rOP dV, V =

∫∫∫C

dV

Si noti come si passa da un insieme discreto di punti {Pi, i = 1, . . . , n} aun insieme continuo {P ;P ∈ C }.

Le espressioni con gli integrali sono più semplici da calcolare nel casodi vorpi rigidi aventi una forma geometrica regolare:

Parallelepipedi, sfere, cilindri, coni, ecc.

D. Galli

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Centro di Gravità o Baricentro (VII)

Ricordando l’espressione dV = dx dy dz del volume elementare nellabase cartesiana, possiamo scrivere il vettore posizionale del baricentro diun corpo continuo e omogeneo:

~rOG =1

V

∫∫∫C

~rOP dV, V =

∫∫∫C

dV

nella base cartesiana, come:

xG =1

V

∫∫∫C

x dx dy dz

yG =1

V

∫∫∫C

y dx dy dz

zG =1

V

∫∫∫C

z dx dy dz

, V =

∫∫∫C

dx dy dz

D. Galli

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Forza Elastica

I corpi materiali si deformano in seguito alla applicazione di una forza

esterna:Alcuni corpi, detti corpi elastici, tendono a riprendere la forma

originaria quando la forza esterna cessa di agire.Altri corpi, detti corpi anelastici rimangono permanentemente

deformati.La forza interna ai corpi che:

Si oppone alla deformazione dei corpi dovuta a una forza esterna;Ripristina la forma originale dei corpi quando la forza esterna cessadi agire;

è detta forza elastica.Se la deformazione non è troppo ampia, molti corpi elastici mostrano unarelazione di semplice prorporzionalità tra l’intensità della forza elastica

che sviluppano e l’entità della deformazione subita.In questi casi si dice che la forza elastica è nel regime lineare.

D. Galli

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Forza Elastica (II)

Consideriamo una molla lineare con un estremo ancorato e fisso e l’altroestremo libero di scorrere senza attrito lungo una certa direzione.

In assenza di deformazione (−→∆l = ~0)

la molla non esercita forza (~F = ~0);

Se la molla subisce una deformazione(compressione o allungamento) di unalunghezza ∆l essa esercita una forza:

~F = −k−→∆l (legge di Hooke)

dove k è una costante (detta costante

elastica).

Si osservi che la forza ~F ha versoopposto alla deformazione

−→∆l.

D. Galli

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Forze Interne e Forze Esterne

In un sistema di punti materiali si definiscono:

Forze interne: le forze esercitate da una parte del sistema su un’altraparte dello stesso sistema.

Forze esterne: le forze esercitate su di una parte del sistema daparte di corpi non appartenenti al sistema.

Es.:

Per il sistema {Terra}, l’attrazione gravitazionale esercitata del Solesulla Terra è una forza esterna.

Per il sistema {Terra, Sole} l’attrazione gravitazionale esercitata delSole sulla Terra è una forza interna.

N. B.: Ovviamente, la distinzione tra forzeinterne e forze esterne non ha senso perun singolo punto materiale.

D. Galli

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Equazioni Cardinali della Statica

Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un punto

materiale è che si annulli la risultante delle forze ad esso applicate:

~R = ~0

N. B.: questo non significa che non siano presenti forze!

Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un corpo rigido

è che si annullino sia la risultante sia il momento risultante delleforze esterne a esso applicate:

~R(e) = ~0, ~M(O)(e) = ~0 (equazioni cardinali della statica)

N. B.: le forze interne di coesione del corpo rigido, che mantengonoinvariate le distanze tra i punti, non hanno effetto.

Queste condizioni si ricavano, come caso particolare, dalle equazioni

della dinamica (si veda il seguito del corso).D. Galli

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Calibrazione di un Dinamometro

Si appende il dinamometro al soffitto e si applica al dinamometro unnumero via via crescente di pesetti tra loro uguali:

Stesso volume e stesso materiale.Terminata la fase transitoria in cui il sistema oscilla, si raggiungel’equilibrio:

Sistema in quiete;

Risulta ~R = ~0, per cui:

~R = ~Fp + ~Fe = ~0 ⇒ ~Fp − k−→∆l = ~0

quindi:

∆l =Fpk

Si applicano 1, 2, 3, . . . pesetti e si tracciano le tacchein corrispondenza dell’indice del dinamometro.

D. Galli

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Forze Vincolari

Ogni vincolo impedisce certi movimenti del corpo considerato e neconsente altri (es.: rotaia treno, cardine porta, piano su cui èappoggiato un oggetto, ecc.).

Per impedire i movimenti vietati dei corpi, i vincoli debbono esercitaresui corpi delle forze, dette forze vincolari o reazioni vincolari.Esempio:

Se un corpo, appoggiato su un tavolo, rimane in quiete, allora la risultante

e il momento risultante delle forze che agiscono su di esso sono entrambinulli.Il corpo è sicuramente soggetto alla forza peso ~Fp

diretta lungo la verticale verso il basso.Affinché sia nulla la risultante, deve essere presenteuna forza, diretta lungo la verticale verso l’alto.Tale forza è la reazione vincolare ~Rn.Per le equazioni cardinali della statica deve essere~R = ~Fp + ~Rn = ~0, per cui risulta ~Rn = −~Fp.

D. Galli

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Forze Vincolari (II)

Le forze non vincolari sono dette forze attive.Le forze vincolari sono a priori sconosciute, in quanto debbonoadeguarsi alle circostanze per neutralizzare le forze attive chepotrebbero causare movimenti vietati:

Il medesimo tavolo esercita reazioni vincolari diverse su due oggetti di

peso diverso appoggiati su di esso:

~R(1)n = −~F (1)

p

~R(2)n = −~F (2)

p

‖~F (1)p ‖ > ‖~F (2)

p ‖

⇒ ‖~F (1)p ‖ > ‖~F (2)

p ‖

D. Galli

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Forze Vincolari (III)

Un vincolo è in grado di esercitare la reazione vincolare ~Rn finché laforza attiva ha modulo inferiore a un valore di soglia denominato carico

di rottura σ.

Il carico di rottura è pari alla massima reazione vincolare che ilvincolo è in grado di esercitare:

σ = max{∥∥∥~Rn∥∥∥}

Se il modulo della forza attiva ~Fsupera il carico di rottura σ, lareazione vincolare non è piùesercitata.

D. Galli

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Forze Vincolari (IV)

Possiamo quindi scrivere:

~Rn =

−~F se

∥∥∥~F∥∥∥ < σ

~0 se∥∥∥~F∥∥∥ > σ

dove ~Rn è la reazione vincolare, ~F è la forza attiva e σ è il carico di

rottura.

‖~Fp‖ < σ ‖~Fp‖ > σ

D. Galli

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Forze di Attrito

Le forze di attrito sono forze che si sviluppano sulle superfici dei corpi,tangenzialmente a esse, ostacolandone il movimento.

Attrito interno: si esplica tra i vari strati di un fluido, dovuto allaviscosità (es.: differente comportamento tra acqua e miele).

Attrito del mezzo: resistenza viscosa (F ∝ v) o resistenza idraulica

(F ∝ v2) a cui è soggetto un corpo in moto entro un fluido viscoso.

Attrito radente: quando due corpi solidi sono sollecitati a strisciare

l’uno sull’altro, sulle superfici di contatto si sviluppano forze tangenzialidovute alle asperità e alle forze di adesione che si esercitano tra ledue superfici.

Attrito volvente: si osserva in un cilindro che rotola senza strisciare

su di una superficie. Dovuto alle asperità e alla non perfetta elasticitàdei corpi a contatto.

D. Galli

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Attrito Radente

Si manifesta allo strisciare di due corpi l’uno sull’altro.È causato dalle asperità delle superfici striscianti (per cui leirregolarità della superficie più dura scavano solchi sulla superficie piùtenera) e dall’adesione tra le due superfici che può produrre dellevere micro-saldature nei punti di contatto.

Particolarmente intensa è l’adesione tra rame e rame e tra alluminio ealluminio, che tendono facilmente a “ingranarsi” o “gripparsi”.

D. Galli

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Attrito Radente (II)

Per diminuire l’attrito radente si utilizzano lubrificanti, ovverosostanze (olio, grafite, talco, paraffina) che si interpongono tra le duesuperfici che strisciano.

Per minimizzare l’attrito, allo scopo di eseguire esperimenti precisi didinamica, si utilizza il “cuscino d’aria”, ovvero si interpone uno stratodi aria tra le superfici.

Il ghiaccio secco a temperatura ambiente sublima in anidridecarbonica gassosa che fuoriesce dal foro inferiore creando unapellicola di aria che si interpone tra il

disco e la superficie su cui essoappoggia.

D. Galli

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Attrito Radente (III)

La tecnica del “cuscino d’aria” è utilizzata anche in particolari veicolianfibi per trasporto passeggeri denominati hovercraft.

D. Galli

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Attrito Radente (IV)

Nello studio dell’attrito radente si distingue tra attrito statico e attritodinamico:

Se un corpo pesante appoggia con una faccia su di un pianoorizzontale e sia applica a esso una forza ~F diretta orizzontalmente,se il modulo della forza ‖~F‖ è sufficientemente piccolo il corpo non si

muove (attrito statico).

Quando invece si aumenta ‖~F‖ oltre una certo valore di soglia, (dettosoglia di primo distacco e qui indicato con θ) il corpo inizia amuoversi, ma con accelerazione inferiore a quella che avrebbe inassenza di attrito (attrito dinamico).

Abbiamo quindi:∥∥∥~F∥∥∥ < θ ⇒ attrito statico∥∥∥~F∥∥∥ > θ ⇒ attrito dinamico

D. Galli

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Attrito Radente (V)

Si trova sperimentalmente che la soglia di primo distacco θ èproporzionale all’intensità della reazione vincolare ~Rn, detta forza di

appoggio (che, a sua volta, è opposta alla forza peso ~Fp):

θ = f∥∥∥~Rn∥∥∥

Il coefficiente adimensionale f è detto coefficiente di attrito statico.

Sperimentalmente si trova che f dipende dai materiali di cui sonocomposte le superfici e dalla loro scabrosità ed èapprossimativamente indipendente dalla superficie di appoggio.

Abbiamo quindi:∥∥∥~F∥∥∥ < f∥∥∥~Rn∥∥∥ ⇒ attrito statico∥∥∥~F∥∥∥ > f∥∥∥~Rn∥∥∥ ⇒ attrito dinamico

D. Galli

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Attrito Radente Statico

Se il corpo non si muove (attrito radente statico), significa che essosi trova in equilibrio, dunque (per le equazioni cardinali della statica)la risultante delle forze deve essere nulla:

~R = ~F + ~R(s)t = ~0 se

∥∥∥~F∥∥∥ < f∥∥∥~Rn∥∥∥

Questo significa che, se il corpo non si muove, la forza di attritoradente è sempre opposta alla forza attiva:

~R(s)t = −~F se

∥∥∥~F∥∥∥ < f∥∥∥~Rn∥∥∥

Come la reazione vincolare, anche la forza diattrito radente statico non è nota a priori:

Essa si adegua alla forza attiva:I Finché la forza attiva ~F non raggiunge

l’intensità di soglia θ = f ‖~Rn‖.

D. Galli

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Attrito Radente Statico (II)

La massima intensità della forza di attrito radente statico si raggiungequando ‖~F‖ → θ−. In tal caso risulta:

~R(s)t = −~F∥∥∥~F∥∥∥→ θ−

⇒∥∥∥~R(s)

t

∥∥∥ =∥∥∥~F∥∥∥→ θ

Possiamo pertanto scrivere:

lim‖~F‖→θ−

∥∥∥~R(s)t

∥∥∥ = θ = f∥∥∥~Rn∥∥∥

inoltre:

max{∥∥∥~R(s)

t

∥∥∥} = θ = f∥∥∥~Rn∥∥∥∥∥∥~R(s)

t

∥∥∥ ≤ θ = f∥∥∥~Rn∥∥∥

dove vale l’uguaglianza soltanto se ‖~F‖ → θ− = f ‖~Rn‖.D. Galli

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Attrito Radente Dinamico

Se ‖~F‖ > θ allora il corpo inizia a muoversi.

In questo caso il corpo non è in equilibrio e la risultante non è nulla:

~R = ~F + ~R(d)t 6= ~0 se

∥∥∥~F∥∥∥ > θ = f∥∥∥~Rn∥∥∥

Si trova sperimentalmente che l’intensità della forza di attritoradente dinamico vale:∥∥∥~R(d)

t

∥∥∥ = µ∥∥∥~Rn∥∥∥ se

∥∥∥~F∥∥∥ > θ = f∥∥∥~Rn∥∥∥

dove ~Rn è la reazione vincolare della superficie (forza d’appoggio),opposta alla forza peso ~Fp. Il coefficienteadimensionale µ è detto coefficiente di

attrito dinamico.

D. Galli

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Attrito Radente (Sommario)

Concludendo, l’intensità della forza di attrito radente vale:

∥∥∥~Rt∥∥∥ =

∥∥∥~R(s)

t

∥∥∥ =∥∥∥~F∥∥∥ se

∥∥∥~F∥∥∥ < θ = f∥∥∥~Rn∥∥∥∥∥∥~R(d)

t

∥∥∥ = µ∥∥∥~Rn∥∥∥ se

∥∥∥~F∥∥∥ > θ = f∥∥∥~Rn∥∥∥

Attritostatico

Attritodinamico

D. Galli

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Attrito Radente (Valori Tipici)

Superfici f µ

Legno-legno 0.5 0.3Acciaio-acciaio 0.74 0.57Acciaio-acciaio lubrificato 0.1 0.05Acciaio-teflon 0.04 0.04Alluminio-alluminio 1.05-1.35 1.4Alluminio-acciaio 0.61 0.47Rame-rame 1.00 0.2-0.6Gomma-asfalto 0.7 0.5Gomma-asfalto bagnato 0.4 0.2

D. Galli

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Attrito Statico e Attrito Dinamico

Evidenze pratiche del fatto che l’attrito dinamico è sempre minore dellasoglia di primo distacco θ (valore massimo dell’attrito statico):

Quando si sposta, strisciandolo, un mobile pesante, per metterlo inmovimento (cioè per superare il massimo attrito statico) occorreimprimergli una forza maggiore di quella necessaria per mantenerlo inmovimento (che serve per equilibrare l’attrito dinamico).

Le automobili recenti sono dotate di un dispositivo anti-patinamento

(ABS). Se la ruota patina, ovvero striscia, sull’asfalto, la forza diattrito diviene dinamica, e dunque l’azione frenante risulta inferiore. Ildispositivo ABS, quando la ruota patina rilascia un po’ il freno, in mododa ripristinare le condizioni di attrito statico.

D. Galli

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Attrito Volvente

Un cilindro che rotola senza strisciare su di un piano è soggetto allaforza di attrito radente statico che impedisce lo strisciamento.

La forza di attrito radente statico non ostacola il rotolamento delcilindro.

Il rallentamento del moto di rotolamento (come vedremo in dinamica)è dovuto a una coppia di forze. Tale coppia è detta coppia di attrito

volvente. Si tratta di forze assolutamente diverse da quelle di attritoradente statico.

D. Galli

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Attrito Volvente (II)

L’attrito volvente ha origine in un’asimmetria delle forze elastichevincolari.

Quando il cilindro rotola su di una superficie, si crea sulla superficie unavvallamento che procede insieme al cilindro.

Dove si forma l’avvallamento sono presenti forze che si oppongono

alla deformazione.

Dove l’avvallamento scompare sono presenti forze di ripristino.

Se le forze che si oppongono alla deformazionenon sono esattamente uguali alle forze diripristino, si ha un’asimmetria che general’attrito volvente.

D. Galli

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Attrito Volvente (III)

L’attrito volvente risulta molto inferiore all’attrito radente (dalle 100alle 1000 volte).

Per questo motivo, dove si debba minimizzare l’attrito nella rotazionedi un asse, si preferiscono i cuscinetti a rotolamento (come ilcuscinetto a sfere, fig. a destra) ai cuscinetti a strisciamento

(come la bronzina, fig. a sinistra).

Tra le due superfici cilindriche in figura sono poste 9 sfere ingabbiateche rotolano quando una superficie cilindrica si muove rispetto all’altra.

D. Galli

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Forze di Attrito (Note)

Un corpo che striscia su di una superficie è soggetto alla forza diattrito radente dinamico.

Un corpo che rotola senza strisciare su di una superficie è soggettoalla forza di attrito radente statico e alla forza di attrito volvente.

In assenza di attrito radente l’uomo e gli animali non riuscirebbero acamminare e gli autoveicoli non riuscirebbero a muoversi.

D. Galli

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Domenico GalliDipartimento di Fisica e Astronomia

[email protected]://www.unibo.it/sitoweb/domenico.galli

https://wiki-lhcb.bo.infn.it/bin/view/GalliDidattica

D. Galli

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