Statica dei corpi rigidi -...

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Ins. Antonio Palladino FISICA - La Statica dei Corpi Rigidi 1 – Statica dei corpi rigidi Statica dei corpi rigidi 1. Definizione di Equilibrio del punto materiale La Statica studia l’equilibrio dei corpi rigidi. Un corpo è in equilibrio se esso è in quiete e rimane in quiete al trascorrere del tempo . In primo luogo studieremo l’equilibrio del punto materiale. Ricordiamo che nella cinematica si è detto che un corpo si può approssimare ad un punto materiale (di dimensioni puntiformi, ma dotato di massa) quando le sue dimensioni sono piccole rispetto al sistema di riferimento e ad i movimenti che il corpo stesso può compiere. Un corpo approssimabile ad un punto materiale è allora in equilibrio se esso è in quiete e rimane in quiete al trascorrere del tempo. Definiamo adesso la risultante delle forze: per risultante delle forze si intende la somma vettoria- le di tutte le forze che agiscono su un punto materiale . La risultante delle forze si indica con il sim- bolo R . Condizione di equilibrio Si dice allora che un punto materiale è in equilibrio quando la somma delle forze che agiscono sul punto è nulla . In simboli si scrive: 0 3 2 1 = = + + + + R F F F F N Le F sono le varie forze agenti sul punto e R è la risultante. Tale condizione può verificarsi se: a) sul corpo non agisce nessuna forza; b) sul corpo agiscono due forze uguali (per modulo e direzione) ed opposte (per verso); c) sul corpo agiscono tre o più forze la cui somma vettoriale (metodo punta-coda) risulta es- sere un vettore nullo. La condizione di equilibrio del punto materiale è una chiara conseguenza del 1° principio della di- namica, che afferma che un corpo su cui agiscono forze la somma delle quali è zero permane nel suo stato di quiete (o di moto rettilineo uniforme). Esempio 1. Un libro è posto su un tavolo e resta in equili- brio su di esso. Quali sono le forze in gioco? Sul libro agiscono due forze: a) la forza peso, esercitata dalla Terra, diretta lungo la vertica- le, dall’alto verso il basso; b) la forza vincolare, esercitata dal tavolo, diretta lungo la ver- ticale, dal basso verso l’alto. Le due forze sono evidentemente uguali ed opposte, e la loro somma è quindi nulla. Esempio 2. Una pallina è sospesa ad un filo fissato al soffitto di una stanza e resta ferma in equilibrio. Quali sono le forze in gioco? Sulla pallina agiscono due forze: a) la forza peso, esercitata dalla Terra, diretta lungo la verticale, dall’alto verso il basso; b) la forza vincolare, esercitata dal filo, diretta lungo la verticale, dal bas- so verso l’alto. Anche qui le due forze sono evidentemente uguali ed opposte, e la loro somma è nulla. VINC F P VINC F P

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1 – Statica dei corpi rigidi

Statica dei corpi rigidi 1. Definizione di Equilibrio del punto materiale

La Statica studia l’equilibrio dei corpi rigidi. Un corpo è in equilibrio se esso è in quiete e rimane in quiete al trascorrere del tempo.

In primo luogo studieremo l’equilibrio del punto materiale. Ricordiamo che nella cinematica si è detto che un corpo si può approssimare ad un punto materiale (di dimensioni puntiformi, ma dotato di massa) quando le sue dimensioni sono piccole rispetto al sistema di riferimento e ad i movimenti che il corpo stesso può compiere.

Un corpo approssimabile ad un punto materiale è allora in equilibrio se esso è in quiete e rimane in quiete al trascorrere del tempo.

Definiamo adesso la risultante delle forze: per risultante delle forze si intende la somma vettoria-le di tutte le forze che agiscono su un punto materiale. La risultante delle forze si indica con il sim-

bolo R�

. Condizione di equilibrio Si dice allora che un punto materiale è in equilibrio quando la somma delle forze che agiscono sul

punto è nulla. In simboli si scrive:

0321

���

���

==++++ RFFFF N

Le F�

sono le varie forze agenti sul punto e R�

è la risultante. Tale condizione può verificarsi se:

a) sul corpo non agisce nessuna forza; b) sul corpo agiscono due forze uguali (per modulo e direzione) ed opposte (per verso); c) sul corpo agiscono tre o più forze la cui somma vettoriale (metodo punta-coda) risulta es-

sere un vettore nullo.

La condizione di equilibrio del punto materiale è una chiara conseguenza del 1° principio della di-namica, che afferma che un corpo su cui agiscono forze la somma delle quali è zero permane nel suo stato di quiete (o di moto rettilineo uniforme).

Esempio 1. Un libro è posto su un tavolo e resta in equili-brio su di esso. Quali sono le forze in gioco?

Sul libro agiscono due forze: a) la forza peso, esercitata dalla Terra, diretta lungo la vertica-

le, dall’alto verso il basso; b) la forza vincolare, esercitata dal tavolo, diretta lungo la ver-

ticale, dal basso verso l’alto. Le due forze sono evidentemente uguali ed opposte, e la loro

somma è quindi nulla.

Esempio 2. Una pallina è sospesa ad un filo fissato al soffitto di una stanza e resta ferma in equilibrio. Quali sono le forze in gioco?

Sulla pallina agiscono due forze: a) la forza peso, esercitata dalla Terra, diretta lungo la verticale, dall’alto

verso il basso; b) la forza vincolare, esercitata dal filo, diretta lungo la verticale, dal bas-

so verso l’alto. Anche qui le due forze sono evidentemente uguali ed opposte, e la loro somma è nulla.

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2 – Statica dei corpi rigidi

Esempio 3. Un pesetto è sospeso a due fili fissati a dei sostegni verticali e resta fermo in equi-librio. Quali sono le forze in gioco?

Sul pesetto agiscono tre forze: a) la forza peso, esercitata dalla Terra, diretta lungo la ver-

ticale, dall’alto verso il basso; b) le due forze vincolari, esercitate dai fili, dirette come in

figura 3, lungo le direzioni dei fili stessi. Anche qui le tre forze hanno somma nulla, come si può ve-

rificare applicando il metodo punta-coda ai tre vettori. 2. Equilibrio di un corpo rigido

Non tutti gli oggetti sono approssimabili a punti materiali, anzi lo studio della Statica riguarda precipuamente proprio gli oggetti non puntiformi, denominati corpi rigidi. Un corpo rigido è un corpo esteso, composto di particelle le cui distanze reciproche restano sempre invariate. Un corpo rigido è cioè un oggetto indeformabile.

Il corpo rigido è un oggetto ideale poiché non esistono nella realtà oggetti assolutamente indefor-mabili: anche il diamante, la più dura delle sostanze, si può comprimere o rompere. Molti oggetti, anche di uso quotidiano, si possono però approssimare abbastanza bene a corpi rigidi. L’astrazione del corpo rigido è molto utile poiché semplifica notevolmente i problemi.

Un punto materiale può solo traslare, cioè cambiare di posizione; invece un corpo rigido oltre a traslare può anche ruotare. Quindi i movimenti a cui può essere soggetto un corpo rigido sono la traslazione e la rotazione.

2a. Risultante delle forze agenti su un corpo rigido Se le forze sono applicate tutto nello stesso punto del corpo rigido, la risultante è semplicemente la

somma vettoriale delle singole forze, calcolata come di consueto con la regola del parallelogramma (figura a) o con il metodo punta-coda (figura b).

Ma a differenza di un punto materiale, su un corpo rigido le forze possono essere applicate anche in punti distinti e allora diviene più complesso determinare la risultante (figura c).

figura a

figura b

figura c In primo luogo cominciamo col dire che se spostiamo una forza agente su un corpo rigido lungo la

sua linea d’azione in un altro punto dello stesso corpo, l’effetto è lo stesso, cioè il corpo rigido sarà soggetto allo stesso movimento.

1F�

2F�

R�

3F�

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3 – Statica dei corpi rigidi

Risultante di forze applicate sulla stessa retta Se due o più forze sono applicate ad un corpo rigido sulla stessa retta, la risultante delle forze è

uguale alla somma vettoriale delle forze e può essere applicata in un punto qualunque della retta.

figura a

figura b

figura c

Infatti, come appare dalla figura, è possibile spostare le due forze dai loro punti di applicazione lungo la retta d’azione in modo che esse insistano sullo stesso punto di applicazione (figura b); suc-cessivamente esse si possono addizionare come di consueto (figura c).

Risultante di forze non parallele applicate in punti diversi (forze concorrenti) Se due o più forze non parallele sono applicate in punti diversi di un corpo rigido, la loro risultan-

te si ottiene prima spostando le due forze lungo le rispettive rette d’azione fino al punto di interse-zione e poi eseguendo la somma vettoriale secondo le regole consuete.

figura a

figura b

figura c Risultante di forze parallele aventi lo stesso verso (forze parallele e concordi) Se al corpo rigido sono applicate due forze parallele, per determinare la risultante non si possono

applicare le regole precedenti, in quanto pur spostandole lungo le rispettive rette d’azione, esse ri-marranno sempre parallele e non potranno essere applicate nello stesso punto.

Vediamo allora come si procede:

figura a

figura b

figura c Detti A e B i punti di applicazione delle due forze, in primo luogo spostiamo le due forze lungo le

loro rette d’azione in A’ e B’, in modo che la congiungente A’B’ sia perpendicolare alle due rette (figura b); la risultante ha lo stessa direzione e lo stesso verso delle due forze e modulo pari alla somma dei rispettivi moduli; il punto di applicazione P è compreso tra A’ e B’ e ha distanze da A’ e B’ rispettivamente indicate con dA e dB (figura c). Tali distanze sono legate alle intensità delle due forze, secondo la relazione:

bbaa dFdF ·· =

AF�

BF�

'A 'B

AF�

BF�

A

B

AF�

BF�

'A 'B

R�

Ad Bd

P

AF�

BF�

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BF�

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AF�

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A

B

R�

AF�

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AF� BF

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4 – Statica dei corpi rigidi

Risultante di forze parallele aventi verso opposto (forze parallele e discordi) La situazione è analoga al caso precedente. Vediamo come si procede:

figura a

figura b

figura c

Detti A e B i punti di applicazione delle due forze, come prima spostiamo le due forze lungo le lo-ro rette d’azione in modo che la congiungente A’B’ sia perpendicolare alle due rette (figura b); la ri-sultante ha le stessa direzione delle due forze, il verso della maggiore e intensità uguale alla diffe-renza delle due forze; il punto di applicazione P è posto all’esterno di A’B’ , dalla parte della forza maggiore e ha distanze da A’ e B’ indicate come prima con dA e dB (figura c). Anche in questo caso le distanze sono legate alle intensità delle due forze secondo la relazione:

bbaa dFdF ·· = 2b. Coppia di forze Una coppia di forze è insieme particolare di due forze di uguale modulo, di direzioni parallele e di

verso opposto. Le rette su cui giacciono le forze sono dette rette d’azione. La distanza d tra le due rette d’azione è detta braccio della coppia. La coppia di forze ha evidentemente risultante uguale a zero, poiché le due forze sono uguali ed opposte.

Anche se la risultante è zero, l’effetto di una coppia di forze su un corpo è tutt’altro che trascurabi-le. Vedremo infatti che le coppie sono responsabili dei movimenti di rotazione del corpo rigido.

Per caratterizzare una coppia di forze, in fisica si usa una grandezza ad hoc, il momento.

Il momento di una coppia di forze è una grandezza vettoriale M�

definita nel seguente modo: 1) il modulo M è dato dal prodotto dFM ⋅= , dove F è il modulo delle due forze e d è la di-

stanza delle loro rette d’azione; 2) la direzione è quella perpendicolare al piano in cui si trovano le due forze della coppia; 3) il verso si individua con la regola della mano destra.

Più semplicemente, possiamo intendere il momento di una coppia positivo quando la coppia di forze induce una rotazione in senso antiorario e negativo quando la coppia induce una rotazione in senso orario.

Il momento aumenta con l’aumentare del modulo delle forze e della distanza tra le loro rette d’azione; se le due forze giacciono sulla stessa retta d’azione il braccio della coppia è zero e quindi il momento della coppia risulta nullo.

2c. Equilibrio di un corpo rigido Ci chiediamo se la condizione che la risultante delle forze sia nulla sia sufficiente per assicurare

che un corpo rigido sia in equilibrio. La condizione che la risultante delle forze sia zero non è suffi-

BF�

'B

AF�

'A

AF�

BF�

AB

R�

Ad BdP BF

�'B

AF�

'A

0=ddd

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5 – Statica dei corpi rigidi

ciente per garantire l’equilibrio di un corpo rigido. Infatti se al corpo rigido è applicata una coppia di forze (che ha risultante nulla), il corpo rigido inizierà a ruotare (figura b), finché le forze non si dispongono sulla stessa retta d’azione (figura c).

figura a

figura b

figura c Possiamo inoltre affermare che quanto più elevato è il momento di una coppia, tanto più alta è

l’entità della rotazione indotta sul corpo rigido. La sbarretta della figura a è sottoposta ad una cop-pia di momento M = 18 N·m; nella figura b il momento della coppia è maggiore (M = 30 N·m), in quanto, sebbene le forze siano rimaste invariate, il braccio della coppia è aumentato; è evidente che la sbarretta della figura b ruoterà più velocemente di quella della figura a. Confrontando poi la figu-ra c con la figura a il braccio della coppia è rimasto invariato, mentre le forze sono aumentate d’intensità; il momento è pari a M = 30 ·m, come nel secondo caso e la sbarretta tenderà a ruotare con la stessa velocità della sbarretta della figura b.

figura a

figura b

figura c Concludendo, possiamo affermare che un corpo rigido è in equilibrio quando esso non trasla né ruota. Affinché ciò si verifichi, è sufficiente che:

1. la risultante delle forze R�

sia uguale a zero; ciò assicura l’assenza di movimenti di trasla-zione;

2. la risultante dei momenti M�

delle forze sia uguale a zero; ciò assicura l’assenza di movi-menti di rotazione.

3. Baricentro

Il baricentro o centro di gravità di un corpo rigido è un punto ideale in cui si può ritenere applicata concentrato tutto il peso del corpo.

Il corpo rigido può essere immaginato come un insieme di volumetti, che occupano posizioni fisse gli uni rispetto agli altri, ognuno con un proprio peso; si viene a determinare un insieme di forze pa-rallele e concordi, tutte dirette verso il basso; la risultante di tutti questi pesi parziali fornisce, natu-

md 6=

NF 5=

md 6=

NF 3= NF 3=

md 10=

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6 – Statica dei corpi rigidi

G

ralmente, il peso dell’intero corpo. Si chiama allora baricentro o centro di gravità del corpo rigido il punto di applicazione della forza-peso del corpo, cioè il centro delle numerose forze relative ai pesi dei volumetti in cui immaginiamo di scomporre il corpo rigido.

Per determinare la posizione del baricentro di un corpo, dobbiamo distinguere se il corpo è omo-geneo con un centro di simmetria oppure no:

a) se il corpo è omogeneo (cioè fatto dello stesso materiale in tutte le sue parti) ed ha un centro di simmetria, allora il baricentro coincide con tale punto. È questo il caso di tutti i corpi omo-genei, aventi forme regolari, come quadrati, rettangoli, cerchi, triangoli, ecc. Nel caso del triangolo il baricentro fisico coincide con il baricentro geometrico (punto d’incontro delle mediane). Nel caso di quadrato, rettangolo, rombo, ecc., il baricentro coincide con il punto d’incontro delle diagonali.

b) se il corpo è non è omogeneo, la determinazione della posizione del baricentro può essere fat-ta per via matematica (cioè utilizzando opportune formule) o per via sperimentale.

Baricentri di corpi simmetrici ed omogenei Osserviamo una cosa importante: non è detto che il centro di gravità di un

corpo rigido sia un punto appartenente al corpo rigido stesso. Per esempio il centro di gravità di un anello è nel suo centro, dove non c’è materia appartenente all’anello.

Oltre che in statica, il baricentro ha grossa importanza nella dinamica dei corpi rigidi. Il teorema

del moto del baricentro afferma che il baricentro di un corpo rigido si muove come un punto mate-riale nel quale sia addensata tutta la massa del sistema e sia assoggettato al risultante di tutte le forze agenti sul corpo stesso.

3a. Condizione di equilibrio di un corpo rigido appoggiato su un piano

Un corpo appoggiato su un piano è in equilibrio quando la verticale passante per il suo baricentro cade all’interno della sua base di appoggio. Finché questo accade (fig. a, fig. b), sul corpo rigido a-giscono la forza di gravità e la reazione vincolare, le quali costituiscono una coppia di braccio nul-lo: poiché allora la risultante delle forze è zero e la risultante dei momenti pure è zero, il corpo resta in equilibrio, senza ruotare né traslare. Se invece la verticale passante per il baricentro del corpo fuoriesce dalla base di appoggio (fig. c), la forza di gravità e la reazione vincolare costituiscono una

P�

G

G

GGGG

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7 – Statica dei corpi rigidi

coppia di braccio diverso da zero: poiché il momento è diverso da zero, si genera una rotazione e il corpo cade.

fig. a fig. b fig. c 3b. Condizione di equilibrio di un corpo rigido sospeso in un punto

Un corpo sospeso (vincolato) in un punto è in equi-librio quando la verticale abbassata dal punto di so-spensione passa per il baricentro del corpo.

Se questo accade (fig. a), sul corpo rigido agiscono la forza di gravità e la reazione vincolare, le quali co-stituiscono una coppia di braccio nullo: poiché allora la risultante delle forze è zero e la risultante dei mo-menti pure è zero, il corpo resta in equilibrio. Se in-vece la verticale passante per il punto di appoggio non passa per il baricentro del corpo (fig. b), la forza di gravità e la reazione vincolare costituiscono una coppia di braccio diverso da zero: poiché il momento è diverso da zero, si genera una rotazione che riporta il corpo nella posizione di equilibrio.

4. Classificazione dell’equilibrio

L’equilibrio può essere di tre tipi: stabile, instabile e indifferente. 4a. Equilibrio stabile Una posizione è di equilibrio è stabile quando, spostando leggermente l’oggetto da tale posizione

di equilibrio, esso tende a ritornarvi. Una semisfera appoggiata su un tavolo è in equilibrio stabile, poiché, se pure spostata di poco, ritorna nella posizione iniziale. Anche un quadro appeso alla pare-te, con il baricentro posto sulla verticale del chiodo, in basso, è in equilibrio stabile.

4b. Equilibrio instabile L’equilibrio è instabile quando, spostando anche di pochissimo l’oggetto dalla posizione di equili-

brio, esso si allontana definitivamente da essa, per portarsi in una diversa posizione di equilibrio. Un cono appoggiato su un tavolo con la punta in basso è in equilibrio instabile, poiché, se pure spo-stato di pochissimo, crolla a terra. Un quadro appeso alla parete, a testa in giù, con il baricentro po-sto sulla verticale del chiodo, ma in alto, è in equilibrio instabile: anche se con un po’ di fatica si riesce a metterlo in tale posizione, basterà un piccolissimo spostamento per riportarlo giù, nella po-sizione di equilibrio stabile.

4c. Equilibrio indifferente L’equilibrio è indifferente quando, spostando l’oggetto dalla posizione di equilibrio, esso non ten-

de né a ritornare nella posizione di partenza, né a portarsi verso un’altra situazione di equilibrio, ma mantiene la nuova posizione. Una sfera appoggiata su un tavolo è in equilibrio indifferente poiché essa, spostata dalla posizione iniziale, resta permanentemente nella nuova posizione. Analogamente

G VINCF�

P�

VINCF�

P�

GVINCF�

P�

G

G

P�

VINCF�

G

P�

VINCF�

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8 – Statica dei corpi rigidi

un quadro appeso nel suo baricentro è in equilibrio indifferente, poiché esso mantiene qualunque inclinazione assegnata.

equilibrio stabile equilibrio instabile equilibrio indifferente

5. Macchine semplici

Non sempre è facile sollevare dei corpi pesanti servendosi dei propri muscoli; in certi casi ci si riesce solo attraverso l’uso di macchine come il piano inclinato, le leve, le carrucole, ecc.

In generale, si definisce macchina semplice un dispositivo meccanico che serve per equilibrare o vincere una forza (detta forza resistente) applicando un’altra forza di modulo e direzione diversa, (detta forza motrice). Il rapporto tra la forza resistente e la forza motrice è detto guadagno della macchina:

motrice forza

resistente forzaguadagno=

Ovviamente l’uso della macchina è tanto più conveniente quanto più piccola è forza motrice da applicare rispetto alla forza resistente, cioè quanto più alto è il suo guadagno. Una macchina è detta vantaggiosa se il guadagno è maggiore di 1 (la forza motrice è minore della forza resistente), svan-taggiosa se il guadagno è minore di 1 (la forza motrice è maggiore della forza resistente).

5a. Le leve

La leva è la più antica macchina elementare in quanto appare addirittura nell'arte egizia di circa 5000 anni fa. Nella figura è rappresentata una leva. Essa consiste in una trave AB più o meno lunga, appoggiata o in grado di ruotare intorno ad un asse fisso passante per il punto O detto fulcro della

leva. Agli estremi della trave sono applicate dall’esterno nel punto A la forza motrice mF�

e nel

punto B la forza resistente rF�

. Le distan-

ze OA e OB delle forze mF�

ed rF�

dal ful-cro O prendono il nome di bracci della le-va e, in particolare, di braccio della forza motrice (indicato con bm) e braccio della forza resistente della leva (indicato con br).

Vogliamo trovare la relazione matematica esistente tra mF�

, rF�

, bm e br quando la leva è in equi-librio . Affinché ci sia equilibrio occorre che la trave AB non trasli né ruoti.

Cominciamo dall’assenza di traslazione. mF�

e rF�

non sono le uniche forze esercitate sulla leva; il

fulcro esercita una forza vincolare VF�

. Per l’equilibrio di traslazione la risultante delle forze deve essere nulla:

0����

=++ Vrm FFF da questo si ha che:

( )rmV FFF���

+−=

fulcro

O BA

mF�

rF�

mb rb

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9 – Statica dei corpi rigidi

La forza VF�

esercitata dal fulcro ha quindi

modulo pari alla somma delle due forze mF�

e rF�

, stessa direzione e verso opposto.

L’assenza di rotazioni impone che la som-ma dei momenti delle coppie agenti sulla trave sia pari a zero; a prima vista però non sembrano esserci delle coppie (essendoci so-

lo 3 forze), ma dato che VF�

in modulo è data

dalla somma di mF�

e rF�

, la situazione della

trave si può vedere come in figura sotto, scomponendo VF�

: È evidente allora che sulla leva agiscono:

a) una coppia data da mF�

e mF�

− , di brac-

cio bm, di momento mmm bFM ·= , che ten-de a far ruotare la leva in senso antiorario (momento positivo);

b) una coppia data da rF�

e rF�

− , di brac-

cio br, di momento rrr bFM ·= , che tende a far ruotare la leva in senso orario (momento negativo).

Le due coppie inducono versi di rotazione opposti; per l’equilibrio occorre che i loro momenti debbano bilanciarsi:

rm MM = e quindi:

rrmm bFbF ·· =

Vediamo così che la leva è in equilibrio quando il momento della forza motrice è uguale al mo-mento della forza resistente, cioè quando i prodotti delle forza per i relativi bracci sono uguali. In sostanza, forze e bracci sono inversamente proporzionali. La relazione precedente si può anche scrivere:

mrrm bbFF :: = Classificazione delle leve Le leve si possono suddividere in tre generi diversi, detti di 1ª specie, di 2ª specie e di 3ª specie.

Leve di 1ª specie. Le leve si dicono di 1ª specie quando la forza motrice e la forza resistente sono poste da lati oppo-

sti rispetto al fulcro; le leve viste in precedenza erano di 1ª specie. Le leve di 1ª specie possono essere vantaggiose o svantaggiose, a seconda di se è maggiore la for-

za resistente o la forza motrice.

leva di 1° genere vantaggiosa leva di 1° genere svantaggiosa

fulcro

O BA

mF�

rF�

mb rb

fulcro

O BA

mF�

rF�

mb rb

fulcro

O BA

mF�

rF�

mb rb

VF�

fulcro

O

BA

mF�

rF�

mb rbmF�

−rF�

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10 – Statica dei corpi rigidi

Esempi di leve di 1ª specie sono la bilancia a bracci uguali (quella che si usa per le misure di mas-sa), l’altalena, le mollette per stendere i panni, le forbici, il “piede di porco”, ecc.

Leve di 2ª specie. Le leve si dicono di 2ª specie se la forza

resistente è posta tra il fulcro e la forza motrice.

Le leve di 2ª specie sono sempre van-taggiose, poiché il braccio br è sempre minore del braccio bm e quindi la forza resistente risulta sempre maggiore della forza motrice.

Esempi di leve di 2° genere sono lo schiaccianoci, lo spruzzetto lavavetri, ecc.

Leve di 3ª specie Si dicono leve di 3ª specie quelle in cui la

forza motrice è posto tra il fulcro e la forza resistente.

Le leve di 3ª specie sono sempre svantag-giose, poiché il braccio bm è sempre minore del braccio br e quindi la forza resistente è sempre minore della forza motrice.

Esempi di leve di 3° genere sono la pin-zetta per le ciglia, il braccio (quello che por-tiamo attaccato alla spalla), il mollettone per il caminetto ecc.

Esempi di leve

leve di 1° genere

leve di 2° genere

leve di 3° genere

fulcro

O

B A

rF�

mb

rb mF�

fulcro

OB

A

rF�

mbrbmF

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11 – Statica dei corpi rigidi

5b. Il piano inclinato

Come le leve, il piano inclinato è uno strumento che si può usare per equilibrare una forza con una forza diversa. In particolare, il piano inclinato viene utilizzato per spostare oggetti ad altezze più e-levate mediante un cammino più “dolce” rispetto alla salita diretta lungo la direzione verticale.

Consideriamo un blocchetto rettangolare disposto in equilibrio su un piano inclinato di lunghezza l ed altezza h. Supponiamo che tra il piano e il blocchetto non vi sia attrito. Se inoltre il blocchetto è sufficientemente basso, la perpendicolare per il suo baricentro cade nella superficie di appoggio; in tal caso il moto può essere solo di tipo traslatorio, poiché non vi possono essere ribaltamenti o rota-zioni .

Le forze che agiscono sul bloc-chetto sono 3:

a) la forza peso P�

esercitata dalla Terra e diretta verso il basso,

b) la forza di reazione vincolare

VF�

, esercitata dal piano e per-

pendicolare al piano inclinato e

c) la forza equilibrante EF�

, eser-citata da un filo e parallela al piano, la quale mantiene il blocchetto in equilibrio.

La condizione di equilibrio esige che le tre forze devono avere somma nulla. Per comprendere

come questo succede è utile scomporre la forza peso in due componenti, una,ORTP�

, ortogonale al

piano inclinato e l’altra PARP�

, parallela ad esso.

Vediamo l’analisi delle forze: a) lungo la direzione perpendicolare al

piano inclinato alla forza ORTP�

si

oppone la forza di reazione vincola-

re VF�

e i loro effetti si annullano;

b) lungo la direzione parallela al piano

inclinato alla forza PARP�

si oppone la forza equilibrante EF�

esercitata dal filo e i loro effetti si annullano.

Mediante semplici considerazioni di carattere geometrico (similitudine dei triangoli) si ricava il valore della forza equilibrante a partire dal peso del blocchetto e dai parametri del piano inclinato:

l

hPFE ·=

Il piano inclinato ha allora l’effetto di far ridurre la forza di gravità, di un fattore pari alla penden-za del piano stesso: quanto più il piano è inclinato, tanto più bassa è la sua pendenza e tanto più leg-gera sarà la forza FE da applicare per tenere il corpo in equilibrio, o trascinarlo lungo la pendenza.

Lavoro su un piano inclinato Calcoliamo il lavoro fatto dalla forza FE contro la gravità per spostare un oggetto lungo tutto il

piano inclinato:

VF�

P� h

l

EF�

G

VF�

ORTP�

PARP�

EF�

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Ins. Antonio Palladino FISICA - La Statica dei Corpi Rigidi

12 – Statica dei corpi rigidi

sFL E ∆= ·

la forza FE è data dall’espressione vista prima; lo spostamento ∆s è ovviamente pari a l; quindi si ha:

hPll

hmgL ··· ==

Si deduce quindi che il lavoro compiuto è lo stesso che si compirebbe se il blocchetto venisse sol-levato lungo la direzione verticale. Il piano inclinato riduce l’entità della forza necessaria per solle-vare il corpo all’altezza h, e ci consente un vantaggio evidente, potendo applicare meno forza di quella necessaria; l’altra faccia della medaglia è che dobbiamo applicare però la forza (ridotta) per un percorso più lungo rispetto al sollevamento diretto. Alla fine l’energia spesa è la medesima.

VF�

P� h

l

EF�

GG

P�

F�