Cinematica dei Manipolatori – CINEMATICA DIRETTA

M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion

Cinematica dei Manipolatori – CINEMATICA DIRETTA

Un manipolatore è costituito da un insieme di corpi rigidi (bracci) connessi in cascata tramite coppie cinematiche (giunti) a formare una catena cinematica in cui un estremo è connesso con una base ed all’altro è connesso un organo terminale (di presa od utensile per le operazioni e la manipolazione)

I giunti possono essere:

• di rotazione o rotoidali

• di traslazione o prismatici


GIUNTO Grado mobilità Variabile di giunto


Obiettivo della cinematica diretta è la determinazione di

posizione ed orientamento dell’organo terminale in

funzione dei valori assunti dalle variabili di giunto

Definizione:Definizione:


Abbiamo visto che la posa di un corpo rispetto ad una terna di riferimento è caratterizzata dal vettore posizione dell’origine e dai versori della terna solidale al corpo stesso ‘visti’ dalla terna di riferimento

Dunque la funzione cinematica diretta può essere espressa dalla matrice di trasformazione omogenea:


In cui:

• q è il vettore delle variabili di giunto

• ne se ae sono i versori della terna solidale

all’organo terminale (riferiti alla terna base: apice b)

• pe è il vettore posizione dell’origine della

terna solidale all’organo terminale (riferito alla terna base: apice b)

Terna utensile

Terna base


L’origine della terna utensile si pone al centro della pinza

Il versore ae (approccio) si sceglie nella direzione di avvicinamento, rappresenta

l’asse z

Il versore se (scivolamento) si sceglie nella direzione di scorrimento degli elementi

prensili , rappresenta l’asse y

Il versore ne (normale) si sceglie normale agli altri due in modo da rendere la terna

levogira , rappresenta l’asse x



Una modalità per il calcolo della cinematica diretta consiste nella soluzione geometrica della struttura del manipolatore assegnato

Nel caso della struttura planare a due giunti, mediante le regole della trigonometria si ottiene:

Esempio di soluzione della CINEMATICA DIRETTA

( )( )2112

11

sin

sin

ϑϑ

ϑ

+=

=

s

s

Convenzione:


… l’efficacia dell’approccio appena visto si fonda sulla scelta oculata delle grandezze di interesse e dall’abilità ed intuizione geometrica dell’analista

Ma quando la struttura del manipolatore è complessa ed il numero dei giunti è elevato si rende preferibile l’adozione di una procedura sistematica e generale

Tale procedura esiste nel caso di manipolatori a catena cinematica aperta: considerando separatamente il problema della descrizione dei legami cinematici (e della descrizione relativa delle coordinate) e risolvendo in maniera ricorsiva il problema della descrizione complessiva della cinematica del manipolatore

Soluzione sistematica alla CINEMATICA DIRETTA


Dunque si definisce una terna solidale ad ogni braccio per cui la trasformazione di coordinate complessiva è:

Tale calcolo risulta essere ricorsivo ed ottenuto mediante semplici moltiplicazioni tra matrici (seguendo la regola della moltiplicazione da dx verso sx della trasformazione di coordinate) di cui ognuna risulta essere funzione di una singola variabile di giunto

e

2

1

b

( ) ( ) 22

1211 e

bbe AAAT ⋅⋅= ϑϑ



( ) ( ) 22

1211 e

bbe RRRR ⋅⋅= ϑϑ


PROVATE A DETERMINARE LA ROTAZIONE DELLA CINEMATICA DIRETTA MEDIANTE COMPOSIZIONE DI MATRICI DI TRASFORMAZIONE DI COORDINATE OMOGENEE

e

2

1

b

z

y

x

y

xy



e

2

1

b

z

y

x

y

xy

( ) ( ) 22

1211 e

bbe RRRR ⋅⋅= ϑϑ



(vista prima)

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 2 2 1 1 2 2 1

1 2 2 1 1 2 2 1

12 12

1

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 1 0 0

0 0

0 0

0 0 1 1 0 0

0

0

1 0 0

0

0

be

c s c s

T s c s c

c s s c

s c c s

c s c s s s c c

s s c c c s c s

s c

c

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= − 2 12

1 0 0s

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=

€

Reb


Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg

Allo scopo di estendere la generalizzazione anche alla scelta delle terne solidali ai bracci si perviene al metodo di Denavit-Hartenberg

La convenzione prevede la seguente procedura:

• si sceglie l’asse zi giacente lungo l’asse del giunto i+1

• si individua Oi all’intersezione dell’asse zi con la normale comune (retta di

minima distanza) agli assi zi-1 e zi; si individua Oi’ con l’intersezione della

normale comune con zi-1

• si sceglie l’asse xi diretto lungo la normale comune agli assi zi-1 e zi con verso

positivo del giunto i al giunto i+1

• si sceglie l’asse yi in modo da completare una terna levogira



1. si sceglie l’asse zi giacente lungo l’asse del giunto i+1


2. si individua Oi all’intersezione dell’asse zi con la normale comune (retta di

minima distanza) agli assi zi-1 e zi; si individua Oi’ con l’intersezione della

normale comune con zi-1

OiOi’



OiOi’

3. si sceglie l’asse xi diretto lungo la normale comune agli assi zi-1 e zi con verso

positivo del giunto i al giunto i+1



OiOi’

4. si sceglie l’asse yi in modo da completare una terna levogira



La terna risulta non essere univocamente determinata nei seguenti casi:

• per la terna 0 (non esistendo la -1) solo la direzione di z0 risulta

specificata: si possono scegliere arbitrariamente O0 ed x0

• quando due assi consecutivi sono paralleli

• quando due assi consecutivi si intersecano xi risulta arbitrario

• quando il giunto i è prismatico solo la direzione dell’asse zi-1 è specificata

(lungo la direzione di scorrimento del giunto)

In tali casi l’indeterminazione non risulta essere un problema, bensì può essere sfruttata per semplificare la procedura (ad esempio nel caso di allineamento delle terne consecutive)




Una volta definite le terne solidali ai bracci la posizione e l’orientamento della terna i rispetto alla i-1 risultano specificate dai seguenti parametri:

• ai distanza di Oi da Oi’

• di coordinata su zi-1 di Oi’

• i angolo intorno all’asse xi tra l’asse zi-1 e l’asse zi

• i angolo intorno all’asse zi-1 tra l’asse xi-1 e l’asse xi


Dei quattro parametri due (ai e i) sono sempre costanti e dipendono dalla

geometria di connessione dei giunti consecutivi

Degli altri due uno soltanto è variabile in dipendenza del tipo di giunto utilizzato per connettere il braccio i-1 al braccio i

• se il giunto è prismatico la variabile è di

• se il giunto è rotoidale la variabile è i



A questo punto si è in grado di esprimere la trasformazione di coordinate che lega la terna i alla terna i-1:

1. si parte dalla terna i-1 traslando la terna di di lungo l’asse zi-1 ruotandola di i

intorno all’asse zi-1


Questa operazione porta la terna i-1 a sovrapporsi alla terna i’ ed è descritta dalla matrice di trasformazione omogenea:


2. si trasla la terna i’ di ai lungo l’asse xi’ ruotandola di i intorno all’asse xi’

Questa operazione porta la terna i’ a sovrapporsi alla terna i ed è descritta dalla matrice di trasformazione omogenea:



Essendo le due roto-traslazioni definite su terna corrente la composizione prevede la moltiplicazione da sx verso dx:

Per cui la trasformazione di coordinate complessiva è:



01

x

y

Esempio – Manipolatore Antropomorfo

La terna 0 è stata scelta con origine all’intersezione di z0 e z1

z1 e z2 sono paralleli per cui x2 è stato scelto empiricamente lungo la direzione del

secondo braccio

Stessa cosa per x3

1 angolo intorno all’asse x1

tra l’asse z0 e l’asse z1


Le matrici di trasformazione omogenea risultano:

€

q = ϑ 1 ,ϑ 2 ,ϑ 3[ ]T

NOTA: z3 per semplicità è stato scelto parallelo a z2 e quindi in contrasto con la convenzione

della terna utensile, per rispettare la quale occorrerebbe introdurre una ulteriore matrice di trasformazione

Esempio – Manipolatore Antropomorfo

€

(α i = d i = 0)

€

(a1 = d1 = 0 α1 = 90°)


Spazio dei Giunti e Spazio Operativo

Nello specificare il compito da far eseguire all’organo terminale del manipolatore si assegna posizione ed orientamento della terna utensile in termini di:

• Traiettoria: posa in funzione del tempo

• Percorso: insieme dei punti di passaggio

Ricorrendo ad una rappresentazione minima la posa può essere espressa ad esempio tramite posizione ed angoli di eulero :

il vettore x posa appartiene allo Spazio Operativo, il vettore delle variabili di giunto q appartiene allo Spazio dei Giunti (la lunghezza del vettore determina i gradi di mobilità )

La postura è funzione delle variabili di giunto per cui l’equazione cinematica diretta può scriversi come x = k(q)

Tale funzione non è sempre esprimibile in maniera analitica tranne che in casi semplici


Con tre variabili di giunto si possono specificare indipendentemente al più tre variabili nello spazio operativo

Nel caso in cui l’orientamento non interessa si ha x = [px py] e vi è quindi

ridondanza cinematica di gradi di mobilità rispetto al compito di puro posizionamento dell’organo terminale

Spazio dei Giunti e Spazio Operativo


Ridondanza Cinematica

Un manipolatore viene detto ridondante da un punto di vista cinematico quando possiede un numero di gradi di mobilità maggiore alla dimensione dello spazio operativo. Tale concetto è relativo al compito da svolgere

Nel caso del manipolatore planare a tre gradi di mobilità se il compito da svolgere è il taglio laser di una lamina planare esso risulta ridondante, nel caso in cui il compito sia la presa di un oggetto non circolare la ridondanza decade. Oltre alla posizione in questo caso deve essere controllata anche l’orientazione.

Esempi di utilità della ridondanza:

• obstacle avoidance

• minimizzazione dell’energia

• minimizzazione della perturbazione della base nel caso di robot free-floating

• incremento della destrezza


lo spazio di lavoro è determinato dalla geometria del manipolatore e dai fine-corsa meccanici imposti sui giunti per motivazioni meccaniche

Per un manipolatore ad n gradi di mobilità lo spazio di lavoro è il luogo geometrico dei punti P ottenibili considerando l’equazione cinematica diretta per la sola posizione:

Spazio di lavoro

Essendo i giunti di articolazione di tipo rotoidale e/o prismatico si dimostra che la superficie che racchiude lo spazio di lavoro raggiungibile è costituita da elementi di superficie planare, sferica, toroidale e cilindrica

Tale superficie è fondamentale per una analisi preliminare dei compiti ed applicazioni del manipolatore

Lo spazio di lavoro raggiungibile di un manipolatore è la regione descritta dall’origine della terna utensile quando ai giunti si fanno eseguire tutti i moti possibili

Lo spazio di lavoro destro di un manipolatore è la regione della terna utensile che può essere raggiunta con tutte le orientazioni possibili. È un sotto-insieme dello spazio di lavoro raggiungibile

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