05-Cinematica Travi

5/11/2018 05-Cinematica Travi - slidepdf.com

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5 Analisi cinematica dei sistemi di travi

5 Analisi cinematica dei sistemi di travi

5.1 Analisi cinematica di una trave

Nel seguito si studiano i possibili campi di spostamento rigido piano per unatrave. Lo spostamento del generico punto P dell’asse della trave puo esserequindi espresso in funzione dello spostamento di un fissato punto Q della travee della rotazione ϕ che e ora indipendente dall’ascissa s del punto. Il campodegli spostamenti rigidi infinitesimi di una trave piana e dunque descritto daitre parametri lagrangiani scalari u1(Q), u2(Q), ϕ. In questo senso una travepiana libera ha tre gradi di liberta.

Si supponga che alla trave siano applicati a vincoli, ciascuno con moltepli-cita vi. Il numero totale di equazioni di vincolo sara dato quindi da

v =a

i=1

vi .

Se si esprimono queste equazioni in funzione dei parametri lagrangiani, siottiene un sistema di v equazioni omogenee lineari nelle tre incognite u1(Q),

u2(Q) e ϕ. Le soluzioni forniscono i parametri che definiscono i campi dispostamento che eventualmente i vincoli applicati alla trave consentono. Ilsistema assume quindi la forma matriciale

c11 c12 c13c21 c22 c23... ... ...

cv1 cv2 cv3

u1(Q)

u2(Q)ϕ

=

00...0

(5.1)

La matrice [C ] di dimensioni v × 3 prende il nome di matrice cinematica edha rango

r[ C ] ≤ min{v, 3} .

Poiche il sistema e omogeneo, ammette sempre la soluzione banale (0, 0, 0)corrispondente a spostamenti tutti nulli. Definendo il parametro l = 3 − v, aseconda del rango della matrice [C ], si possono verificare i seguenti casi:

1. r[ C ] = 3: in tal caso il sistema (5.1) ammette la sola soluzione banalee si dice cinematicamente determinato; la trave non puo dunque subirespostamenti rigidi infinitesimi. In tal caso ci sono due possibilita:

Corso di Scienza delle Costruzioni 60 A. A. 2009-2010



5 A na li si c in em at ic a d ei s is te mi d i t rav i 5 .2 A na li si c in em at ic a d i u n s is te ma d i t ra vi

• se v = 3 (l = 0) il numero di vincoli e quello strettamente necessarioad impedire tutti gli spostamenti rigidi infinitesimi, ed il sistema sidice isostatico;

• se v > 3 (l < 0) il numero di vincoli e sovrabbondante, ed il sistemasi dice iperstatico ;

2. r[C ] < 3: in tal caso il sistema (5.1) ammette soluzioni diverse dallabanale e si dice cinematicamente indeterminato e la trave puo subirespostamenti rigidi infinitesimi; in questo caso il sistema (5.1) e costituitoda equazioni linearmente dipendenti. In particolare

• se v = r (l > 0) il sistema si dice labile con grado di labilita 3 − v;

• se v > r (l 0) il sistema si dice labile a vincoli ine ffi caci , congrado di labilita 3 − r.

5.2 Analisi cinematica di un sistema di travi

Si consideri un sistema di travi costituito da n tratti. Il campo degli sposta-

menti rigidi infinitesimi ui dell’i-esima trave e descritto dai parametri lagran-giani (ui1(Qi), ui

2(Qi), ϕi), dove Qi e il polo di riduzione degli spostamentidell’i-esima trave. Per ogni campo di spostamento risulta

ui(P) = ui(Qi) + ϕi e3 × (P − Qi) , i = 1, . . . , n ,

ossia ui1(P) = ui1(Qi) − ϕ

i(yP − yQi)

ui2(P) = ui2(Qi) + ϕi(xP − xQi

)i = 1, . . . , n .

I parametri di spostamento sono dunque 3n. Si supponga che al sistema sianoapplicati a vincoli, ciascuno con molteplicita v j . Il numero totale di equazioni

di vincolo e dato quindi da

v =

a j=1

v j .


5 A na li si c in em at ic a d ei s is te mi d i t ra vi 5 .2 A na li si c in em at ic a d i u n s is te ma d i t ra vi

Se vi sono inoltre b connessioni, ciascuna con molteplicita ck, il numero totaledi equazioni di connessione e

c =

b

k=1ck .

Se si esprimono queste equazioni in funzione dei parametri lagrangiani, siottiene un sistema di m = v + c equazioni omogenee lineari in 3n incognite. Ilsistema assume quindi la forma matriciale:

c11 c12 c13 c14 ... c1 3nc21 c22 c23 c24 ... c2 3n... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ...

cm1 cm2 cm3 cm4 ... cm 3n

u11(Q1)

u12(Q1)

ϕ1

u21(Q2)......ϕn

=

00......0

(5.2)

La matrice cinematica [ C ] di dimensioni m × 3n ha rango

r[ C ] ≤ min{m, 3n} .

Poiche il sistema e omogeneo, esso ammette sempre la soluzione banale,corrispondente a spostamenti tutti nulli. Introducendo il parametro

l = 3n − m = 3n − (v + c) = 3 + s − v ,

ove s e la molteplicita totale delle sconnessioni, a seconda del rango dellamatrice [C ], si possono verificare i seguenti casi:

1. r[ C ] = 3n: in tal caso il sistema (5.2) ammette la sola soluzione banale e

si dice cinematicamente determinato; il sistema di travi non puo dunquesubire spostamenti rigidi infinitesimi;

• se m = 3n (l = 0) il numero di vincoli e quello strettamente neces-sario ad impedire tutti gli spostamenti rigidi infinitesimi; il sistemasi dice isostatico;




5 Analisi cinematica dei sistemi di travi 5.3 Metodo geometrico

• se m > 3n (l < 0) il numero di vincoli e sovrabbondante, ed ilsistema si dice iperstatico ;

2. r[C ] < 3n: in tal caso il sistema (5.2) ammette soluzioni diverse dallabanale e si dice cinematicamente indeterminato e il sistema di travi puo

subire spostamenti rigidi infinitesimi; il sistema (5.2) e costituito daequazioni linearmente dipendenti;

• se r = m (l > 0) il sistema si dice labile;

• se r < m (l 0) il sistema si dice labile a vincoli ine ffi caci .

Dunque risulta:

• se l = 0 la struttura puo essere isostatica o labile a vincoli ine ffi caci ;

• se l < 0 la struttura puo essere iperstatica o labile a vincoli ine ffi caci ;

• se l > 0 la struttura puo essere labile o labile a vincoli ine ffi caci .

5.3 Metodo geometrico

Come gia visto in precedenza, per classificare cinematicamente una trave oun sistema di travi e necessario determinare il parametro l = 3n − (v + c) esuccessivamente il rango della matrice cinematica. Sfruttando considerazionigeometriche e possibile evitare quest’ultimo calcolo.

Si consideri una trave alla quale e applicata un vincolo esterno. Come vistonel paragrafo 4.4, un vincolo impone delle limitazioni sugli spostamenti rigidipossibili, ovvero impone delle condizioni sul possibile centro del campo deglispostamenti assoluti della trave (centro assoluto, indicato in figura con CR).In particolare risulta (figura 5.1):

• carrello o pendolo: u(A) · e = 0 ⇒ CR ∈ r

• pendolo improprio: ϕ = 0 ⇒ CR ∈ r∞(punto improprio qualunque)

• doppio pendolo:

u(A) · e = 0ϕ = 0

⇒ CR ≡ C∞

(punto improprio della direzione di e)



• cerniera: u(A) = 0 ⇒ CR ≡ A

• incastro:

u(A) = 0

ϕ = 0⇒∃ CR .

Fig. 5.1

Si osservi come i vincoli semplici consentano ∞1 possibili centri di rotazio-ne, i vincoli doppi un solo possibile centro, mentre i vincoli tripli non lascianoalcun possibile centro di rotazione (impediscono tutte le possibili componentidi spostamento).

L’analisi cinematica di una trave puo essere dunque condotta verificandol’eventuale possibilita che esista un centro di rotazione compatibile con tutti ivincoli. Si consideri ad esempio la trave in figura 5.2. Si ha l = 3 − (2+1) = 0,

Fig. 5.2

per cui la trave puo essere isostatica o labile a vincoli inefficaci. Il vincolo inA impone che CR ≡ A, mentre il vincolo in B impone che CR ∈ r. Questedue condizioni sono incompatibili in quanto A ∈ r, per cui u(P) = 0 per ogni





P e la tr ave e isostatica. Se il carrello avesse asse orizzontale (figura 5.3), l acondizione CR ≡ A sarebbe compatibile con entrambe le condizioni di vincolo,per cui la trave potrebbe subire rotazioni intorno ad A e sarebbe dunque labilea vincoli inefficaci.

Fig. 5.3

Si consideri la struttura in figura 5.4. Si ha l = 3 −(1+1+1+1) = −1, percui la trave puo essere iperstatica o labile a vincoli inefficaci. Ciascun pendoloimpone che il centro di rotazione si trovi sul proprio asse. Se gli assi non sono

Fig. 5.4

concorrenti in un unico punto, non esiste alcun centro, proprio o improprio,compatibile con i vincoli, per cui la trave e iperstatica. Se gli assi sono con-correnti (figura 5.5), la struttura e labile a vincoli inefficaci. In particolare segli assi concorrono in un punto proprio, il campo degli spostamenti consentitie una rotazione, altrimenti se gli assi sono tutti paralleli, il centro e improprioe lo spostamento consentito e una traslazione.

Si consideri ora un sistema di piu corpi (figura 5.6). Per ciascuno e possibiledescrivere il campo degli spostamenti rigidi assoluti e definire il corrispondentecentro di rotazione assoluto:

ui(P) = ui(Qi) + ϕie3 × (P − Qi) −→ Ci

u j(P) = u j(Q j) + ϕ je3 × (P − Q j) −→ C j



Fig. 5.5

E possibile cosı definire il campo degli spostamenti relativi tra il corpo j e ilcorpo i:

ui,j(P) = u j(P) − ui(P);

se ui,j(P) = 0 per ogni P i due corpi sono solidali tra loro.

Fig. 5.6





Teorema. 5.1. Primo teorema delle catene cinematiche.

Ipotesi: Siano ui, u j campi di spostamento rigido infinitesimo

piano assoluto di due corpi i e j, e siano

ui = 0 , u j = 0 , ui,j = 0 .

Tesi: Il campo di spostamento relativo ui,j e anch’es so rigi-

do infinitesimo piano, ed il suo centro Ci,j (centro di rotazionerelativo) e allineato con i centri assoluti Ci e C j.

Si osservi che se ϕi = ϕ j allora ui,j e una rotazione propria intorno a Ci,j con

ϕi,j = ϕ

j − ϕi, altrimenti ui,j e una traslazione e Ci,j e un p unto improprio.

Teorema. 5.2. Secondo teorema delle catene cinematiche.

Ipotesi: Siano ui,j = 0 , u j,k = 0 , uk,i = 0 i campi di sposta-

mento relativo di tre corpi i, j e k.

Tesi: I centri di rotazione relativi Ci,j, C j,k, Ck,i sono allineati.

Si consideri la struttura in figura 5.7. E possibile individuare due distinticampi di spostamento rigido per AB(I ) e BC(II ), per cui si ha l = 6 − (2 +2 + 2) = 0 e la struttura pu o essere isostatica o labile a vincoli inefficaci. La

Fig. 5.7

cerniera in A impone che il campo degli spostamenti assoluti uI , se diversoda zero, abbia centro CI ≡ A, cosı come la cerniera in C impone che CII ≡ C.La cerniera in B e definita dall’equazione di connessione [[u]]

B

= 0, per cuirisulta:

[[u]]B

= uII (B) − uI (B) = uI,II (B) = 0 .



Dunque B e il punto del campo di spostamento relativo che subisce sposta-mento nullo, ossia CI,II ≡ B. Dunque gli spostamenti compatibili con i vincolie la connessione sono quelli per cui

CI ≡ A CII ≡ C CI,II ≡ B .

Si osservi che questi tre centri di rotazione non sono allineati, il che nega latesi del primo teorema delle catene cinematiche. Si deduce quindi che l’ipotesidello stesso teorema non puo essere vera (se lo fosse, allora sarebbe vera anchela tesi), dunque i tre campi di spostamento uI , uII e uI,II non possono esseretutti diversi da 0. E facile verificare che questo implica che i tre campi dispostamento sono tutti nulli, e cioe che la struttura e isostatica. Infatti, se adesempio si suppone uI = 0, si ha

uI,II = uII − uI = uII ,

dunque la condizione imposta dalla sconnessione su CI,II diventa una condi-zione su CII, ossia CII ≡ B. Quest’ultima condizione e incompatibile con la

condizione imposta dalla cerniera in C per cui anche il campo degli sposta-menti uII e nullo e di conseguenza uI,II e nullo. In modo analogo si dimostrache sono impediti gli spostamenti del sistema se si assume uII = 0, ovverouI,II = 0.

Affinche il sistema sia labile a vincoli inefficaci le tre cerniere devono essereallineate. In tal caso i campi di spostamento consentiti sono raffigurati in figura5.8.

Fig. 5.8





Si riassumono di seguito le condizioni imposte dalle connessioni sui possibilicentri relativi (figura 5.9):

• pendolo: [[u]]B· e = 0 ⇒ CI,II ∈ r

• pendolo improprio: [[ϕ]] = 0 ⇒ CI,II ∈ r∞(punto improprio qualunque)

• doppio pendolo:

[[u]]B· e = 0

[[ϕ]] = 0⇒ CI,II ≡ C∞

(punto improprio della direzione di e)

• cerniera: [[u]]B

= 0 ⇒ CI,II ≡ B

Fig. 5.9


5 Analisi cinematica dei sistemi di travi 5.4 Esercizi

5.4 Esercizi

Si esegua l’analisi cinematica della struttura in figura 5.10.

La struttura senza vincoli ha 3 gradi di liberta. Ciascun vincolo sottrae unsingolo grado di liberta alla struttura stessa, per cui l = 3 − (1 + 1 + 1) = 0.Dunque la struttura puo essere isostatica o labile a vincoli ine ffi caci . Si studiaora per quali valori dell’angolo α si ha labilita.

Fig. 5.10

Il versore della direzione dell’asse del carrello in C ha le seguenti componen-ti: e(− sinα, cosα). Si assumano come parametri lagrangiani (u1(B), u2(B),ϕ).Lo spostamento di ciascun punto P appartenente alla trave puo essere espressonella forma

u1(P) = u1(B) − ϕ(yP − yB)u2(P) = u2(B) + ϕ(xP − xB).

(5.3)

Il vincolo in A impedisce la rotazione e la corrispondente equazione divincolo e quindi:

ϕ = 0. (5.4)

Il vincolo in B impedisce lo spostamento della sezione in B nella direzioneefficace del carrello. La corrispondente equazione di vincolo e quindi

u2(B) = 0. (5.5)

Il vincolo in C impedisce lo spostamento della sezione corrispondente nelladirezione efficace del carrello, in particolare lungo la direzione del versore e.





L’equazione di vincolo e quindi

u(C ) · e = 0 ⇔ u1(C )(− sinα) + u2(C )cosα = 0.

Quest’ultima equazione va scritta in funzione dei parametri lagrangiani utiliz-zando le equazioni (5.3), per cui risulta

u1(C ) = u1(B) − ϕ(yC − yB) = u1(B)u2(C ) = u2(B) + ϕ(xC − xB) = u2(B) + Lϕ.

⇒ −u1(B)sinα + (u2(B) + Lϕ)cosα = 0 (5.6)

Il sistema delle tre equazioni vincolari (5.4), (5.5) e (5.6), scritto in funzionedei parametri lagrangiani prescelti, e quindi dato da:

ϕ = 0u2(B) = 0−u1(B)sinα + u2(B)cos α + (L cosα)ϕ = 0.

(5.7)

La matrice dei coefficienti e

[C ] =

0 0 1

0 1 0− sinα cosα L cosα

Risulta

detC = sinα = 0 ⇔ α = 0 + kπ.

L’angolo che rende la struttura labile a vincoli ine ffi caci e quind i α = 0, angoloper il quale l’asse del carrello risulta verticale. Gli angoli che si ottengono perk = 0 corrispondono alla stessa disposizione del vincolo in C. Per α = α ilrango di [C ] e mass imo e la struttura risulta isostatica .

Determiniamo il campo degli spostamenti rigidi in corrispondenza del-la condizione di labilita. Sostituiamo il valore α = α nel sistema (5.7) edeterminiamone le soluzioni

ϕ = 0u2(B) = 0u2(B) + Lϕ = 0.



Si osservi che la terza equazione e combinazione lineare delle prime due percui, posto u1(B) = u, il sistema ammette le ∞1 soluzioni (u1(B), u2(B),ϕ) =(u, 0, 0).

Il campo degli spostamenti (5.3), nel caso in cui α = α, diventa quindi

u1(P) = u1(B) − ϕ(yP − yB) = u

u2(P) = u2(B) + ϕ(xP − xB) = 0. (5.8)

Ciascun punto P subisce uno spostamento pari a u in direzione x e nullo indirezione y, per cui il campo degli spostamenti e una traslazione in direzionex (orizzontale).

Gli stessi risultati possono essere ottenuti per via geometrica. I tre vincolisono semplici, per cui ciascuno consente ∞1 possibili centri di rotazione peril corpo rigido a cui sono collegati. In particolare il p endolo improprio in Aconsente tutte le possibili componenti di traslazione, ossia consente tutte lerotazioni intorno ad un qualunque punto improprio (C R ≡ C ∞). Il carrello inB consente tutte le possibili rotazioni intorno ad un punto del suo asse (C R ∈ r)e lo stesso dicasi per il carrello in C (C R ∈ s). Conseguentemente, se α = 0(come in figura 5.11), non esiste nessun punto C R che sia compatibile con le

tre condizioni dettate dai vincoli. Infatti l’unico possibile centro di rotazione

Fig. 5.11

K compatibile con i vincoli in B e C, non e compatibile con la condizione

impasta dal vincolo in A (infatti K non e un punto improprio). Se viceversaα = 0 (figura 5.12), il punto improprio della direzione verticale soddisfa letre condizioni (appartiene sia ad r che ad s ed inoltre e un punto impoprio),per cui in tal caso il sistema ammette un centro di rotazione e la struttura elabile a vincoli inefficaci. Il campo degli spostamenti possibili e una rotazioneintorno a tale punto improprio, ossia una traslazione in direzione orizzontale.





Fig. 5.12


La struttura senza vincoli ha 3 gradi di liberta. Il doppio pendolo in A eun vincolo doppio e sottrae due gradi di liberta alla struttura, mentre i duevincoli in C e D sono semplici e sottraggono ciascuno un g.d.l., per cui ilnumero totale dei gradi di liberta e pari ad l = 3 − (2 + 1 + 1) = −1. Dunquela struttura puo essere iperstatica o labile a vincoli ine ffi caci . Si studia oraper quali valori dell’angolo α si ha labilita.

Fig. 5.13

Il versore della direzione dell’asse del carrello in C ha le seguenti componen-ti: e(cosα, sinα). Si assumano come parametri lagrangiani (u1(A), u2(A),ϕ).



Lo spostamento di ciascun punto P appartenente alla trave puo essere espressonella forma

u1(P) = u1(A) − ϕ(yP − yA)u2(P) = u2(A) + ϕ(xP − xA).

(5.9)

Il vincolo in A impedisce la rotazione e lo spostamento orizzontale. Lacorrispondenti equazioni di vincolo sono quindi

u1(A) = 0ϕ = 0.

(5.10)

Il vincolo in C impedisce lo spostamento della sezione corrispondente nelladirezione efficace del carrello, in particolare lungo la direzione del versore e.L’equazione di vincolo e quindi

u(C) · e = 0 ⇔ u1(C)cosα+ u2(C)sinα = 0.

Quest’ultima equazione va scritta in funzione dei parametri lagrangiani utiliz-

zando le equazioni (5.9), per cui risultau1(C) = u1(A) − ϕ(yC − yA) = u1(A) + Lϕu2(C) = u2(A) + ϕ(xC − xA) = u2(A) + Lϕ.

⇒ (u1(A) + Lϕ)cosα+ (u2(A) + Lϕ)sinα = 0 . (5.11)

Il vincolo in D impedisce lo spostamento della sezione in D nella direzioneefficace del carrello, in particolare in direzione orizzontale x. La corrispondenteequazione di vincolo e quindi:

u1(D) = 0.

Dal momento che per le (5.9) si ha

u1(D) = u1(A) − ϕ(yD − yA) = u1(A) + 2Lϕ ,

si ottiene:

u1(A) + 2Lϕ = 0 (5.12)





Il sistema delle quattro equazioni vincolari (5.10), (5.14) e (5.12), scrittoin funzione dei parametri lagrangiani prescelti, e quindi dato da:

u1(A) = 0

ϕ = 0u1

(A)cos α + u2

(A)sinα + (L cosα + L sinα)ϕ = 0u1(A) +2Lϕ = 0.

(5.13)


[C ] =

1 0 00 0 1

cosα sinα L(cosα + sinα)1 0 2L

La matrice e di ordine 4 × 3, dunque perche abbia rango massimo , tutti iminori di ordine 3 devono essere diversi da zero. Risulta

C 1 = 0 0 1

cosα sinα L(cosα+ sinα)1 0 2L

= − sinα

C 2 =

1 0 0

cosα sinα L(cosα+ sinα)1 0 2L

= 2L sinα

C 3 =

0 0 11 0 01 0 2L

= 0

C 4 =

0 0 11 0 0

cosα sinα L(cosα+ sinα)

= sinα

dunque per

sinα = 0 ⇔ α = 0 + kπ

la matrice ha rango minore di tre. L’angolo che rende la struttura labile a

vincoli ine ffi caci e quindi α = 0, angolo per il quale l’asse del carrello risulta



orizzontale. Gli angoli che si ottengono p er k = 0 corrispondono alla stessadisposizione del vincolo in C. Per α = α il rango di [C ] e massimo e la strutturarisulta iperstatica .

Determiniamo il campo degli spostamenti rigidi in corrispondenza del-la condizione di labilita. Sostituiamo il valore α = α nel sistema (5.13) e

determiniamone le soluzioni

u1(A) = 0ϕ = 0u1(A) + Lϕ = 0u1(A) + 2Lϕ = 0.

Si osservi che la terza e la quarta equazione sono combinazioni lineari delleprime due per cui, posto u2(A) = u, il sistema ammette le ∞1 soluzioni(u1(A), u2(A),ϕ) = (0, u, 0).

Il campo degli spostamenti (5.3), nel caso in cui α = α, diventa quindiu1(P) = u1(A) − ϕ(yP − yA) = 0u2(P) = u2(A) + ϕ(xP − xA) = u.

(5.14)

Ciascun punto P subisce uno spostamento pari a u in direzione y e nullo indirezione x, per cui il campo degli spostamenti e una traslazione in direzioney (verticale).

Gli stessi risultati possono essere ottenuti per via geometrica (5.14). Ildoppio pendolo e doppio, per cui fissa nel punto improprio della direzione delsuo asse C →

∞il possibile centro di rotazione. Il vincolo in D e semplice, per cui

consente ∞1 possibili centri di rotazione, ossia tutti i punti appartenenti alsuo asse r. L’unico possibile centro compatibile con i vincoli in A e D e dunqueil punto improprio della direzione orizzontale C →

∞. Il carrello in C consente

come possibili centri di rotazione tutti i punti appartenenti al suo asse s, percui per α = 0 s contiene C →

∞, dunque C →

∞e compatibile con tutti i vi ncoli e

rappresenta il centro di rotazione per la struttura che e quindi labile a vincoli

ineffi

caci. Il campo degli spostamenti possibili e una rotazione intorno a talepunto improprio, ossia una traslazione in direzione verticale. Per α = 0 nonesiste alcun centro compatibile con i vincoli, e la struttura e iperstatica.


La struttura e composta da due corpi rigidi (I – tratto ABC, II – tratto





Fig. 5.14

CDE) e senza vincoli ha 6 gradi di liberta. I vincoli esterni in A, B, D sonosemplici e sottraggono ciascuno un grado di liberta alla struttura, mentre ilvincolo in E e doppio. La connessione in C e semplice, per cui l = 6 − (1 +1 + 1 + 2) − 1 = 0. Dunque la struttura puo essere isostatica o labile a vincoli

ine ffi caci . Si studia ora per quali valori dell’angolo α si ha labilita.

Fig. 5.15

Il versore della direzione dell’asse del carrello in B ha le seguenti compo-nenti: e(sinα, cosα). Si assumano come parametri lagrangiani per il primo



tratto (uI 1(A), uI 2(A),ϕI ) e per il secondo (uII

1 (E), uII 2 (E),ϕII ).Il vincolo in A impedisce lo spostamento del corpo rigido I nella direzione

efficace del carrello e la corrispondente equazione di vincolo e:

uI 1(A) = 0. (5.15)

Il vincolo in B impedisce lo spostamento della sezione in B nella direzionedi e. La corrispondente equazione di vincolo e quindi:

uI (B) · e = 0 ⇔ uI 1(B)sinα+ uI 2(B)cosα = 0.

Quest’ultima equazione va scritta in funzione dei parametri lagrangiani. Ri-sulta

uI 1(B) = uI 1(A) − ϕ

I (yB − yA) = uI 1(A) + ϕI H

uI 2(B) = uI 2(A) + ϕ

I (xB − xA) = uI 2(A) ,

⇒ (uI 1(A) + ϕI H )sinα + uI

2(A)cosα = 0 . (5.16)

La connessione semplice in C impone che [[u2]]C = uII 2 (C) − uI 2(C) = 0.

EssendouII 2 (C) = uII

2 (E) + ϕII (xC − xE) = uII 2 (E) − ϕ

II L

uI 2(C) = uI 2(A) + ϕ

I (xC − xA) = uI 2(A) +ϕI L ,

si ha

uII 2 (E) − ϕ

II L − uI 2(A) − ϕ

I L = 0 . (5.17)

Il vincolo in D impedisce lo spostamento del corpo rigido II nella direzioneorizzontale:

uII 1 (D) = 0 .

Essendo

uII 1 (D) = uII 1 (E ) − ϕ

II (yD − yE) = uII 1 (E ) + ϕ

II H ,

si ha

uII 1 (E ) + ϕ

II H = 0. (5.18)





Il vincolo in E impedisce la rotazione e lo spostamento del corpo rigido II nella direzione verticale:

uII 2 (E ) = 0ϕII = 0.

(5.19)

Il sistema delle sei equazioni vincolari (5.15), (5.16), (5.17), (5.18) e (5.19)e quindi dato da:

uI 1(A) = 0(uI 1(A) + ϕ

I H )sinα+ uI 2(A)cos α = 0uII 2 (E) − ϕ

II L − uI 2(A) − ϕI L = 0

uII 1 (E ) + ϕII H = 0

uII 2 (E ) = 0ϕII = 0.

(5.20)


[C ] =

1 0 0 0 0 0sinα cosα H sinα 0 0 0

0 1 −L 0 1 −L

0 0 0 1 0 H 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

Risulta

det[ C ] = H tanα− L = 0 ⇔ tanα =L

H .

Per tanα = L/H la struttura e labile a vincoli ine ffi caci , per tanα = L/H ilrango di [C ] e massi mo e la struttura risulta isostatica .

Determiniamo il campo degli spostamenti rigidi in corrispondenza dellacondizione di labilita. Operiamo la sostituzione tanα = L/H nel sistema(5.20) e determiniamone le soluzioni

uI 1(A) = 0

(uI 1(A) + ϕ

I H ) LH

+ uI 2(A) = 0

uII 2 (E) − ϕII L − uI 2(A) − ϕ

I L = 0uII 1 (E ) + ϕ

II H = 0uII 2 (E ) = 0ϕII = 0.



Posto ϕI = ϕ, il sistema ammette le ∞1 soluzioniuI 1(A), uI

2(A),ϕI , uII 1 (E), uII 2 (E),ϕII

= (0, −ϕL, ϕ, 0, 0, 0) .

Il campo degli spostamenti per il primo tratto e dato dauI 1(P) = uI

1(A) − ϕI (yP − yA) = −ϕ(yP − yA)

uI 2(P) = uI

2(A) + ϕI (xP − xA) = −ϕL + ϕ(xP − xA).

Il centro di tale campo di spostamenti (centro assoluto del I tratto) e i l p untoCI che subisce spostamento nullo

uI 1(CI) = −ϕI (yCI− yA) = 0

uI 2(CI) = −ϕI L + −ϕI (xCI− xA) = 0

⇒

yCI

= yAxCI

= xA + L⇒ CI ≡ K .

Il campo degli spostamenti per il secondo tratto e dato da

uII 1 (P) = uII 1 (E) − ϕ

II (yP − yE) = 0uII 2 (P) = uII 2 (E) + ϕ

II (xP − xE) = 0 .

Essendo il campo uII (P) identicamente nullo, il centro assoluto del II trattonon esiste. Conseguentemente il campo degli spostamenti relativi coincide, ameno del segno con il campo degli spostamenti assoluti del I tratto:

uI,II 1 (P) = uII 1 (P) − uI

1(P) = −uI 1(P) = ϕ(yP − yA)

uI,II 2 (P) = uII 2 (P) − uI

2(P) = −uI 2(P) = ϕL − ϕ(xP − xA) ,

per cui il centro relativo CI,II coincide con CI.Per via geometrica si osserva che i due vincoli in D ed E sono sufficienti ad

impedire qualsiasi spostamento rigido infinitesimo per il secondo tratto. Infattiil doppio pendolo impone che CII sia il punto improprio della direzione vertica-le, il carrello impone che CII appartenga alla sua retta efficace. Dal momentoche questa retta non contiene tale punto improprio, le due condizioni sono in-compatibili, per cui CII non puo esistere. Il pendolo in C impone che il centrorelativo CI,II appartenga alla retta verticale passante per C. Dal momento cheil campo degli spostamenti assoluti del secondo tratto e identicamente nullo,gli spostamenti relativi dei due tratti coincidono con gli spostamenti assoluti





del primo tratto, per cui la condizione imposta dal pendolo diventa una con-dizione sul centro assoluto CI. Infatti il punto in cui si annulla lo spostamentorelativo (centro relativo) coincide con il punto il cui si anulla lo spostamentodel tratto I (centro assoluto di I ).

I carrelli in A e B impongono che CI appartenga ai rispettivi assi, per cui

se le tre rette passanti per A, B e C sono concorrenti esiste un possibile CIcompatibile con i tre vincoli e la struttura e labile a vincoli inefficaci (figura5.16). In caso contrario la struttura e isostatica.

Fig. 5.16


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