17 Studio delle travi inflesse isostatiche 7.5 Travi Gerber

© SEI - 2012

7.5.2 Calcolo della trave Gerber

La trave Gerber rappresentata in figura è gravata di un carico uniformemente ripartito q = 20 kN/m; calcolare le reazionivincolari, le sollecitazioni di momento flettente e di sforzo di taglio e tracciare i relativi diagrammi.

ESERCIZ IO SVOLTOESERCIZ IO SVOLTO

Il calcolo viene sviluppato considerando prima il tratto C1-C2 e quindi le campate AB e CD, entrambe con uno sbalzo.

Tratto C1-C2

1. Calcolo delle reazioni vincolariIl tratto C1-C2 è una trave appoggiata agli estremi [fig. a], simmetrica e simmetricamente caricata, per cui le due reazioni valgono:

Queste reazioni, cambiate di verso, vengono applicate alle estremità degli sbalzi delle travi appoggiate AB e CD.

2. Calcolo della sollecitazione di sforzo di taglio

Lo sforzo di taglio si annulla nella sezione di mezzeria.

3. Calcolo della sollecitazione di momento flettente

Campata A-B

Si procede ora a calcolare la trave appoggiata nei punti A e B, il cui schema di carico è riportato in figura b.

1. Calcolo delle reazioni vincolari

S MB = 0

RA ≈ 52,86 kN

S MA = 0

RB = 167,14 kN

2. Calcolo delle sollecitazioni di sforzo di taglio

Lo sforzo di taglio si annulla in corrispondenza dell’appoggio B e nella sezione X1 con ascissa:

x 1(A ) = VAd

q= 52,86

20≈ 2,64m

VC1

d = VC1

s − RC1= 40 − 40 = 0

VC1

s = VBd − q ⋅a = 80 − 20 × 2,00 = 40 kN

VBd = VB

s + RB = −87,14 +167,14 = 80 kN

VBs = VA

d − q ⋅ l1 = 52,86 − 20 × 7,00 = − 87,14 kN

VAd = RA = 52,86 kN

RB ⋅7,00 − 20 ×(7,00 + 2,00) × 7,00 + 2,002

− 40 × (7,00 + 2,00) = 0

−RB ⋅ l1 + q ⋅ (l1 + a) ⋅ l1 + a2

+ RC1⋅ (l1 + a) = 0

RA ⋅7,00 − 20 × (7,00 + 2,00) × 7,00 + 2,002

− 2,00⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ + 40 × 2,00 = 0

RA ⋅ l1 − q ⋅ (l1 + a) ⋅ l1 + a2

− a⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ + RC1⋅a = 0

M = 18

⋅q ⋅ b2 = 18

× 20 × 4,002 = 40 kN m

VC1

d = −VC 2

s = q ⋅b2

= 20 × 4,002

= 40 kN

RC1= RC 2

= q ⋅ b2

= 20 × 4,002

= 40 kN

27 Studio delle travi inflesse isostatiche 7.5 Travi Gerber

© SEI - 2012

7.5.2 Calcolo della trave Gerber

3. Calcolo della sollecitazione di momento flettente

MA = 0

Campata C -D

Si considera ora la trave appoggiata in C e D, il cui schema di carico è riportato in figura b.

1. Calcolo delle reazioni vincolari

S MD = 0

RC = 154,00 kN

S MC = 0

RD = 26,00 kN

2. Calcolo delle sollecitazioni di sforzo di taglio

Lo sforzo di taglio si annulla in corrispondenza dell’appoggio C e nella sezione X2 con ascissa rispetto all’appoggio D:

3. Calcolo della sollecitazione di momento flettente

Il diagramma dei momenti è stato tracciato per via grafica [fig. c]; le reazioni sono state determinate anche con il procedimentografico.

M X2= RD ⋅x 2 − q ⋅ x 22

2= 26 ×1,30 − 20 × 1,30

2

2=16,90 kNm

MC = − RC2⋅a − q ⋅ a2

2= − 40 × 2,00 − 20 × 2,00

2

2= −120 kNm

x 2(D ) = VDs

q= 2620

=1,30 m

VDs = VC

d − q ⋅ l 3 = 74 − 20 × 5,00 = −26 kN

VDd = VC

s + RC = −80 +154 = 74 kN

VCs = VC2

d − q ⋅a = −40 − 20 × 2,00 = −80 kN

VC2

d = RC2= −40 kN

RD ⋅5,00 − 20 × (5,00 + 2,00)× 5,00 + 2,002

− 2,00⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ + 40 × 2,00 = 0

−RD ⋅ l3 + q ⋅ (l 3 + a) ⋅ l3 + a2

− a⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ − RC2⋅a = 0

RC ⋅5,00 − 40 × (5,00 + 2,00) − 20 × (5,00 + 2,00) × 5,00 + 2,002

= 0

RC ⋅ l3 − RC2⋅ (l3 + a) − q ⋅ (l3 + a) ⋅ l3 + a

2= 0

M B = − q ⋅a2

2− RC1 ⋅a = −20 × 2,00

2

2− 40 × 2,00 = −120 kNm

M X1= RA ⋅x 1 − q ⋅ x12

2= 52,86 × 2,64 − 20 × 2,64

2

2= 69,85 kNm

37 Studio delle travi inflesse isostatiche 7.5 Travi Gerber

© SEI - 2012

7.5.2 Calcolo della trave Gerber