14, cinematica

8/12/2019 14, cinematica

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UNIVERSIDAD

CONTINENTAL

ASIGNATURA

MECANICA VECTORIAL

SEMANA

Cinemtica

Dr. Omar Pablo F lores Ramos

Huancayo, 2012

14


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Mecnica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos2

1. CINEMTICA DE UNA PARTCULALa cinemtica, estudia el movimiento de los cuerpos, sin tener en

consideracin las causas que lo producen

4.1CONCEPTOS FUNDAMENTALESa)Movimiento

El movimiento es el cambio de posicin de un cuerpo o partculaa medida que transcurre el tiempo, con respecto a un sistema de

referenciab)Sistema de referencia

Es un punto el cual se considera fijo o en reposo relativo con

respecto a la tierra. Punto O

c)Elementos descriptivos del movimientoMvilEs el cuerpo o partcula que est en movimiento

Posicin )( Ar Para determinar la posicin de una partcula se utiliza el vector

de posicin, el cual indica la ubicacin de un cuerpo en

indeterminado sistema de referencia.Trayectoria (s)Es la lnea que describe el mvil durante su movimiento. La

trayectoria es la curva que se inicia en A y termina en B

Desplazamiento ( d)El desplazamiento de una partcula es una magnitud vectorial,

que une la posicin inicial con la posicin final

Distancia ( d )Es un escalar y se define como el mdulo del desplazamiento

Ar

O

xy

z

inicio

A

final

B

mvil

desplazamiento

trayectoria

Fig 4.1: Elementos del movimiento

d


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4.2MOVIMIENTO RECTILINEOEs el movimiento ms simple de una partcula. La cinemtica de

este movimiento se caracteriza por analizar la posicin, velocidad y

aceleracina)Posicin ( x) :

Es la ubicacin de la partcula, en un determinado instante

respecto a un punto de referencia

b)Desplazamiento ( x ) :El desplazamiento de una partcula (Fig 4.2) es una magnitud

vectorial, que une la posicin inicial con la posicin final

if xxx (4.1)

Fig. 4.2:Desplazamiento de una partcula.

c)Velocidad:La velocidad es una magnitud vectorial, que se define como el

cambio de posicin en cada intervalo de tiempo

Velocidad media )( mv La velocidad media se define como la relacin entre el

desplazamiento en cada intervalo de tiempo

if

ifm

tt

xx

t

xv (4.2)

Velocidad instantnea )(v Se define como el valor lmite de la velocidad media, cuando

t tiende a cero.

x

ix fx


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t

xLimv

t 0

dt

xdv (4.3)

RapidezSe define como el mdulo de la velocidad, en consecuencia no

tiene direccin asociada.

- Rapidez media (vm)Se define como la longitud total de la trayectoria (s),

dividida entre el tiempo transcurrido

t

sv Tm (4.4)

- Rapidez instantnea (v )

dt

dsv (4.5)

d)AceleracinLa aceleracin se define como el cambio de velocidad en cada

intervalo de tiempo

Aceleracin media ( ma )

if

ifm

tt

vv

t

va (4.6)

Aceleracin instantnea( a )

Se define como el valor lmite da la aceleracin media, cuandot se acerca a cero.

2

2

0 dt

vd

dt

vd

t

vLima

t

Luego dt

vd

a (4.7)


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4.2.1 MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEEs cuando el mvil recorre distancias iguales en tiemposiguales.La partcula tiene velocidad constante, por lo tanto su aceleracines cero

a) Desplazamiento en Movimiento Rectilneo UniformeDe la rapidez instantnea (4.5 ), se tiene:

dtvdx

dt

dxv

.

Integrando:

t

t

vdtxx

0

0 (4.8)

Esta expresin es vlida para v = variable pero cuando v = Cte,

se tiene:

)( 00 ttvxx (4.9)

b)Grficos del Movimiento Rectilneo Uniforme referidos altiempo

Posicinvs- tiempo

Fig 4.3: Grfico de posicinvs- tiempo

)( 00 ttvxx

0x

x La pendiente de la recta nos da larapidez de la velocidad en mdulo y

signo

tanv

Cuando la recta es hacia arriba lavelocidad es positiva y cuando es

t


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Velocidadvs- tiempo

Fig 4.4: Grfico de velocidadvs- tiempo

c) Observaciones:Si en la ecuacin (4.9), se hace d = xx0, y para t0 = 0, setiene la expresin:

tvd . ( 4.10 )

Esta ecuacin es muy til para problemas elementales

Tiempo de encuentro

Tiempo de alcance

Para que haya alcance, la VA debe se mayor que laVB

El rea bajo la lnea coincide con ladistancia recorrida

read

t

v

ctev

read

Av Bv

d BA

encvv

dt

A

v B

v

d BA

alcvv

dt


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4.2.2 MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE VARIADOEs cuando el mvil vara su velocidad cada intervalo de tiempo

a)

Rapidez de la velocidad como una funcin del tiempoDe la aceleracin instantnea (4.7):

dt

dva

dv = a.dt (4.11)

Integrando, se tiene la velocidad con aceleracin a = variable

t

t

adtvv

0

0 (4.12)

Cuando la aceleracin es constante a = cte, se tiene:

)( 00 ttavv (4.13)

Para to= 0, se tiene v = v0+ a. t

b)

Rapidez de la velocidad como una funcin de la posicinSi a (4.11) se multiplica por la velocidad v

a.dxv.dv

a.dtdt

dxv.dv

v.a.dtv.dv

Integrando, se tiene la velocidad con aceleracin a = variable

x

x

adxvv

0

2202

(4.14)

Cuando a = cte se tiene:

)(22

0

2

02

xxavv

)(2 0202 xxavv (4.15)


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c) Desplazamiento como una funcin de tiempoAl sustituir (4.13) en (4.8)

t

t

t

t

t

t

dttadtvxx

dttavxx

0 0

0

)(

)(

00

00

(4.16)

Esta expresin es vlida para a = variable pero cuando a = cte se

tiene:

2

0000 )(21)( ttattvxx (4.17)

Cuando t o= 0 se tiene:

2

02

1attvxx o (4.18)

Nota: Distancia recorrida en el ensimo segundo en unmovimiento rectilneo acelerado es:

xn= v0 + . a ( 2 n - 1 )

d) Grficos del M.R.U.V. referidos al tiempoa. Posicinvs- tiempo

2

0 .2

1. tatvx

x La pendiente de la recta tangente alaparbola nos da la velocidadinstantnea en mdulo y signo

tanv

t

Fig 4.3: Grfico de posicinvs- tiempo


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b. Velocidadvs- tiempo

4.2.3 MOVIMIENTO VERTICALEs un movimiento rectilneo uniformemente variado (Fig. 4.5) enel cual la aceleracin se reemplaza por la aceleracin de la

gravedad a =g y el desplazamiento por la altura yy0, luegode las ecuaciones (4.13); (4.15) y (4.18) se tendr:

Fig 4.5: Movimiento vertical

a. Ecuaciones vectorialestgvv oyy .)( (4.19)

).(2)()( 22 ooy yygvv (4.20)

2

2

1.)( tgtvyy oyo (4.21)

El rea bajo la lnea coincide con ladistancia recorrida

read

t

v

0v

tavv .0

d = rea

Fig 4.4: Grfico de velocidadvs- tiempo

yo

y

(vy)o (vy)f

x

y

- g


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Nota: cuando los vectores se orientan hacia arriba seconsideran (+) positivos y si se orientan hacia abajo

sern (-) negativos.

Luego: jsmg

28,9

b. Ecuaciones escalarestgvv oyy .)( (4.22)

hgvv oy .2)()( 22

(4.23)

2

2

1.)( tgtvh

oy (4.24)

tvv

h fyoy

.2

)()( (4.25)

Nota: En estas ecuaciones se usar el signo(-)si la partculasube y (+)si lapartcula baja.

Luego:2

8,9s

mg

c. Formulas especiales, escalares-Altura mxima

g

vh

oy

mxima2

)( 2

(4.26)

-Tiempo de vuelog

vt

oy

vuelo

)(2 (4.27)


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4.3MOVIMIENTO CURVILINEO EN GENERALEs cuando la partcula se mueve describiendo una trayectoria

curva.

a) Posicin:La posicin de un cuerpo se puede determinar de diferentesformas, tales como:

a.1) Mediante sus componentes rectangulares

Fig. 4.6:Posicin de una partcula mediante componentes

rectangulares.

a.2) Mediante el vector de posicin

Fig. 4.7:Ubicacin de una partcula mediante un vector de

posicin.

z

xy

z

yx

P(x;y;z)

x

r

z

y

P

x = X(t)y = Y(t) (4.28)

z = Z(t)

)(tfr (5.23)


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a.3) Mediante la ecuacin horaria del movimiento

En la figura 4.8, se muestra la ecuacin horaria delmovimiento en funcin del tiempo del tiempo

Fig. 4.8:Posicin de una partcula mediante la ecuacin horariadel movimiento.

b) Desplazamiento ( r):

Como se ha manifestado, el desplazamiento ( r) viene a ser

la diferencia entre la posicin final ( r + r) menos la

posicin inicial (r ), tal como se muestra en la Fig. 4.9

rel vector de desplazamiento.

Fig. 4.9: Desplazamiento en movimiento curvilneo

x

z

Ps

P

s =f(t) (5.24)

x

z

y

r

rr

r


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c) Velocidad en movimiento curvilneo:

Velocidad media )( mv

Es la reaccin entre el desplazamiento y el incrementodel tiempo.

t

rvm (4.31)

La direccin y sentido de )( mv es la misma de r

Velocidad instantnea )(v

Es la velocidad de la partcula en un determinado

instante, su valor se determina cuando 0t

t

rLimv

t 0

tuvrdt

rdv

o

. (4.32)

La velocidad instantnea, siempre es tangente la

trayectoria.

Rapidez (v)

Es el mdulo de la velocidad.

de tudtds

dsrd

dtds

dtrdv .

Comparando con (4.32) se tiene que la rapidez ser:

dt

dsv (4.33)


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c) Aceleracin en movimiento curvilneo:

Es la diferencia entre la velocidad final menos la velocidad

inicial en un intervalo de tiempo, tal como se muestra en la

Fig. 4.10.

Fig. 4.10:Incremento de la velocidad en movimientocurvilneo.

Aceleracin media ma Es la relacin entre la variacin de la velocidad en un

intervalo de tiempo.

t

vam (4.34)

La direccin y sentido de ma es la misma de v .

Aceleracin instantnea a

Se define como el limite de la aceleracin media cuando el

incremento de tiempo tiende a cero ( 0t )

t

vLima

t 0

t

ooo

uarvdt

vda . (4.35)

x

z

y

2V

1V

2V

1V

V


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4.3.1 MOVIMIENTO DE PROYECTILESEs un movimiento compuesto por un movimiento horizontal y

otro movimiento vertical, tal como se muestra en la Fig. 4.11

Fig. 4.11: Movimiento de proyectiles

a) Movimiento horizontalSe considera como movimiento rectilneo uniforme, donde laaceleracin ax= 0; luego se tiene la ecuacin (4.9):

)( 00 ttvxx x Donde la componente horizontal de la velocidad vx

permanece constante

cos.)( ooxx vvv (4.36)

b) Movimiento verticalSe considera como movimiento recti lneo uniformementevariado, donde la componente vertical de la velocidadvyvara

con el tiempo

senvv ooy .)( (4.37)

y se utilizarn las ecuaciones vectoriales 4.19; 4.20 y 4.21 o

escalares4.22; 4.23 y 4.24 del movimiento vertical

vo

(vx)o

(vy)o

vx

vyv

y

yo

xox

x

y

jg.


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e) Aceleracin angular ( )Es la variacin de la velocidad angular con respecto al tiempo.

ooo

dtd

dtd 2

2

2s

rad (4.47)

f) Velocidad lineal o tangencial ( tv )La velocidad lineal o tangencial es la que posee la partcula

cuando desarrolla un movimiento curvilneo, la direccin de

esta velocidad es tangente a la curva y su mdulo nos indica la

rapidez con el que recorre un arco

urvo

. (4.49)

su mdulo ser: v = w.r

g) Aceleracin tangencial ( ta )Es aquella que produce los cambios en el mdulo de la

velocidad tangencial y cuya direccin es tangente a la

trayectoria

t

oo

t ura .. (4.50)

su mdulo ser: at= .r

h) Aceleracin centrpeta, central o normal ( ca )Es la aceleracin que le hace cambiar de direccin, y siempre

va dirigida hacia el centro de la circunferencia

cct

ctc urur

vuva .... 22

(4.51)

su mdulo ser: rr

vva ttc ..

22

i) Aceleracin total ( a )Viene a ser la suma vectorial de las aceleraciones tangencial

(4.50) y centrpeta (4.51) respectivamente

cctt uauaa (4.52)


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4.3.1.1 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMELa trayectoria es una circunferencia, y el mvil describe arcos

iguales en tiempos iguales, por lo tanto la velocidad lineal o

tangencial y la velocidad angular son constantes

r. (4.53)

4.3.1.2 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTEVARIADO

Es cuando el mvil aumenta o disminuye su velocidad en forma

constante en cada unidad de tiempo

tww of . (4.54)

222 of ww (4.55)

2.2

1. ttwo (4.56)

tww fo .2

(4.57)

Nota: En estas ecuaciones se usar el signo (-) si la partculadisminuye su velocidad angular y (+)si la partcula aumenta

su velocidad angular.


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Movimiento Rectilneo en General

1. Una partcula recorre una lnea recta de tal forma que en 2 s se

mueve de una posicin inicial xA = + 0,5 m a una posicinxB= - 0,5 m. Luego, en los siguientes 4 s, se mueve de xBa xC=

+ 4,5 m. Determine la velocidad media y la rapidez media de la

partcula durante el intervalo de tiempo de 6 s

Rpta: smiv m /3

2;vm=1 m/s

2. La posicin de un mvil con movimiento rectilneo, esta dadapor: x = (t

2+ 8 t 28) cm, donde t se expresa en segundos. En

qu instante el mvil estar pasando por un punto ubicado a 56cm. y que velocidad y aceleracin tendrn en dicho punto?

Rpta: 6 s; 20 cm/s y 2 cm/s2

3. Si se tiene el movimiento rectilneo x = ( t39 t2+ 15 t) m, endonde t se expresa en segundos. Determine la velocidad y la

aceleracin para un tiempo de 6 s. Asimismo determinar la

posicin y la longitud total de la trayectoria que recorre la

partcula. Sugerencia: trace la trayectoria para determinar la

longitud total recorrida.

Rpta: 15 m/s y 18 m/s2; - 18 m, 46 m

4. La posicin de una partcula a lo largo de una trayectoria rectase define como x = ( t36 t2 - 15 t + 7 ) m, en donde t seexpresa en segundos. Calcular la velocidad y aceleracin cuando

t =10 s, adems determinar la velocidad media, la rapidez media

y la longitud total de la trayectoria en ese lapso

Rpta: 165 m/s; 48 m/s2; 25 m/s i; 45 m/s y 450 m

5. La posicin de una partcula con movimiento rectilneo esta dadapor x = ( t37,5 t2+ 18 t) m, en donde t se expresa en segundos.Determine la posicin, la longitud total que recorre la partcula,

la velocidad y la aceleracin para un tiempo de 5 s.

Rpta: 27,5 m, 94,5 m, 18 m/s y 15 m/s2

6. Se dispara una partcula en movimiento rectilineo con unarapidez inicial de 27 m/s. Si experimenta una desaceleracin

de a = (- 6t ) m/s2, en donde t se expresa en segundos, determine

el tiempo y la distancia recorrida hasta antes de detenerse

Rpta: 54 m


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7. Un tren viaja a v = 60(1 e t ) m/s, en donde t se expresa ensegundos. Determine la distancia recorrida en tres segundos, as

como la aceleracin en ese momento

Rpta: 123 m y 2,99 m/ s

2

8. Si una partcula recorre una lnea recta de modo que durante unintervalo de tiempo 2 s t 6 s, su movimiento se describe porv = (4/a) m/s, en donde a se expresa en m/s2. Si v = 6 m/scuando t = 2 s, determine la aceleracin de la partcula cuando t =

3 segundos

Rpta: 0,608 m/s2

9. La aceleracin de una partcula durante el recorrido en lnea rectaest dada por la ecuacin a = ( 2t - 1) m/s

2, en donde t se expresa

en segundos. Si x = l m y v = 2 m/s cuando t = 0, determine la

velocidad, la posicin y la distancia total recorrida por la

partcula cuando t = 6 s.

Rpta: 32 m/s; 67m y 66m

10.Cuando un tren est viajando a lo largo de una va recta a 2 m/s,comienza a acelerar a: a = (60v- 4) m/s2, donde v se expresa en

m/s. Determine la rapidez y la posicin 3 s despus de acelerar.

Rpta: 3,93 m/s y 9,98 m

11.Una partcula se mueve a la derecha sobre una lnea recta conuna velocidad v = [5/(4 + x)] m/s, en donde x se expresa en

metros. Determinar su posicin cuando t = 6 s, si x = 5 m cuando

t = 0.

Rpta: 7,87 m

12.Una partcula se mueve a la derecha sobre una lnea recta conuna velocidad v = [5/(4 + x)] m/s, en donde x se expresa en

metros. Determinar su desaceleracin cuando x = 2 m

Rpta: -0,116 m/s2

13.Una partcula que se desplaza sobre una lnea recta est sujeta a

una desaceleracin a = (- 2v3) m/s

2, en donde v se expresa en

m/s. Si la partcula tiene una velocidad v = 8 m/s y una posicin

x = 10 m cuando t = 0, determine su posicin y velocidad

cuando t = 4 s.

Rpta: 11,9 m y 0,25 m/ s

14.Una partcula recorre una lnea recta con un movimientoacelerado de tal forma que a = - k.x, en donde x es la distancia

desde el punto de inicio y k es la constante de proporcionalidad

que habr de determinarse. Para x = 2 m la velocidad es 4 m/s, y


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para x = 3,5 m la velocidad es 10 m/s. Cunto vale x cuandov = 0?

Rpta: k = - 10,2/s2 x = 1,56 m

15.La aceleracin de un cohete que se desplaza hacia arriba estdada por a = (6 + 0.02y) m/s

2, donde y se expresa en metros.

Determine la velocidad del cohete cuando y = 2 km, y el tiempo

necesario para llegar a esta altitud. Inicialmente, v = 0, y y = 0

cuando t = 0.

16.La aceleracin de un cohete que se desplaza hacia arriba estdada por a = (6 + 0.02y) m/s2, donde y se expresa en metros.Determine el tiempo necesario para que el cohete alcance una al-

titud de y = 100 m. Inicialmente, v = 0, y s = 0 cuando t = 0.

17.Un proyectil, inicialmente en el origen, se mueve verticalmentehacia abajo con trayectoria recta a travs de un fluido de tal

forma que su velocidad se define como v = 3.(8e - t+ t )1/2 m/s,

donde t se expresa en segundos. Determinar la aceleracin del

proyectil cuando t = 2 s.

18.La aceleracin de una partcula a lo largo de una lnea rectase define como a = ( 2.t9 ) m/s2, donde t esta en segundos.Para t = 0, s = 1 m y v = 10 m/s. Cuando t = 9 s, determine:

a. la posicin de la partculab. la distancia total recorrida yc. la velocidad

19.Dos partculas, A y B, parten del reposo en el origen s = 0 y sedesplazan sobre e una lnea recta de tal forma queaA= (6t - 3) m/s

2y aB= (12 t

2- 8) m/s

2, donde t se expresa en

segundos. Determine la distancia entre ellas y la distancia total

que cada una recorri en t = 4 s

20.Cuando una partcula cae en el aire, su aceleracin inicial a = gdisminuye hasta llegar a cero, y desde ese momento en constante

vf. Es posible expresar esta variacin de la aceleracin como a =

(g/vf2

) (vf2 - v

2), determine el tiempo necesario para que la

velocidad se mantenga en v < vf Inicialmente, la partcula cae

desde el reposo


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Movimiento Rectilneo Uniforme

21.Dos mviles que distan 200 km, salen al encuentro, desde dospuntos A y B, con una rapidez de 60 km/h y 40 km/h,

respectivamente. En qu tiempo se encontrarn y a qu distanciade A?

Rpta: 2 h y 120 km

22.Dos trenes de 50 m y 70 m de longitud viajan en vas paralelas yvan en sentidos contrarios con velocidades V y 2V

respectivamente, si emplean 4 segundos para cruzarse

completamente Cul es el valor de V?

Rpta: 10 m/s

23.Un auto de 2 m de largo, marcha a 100 km/h por una carreteraparalela a la va de un tren. Cunto tiempo emplear el auto enpasar a un tren de 398 m de largo que marcha a 60 km/h en la

misma direccin y sentido?

Rpta: 36 s

24.Dos autos parten de un mismo lugar en direcciones opuestas, elprimero viaja a 5 km/h ms que el segundo. Despus de 8 horas

se encuentran separados 360 km, el uno del otro. Cul es la

rapidez del primer auto? Rpta: 25 km/h

25.Para ir de A a B, un mvil emplea 20 horas, si quisiera hacerla en25 horas tendra que disminuir su rapidez en 8 km/h. Cunto

mide el tramo AB?

Rpta: 800 km

26.Un estudiante aborda todos los das un microbs para llegar a suclase a las 8:00 a.m.; pero hoy perdi el microbs y abord otro

que pas 10 minutos despus del primero, por lo cual arrib en el

doble del tiempo normal, llegando a las 8:24 a.m. A qu horaparti?

Rpta:) 7:56 a.m.

27."Amir" sale de su casa todos los das a la misma hora y llega a launiversidad a las 8:00 a.m. Un da sali con un retraso de 20

minutos, y duplica su rapidez, llegando an as tarde 8 minutos.

Cunto tiempo emplea normalmente en llegar a la universidad?

Rpta: 24 min


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28.Al ir de mi casa al PEG. me doy cuenta que si voy a 40 km/hdemoro 20 minutos ms que si fuera a 60 km/h. Cul es la

distancia entre mi casa y el PEG?

Rpta: 40 km29.Un motociclista observa que 1/5 de lo que ha recorrido equivale alos 3/5 de lo que falta recorrer. Cuntas horas habr empleado

hasta el momento, si todo el viaje lo hace en 12 horas?

Rpta: 9 h

30.Un tren tard 6 segundos en pasar por un semforo y 24segundos en atravesar un tnel de 240 metros de longitud.

Cunto tardar en cruzar una estacin de 160 m de longitud?

Rpta: 18 s

31.Cuntas horas emplea un tren, que viaja a una rapidez de 40km/h entre dos paradas, para recorrer 30 km, si hace 3 paradas de

5 minutos cada una?

Rpta: 1 hora

32.Desde A parten dos peatones con rapidez de 10 y 15 km/h, endireccin a B. Al mismo tiempo, un ciclista parte de B hacia A,

con rapidez constante. Si ste se cruza con uno de los peatones 2

horas despus que se cruz con el otro. Halle la rapidez del

ciclista, si AB = 420 Km.Rpta: 20 km/ h

33.Dos viajeros parten al mismo tiempo de A y B respectivamente,el uno hacia el otro. Al encontrarse, el primero ha recorrido 16

Km ms que el segundo; pero, a partir de este momento, el

segundo cuadruplica su rapidez, llegando ambos al mismo

tiempo. Cul es la relacin de la rapidez del segundo viajero al

primer viajero?

Rpta: 1/234.Astrid recorri una distancia de 50 km a una cierta rapidez y,

seguidamente, recorre 300 km a una rapidez tres veces mayor

que la anterior. Calcule la relacin del tiempo, empleado en el

segundo tramo, respecto al primero.

Rpta: 3/2

35.Un bote tarda 4 minutos en recorrer, ida y vuelta, una distanciade 640 m en un ro, cuya rapidez de la corriente es la tercera

parte de la rapidez del bote. Calcule la rapidez del bote en aguas

tranquilas.

Rpta: 6 m/s


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36.Navegando a favor de la corriente, un barco a vapor desarrollauna rapidez de 20 km por hora; navegando en contra, slo 15 km

por hora. En ir desde el embarcadero de la ciudad A, hasta el

embarcadero de la ciudad de B, tarda 5 horas menos que en elviaje de regreso. Qu distancia hay entre estas dos ciudades?

Rpta: 300 km

37.Un automvil se desplaza, con rapidez constante de la ciudad A ala ciudad B. Luego de 3 h de viaje se detiene en P, durante 20

minutos, y contina con 1/3 menos de su rapidez inicial, llegando

a B con un retraso de 50 min. Se sabe que si se hubiera detenido

10 km ms adelante de P, slo se hubiera retrasado 45 min Cul

es la distancia entre las dos ciudades?

Rpta: 240 km

38.Hacia el norte salen 2 trenes con una rapidez de 80 km/h, cadauno, desfasados en 10 min Con qu rapidez vena otro tren

desde el Norte; si, despus de 4 minutos de cruzar con el

primero, lo hace con el segundo?

Rpta: 120 km/h

39.Un hombre observa una explosin a 996 m, si el hombre puedecorrer con una velocidad de 8 m/s. Qu distancia adicional

podr alejarse dicho hombre hasta ser alcanzado por el sonido(considerar la rapidez sonido 340 m/s)

Rpta: 24 m

40.Un hombre observa el relmpago y, despus de un tiempo t,escucha el trueno, siendo c la rapidez de la luz y v la del sonido.

A qu distancia del hombre se produjo el rayo?

Rpta: tvc /(c-v)


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Movimiento rectilneo uniformemente variado

41.Un mvil parte del reposo, y recorre en 2 s consecutivos de sumovimiento las distancias de 26 m y 30 m. Si su movimiento es

uniformemente acelerado, En qu segundo de su movimientorecorre 46 m?

Rpta: 12do

42.Un auto viaja con una rapidez de 10 m/s, si el conductor observa,que a 7 m del auto, un distrado peatn intenta cruzar la pista.

Cul ser la mnima desaceleracin que debe generar los frenos

de modo que el peatn no sea atropellado, si el tiempo de

reaccin del conductor es de 2 dcimas de segundo?

Rpta: 10 m/s2

43.Un mvil recorre 35 m en t segundos de su movimiento rectilneo

uniformemente desacelerado y en el siguiente t segundos 25 m.

Si todo el movimiento dura 4t segundos, Qu distancia recorri

en los ltimos t segundos antes de detenerse

Rpta: 5 m

44.Con una rapidez constante de 20 m/s un auto pasa a un ciclistaque viaja en el mismo sentido a razn constante de 13,75 m/s,

pasado un tiempo t auto empieza a. desacelerar uniformementea 2m/s2. Halle el tiempo t sabiendo que 16 s despus que elauto pas al ciclista, ste encuentra al auto detenido

Rpta: 6 s

45.Delante de un patrullero en reposo pasa un motociclista con unarapidez uniforme no permitida de 72 km/h, l0 s despus el

patrullero inicia la persecucin acelerando uniformemente

durante 20 s y con la velocidad lograda contina uniformemente,

alcanzndolo al motociclista a l km de la partida. Calcular la

aceleracin del patrulleroRpta: 5/3 m/s

2

46.Un auto, cuya rapidez es 72 km/h se acerca a una estacinpolicial, si cuando est a 108 m de sta, un polica ubicado en la

estacin hace sonar su silbato. A. qu distancia de la estacin se

detendr el auto, si el conductor al or el silbato, reacciona en 2 s

y aplica los frenos generando una desaceleracin constante de 10

m/s2? (considerar velocidad del sonido en el aire como 340 m/s)

Rpta: 42 m47.Con una velocidad de 36 km/h un auto se pasa la luz roja de un


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semforo 6,6 s despus un polica de trnsito ubicado junto al

semforo acciona su silbato. A qu distancia del semforo se

detendr el auto si el conductor al or el silbato reacciona en 3

dcimas de segundo y aplica los frenos generando unadesaceleracin de 25 m/s2? (considerar la velocidad del sonido en

el aire como 340 m/s)

Rpta: 73 m

48.Tres autos parten de un mismo punto en la misma direccin; losdos primeros con velocidades constantes de 50 m/s y 80 m/s

respectivamente, y el tercero parte del reposo con una aceleracin

de 13 m/s2. Al cabo de qu tiempo los otros dos mviles se

encontrarn equidistantes del tercero?

Rpta:) 10 s

49.Dos trenes se acercan el uno hacia el otro en una misma va, a 40m/s y a 30 m/s respectivamente. Cuando se encuentran separados

280 m, los dos conductores se dan cuenta de la situacin y

aplican los frenos, llegando al reposo al mismo tiempo

precisamente antes de chocar. Si 1a desaceleracin es constante

para los dos trenes. Hallar la distancia recorrida por cada tren

Rpta: 160 m y 120 m

50.Un mvil parte de un punto con una rapidez de 20 m/s,desacelerando uniformemente a 10m/s

2, cuando posee la mitad

de dicha velocidad pasa por su lado otro mvil en sentido

opuesto tambin con una desaceleracin uniforme de 10 m/s2, el

cual llega al punto de partida del primero luego de 2 s. Calcular

la rapidez del segundo mvil en el momento del cruce.

Rpta: 17,5 m/s


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60.Sobre una misma vertical son lanzadas hacia arriba dos partculascon velocidades de 80m/s cada una, pero desfasadas en 2

segundos. A qu a altura con respecto al suelo colisionarn estas

partculas? Rpta: 321,63 m

61.Desde un helicptero ubicado a 600 m de altura se deja caer unacrbata provisto de un retropropulsor que puede proporcionarle

una desaceleracin de 4,9 m/s2, A qu altura con respecto al

piso el acrbata debe accionar el retropropulsor para no

estrellarse al llegar al piso?.

Rpta: 400 m

62.Un globo aerosttico asciende verticalmente a razn constante de72 km/h, cuando se ubica a 60 m del suelo, del globo se suelta

una piedra A qu altura del suelo se ubicar el globo aerosttico

en el instante en que la piedra toque el suelo?

Rpta:181,83 m

63.Un paracaidista desciende verticalmente con una rapidez cons-tante de 4m/s, frente a l pasa verticalmente hacia arriba una

piedra con una rapidez de 45m/s., Cunto ms descender el

paracaidista hasta ser alcanzado por la misma piedra que viene de

regresoRpta: 40 m

64.Un helicptero sale de una base militar, verticalmente haciaarriba con una rapidez constante de 125 m/s hasta alcanzar cierta

altura en donde debido a un desperfecto se anula la propulsin,

por lo que a los 64 segundos de la salida, ste retorna cayendo

libremente al mismo lugar. Cunto tiempo corresponde al de

cada libre

Rpta: 40,4 s65.Un globo aerosttico sube con velocidad constante de 15 m/s. Si

el piloto suelta una piedra, Qu distancia habr entre el globo y

la piedra luego de 3 s?

Rpta: 45 m

66.Si desde un globo aerosttico que asciende verticalmente, sesoltara una piedra. Cul sera la separacin entre el globo y la

piedra 2 segundos despus de haber soltado la piedra, si:

a)El globo asciende a velocidad constante de 1,2 m/sb)El globo asciende a aceleracin constante de 1,2 m/s2

Rpta: 19,6 m; 22m


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67.Determinar el tiempo que demora en caer un clavo que sedesprende del techo un ascensor de 5 m de altura que asciende

con aceleracin constante de 0,2 m/s2

Rpta: 1 s68.Desde una altura de 1m del piso de un ascensor que asciende a1,2 m/s

2, se suelta una moneda. Con qu velocidad con

respecto al ascensor chocara dicha moneda contra el piso?

Rpta: 4,69 m/s

69.Dentro de un ascensor, se lanza verticalmente hacia arriba unamoneda con una velocidad de 6 m/s y esta retorna al cabo de

un segundo. Calcular la aceleracin y su direccin

Rpta: 2,2 m/s2, hacia arriba

70.En cuanto tiempo tocara el piso de un ascensor un cuerposoltado desde una altura de 5 m del piso de dicho ascensor que

desciende a 7,3 m/s2

Rpta: 2 s


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Movimiento Parablico

71.Desde el borde de la azotea de un edificio se lanzahorizontalmente una piedra a razn de 8 m/s. Si la azotea est a80 m del piso, calcular a qu distancia del pie del edificio logra

caer la piedra.

Rpta: 32 m

72.Desde lo alto de una torre de 100 m de altura se lanza una piedrahorizontalmente con una velocidad de 30 m/s. Cuando

transcurran 4 s se pide determinar:

a. La distancia horizontal avanzada. Rpta: 120 mb. La altura respecto al piso. Rpta: 21,6 mc. La velocidad total del proyectil. Rpta: 49,36 m/s

73.Un hombre que viaja horizontalmente sobre una plataformalanza hacia arriba un llavero con la velocidad de 10 m/s. A qu

velocidad deber viajar la plataforma para que el llavero logre

caer sobre las manos del hombre despus que la plataforma haya

avanzado 40 m?

Rpta: 20m/s

74.Un proyectil es lanzado desde el piso (punto (0; 0) m), y alcanzasu altura mxima en el punto (30; 20) m. Calcular:

a. El ngulo de lanzamiento. Rpta: 53b. La ve1ocidadinicial de lanzamiento. Rpta: 105 m/s

75.Un avin est volando horizontalmente a una altura de 490 mcon una velocidad de 98 m/s. En el instante que el avin est

directamente sobre un can antiareo, ste dispar un proyectil

contra el avin. Calcular el ngulo de disparo., sabiendo que la

velocidad de proyectil es mnima para dar en el blanco (g = 9,8

m/s2).Rpta: 45

76.Un can de dispara un proyectil con un ngulo de elevacin de53 y con una velocidad de 50 m/s. Un tanque esta avanzando

directamente hacia el can sobre un piso al mismo nivel con

una rapidez de 5 m/s. Cul debe ser la distancia del can al

tanque en el instante que aquel dispara de modo que logre dar en

el blanco?

Rpta: 280 m77.Un cuerpo lanzado en forma que describe una parbola, tiene la


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caracterstica de que su alcance horizontal es igual al cudruple

de su altura mxima. Cul fue el ngulo de disparo?

Rpta: 45

78.De un movimiento parablico se sabe que el tiempo de vuelo es6s, yg= 10 mls

2. Cul fue la altura mxima del movimiento?

Rpta: 45 m

79.Cul es el mximo alcance que se lograra lanzando unproyectil con una velocidad de 60 m/s, describiendo sta un

movimiento parablico?

Rpta:360 m

80.Se lanza un proyectil de tal modo que su velocidad inicial forma50 con la horizontal. Con qu ngulo deberemos disparar un

segundo proyectil, con la misma velocidad, para que el alcance

horizontal sea el mismo que en el caso anterior?

Rpta: 40

Movimiento Curvilneo en General

81.El movimiento de las partculas A yB se describe por medio delos vectores de posicin rA= {3 t i + 9 t ( 2t )j}m y

rB= 3 ( t22 t +2 ) i+ 3 (t2 )j} m, respectivamente, donde tse expresa en segundos. Cunto tiempo transcurre antes de

ocurrir la colisin?. Adems determine el punto de colisin de las

partculas y la rapidez de ambas antes del impacto

Rpta: t = 2 s; (6 0) m; vA= 18,25 m/s; vB= 6,7 m/s

82.Una partcula se mueve sobre la trayectoriar= {8.t2i+ (t3+ 5)j}m, en donde tse expresa en segundos. Determinar las magnitudes

de la velocidad y la aceleracin de la partcula cuando t = 3 s.

Asimismo, determine la ecuacin y =f(x) de la trayectoria.Rpta: v = 55,07 m/s; a = 24,08 m/s2; y = (1/8 x )3/2 + 5

83.Una partcula recorre una trayectoria de tal forma que su posicines r = {(2 sen t)i + 2(1 - cos t) j}m, donde t se expresa en

segundos y los argumentos para el seno y el coseno lo estn en

radianes. Encuentre la ecuaciny =f(x) que describe la trayecto-

ria y demuestre que las magnitudes de la velocidad y aceleracin

de la partcula son constantes. Cul es la magnitud del

desplazamiento de la partcula de t = o a t = 2 s?

Rpta: x2+ y24y = 0; v = 2m/s; a = 2 m/s2; r = 3,365 m84.El movimiento de las partculas A y B se describe por medio


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de los vectores de posicin rA= {2 t i + (t2

1 )j}m yrB = (t + 2 ) i+ (2 t

2 5 )j} m, respectivamente, donde t seexpresa en segundos. Determine el punto de colisin de las

partculas y la rapidez de ambas antes del impactoRpta: (4;3 )m; vA= 4,47 m/s; vB= 8,06 m/s

85.Si x = 1 - t y y = t2, donde x y y se expresan en metros y t ensegundos, determine las componentes x y y de la velocidad, la

aceleracin y ecuacin de la trayectoriay =f(x).

Rpta: -1m/s; (2 t) m/s; 0; 2 m/s2; y =(1-x)2

86.Six = 3 sen tyy = 4 cos t, dondex yy se expresan en metros y ten segundos, determine las componentesx yy de la velocidad, la

aceleracin y la ecuacin de la trayectoriay =f(x).

Rpta: v x= (3 cos t) m/s; v y = (- 4 sen t) m/s; a x = ( - 3 sen t) m/s2;

a y = (- 4 cos t) m/s2; y

2/16 + x

2/9 =1

87.Una partcula, originalmente en reposo y localizada en el punto(3; 2; 5) m, queda sujeta a una aceleracin a = {6t i + l2t2k}

m/s2. Determine la posicin (x; y; z) cuando t = 2 s.

Rpta: kjir 21211

88.El movimiento curvilneo de una partcula se define por medio dex = 3 t

2

, y = 4t + 2 yz = 6 t3

- 8, en donde la posicinx, y,z seexpresa en metros y el tiempo en segundos. Determine las

magnitudes y los ngulos directores de las coordenadas ; x; y;zde la velocidad y aceleracin de la partcula cuando t = 2 s.

Rpta: v = 73,1 m/s; x = 80,6; y = 86,9; z = 9,96a = 72,2 m/s2; x = 85,2; y = 90,0; z = 4,76

89.Una partcula recorre un plano x-y tal que su posicin se definepor r = {sen

2

i+ (

2

+ cos 2 )j} m, donde se expresa enradianes y r en metros. Si = (0.8 t 3) rad, cuando t se expresaen segundos, determine la velocidad y aceleracin de la

partcula, cuando t = 3 s

90.Una partcula se desplaza con una rapidez constante v en torno auna hlice definida por las ecuaciones paramtricas x = (5 cos

2t) m, y = (5 sen 2t) m, z = (3t) m, donde t se expresa en se-

gundos. Determine la aceleracin de la partcula como una fun-

cin de tiempo.


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Movimiento circular uniforme91.Dos ciclistas parten simultneamente de un mismo punto y en

una misma direccin, si sus frecuencias de rotacin son 30 rpm y

25 rpm. Al cabo de que tiempo uno de ellos le sacar unaventaja de media vuelta al otro?

Rpta: 6 s

92.Dos ciclistas parten simultneamente de los extremos de undimetro AB en una pista circular y en los sentidos contrarios. Si

giran con periodos TA = 20 segundos y TB = 30 segundos

respectivamente, calcular al cabo de qu tiempo logran cruzarse

por primera vez.

Rpta: 6 s

93.Una bala que se desplaza con una velocidad horizontal constantev = 200 mIs, impacta contra un cascarn esfrico de papel que

gira con movimiento uniforme respecto a un eje vertical.

Sabiendo que el radio del cascarn es 2 m, calcular con que

velocidad angular mnima deber girar el cascarn para que el

proyectil haga un solo agujero. La direccin del movimiento de

la bala pasa por el centro de la esfera.

Rpta: 5 rev/s

94.Un cilindro de cartn gira con movimiento de rotacin uniformecuya frecuencia es 2 rev/s Una bala es disparada paralelamente al

eje de rotacin, ingresando con una velocidad de 350 m/s, y

desacelerando uniformemente, tal que al salir su velocidad lineal

paralela al eje es 250 m/s. Qu ngulo habr girado el cilindro

mientras la bala lo atraves?

Rpta: 7,2

95.Sobre un punto P marcado en la periferia de un disco cuyo radioesR = 152 cm, .que gira 45 rpm, a una altura de 4,9 m se dejacaer una piedra en el preciso instante en que el disco empieza a

girar. Calcular a qu distancia del punto P logra caer dicha piedrasobre el disco. Rpta: 30 cm


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rpm en 40s. Si al "encenderlo" inicia su movimiento con

aceleracin constante, calcular cuntas revoluciones completa en

el primer minuto de su movimiento.

Rpta: 600 rev104.Un mvil inicia un movimiento de rotacin uniformementevariado, y se observa que despus de t segundos gira un ngulo y seguidamente en 5 s, un ngulo . Si se sabe que /= 7/9, yadems su aceleracin es 4 rad /s2, calcular el numero devueltas que se realizaron al recorrer el ngulo

Rpta:175 rev

105.Una rueda inicia su movimiento de rotacin pura con unaaceleracin angular constante de 2 rpm/min. Luego de 12 min. de

iniciado el movimiento desacelera a razn de 4 rpm/min.

Calcular el nmero de vueltas que complet hasta detenerse.

Rpta: 216 vueltas

Movimiento de Rotacin y Traslacin

106.Una esferita se desplaza con MCUV, de tal modo que luego derecorrer 8 m incrementa su velocidad de 4 m/s a 12m/s. Si su

radio de giro es 4 m, calcular:

a. La aceleracin tangencial del mvil.b. La aceleracin angular

Rpta: 8 m/s; 2 rad/s2

107.Un coche de demostraciones toma una curva de 32 m de radiocon una velocidad de 2 m/s y una aceleracin tangencial

constante de 3 m/s2. Calcular:

a. La longitud del arco que describi en los 4 primerossegundos del movimiento.

b. El ngulo central que subtiende al arco descrito.Rpta: 32 m; 1 rad

108.Un ciclista corre por un veldromo de modo que al cabo de 5 ssu velocidad lineal es 15 m/s. Se observa tambin que durante

dicho tiempo el ciclista logr girar un ngulo central de 2 rad,siendo el radio de la pista igual a 25m. Calcular la velocidad

lineal que tenia al iniciar su movimiento.

Rpta: 5 m/s109.Una partcula parte del reposo, y se mueve a lo largo de una


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circunferencia con MCUV de tal modo que el rea barrida por el

radio de giro en el 2do segundo es 15 cm2. Qu rea barrer el

mismo radio durante e1 5tosegundo del movimiento?

Rpta: 45 cm

2

110.Una piedra atada a una cuerda experimenta un movimientocircunferencial en el plano horizontal. Cuando suvelocidad logra

ser 6 m/s su aceleracin centrpeta tiene el valor de 3 m/s2.

Calcular la longitud de la cuerda que aparece como radio de giro.

Rpta: 12 m

111.Una paloma vuela en circunferencias, de modo que experimentaun MCU. Si el radio de giro es 4 m y su aceleracin centrpeta es

9 m/s2, calcular:

a. La velocidad angular del movimiento.b. El periodo de giro de la paloma.

Rpta: 1,5 rad/s; 4,188 s

112.Un punto se mueve por una circunferencia de 10 m de radio conuna aceleracin constante de 8 m/s2. Cul ser el valor de su

velocidad angular despus de 40 s de haber empezado a

moverse?

Rpta: 32 rad/s2

113.Una partcula se mueve por una circunferencia de 2 cm. deradio con una aceleracin constante at Hallar la aceleracin

normal de este punto al cabo de 20 s de haber comenzado a

moverse, sabiendo adems que al finalizar la quinta vuelta su

velocidad tangencial fue 10 cm/s.

Rpta: 1 cm/s2

114.Un punto se mueve por una circunferencia de 10 cm de radiocon una aceleracin tangencial constante. Calcular esta

aceleracin, sabiendo que al finalizar la quinta vuelta contadadesde el momento que el punto empieza a moverse, su velocidad

es v = 40 cm/sRpta: 8 cm/s2

115.Un proyectil es disparado con una velocidad de 16m/s, cuyovector forma 53 con la horizontal. Calcular el radio de curvatura

de su movimiento curvilneo cuando su vector velocidad forme

un ngulo de 37 con la horizontal.

Rpta: 18 m

116.Con qu velocidad tangencial deber girar un punto situado enla periferia de una plataforma circular para que un hombre que


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parte de dicho punto, siguiendo una trayectoria rectilnea con una

velocidad constante de 7 km/h, llegue a un punto diametralmente

opuesto despus que la plataforma haya dado una revolucin

alrededor de su eje. Rpta: 22km/h

117.Una araa parte desde el borde de una plataforma de 33 cm deradio, y con un movimiento uniformemente acelerado a razn de

2 cm/s2, desplazndose diametralmente. Por su parte, la

plataforma gira con una velocidad angular de 3 rad/s. Al cabo

de qu tiempo como mnimo la velocidad de la hormiga ser 26

cm/s respecto a Tierra?

Rpta: 5 s

118.Una pelotita es lanzada desde el borde de un abismo muyprofundo con una velocidad de 90 m/s. Calcular el radio de

curvatura de la trayectoria al cabo de 12 s de cada.

Rpta: 3750 m

119.Una llanta de 60 cm de dimetro rueda sobre un piso horizontalde modo que su centro O se desplaza a la velocidad de 12 m/s

respecto al piso. Calcular la velocidad angular con la cual gira la

llanta respecto a su centro.

Rpta: 40 rad/s120.Un disco de 50 cm de dimetro rueda por un piso horizontal de

modo que en 4 segundos su centro se desplaz uniformemente la

distancia de 12 m. Calcular:

a. La velocidad angular con la cual gira el disco respecto a sucentro

b. El periodo de rotacin del disco.c. El ngulo girado por el disco durante su movimiento.

Rpta:12 rad/s; /6 rad/s; 48 rad121.Una llanta de tractor de 1 m de dimetro desciende rodando poruna pendiente, tal que su centro acelera a razn de 6 mls

2.

Calcular la aceleracin angular que posee esta llanta respecto a su

centro.

Rpta: 12 rad/s2

122.La velocidad de un automvil cuyas llantas tienen un dimetrode 50 cm aumenta uniformemente desde 19 km/h hasta 55 km/h

en l0s. Calcular la aceleracin angular de stas

Rpta: 4 rad/s2

123.La llanta mostrada de 0,4 m de radio rueda por el piso


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horizontal, y avanza con una velocidad de 16 m/s. Calcular:

a. La velocidad angular de la llanta respecto a un ejeinstantneo de rotacin que pase por el punto de contacto

con el piso (D).b. La velocidad lineal de los puntos A, B, Cy D respecto alpiso.

Rpta:40 rad/s; 22,62 m/s; 32 m/s 22,62 m/s; 0

124.El disco mostrado rueda de modo que en el instante indicado elpunto A posee una velocidad de 7 m/s. Calcular la velocidad del

punto B para dicho instante.

Rpta: 24 m/s

125.Determinar la velocidad del punto A, si el centro de la ruedamostrada se mueve con una velocidad v. No existedeslizamiento.

Rpta : (v/r)(R-r)

126.Una polea rueda sobre un plano inclinado, tal que su centro sedesplaza con una velocidad de 10 m/s. Hallar la velocidad total

del punto P respecto al plano inclinado.


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Rpta: 17,32 m/s

127.Un cono recto de altura h tiene su vrtice O fijo en el pisohorizontal, y gira de modo que su velocidad angular respecto a

un eje vertical que pasa por O es . Determinar la velocidad

angular que tiene el cono respecto a su eje OA.

Rpta: = . Csc 128.Una rueda de radio R rueda uniformemente por una superficie

horizontal. Del punto A de la rueda se desprende una gota de

barro. Determinar la velocidad v de la rueda, si la gota vuelve a

caer sobre el mismo punto A despus de estar en el aire. La

resistencia del aire no se toma en consideracin.

Rpta: Rg..

129.Un balde con agua gira en un plano horizontal con un periodo de3/ 2s, y va derramando gotas de modo que stas forman unacircunferencia de radioR en el piso. Si la longitud de la cuerda es

L = 5 m, AB = 9m y = 37, calcularR.


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Rpta: 5 m

14, cinematica

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