Il corpo rigido

Corpo rigido: Insieme di punti materiali sottoposti ad una interazione mutua

tali da mantenerli in posizione fissa l’uno rispetto all’altro

Definisce la posizione del corpo

Definisce l’orientazione rispetto P1

In totale 6 parametri per determinare la

posizione nello spazio

6 gradi di libertà

),,(

),,(

2222

1111

zyxP

zyxP

Inoltre:

Corpo rigido discreto o continuo

P1

P2

m

m2

m1

Dinamica Dinamica

Determinazione del CM

Per ogni elementino dV

densità dV

dm

V

dVdmm

VdVdVmVV

Vm

Attenzione nel caso più generale:

Se il corpo è omogeneo : ρ è sempre lo stesso per ogni elementino

zyx ,,

dV

In ogni elementino dm

Dinamica Dinamica

Determinazione del CM

i

ii

CMm

rmr

m

dVr

dm

dmrrCM

Se = costante

dVrV

dVrm

rCM

1

Come al solito:

dVzV

zdVyV

ydVxV

x CMCMCM

1;

1;

1

Dinamica Dinamica

Determinazione del CM

l

m

dl

dm

S

m

dS

dm

dxxl

xCM

1

Densità lineare

corpi omogenei

Densità superficiale

corpi omogenei

Ad esempio, per un corpo a densità lineare

dl

l

dSS

Dinamica Dinamica

Determinazione del CM

dxxl

xCM

1

dxx

lm

dxx

dm

dxxxCM

1

l

CM

ldxx

lx

0 2

1

dx

l

dm

In generale: se un corpo omogeneo è simmetrico rispetto ad un

punto, il CM coincide con il centro di simmetria

x

Infatti

!!!

CM CM CM

Dinamica Dinamica

Il corpo rigido

Un corpo rigido può traslare:

o ruotare:

o fare un moto di rototraslazione:

Dinamica Dinamica

Moto di traslazione

Il moto è caratterizzato dalla forza esterna CMest aMF

Le forze sono applicate al applicate al CM

m1

m2

CM

F1

F2 F1

F2

F

m1 m1 m1

m2 m2 m2

CM CM CM

2

2

1CMK

CMtot

vME

vMP

Dalla (1) si determina !

(1)

CMa

Dinamica Dinamica

Moto di rototraslazione

CMest aMFLe forze NON sono applicate al applicate al CM, ma il

moto del CM resta uguale

m1

m2

CM

F1

F2

F1

F2

F

m1 m1

m1

m2 m2 m2

CM CM CM

(1)

Dinamica Dinamica

Inoltre nel sistema del CM, moto di pura rotazione

CM

Si può determinate la velocità di

rotazione intorno al CM

Moto Rotatorio: Cinetica

Moto Traslatorio

Moto Rotatorio

Traiettoria dello stesso tipo (circonferenza) per tutti i punti del corpo

Centro della traiettoria uguale per tutti i punti

Rem: CORPO RIGIDO: Insieme di particelle elementari (dm) pensati come puntiformi

Le distanze reciproche tra i vari punti non variano

Asse di rotazione Fisso

ASSE: Luogo dei punti equidistanti

dalle circonferenze

L’angolo si misura come: r

S Verso Antiorario 0

In RADIANTI 1803,571 radrad

Ogni traiettoria è circolare: variabile curvilinea S

S

s

Si introduce anche un’accelerazione angolare

2

2

0 dt

d

dt

d

tlim

t

avx

,, ,,TRASLAZIONE ROTAZIONE

… ma sono dei vettori ?

1. e non sono vettori (non verificano le leggi di somma vettoriale)

2. ed sono vettori

Che legame esiste tra (v, a) in un punto e (, ) del corpo rigido ?

P

R

Q

r

1 giro/min

(2/60 sec.)

C

Per il punto P

Per il punto Q

s

Rv

P60

2

s

rv

Q60

2

QPvv

Siccome per traiettorie circolari

trtS

Vale trdt

dr

dt

dStv

e di conseguenza

r

dt

dr

dt

rda

MODULO !

MODULO !

ATTENZIONE !!

Ricordiamo che dal Moto Circolare Uniforme

rar

2 Centripeta

C A

Ta

ra

av

rTaaa

raT

Diretta come v(tang.)

In generale

Energia Cinetica

Traslazionale 2

2

2 :2

1

t

lmmvv

P: mP ; vP = r

KP = ½ mP v2P

Considerando tutte le particelle

EK = ½ m1 v21+ ½ m2 v

22+ ………+ ½ mN v2

N

ma per ciascuna ii

rv La STESSA !!

2

2 1?:?

2

1

t Rotazionale

2? lm

I1

I2

I1< I2

Massa e Geometria

222

22

2

11 .........2

1 NNK rmrmrmE

Quindi

Possiamo allora introdurre il

MOMENTO DI INERZIA

dmrrmIN

iii

2

1

2

2

2

1 IEK

2

2

1: vMEitraslazionper K

2

1

2

2

1

N

i

iiK rmE

Inerzia di un corpo a variazione del suo

stato di rotazione Domanda d’esame !

b

Teorema di Huygens-Stainer (degli assi paralleli)

2hMIICMP

Massa totale del Corpo

Distanza tra i

due assi Momento di Inerzia per

rotazioni rispetto ad un

asse passante per P e //

a quello passante per il CdM

Momento di Inerzia NOTO

per rotazioni rispetto ad un

asse passante per per il CdM

h2 = a2 + b2 dm (x, y)

dmrIP

2

dmbyax 22

dmybdmxadmbadmyxIP

222222

2 3 4 1

1

dmrICMCM

2

Che equivale ad

2 2222222 hMbaMdmbadmba

3 4 e Ricordiamo che

M

dmxx

CMdunque CM

Mxdmx

Siccome il CdM ≡ Origine (asse di rotazione) 00 dmxxCM

00 dmyyCM2hMII

CMP

222 yxrCM

x

y

O r

F F4

F5

Inoltre: se applico F4 o F5 (parallele al piano della porta)

la porta non si muove.

Cause del moto rotatorio sono

1)Forza

2)Dove è applicata

3)Direzione di applicazione

Asse di rotazione Vista dall’alto

F1 alla maniglia basta una Forza piccola

F2 vicino ai cardini serve una forza maggiore di F1

F3 se spingo sui cardini (asse di rotazione) la porta

non si muove qualunque sia F3

F3 F2

F1

rF

Si può anche scrivere che

in modulo:

Momento di una Forza

II° Legge di Newton per il Moto Rotatorio Domanda d’esame

IRisultante

Dei Momenti

Momento

di Inerzia

accelerazione

angolare

amF accelerazione

Opposizione alla

variazione dello

stato di moto

traslazionale

rF

Sappiamo che: Dalla 2° Legge di newton

amF

e nella cinematica rotazionale valeva: ra

( qui vuol dire tangente

alla traiettoria)

Dunque

2mrrrmrF I

Se ci sono

più forze IrmrF

iiiii

2

Corpo rigido Idmri

2

Lavoro-Energia nella dinamica rotazionale

Sappiamo che: LvmvmEinfinK 22

2

1

2

1

per ciascun punto di un CORPO RIGIDO in rotazione

dxFL rF

Ma ora vale: rigidocorpodelmrviii

Sostituendo ed integrando su tutto il Corpo Rigido

LdxFIIEifTotK

22

2

1

2

1

If

= Ii

No deformazioni

No perdita di massa

Caso 1-dimensionale

e intendendo

F

F ds è al vettore r

ds = r d in modulo

ddrFsdFdL

Quindi dL [ se = costante ] if

E infine ricordando che

dt

dLP

Abbiamo che

dt

d

dt

dP