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9. Forze Inerziali

Fisica Generale A

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October 21, 2010

Cambiamento di Sistema di Riferimento

• Come cambia la descrizione del moto passando da un SdR a un altro?

• In particolare, come cambia la descrizione del moto passando da un SdR inerziale a un SdR non-inerziale?

• Per quanto riguarda la cinematica, sappiamo che:

ovvero l’accelerazione “assoluta” (nel SdR ”fisso”) è la somma dell’accelerazione “relativa” (nel SdR “mobile”), dell’accelerazione di trascinamento e dell’accelerazione complementare.

• Per quanto riguarda la dinamica, il II principio vale anche nei SdR non-inerziali (a patto di includere, nella risultante delle forze, anche le forze inerziali).

aA= a

R+ a

T+ a

C

ı

ı

k

k ˆ

ˆ

P

2Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali

SdR in Moto Traslatorio Rettilineo Uniforme

• Sia S un SdR inerziale (chiamiamo S “fisso” e chiamiamo “assolute” le grandezze a esso riferite).

• Sia inoltre S un SdR in moto rispetto a S (chiamiamo S “mobile” e chiamiamo “relative” le grandezze a esso riferite).

• Se il moto di S rispetto a S è traslatorio, rettilineo e uniforme, si ha:

aT= a

O

0

+0

P O( ) +0

P O( ) = 0

aC= 2

0

vR= 0

aR= a

A


ı

ı

k

k ˆ

ˆ

P

SdR in Moto Traslatorio Rettilineo Uniforme

(II)

• Il punto materiale ha la stessa accelerazione nei 2 SdR.

• Se il punto non è soggetto a forze di interazione (forze esercitate da un corpo su di un altro) la sua accelerazione è nulla in S (perché S è inerziale). Poiché la sua accelerazione è nulla anche in S , segue che S è pure inerziale.

• Le forze di interazione non cambiano passando da un SdR inerziale a un altro SdR inerziale.

• Il II principio della dinamica si scrive con la stessa equazione vettoriale in tutti i SdR inerziali.


SdR in Moto Accelerato

• Se il moto di S rispetto a S non è traslatorio rettilineo e uniforme, e il SdR S è inerziale, allora il SdR S non è inerziale, poiché:

• Se l’accelerazione è nulla in S , non lo è in S:

P ha accelerazioni diverse nei due SdR; P è soggetto a forze diverse nei due SdR.

a

Aa

R

aA= a

R+ a

T+ a

C

II principioFA= ma

A

FR= ma

R

FR= F

Ama

Tma

C


ı

ı

k

k ˆ

ˆ

P

SdR in Moto Accelerato (II)

• Ovvero, definite:

dette rispettivamente forza di trascinamento e forza complementare o forza di Coriolis, si ha:

• Nei SdR non-inerziali, oltre alle forze di interazione, sono presenti anche le forze , dette, nel complesso, forze inerziali (dette anche forze “apparenti”, forze “fittizie” forze “di d’Alambert” o “pseudo-forze”).

FT= ma

T= m a

O+ P O( ) + P O( ){ }

FC= ma

C= 2m v

R

FR= F

A+ F

T+ F

C

F

Te F

C


SdR in Moto Accelerato (III)

• Le forze inerziali non dipendono dalla presenza di altri corpi con cui il punto materiale P possa interagire e dunque non sono forze di interazione.

• Le forze inerziali sono forze reali (a dispetto degli attributi “fittizie” e “apparenti”) nel SdR non-inerziale, mentre sono assenti nel SdR inerziale. – N.B.: La forza centrifuga è assente nei SdR inerziali.

• Più precisamente, le forze inerziali sono presenti in SdR che si muovono di moto accelerato rispetto alle stelle fisse. – Quando l’automobile frena, vi sentite sospinti in avanti perché il

SdR dell’automobile sta accelerando rispetto alle stelle fisse.


SdR in Moto Accelerato (IV)

• Nell’espressione della forza di trascinamento:

il termine

è spesso detto “forza centrifuga”, mentre il termine:

è spesso detto “forza di Eulero” (anche “forza trasversale” o “forza azimutale”).

FT= m a

O+ P O( )

forza di Eulero

+ P O( )forza centrifuga


Fcentrifuga

= m P O( )

FEulero

= m P O( )

SdR che Trasla Rispetto a un SdR Inerziale.

Moto Rettilineo Uniforme

• Consideriamo un punto materiale libero sul pavimento di un treno che si muove a velocità costante:

• Se il punto P è inizialmente in quiete rispetto al treno, esso continua a rimanere in quiete rispetto al treno.

FA= F

P+ R = 0

0, aO= 0 F

R= F

A= 0

S :

S :

vA

vO

vR

0

aA

0

aR

0

FA

0

FR

0

punto materiale libero

O

O

P

R

Fp

vO


FR= F

A+ F

T+ F

C

FT= m a

O+ P O( ) + P O( ){ }

FC= 2m v

R


Moto Rettilineo Accelerato. Punto Libero

• Consideriamo un punto materiale libero sul pavimento di un treno che frena:

• Osservatore a terra: il punto P, inizialmente in moto con velocità vO, continua a muoversi con velocità vO.

• Osservatore sul treno: il punto P, inizialmente in quiete, inizia a muoversi in avanti a causa della forza di trascinamento:

FA= F

P+ R = 0

0, aO0

FR= F

A+ F

T= 0 ma

O= ma

O

FT= ma

O massa del punto materiale

accelerazione del treno O

O

R

Fp

P vO

aO

FT

punto materiale libero


FR= F

A+ F

T+ F

C

FT= m a

O+ P O( ) + P O( ){ }

FC= 2m v

R


Moto Rettilineo Accelerato. Punto Trattenuto

• Consideriamo un punto materiale trattenuto da una molla sul pavimento di un treno che frena:

• Osservatore a terra: il punto P, inizialmente in moto con velocità vO, decelera a causa della molla che lo trattiene.

• Osservatore sul treno: il punto P rimane in quiete in quanto la forza di trascinamento è equilibrata dalla forza elastica esercitata dalla molla:

FA= F

P+ R + F

e= F

e0

0, aO0

FR= F

A+ F

T= F

ema

O= 0

F

e= F

T= ma

O

OO

R

Fp

P vO

aO

FT

Fe

punto materiale trattenuto da una molla


FR= F

A+ F

T+ F

C

FT= m a

O+ P O( ) + P O( ){ }

FC= 2m v

R

SdR che Ruota Rispetto a un SdR Inerziale.

Punto Trattenuto, in Quiete col SdR Mobile

• Consideriamo un punto materiale trattenuto da una molla sul pavimento di una giostra che ruota uniformemente.

• Supponiamo che il punto P sia fermo rispetto alla giostra.

• Osservatore a terra: P si muove di moto circolare uniforme. La forza elastica (centripeta) della molla è uguale al prodotto della massa del punto per la sua accelerazione:

• Per l’osservatore a terra non sono presenti altre forze.

• Per l’osservatore a terra le forze non sono equilibrate. – Se fossero equilibrate il moto sarebbe rettilineo

e uniforme.

FA= F

P+ R( ) + F

e= F

e0

FA= ma = m

s2

rn = m

2r P O( ) = m

2P O( )

centripetaelastica

O O

x

PFT

Fe

y

xy

P O

P O( )

P O( )( )


s = r


Punto Trattenuto, in Quiete col SdR Mobile (II)

• Osservatore sulla giostra: P è in quiete.

• La forza elastica (centripeta) della molla è compensata dalla forza inerziale di trascinamento (centrifuga).

• Per l’osservatore sulla giostra le forze sono equilibrate (la risultante è nulla).

• Il punto materiale può rimanere in quiete proprio perché la risultante è nulla.


FR= F

A+ F

T+ F

C

FT= m a

O+ P O( ) + P O( ){ }

FC= 2m v

R

O O

x

PFT

Fe

y

xy

P O

P O( )

P O( )( )

FR= F

A+ F

T+ F

C= F

A+ F

T+ 0 =

= m2P O( )

FA

centripeta elastica

m P O( )( )FT

centrifuga inerziale

=

= m2P O( ) + m 2

P O( ) = 0

a0= 0 (moto rotatorio giostra)

cost (moto uniforme giostra) = 0

vR= 0 (punto in quiete)


Punto Trattenuto, in Quiete col SdR Mobile (III)

• Osservatore a terra: – P si muove di moto circolare uniforme.

– Le forze non sono equilibrate:

– L’accelerazione è diversa da zero e centripeta:

• Osservatore sulla giostra: – P è in quiete;

– Le forze sono equilibrate:

– L’accelerazione è nulla (il punto rimane in quiete):


O O

x

PFT

Fe

y

x y

P O

P O( )

P O( )( )

SdR della giostra: Forza centripeta: presente; Forza centrifuga: presente; Forza totale: nulla; Moto: assente.

FR= F

P+ R( ) + F

e+ F

T( ) = 0

SdR a terra: Forza centripeta: presente; Forza centrifuga: assente; Forza totale: non nulla; Moto: circolare uniforme.

FA= F

P+ R( ) + F

e= F

e= m

2P O( ) 0

a =FA

m=

2P O( ) = s

2

rn

a =FR

m= 0


Punto Libero

• Consideriamo un punto materiale libero (in assenza di attrito) sul pavimento di una giostra che ruota uniformemente.

• Osservatore a terra: P si muove di moto rettilineo uniforme:

• Osservatore sulla giostra: P si muove di moto curvilineo vario, soggetto alla forza di trascinamento e alla forza di Coriolis:

FA= 0

FR= F

A+ F

T+ F

C= 0 + F

T+ F

C=

= m P O( )( ) 2m vR


O O

x

P

yx

y

vA

vR

vT

FT

FC

P O

P O( )

P O( )( )

FR= F

A+ F

T+ F

C

FT= m a

O+ P O( ) + P O( ){ }

FC= 2m v

R

a0= 0 (moto rotatorio giostra)

cost (moto uniforme giostra) = 0


Punto Vincolato in una Scanalatura Radiale

• Consideriamo un punto materiale P vincolato da una scanalatura radiale (molle e attrito assenti) sul pavimento di una giostra che ruota uniformemente.

• Osservatore a terra: P si muove sottoposto alla forza (tangenziale) del vincolo che si modifica nel tempo:

• Osservatore sulla giostra:

• La forza di Coriolis è contrastata dalla reazione vincolare della scanalatura

• P si muove accelerando in direzione radiale lungo la scanalatura, soggetto alla forza di trascinamento.


O O x

FT

yx

y

FC

vR

R

P

P O

P O( )

P O( )( )

FA= R = R ˆ

FR= F

A+ F

T+ F

C

FT= m a

O+ P O( ) + P O( ){ }

FC= 2m v

R

a0= 0

cost = 0

FR= F

A+ F

T+ F

C= R + F

C( ) + F

T= F

T=

= m P O( )( )

R = F

C= 2m v

R

Dipendenza di g dalla Latitudine

• Se il SdR terrestre fosse inerziale, l’accelerazione di caduta dei gravi, g, sarebbe determinata, in ogni luogo, soltanto dalla forza gravitazionale.

• In realtà il SdR terrestre non è perfettamente inerziale, innanzitutto a causa della rotazione attorno al proprio asse.

• Se un punto P sulla superficie terrestre è in quiete, la forza di Coriolis è nulla, mentre la forza di trascinamento (centrifuga) vale:

mgmg

FT

P

O

P O( )P O( )( )

N

S

FT= m P O( )( )


a00 (moto rotatorio Terra)

cost (rotazione uniforme Terra) = 0

vR= 0 (punto in quiete)

FR= F

A+ F

T+ F

C

FT= m a

O+ P O( ) + P O( ){ }

FC= 2m v

R

Dipendenza di g dalla Latitudine (II)

• Per la regola della mano destra (vedi figura), FT è perpendicolare all’asse terrestre e giace nel piano individuato da P.

• Il modulo di FT è:

• La forza peso è la risultante dell’attrazione gravitazionale e della forza centrifuga:

• Separando le componenti parallela e perpendicolare a si ha:

F

T= m

2Rcos

P O( ) = Rcos

P O( )( ) =2Rcos

mg = mg + F

T

mg cos = mg FTcos

mg sin = FTsin


mgmg

FT

P

O

P O( )P O( )( )

N

S

P O

Dipendenza di g dalla Latitudine (III)

mg cos = mg FTcos

mg sin = FTsin

g cos = gFT

mcos = g

2Rcos

2

g sin =FT

msin =

2Rcos sin

g 0( ) = 9.780 m s2

g 0( ) = 9.814m s2

2R = 0.034m s

2

(all’equatore)

F

T= m

2Rcos


mgmg

FT

P

O

P O( )P O( )( )

N

S

• Poiché 2 mrad cos » sin , per cui:

Legge verificata sperimentalmente.

• Il II termine è piccolo rispetto al I:

g ( ) g ( ) 2Rcos

2

Ancora su Massa Inerziale e Massa

Gravitazionale

• Per essere più precisi, la forza peso è data da:

• Se la massa inerziale non fosse proporzionale alla massa gravitazionale, allora la direzione della forza peso, nello stesso luogo, cambierebbe al cambiare della massa del corpo.

• Misurando la costanza della direzione della forza peso si conferma sperimentalmente la proporzionalità tra massa inerziale e massa gravitazionale.

mig =

mgM

g

R2R + m

iP O( )( )


mgM

g

R2Rm

ig

FT

P

O

P O( )P O( )( )

N

S

Effetti della Forza di Coriolis: Deviazione

verso Oriente dei Gravi in Caduta Libera

• In entrambi gli emisferi un corpo in caduta libera devia verso Est.

• SdR terrestre: è l’effetto della forza di Coriolis:

• SdR inerziale: Il grave, se parte in quiete rispetto alla Terra, ha una componente della velocità verso Est che non è modificata dalla gravità nel moto di caduta. La velocità angolare perciò cresce quando il grave diminuisce l’altezza, diventando superiore a quella terrestre.

vR

FC

vR

è diretto verso Ovest

FC= 2m v

Rè diretto verso Est


Effetti della Forza di Coriolis: Deviazione dei

Moti sulla Superficie Terrestre

• Se invece un corpo si muove sulla superficie terrestre, viene deviato: – Verso destra nell’emisfero Nord – Verso sinistra nell’emisfero Sud.

vR

FC

vR

FC

Emisfero Nord: moto verso Nord deviato verso Est

Emisfero Nord: moto verso Sud deviato verso Ovest


Effetti della Forza di Coriolis: Deviazione dei

Moti sulla Superficie Terrestre (II)

• Maggior consumo delle sponde destre dei fiumi (emisfero Nord).

• Maggior consumo delle rotaie destre dei binari dei treni (emisfero Nord).

• Moto di cicloni e anticicloni.

B A B A

ciclone ciclone anticiclone anticiclone

emisfero Nord emisfero Sud


Effetti della Forza di Coriolis: Pendolo di

Foucault

• Il piano di oscillazione di un pendolo ruota nel tempo.

• Osservatore nel SdR inerziale (origine nel centro della Terra e assi puntati verso le stelle fisse): il piano di oscillazione del pendolo rimane costante (perché forza e velocità giacciono sullo stesso piano), ma la Terra ruota rispetto a esso.

• Osservatore nel SdR solidale alla superficie terrestre: il piano di oscillazione del pendolo ruota perché in ogni movimento il pendolo è deviato verso destra (nell’emisfero Nord) dalla forza di Coriolis.

Curvatura verso destra esagerata nella figura


D

C

O R

r P

DP =

r

sin


Foucault (II)

• Il piano di oscillazione del pendolo, al polo, compie un giro completo in un giorno sidereo.

• All’equatore il piano di oscillazione del pendolo non ruota.

• Alla latitudine intermedia la rotazione d del piano di oscillazione del pendolo è minore della rotazione terrestre d :

P P

C

D

r

r

d

d

ds

DP =r

sin

d s = r d

d s = DP d =r

sind

d =sin

rd s =

sin

rr d = sin d



Foucault (III)

• A 45º di latitudine, il piano del pendolo ruota in un giorno di un angolo pari a circa:

d = sin d

= sin

rotazione del piano del pendolo rotazione della Terra

velocità angolare della Terra velocità angolare di rotazione del piano del pendolo

=2

2360° 254.6°


D

C

O R

r P

DP =

r

sin

P P

C

D

r

r

d

d

ds

DP =r

sin

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Domenico Galli Dipartimento di Fisica

[email protected]

http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli

https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica

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