2018-2019 Dinamica del punto materiale -...

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Meccanica2018-2019

Dinamica del punto materiale

Legge fondamentale della dinamica

2

2

d rF ma m

dt= =

�

�

�

Nota la forza possiamo determinare l’equazione del moto

Dal movimento (accelerazione) risaliamo alla forza che lo produce

Quantità di moto:

p mv=� � dpF

dt=�

�

ABBA FF ,,

��

−=Principio di azione e reazione:

0

J ( )t

tF t dt=

� �

Impulso della forza:

J p= ∆�

�

“Teorema dell’impulso”


Quantità di moto, impulso

Se la forza è costante:

0

t

tF dt p= ∆�

� pF

t

∆=∆

�

�

In generale:

0

( )t

tF t dt p= ∆�

�

mF t p∆ = ∆�

�

m

pF

t

∆=∆

�

�

In assenza di forze che agiscono sul punto materiale, la sua quantità di moto si conserva

Conservazione della quantità di moto0

J ( )t

tF t dt p= = ∆

� �

�

0

1( )

t

mt

F t dt Ft

=∆

� �

Valor medio della forza

t∆

Quando non c’è variazione di quantità

della moto

0F =�

1 2F F+� �


Risultante delle forzeForza = grandezza vettoriale

Se su un corpo agiscono più forze il moto avviene come se agisse solo la loro somma vettoriale(“Risultante delle forze”)

=

=N

i

iF1

�

=

=N

i

ia1

�

Per l’accelerazione:

1TOT TOTa F

m=

�

�

=

=N

i

iFm 1

1 � In presenza di più forze sul punto materiale, ciascuna agisce in modo indipendente dalle altre

NB: Dall’osservazione del moto del punto materiale abbiamo informazione solo sulla risultante delle forze

In particolare 0TOT

a =�

NON SIGNIFICA che sul punto non agiscono forze

SIGNIFICA che la loro risultante è nulla

NTOT FFFFF��

....321

+++=TOT

F�

3F�

1F�

2F�

Condizione per l’equilibrio statico0TOT

F =�

( 0)TOTa =�

2F�

Equilibrio staticoCondizione per avere equilibrio statico del punto materiale:

0=TOTF�

Il punto rimane in QUIETEnel sistema di riferimento scelto

0, =i xiF

0, =i yiF

0, =i ziF

0, =xTOTF

0, =yTOTF

0, =zTOTF

NB: Assumiamo velocità iniziale nulla(Altrimenti mantiene il suo stato di moto rettilineo uniforme)

021 =+= FFFTOT

��

Equilibrio statico per il punto P soggetto a 2 forze:

0321 =++= FFFFTOT

��

Nel caso di 3 forze:

1F�

P

1 2F F+� �

3F� Disposte

come i lati di un triangolo

3F�

1F�

2F�

2 1F F= −� �

1F�

2F�

P

3 1 2( )F F F= − +

� � �

Se conosco due forze posso determinare la terza:

Disposte lungo un poligono chiuso

NF�

1F�

2F�

3F�

4F�

N forze:

1F�

2F�

3F�

4F�

x

y


Equilibrio staticoEsempio.Sul punto P agiscono le forze (note)

1 2, F F� �

Quale forza devo applicare per avere equilibrio statico?

0321 =++ FFF��

Deve valere:

0,3,2,1 =++ xxx FFF 0,3,2,1 =++ yyy FFF

0sinsin032

=+− φθ FF 0coscos321

=++− φθ FFF

φθ

sin

sin23 FF =

0cossin

sincos 221 =++− φ

φθθ FFF

θφθ

costan

sin212 FFF −=

θθφ

cos

sintan

21

2

FF

F

−=

Il problema è sul piano x,y

Devo trovare:3

F�

φ3

F�

3,F φ→

2

1 2

sinarctan

cos

F

F F

θφθ

= −

1F�

2F� θ


Reazione vincolareSe sappiamo che su un corpo agisce una forza, ma questo rimane fermo…

Il “vincolo” si deforma e produce una forza sul corpo, tale da realizzare le condizioni di equilibrio statico:

10

TOTF F N= + =� � �

1N F= −� �

Risultante delle forze applicate

Reazione vincolare

1F�

Esiste una forza uguale econtraria che annulla la risultante

N�

m

La reazione vincolare non ha una forma predefinita: dipende dal caso particolare che si sta considerando

N�

m

1F�


Azione delle forze

Moto rettilineo uniforme: 0a = →�

0=F�

Moto uniformemente accelerato: cost.a =� (in modulo e direzione)cost.F→ =�

Moto piano curvilineo:T N

a a a= + →� � �

NT amamF��

�

+=

NT uR

vmu

dt

dvm

��

2

+=

TT udt

dvmF

�

�

=

NN uR

vmF

�

�

2

=

Forza tangenziale

Variazione del modulo della velocità

Forza centripeta

Variazione della direzione

amF�

�

=Legge di Newton:

P

NF�

TF�

Ta�

Na�

Risultante delle forze che agiscono su P

2

N N

vF m u

R=

�

�

Forza centripeta

NF�

v�


Forza pesoAccelerazione di gravità

TOT PF N F ma= + =� � �

�Risultante delle forzesul punto P

ma mg= −� �

)( gam�� −=

a�

a� Ascensore (e.g. verso l’alto)

NB - La sensazione di peso è data dalla forza vincolare

)( zz uguam�� +=

zugam�

)( += mgN > La “sensazione di peso” aumenta

Non c’è sensazione di pesoga�� = (caduta libera)

“forza peso“proporzionale alla massa

Forza associata: PF mg=�

�

29.8 msg

−≅

Reazione vincolare?

PN ma F= −� �

�

Supponiamo che il piano d’appoggio subisca una accelerazione

Bilancia PF

mg

=Oggetto appoggiato sul tavolo:La forza peso è bilanciata dalla reazione vincolare

0TOT PF N F= + =� � �

PF mg=�

�

N�

m

z

zu�

za g gu= = −� � �

Osserviamo che il corpo NON si muove, finché il modulo della forza non supera un valore critico

NF Sµ≤Condizione di quiete

NF Sµ>Condizione di moto

Lungo x:AS x xf u Fu− =� �

Lungo y: 0y yNu mgu− =� �

Forza di attrito statico

Coefficiente di attrito statico

Proporzionale alla reazione vincolare N

Il vincolo esercita una forza che dipende dalla forza applicata

0 AS Sf Nµ≤ <ASf�

F�

NFF Sµ>=�

Per avere accelerazione:

Applichiamo la forza orizzontale F�

F�

Equilibrio statico: abbiamo una forza in grado di bilanciare F�

ASf�

ASf�

Punto materiale di massa m forza peso , reazione vincolare P

F mg=�

�

N�

PF mg=�

�

N�

m

y

xO xu�

yu�


Attrito radente


Attrito radente• Forze di coesione (di natura elettrica) a livello molecolare • Rugosità delle superfici a contatto

Fotomicrografia al SEM di una superficie nichelata. Rugosità ~ 0.1 µm

Fotomicrografia al SEM di una superficie di acciaio inox. Rugosità ~ 3 µm

SEM = microscopio elettronico a scansione

y

xO

NDµ

NSµ

Attrito radente


Attrito radente

Equazione del moto (lungo x):

ADF f ma− =

Una volta in movimento, la forza fAD nondipende dalla velocità del corpo

Aumentiamo la forza orizzontale F�

Coefficiente di attrito dinamico

SD µµ <Si osserva che per ogni materiale:

I valori dipendono dal materiale, dalla forma e rugosità delle superfici, temperatura, etc.

F�

Si osserva che al moto si oppone una forza di attrito radente dinamico, di modulo:

AD Df Nµ=ADf�

NF Sµ>Quando

il corpo si mette in movimentoa�

PF mg=�

�

N�

m

DF N maµ− =


Coefficienti di attrito radente (per unità di superficie)

Superfici μS (statico) μD (dinamico)

Legno - legno 0,50 0,30Acciaio - acciaio 0,78 0,42Acciaio - acciaio lubrificato 0,11 0,05Acciaio - alluminio 0,61 0,47Acciaio - ottone 0,51 0,44Acciaio - teflon 0,04 0,04Acciaio - ghiaccio 0,027 0,014Acciaio - aria 0,001 0,001Rame - acciaio 1,05 0,29Rame - vetro 0,68 0,53Gomma - asfalto (asciutto) 1,0 0,8Gomma - asfalto (bagnato) 0,7 0,6Vetro - vetro 0,9 - 1,0 0,4Legno sciolinato - neve 0,10 0,05

Superfici molto lisce: “coesione”

L’attrito non si elimina mai completamente Aria, olio, …: lubrificanti

Se si trascura l’attrito radente: “superficie liscia”. Altrimenti “superficie scabra”

x

y

θ

Piano inclinato

0 cos =+− yy uNumg��θ

xx umaumg��

sin =θReazione vincolare: θcosmgN =

Accelerazione: θsinga =

Moto uniformemente accelerato (x0 = v0 = 0)

2 21 1( ) ( sin )

2 2x t at g tθ= =

m

θmg�

N�

mg N ma+ =�

� �

Applichiamo la legge di Newton:

iF ma=�

�

Scomponiamo l’equazione nelle direzioni degli assi:

Galileo sfruttò il piano inclinato per studiare la dinamica dei corpi con accelerazioni inferiori a g

Accelerazione a < g

Quali forze agiscono su m?

Assumiamo superficie liscia

Equazione del moto

= Costante

Piano inclinatoAssumiamo superficie scabra

Reazione vincolare normale al piano: cosN mg θ=

Il corpo rimane fermo finché la componente lungo x della forza peso è bilanciata dalla forza di attrito statico

Il corpo si muove solo per angoli θ maggiori di questo

Sµθ <tan

Una volta che il corpo è in moto:Coefficiente di attrito statico Coefficiente di attrito dinamico

maNmg D =− µθsin

mamgmg D =− θµθ cossin

)cos(sin θµθ Dga −= Dµθ >tan

mgθθ

N

x

y

sin cosSmg mgθ µ θ<

Per quale valore di θ il corpo si mette in moto?

0>Finché a > 0 il corpo continua ad accelerare

sin Smg Nθ µ<, cioè finché:

Af

(attrito radente lungo superficie del piano inclinato, ), S Dµ µ

arctan S Sθ µ θ< ≡

arctan D Dθ µ θ> ≡

Piano inclinato

0 Sθ θ< ≤ Corpo fermo

Sθ θ> Il corpo si muove

Una volta in moto, sul corpo agisce l’attrito dinamico con SD µµ <

La misura degli angoli critici i coefficienti di attrito statico e dinamico dei materiali in diverse condizioni fisiche

, S Dθ θ, S Dµ µ

consente di misurare

mgθθ

N

x

yAf

Fissati i valori e definiti , S Dµ µ

Dθ θ= 0a→ = velocità costante

Dθ θ< 0a→ < rallenta fino a fermarsi

(accelera anche perSθθ < purché valga )

Dθ θ>

arctanS Sθ µ≡

Dθ θ>Per angoli il corpo accelera0a→ >

arctanD Dθ µ≡vediamo l’andamento a seconda dell’inclinazione θ

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