Fondamenti di fisica

Meccanica: 11Dinamica rotazionale ed

equilibrio staticoMomento torcente

Momento torcente e accelerazione angolareEquilibrio staticoCentro di massa ed equilibrioApplicazioni dinamiche

Momento angolareConservazione del momento angolareLavoro nelle rotazioniNatura vettoriale del moto di rotazione

Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright © 2005

Momento torcenteo momento di una forza

Momento torcente

τ = rF

r e F perpendicolari

Le dimensioni della grandezza fisica momento torcente sono: [τ ] =[M] [L2] [T-2] e la corrispondente unità di misura il N m

τ = r(Fsinθ)

Fsinϑ è la componente della forza perpendicolare a r

τ = (rsinθ)F= r⊥ F

τ = r x F

braccio

r⊥ ≡ rsinϑ è la distanza del centrodi rotazionedalla retta di applicazione della forza

rappresentazione vettoriale

Su una ruota, inizialmente ferma, agiscono due forze, come mostratoin figura. In quale verso girerà la ruota?

R = 0.42 mF1 = 12 NF2 = 9.5 N

τ1 = r(F1 sin50°) = 3.9 N mτ2 = r(F2 sin90°) = - 4.0 N m

τ > 0 acc ang positiva τ < 0 acc ang negativa

2. Esempio svolto

La ruota accelera in senso orario!

Momento torcente e accelerazione angolare

a = F/m α = a/r

α = a/r = F/ mr

α = rF/ mr2 = τ / I

Grandezze Lineari grandezze angolarim I a αF τ τ = Iα

4. Esempio svolto

Lo spostamento angolare del rocchettoLa lunghezza del filo tirato dal rocchetto

La velocità angolare finale del rocchetto

T

Il filo di un mulinello da pesca viene tirato(quando il pesce abbocca) con una tensione T. Il mulinello può ruotare senza attrito, mentre il pesce tira per un tempo t .

Se il raggio del mulinello è R e il suo momento di inerzia I, determinare:

T

Momento torcente sul rocchetto:

τ = RT sin 90° = RT

α = τ /I = (RT)/I

∆θ = ω0t + ½ α t2 = ½ [(RT)/I] t2

∆x = r ∆θ = ½ [(R2T)/I] t2

ω = ω0 + αt = (RT/I)tLo spostamento angolare ∆θ del rocchetto

La lunghezza ∆x del filo tirato dal rocchettoLa velocità angolare ω finale del rocchetto

Equilibrio statico

Momento torcente nullo ed equilibrio statico

F1 + F2 = mg

F2 L – mg ( ¾ )L = 0

F2 = ¾ mgF1 = ¼ mg

Condizioni di equilibrio statico

Perché un oggetto esteso sia in equilibrio statico devono essere soddisfatte le seguenti due condizioni:

La risultante delle forze esercitate sull’oggetto deve essere nulla:

Σ F = 0La somma vettoriale dei momenti torcenti esercitati sull’oggetto deve essere nulla:

Σ τ = 0

Esempi …

Centro di massa ed equilibrio

L’asta è in equilibrio seil momento torcente risultanteche agisce su di essa è nullo.

m1gx1- m2gx2 = 0

m1x1 = m2x2

xCM = 0

Ciò equivale ad avere il baricentrosulla verticale passante per il punto di sospensione

risultatogenerale

equilibrio di oggetti sospesi

L

L sin ϑ

ϑ

Momento torcente negativo:

τ = mg (L sin ϑ) ≠ 0Momento torcente nullo:

τ = mgL sin 0° = 0

equilibrio …

La roccia plurimillenariarimarrà salda sul suo piedistallo finchè la verticaleper il suo centro di massaintercetterà la sua base diappoggio

Applicazioni dinamiche del momento torcente

L’esperienza mostra che a ≠ g

τ = - T R

- TR = I αT –mg = ma

Applicazioni dinamiche del momento torcente

T –mg = ma - TR = I α

E poiché si srotola senza scivolare …

- TR = I (a/R) T = - I (a/R2)αR = a

Applicazioni dinamiche del momento torcente

T –mg = ma

T = - I (a/R2) - I (a/R2) –mg = ma

ga = -

1 + I/(mR2)

Momento angolare o momento della quantità di moto

L = I ωp = mv

grandezza lineare corrispondente

Per un oggetto puntiforme…

L = I ω = (mr2) (v/r) = mrv

L = r mv = r p

Le dimensioni della grandezza fisica momento angolare sono: [L] =[M] [L2] [T-1] e la corrispondente unità di misura il kg m2/s

Momento angolareper oggetto puntiforme

più in generale …

L = r p sinθ = rm(v sin θ)

r⊥ = (rsinθ)con …

L = r⊥ p

L = r x pRappresentazione vettoriale

12. esempio

Trovare il momento angolare di:

Un frisbee di 0.13 kg di raggio 7.5 cm che ruota con una velocità angolare di 1.15 rad/sec

Una persona di 95 kg che corre a 5.1 m/s su unapista circolare di raggio 25 m.

12. esempio

Trovare il momento angolare di:

Un frisbee di 0.13 kg di raggio 7.5 cm che ruota con una velocità angolare di 1.15 rad/sec

Una persona di 95 kg che corre a 5.1 m/s su unapista circolare di raggio 25 m.

L = I ω = ½ (mr2) ω = 4.2 10-4 kg m2 / s

I = ½ mR2

L = I ω = (mr2) (v/r) = r(mv) = rp = 1.2 104 kg m2 / s

Momento angolare nei motirettilineo e circolare

In entrambi i casi la posizione angolare aumenta con il tempo,quindi il momento angolare è positivo.

13. Esempio svoltoCorrendo con di 4.10 m/s un bambino di 23.2 kg punta verso il bordo di una giostra,come mostrato in figura.Se la giostra ha raggio 2 m, quale è il momento angolare del bambinorispetto al centro della giostra?

L = rmv sen θ = 134.5 kg m2/s

OsservazioneQuando il bambino atterra sulla giostra, le trasferisce il suo momento angolare,facendola ruotare intorno al suo centro di rotazione

Seconda legge di Newton per il moto di rotazione

Analizziamo come varia il momento angolare:Nel tempo ∆t,

la velocità angolare varia di ∆ω …

∆L/∆t = (I∆ω)/∆t)

∆L/∆t = I α

Grandezza lineare corrispondenteτ = I α =∆L/∆t F = ∆p/∆t

τ =∆L/∆t

Conservazione del momento angolare

τ =∆L/∆t

se τ = 0

∆L = 0 e L = costante

Il momento angolare si conserva anche in sistemi sottoposti a piùmomenti torcenti, purchè il momento torcente risultante esterno sia nullo

16. esempio svolto

Inizialmente lo studente mantiene le braccia distese e gira intorno all’asse dello sgabello con una velocità angolare di 3.74 rad/s.

Il momento di inerzia, in questo caso, è di 5.33 kg m2

Mentre giralo studente avvicinale braccia al torace, riducendo il momento di inerziaa 1.60 kg m2.

Quale è adesso il modulodella velocità angolare?

Sul sistema non agiscono momenti torcenti esterni …

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16. esempio svolto

… quindi Li = Lf

Inizialmente lo studente mantiene le braccia distese e gira intorno all’asse dello sgabello con Una velocità angolare di 3.74 rad/s.Il momento di inerzia, in questo caso,è di 5.33 kg m2

Mentre gira lo studente avvicina le braccia al torace, riducendo il momento di inerzia a 1.60 kg m2.Quale è adesso il modulo della velocità angolare?

ωiIi = ωfIf ωf= ωi (Ii /If) = 12.5 rad/sLi = Lf

Conservazione del momento della quantità di moto

Ciclone Andrew - 1997

Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright © 2005

Tornado su Miami - 1992

Lavoro rotazionale

Una forza che sposta il suo punto di applicazionecompie un lavoro.

Anche un momento torcente, che agisce lungo uno spostamento angolare compie un lavoro:

W = F ∆x

∆x = R ∆θ

W = F ∆x = F R ∆θ

τ = RF W = τ ∆θ

Lavoro rotazionalee teorema della energia cinetica

W = ∆EK ≡ EKf – EKi

W = τ ∆θ

τ / I = αed essendo

L’accelerazione angolare è costante …

ω = ω0 + α t e se il rocchetto parte da fermo …

ωf= [(RT)/I] t

EKf = ½ I ωf2

Natura vettoriale del moto di rotazione

Natura vettoriale del moto di rotazione

τ =∆L/∆t

r

τ = r x F

Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright © 2005

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N.B.

Il carattere antiorario (orario) del moto ciclonicodipende dalla acc. del Coriolis e dall’emisfero(Nostro oppure australe).