Sistemi in moto relativo traslazionale

Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità angolare costante

Il caso unidimensionale (traslazione dei sistemi di riferimento e moto dei corpi nella stessa direzione)

Il caso bidimensionale (traslazione dei sistemi di riferimento e moto dei corpi nel piano)

Jill e Jack stanno viaggiando nello stesso pulman. Jill vede Jack fermo rispetto a se stessa e rispetto al pulman e lo stesso è per Jack.

Sistemi di riferimento in moto traslazionale: il caso unidimensionale

Jill e Jack stanno viaggiando nello stesso pulman. Jill vede Jack fermo rispetto a se stessa e rispetto al pulman e lo stesso è per Jack.

Un osservatore che vede passare il pulman attribuisce a Jill e Jack la stessa velocità del pulman (25 mph)

Il caso unidirezionale

Jill lancia ora a Jack un dolce a 30mph.

Un’osservatrice che cammina in bicicletta nella stessa direzione del pulman a 10mph dirà che Jill e Jack hanno una velocità pari a 25-10=15mph mentre il dolce ha la velocità di 30+25-10=45mph

Passare da un sistema di riferimento ad un altro (fiume, uomo che cammina, barche)

Il caso unidirezionale (trattazione quantitativa)

Poiché tutto avviene in un’unica direzione le grandezze in gioco possono essere trattate come grandezze scalari.Se si indica con xa la posizione del corpo in movimento (biscottino,

Jill o Jack) rispetto ad un sistema di riferimento fisso (detto anche assoluto), con xr la stessa posizione ma rispetto al sistema di

riferimento in moto, cioè solidale con il pulman, (detto sistema relativo) e con xo la posizione del sistema relativo rispetto a quello

assoluto si ha:

xa

xrxo

xrxa xo= +

vrva vo= +derivando

araa ao= +

Derivando ancora

araa ao= +

Si osservi che l’accelerazione osservata nel sistema di riferimento relativo è diversa da quella osservata nel sistema assoluto. Si può infatti ricavare facilmente

ar ao= aa+

Nei due sistemi di riferimento si osserveranno variazioni diverse della velocità.Da tutto ciò nascono le così dette forze fittizie.

-

Cosa succede in treno

Cosa succede in autoSenza cinture Con cinture

Sistemi di riferimento in moto traslazionale: il caso bidimensionale

In questo caso tutte le relazioni precedenti vanno scritte in forma vettoriale

rrra ro= +

vrva vo= +

araa ao= +

Occorre osservare che le traiettorie dei corpi nei due sistemi di riferimento appaiono completamente diverse, anche se il sistema relativo non è accelerato rispetto a quello assoluto.

Caso di un corpo che si muove con accelerazione costante (oggetto lasciato cadere dal treno)

Ancora un esperimento lungo il fiume (caso bidimensionale)

Un esperimento reale

Caso di un corpo che si muove con accelerazione costante (oggetto lasciato cadere da un aereo)

Si osservi che le traiettorie del corpo appaiono diverse nei due sistemi di riferimento, in questo come in tutti gli altri esempi precedenti.Poiché in tutti i casi fin qui esaminati il sistema di riferimento realtivo ha accelerazione nulla rispetto a quello assoluto, in entambi verranno osservate le stesse accelerazioni (ossia entrambi gli osservatori diranno che i corpi hanno accelerazione g rivolta verso il basso.

E’ noto che quando una barca attraversa un fiume, la corrente di questo trascina la barca.

Moto di una barca in un fiume (attraversamento)

X

Y

i

j

Y’

X’i’

j’

Velocità angolare costanteQuando il sistema di riferimento relativo ruota l’operazione di derivazione sui vettori e risulta più complicata poiché varia anche l’orientazione dei versori

rr vr

X

Y

i

j

Y’

X’

i’j’

Velocità angolare costanteQuando il sistema di riferimento relativo ruota l’operazione di derivazione sui vettori e risulta più complicata poiché varia anche l’orientazione dei versori

rr vr

X

Y

i

j

Y’

X’

i’j’

Velocità angolare costanteQuando il sistema di riferimento relativo ruota l’operazione di derivazione sui vettori e risulta più complicata poiché varia anche l’orientazione dei versori

rr vr

X

Y

i

j

Y’

X’

i’j’

Velocità angolare costanteQuando il sistema di riferimento relativo ruota l’operazione di derivazione sui vettori e risulta più complicata poiché varia anche l’orientazione dei versori

rr vr

X

Y

i

j

Y’ X’

i’j’

Velocità angolare costanteQuando il sistema di riferimento relativo ruota l’operazione di derivazione sui vettori e risulta più complicata poiché varia anche l’orientazione dei versori

rr vr

X

Y

i

j

Y’ X’

i’j’

Supponendo che il sistema di riferimento ruoti senza traslare attorno all’asse z si può dimostrare che:

ra vrωv

rra avω2)rω(ωa

Le equazioni scritte appaiono complicate ma vedremo più semplicemente il loro significato

ra vrωv

Spieghiamo prima il significato della realazione

ω

È il vettore velocità angolare il cui modulo è stato già definito e la cui direzione e verso sono riportate in figura

ω

ω

È il simbolo di prodotto vettoriale

Definizione di prodotto vettoriale: dati due vettori e il vettore risultante dal prodotto ha modulo direzione perpendicolare al piano individuato da e e verso stabilito tramite la regola della mano destra.

ω

ωrω

senθr ω

r

r

Come un corpo a riposo appare muoversi in un sistema di riferimento che ruota (nell’applet porre la velocità del corpo = 0)

Nell’applet che precede si è visto che un corpo fermo in un sistema di riferimento assoluto appare ruotare in un sistema di riferimento relativo in direzione contraria a quella del sistema relativo. Infatti:

ω

r rω

rvrω0

rωv

r

Si osservi che il modulo è r

X Y

È la velocità angolare con la quale ruota il sistema di riferimento

rra avω2)rω(ωa

Spieghiamo ora i vari termini della relazione

ω

rω

Si osservi che il modulo è r

)rω(ω

Si osservi che il modulo è r

)rω(ω

Questo termine rappresenta accelerazione centripeta ed è sempre presente anche se il corpo è fermo nel sistema relativo.

È la velocità angolare con la quale ruota il sistema di riferimento

X Y

rra avω2)rω(ωa

Spieghiamo ora i vari termini della relazione

Questo termine è detto accelerazione di Coriolis ed è presente quando il corpo è in moto nel sistema relativo.rvω2

rv

Si osservi che è sempre perpendicolare a vr perciò produce una rotazione

rvω2

ω

È la velocità angolare con la quale ruota il sistema di riferimento

X Y

rra avω2)rω(ωa

Spieghiamo ora i vari termini della relazione

Una palla su una giostra

rar vω2)rω(ω aa

Le accelerazioni viste nel sistema relativo saranno

Accel. centrifuga Accel. di Coriolis apparirà col verso invertito

Effetti dell’accelerazione di Coriolis

Come appare un moto rettilineo rispetto ad unSistema di riferimento che ruota

Come appare un moto di rivoluzione rispetto ad un sistema di riferimento in rotazione

Come appare un moto rettilineo rispetto ad unSistema di riferimento che ruota

Come appare un moto di rivoluzione rispetto ad un sistema di riferimento in rotazione

I tornado

Il moto dei pianeti nel sistema copernicano

Il moto dei pianeti nel sistema tolemaico

Passare da un sistema di riferimento ad un altro (fiume, uomo che cammina, barche)

Esercizi sul moto circolare

Caso in cui la velocità del corpo è perpendicolare a quella del sistema di riferimento

Un oggetto lasciato cadere dal treno

Moto di una barca in un fiume (attraversamento)

Come appare un moto rettilineo rispetto ad unSistema di riferimento che ruota (accelerazione di Coriolis)

Come appare un moto di rivoluzione rispetto ad un sistema di riferimento in rotazione

Sistemi di riferimento in rotazione 1

Sistemi di riferimento in rotazione 2

Sistemi di riferimento in rotazione 1

Jill e Jack stanno viaggiando nello stesso pulman. Jill vede Jack fermo rispetto a se stessa e rispetto al pulman e lo stesso è per Jack.

Jill e Jack stanno viaggiando nello stesso pulman. Jill vede Jack fermo rispetto a se stessa e rispetto al pulman e lo stesso è per Jack.

Un osservatore che vede passare il pulman attribuisce a Jill e Jack la stessa velocità del pulman (25 mph)

Jill lancia ora a Jack un dolce a 30mph.

Un’osservatrice che cammina in bicicletta nella stessa direzione del pullman a 10mph dirà che Jill e Jack hanno una velocità pari a 25-10=15mph mentre il dolce ha la velocità di 30+25-10=45mph

A

xa

xrxo

xrxa xo= +

vrva vo= +

derivando A

Elettromagnetismo e velocità della luce

Esperimenti sulla velocità di propagazione delle luce

Verso una nuova relatività

La velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche

nel vuoto è:

c=300.000 Km/s

00

1

c A

T

λc

La lunghezza d’onda ed il

periodo sono legati insieme dalla relazione:

La Terra gira intorno al proprio asse alla velocità di 1100 km/hr (all’equatore)

La Terra orbita attorno al sole alla velocità di 108 000 km/hr

Venere orbita attorno al sole alla velocità di 130 000 km/hr

Marte orbita attorno al sole alla velocità di 87 000 km/hr

Che cosa è un interferometro

L’esperimento di Michelson-Morley

A

A

Che cosa è l’interferenzaA

Interferometri a riposo e in motoA

A A

Le frange di interferenza che si riscontrano sullo schermo dipendono dai diversi tempi impiegati dai due raggi a percorrere i due diversi cammini

Che cosa è un interferometro

L’esperimento di Michelson-Morley

A

A

Che cosa è l’interferenzaA

Interferometri a riposo e in motoA

Chiamando t1 e t2 tali tempi e applicando le Trasfomazioni di Galileo la differenza tra i due tempi doveva essere data da:

1^ posizione dell’Interferometro

Interferometro ruotato di 90°2222

12

21

22'''

vc

d

vc

cdttt

2222

12

21

22

vc

cd

vc

dttt

La teoria di Galileo prevedeva dunque che ruotando l’apparecchiatura anche le frange di interferenza dovevano cambiare. Ed invece ciò non avveniva!La rotazione dell’apparato non provocava alcuno La rotazione dell’apparato non provocava alcuno spostamento delle frange.spostamento delle frange.

1. Le leggi e i principi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali

1. Le leggi e i principi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali

2. La velocità della luce è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali

Se la velocità della luce deve essere la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali, ne segue che lo spazio ed il tempo devono essere relativi.

c

Lt

2'

Se la velocità della luce deve essere la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali, ne segue che lo spazio ed il tempo devono essere relativi.

c

Lt

2'

Quale sarà il tempo misurato da questo orologio in moto?

1. La dilatazione dei tempi1. La dilatazione dei tempi

c

h

c

h

c

ht 2

vtd

22

2

2

1 Ldh

222

2

2

1

2

tc

vtct

h

L

d

2. La dilatazione dei tempi2. La dilatazione dei tempi

2

2

1c

v

tt

Einstein dice che gli

orologi in moto

ritardano

2

2

1

1

c

v

ditecoefficien

edilatazion

Mis. Or. Luc.

Esiste una evidenza Esiste una evidenza sperimentale?sperimentale?

Esiste una evidenza Esiste una evidenza sperimentale?sperimentale?

La contrazione delle La contrazione delle lunghezzelunghezze

La distanza tra le due

bandierine è allora

D = V * T

…ma dal dirigibile il tempo trascorso è minore …quindi

la distanza tra le due bandierine è minore

d = V* T’

Clicca sulle immagini per avviare i filmati

La contrazione delle La contrazione delle lunghezzelunghezze

xc

vx

2

2

1

Se un corpo si muove appare più corto

La contrazione delle La contrazione delle lunghezzelunghezze

xc

vx

2

2

1

Se un corpo si muove appare più corto

La contrazione delle La contrazione delle lunghezzelunghezze

xc

vx

2

2

1

Se un corpo si muove appare più corto

La contrazione delle La contrazione delle lunghezzelunghezze

xc

vx

2

2

1

Se un corpo si muove appare più corto

ConseguenzeConseguenze

Non esistono più tempi e

spazi assoluti

F1 relativistica

Gli eventi contemporanei

in un sistema di

riferimento non sono

contemporanei nell’altro

contemporaneitàUn esercizio sugli eventi contemporanei

Un esercizio sui tempi e gli spazi relativistici

Un volo Un volo relativisticorelativistico

Un volo Un volo relativisticorelativistico

Un viaggio relativisticoUn viaggio relativisticolungo le strade di una lungo le strade di una cittàcittà

Un sito per voli relativistici

Clicca sulle immagini per avviare il filmato

Alcuni paradossi Alcuni paradossi notinoti

II paradosso dei gemelliA

Lee vola per 10 anni con una velocità v = 0,98c rispetto

alla terra. Per Jim è passato un tempo più lungo

anni50 anni

2)98.0(1

10t

Linee di universo e cono di Linee di universo e cono di luceluce

ct ct

AUna semplice introduzione ai Diagrammi spazio-tempo

A

paradosso dei gemelli

A

Diagrammi spazio-tempo

La curvatura dello spazioLa curvatura dello spazio

A Orbite in uno spazio curvo

A Curvatura dello spazio

A Confronto con la teoria classica

Un esercizio per meglio comprendere il punto di partenza della Relatività generale

Esempi di prova finale