Momento Statico

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  • Geometra delle masse 1 di 19

    GEOMETRIA DELLE MASSE

    Momento statico S di una area A (delimitata dal contorno C) rispetto ad un asse (ad esempio uno degli assi del sistema di riferimento)

  • Geometra delle masse 2 di 19

    Momento statico S1 dellarea A rispetto allasse X1 (definizione)

    Momento statico S2 dellarea A rispetto allasse X2 (definizione)

    Ai fini del calcolo dei momenti statici larea si pu concentrare nel baricentro G

    avente coordinate X1G e X2G

  • Geometra delle masse 3 di 19

  • Geometra delle masse 4 di 19

    Si ha pertanto

    Confrontando con le definizioni di momento statico di unarea rispetto ad un asse, si ottengono le coordinate del baricentro G

  • Geometra delle masse 5 di 19

    Commento: la posizione del baricentro rispetta le simmetrie della figura.

  • Geometra delle masse 6 di 19

    Commento: il momento statico di unarea rispetto ad un asse baricentrico NULLO

  • Geometra delle masse 7 di 19

    Commento: per la struttura degli integrali i momenti statici sono additivi

    ESEMPIO 1

    Ai fini del calcolo della posizione del baricentro della figura (rettangolo con foro circolare) larea del rettangolo si pu concentrare nel suo baricentro B e larea del cerchio nel suo centro A. Larea del rettangolo si considera positiva; quella del cerchio si considera negativa. Il baricentro G star sulla congiungente dei due baricentri A e B.

  • Geometra delle masse 8 di 19

    Si assume lorigine del riferimento in B; asse X1 congiungente A B; asse X2 perpendicolare. I momenti statici rispetto allasse X1 sono NULLI (pertanto il baricentro G sta sullasse X1).

  • Geometra delle masse 9 di 19

    Distanza d del centro del cerchio A dal centro del rettangolo B, coordinata di A nel sistema di riferimento scelto d = - [(a/8)2 + (a/2)2]0.5 = - a [1/64 + ]0.5 = - (a 17) / 8 = - 0.5154 a Momento statico S2 rispetto all asse X2 S2 = (area del cerchio 0) x (distanza A-B = d 0) + + (area del rettangolo 0) x (distanza B-B = 0) = = - / 4 [a/2]2 x (- 0.5154 a) + 2 a2 x 0 = 0.1012 a3 (Nota Bene S2 0) Area A della figura A = 2 a2 - / 4 [a/2]2 = 1.8037 a2 Coordinata X1G del baricentro G X1G = S2 / A = 0.1012 a3 / 1.8037 a2 = 0.0561 a 0

  • Geometra delle masse 10 di 19

    Momento statico S di una linea (avente spessore costante) rispetto ad un asse

    (ad esempio uno degli assi del sistema di riferimento)

  • Geometra delle masse 11 di 19

    Momento statico S1 della linea rispetto allasse X1 (definizione)

    Momento statico S2 della linea rispetto allasse X2 (definizione)

  • Geometra delle masse 12 di 19

    Ai fini del calcolo dei momenti statici lo sviluppo l della linea si pu concentrare nel baricentro G, avente coordinate X1G e X2G

    Sviluppo (lunghezza) della linea

  • Geometra delle masse 13 di 19

    ESEMPIO 2

    Arco di circonferenza avente angolo al centro 2

  • Geometra delle masse 14 di 19

    Coordinata X2G del baricentro G

  • Geometra delle masse 15 di 19

    ESEMPIO 3

    Determinazione del baricentro per la figura, composta da un semicerchio e da due rettangoli. Si concentrano le aree delle singole parti nei rispettivi baricentri.

    Bisogna trattare preliminarmente il caso del semicerchio, mentre ovvia la posizione dei baricentri dei due rettangoli.

  • Geometra delle masse 16 di 19

    Il baricentro del semicerchio sta sullasse di simmetria X2 ; per determinarne la posizione si calcola il momento statico S1 rispetto allasse X1 e larea A del semicerchio. Si opera in coordinate polari. Momento statico S1

  • Geometra delle masse 17 di 19

    Area del semicerchio

    Coordinata del baricentro sullasse X2 (distanza del baricentro dal centro O)

  • Geometra delle masse 18 di 19

    In figura sono evidenziate le tre parti componenti con i rispettivi baricentri nei quali si possono concentrare le aree.

    Coordinate baricentri parziali

    Momenti statici

    parziali

    Aree X1i X2i S2i S1i

    Semicerchio 1 /2 a2 -4a/(3) a -2 a3 /3 /2 a3 Rettangolo 2 2 a2 a/2 a a3 2 a3 Rettangolo 3 2 a2 3a/2 5a/2 3 a3 5 a3

    Totali (4+/2) a2 10 / 3 a3 (7 + /2) a3

  • Geometra delle masse 19 di 19

    Coordinate del baricentro X1G = S2 / A = 10 / 3 a3 / (4+/2) a2 = 0,5984 a X2G = S1 / A = (7+/2) a3 / (4+/2) a2 = 1,5385 a