Determinazione del momento d’inerzia di una massa puntiforme Materiale utilizzato Set di accessori per i moti rotatori Sensore di rotazione Portamasse e masse aggiuntive Stativo con base Bilancia elettronica Calibro Interfaccia GLX Pasco Software Data Studio Computer Scopo dell’esperimento è quello di determinare sperimentalmente il momento d’inerzia di una massa puntiforme per poi confrontare il valore trovato con quello calcolato per via teorica. L’attività è particolarmente interessante al fine di riconoscere sperimentalmente le analogie tra cinematica e dinamica del moto traslatorio con la cinematica e la dinamica del moto rotatorio .

figura1 Teoria Sappiamo che il momento d’inerzia di una massa puntiforme è dato dall’espressione : 2MRI = , con M massa ed R distanza della massa M dall’asse di rotazione. In questo esperimento ci si serve di due masse uguali fissate agli estremi di una leggera asta rigida e quindi il momento d’inerzia totale per le due masse è : 2RMI TOTTOT = , con MMMM TOT 221 =+= ed R distanza di ciascuna

massa dall’asse di rotazione, ovvero la metà della distanza fra i loro centri di massa. Per trovare il momento d’inerzia sperimentale , montato l’apparato come in figura , agganciamo un filo alla puleggia media e poniamo all’estremità del filo , che passa attraverso una carrucola fissata al sensore, un portamasse con una massa totale di 30 g. La caduta della massa determina , attraverso la tensione del filo che agisce tangenzialmente sulla puleggia del sensore ( come si vede dalla figura 2) , un momento torcente τ che pone in rotazione il sistema .

Dalla nota relazione ατ I= si può ricavare il momento d’inerzia ατ=I , ove α è l’accelerazione

angolare e rT ⋅=τ il momento torcente che causa la rotazione. Dalla seconda legge della dinamica applicata alla massa traente risulta : ∑ =−= maTmgF

da cui ricaviamo ,risolvendo rispetto alla tensione : )( agmT −= .

Poiché attraverso il software possiamo conoscere il valore della accelerazione angolare α , il calcolo della accelerazione lineare si otterrà dalla relazione : αra = , essendo r il raggio della puleggia del sensore di rotazione. Nota la tensione , si potrà calcolare il momento torcente e quindi il momento d’inerzia del sistema. Per misurare il momento d’inerzia delle sole due masse dobbiamo ripetere la procedura sperimentale dopo aver tolto le due masse . In tal modo andremo a determinare il momento d’inerzia dell’apparato e quindi , sottraendo dal momento d’inerzia del solo apparato quella del sistema apparato + masse , ricaveremo il momento d’inerzia delle due masse . Ai fini di valutare l’errore nella misura , calcoleremo infine la differenza percentuale tra il valore sperimentale e quello teorico del momento d’inerzia delle due masse .

figura 2 Calcolo del momento d’inerzia teorico delle due masse Utilizziamo il calibro e la bilancia elettronica per le misure che ci occorrono : Masse == 21 MM 75,6 g Distanza fra le due masse d = 2R = 36 cm Raggio puleggia media del sensore di rotazione r = 14,5 mm Massa traente m = 30 g

)(teoricoI = 323 109,4)18,0(106,752 −− ⋅=⋅⋅⋅ Kgm² Predisposto il software Data studio per la raccolta dei dati relativi alle grandezze posizione angolare e velocità angolare , lasciamo cadere la massa traente e visualizziamo l’andamento del grafico posizione angolare ( ramo di parabola ) e velocità angolare ( retta) . L’interpolazione quadratica ci consente di conoscere il valore dell’accelerazione angolare del sistema α = 2 A , l’interpolazione lineare nel diagramma della velocità angolare conferma questo valore nella pendenza della retta interpolante i punti sperimentali.

essendo α = 0,79 rad/s² calcoliamo l’accelerazione lineare a = r α = 2/0114,079,00145,0 sm=⋅

La tensione è allora T = ( ) N33 10294,00114,081,91030 −− ⋅=−⋅⋅ e il momento torcente :

NmrT 31026,40145,0294,0 −⋅=⋅=⋅=τ Calcoliamo perciò il momento d’inerzia complessivo del sistema masse + apparato :

233

104,579,0

1026,4)( KgmlesperimentaI ocomplessiv

−−

⋅=⋅== ατ .

Ripetiamo quindi la procedura dopo aver tolto le due masse e calcoliamo il momento d’inerzia del solo apparato. Dal grafico relativo alla posizione angolare ricaviamo l’accelerazione angolare α = 10,2 rad/s² . L’accelerazione lineare della massa traente è adesso a= rα = 2/148,02,100145,0 sm=⋅ e la tensione nel filo è T = ( ) N289,0148,081,91030 3 =−⋅ −

Il momento torcente è NmrT 31019,40145,0289,0 −⋅=⋅=⋅=τ perciò il momento d’inerzia del

solo apparato risulta : 243

1012,42,10

1019,4KgmI apparato

−−

⋅=⋅==ατ

.

Il momento d’inerzia delle due masse si ricava dalla differenza : 33 1098,410)412,04,5()( −− ⋅=⋅−=−= apparatoocomplessivTOT IIlesperimentaI Kgm² .

La differenza percentuale tra i valori sperimentale e teorico del momento d’inerzia delle masse è :

%63,1100109,4

10)9,498,4(100

)(

)()(3

3

=⋅⋅

⋅−=⋅−

−

−

teoricoI

lesperimentaIteoricoI

TOT

TOTTOT .

Determinazione del momento d’inerzia di un disco e di un anello Materiale utilizzato Set di accessori per i moti rotatori Sensore di rotazione Portamasse e masse aggiuntive Stativo con base Bilancia elettronica Calibro Interfaccia GLX Pasco Software Data Studio Computer Scopo dell’esperimento è quello di determinare sperimentalmente il momento d’inerzia di un disco e di un anello per poi confrontare i valori trovati con quelli calcolati per via teorica. L’attività è particolarmente interessante al fine di riconoscere sperimentalmente le analogie tra cinematica e dinamica del moto traslatorio con la cinematica e la dinamica del moto rotatorio .

Teoria

Sappiamo che il momento d’inerzia di un anello di massa dM e raggio R rispetto al suo centro di

massa è dato da : 2

2

1dddisco RMI = e quello di un anello , avente massa aM e raggi interno ed

esterno 1R ed 2R è dato da : ( )22

212

1RRMI aanello += .

Per trovare il momento d’inerzia sperimentale , fissato il disco al sensore di rotazione , agganciamo un filo alla puleggia media e poniamo all’estremità del filo , che passa attraverso una carrucola fissata al sensore, un portamasse con una massa totale di 30 g. La caduta della massa determina , attraverso la tensione del filo che agisce tangenzialmente sulla puleggia del sensore, un momento torcente τ che pone in rotazione il sistema e quindi il disco .

Dalla nota relazione ατ I= si può ricavare il momento d’inerzia ατ=I , ove α è l’accelerazione

angolare e rT ⋅=τ il momento torcente che causa la rotazione. Dalla seconda legge della dinamica applicata alla massa traente : ∑ =−= maTmgF

otteniamo , risolvendo rispetto alla tensione : )( agmT −= . Poiché attraverso il software possiamo conoscere il valore della accelerazione angolare α , il calcolo della accelerazione lineare si otterrà dalla relazione : αra = , essendo r il raggio della puleggia del sensore di rotazione. Nota la tensione , si potrà calcolare il momento torcente e quindi il momento d’inerzia del disco. Per valutare il momento d’inerzia dell’anello , porremo quest’ultimo sopra il disco e ripeteremo la procedura sperimentale che ci porterà a calcolare il momento d’inerzia complessivo del sistema disco + anello. Sottraendo quindi da questo momento d’inerzia totale il momento d’inerzia del solo disco precedentemente calcolato, otterremo il momento d’inerzia dell’anello. Calcoleremo infine le differenze percentuali tra i valori sperimentali e quelli teorici dei momenti d’inerzia del disco e dell’anello. Calcolo dei momenti di inerzia teorici del disco e dell’anello Utilizziamo il calibro e la bilancia elettronica per le misure che ci occorrono : Massa disco dM =118,3 g

Raggio disco dR = 4,73 cm

Massa anello aM = 471 g

Raggio interno anello 1R = 26,9 mm

Raggio esterno anello 2R = 38,3 mm Raggio puleggia media del sensore di rotazione r = 14,5 mm Massa traente m = 30 g

)(teoricoI disco = ½ 0,118 (0,0473)²= 41032,1 −⋅ Kgm²

anelloI (teorico)= ½ 0,471 (26,9²+38,3²) 610−⋅ =5,16 410−⋅ Kgm² Predisposto il software Data studio per la raccolta dei dati relativi alle grandezze posizione angolare e velocità angolare , lasciamo cadere la massa traente e visualizziamo l’andamento del grafico posizione angolare ( ramo di parabola ) e velocità angolare ( retta) . L’interpolazione quadratica ci consente di conoscere il valore dell’accelerazione angolare del sistema α = 2 A , l’interpolazione lineare nel diagramma della velocità angolare conferma questo valore nella pendenza della retta interpolante i punti sperimentali.

essendo α = 29,4 rad/s² calcoliamo l’accelerazione lineare a = r α = 2/426,04,290145,0 sm=⋅

La tensione è allora T = ( ) N33 10294,0426,081,91030 −− ⋅=−⋅⋅ e il momento torcente :

NmrT 31026,40145,0294,0 −⋅=⋅=⋅=τ Calcoliamo perciò il momento d’inerzia del disco :

243

1039,14,29

1026,4)( KgmlesperimentaI disco

−−

⋅=⋅== ατ .

Valutiamo quindi l’errore sperimentale attraverso la differenza percentuale tra i valori sperimentale e teorico del momento d’inerzia del disco:

%51001032,1

10)32,139,1(100

)(

)()(4

4

=⋅⋅

⋅−=⋅−

−

−

teoricoI

teoricoIlesperimentaI

disco

discodisco

Per la determinazione del momento d’inerzia dell’anello , posiamo l’anello sopra il disco e ripetiamo la procedura sperimentale. Dal grafico relativo alla posizione angolare ricaviamo l’accelerazione angolare α = 6,49 rad/s² . L’accelerazione lineare della massa traente è adesso a= rα = 2/094,00145,049,6 sm=⋅ e la tensione nel filo è T = ( ) N291,0094,081,91030 3 =−⋅ −

Il momento torcente è NmrT 31022,40145,0291,0 −⋅=⋅=⋅=τ perciò il momento d’inerzia del

sistema disco+anello risulta : 243

1051,649,6

1022,4KgmI anellodisco

−−

+ ⋅=⋅==ατ

.

Il momento d’inerzia dell’anello si ricava dalla differenza : 44 1012,510)39,151,6( −−

+ ⋅=⋅−=−= discoanellodiscoanello III Kgm² .

La differenza percentuale tra i valori sperimentale e teorico del momento d’inerzia dell’anello è :

%77,01001016,5

10)12,516,5(100

)(

)()(4

4

=⋅⋅

⋅−=⋅−

−

−

teoricoI

lesperimentaIteoricoI

anello

anelloanello .

Verifica del principio di conservazione del momento angolare Materiale utilizzato Set di accessori per i moti rotatori Sensore di rotazione Stativo con base Bilancia elettronica Calibro Interfaccia GLX Pasco Software Data Studio Computer Scopo dell’esperimento è quello di verificare che per un sistema nel quale il momento torcente risultante è nullo , il momento angolare si conserva. Essendo infatti Lext ∆=∑τ , nel caso in cui

∑ = 0extτ si ha 0=∆L e quindi L = costante .

Dopo aver fissato il disco al sensore di rotazione , imprimiamo manualmente una rotazione al disco e poi lasciamo cadere delicatamente l’anello sul disco . Quando l’anello è sul disco ruotante , il momento torcente sul sistema è nullo in quanto il momento torcente sull’anello è opposto a quello sul disco ; per questo si conserva il momento angolare e sarà : fi LL = ovvero ffii II ωω = .

Il momento d’inerzia iniziale iI è quello del solo disco che sta ruotando e iω la sua velocità angolare

iniziale mentre il momento d’inerzia finale fI è quello del sistema disco + anello e fω la velocità

angolare del sistema. Si nota in questa situazione l’analogia con l’urto totalmente anelastico e quella fra conservazione del momento angolare nel moto rotatorio e conservazione della quantità di moto nel moto traslatorio.

Sono stati calcolati i momenti d’inerzia del disco e del sistema disco + anello nell’esperimento precedente :

241039,1 KgmI disco−⋅=

241051,6 KgmI anellodisco−

+ ⋅=

Predisposto il software Data Studio alla raccolta delle misure per la velocità angolare analizziamo il relativo grafico e traiamo da questo i valori delle velocità angolari prima e dopo la caduta dell’anello sul disco . Confrontiamo i due prodotti

skgmI ii /104,459,311039,1 54 −− ⋅=⋅⋅=ω

sKgmI ff /1032,463,61051,6 54 −− ⋅=⋅⋅=ω

Tenendo conto che una parte dell’energia del sistema è perduta attraverso l’urto dell’anello che cade sul disco, la verifica sperimentale è di esito soddisfacente.