Momento di una forza (Momento meccanico o momento torcente)

Il momento M della forza F è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione (definito dal

punto in cui è applicata la forza rispetto alla stessa origine, detto polo) e la forza stessa.

M è perpendicolare al piano determinato da r (punto di applicazione rispetto ad O) ed F.

b = r sinα è il braccio della forza, e corrisponde alla distanza dell´asse di rotazione dalla retta su cui giace

F.

FrM

forza della braccioαsin r b dove

bFαsin rFM

Il momento di una forza descrive la capacità della forza stessa di mettere un corpo in rotazione

rispetto ad un punto.

Esempio esplicativo: porta incardinata

Se pensiamo a quest'ultima e al gesto che compiamo più volte al giorno per aprirla, possiamo assumere il

luogo dove sono posizionati i cardini come nostro asse di rotazione (A); la distanza tra questo e la

maniglia come braccio (b)( se spingiamo o tiriamo ortogonalmente alla porta); la stessa maniglia come

punto d'applicazione (P) e lo sforzo che eseguiamo per tirare (o spingere) la porta verso di noi come forza

(F).

A

b P

F

Dato che la forza ed il braccio corrispondente sono grandezze inversamente

proporzionali, all'aumentare dell'una diminuirà l'altra:

Tanto più vicino sarà la maniglia all'asse di rotazione, tanto maggiore

sarà la forza da applicare alla maniglia e viceversa.

a

r

F M

a

A

P

Se volete bloccare una porta, dove mettete il peso?

Lontano o vicino ai cardini?

dt

Ld

dt

vrdm

dt

vdrm

dt

vdmr

dt

pdrFrM

dt

LdM

Il momento della forza M è pari

alla variazione del momento

angolare nel tempo

Esercizio4:

Immaginate di non voler far uscire una persona da una stanza.

Questa persona imprime una forza F=500 N sulla maniglia, posta a 70 cm dal cardine della porta,

ortogonalmente alla superficie della porta stessa.

Avete a disposizione una peso di piombo (assimilabile ad un oggetto puntiforme) di massa m=100 Kg,

che presenta un attrito statico con il suolo m=0.7. Dove devo porre il peso per impedire alla persona di

aprire la porta?

1sin90

222peso2

2

190sin

111111

θsin rFMFrM

m N350m N5001070θsin FrM FrM

N N 9.81000.7mgμ staticoattrito di forzaF speso 685

Affinchè la persona non riesca ad aprire la porta il momento della

forza F deve essere minore o uguale a quello generato dalla forza

di attrito statico del peso. Naturalmente la forza applicata per aprire

la porta e la forza di attrito sono opposte in verso

NB: Due momenti della forza diretti in senso opposto corrispondono a

due rotazioni in verso opposto

F

F

r1 r

Fp

M1 uscente dal foglio

x

M2 entrante dal foglio

Poichè la porta non ruota se M2>=M1 devo scegliere r (cioè la posizione del peso rispetto al cardine

della porta) opportunatamente:

cmm 51 0.510.7685

500r

F

FrFrrF:se,MM 1

peso

1peso12

Quindi, se il peso si trova a 51 cm dal cardine o più lontano, la persona non riesce a ruotare la

porta.

Se il peso si trova ad una distanza inferiore, la forza esercitata dalla persona è sufficiente ad

aprire la porta.

Forza esercitata dal peso:

FORZE CENTRALI:

Una forza è detta centrale di centro O se è sempre diretta come la congiungente r tra un punto

materiale P, che si muove nello spazio sotto l'azione della forza, e il centro fisso O.

In un campo di forze centrali, il momento di una forza rispetto al polo O è ovunque nullo, dato

che il vettore posizione r e il vettore forza F sono tra loro paralleli, dunque

r rFF

r

F

r

F

00sinrFFrM

F//r

Forze centrali

0dt

dM

si conserva

Esercizio2:

Il momento angolare di un satellite:

1)è proporzionale all'area dell'orbita

2)è proporzionale alla velocità areolare

3)è nullo

4)è proporzionale al periodo dell'orbita

Un satellite è sottoposto ad una forza centrale, la forza gravitazionale, che lo fa ruotare su un’orbita

circola che giace su un piano.

Infatti le forze centrali conservano il momento angolare in quanto:

F//r e quindi il loro momento delle forze è nullo. Se si conserva il momento angolare L che è pari a:

dt

dA2mωr

2

12mωr mr ω m rrmvL

costanteprL

22

0 centraliext FrM

Dove: è la velocità areolare:

Esercizio1:

Nel moto di un corpo soggetto a una forza centrale il momento angolare:

1)si conserva sempre

2)si conserva solo se la forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal centro

3)si conserva solo se la forza è inversamente proporzionale al cubo della distanza dal centro

4)si conserva solo se la forza è proporzionale al quadrato della distanza

Le forze centrali conservano il momento angolare in quanto:

F//r e quindi il loro momento della forza M è nullo.

00

0

sinrFM

FrM

centraliext

centraliext

costanteLdt

LdM ext

0Ma il momento della forza M è dato

dalla variazione del momento angolare

2ω2

1r

dt

dA

Esercizio3:

Una bilancia a stantera (vedi figura) di massa trascurabile ha la massa scorrevole (m) di 500g, il

braccio del piatto (a) di 40 cm. Quando una certa massa M è posta sul piatto, l’equilibrio richiede che

la massa m venga posta a 20 cm dal punto di sospensione. Quanto segna la bilancia?

Equilibrio 0MMM Mmext

g 25040

20g 500

a

bmM0aMgbmgMMM Mm

Esercizio4:

Se la risultante delle forze esterne di un sistema di punti materiali è diversa da zero ed ha momento

diverso da zero, quali delle seguenti affermazioni non corrisponde alla verità:

1)il centro di massa del sistema si muove con accelerazione vettoriale non nulla.

2)il momento angolare totale del sistema non si conserva.

3)la quantità di moto totale ed il momento angolare si conservano.

4)la quantità di moto totale del sistema varia nel tempo

Fext≠0, Mext≠0 => M=dL/dt≠0

Il centro di massa si muove con accelerazione: acm=Fext/mtot

Fext= dP/dt≠0

La 1) è vera

La 2) è vera

La 4) è vera e la 3) è falsa

Il momento della forza peso di m e quello della forza peso

di M hanno versi opposti in quanto tendono a far ruotare

l’asta della bilancia in verso opposto (il peso m tende a far

ruotare l’asta in senso antiorario, il peso M tende a farla

ruotare in senso orario) Segni opposti

Esercizio5:

Una bilancia, per difetto di fabbricazione, ha un braccio leggermente più lungo dell’altro: d1 = 10.0 cm e

d2 = 10.1 cm. Se la bilancia è in equilibrio quando sul piatto appeso a d1 vi sono pesetti per 50.0 g, qual

è in realtà la massa sul piatto appeso a d2?

d1 d2

All’equilibrio i momenti delle forze applicate in A e B

Si annullano:

A B

g 549 050110

010

0

12

1222112211

21

.g..

.m

d

dmgdmgdmdFdF

MM

g 5.49m2

Esercizio1:

Su una piccola superficie posta all’interno di un fluido la pressione:

1)dipende solo dall’area della superficie

2)dipende solo dall’orientazione della superficie

3)dipende sia dall’area che dalla orientazione della superficie

٧4)non dipende nè dall’area nè dalla orientazione della superficie

)z(z gρ)P(zP(z) 00 Legge di stavino:

La legge di stavino esprime la pressione che un liquido esercita sul fondo di un recipiente in funzione

della densità del liquido, dell'accelerazione di gravità e dell'altezza del liquido.

Esercizio2:

Quale è la forza esercitata dall’ aria sul pavimento di una stanza di 12 m2

(Pressione atmosferica=1.01·105 N/m2 )?

1.2·106 Pa

1.2·106 N

1.2·106 kg

1.2·105 N

F=P·S= 1.01·105 N/m2 ∙ 12 m2 =12·105N= 1.2·106 N

La pressione risulta essere direttamente proporzionale alla densità ed all'altezza del liquido e non dipende

in alcun modo né dalla forma del recipiente né dalla sua sezione.

Osservando la formula, notiamo che la pressione non dipende dalla superficie della base del recipiente.

Questo significa che uguali colonne di liquido di superficie diversa, esercitano sul fondo la stessa

pressione!!

Del resto la pressione e definita come P=F/S forze per unità di superficie!

Se poi sul liquido agisce qualche altra pressione, per la legge di Pascal, essa deve essere sommata alla

pressione del liquido. Spesso, nei casi particolari, sul liquido agisce la pressione atmosferica.

FLUIDI

dS

dFP S

Proprio per come è definita la

pressione non dipende dall’area

della superficie nè dalla sua

orientazione.

Esercizio3:

Due canne di sezioni A1=2.5 cm2 e A2=5 cm2 sono riempite di mercurio fino all’altezza di h1=10 cm e

h2 =20 cm, rispettivamente. Il rapporto tra le differenze di pressione rispetto a quella atmosferica (p1-

p0)/(p2-p0) esercitate sulle basi delle canne è:

1)4

2)2

٧3)1/2

4)1/4 h1

h2 2

1

20

10

h

h

PP

PP

ρ ghPP

ρ ghPP

2

1

02

01

merc202

merc101

Esercizio4:

Un corpo galleggia sulla superficie di un fluido avendo ¾ del suo volume sommerso. La densità del corpo,

rispetto a quella del fluido è:

1)1/2

2)4/3

٧3)3/4

4)1/4

Principio di Archimede: la forza esercitata dal fluido sul corpo è pari al peso del

fluido spostato

zFFF ArcVrisˆ Vρρg corpofluido

fluidocorpo

V4

3

spostato fluidofluidocorpocorpo

spostato fluidofluidocorpocorpo

ρ43ρVρ gVρ g

Vgρ Vgρ

corpo

zFzF ArcV

Esercizio5:

Un tubo ad U contenente mercurio è in collegamento con un recipiente di gas ad un estremo e con

l’atmosfera all’atro estremo. Se nel tubo ad U il livello del mercurio è più alto nel ramo aperto

all’atmosfera, la pressione all’interno del recipiente è:

٧1)maggiore della pressione atmosferica

2)minore della pressione atmosferica

3)pari alla pressione atmosferica

4)nulla

gas

h1

h2

h1

Principio di pascal+ stevino

)z(z gρ)P(zP(z) 00 Legge di stevino

ρΔh gPPP

)hρ(h gP)P(h ariagas

gas

12aria

1

0h Δ Quindi Pgas>Paria

PASCAL: la pressione esercitata sulla superficie di

un fluido si trasmette inalterata su tutte le superfici

a contatto con il fluido

Esercizio6:

Per alzare in aria un corpo di 50 kg occorre sospenderlo ad un pallone pieno di elio (he= 0.18 kg/m3

aria= 1.3 kg/m3 ) del volume di:

1)39 m3

2)3.9 m3

٧3)45 m3

4)4.5 m3

Principio di Archimede:

la forza esercitata dal fluido sul corpo è pari al peso del

fluido spostato

Nel nostro caso la forza che ci porta su è la spinta di archimede che l’aria esercita sul pallone di

elio+nostro corpo.

Talle forza deve vincere la forza peso generata dal peso del nostro corpo+peso del volume di

elio.

Trascuriamo il peso dell’elio nel conto del peso totale ed il nostro volume nel conto

complessivo

zFFF ArcVris Vρρg corpofluido

33

3mm

Kg/m

Kg 45 6.44

0.181.3

50

ρρ

MV

MρρVVgρFVgρMgF

elioaria

elioariaariaseliov

Equazione di Continuità Tubo di sezione variabile

La quantità di fluido che entra da un’estremità del tubo è uguale alla quantità di fluido che esce

nello stesso intervallo di tempo.

Per un fluido ideale e stazionario che scorre in tubo di sezione variabile si conserva la massa e la

densità è costante quindi, se DV1 e DV2 sono i volumi della quantità di liquido che entra nella sezione

A1 ed in quella A2 nell’intervallo di tempo Dt, si ha:

2222222222

1111111111

22

11

222

111

ΔtvAρΔxAρΔVρΔm

ΔtvAρΔxAρΔVρΔm

ΔtvΔx

ΔtvΔx dove

ΔxAΔV

ΔxAΔV

2121 ρρ e ΔmΔm

2211222111 vAvAΔtvAρΔtvAρ

2211 vAvA

La quantità P=A·v è definita Portata (volumetrica) del fluido che transita

attraverso la superficie A con una velocità v. Le dimensioni della portata (volumetrica) sono [P]=[L]3[T]-1

Equazione di continuità

Se un fluido scorre da un condotto largo ad uno stretto: il modulo della

velocità nel tubo stretto è maggiore che nel tubo largo

ESEMPIO:

Stringendo il tubo dell’acqua riduciamo la

sezione di uscita dell’acqua ed aumentiamo la

velocità del flusso

Applicazione dell’equazione di continuità

Esercizio1:

Per un fluido ideale che scorre in un condotto, quando il raggio della sezione raddoppia, a parità di altre

condizioni, la portata:

1)diminuisce di un fattore ½

2)aumenta di un fattore 4

٧3)non varia

4)diminuisce di un fattore 4

Portata: Av

2211 vAvA Per un fluido ideale però vale l’equazione di continuità:

Se raddopia il raggio della sezione, la sezione A=pR2, quadruplica: i

222ff

2i

A4ππ2RππRA

πRA

Quindi la portata non varia. Ciò che varia è la velocità del fluido che, affinchè la portata non vari

diventa quattro volte più piccola.

L’equazione di continuità ci dece infatti che per un fluido ideale se la sezione aumenta la velocità

diminuisce

Esercizio2:

La portata di un fluido attraverso un condotto ha equazione dimensionale:

1)[P]= L0M1T1

٧2)[P]= L3M0T-1

3)[P]= L3M0T1

4)[P]= L1M0T-1

1312TLTLLPAvP

Esercizio3:

Per un fluido ideale che scorre in un condotto, quando il raggio raddoppia a parità di altre condizioni,

la portata:

dimezza

raddoppia

٧non cambia

diventa pari ad un quarto

Esercizio3:

Quale di queste unità è associata alla portata di un fluido?

1)N/m

2)Kg/s

٧3)m3/s

4)m/s

LA PRESSIONE di un fluido in movimento

attraverso un tubo di sezione variabile VARIA

Il lavoro compiuto dalle forze di pressione è dato da:

Spinge

il fluido

Si oppone al

moto del

fluido

Il lavoro della forza peso è dato da:

Il lavoro netto compiuto dal sistema è: L=Lp+Lg=DW (variazione di energia cinetica)

Conservazione

dell’energia meccanica

per un fluido ideale

In una linea di corrente è costante la somma di Pressione (p), energia cinetica per unità di volume

(1/2 v2) ed energia potenziale gravitazionale per unità di volume (gh)

Teorema di Bernoulli

Teorema di Bernoulli

Lungo una linea di flusso orizzontale se aumen ta la velocità

Diminuisce la pressione

Linee di flusso vicine:

Alta velocità bassa pressione

Esempi di applicazione del teorema di Bernoulli

Esempio numerico: A2= 1.2 cm2, A1=0.35 cm2, h=45 mm.

Qual’è il flusso dell’acqua che esce dal rubinetto?

121

22

221

22

21

21

22

22

22

222

1

22

2

1

212211

22

21

AAA

gh2v

AA

ghA2

1A

A

gh2v

vvA

A

2

1gh

vA

AvvAvA

vv2

1gh

scmscm

scm

28.6100.3532.1

8829

0.350.351.2

4.59812v

2

222

scmscmscm 333 3428.61.228.61.2vAP 22

Esercizio2:

Una pompa immette acqua in un condotto alla pressione p e a velocità v. E’ vero che:

٧1)se la sezione del condotto è costante la pressione dell’acqua si riduce con la quota

2)la velocità dell’acqua nel condotto non dipende dalla sezione del condotto

3)la pressione p rimane costante in tutti i punti del condotto, indipendentemente dalla sezione e dalla

quota del condotto

4)Pressione e velocità dell’acqua rimangono costanti in tutti i punti del condotto, indipendentemente dalla

quota

costgy ρ vρ2

1p 2

Poichè la portata è costante, se la sezione del tubo non varia: v1=v2

bernoulli

Avrempo quindi che:

1221

2112

22

212

1

ppyy se

)y-g(y ρΔppp

gy ρ vρ2

1pgy ρ vρ

2

1p

se la sezione del condotto è costante la pressione dell’acqua si riduce con la quota,

quindi è giusta la 1)

Poichè la portata A·v è costante, se la sezione del tubo varia, varia la velocità dell’acqua=> La 2

non è giusta.

Dall’equazione di bernoulli, si ha che se varia la sezione (e quindi la velocità del fluido) o la quota,

affinchè la somma

resti costante, la pressione deve poter cambiare.

La 3 non è giusta. Per la stessa legge anche la 4 non è giusta

gy ρ vρ2

1p 2

Esercizio1:

Quale di queste unità è associata all’equazione di Bernoulli?

1)N/m

2)Ns/m

٧3)J/m3

4)J

La legge di bernoulli contiene pressioni ed energie per unità di volume. L’energia ha come unità di

misura il joule, quindi l’unità associata a tale legge è J/m3

Esercizio3:

Se un’arteria si trova a 30 cm sotto il cuore, per effetto della gravità la pressione in quell’arteria risulta,

rispetto alla pressione cardiaca:

1)identica

٧2)più grande

3)più piccola

4)dati non sufficienti per il calcolo

costgy ρ vρ2

1p 2

cuoreartartcuorecuoreart

cuore2

cuoreart2

art

pp030cmg ρy-yg ρpp

gy ρ vρ2

1pgy ρ vρ

2

1p

Esercizio4:

In un condotto scorre acqua, considerata come un fluido ideale, in regime stazionario. Se la sezione del

condotto si dimezza e la quota del condotto aumenta, per il teorema di Bernulli la pressione al suo

interno:

٧1)diminuisce

2)aumenta

3)rimane invariata

4)non abbiamo dati sufficienti per rispondere

1221

0

122121

12

vAvA

12

12

1222

22122221

21

ppppy-yg ρ vρ2

3pp

2vv2AA

yy

y-yg ρv- vρ2

1ppgy ρ vρ

2

1pgy ρ vρ

2

1p

2211

11

La pressione diminuisce

Esercizio5:

Quali delle seguenti ipotesi non è utilizzata per poter applicare il teorema di Bernoulli ?

1)fluido incompressibile

2)moto stazionario

3)viscosità nulla

٧4)moto laminare

Per poter applicare la legge di bernoulli si fanno le suenti assunzioni:

1) Densità costante => il fluido deve essere incompressibile

2) La velocità in ogni punto delle linee di corrente deve essere costante nel tempo

=> moto stazionario

3) Gli unici lavori devono essere quelli di pressione e di gravità=> assenza di attriti interni

=> viscosità nulla

In fluidodinamica si parla di flusso laminare o di regime laminare quando il moto del fluido avviene con

scorrimento di strati infinitesimi gli uni sugli altri senza alcun tipo di rimescolamento di fluido, neanche su

scala microscopica.Il flusso è governato dalle forze viscose ed è costante nel tempo.

Esercizio6:

Indicando con A1 ed A2 (A1>A2) due sezioni di un condotto percorso da un fluido ideale, con v1 e v2 le

velocità con cui il liquido attraversa le due sezioni, con p1 e p2 le pressioni nelle due sezioni ed infine

con h1 ed h2 (h1<h2) le altezze delle due sezioni, risulta:

٧1) v1<v2 e p1 > p2

2) v1<v2 e p1 < p2

3) v1>v2 e p1 > p2

4) v1>v2 e p1 <p2

21

0

12

0

22221

21

vAvA

21

21

pph-hg ρv- vρ2

1pp

vvAA

hh

1

2211