Corpo rigido.

Solido ideale indeformabile. Sistema di punti materiali, le cui posizioni reciproche

rimangono immutate. E’ un’approssimazione, come già il concetto di punto materiale.

Le forze interne hanno l’unico compito di garantire la rigidità:

non fanno lavoro e non saranno considerate.

costBC

costAC

cost

AB

cost

222

22

ABACABAC

ABACBC

A

B C

costC

costB

cost A

distanze e angoli costanti

In quanto sistema di punti materiali, valgono

per esso le equazioni generali:

(E)TOT

E

cmTOT

Mdt

Ld

Ram

)(

Le forze interne non compiono lavoro:

KEXTTOT EWW

Mdt

Ld

Ram cm

Corpo rigido. Descrizione del moto

Un corpo rigido ha 6 gradi di libertà

O

Qr

Pr

Q

P

Pr

per ogni sistema

di punti materiali:

Definiscono completamente il moto di un Corpo Rigido

Mdt

Ld

Ram cm

6 equazioni indipendenti ...

la posizione di un corpo rigido è determinata quando

sono fissati 3 punti. Considerando che le distanze fra

i punti sono costanti

3 parametri per il 1° punto

2 parametri per il 2°

1 parametro per il 3° punto

Equazioni del moto del corpo rigido

Corpo rigido. Descrizione del moto

O

Qr

Pr

Q

P

Pr

QPrr QP

derivando

con

QPdt

QPd

rotazione di P intorno a Q

Il moto più generale di un corpo rigido

è una rototraslazione

è la stessa per tutti i punti del corpo rigido

In generale conviene prendere Q

costQPQP

coincidente col c.d.m.

oppure

sull’asse di rotazione, se questo è fisso.

QPvv QP ω

rotazione traslazione

P può solo ruotare rispetto a Q

Corpo rigido. Descrizione del moto

Equazioni del moto

di un corpo rigido

Mdt

Ld

Ram cm

Pura traslazione

tutto si riassume nel moto del cdm

cmamR

Pura rotazione

con asse fisso

Mdt

Ld

La dinamica si riduce a:

se si calcolano i momenti rispetto

ad un polo sull’asse di rotazione.

Rototraslazione

k

kk

TOT

cm rmm

r 1

dVrρm

rcm 1

Centro di massa di un sistema continuo

dVrdmrrm

dV

Corpi continui

I corpi estesi sono spesso considerati continui. Ciò va inteso in senso macroscopico

(volumi “infinitesimi” macroscopicamente, ma grandi dal punto di vista atomico).

E’ utile definire la massa per unità di volume (densità volumica o densità):

dS

dmS densità superficiale:

2dim

m

kgS

d

dmL densità lineare:

m

kgL dim

Corpo omogeneo: è uniforme. In tal caso:

3

dimm

kg

dV

dm densità in genere zyx ,,

V

dVm

Vm

V

cm VrV

r d1

se il corpo è omogeneo:

Centro di massa e simmetria

• nei punti di simmetria

• lungo gli assi di simmetria

• sui piani di simmetria

Se il sistema possiede una simmetria, il calcolo di rcm si semplifica perché esso giace

baricentro di un triangolo

Centro di massa di sistemi composti.

21

2211

mm

rmrmr cm,cm,

cm

dove si trova il baricentro?

cdm-1 cdm-2

Equilibrio di un corpo rigido.

metodo per determinare la posizione del c.d.m. di un sistema arbitrario.

in equilibrio non solo

c.d.g

0

0

M

R

T

gm

mgT

le due forze hanno la stessa retta d’azione

Equilibrio di un corpo rigido.

gm

TVR

02

sin

0

0

mgT

mgTR

TR

YVY

XVX

0

0

11212

21

gdmddN

mgNN

2211

2211 0

bmbm

gbmgbm

O

gm

1N

2N

d1 d2

O

gm

1gm

2

b1 b2

O

gm

gm

1N

2N

1N

2N

equilibrio impossibile equilibrio stabile

equilibrio su una superficie

orizzontale piana

Equilibrio di un corpo rigido.

Che lavoro si deve fare

per ribaltare questo blocco?

diverse posture garantiscono che il

c.d.m. cada entro il perimetro di base

Rotazione di un Corpo Rigido intorno ad un asse fisso (asse z)

Momento angolare

In generale L NON E’ parallelo all’asse di rotazione (cioè ad

sin2rdmdmrvdL sinrRv

in questo caso si scelga un polo O sull’asse di rotazione

VV

dVvrdmvrL

O

z

R

Ld

r

dm

Ld

O

L

z

in tal caso è necessario un momento

per mantenere il corpo in rotazione 0dt

LdM

L è parallelo ad se l’asse di rotazione è un asse principale d’inerzia

tuttavia si dimostra che ogni sistema possiede

(almeno) 3 assi ortogonali fra loro (assi principali

d’inerzia) tali che:

O

dm

z

dm’

Ld

Ld r

r

Polo O sull’asse si simmetria

Rotazione di un Corpo Rigido intorno ad un asse fisso (asse z)

Momento angolare

il momento angolare è parallelo all’asse di

rotazione se il corpo rigido è simmetrico

rispetto ad esso

[si suppone che non ci senza attrito sull’asse di rotazione (albero)] b

F

F

un momento ortogonale all’asse non ha effetto sul moto

dt

dLM Z

Z basta la componente z (lungo l’asse):

Se l’asse di rotazione è fisso c’è un solo grado di libertà: il problema si semplifica

Rotazione di un Corpo Rigido intorno ad un asse fisso (asse z)

2

, kkZk RmL Caso discreto: la massa mk a distanza Rk dall’asse contribuisce

Z

k

kkZ IRmL

2 momento d’inerzia del corpo

rigido rispetto all’asse di

rotazione z

Rotazione di un corpo rigido. Momento d’inerzia.

dVyxIZ 22

distanza dall’asse

123 2mkgI grandezza scalare

ZZ IL dove

K

kkZ RmI 2

dVRdmRIZ

22

(sistema discreto)

(sistema discreto)

momento d’inerzia

del corpo rigido rispetto

all’asse di rotazione Z

Se l’asse di rotazione coincide con un asse di simmetria ( più in

generale un asse principale d’inerzia) vale anche la relazione

vettoriale:

ZIL

Rotazione di un corpo rigido intorno ad un asse fisso (z)

Il Teorema del Momento Angolare assume la forma:

ZZ IM

IZ è costante perché il corpo è rigido e l’asse di rotazione è fisso

Equazione del moto di rotazione (intorno all’asse fisso z)

Analogia con la 2a L. Newton

dt

dIM ZZ

2mdIZ d m

z

punto materiale a distanza d dall’asse

Alcuni momenti d’inerzia.

2

12

mIZ

sbarra di massa m, lunghezza ,

risp. asse ortogonale passante per il cdm:

Anello, rispetto

al proprio asse.

2mRI Z

2

2R

mI Z

Cerchio, rispetto

al proprio asse.

Sfera piena risp. ad un asse.

2

5

2mRI Z

Momenti d’inerzia di alcuni solidi omogenei

R

Cilindro, rispetto

al proprio asse.

2

2R

mI Z

rispetto ad un asse passante per il c.d.m.

Guscio sferico.

2

3

2mRIZ

R

R

h

Dipendenza del momento d’inerzia dall’asse di rotazione

dVRρamaI

dVRaaRρ

dVRρI

V

CM

V

V

Z

2

2

2

22

2

0CM'Rm

2maII CM

123

Caso di assi paralleli

Teorema di Huygens-Steiner

22

124h

mR

mIZ

z z’

a

cdm

aRR

O

O’=cdm

R

R

a

b

c

a

22

12ba

mIZ

Altre proprietà del momento d’inerzia

Sistema composto

BA

BA

VV

VV

Z

dVRdVR

dVRI

22

2

A B

BZAZZ III

Esempio: il sistema in figura ruota rispetto ad un asse ortogonale al piano del disegno,

passante per il cdm della sbarretta lunga.Calcolare il momento d’inerzia.

m1, 1

m2, 2 m3, R

Rd 2

23

2

2

2

11

22

d 2

33,3,2211,1 dmIIdmII CMCMCM

asse di rotazione

2

11

12

m2

22

12

m 2

35

2Rm

il momento d’inerzia è additivo (purché ...)

Esempi di rotazione di un corpo rigido. (con asse fisso)

mg

T

T

mgmRI

IT

gmRI

mRa

aR

Tmgma

TRI

2

2

2

Ra

Rv

Rs

Sbarra di massa m e lunghezza , inizialmente in quiete in posizione

orizzontale, è vincolata a ruotare intorno al perno O. Calcolare

• l’accelerazione angolare della sbarra appena rilasciata

• la reazione vincolare in quell’istante mg

RV

O

00 MI 2

03

m

I 2

0

mgM con e

g

2

3

CMV amgmR

CMV mamgR 4

mgRV

Esempi di rotazione di un corpo rigido con asse fisso

«Pendolo composto»

I

mgh

dt

d

I

mgh

dt

d

mghdt

dI

2

2

2

2

sin

sin

mgh

IT 2

2

per piccoli angoli ...

piccole oscillazioni di un

ZZ MI

moto armonico

mh

Icon «lunghezza ridotta del pendolo composto»

hhhmh

IC

gT

2

mg

O

C

h

O’ h’

hmhIC stesso periodo intorno ad O’

sinmghM Z con

2

2k

k

kK v

mE

2

2

1ZK IE

Energia Cinetica di un corpo rigido che ruota intorno ad un asse fisso

Energia cinetica

z

Asse di rotazione

Considerando per semplicità un sistema discreto:

222

2

1

2

k

kkk

k

kK RmR

mE

essendo rigido:

ZImomento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione

In questa formula non compare il moto del cdm. Come mai?

kk Rv

cmvd

Energia Cinetica di un corpo rigido che ruota intorno ad un asse fisso

KKcmK EEE

222

2

1

2

1 mdIIE cmZK

L’equivalenza delle due espressioni è confermata dal Teorema di Huygens-Steiner:

per il teorema di König dell’Energia cinetica

22

2

1

2cmcmK Iv

mE

è un’altra espressione dell’energia cinetica.

tenendo conto che

z z’

d cdm

Asse di rotazione

Energia potenziale di un corpo rigido (forza peso)

Le forze peso che agiscono sulle singole parti di un corpo rigido sono equivalenti alla

forza peso totale applicata nel centro di massa.

L’energia potenziale della forza peso dipende solo dalla posizione del centro di massa.

cmP mgyE

come per ogni sistema di punti materiali, inoltre:

Teorema dell’energia cinetica: KTOT EW

Teorema di conservazione dell’energia meccanica

se tutte le forze sono conservative: costEEE PKM

in presenza di forze non conservative: MNC EW

(l’unica particolarità è che nel corpo rigido le forze interne non fanno lavoro)

Moto di puro rotolamento

s

R

Ra

Rv

Rs

moto di rototraslazione in cui il punto di contatto P

ha velocità nulla rispetto alla superficie d’appoggio

OAωvv OA

centro istantaneo

di rotazione

PAωvv PA

P

O A

vA

R

v0

pura rotazione istantanea

intorno a P

In P agiscono le forze di contatto N e fS (attrito statico se il moto è di puro rotolamento).

PAωvA

rotazione + traslazione

12

3

due modi

di vedere

il moto

ωRvO

Dinamica del rotolamento

1° caso) F forza esterna applicata nel cdm

rotazione rispetto al cdm O

RI

mgN

maF

S

S

f

0

f

0

con Ra

mgN

mRI

IF

mRI

FRa

S 2

0

0

2

0

2

f

Condizione di rotolamento

mgN SSS f

rotazione rispetto a P

fS

F

N mg

P

O

S

Nota 1: fS > 0: l’attrito ha lo stesso verso del disegno

(opposto ad F). Non è sempre così. A volte favorisce

il moto di traslazione (v. prossimo esempio)

Nota 2: se F=0 allora fS=0

FRI

mgN

maF

P

S

0

f

con 2mRII OP

Teor. moto cdm

su un piano orizzontale il rotolamento non si

fermerebbe mai (ma c’è l’attrito volvente).

0

2

0

I

mRImgF S

Dinamica del rotolamento

fS

F

N mg

P

O

FRI

mgN

maF

P

S

2

0

f

con Ra

PI

FRa

22

fS è concorde con F: in assenza di attrito l’accelerazione sarebbe minore

caso 3) Momento M (coppia) sull’asse del corpo rigido.

MI

mgN

ma

P

S

0

f

fS

N mg

P

O M

0f MI

mR

MI

Ra

P

S

P

l’accelerazione del c.d.m. è causata proprio da fS

02

f2

0

2

0

2

mRI

mRIF

I

ImRF

P

PS

caso 2) Forza F applicata sul bordo esterno

Rotolamento. Attrito volvente (cenni)

N mg

P

O v cost0f0 vF S

In realtà, però, la sfera si ferma.

Esiste un attrito volvente o di rotolamento.

piano orizzontale Si può schematizzare come un momento che si oppone al moto:

hNMV Reazione normale

Coefficiente di attrito volvente.

Ha le dimensioni di una lunghezza.

R

v

h

N

O fV

Interpretazione: a causa della deformazione della superficie di contatto

è come se il punto di applicazione di N fosse spostato, con braccio h.

se

In modo equivalente, si può pensare ad una forza di attrito volvente

(fV) orizzontale, applicata al centro della ruota, di momento (risp. a P):

hNRV f NVV fovvero

Lavoro della forza di attrito statico nel puro rotolamento

FRIP

AFK dWdWdE

dtIdtIdE PPK

solo F fa lavoro

F

fS P

O

22

022

1v

mIEK

2

2

1PK IE

FK dWFvdtdtFRdE

mavdtdtIdEK 0

S

S

Fma

RI

f

f0

In alternativa

0ff dRdsdW SSA

Lavoro di

rotazione

Lavoro di

traslazione

da cui

L’ attrito statico converte energia cinetica dal moto di rotazione a quello di traslazione (o viceversa)

0AdW

Leggi di conservazione con il corpo rigido. Momento angolare

rispetto ad un polo fisso, o coincidente con il c.d.m.

essendo M il momento risultante Mdt

Ld

se M=0 (ad es. se il sistema è isolato) il momento angolare è costante.

zz M

dt

dLse il sistema ha un asse di rotazione fisso (Z)

se MZ=0 la componente Z del momento angolare (LZ) è costante.

m1

R

velocità finale (dopo l’urto)?

Teorema del momento angolare Formulazione integrale

dtFrLΔ Se il punto di applicazione della forza non si sposta

nell’intervallo t di applicazione ... (forza impulsiva)

dtMLLLΔ if

Impulso del momento

JrdtFrLΔ

JrLΔ

Teorema del momento dell’impulso Momento dell’impulso

dtMΔL zz zz JrΔL

Se il sistema ruota intorno ad un asse fisso Z:

JrLΔ

JdΔLz

O

J

d

zz IΔL

Teorema del momento angolare. Formulazione integrale

calcolando i momenti rispetto ad O (sull’asse di rotazione)

dal teorema del moto del c.d.m.

EXTicmfcm Jvvm

,,con

2,

ffcmv

VEXT JJJ

calcolare f e

VJ

mostrare che JV=0 se 3

2d

inizio fine

Scatola nera.

Alcune quantità possono conservarsi

dipende dalle forze coinvolte

m1 m2 non

interagiscono

m1 m2 non

interagiscono

Schema di urto

Interazione

m1

m2 m1

m2 1v

2v

1v 2v

costTOTp

costTOTL

costKE

Anche senza conoscere i dettagli, i

principi di conservazione pongono

limitazioni allo stato finale.

Nei casi più semplici sono sufficienti

per determinare lo stato finale

Se non ci sono forze esterne impulsive

Se non ci sono forze esterne impulsive

o se il loro momento è nullo (risp. al polo

prescelto)

Se le forze (impulsive) sono conservative

Urti in cui è coinvolto almeno un corpo rigido

Il criterio per l’applicazione dei principi di conservazione non cambia.

Energia cinetica si conserva se l’urto è elastico (forze conservative)

Quantità di moto

le forze esterne non sono impulsive per cui J(E)=0 nel tempuscolo t

(Attenzione: in presenza di vincoli dobbiamo aspettarci reazioni vincolari impulsive!)

(E)

Δtt

t

(E) JdtRpΔ

le forze esterne sono nulle (sistema isolato) R(E)=0

p si conserva nell’urto se J(E)=0

Ciò avviene se:

Momento angolare

le forze esterne sono nulle (sistema isolato) per cui M(E)=0

le forze esterne non sono impulsive per cui J(E)=0 12

3

rispetto ad ogni polo

(E)

Δtt

t

(E) JrdtMLΔ

L si conserva nell’urto se rxJ(E)=0

le forze esterne sono impulsive (es. vincoli) ma rxJ(E)=0 rispetto ad un polo opportuno

(in particolare, in presenza di vincoli, potrebbe conservarsi rispetto al vincolo stesso)

Ciò avviene se:

Esempio 1. Asta di massa M e lunghezza in quiete su un piano orizzontale liscio, colpita da un

“punto” di massa m e velocità v che vi resta attaccato.

Urto totalmente inelastico

p si conserva

L si conserva rispetto ad ogni polo

Sistema isolato. Quindi:

Urto inelastico: EK non si conserva.

CM asta CM asta + punto

all’impatto

m

v O a

b

La soluzione è piuttosto complicata, ma si ottiene a partire

dai due principi di conservazione

Esempio 2. Urto totalmente inelastico

Asta di massa M e lunghezza , sospesa all’estremo O e vincolata a ruotare senza attrito intorno al

punto di sospensione

Urto inelastico: EK non si conserva.

Presenza di vincoli: forze esterne (vincolari) impulsive.

Non si conserva p

A causa delle reazioni vincolari impulsive ivi applicate,

L si conserva ma solo rispetto ad O.

m v

O

OImv

2mII AOO

momento angolare

iniziale

momento angolare

finale

con

Trovato si può calcolare l’impulso esercitato dal vincolo durante l’urto. ifV ppJ

Poiché tutti i vettori hanno la stessa direzione ifV ppJ

CMCMTOTf

i

rmMvmp

mvp

)(

dove

e mM

MmrCM

2

Esempio 3. Urto elastico

Asta di massa M e lunghezza l, sospesa all’estremo O e vincolata a

ruotare senza attrito intorno al punto di sospensione.

Urto elastico: EK si conserva.

Presenza di vincoli: forze esterne (vincolari) impulsive.

Non si conserva p

A causa delle reazioni vincolari impulsive ivi applicate,

L si conserva solo rispetto ad O. m

v

O

vmImv

Iv

mv

m

0

2022

222

m v’

O

cons. energia cinetica

cons. momento angolare

L iniziale L finale

JV

Risolto il problema del moto dopo l’urto, si può calcolare JV

(impulso delle forze vincolari).

mvMvmppJ if

E

2

)(