1CAPITOLO 1

'LQDPLFDGHOFRUSRULJLGR

6LVWHPLILVLFLHPRGHOOLPDWHPDWLFLPer condurre lo studio del comportamento di un qualsiasi sistema fisico,

necessario per una sua corretta progettazione e dimensionamento, sono possibili duevie: una puramente sperimentale, che consiste nella misura diretta delle proprietfisiche che si desidera conoscere eventualmente applicando correzioni e reiterandogli esperimenti fino allottenimento del risultato voluto, e laltra teorica, basata sullasoluzione con opportuni algoritmi di modelli matematici. Questi ultimi sono basatisulla descrizione e caratterizzazione del sistema fisico in un appropriato modellofisico e possono assumere gradi di complessit diversi in funzione delle ipotesisemplificative che vengono adottate, ma comunque, nel caso si voglia studiare ladinamica del sistema fisico, sono sempre costituiti da sistemi di equazionidifferenziali in grado di rappresentare il cambiamento nel tempo delle proprietfisiche che caratterizzano il sistema.

Per analisi dinamica di un sistema fisico sintende linsieme di operazioni chedallidentificazione del sistema fisico portano alla creazione del suo modellomatematico e alla sua successiva soluzione. Con il termine di sintesi dinamica siintende, invece, la successiva indagine che pu essere condotta variando i valori dialcune propriet del modello fisico affinch alcuni parametri del sistema assumanovalori prefissati.

In funzione del fenomeno principale che governa il sistema fisico riconosceremosistemi meccanici, sistemi termici, sistemi idraulici, sistemi elettrici, sistemielettronici ecc. e in generale si potr vedere che i sistemi reali sono composti da pisottosistemi di natura diversa tra loro interconnessi, come il caso del sistema dicontrollo di rotta per missili schematizzato nella figura 1.

Nel caso in oggetto, il cambiamento di rotta del missile viene ottenuto variandola direzione di spinta del motore razzo attraverso un attuatore idraulico che azionatoda una servovalvola azionata da un motore elettrico di coppia pilotato da uncontrollore, sempre pi spesso di tipo digitale, utilizzando cio un microprocessore alquale giungono tanto le informazioni sulla nuova rotta via radio oppure da una

2traiettoria precostituita, quanto quelle sulla posizione del razzo attraverso le misure diopportuni accelerometri, giroscopi, GPS, ecc.

accelerometro giroscopio

computer pilotaautomatico

radioricevente

attuatore idraulico

fusoliera razzo

valvola

motore razzo

trasduttore di posizione

)LJXUD0RGHOORILVLFRGLXQVLWHPDGLJXLGDSHUUD]]L

Il corso di Dinamica dei sistemi aerospaziali ha principalmente per oggetto lostudio della dinamica dei sistemi meccanici e delle macchine in particolare, ove permacchina sintende quel particolare sistema atto sia a trasformare energie di formediverse in energia meccanica, sia a utilizzare i vari tipi di energia per realizzare unafunzione come negli aeromobili che costituiscono loggetto principale del corso distudi in Ingegneria Aerospaziale.

I modelli matematici ai quali perverremo si traducono, come detto, in una seriedi equazioni differenziali, dette anche equazioni di moto, che legano le azioniagenti sul sistema reale al suo moto.

, VLVWHPLPHFFDQLFLNel corso di Meccanica Razionale si sono studiati i metodi per condurre lanalisi

cinematica e dinamica di un punto materiale e di un corpo rigido, spesso elementi dibase di sistemi meccanici pi complessi. Qualsiasi sistema meccanico reale pu,infatti, essere schematizzato come un sistema fisico ideale formato dallinsieme dipunti materiali e di corpi rigidi, tra loro connessi da opportuni vincoli, al fine direalizzare lo scopo per il quale si realizzata la macchina.

3 *UDGLGLOLEHUWjLanalisi dinamica dei sistemi reali necessita della conoscenza del numero di

gradi di libert posseduti dagli stessi ovvero le possibilit di moto libere e noncondizionate dai vincoli. Al fine di definire lo stato di un sistema infatti necessarioidentificare un numero di parametri, pari ai gradi di libert, che possono variareindipendentemente: tali parametri vengono definiti variabili indipendenti.

Il corso di Meccanica Razionale ha messo in luce come al fine di individuare laposizione nello spazio di un punto materiale siano necessarie tre coordinate, mentrese si confina la giacitura ad un piano tali coordinate si riducono a due.Conseguentemente, le variabili indipendenti per lanalisi dinamica di un puntomateriale nello spazio saranno tre (o due nel caso di moto piano).

Per il corpo rigido libero, ovvero un corpo dotato di dimensioni non trascurabili,al fine di identificare la sua posizione nello spazio, sono necessarie sei coordinatelibere che spesso vengono ricondotte alla posizione di un punto appartenente al corpoe a tre angoli che ne forniscono lorientamento nello spazio.

Analogamente passando al piano, saranno sufficienti tre coordinate libere,ovvero tre gradi di libert, per caratterizzarne la posizione.

*UDGLGLYLQFRORCome detto, i sistemi meccanici sono in generale costituiti da un insieme di pi

corpi rigidi opportunamente vincolati tra di loro. Tali vincoli impediscono alcune trale possibilit di singoli componenti del sistema ovvero creano dei legami tra lo statodei vari componenti e le variabili indipendenti scelte.

Ad esempio, gi la condizione di rigidit di un corpo rigido deve essere vistacome un vincolo. In realt infatti ogni corpo deformabile sotto lazione delle forzeche agiscono su di esso. Ipotizzare tale deformabilit trascurabile implica imporreche durante la dinamica non vari la distanza tra due punti arbitrari solidali al corpostesso. Tale vincolo si traduce nel fatto che per identificare la posizione di tutti ipunti appartenenti al corpo rigido stesso sufficiente identificare sei parametriindipendenti (tre nel caso di moto piano) e che per tutti gli altri punti del corpo sarpossibile scrivere dei legami tra gli spostamenti e le variabili indipendenti..

Se il sistema invece composto da n corpi (meccanismo) possiede, primadell'applicazione dei vincoli, 3n gradi di libert. L'introduzione di vincoli tra i corpi econ un membro fisso (o telaio), riduce il numero dei gradi di libert del sistema. Tale

4riduzione dei gradi di libert implica lesistenza di legami tra le varie posizionicaratteristiche del sistema e le variabili indipendenti.

Rimane necessario, quindi, come primo passo dellanalisi, il computo delnumero dei gradi di libert (o gradi di mobilit) del sistema.

A titolo di esempio, nel caso di meccanismi piani, con sole coppie inferiori (aesempio cerniere, pattini e carrelli), in cui i collegamenti siano solo di tipo binario,ossia ogni vincolo collega solo due elementi, si definisce la regola di Gumbel, per ilcalcolo del grado di mobilit del sistema. Detto c1 il numero di vincoli chesopprimono un solo grado di libert (vincolo tipo carrello), e c2 il numero di vincoliche sopprimono due gradi di libert, (vincolo tipo cerniera o pattino), si ha:

(1.1) 1 23 2JGOQ Q F F= essendo n il numero di corpi rigidi componenti il meccanismo, escluso il telaio,

e ngdl il suo numero di gradi di libert (o di mobilit).

9DULDELOLILVLFKHLanalisi dinamica di un sistema, una volta noto il numero di gradi di libert di

cui esso gode, richiede la scrittura e la soluzione delle equazioni di moto e quindi, nelcaso di un sistema meccanico, lidentificazione delle forze agenti su di esso.

Poich alcune delle forze agenti possono essere funzione delle grandezzecinematiche del punto di applicazione, conseguentemente opportuno definire, oltrealle variabili indipendenti di un sistema, anche altre variabili, dette variabili fisiche,che permettano di definire posizione, velocit o accelerazione di questi puntidapplicazione in modo da rendere agevole la scrittura delle equazioni di moto. Talivariabili sono, per quanto detto, funzione dalle variabili indipendenti attraverso deilegami geometrici.

Con riferimento al sistema della figura 2, a esempio, il meccanismo piano composta dai due corpi rigidi m1 e m2 che possono solo traslare sui due rispettivipiani dappoggio, ovvero dei sei gradi di libert del sistema libero, i piani dappoggiosi comportano come due pattini sopprimendo, rispettivamente, due gradi di libertper ogni corpo rigido, ovvero dalla (1.1):

(1.2) 3 2 2 2 2JGO

Q = =

5posizione diriferimento

)LJXUD8QVLVWHPDPHFFDQLFRDGXHJUDGLGLOLEHUWjQuindi, per definire in ogni istante la configurazione del sistema sar sufficiente

scegliere come variabili indipendenti due coordinate (a esempio x1 e x2), e stabilirnelorigine e il verso positivo nel quale sono misurate.

Qualsiasi altra variabile fisica, a esempio la posizione relativa della massa m2rispetto alla slitta m1, risulta dipendente dalle variabili indipendenti scelte. Infatti,dallanalisi della geometria del sistema, si ricava che :

(1.3) 2 1[ [ = ovvero un legame tra variabile fisica e le variabili indipendenti adottate.Sempre in riferimento alla figura sovrastante lazione esercitata dalla molla k3

dipende dalla sua elongazione, rispetto alla posizione di molla scarica, per cui purisultare conveniente lutilizzo di unaltra variabile fisica per definire ladeformazione della molla rispetto alla condizione di molla scarica.

(TXD]LRQLGLPRWRHTXLOLEULGLQDPLFLCome noto l'equilibrio di un sistema meccanico in condizioni di quiete pu

essere studiato mediante le equazioni cardinali della statica.A esempio, nel caso di un corpo rigido libero nel piano, dotato quindi di tre

gradi di libert, soggetto ad un generico sistema di forze esterne, il sistema diequazioni di equilibrio equivale a tre equazioni scalari indipendenti (due componentiper il risultante 5r di tali forze, ed una sola componente per l'equazione del loro

6momento 0r rispetto a un polo qualsivoglia), in numero eguale al numero dei gradidi libert del corpo ovvero:

(1.4) 00

50

==

rr

che proiettate sui due assi cartesiani danno luogo al sistema di equazioni pure:

(1.5)000

[

\

]

550

===

Nel caso di un sistema composto da pi corpi tra loro connessi, le equazionicardinali della statica applicate all'intero sistema costituiscono condizione solonecessaria e occorre in tal caso o separare i corpi che costituiscono il sistema escriverle per ognuno di essi, includendo quindi anche le reazioni vincolari scambiatetra i corpi stessi, oppure considerare, oltre alle equazioni cardinali applicate alsistema completo, ulteriori equazioni di equilibrio riguardanti le mobilit relative tra icorpi che costituiscono il sistema meccanico nel suo complesso.

La dinamica di un sistema meccanico definita attraverso relazioni cheintercorrono tra moto del sistema (in termini di accelerazioni subite dai diversi puntidel sistema) e forze agenti: sono possibili due approcci allo studio della dinamica,uno basato sulle equazioni di equilibrio di DAlembert, che possono essereconsiderate il duale dinamico delle equazioni cardinali della statica, il secondo basatosu un approccio energetico, che consiste nell'applicazione sia del principio del lavorivirtuali, dora in poi PLV, sia del teorema di Lagrange o di quello dellenergiacinetica.

Vale infine la pena di osservare che nel legame tra le forze agenti su un sistemae le corrispondenti accelerazioni, gioca un ruolo fondamentale la definizione dellecaratteristiche meccaniche del sistema: pertanto utilizzeremo nello studio delladinamica tutte le nozioni relative alla geometria delle masse che sono state oggettodel corso di Meccanica Razionale.

Nel caso di un punto materiale vincolato di massa m, la legge di Newton (terzalegge della Dinamica) afferma che l'accelerazione subita dal punto risulta legata alrisultante )r di tutte le forze attive e reattive agenti sul corpo attraverso la relazione:

7(1.6) PD ) 5= = + r r rr

dove r

la UHD]LRQH YLQFRODUH che traduce lazione del vincolo, mentre 5r ilrisultante delle sole forze DWWLYH

Definendo come forza dinerzia la quantit:

(1.7)L

) PD= r r

pari al prodotto della massa per l'accelerazione del punto e agente in versoopposto a questultima, l'equazione di moto (1.6) pu essere riscritta sotto la forma diuna equazione di equilibrio equivalente:

(1.8) 0 0L L

) ) 5 )+ = + + =r r r r r

ossia il problema dinamico pu essere sempre ricondotto a un problema staticoequivalente, a condizione di aggiungere al risultante delle forze attive e reattiveanche la forza di inerzia.

Questa affermazione, rappresentata matematicamente dalla equazione (1.8),costituisce l'enunciato del principio di D'Alembert nel caso del punto materiale.L'applicazione di tale principio risulta molto pi significativa nel caso del corporigido, e dei sistemi di corpi rigidi.

'LQDPLFDGHOFRUSRULJLGRConsideriamo, infatti, il caso di un corpo rigido, cio di un sistema discreto o

continuo di punti materiali ai quali imposto il vincolo della rigidit, dotato didimensioni non trascurabili. In questo caso, il principio di D'Alembert, rappresentatoper il singolo punto materiale dalla (1.6), pu essere scritto per ciascun punto delcorpo, che potremo quindi considerare soggetto ad una distribuzione continua diforze di inerzia, tali per cui la forza dinerzia infinitesima agente sul generico puntodi massa dm sia definita dalla:

(1.9)L

G) GPD= r r

Definita questa distribuzione di forze, potremo dire che il moto del corpo dovrsoddisfare le equazioni che ne definiscono lequilibrio dinamico sotto l'azione delle

8forze (attive e reattive) agenti su di esso oltre a quelle di inerzia cos introdotte. Nelcaso del corpo rigido possibile ridurre lintero sistema di forze dinerzia distribuitead un risultante L

)r pi una coppia dinerzia L

&r che possono essere espressi infunzione dellaccelerazione del baricentro e dellaccelerazione angolare del corpostesso.

Di conseguenza le equazioni vettoriali che descrivono il moto del corpo rigidopossono essere scritte nella forma (1.4), nelle quali si dovr per includere il termineaggiuntivo dovuto alle forze di inerzia, ovvero:

(1.10) 0( ) 0L

L L

) )0 & * 2 )

+ =+ + =

r r

rr r

dove )r il risultante delle forze attive e reattive, mentre 0r il loro momentorispetto a un polo 2.

Il problema dinamico quindi ricondotto, ancora una volte, a un problemastatico equivalente, a condizione di essere in grado di calcolare il risultante L

)r delleforze di inerzia L

G)r agenti sul corpo e il loro momento risultante rispetto al polo Oconsiderato.

Questo calcolo risulta in genere molto complesso per un corpo deformabile, maper i corpi rigidi, oggetto di questo corso, vale una regola generale che possiamoricavare attraverso un esempio.

1.3.2 Dinamica di un corpo rigido con spessore trascurabile e con un punto fisso

Indichiamo con e& rispettivamente la velocit e laccelerazione angolareimposte al corpo rigido di spessore trascurabile e incernierato in O. Lanalisicinematica insegna che tutti i punti del corpo rigido descrivono una traiettoriacircolare intorno al punto fisso O.

Facendo riferimento alla terna intrinseca, possibile mettere in evidenza lacomponente normale e tangenziale della forza dinerzia agente sul generico puntomateriale del corpo rigido

Integrando sullintero volume si ottiene:

(1.11) ( ) ( )W

Q

L *

9 9

D

D

) G9 3 2 G9 3 2 PD = = r

r

r rr r r&14243144424443

9P

O

)LJXUD&RPSRQHQWLGHOODIRU]DGLQHU]LDDJHQWHVXOSXQWR3GLXQFRUSRULJLGRFRQXQSXQWRILVVRdove la seconda eguaglianza vale in virt del principio di moto del baricentro,

punto al quale applicato il risultante L

)r , mentre la coppia dinerzia pari a:(1.12)L *

& - = r r&dove JG il momento dinerzia baricentrico:

(1.13) ( )2*

9

- G9 * 3=

\

[

G

2n

0 "

PJ

W

, , = =& &&&

&L

2P 2*

P 2*&

10

Sostituendo ai vincoli le corrispondenti reazioni vincolari, possibile quindiscrivere le equazioni pure di equilibrio dinamico del corpo rigido:

(1.14) 22

cos 0sin 0

cos 0

W

Q

*

P 2* PJP 2* PJ

0 P 2* - PJ2*

+ + = =

=

&

& &

che conducono a un problema univocamente determinato di tre equazioni nelletre incognite W

,Q

, M. E cos possibile, quindi, note la velocit e laccelerazioneangolare e& del corpo, determinare la coppia motrice M, necessaria.

Calcolata, cos, la coppia motrice, se volessimo dimensionare lorganomeccanico, schematizzato come corpo rigido, valutando le azioni interne agenti, non pi possibile utilizzare il sistema equipollente delle forze dinerzia, costituito dalle(1.11) e (1.12), ma dobbiamo utilizzare la reale distribuzione delle azioni dinerzia.

Si consideri, infatti, lesempio di figura 4, in cui lasta omogenea, di densit ,sezione A e lunghezza l, vincolata, per semplicit, a ruotare nel piano orizzontaleattorno alla cerniera O.

Per valutare il momento M necessario a imporre una velocit e accelerazioneangolare volute dal progetto, sufficiente, come visto, scrivere lequilibrio deimomenti rispetto al polo O:

(1.15) 2 0*

0 P 2* - =& &Si noti che la (1.15) del tutto equivalente, raccogliendo a fattore comune & ,

a:

(1.16) 2( ) 0*

0 - P2* + =&che, ricordando il teorema di trasporto del momento dinerzia tra assi paralleli, la

Errore. L'origine riferimento non stata trovata., si riduce alla ben nota:

(1.17) 02

0 - =&

cio alla equazione di moto di un corpo rigido attorno a un asse fisso.

11

y

[

G

20 "

&

2*P 2*P&W

Q

17

y

[2

0I

&

GP&P

Q

W

&L

)LJXUD6LVWHPDHTXLSROOHQWHGHOOHIRU]HGLQHU]LDDVLQLVWUDHORURUHDOHGLVWULEX]LRQHDGHVWUDLQXQDVWDLQFHUQLHUDWDDXQHVWUHPR

Si effettuato lelencazione dei passaggi per giungere allaErrore. L'origine riferimento non stata trovata., volendo ricordare che lusodella stessa non deve far dimenticare che ci significa immaginare che il vettoreforza d'inerzia considerato applicato direttamente sullasse, ma sempre presente enon deve essere dimenticato nel calcolo delle reazioni vincolari.

Le altre due equazioni pure permettono, invece, il calcolo della reazione nellesue due componenti tangente e normale alla traiettoria circolare del baricentro:

(1.18)

2

22

02

02

W

Q

O$O$

= + =

&

Volendo calcolare le azioni interne normali N, di taglio T e flettenti Mf in unagenerica sezione distante a dalla cerniera, dobbiamo tener conto della distribuzionetriangolare delle azioni dinerzia scomposte nelle due componenti normali etangenziali, ovvero::

12

(1.19)

2

0

0

2

0

( ) 0

( ) 0

( ) 0

D

Q

D

W

D

I

1 D $ G

7 D $ G

0 D 0 $ G

+ =+ = + =

&

&