U.Gasparini, Fisica I 1

O

dm

r

v

(t)

z

x

Vettore velocità angolare :vettore tale che per un qualsiasi punto P del corpo individuato dal vettore posizione r rispetto a un polo O sull’asse di rotazione, la velocità di P è data da:

v r

-

- è diretto lungo l’asse di rotazione- il verso di è dato dalla “regola della mano destra”

d t

dt

( )

R

vds

dtRd

dtr r

sin

d

ds = Rd

asse di rotazione

Moto di rotazione di un corpo rigido intorno ad un asse fisso :

y

U.Gasparini, Fisica I 2

Dato un polo O sull’asse di rotazione z , la componente di LO lungo l’asse z :

L IO zz

“momento di inerzia”del corpo rispetto all’asse z :

I R dmz

Corpo

2

distanza dall’asse zdell’elemento dm

O

dm

r

v

z

R

dLO

Contributo(infinitesimo) di dm almomento angolare totale LO

dL r vdmO

dL rvdmR

RdmO sin

sin

sin)

2cos(

2

dmR

dLdL OOz

dmRdLOz2

Integrando su tutto il corpo:

dmRdmRdLL OzOz22

I z

zCorpo

Oz dmvrL

è data da:

Momento angolare per un moto di rotazione intorno ad un asse :

I Kg mz 2Dimensioni del momento d’inerzia:Il momento d’inerzia dipende dalla forma geometrica del corpo, dalla sua distribuzione di massa (densità) e dall’asse considerato;

non è una proprietà intrinseca del corpo

Esempio:

momento d’inerzia di un asta omogenea di lunghezza e massa M:

i) rispetto ad un asse perpendicolare passante per un suo estremo :

zx

R dm

I R dm x dxz

Corpo

2 2

0

3

3

IM

z 2

3densità lineare

ii) rispetto ad un asse perpendicolare passante per il suo centro di massa :

xR dm

I x dxz 22

242

0

2 3

/

IM

z 2

12

z

G

Momento di inerzia

/M

2/

i) Momento d’inerzia di un disco omogeneo di raggio R e massa M rispetto all’asse perpendicolare passante per il suo centro di massa :

z

R

G

dm dS rdr 2

rI r dm r rdrz

Corpo

R

G 2 2

0

2

densità superficiale: M R/ 2

IMR

zG

2

2

2

4

4R

ii) Momento d’inerzia di una sfera omogenea di raggio R e massa M :

dr

R

z

z

r z R z( ) 2 2 disco di massa dM(z), momento d’inerzia dI(z)

dM z dV r z dz( ) ( ) 2

I dI z R z dzG

sfera

R

( ) ( )21

22 2 2

0

R R

RR5 5

552

3 5

8

15I MRG

2

52

dz M R/

4

33

dI zr z dM z

( )( ) ( )

2

2

1

2

1

24 2 2 2 r z dz R z dz( ) ( )

Esempi di calcolo di momenti di inerzia

R R z z4 2 2 42

U.Gasparini, Fisica I 5

Teorema di Huygens-Steiner (o “degli assi paralleli”) : I I Mdz z CM

'2

momento d’inerzia rispettoall’asse z’// z e passante per il CM

massa totaledel corpo

distanza tra z e z’

d

z

y, y’

x x’

z’

G

RR’

dm

P = (x,y,z,) = (x’,y’,z’)

I R dm x y dm

x y d dm x y y d d dm

z

Corpo Corpo

Corpo Corpo

2 2 2

2 2 2 2 22

( )

[ ' ( ' ) ] [ ' ' ' ]

= R’2

R dm d y dm d dm I MdCorpo Corpo Corpo

z CM' ' '2 2 22

I z CM' y CM' 0 = M

x x

y y d

'

'

Teorema di Huygens-Steiner

U.Gasparini, Fisica I 6

G

z z’

dm

I I Md

MM

M

z z CM

'2

2 2 2

12 2 3

i )

ii) Momento d’inerzia di un disco omogeneo di massa M e raggio R rispetto ad un asse ad esso perpendicolare passante per un punto P sul suo bordo :

z z’

P d = R G

I I Md

MRMR

MR

z zP CM

'2

22

2

2

3

2

IMR

zP

3

2

2

Si noti che:un disco che ruoti senza strisciare (“puro rotolamento”) compie una rotazione intorno all’asse istantaneo passante per il punto di contatto col piano di appoggio

P

vG

G

Esempi di applicazione del teorema di Steiner :

2/d

(cfr. slide n.3)

z

U.Gasparini, Fisica I 7

Il teorema del momento angolare ( “ 2a equazione cardinale” della dinamica):

dL

dtM v MvO

OE

O G

( )

momento totaledelle forze esternerispetto al polo O

velocità del polo O nel sistema di riferimento inerziale nel quale i Punti materiale hanno le velocità vche entrano nella definizione di LO :

L r vdmO

Corpo

massa totale del sistema

dL

dtMO

OE

( )

per un corpo rigido in rotazione intorno ad un asse fisso z ( vO= 0) :

può essere riformulato utilizzando il concetto di momento d’inerzia. Proiettando tale equazione lungo l’asse di rotazione:

)()( EOzz

zOz Mdt

dI

dt

Id

dt

dL

accelerazione angolare :

( )

( )t

d t

dt

zEOz IM )( ( in formale analogia con la

legge di Newton: F ma

z

O

Teorema del momento angolare per un corpo rigido

)

U.Gasparini, Fisica I 8

M IOE

zz

( )

è formalmente analoga alla 2a legge della dinamica per un punto materiale, con lesostituzini:

forza risultante F momento delle forze esterne M

accelerazione a accelerazione angolare massa m momento d’inerzia Iz rispetto all’asse di rotazione z

F

OPO

P

z

(t)

(t+dt)OP F

F

OPOP

MO

M

I

OP F

IO

z z

z

Esempio :porta in rotazioneintorno ai suoicardini

Equazione fondamentale della dinamica delle rotazioni:

L’equazione fondamentale della dinamica delle rotazioni:

MO =

forza agente sullamaniglia

( )

( )t

d t

dt

stessa forza

braccio minore

minoreaccelerazioneangolare

U.Gasparini, Fisica I 9

Applicazione del teorema del momento angolare: moto di un “pendolo composto”

yy

x

x

z z

piano di oscillazione(x,y) O

O

mg

G

MO

mg

OG

G M OG mgO

)(sin thmgMOz

h

Proiezione della 2a eq.cardinale lungo l’asse z : zE

Oz IM )(

reazione vincolare(non ha momento rispetto ad O )

mgh t Id t

dtzsin ( )( )

2

2

d t

dt

mgh

It

z

2

20

( )( )

Per piccole oscillazioni (sin ) :

Introducendo la“lunghezza ridotta” del pendolo composto:

I

mhz

d t

dt

gt

2

20

( )( )

2

Soluzione : moto armonico

( ) sin( )t t 0

“Pendolo composto”

U.Gasparini, Fisica I

y

z

O

mg

Gh

h’ z’

asse di rotazione

“asse di oscillazione” :asse parallelo all’asse dirotazione, passante per ilpunto O’ a distanza (lunghezza ridotta ) dal punto di sospensione O lungo la retta OG

I periodi di oscillazione intorno agli assi z e z’ (“assi reciproci”) sono uguali. Infatti:

Oz G GI

mh

I mh

mh

I

mhh

2

I mh mhG O 2

Oz G OI

mh

I mh

mh

mh mh mh

mh''

'

'

'

'

'

2 2 2

h h'

h hh h h

h

h h h

hh h

2 2 2' '

'

' ( ' )

'' O O'

'

'OO

gg

“Assi reciproci” di un pendolo composto:

piano di oscillazione(x,y)

O’

O O

“assi reciproci”

La lunghezza ridotta per leoscillazioni intorno ad O’ è:

U.Gasparini, Fisica I 11

O

OO’

O’m1

m1

m2 m2

Massemobili

punti di sospensione(fissi)

2

T

g

O '

' '

2

T

g

O

le masse m1 ed m2 vengono spostate finchè i periodi di

oscillazione intorno ad O e O’ sono gli stessi; in tale situazione

la distanza OO’, determinabile con elevata precisione (l/l 10-3 )è la lunghezza ridotta del pendolo composto

-6

si ottengono misure di g 2gg

10 6

“Pendolo reversibile” (o “ pendolo di Kater ”) :

O

di analoga precisione :

U.Gasparini, Fisica I

Per un copro rigido in rotazione con velocità angolare intorno ad un asse z :

dm

v

(t)

z

R

d

asse di rotazione

E v dm R dm R dmk

corpo corpo corpo

1

2

1

2

1

22 2 2 2( )

I zE v dm Ik

corpo

z 1

2

1

22 2

ds=Rd

vds

dtRd

dtR

Analogia formale con l’espressione dell’energia cinetica di un punto materiale:

E Ik z1

22E mvk

1

22

m

v

I z

Energia cinetica di un corpo rigido in rotazione

U.Gasparini, Fisica I 13

E Mv v dmk G

corpo

1

2

1

22 2

'

Il moto generico di un corpo rigido è, in un dato istante, riconducibile ad un moto roto-traslatorio, sovrapposizione di un moto di traslazione del centro di massa con velocità vG e di un moto di rotazione con velocità angolare intorno ad un asse istantaneo di rotazione passante per il centro di massa:

v G

In generale, sia il modulo che la direzione di variano istante per istante.

G

E Mv Ik G G 1

2

1

22 2

momento d’inerzia rispetto all’asseistantaneo di rotazione passante per G

Teorema di Koenig per l’energia cinetica di un corpo rigido

Teorema di Koenig per l’energia cinetica di un corpo rigido:

U.Gasparini, Fisica I 14

Il teorema di Koenig per un corpo rigido puo’ essere ricavato dal teorema di Huygens-Steiner :

z z’

dG

vG = d

corpo in rotazione intorno all’asse z

E I I Md I M dk z z z 1

2

1

2

1

2

1

22 2 2 2 2 ( ) ( )' '

vG

E I Mvk z G 1

2

1

22 2

'

Energia cinetica di un copro rigido

vG

t. di Huygens-Steiner

U.Gasparini, Fisica I 15

E E E Wk kf

ki

i fE

( )

lavoro delle soleforze esternePer un corpo rigido,il lavoro infinitesimo dW(I) delle forze interne è nullo:

dW F dr F dr

F dr F dr F dr

IjI

jj jkk jj j( ) ( )

... ....

12 1 13 1 21 2

F dr dr F dr dr

F d r r F d r r F drjk jkk j

j

12 1 2 13 1 3

12 1 2 13 1 3 0

( ) ( ) ....

( ) ( ) ....

0poichè in un corpo rigido le distanze relative rjk rimangono invariate

dm j

dmk

rjk

Teorema dell’energia cinetica per un corpo rigido: