il moto rotatorio di un corpo rigido

La rotazione piana, o a due dimensioni

• Quando un corpo si muove, è molto raro Quando un corpo si muove, è molto raro che si muova in linea retta, nella direzione che si muova in linea retta, nella direzione della forza.della forza.

• Generalmente Generalmente forza forza e e velocità velocità formano formano un un angolo,angolo, ed il corpo gira attorno a ed il corpo gira attorno a qualche punto. qualche punto.

• Se l’effetto della forza è di muovere il corpo Se l’effetto della forza è di muovere il corpo attorno ad un centro di rotazione,la nostra attorno ad un centro di rotazione,la nostra esperienza quotidiana ci dice che l’efficacia esperienza quotidiana ci dice che l’efficacia rotante della forza aumenta con la distanza rotante della forza aumenta con la distanza perpendicolare (perpendicolare (braccio di levabraccio di leva) dal ) dal centro di rotazionecentro di rotazione alla alla linea di azionelinea di azione della forza. della forza.

• Questa comune esperienza ha suggerito la Questa comune esperienza ha suggerito la convenienza di definire la quantità fisica: convenienza di definire la quantità fisica: momento di una forza = forzabraccio di

leva

Momento meccanico attorno ad un Momento meccanico attorno ad un asseasse

Non basta applicare una forza per ruotare un corpoNon basta applicare una forza per ruotare un corpoBisogna anche sapere dove bisogna applicarla e in Bisogna anche sapere dove bisogna applicarla e in quale direzione spingere.quale direzione spingere.Una forza parallela all’asse di rotazione non ha Una forza parallela all’asse di rotazione non ha momento di forza rispetto a quell’asse.momento di forza rispetto a quell’asse.Se l’asse di rotazione intercetta la linea di azione Se l’asse di rotazione intercetta la linea di azione della forza,(b=0) la forza non ha momento rispetto della forza,(b=0) la forza non ha momento rispetto a quell’asse.a quell’asse.Per esempio la maniglia di una porta è sempre Per esempio la maniglia di una porta è sempre posizionata lontana dai cardini. Spingendo più posizionata lontana dai cardini. Spingendo più vicino ai cardini,bisogna applicare una forza vicino ai cardini,bisogna applicare una forza maggiore. maggiore. Il momento è prorzionale alla componente normale Il momento è prorzionale alla componente normale della forza rispetto all’asse di rotazione della forza rispetto all’asse di rotazione moltiplicata per il braccio di levamoltiplicata per il braccio di levaInfatti si spinge in direzione di 90 gradi rispetto Infatti si spinge in direzione di 90 gradi rispetto all’asse di rotazione, che è l’asse dei cardiniall’asse di rotazione, che è l’asse dei cardiniQuindi si spinge sempre perpendicolarmente al Quindi si spinge sempre perpendicolarmente al piano del battente,generalmente.piano del battente,generalmente.

xF yF

zF

z

POr

moto del corpo rigido Si distinguono due tipi di moto del corpo rigido:

• il moto è una traslazionetraslazione quando tutte le particelle descrivono traiettorie parallele, così che il corpo rimane parallelo alla propria posizione iniziale;

• nella traslazione ogni elemento del corpo ha la stessa velocità vv e la stessa accelerazione aa in ogni istante

• il moto è una rotazionerotazione quando tutte le particelle descrivono traiettorie circolari attorno ad un punto detto polo di rotazionepolo di rotazione o ad una una retta detta asse di asse di rotazionerotazione;

• nel moto rotatorio ad ogni istante ogni elemento del corpo ha la stessa velocità angolare e la stessa accelerazione angolare

• è possibile dimostrare che il moto più generale di un corpo rigido può sempre essere considerato come la combinazione di una traslazioneuna traslazione e di una rotazione una rotazione istanteneeistantenee

• La posizione di un corpo rigido è definita da tre puntiLa posizione di un corpo rigido è definita da tre punti

I tipi di moto del corpo rigido

la traslazione pura è un moto lungo una linea retta: quello che avete studiato quasi esclusivamente in FISICA I. Negli esempi che vi hanno proposto, avete essenzialmente visto la traslazione del CM

una rotazione di tipo tridimensionale: la palla ruota attorno al suo centro

rotazione attorno ad un asse rotante

il rotolamento è una rotazione attorno ad un asse che trasla

la rotazione piana del corpo la rotazione piana del corpo rigidorigido

• Un caso particolare molto importante di moto Un caso particolare molto importante di moto del corpo rigido è la rotazione piana attorno ad del corpo rigido è la rotazione piana attorno ad un asse di rotazione fisso. un asse di rotazione fisso.

• Nella rotazione piana un punto qualsiasi del Nella rotazione piana un punto qualsiasi del corpo rigido percorre una traiettoria circolare corpo rigido percorre una traiettoria circolare che giace su un piano perpendicolare all’asse che giace su un piano perpendicolare all’asse di rotazione, ed il cui centro si trova sull’asse di rotazione, ed il cui centro si trova sull’asse di rotazione.di rotazione.

• Ecco alcuni esempi di corpo rigido in rotazione Ecco alcuni esempi di corpo rigido in rotazione piana:piana:

momento di una forza rispetto a un punto

• In genere una forza che agisce su un corpo rigido tende a farlo ruotare, oltre che a traslarlo

• La forza stessa è l’effetto traslatorio: il corpo tende a muoversi in direzione della forza:

• La capacità di traslare il corpo è proporzionale alla grandezza della forza, in accordo con la II legge di Newton

• La tendenza di una forza a ruotare il corpo è il momento meccanico della forza rispetto al punto

• Questa grandezza dipende dalla forza e dalla distanza della linea di azionedella forza dal punto stesso

AO

definizione di momento definizione di momento meccanico di una forza meccanico di una forza applicata ad un corpo applicata ad un corpo rigido rispetto ad un rigido rispetto ad un punto, o polopunto, o polo r

b

Fr

F

Fr sin

bFil momento meccanico il momento meccanico rispetto ad un polo rispetto ad un polo dipende solo dalla forza e dipende solo dalla forza e dalla distanza del polo dalla distanza del polo dalla retta di applicazione dalla retta di applicazione della forzadella forza

la forza può quindi essere la forza può quindi essere mossa lungo la linea di mossa lungo la linea di azione senza cambiare il azione senza cambiare il risultatorisultato

ogni punto della linea di ogni punto della linea di azione della forza può essere azione della forza può essere un punto di applicazioneun punto di applicazione

questa equazione è comoda solo quando è facile calcolare il braccio di leva;braccio di leva; inoltre non da

la direzione di

AO r

b

Frpolo

poloF

cospoloasse

il momento di una forza rispetto ad un asse, detta asse il momento di una forza rispetto ad un asse, detta asse del momento si calcola facilmente a partire da un del momento si calcola facilmente a partire da un punto O (polo) dell’asse stesso, preso come polo di punto O (polo) dell’asse stesso, preso come polo di rotazionerotazione

u versore

unitario

upoloasse

momento di una forza attorno ad un asse

asse

x

y

z

polo

ix

jy

kz

le componenti le componenti cartesiane del cartesiane del

momento di una forza momento di una forza attorno all’origine attorno all’origine

delle coordinate sono delle coordinate sono uguali ai momenti uguali ai momenti

della forza attorno agli della forza attorno agli assi cartesianiassi cartesiani

momento di una forza attorno ad un asse

assepolo

u

F

O

un caso particolare: se il piano formato dalla linea di un caso particolare: se il piano formato dalla linea di azione della forza ed il vettore r, distanza dal polo di azione della forza ed il vettore r, distanza dal polo di rotazione sono coplanari allora il momento polare ed rotazione sono coplanari allora il momento polare ed

il momento assiale conicidonoil momento assiale conicidono

r

uupoloasse

significato geometrico di questa

equazioneconsideriamo una forza arbitraria e un asse arbitrario

costruiamo un piano perpendicolare all’asse, passante per il polo O

u

F

or

bb è il braccio dileva della forza F rispetto al polo O

Frpolo

asse

uFFruFrasse

21

1F

2F

uFruFrasse

2

22 bFFruasse

il momento assiale è uguale al prodotto del braccio di leva per la componente della forza perpendicolare all’asse

Il momentoIl momento ubbidisce al ubbidisce al principio di sovrapposizione.principio di sovrapposizione.

La somma di tutti i momenti è ilLa somma di tutti i momenti è il momento risultante o netto momento risultante o netto netnet

rotazione piana

Fr

F

r sezione trasversa perpendicolare

all’asse dirotazione

si definisce momento meccanico della forza applicata nel punto P il vettore libero :

tF

rFP

tFr

tFr

sinrFlinea di azione della

forza

braccio di forza

assepolo

Rotazione piana di un corpo rigido

• La forza La forza FF giace su un piano perpendicolare all’asse di giace su un piano perpendicolare all’asse di rotazionerotazione

• Il momento meccanico Il momento meccanico è sempre diretto come l’asse di è sempre diretto come l’asse di rotazionerotazione

• Il verso di Il verso di dipende dal verso della rotazione. Fissato dipende dal verso della rotazione. Fissato l’origine del piano l’origine del piano xyxy su cui giacciono su cui giacciono FF ed ed r r sulla retta di sulla retta di rotazionerotazione , che coincide con , che coincide con z :z :

☺ positivo, positivo, se la rotazione avviene in sensose la rotazione avviene in senso antiorario, antiorario, ☺ negativo, negativo, se lase la rotazione avviene in senso rotazione avviene in senso orarioorario

II equazione di Newton per un corpo rigido in rotazione piana

dmard

dmrad t

rdmrd dmrd 2

dId

IdIdIdVVV

I

ALCUNI ESEMPIalcuni esempialcuni esempi

Diagramma di Corpo Libero

2

3

4

Lavoro e potenza nel moto rotatorio

un caso particolare: la forza è perpendicolare all’asse di un caso particolare: la forza è perpendicolare all’asse di rotazione, che coincide con l’asse z. La forza è applicata rotazione, che coincide con l’asse z. La forza è applicata ad un punto qualsiasi del corpo rigido che si muove su ad un punto qualsiasi del corpo rigido che si muove su una traiettoria circolare di raggio R una traiettoria circolare di raggio R

lavoro compiuto da una forza esterna su un corpo rigido lavoro compiuto da una forza esterna su un corpo rigido rotante intorno ad una asse fissorotante intorno ad una asse fisso

rdFdW

possiamo esprimere questo possiamo esprimere questo

prodotto scalare anche come il prodotto scalare anche come il prodotto del modulo dello prodotto del modulo dello

spostamento per la componente spostamento per la componente della forza nella direzione dello della forza nella direzione dello

spostamentospostamento in questo caso particolare l’unico in questo caso particolare l’unico spostamento possibile è tangenzialespostamento possibile è tangenziale

Rdrd

RdFdrFdW tancos RFtan ddW

assepolo

z

F

O

R

rd

tanF

radF

rd

ddW lavoro infinitesimo compiuto

dal momento meccanico per far ruotare il corpo rigido

dell’angolo infinitesimo , nel caso di una forza applicata perpendicolare all’asse di rotazione, coincidente con l’asse z

è però sempre vera la relazione se l’asse di rotazione xoincide con l’asse z

ddW z

questa relazione è stata trovata in un caso particolare

dWW f

i

dW

Lavoro,rotazione finita piana attorno ad una asse fisso

se il momento è costante

f

iifdW

Potenza,rotazione finita piana attorno ad una asse fisso

dt

dWP

è possibile dimostrare che

la posizione di un corpo rigido è definita da tre punti

il più generale moto di un corpo rigido può essere ottenuto dalla combinazione di un moto traslatorio puro e un moto rotatorio puro

Moto curvilineo e momento Moto curvilineo e momento meccanicomeccanico

momento di una forza momento di una forza = forza= forzabraccio di braccio di levaleva

F

v

braccio di leva

braccio di levabraccio di leva

generalmente il corpo si muove lungo una traiettoria curva, attorno ad un polo

è raro che un corpo si muova in linea retta