Trasmissione e Regolazione del Moto Rotatorio

Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari - Corso Serale Progetto “Sirio” 1

ITIS “G. MARCONI” – BARI

CORSO SERALE PROGETTO SIRIO

A. S. 2009-2010

DISPENSA DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE

N° 7

TRASMISSIONE E REGOLAZIONE DEL MOTO ROTATORIO Meccanismo di biella e manovella

Volani

Regolatori


MECCANISMO DI BIELLA E MANOVELLA

È un sistema articolato utilizzato nelle macchine motrici (p. es. motori endotermici) e

operatrici (p. es. compressori alternativi) per la trasmissione della potenza con trasformazione del

moto da rettilineo alternato a rotatorio e viceversa (nei motori endotermici, il moto rettilineo

alternato del pistone viene trasformato nel moto circolare dell’albero a gomiti). Il manovellismo

può essere di tipo centrato oppure disassato, a seconda che l’asse del cilindro intersechi o meno

l’asse di rotazione della manovella (albero motore) (v. fig. 1).

Gli elementi meccanici componenti il manovellismo sono rappresentati nella fig. 1:

La biella è costituita dal corpo, testa e piede di biella. Il corpo può avere sezione a doppio

T (motori endotermici), rettangolare, circolare o tubolare.

La manovella è costituita dal braccio e dal perno (bottone di manovella).

La fig. 2, invece, mostra uno schema del meccanismo adatto per farne lo studio sia

cinematico sia dinamico:

Pistone

Corpo di biella

Braccio di manovella

Albero motore

Testa di biella

Spinotto

piede di biella

Contrappeso

Bottone di manovella

Fig. 1 – Meccanismo di biella e manovella centrato.

Fig. 2 – Schema del meccanismo di biella e manovella.

corsa del pistone

manovella

biella

O PMS PMI

bottone di manovella

Piede di biella

Cappello di biella


Il moto rettilineo alternato del pistone si compie tra il punto morto superiore (PMS) e il

punto morto inferiore (PMI). Tale distanza è chiamata corsa del pistone ed è uguale al diametro

della circonferenza descritta dal bottone di manovella durante il suo moto circolare, cioè uguale al

doppio del raggio di manovella. Il moto della manovella è rotatorio mentre quello della biella è

rototraslatorio.

STUDIO CINEMATICO

Per fare questo studio riferiamoci allo schema cinematico in fig. n. 3 dove sono state

riportate le varie grandezze fisiche coinvolte:

Legenda:

OB = manovella

BP = biella

C1C2= corsa del pistone

C1P = spostamento del pistone al tempo t

r = raggio di manovella

l = lunghezza di biella

c = distanza percorsa dal piede di biella in mezzo giro (cioè dal PMS al PMI)

xP = distanza percorsa dal piede di biella al tempo t

angolo di manovella

angolo di biella

velocità angolare della manovella

Il moto del bottone di manovella si considera circolare uniforme e, pertanto, risultano

costanti velocità angolare e velocità periferica del bottone di manovella:

n = cost

vB = r = cost

Il moto del piede di biella è rettilineo alternato vario, vale a dire:

vP cost

Fig. 3 – Grandezze caratteristiche del meccanismo di biella e manovella.

c = 2r

C1 C2

P

r

l B

B' O

ω

xP

PMS PMI

PMS


Ricaviamo le leggi del moto del piede di biella. Dapprima ricaviamo la formula della

distanza xP dalla quale, derivando rispetto al tempo, ricaveremo la velocità e l’accelerazione.

Con semplici considerazioni geometriche dallo schema in fig. 3 ricaviamo l’espressione di

xP:

PCxP 1

)cos1(cos1

)cos1()cos1(coscos)''(11

r

lr

rlrlrlOBPBrlOPOCPC

Il rapporto l/r si indica con =310 (lunghezza ridotta della biella) pertanto, sostituendo

tale parametro nella formula si ha:

)cos1(cos1 rxP (1)

La formula (1) esprime xP in funzione sia di sia di mentre sarebbe più utile che xP sia

espressa in funzione soltanto di . Per fare ciò consideriamo i triangoli rettangoli BB'P e BB'O. Essi

hanno in comune il lato BB' che può, pertanto, essere espresso in funzione sia di sia di :

lsenrsenBB '

da cui:

sensenl

rsen

1 (2)

adesso, ricordando la nota relazione trigonometrica: 1cos22 sen possiamo sostituire in

questa al posto di sen la relazione (2) ottenendosi:

1cos)1

( 22

sen

1cos1 22

2

sen

da cui ricaviamo:

2

22

2

22 1cos

sensen

e infine, estraendo la radice quadrata del 1° e 2° membro e portando fuori dal segno di radice il

denominatore della frazione si ricava:

221cos sen (3)


Sostituendo la formula (3) nella (1) si ha:

2222 cos1)1

1(cos1)cos1(cos1 senrsenrrxP

In definitiva l’espressione dello spazio percorso dal piede di biella nel tempo t è:

)()(cos1)( 22 tsentrtxP (4)

Nella formula (4), se trascuriamo sen2 rispetto a (perché >1 e sen<1) si ha la

seguente formula approssimata:

)(cos1)( trtxP

Tale formula è la legge del moto armonico, conseguentemente il moto di P non è mai

armonico. In teoria il moto sarebbe armonico se tendesse a zero, in pratica ciò vale a dire che la

lunghezza della biella dovrebbe essere molto grande rispetto alla manovella (in teoria, P si

muoverebbe di moto armonico solo se la lunghezza della biella fosse infinita e, in tal caso, sarebbe

parallela all’asse del moto di P).

Nella formula (4) il tempo non compare esplicitamente ma possiamo farlo comparire

ricordando la seguente relazione che lega l’angolo di manovella alla velocità angolare ω:

tt )(

Sostituendo si ottiene:

tsentrtxP 22cos1)( (5)

La velocità istantanea di P si ottiene derivando rispetto al tempo xP(t):

tsen

ttsentsenr

ttsentsentsenrtsentrdt

d

dt

tdxtv P

P

22

12

12222

cos2

2

1

cos22

1cos1

)()(

tsen

ttsentsenrtvP

22

cos2

2

1)( (6)

Nella (6) se raccogliamo ω a fattor comune, trascuriamo sen2ωt rispetto a 2

e teniamo

conto della identità trigonometrica 2·senωt·cosωt=sen2ωt, si può ricavare la relazione semplificata

di vP(t):


2

2)(

tsentsenrtvP (7)

L'accelerazione istantanea di P si ottiene derivando rispetto al tempo vP(t) :

2

22coscos

)()( 2 tsen

tsendt

dr

ttr

dt

tdvta P

p

che, essendo il moto della manovella circolare uniforme, si semplifica nella seguente relazione:

ttr

dt

tdvta P

P

2coscos

)()( 2

(8)

Diagrammiamo le equazioni (5), (6) e (8):

Il grafico in fig. 4 mostra che il piede di biella, nella corsa di andata (dal PMS al PMI),

raggiunge il massimo valore della sua velocità un po' prima di aver percorso la semicorsa di andata

mentre, nella corsa di ritorno (dal PMI al PMS), raggiunge il suo valore massimo di velocità un po'

dopo aver percorso la semicorsa di ritorno. La velocità è nulla nei punti morti.

Il verso dell’accelerazione è importante perché da esso dipende il verso delle forze d’inerzia

durante il periodo.

Fig. 4 – Andamento dello spazio, velocità e accelerazione del piede di biella.


Il moto del piede di biella è accelerato nelle prime semicorse di andata e ritorno e ritardato

nelle seconde semicorse di andata e ritorno.

L'accelerazione del piede di biella raggiunge i suoi valori massimi nei punti in cui la velocità

si annulla (cioè nei punti PMS e PMI) e si annulla nei punti in cui la velocità raggiunge i suoi valori

massimi.

Osserviamo inoltre che l'accelerazione è massima nei punti morti perché in tali punti il moto

del piede di biella si inverte (la variazione di velocità è massima).

STUDIO DINAMICO

Il manovellismo è soggetto nello stesso tempo a forze esterne, forze d’inerzia e forze

centrifughe.

Le forze esterne sono dovute alla combustione della sostanza combustibile nel cilindro (nei

motori a c. i.) oppure all’azione del vapore (a p=cost) nelle motrici a vapore. Nei motori a

combustione interna la pressione generata dai gas combusti nei cilindri non è costante pertanto

indicata con p la generica pressione interna, la forza istantanea che agisce sul cielo del pistone si

può calcolare con la seguente relazione generale:

ApF (N) (9)

in cui A è l’area del cielo del pistone.

La fig. 5 illustra le forze agenti sul meccanismo durante la semicorsa di andata:

La forza F si può scomporre nelle componenti F’ avente direzione dell’asse della biella e F"

avente direzione perpendicolare al moto del pistone:

FtgFF

F "'

cos (10)

PMI PMS

c

F”

F’

p

F

FR

l

PMI PMS

ω

Fig. 5 – Forze istantanee agenti sul piede di biella.


La forza F' sollecita la biella a carico di punta, F" spinge il pistone contro la parete del

cilindro generando una forza d’attrito usurante le fasce elastiche.

La forza d’inerzia Fi applicata al piede di biella che nasce in seguito al moto accelerato del

pistone punto P, si può calcolare con la seguente relazione:

Pi amF (11)

in cui m è la somma delle masse che si muovono con il pistone cioè:

bsfp mmmmm3

2 (12)

in cui:

mp = massa del pistone

mf = massa delle fasce elastiche

ms = massa dello spinotto

mb = massa della biella

La Fi è considerata positiva se favorisce il moto del pistone e viceversa.

L’andamento di F e Fi in due giri dell’albero motore (cioè in un ciclo per un motore a 4T) è

rappresentato nella seguente fig. 6:

Sommando i valori istantanei di F e Fi si ottiene la forza totale istantanea che agisce sul

pistone:

Fig. 6 – Andamento della forza di pressione dei gas e della

forza d’inerzia agenti sul piede di biella.


iT FFF

(somma vettoriale) (13)

il diagramma della forza totale è rappresentato nella fig. 7:

CALCOLO DEL MOMENTO MOTORE

La biella trasmette al bottone di manovella la forza totale istantanea seguente:

cos

' TT

FF (14)

Scomposta F'T nelle sue componenti radiale Fr e tangenziale Ft è quest’ultima componente

che genera il momento motore Mm:

rFM tm (15)

Fig. 7 – Andamento della forza totale agente sul piede di biella.

PMI PMS

c=2r

FT”

FT’

p

FT’

FT

Fr

l

PMI PMS

ω

Ft

Fig. 8 – Forze istantanee agenti sul piede di biella e bottone di manovella.


Sostituendo a Ft la sua relazione in funzione di F'T e della somma degli angoli e (vedi

fig. 9) si ottiene la seguente relazione:

rsenF

rsenFrFM T

Ttm

cos

' (16)

La relazione (16) si può semplificare in modo da porla in funzione del solo angolo ; allo

scopo tenendo conto della formula di addizione di due angoli:

sensensen coscos

tenendo conto della relazione (2), dividiamo ambo i membri per cos:

22

2

22

11cos

coscos sen

sensen

sen

sen

sensen

sensen

sensen

sen

Pertanto si ottiene:

22

cos

sen

sensenrFM Tm

che si può ancora trasformare sapendo che cos22 sensen (formula di duplicazione di un

angolo):

Fig. 9 – Angolo somma di e .

FT’

Fr

Ft


222

2

sen

sensenrFM Tm (17)

Il diagramma dell'equazione (17) è riportato nella fig. 10:

Il grafico dimostra che l’andamento del momento motore è variabile, pertanto per

uniformare il moto rotatorio è necessario aumentare il numero di cilindri del motore e usare il

volano.

Fig. 10 – Andamento del momento motore (motore a 4T).


IL VOLANO

Lo studio del meccanismo di biella-manovella ha dimostrato che il momento motore Mm è

variabile periodicamente durante il compimento del ciclo operativo (il momento resistente Mr, al

contrario, si considera costante). La conseguenza di tutto ciò è la non trascurabile variabilità

durante il ciclo della velocità angolare della manovella, conseguenza della sua bassa inerzia. In

molte applicazioni, tuttavia, è richiesto che tale variazione sia contenuta entro limiti precisi affinché

il motore non sia soggetto a forti cambiamenti di velocità. La soluzione che viene adottata è di

calettare sull'asse di rotazione della manovella un organo meccanico di massa opportuna (volano)

che conferisca più regolarità al moto di rotazione. Vediamo come si esprime tutto ciò esattamente.

La fig. 11 mostra l’andamento di Mm (Mm Mr istante per istante) che si sviluppa in parte

nel piano positivo e in parte nel piano negativo, di conseguenza, essendo le aree delimitate dal

diagramma proporzionali al lavoro, si ha che se il lavoro istantaneo è positivo la velocità angolare

aumenta e se è negativo la velocità diminuisce.

In termini matematici ciò può essere chiarito dalla seguente relazione tra Mm e Mr:

Mm - Mr =J·ε (18)

in cui:

- J è il momento d’inerzia di massa delle masse rotanti rispetto all'asse di rotazione della

manovella (kg·m2);

- ε =Δω/Δt è l’accelerazione angolare delle masse rotanti (rad/s2)

Fig. 11 – Lavoro positivo e negativo (motore a 4T).


La relazione (18) mostra che quando è:

- Mm > Mr la velocità angolare aumenta fino a raggiungere ω2 (velocità angolare massima);

- Mm < Mr la velocità angolare diminuisce fino a raggiungere ω1 (velocità angolare minima);

- Mm = Mr la velocità angolare rimane costante ω0 (velocità angolare media).

Il volano, quindi, deve essere capace di assorbire energia quando Mm > Mr (ω > ω0 ) e

restituirla quando Mm < Mr (ω < ω0 ).

Allo scopo di determinare la massa del volano, indichiamo con Mm0 il momento motore

medio uguale al lavoro utile Lu (che è a sua volta uguale al lavoro positivo sviluppato delle forze

motrici durante la fase attiva di accensione-espansione meno quello negativo Lr dovuto alle forze

resistenti manifestantesi durante le fasi passive di aspirazione, compressione e scarico: Lu = Lm - Lr)

diviso la lunghezza della base del diagramma (Mm, ):

Mm0 = Lu /4 (19)

Con riferimento alla fig. 12, il diagramma del lavoro assume la forma di un rettangolo di

base 4 e altezza Mm0. La stessa area rappresenta il lavoro resistente Mr considerato costante.

Sempre nella stessa fig. 12 sono stati indicati i punti del ciclo corrispondenti alla situazione

in cui il motore raggiunge la minima e la massima velocità angolare.

Tutto ciò premesso, il parametro che caratterizza il funzionamento irregolare del

meccanismo di biella-manovella è chiamato grado di irregolarità nel periodo ed è così definito:

Fig. 12 – Momento motore medio (motore a 4T).


= (ω2 - ω1)/ ω0 (20)

dove ω0 è la velocità angolare media:

ω0 = (ω1 + ω2)/2 (21)

Il campo di variazione di dipende dalla tipologia di macchina e sono i seguenti:

Tipologia di macchina Pompe e ventilatori Motori Alternatori

richiesto 1/20 ÷1/30 1/100 ÷ 1/300 1/300

Il volano, quindi, deve avere una massa tale da garantire un prestabilito grado di irregolarità

nel periodo.

La determinazione della massa del volano in pratica è preceduta dal calcolo del momento

d’inerzia di massa dello stesso nel modo che è di seguito illustrato.

L’energia che determina l’eccessiva variazione della velocità degli organi rotanti e che il

volano deve assorbire è uguale all'eccesso di lavoro motore rispetto al lavoro resistente; questo

lavoro si chiama "lavoro eccedente" e corrisponde in fig. 12 all'area tratteggiata Le .

Calcoliamo Le nel modo seguente:

)(2

1 2

1

2

2 JLe (22)

tale equazione può essere riscritta in funzione della (20) e (21):

2

0001212

2

1

2

2 22

1))((

2

1)(

2

1 JJJJLe (23)

L’equazione (23), infine, permette di ricavare il momento d’inerzia di massa del volano:

2

0

eLJ (24)

Al fine di ricavare la massa del volano occorre stabilire la sua forma. Tale forma dipende dal

tipo di macchina alla quale è destinato (motore endotermico monocilindrico o pluricilindrico,

pompe, ecc.) ma in via di massima si possono ridurre a due forme principali:

a) a disco pieno (v. fig. 13)

b) a corona circolare (v. fig. 14)


Nel caso del volano a disco il momento d’inerzia si calcola con la seguente formula:

2

2

1mrJ (25)

quindi:

2

0

2

2

1

eLmr

Fig. 13 – Volano a disco completo di campana.

Fig. 14 – Volano a razze.

r


da cui si ha:

22

0

2

r

Lm e

(26)

Nel caso del volano a razze il momento d’inerzia si calcola considerando la massa del

mozzo e delle razze trascurabili rispetto a quella della corona:

22

2

2

1 )(2

1mmrrrmJ (27)

in cui 2

21 rrrm

è il raggio medio, quindi si ha:

2

0

2

e

m

Lrm

da cui si ricava:

22

0 m

e

r

Lm

(28)

Nelle formule (26) e (28) è incognito il lavoro eccedente Le che si può calcolare in funzione

della potenza e del numero di giri del motore n0 mediante la seguente procedura.

Anzitutto si introduce un nuovo coefficiente 1 detto "coefficiente di fluttuazione" così

definito:

1

1L

Le (29)

in cui L1 è il lavoro compiuto nel periodo dal motore (vale a dire in un giro dell’albero motore).

La seguente tabella ne riporta alcuni valori:

Tipologia

di motore

Otto 2T Otto 4T

Diesel 2T Diesel 4T

N° cilindri 1C 2C 3C 4C 1C 2C 3C 4C 6C 8C

1 · 10-2

80100 1525 80100 45 140200 5070 2535 1220 69 35

125135 5565 2228 1012 320360 130180 8090 2030 1015 911

Calcoliamo L1 in funzione di Mm0 e della potenza N da erogare alla velocità angolare media

ω0 :

0000 2 nMMN mm (30)

il lavoro compiuto in un giro è uguale al seguente prodotto:

201 mML (31)


ricavando Mm0 dalla (30) e sostituendo nella (31) si ha:

00

1 22 n

N

n

NL

(32)

sostituendo la 32 nella (29) si ricava Le:

0

111n

NLLe (33)

La massa del volano si ricava dopo aver sostituito la (33) nella (26) e (28) e aver sostituito

00 2 n :

3

0

22

1

4

2

nr

Nm

(34) (massa volano a disco)

3

0

22

1

4 nr

Nm

m

(35) (massa del volano a razze)

Nota la massa del volano, il volume V può essere ricavato mediante la massa specifica del

materiale col quale esso sarà costruito, con la seguente formula:

mV (36)

Ricavato il volume, rimane da definirne la geometria attraverso le seguenti formule:

brV 2 (37) (volano a disco)

brrV )( 2

2

2

1 (38) (volano a razze)

nelle quali b è rispettivamente la lunghezza assiale del disco o della corona.

ESERCIZIO N. 1

Tema d’esame di Stato di Meccanica Applicata - Sessione Ordinaria 2004

Una pompa a stantuffo a semplice effetto ha le seguenti caratteristiche:

- velocità di rotazione: 120 giri/min;

- diametro del cilindro: 200 mm;

- corsa del pistone: 320 mm;

- prevalenza monometrica: 280 J/kg;

- fluido movimentato: fanghi con massa volumica 1600 kg/m3

Il candidato:

1) disegni con opportuna scala il diagramma del momento richiesto in funzione dell’angolo di

manovella.


2) esegua uno schizzo quotato della manovella di estremità del meccanismo assumendo con

proprio criterio tutte le dimensioni occorrenti.

Indichi, in riferimento alle varie posizioni della manovella, le maggiori sollecitazioni

presenti nelle sezioni trasversali della stessa ed effettui verifiche di resistenza di quelle che

ritiene più pericolose dopo aver specificato il material da usare.

3) (facoltativo) con l’aiuto del diagramma del momento richiesto, in via approssimativa, valuti

il momento di inerzia di un volano che garantisca un grado di irregolarità nel periodo non

superiore al 4%.

In alternativa al punto 3)

3) calcoli, in riferimento alle posizioni critiche della manovella (quadratura e allineamento con la

biella), le sollecitazioni presenti nelle sezioni trasversali più pericolose.

SOLUZIONE

Nella figura è stato rappresentato il sistema meccanico complessivo:

Vediamone il principio di funzionamento. Lo stantuffo, spostandosi verso destra dal PMS al

PMI crea una depressione all’interno del cilindro che mantiene aperta la valvola di aspirazione (A)

e chiusa quella di mandata (M) permettendo, al contempo, al liquido di entrare nel cilindro

(naturalmente la tubazione di aspirazione è piena di liquido grazie ad una valvola di non ritorno -

non rappresentata nella figura- che ne impedisce lo svuotamento durante la fase di mandata).

Lo stantuffo, raggiunto il PMI, inverte il suo moto e preme sulla massa liquida aspirata

provocando l’immediata chiusura della valvola di aspirazione e, dopo che la pressione nel cilindro

ha superato quella esistente a valle della valvola di mandata, l’apertura della stessa valvola.

Nella corsa di ritorno verso il PMS, lo stantuffo spinge la massa liquida nel condotto di

mandata. Il ciclo ricomincia quando, all’inversione del moto al PMS, si riduce la pressione

provocando la chiusura della valvola di mandata e la riapertura di quella di aspirazione.

PMS PMI

Fig. 15 – Pompa a stantuffo a semplice effetto.


1) Il momento motore si può calcolare con la seguente nota relazione:

a

m

NM

dove Na è la potenza assorbita dalla pompa e ω è la velocità angolare della manovella.

La potenza Na assorbita dalla pompa a stantuffo a semplice effetto si calcola con la formula

seguente:

p

a

HQN

in cui: = 1600 kg/m3 (massa volumica dei fanghi)

Q = portata media teorica [m3/s]

H = 280 prevalenza manometrica [J/kg]

ηp = ηm·ηy·ηv (rendimento totale della pompa)

La portata media teorica Q, a sua volta, è data dalla cilindrata unitaria Vc per il numero di

giri n della manovella:

322

01,032,04

2,0

4mc

DVc

in cui: D = 200 mm = 0,2 m (diametro del cilindro o alesaggio)

c = 320 mm = 0,32 m (corsa del pistone)

quindi risulta:

smnVQ c /02,0201,0 3

dove: n = 120 giri/min = 2 giri/s (velocità di rotazione della manovella)

Pertanto sapendo che: ηm = 0,880,97 (rendimento meccanico); ηy = 0,870,97 (rendimento

idraulico) e ηv = 0,950,99 (rendimento volumetrico) la potenza risulta:

WHQHQ

Nvymp

a 992499,095,096,0

28002,01600

Il momento motore Mm è:


Nmn

NNM aa

m 79022

9924

2

Prima di disegnare il diagramma del momento motore in funzione di , si deve calcolare la

pressione di mandata che, trascurando le perdite, si può ritenere costante durante la corsa del

pistone dal PMI al PMS.

La pressione di mandata costante agente sul pistone si può calcolare sapendo che il lavoro

compiuto dalla forza di pressione è uguale al lavoro compiuto dal momento motore medio in un

giro:

mMcAp 2

Pa

rD

M

rD

M

Ac

Mp mmm 493750

16,04

2,0

790

42

4

22222

dove: mc

r 16,02

32,0

2 (raggio di manovella)

222

0314,04

2,0

4m

DA

(area del pistone)

NApFT 155040314,0493750 (forza agente sul pistone)

Il momento effettivo agente sulla manovella in funzione dell’angolo è espresso dalla

relazione (17):

222

2

sen

sensenrFM Tm (17)

in cui FT è costante (perché la p è costante durante la corsa di mandata), la biella si assume di

lunghezza doppia della manovella (l=2r → =l/r=2); pertanto, trascurando le inerzie dovute al moto

alterno del sistema biella/manovella, il momento istantaneo alternativo Ma (durante la mandata (0°

< <180°) si potrà calcolare con la relazione approssimata della (17):

2

2sensenrFMM Tma


mentre, durante la corsa di ritorno (180°< <360°) il momento alternativo sarà nullo:

0aM

Il valore massimo di Ma si ha in quadratura (quando biella e manovella formano un angolo

retto, v. figura seguente):

in tal caso si ottiene:

275,01

l

rtg

63279090

Nmsen

sensen

senrFM Ta 207409,116,01550422

1266316,015504

2

2max

L’andamento approssimato del momento Ma all’albero in funzione dell’angolo di manovella

è presentato in fig. 17:

0 2

2074 N·m

790 N·m Mm

Ma max

200

/2

c = 2r

l

r 90°

PMI PMS

Fig. 16 – Meccanismo di biella e manovella.

Fig. 17 – Diagramma del momento motore istantaneo.


2) Il dimensionamento della manovella inizia col calcolo del diametro d del bottone di manovella

(al PMS, v. fig. 18) e del diametro D del piede di manovella che dipende dalle dimensioni

dell’albero motore soggetto al momento Mm.

Il bottone di manovella si dimensiona assumendo una pressione specifica per il cuscinetto pari

pamm= 9 N/mm2 e un rapporto l/d = 1,1:

mmp

Fd

amm

T 57,3991,1

15504

1,1

che arrotonderemo a 40 mm. Il diametro dell’albero motore, posto a=3,5d = 3,5·40 = 140 mm (v.

fig. in alto), si dimensiona a flessotorsione secondo il criterio di Von Mises:

22

4

3tffid MMM

in cui: NmMM mt 790

NmNmmaFM Tf 2171217056014015504

si ricava:

NmM fid 22767904

32171 22

FT

a

l1

L

R R

1

d1 d

D'

e2

e1

D D

1

A A

B B

Fig. 18 – Manovella d’estremità al PMS.


Per la costruzione dell’albero si sceglie l'acciaio S 355 JR EN 10027-1 (corrispondente

all’acciaio Fe 510 B UNI 7070) avente una σamm = 60 N/mm 2 . Quindi il diametro D risulta:

mmM

Damm

fid73

60

2276000323233

Per tener conto dell’indebolimento derivante dalla chiavetta assumiamo D=75 mm. Adesso

si dimensiona la manovella di estremità (costruita utilizzando l'acciaio S 355 JR) con le formule

sperimentali riportate in fig. 19 (dal manuale Hoepli):

R = 160 mm (raggio di manovella)

d = 40 mm (diametro del perno di manovella)

D =75 mm (diametro dell’albero)

D' =0,9D=67,5 mm

D1 = 1,9D =142,5 mm

R1 = R - D1/2= 17,5 mm

d1 = 2,5 d = 100 mm

l1 = 1,5 d = 60 mm

l = 1,1 d = 44 mm (lunghezza del perno di manovella)

Sez. B-B

b2

h2

Sez. A-A

b1

h1

Fig. 19 – Caratteristiche geometriche della manovella d’estremità.

Fig. 20 – Sezioni resistenti del

braccio di manovella.


h1 = 0,7 d = 28 mm

b1 = 1,6 d = 64 mm

h2 = 0,7 D = 52,5 mm

b2 = 1,6 D = 120 mm

a = 3,5 d = 140 mm

e1 = l/2 + h1/2 = 36 mm

e2 = l/2 + h2/2 = 48,25 mm

L = 1,2D = 90 mm

3) Calcoliamo il momento d’inerzia del volano che si ricava mediante la formula (24):

2

0

eLJ

Il lavoro eccedente Le si calcola dal diagramma del momento alternativo (v. fig. 21):

Infatti, Le è uguale alla somma delle aree delle figure ABC, DEF e EFGH. Le prime due

figure possono essere assimilate a due triangoli rettangoli di cateti AC=Mm; AB=/12; EF=Mm;

DE=/6; la terza figura è un rettangolo di base FH= e altezza EF=Mm. Pertanto il lavoro eccedente

risulta:

JM

M

MM

L m

m

mm

e 27928

7909

8

9

2

6

2

12

Il momento d’inerzia del volano risulta:

0 2

2074 N·m

790 N·m Mm

Ma max

200

A B D E G

C F H

C F H Fig. 21 - Calcolo del momento eccedente.


2

22

0

442

60

120204,0

2792kgm

LJ e

3) Durante il ciclo di lavoro, le maggiori sollecitazioni si verificano nelle sezioni trasversali A-A e

B-B (v. fig. 20) della manovella in corrispondenza delle posizioni di quadratura e di

allineamento con la biella.

Manovella in allineamento con la biella (PMS).

In questa posizione si verifica la resistenza della sez. A-A (tangente al bottone di manovella)

di misure:

h1 = 28 mm

b1 = 64 mm

Le sollecitazioni sono:

FT = 15504 N (sforzo assiale)

NmmeFM Tf 58915238155041 (momento flettente)

Calcoliamo le tensioni massime.

La tensione di compressione vale:

2

11

/65,86428

15504mmN

bh

F

A

F TTc

Il modulo di resistenza a flessione è:

322

11 836328646

1

6

1mmhbW f

FT

a

l1

L

R R

1

d1 d

D'

e2

e1

D D

1

A A

B B

Fig. 22 - Manovella d’estremità al PMS.


La tensione di flessione è:

2

max /44,708363

589152mmN

W

M

f

f

f

La tensione di flessione è superiore al carico di sicurezza, pertanto dobbiamo modificare

le misure delle sezioni A-A e B-B. Per questo disegniamo in scala la manovella e ricaviamo

direttamente dal disegno b1 (vedi fig. 23):

h1 = 28 mm

b1 = 120 mm (ricavata dal disegno della manovella)

Calcoliamo le nuove tensioni massime.

La tensione di compressione vale:

2

11

/6,412028

15504mmN

bh

F

A

F TTc

322

11 15680281206

1

6

1mmhbW f

La tensione di flessione è:

2

max /6,3715680

589152mmN

W

M

f

f

f

Fig. 23 - Nuovo profilo del braccio di manovella.


La tensione totale risulta:

2/2,426,376,4 mmNfc

inferiore al carico di sicurezza del materiale σamm = 60 N/mm2.

Manovella e biella in quadratura.

In questa posizione si verifica la resistenza della sez. B-B (tangente al mozzo dell’albero).

Ricaviamo anche in questo caso dal disegno la misura b2 (v. fig. 23):

h2 = 52,5 mm

b2 = 130 mm (ricavata dal disegno della manovella)

Le sollecitazioni, trascurando quella di taglio, sono:

Nmmsen

esen

FeFM T

t 171606225,5027

15504' 22

Nmmsen

Rsen

FRFM T

f 5976345,1727

15504' 11

Verifichiamo la sezione impiegando la tensione ammissibile σamm = 60 N/mm2

prima

definita (acciaio S 355 J R).

Il modulo di resistenza a flessione e a torsione sono:

D D

1

A A

B B

Fig. 24 - Manovella d’estremità in quadratura.

F'

a

l1

L R

R1

d1 d

D'

e2

e1


322

22

2

22 918759,3

5,52130

8,3mm

hb

k

hbWt

322

22 1478751305,526

1

6

1mmbhW f

in cui k si ricava dalla seguente tabella:

b/h 1 1,2 1,4 1,5 1,6 1,8 2 2,5 3 4 5 6 8

k 4,80 4,57 4,40 4,33 4,27 4,16 4,07 3,88 3,74 3,55 3,43 3,35 3,26 3

Le tensioni massime sono:

2

max /1991875

1716062mmN

W

M

t

t

t

2

max /4147875

597634mmN

W

M

f

f

f

La corrispondente tensione ideale è:

22222 /3319343 mmNid

inferiore al carico di sicurezza del materiale σamm = 60 N/mm2.

ESERCIZIO N. 2


Per regolare il regime di rotazione di un gruppo elettrogeno, viene calettato sull'albero di

trasmissione del motore un volano in ghisa.

Si hanno i seguenti dati:

- coppie polari dell'alternatore p = 2

- frequenza della corrente elettrica di rete f = 50 Hz

- potenza all'asse del motore (diesel 4 cilindri, 4 tempi ) N = 30 kW

Il candidato, dopo avere assunto con motivato criterio i dati ritenuti necessari, effettui:

- il dimensionamento di massima del volano;

- la verifica della corona alla forza centrifuga;

- lo schizzo quotato dell'organo meccanico.

Il candidato, inoltre, illustri sinteticamente le caratteristiche costruttive e di funzionamento

dell'organo meccanico.


SOLUZIONE

Caratteristiche costruttive e di funzionamento del volano

Nelle macchine motrici con meccanismo a biella-manovella l'albero motore riceve energia

dallo stantuffo durante la corsa di espansione (fase attiva) restituendola allo stesso e ad altri organi

nelle altre corse per mantenerli in moto, superando i punti morti.

Tutto ciò causa l’accelerazione dell'albero motore nella fase attiva e la decelerazione nelle

altre, per cui durante ogni ciclo o periodo (formato da quattro o due corse), la velocità angolare

dell'albero varia da un minimo (ω1, marcia a pieno carico) a un massimo (ω2, marcia a vuoto),

seguendo le variazioni periodiche delle forse motrici e resistenti.

Durante ciascun ciclo si producono cioè alternativamente degli eccessi di lavoro motore e di

lavoro resistente ai quali corrispondono delle accelerazioni e decelerazioni del movimento; durante

le prime, l'eccesso di lavoro motore viene immagazzinato sotto forma di energia cinetica, la quale

viene restituita durante la seconda per compensare l'eccesso di lavoro resistente. Lo scarto di

velocità (ω2-ω1,) sarà tanto minore quanto più grande sarà l'attitudine degli organi rotanti a

immagazzinare energia cinetica, cioè quanto più grande sarà il momento d'inerzia degli organi stessi

rispetto all'asse di rotazione. Per aumentare tale momento d'inerzia, viene calettato sull'albero

motore un organo detto volano che può essere a disco o a razze.

Il volano a disco è caratteristico delle macchine rotanti ad alta velocità, come ad esempio i

motori endotermici per autotrazione; è di piccole dimensioni ed è generalmente realizzato in

acciaio. Il volano a razze si impiega invece nelle macchine rotanti a medie e basse velocità; è di

grandi dimensioni ed è realizzato in ghisa.

Progettazione del volano

Data la potenza N (kW), il grado d’irregolarità δ, il coefficiente di fluttuazione φ1, il raggio

medio rm (m) del volano e la velocità media n0 (giri al minuto), la massa è data da:

3

0

22

1

4 nr

Nm

m

Il raggio medio si può preventivamente determinare in base alla massima velocità periferica

ammissibile durante l’esercizio del volano per limitare la sollecitazione prodotta dalla forza

centrifuga che dipende dal materiale impiegato per la costruzione del volano.

Per il motore in esame (diesel 4T, 4C) si assume un coefficiente di fluttuazione φ1 = 0,25.

La conoscenza del coefficiente di fluttuazione φ1 permette di ricavare in modo semplice la

massa m del volano necessaria per ottenere un grado di irregolarità δ imposto.


Il grado d’irregolarità richiesto per alternatori è di δ = 0,003.

Per corone di ghisa la velocità periferica consigliata è di v ≤ 30 ÷ 40 m/s.

Il numero di giri al minuto n0 del motore dipende dal numero di coppie polari

dell’alternatore p = 2 e dalla frequenza di rete f = 50 Hz:

min/15002

5060600 giri

p

fn

Fissata la velocità periferica ammissibile v = 30 m/s, il raggio rm è:

mn

vrm 19,0

60

15002

30

2 0

pertanto, la massa del volano risulta:

kgnr

Nm

m

112

60

150019,04

30000

003,0

25,0

4 3

22

3

0

22

1

Il volume del volano, considerando la massa volumica della ghisa ρ = 7,25 kg/dm3, si ricava

applicando la formula (36):

3448,1525,7

112dm

mV

Il volume del volano è anche definito dalla formula (38):

brrV )( 2

2

2

1

che può essere opportunamente modificata per facilitarne l’uso nelle applicazioni, introducendo il

raggio medio e lo spessore h=r1-r2:

bhrbrrrrbrrV m 2))(()( 2121

2

2

2

1 (formula di Guldino)

Assumendo il rapporto b=2h (in genere tale rapporto b/h=2÷3) si ha che:

24 hrV m

da cui:

dmr

Vh

m

8,09,14

448,15

4

di conseguenza:

b = 2h = 1,6 dm;

h

b

r 2 r 1

Fig. 25 – Sezione del volano a razze.


r1=rm + h/2= 2,3 dm;

r2=rm - h/2= 1,5 dm

Il numero di razze è definito da: 428

1

7

11

ri . Con i dati a noi noti ed esprimendo r1

in mm si ottiene: 68,223028

1

i pertanto per sicurezza si assume i = 6.

Nei calcoli svolti sono stati trascurati e l’inerzia dovuta alle altre masse in movimento e la

massa delle razze (che costituiscono circa il 10% della massa del volano) ma ciò, anche se rende i

calcoli un po' meno precisi, va a vantaggio della regolarità di funzionamento.

Verifica della corona alla forza centrifuga.

Ai fini della verifica in parola, il volano si può immaginare come se fosse un anello che la

forza centrifuga tende di dividere a metà.

Questa forza centrifuga si calcola con la seguente formula:

2

2

0 G

c

ymF

in cui:

m

G

ry

2 è la distanza del baricentro G1 della

semicirconferenza media della corona dal centro O.

Con i dati noti si ha:

yG = 1,21 dm.

La forza centrifuga vale:

Nym

F G

c 1670222

121,060

15002112

2

2

2

0

La sezione resistente della corona è:

A= 2bh

La sollecitazione a trazione risulta:

2/52,6801602

167022mmN

A

Fc

t

O

Fc

Fc

yG

G1

G2

Fig. 26 – Corona del volano a razze.


che è minore di quella ammissibile della ghisa σam = 12 N/mm2.

Un altro effetto cui la forza centrifuga dà luogo è la flessione che si genera nel tratto di

corona di lunghezza l tra due razze consecutive. Tale tratto si comporta come una trave incastrata

agli estremi e sollecitata da un carico uniformemente distribuito.

Il momento d'incastro è pari a:

12

2lqM f

in cui q è il carico uniformemente distribuito indotto dalla forza centrifuga relativo al tratto di

corona di lunghezza l:

mmi

rl m 199

6

19022

Risulta:

mmNli

F

l

i

F

q c

c

/2801996

167022222

Nmmlq

M f 023.92412

199280

12

22

Il modulo di resistenza a flessione:

Wf = bh2/6 = 170.667 mm

3

quindi la tensione a flessione risulta:

σf = Mf / Wf = 5,41 N/mm2.

La sollecitazione totale è:

σ = σf + σt = 11,93 < 12 N/mm2

La corona è verificata alla forza centrifuga.

Schizzo quotato dell'organo meccanico:

Fig. 27 – Schizzo quotato del volano.


REGOLATORI

Il funzionamento delle macchine motrici a un certo regime di giri costante richiede

l’equilibrio tra momento motore e momento resistente. Il verificarsi di uno squilibrio di una certa

durata fra i due momenti può provocare una variazione più o meno sensibile del numero di giri

all’unità di tempo compiuti dalla macchina motrice. Allora, è necessario che ad ogni variazione del

momento resistente il momento motore possa variare nello stesso senso. I regolatori meccanici

sono meccanismi che permettono di mantenere l’equilibrio fra momento motore e momento

resistente. I regolatori meccanici più usati ancora oggi sono i centrifughi nei quali si utilizza la forza

centrifuga, agente su opportune masse del regolatore, per spostare l’organo che regola la quantità di

fluido che alimenta la macchina motrice. Un esempio di questo regolatore è illustrato in fig. 28.

Il regolatore faceva accelerare la macchina motrice se rallentava per il troppo carico o la

faceva rallentare dopo un'accelerazione dovuta a diminuzione di carico.

Non tutte le macchine motrici però hanno bisogno di un intervento esterno per riprendere il

moto uniforme. Alcune motrici infatti presentano la seguente curva di coppia (curva

caratteristica):

Fig. 29 – Curva caratteristica di coppia discendente.

n nmax

Mm

nmin

Fig. 28 - Regolatore centrifugo a sfere.

Funzionamento: quando la

velocità angolare del

regolatore aumenta, le

sfere si alzano per effetto

della forza centrifuga e

spostano verso il basso il

collare che mediante la

leva chiude la valvola a

farfalla che regola il fluido

che alimenta la macchina.

Cinghia trapezoidale


Il funzionamento della motrice (che in questo esempio si suppone funzionante al massimo

carico) è stabile perché se il momento resistente Mr diminuisse, il numero di giri della macchina n

aumenterebbe e il Mm diminuirebbe fino a raggiungere un nuovo punto di stabilità.

Una macchina motrice con curva di coppia ascendente non è stabile:

Infatti, se il momento resistente diminuisse, aumenterebbero e il numero di giri e il momento

motore, conseguentemente lo squilibrio aumenterebbe sempre di più. In tal caso è necessaria la

regolazione della macchina. Il regolatore serve per riportare il funzionamento della macchina tra n1

e n2.

Indichiamo con n il numero di giri a regime della macchina calcolabile con buona

approssimazione con la seguente relazione:

22

minmax21 nnnnn

(39)

i parametri caratteristici di un regolatore sono il grado d'insensibilità i e il grado di irregolarità s

(o di staticità) che sono definiti come di seguito riportato:

Fig. 30 – Curva caratteristica di coppia discendente.

Fig. 31 – Curva caratteristica di coppia ascendente.

Mr1

n nmax

Mm

nmin

Mr2

n1 n2

Curva caratteristica

del momento resistente

n nmax

Mm

nmin n2 n1


n

nni 12 (40) con i = 0,0120,013

n

nns minmax (41) con s = 0,020,08

Il regolatore si dice "statico" se s > 0, si dice "astatico" se s = 0 e la regolazione è

impossibile.

Il regolatore è efficace se i < s.

Il grado di irregolarità serve per la scelta del regolatore più adatto alla macchina.

REGOLATORE ELEMENTARE DI WATT (regolatore centrifugo a sfere).

La fig. 32 illustra il regolatore di Watt, ormai in disuso, con tutte le grandezze fisiche che

permettono di descriverne il funzionamento. L’obiettivo è determinare le relazioni che legano il

grado di insensibilità e il grado di irregolarità alle grandezze del sistema.

I simboli in fig. 22 hanno il seguente significato:

m = massa [kg]

h = altezza di regolazione [m]

r = distanza delle masse dall’asse di rotazione [m]

ω= velocità angolare [rad/s]

n= numero di giri nell’unità di tempo [giri/s]

P = peso delle sfere [N]

Fig. 32 – Regolatore di Watt.

Fc

Fc

P P

m m Fc

O

Massa attiva

Braccio

Albero ω

Collare

Biella

h

r


Fc = forza centrifuga [N]

Scriviamo l’equazione di equilibrio intorno ad O (detta equazione caratteristica del

regolatore):

rPhFc (42)

Sostituendo le espressioni di Fc = mω2r e P = mg si ricava:

mgrrhm 2

da cui, ricordando che ω=2n e che

12

g, si ricava:

222 4

1

2 nn

ggh

(43)

La formula (43) dice che il regolatore di Watt non è adatto per alti numeri di giri perché per

n molto grande h risulta molto piccolo e ciò significa che le aste raggiungono presto la posizione

quasi orizzontale rendendo impossibile la regolazione in caso di ulteriore incremento di velocità.

Si passa allora al regolatore PORTER.

REGOLATORE PORTER

Questo regolatore deriva da quello di Watt al quale è stato aggiunto un collare contrappesato

di peso totale Q che ha l’effetto di aumentare P di Q (v. fig. 33):

Fig. 33 – Regolatore Porter.

Il carico Q è stato scomposto lungo le

bielle (componenti Q' ). Una di tali componenti viene traslata in B e qui

di nuovo scomposta nelle sue

componenti verticale e parallela al braccio. La componente verticale è

uguale ancora a Q. Pertanto il peso

del collare si può considerare applicato alla cerniera di

collegamento braccio-biella.

O

Collare con contrappeso Q

h

ω

m m Fc Fc

P P

r

r1

Q

Q

l

a

Q

Q

Q' Q'

Q

Q'

O

A

B

B'

A'


Eseguiamo nuovamente l’equilibrio rispetto al punto O:

rPrQhFc 1 (44)

rF

Pr

F

Qh

cc

1

Sostituendo le espressioni di Fc = mω2r e P = mg e tenendo conto della (39) si ricava:

1

4

111 1

2

1

212212 r

r

P

Q

nr

r

P

Qgr

mgr

Qg

rm

mgr

rm

Qh

(45)

La relazione (45) mostra che l’altezza h può essere incrementata di quanto si vuole

solamente incrementando Q.

La relazione (45) può essere riscritta in modo da far comparire la distanza del braccio l e la

distanza tra la cerniera dell’albero e quella di collegamento braccio-biella a (v. fig. 23):

1

4

12 l

a

P

Q

nh (46)

Nel caso in cui si volesse tener conto delle resistenze al moto del collare (resistenze d’attrito

nelle articolazioni, inerziali degli organi in movimento, ecc.) che si manifestano quando la

macchina si squilibra, indichiamo tali resistenze con Fa e, tenendo presente che la sua azione è

sempre contraria allo spostamento del collare, si ricava:

1

4

12 l

a

P

FQ

nh a (47)

in cui la forza antagonista Fa va presa con il segno "+" se il collare sale e viceversa.

La relazione (46) o (47) mostra che l’altezza h può essere incrementata quanto si vuole

incrementando Q.

Nelle formule precedenti ponendo l=a la configurazione del regolatore cambia divenendo

quella di un quadrilatero articolato formato da quattro aste della stessa lunghezza con le sfere poste

ai vertici detto regolatore Porter (v. fig. 34), in tal caso le formule si semplificano (perché ai fini del

funzionamento, Q, P e Fa possono essere considerate applicate tutte nel baricentro delle sfere) e il

numero di giri del regolatore nel funzionamento a regime (cioè a numero di giri costante n) risulta:

1

4

1

P

Q

hn (48)


mentre i numeri di giri che limitano il normale campo di funzionamento del regolatore sono:

1

4

11

P

FQ

hn a

(49)

1

4

12

P

FQ

hn a (50)

e quindi il grado di insensibilità:

PQ

F

n

nn

nn

nn

n

nn

n

nni a

2

2

1

2

2

12

121212

2 (51)

Il grado di irregolarità lo si può calcolare note le altezze massima (hmax) e minima (hmin) che

il regolatore può raggiungere compatibilmente con la sua geometria:

P

PQ

hn

min

max4

1 (52)

P

PQ

hn

max

min4

1 (53)

n

nns minmax (54)

Naturalmente deve risultare i < s se si vuole che il regolatore sia efficace.

Nel regolatore Porter a bracci uguali, lo spostamento del collare risulta il doppio di quello

fatto dalle sfere.

Fig. 34 – Regolatore Porter a bracci uguali.


REGOLATORE HARTUNG (regolatore centrifugo a molla)

Il regolatore Porter esaminato in precedenza, diventa ingombrante e pesante quando le

macchine motrici sono veloci. In questi casi l’azione delle forze antagoniste (costituite da forze

peso) viene sostituita dalla reazione elastica di una molla.

Un regolatore che soddisfa tale caratteristica è il regolatore Hartung.

Un regolatore siffatto è costituito da due masse cilindriche rotanti, chiuse in un carter, che

scorrono orizzontalmente al variare della forza centrifuga. Tali masse agendo su due leve a squadra

azionano il collare che si sposterà proporzionalmente al variare della velocità di rotazione. Lo

spostamento delle masse è contrastato da altrettante molle (v. fig. 35):

Le forze applicate alle leve del regolatore sono rappresentate in fig. 36:

I simboli nelle figg. 35 e 36 hanno il seguente significato:

m = massa (kg)

k = costante elastica della molla (N/m)

Fig. 35 – Regolatore Hartung.

Fig. 36 – Forze agenti sulla leva del regolatore Hartung.

ω

O

Fm

Fa/2 b

b

Fc

O


b = bracci della leva angolare (m)

ω= velocità angolare (rad/s)

Fm = reazione elastica della molla (N)

Fc = forza centrifuga (N)

Fa= forza resistente complessiva (N)

Scriviamo l’equazione di equilibrio dinamico a regime normale (Fa = 0) della leva rispetto al

punto O :

bFbF mc (55)

quindi mc FF

Sostituendo le espressioni di Fc = mω2r e P = mg si ricava:

mFrm 2

da cui, ricordando che ω=2n e che

12

g, si ricava:

rP

Fn m

4

2 (56)

Nelle fasi di squilibrio la forza resistente si manifesta e si ha:

bF

bFbF amc

2 (57)

Sostituendo come fatto prima le espressioni di Fc = mω2r e P = mg e ricordando che

ω=2n e che

12

g, si ricava:

rP

FFn am

4

2/2 (58)

In analogia a quanto fatto per il regolatore Porter avremo:

rP

Fn m

4

2 (59)

2

2

24

2/

rP

FFn am

(60)

1

2

14

2/

rP

FFn am

(61)

nelle quali r1 e r2 sono le distanze del baricentro dei contrappesi dall’asse di rotazione.


Se invece considerassimo la massima e minima escursione possibile si avrebbe:

max

2

max4 rP

Fn m

(62)

min

2

min4 rP

Fn m

(63)

nelle quali rmin e rmax sono la minima e massima distanza del baricentro dei contrappesi dall’asse di

rotazione e si ricavano osservando il seguente schema:

2min

cbr

2max

cbr

infine, il grado di insensibilità è dato dalla seguente formula:

m

a

F

F

n

nn

n

nni

22 2

2

1

2

212

(64)

e il grado di irregolarità si ottiene dalla relazione già vista per il regolatore Porter:

n

nns minmax (65)

b + c/2

b

c

c/2

c/2

Fig. 37 – Corsa del collare e spostamenti massime delle molle


ESERCIZIO N. 3


Un regolatore di Hartung ha le seguenti caratteristiche:

numero di giri di regime (n) 200 giri/min

grado di irregolarità (s) 3:100

grado d’insensibilità (i) 1:1000

forza resistente agente sul collare (Fa) 0,5 kgf

lunghezze dei bracci (uguali) della leve a squadra (b) 150 mm

corsa del collare (c) 100 mm

Determinare:

1) la forza esercitata da ciascuna molla al numero di giri di regime (Fm);

2) il peso di ciascun contrappeso (P);

3) il valore della forza centrifuga in corrispondenza delle posizioni estreme del collare (Fc);

4) la costante delle molle (k).

SOLUZIONE

La forza esercitata da ciascuna molla si ricava dalla relazione (64) risolta rispetto a Fm:

Ni

FF a

m 75,8103,02

81,95,0

2

Il peso di un contrappeso si ricava dalla relazione (59) sostituendo r con b e risolvendo

rispetto a P :

Nbn

FP m 3,12

15,060

2004

75,81

4 22

Si determinano adesso i limiti di intervento del regolatore facendo sistema con le relazioni

(39) e (65):

2002

03,0

minmax

minmax

nnn

n

nns

400

6

minmax

minmax

nn

nn

Risolvendo si ricavano:

min/197

min/203

min

max

girin

girin

Il valore della forza centrifuga massima e minima è uguale alla reazione della molla

massima e minima in corrispondenza delle posizioni estreme del collare (equilibrio dinamico),


pertanto si possono ricavare tramite le relazioni (62) e (63) risolte rispetto a Fm dopo aver calcolato

i valori di rmin e rmax:

mmc

brmmc

br 200501502

;100501502

max2min

NnrPFF mc 6,11260

2032,03,1244

2

2

maxmaxmaxmax

NnrPFF mc 5360

1971,03,1244

2

2

minminminmin

La forza che produce l’allungamento della molla si può calcolare con la seguente relazione:

NFFF cc 6,59536,112minmax

La relazione elastica della molla è data da:

ckF

pertanto si ricava:

mNc

Fk /596

1,0

6,59

Trasmissione e Regolazione del Moto Rotatorio

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