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9. Corpo rigido Il corpo rigido ` e il pi` u significativo tra i sistemi di punti vincolati, poich´ e descrive molti sistemi macroscopici e presenta alcuni moti integrabili. La cinematica del corpo rigido con un punto fisso ` e quella del gruppo delle rotazioni; in assenza di vincoli esterni, alle rotazioni si aggiungono le traslazioni, che rendono elicoidale il moto istantaneo. La dinamica ` e de- scrittadalle equazioni per la quantit`a di moto ed ilsuo momento, dette equazioni cardinali o di Eulero, oppure dalle equazioni di Lagrange e di Hamilton. Le equazioni del moto si scrivono nel sistema di riferimento solidale, perch´ e la distribuzione di massa del corpo, i cui momenti primo e secondo sono il centro di massa e la matrice d’inerzia, non varia. Il momento della quantit`a di moto e l’energia cinetica dipendono dalla matrice d’inerzia, che ` e diagonale nel sistema di assi principali, determinati dalle simmetrie del corpo. I moti di precessione di un corpo non soggetto a forze (moto per inerzia) e di un corpo con un asse di simmetria soggetto alla forza peso (moto giroscopico) vengono analizzati attraverso gli integrali primi. Il moto per inerzia viene anche illustrato tramite la elegante costruzione geometrica introdotta da Poinsot. 9.1. CINEMATICA Il corpo rigido ` e un insieme di punti materiali le cui distanze sono fisse. I vincoli che realizzano questa condizione si dicono interni, o di rigidit` a. Se non vi sono vincoli esterni, il corpo rigido si dice libero ed ha sei gradi di libert`a. Infatti, nota la posizione di tre punti del corpo non allineati, che fissano un sistema di assi cartesiani, la posizione di qualunque altro punto risulta univocamente determinata. Le nove coordinate cartesiane dei tre punti sono vincolate da tre equazioni, che esprimono la costanza delle reciproche

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9. Corpo rigido

Il corpo rigido e il piu significativo tra i sistemi di punti vincolati, poiche descrive moltisistemi macroscopici e presenta alcuni moti integrabili. La cinematica del corpo rigido conun punto fisso e quella del gruppo delle rotazioni; in assenza di vincoli esterni, alle rotazionisi aggiungono le traslazioni, che rendono elicoidale il moto istantaneo. La dinamica e de-scritta dalle equazioni per la quantita di moto ed il suo momento, dette equazioni cardinalio di Eulero, oppure dalle equazioni di Lagrange e di Hamilton. Le equazioni del moto siscrivono nel sistema di riferimento solidale, perche la distribuzione di massa del corpo, icui momenti primo e secondo sono il centro di massa e la matrice d’inerzia, non varia. Ilmomento della quantita di moto e l’energia cinetica dipendono dalla matrice d’inerzia, chee diagonale nel sistema di assi principali, determinati dalle simmetrie del corpo. I moti diprecessione di un corpo non soggetto a forze (moto per inerzia) e di un corpo con un assedi simmetria soggetto alla forza peso (moto giroscopico) vengono analizzati attraverso gliintegrali primi. Il moto per inerzia viene anche illustrato tramite la elegante costruzionegeometrica introdotta da Poinsot.

9.1. CINEMATICA

Il corpo rigido e un insieme di punti materiali le cui distanze sono fisse. I vincoli cherealizzano questa condizione si dicono interni, o di rigidita. Se non vi sono vincoli esterni,il corpo rigido si dice libero ed ha sei gradi di liberta. Infatti, nota la posizione di trepunti del corpo non allineati, che fissano un sistema di assi cartesiani, la posizione diqualunque altro punto risulta univocamente determinata. Le nove coordinate cartesianedei tre punti sono vincolate da tre equazioni, che esprimono la costanza delle reciproche

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distanze. Se i punti che formano il corpo rigido sono N , le loro coordinate cartesiane sono

3N e le relazioni che esprimono l’invariabilita delle reciproche distanze sono(

N2

)

= N(N−1)2 .

Queste non sono tra loro indipendenti se N ≥ 5; se P1, P2, P3 fissano il riferimento, solo ledistanze di ogni successivo punto Pk con k > 3 da P1, P2, P3 sono indipendenti e fissanola posizione di Pk, invece le distanze tra Pk e Pj con k, j ≥ 4 risultano gia determinate.Quindi i vincoli indipendenti sono

||ri − rj || = cij ,

i = 1, j = 2, . . . , Ni = 2, j = 3, . . . , Ni = 3, j = 4, . . . , N

(9.1.1)

ed il loro numero e esattamente 3N − 6. Per determinare la configurazione spaziale delcorpo rigido e conveniente scegliere un riferimento cartesiano S′ solidale con il corpo (adesempio l’origine O in P1 e gli assi x, y nel piano P1, P2, P3). I sei parametri necessari perindividuare S′ rispetto a un riferimento fisso S sono le tre coordinate (x0, y0, z0) di O′ e itre angoli di Eulero (φ, θ, ψ).

I vincoli esterni piu comuni sono un punto fisso e un asse fisso; nel primo caso i gradi diliberta diventano tre ed e conveniente scegliere l’origine di S′ nel punto fisso sicche i treparametri che individuano S′ rispetto a S sono gli angoli di Eulero. Nel caso di un assefisso si ha un sol grado di liberta poiche la posizione del corpo e individuata dall’angolodi rotazione rispetto all’asse. Si considerano anche corpi rigidi che si muovono in modotale che una loro sezione con un piano fisso si mantenga nel piano; il moto del corpo edeterminato da quello della sua sezione cioe di una figura piana nel piano. I gradi diliberta sono tre: le coordinate (x0, y0) dell’origine O′ del sistema solidale S′ rispetto alsistema fisso S e l’angolo tra gli assi x′ e x dei due sistemi. Se un punto della figura pianae obbligato a muoversi su una curva assegnata, i gradi di liberta si riducono a due.

Vincoli esterni di tipo anolonomo sono quelli imposti dalla condizione che un corpo rotolisenza strisciare su di una superficie.

Campi di velocita e accelerazione

Per un corpo rigido libero lo stato di moto piu generale e costituito dalla sovrapposizionedi una traslazione e di una rotazione. Essendo S′ rigidamente connesso al corpo rigido, leposizioni, rispetto ad S′, di tutti i suoi punti sono costanti; la velocita dei punti del corporigido e quindi semplicemente la velocita di trascinamento

v = v0 + ω × (r − r0) (9.1.2)

Notiamo che v e un campo vettoriale somma di un campo uniforme v0 e di uno solenoidaleω × (r− r0), le cui linee di forza sono circonferenze. Chiamiamo asse di rotazione la rettapassante per l’origine O′ di S′ e parallela ad ω. Se si cambia l’origine del sistema solidaleS′ il termine di traslazione cambia, e cambia l’asse di rotazione pur restando parallelo alprecedente perche la velocita angolare ω rimane inalterata.

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CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

!!!!!!!!!!!!

r

vM

vM

ω ω

v0

v

Figura 9.1.1. Asse di Mozzi.

Se O1 e la nuova l’origine di S′ e r1 = P −O1 e v1 = v0 + ω × (r1 − r0) la sua velocita siha

v = v0 + ω × (r − r1 + r1 − r0) = v1 + ω × (r − r1) (9.1.3)

Il punto O1 puo esser scelto in modo che la velocita di traslazione v1 sia parallela all’assedi rotazione.

Teorema di Mozzi. Ad ogni istante esiste un asse di rotazione, detto asse di Mozzi, icui punti hanno velocita parallela all’asse stesso. Rispetto ad un riferimento con l’originesull’asse di Mozzi il moto istantaneo del corpo rigido e elicoidale.

Siano i punti di tale asse dati da rM

= r0 + r⊥

+ λω, con r⊥

ortogonale ad ω, e siav

M= v0 + ω × r

⊥la velocita di questi punti. La velocita di un punto rispetto ad un

sistema S′ con l’origine su un punto M dell’asse di Mozzi e v = vM

+ ω × (r − rM

). Perdeterminare r

Mimponiamo che v

Msia parallelo ad ω:

ω × vM

= ω × v0 + ω × (ω × r⊥) = ω × v0 − ω2r

⊥= 0 (9.1.4)

Ne segue che

r⊥

=ω × v0

ω2, v

M=

ω

ω

(

ω

ω· v0

)

(9.1.5)

Quindi vM e semplicemente la proiezione di v0 sull’asse di rotazione. Indicando con v⊥

lacomponente di v0 perpendicolare all’asse di rotazione da (9.1.5) segue che il suo moduloe dato da v

⊥= ωr

⊥Il moto e di tipo elicoidale perche gli archi di traiettoria descritti

in intervalli di tempo infinitesimi corrispondono a quelli di un’elica cilindrica, dato che latraslazione avviene lungo l’asse di rotazione, vedi figura 9.1.1.Nel moto di una figura piana sul piano l’asse di Mozzi interseca il piano in un punto C,detto centro istantaneo di rotazione, la cui velocita istantanea e nulla. Rispetto al puntoC, il cui vettore posizione e r

C= r0 +r⊥, ha un moto di pura rotazione. Infatti la velocita

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di C e perpendicolare al piano, in quanto parallela all’asse di rotazione, e quindi non puoche esser nulla, perche altrimenti la figura uscirebbe dal piano. La velocita rispetto ad unsistema con l’origine in C si scrive quindi

v = ω × (r − rC) (9.1.6)

Il punto C cambia da istante a istante descrivendo una curva nel sistema fisso S che sichiama rulletta, e un’altra curva nel sistema solidale S′, detta base. Per individuare Cbasta conoscere le traiettorie di due punti del corpo; infatti r − r

Ce ortogonale a v e la

normale alla traiettoria di ogni punto e una retta che contiene C. Nel caso di un corporigido piano, la condizione che questo rotoli senza strisciare su una curva fissa γ e espressadall’annullarsi della velocita istantanea del punto di contatto C, vedi figura 9.1.2. Questopunto coincide con il centro di istantanea rotazione e la condizione di vincolo si scrive

vC

= v0 + ω × (rC− r0) = 0 (9.1.7)

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

C

P0

O

Figura 9.1.2. Corpo che rotola senza strisciare.

Come esempio di moto di una figura piana mostriamo nella figura 9.1.3 un’asta AB dilunghezza 2ℓ i cui estremi sono vincolati a muoversi su due guide ortogonali, lungo cuiscegliamo gli assi x, y di S: la base e un cerchio di raggio ℓ e centro nel punto mediodell’asta, la rulletta un cerchio di raggio 2ℓ e centro in O. Infatti detto θ l’angolo tra l’astae l’asse x le coordinate di C nel sistema fisso sono x = 2ℓ cos θ, y = 2ℓ sin θ, mentre nelsistema solidale si ha x′ = ℓ

(

1 + cos(2θ))

, y′ = ℓ sin(2θ).

L’accelerazione del corpo rigido e data dall’accelerazione di trascinamento

a = a0 +dω

dt× (r − r0) + ω × [ω × (r− r0)] (9.1.8)

e, nel caso di pura rotazione uniforme, si riduce alla sola accelerazione centripeta datadall’ultimo termine in (9.1.8)

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CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

x’

x

y

O A

y’

base

rulletta

CB

D

Figura 9.1.3. Centro istantaneo di rotazione C per un’asta, rulletta e base.

9.2. SISTEMI DI FORZE

Per un corpo rigido, costituito da un sistema di N punti con vincoli di rigidita ed eventualivincoli esterni, le equazioni del moto per i singoli punti sono date da (6.1.3). Le equazionidel moto per la quantita di moto P ed il suo momento L date da (6.1.8) determinanocompletamente il moto del corpo rigido e sono note come equazioni cardinali. Per il corpo

rigido libero F vinc (e)= 0 e Ω

vinc (e)= 0 e le equazioni del moto diventano

dP

dt= F(e)

dL

dt= Ω

(e)

(9.2.1)

Insieme con le (8.2.17) eMdrG/dt = P costituiscono un sistema di 12 equazioni differenziali

del primo ordine nelle coordinate del baricentro, negli angoli di Eulero, nella velocita delbaricentro e in quella angolare, poiche L = Jω dove J e un operatore lineare, detto tensoredi inerzia la cui rappresentazione nel sistema di assi solidali e una matrice costante, vediparagrafo 9.3. Quando il corpo e vincolato il numero di equazioni indipendenti si riduce.Se il corpo rigido ha un punto fisso O si sceglie in O l’origine di S ed S′; la reazione

vincolare e applicata in O per cui Ωvinc (e)

= 0 e

dL

dt= Ω

(e) (9.2.2)

insieme con (8.2.17) costituisce un sistema di 6 equazioni differenziali del primo ordinenegli angoli di Eulero e nelle componenti della velocita angolare.

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c©88-08- 9820 9.2. Sistemi di forze 199

Se il corpo rigido ha un asse fisso z, le reazioni vincolari sono ortogonali all’asse e il

momento delle reazioni lungo l’asse e nullo Ω vincz

(e)= 0. L’equazione del moto e

dLzdt

= Ω(e)z (9.2.3)

dove Lz = Jφ con φ angolo di rotazione e J momento d’inerzia rispetto all’asse z.

Sistemi di forze equivalenti

Nelle equazioni del moto compaiono solo la somma vettoriale F e il momento risultanteΩ di un sistema di forze applicato al corpo rigido. Due sistemi di forze con gli stessivettori F ed Ω producono lo stesso moto e si dicono equivalenti. Un sistema di forze conF = Ω = 0 non altera il moto e la sua applicazione o rimozione conduce ad un sistemadi forze equivalente a quello dato. Il risultato e intuitivo: il sistema piu semplice conF = Ω = 0 e quello di due forze uguali e opposte (F = 0) e con stessa linea di azione(Ω = 0).

F F

F

F

C1

3

4

F2

Figura 9.2.1. Forze equivalenti.

L’effetto di queste due forze sarebbe quello di allontanare (o avvicinare) i punti P1 eP2 cui sono applicate, con velocita diretta lungo la congiungente: cio e impedito dallacondizione di rigidita |ri − rj |2 = cij , derivando la quale si ha (vi − vj) · (ri − rj) = 0.Di qui seguono tutte le regole relative alla composizione delle forze di un corpo rigido.Come applicazione determiniamo il centro di un sistema di forze parallele, vedi figura9.2.1. Siano F1, F2, . . . ,FN le forze parallele applicate a P1, P2, . . . , PN con Fk = nFk.Vogliamo determinare il luogo dei punti r rispetto al quale il momento totale si annulla

Ω =

N∑

k=1

(rk − r) × nFk = 0, −→ r =

N∑

k=1

Fkrk

N∑

k=1

Fk

+ αn (9.2.4)

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!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

y

A

z

x

B

F

C

Figura 9.2.2. Centro di forze parallele (centrifughe) per un’asta rotante.

Per ogni direzione n fissata si ha una retta parallela ad n rispetto ai punti della qualeΩ = 0; tutte le rette si incontrano in un punto r

C, definito da (9.2.4) per α = 0, che

risulta indipendente dall’orientamento delle forze e vien detto centro delle forze parallele.Nel caso della forza peso Fk = mkg tale punto coincide con il centro di massa r

Gdefinito

da (4.2.1). Poiche rispetto a G il momento e nullo, il sistema delle forze peso e equivalentea una sola forza di modulo F = Mg applicata al baricentro G.

Calcolo di centri di forza

Molti corpi rigidi si possono considerare costituiti da una distribuzione continua di massacon densita assegnata; in questo caso la somma in (9.2.4) o (4.2.1) e sostituita da unintegrale di volume (di superficie o di linea se il corpo e una lamina o un filo). Comeesempio consideriamo il campo di forze centrifughe su un’asta AB rotante con velocitaangolare ω attorno all’asse y passante per l’estremo A, vedi figura 9.2.2. Detta ξ la distanzadi un punto P dell’asta da A se θ e l’angolo tra l’asta e l’asse di rotazione, la distanza delpunto dall’asse e x = ξ sin θ e la forza centrifuga dF agente su un elemento di lunghezzadξ e dato da dF = ω2xdm = ω2 sin θ ξρ(ξ)dξ e quindi il centro del sistema di forze e datoda

ξC

=

∫ ℓ

0

ξdF

∫ ℓ

0

dF

=

∫ ℓ

0

ξ2ρ(ξ)dξ

∫ ℓ

0

ξρ(ξ)dξ

(9.2.5)

dove ρ(ξ) e la densita lineare dell’asta e ℓ la sua lunghezza. Se l’asta e omogenea ξC

= 23ℓ,

la forza totale applicata al centro e F = 12mω

2ℓ sin θ ed il suo momento Ωz = FξC

cos θ =16mω

2ℓ2 sin(2θ) . Il lavoro corrispondente e dW = Ωzdθ = −dV/dθ ed il potenziale delle

forze centrifughe V = 112mω

2ℓ2(1 − 2 sin2 θ). Notiamo quindi che la lagrangiana dell’asta

nel sistema fisso e L = 16mℓ

2(θ2 + ω2 sin2 θ), se usiamo (9.3.16), (9.4.1) e (8.2.19) con

ψ = 0, φ = ω e puo essere letta come L = T ′ − V , dove T ′ e l’energia cinetica nel sistemarotante e V il potenziale delle forze centrifughe sopra calcolato.

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c©88-08- 9820 9.2. Sistemi di forze 201

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

Gx

y

Figura 9.2.3. Centro di massa di un disco con un foro.

Per il calcolo del centro di massa osserviamo che se il corpo ha un piano di simmetria ilcentro di massa appartiene al piano. Infatti se x, y e tale piano per ogni punto (x, y, z) siha un punto speculare (x, y,−z) con la stessa massa e quindi z

G= 0 poiche nella somma si

hanno contributi a due a due uguali ed opposti. Se un corpo e formato da sottosistemi, dicui conosciamo il centro massa G1, G2, . . . e la massa M1,M2, . . ., allora il centro di massatotale G e quello del sistema di punti G1, G2, . . .. Tale procedimento e utile se il corpo eomogeneo ed ha una cavita: si considera il centro di massa G1 del corpo senza cavita cheha massa M1 e poi il centro di massa G2 della cavita attribuendogli massa negativa M2

dove M = M1 + M2 e la massa del corpo assegnato. Come esempio calcoliamo il centrodi massa di un disco omogeneo di raggio R con un foro circolare di raggio r < R/2 il cuicentro dista r dal centro del disco, vedi figura 9.2.3. Per simmetria il centro di massa stasull’asse y passante per i due centri. Scelta l’origine nel centro di massa del disco pieno cheha massa M1 = ρπR2 il centro di massa del foro e in (0, r) e la sua massa e M2 = −ρπr2.Il centro di massa del disco con il foro e quindi

xG

= 0, yG

=M2r

M1 +M2= − r3

R2 − r2(9.2.6)

Equilibrio

Un corpo rigido e in equilibrio se vk = 0 e se rk = rk c soddisfano le equazioni

F(e) + F vinc (e)= 0

Ω(e) + Ω

vinc (e)= 0

(9.2.7)

Si puo provare che rk = rk c, vk = 0 sono un’orbita del sistema, cioe scelto rk(0) =rk c, vk(0) = 0 si ha rk(t) = rk c, vk(t) = 0. Infatti dalle equazioni (6.1.8) segue cheP(t) = P(0) = 0 e che L(t) = L(0) = 0. Quindi v

G= 0 e da (4.2.4) segue che e nullo il

momento della quantita di moto L′ rispetto al centro di massa G ove scegliamo l’origine

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202 9. Corpo rigido c©88-08- 9820

di S’. Si annulla quindi la velocita angolare poiche L′ = Jω = 0 implica ω = 0 essendo J

un operatore lineare non singolare, detto tensore di inerzia, vedi paragrafo 9.3.

Come esercizio ricaviamo le condizioni per l’equilibrio usando il principio dei lavori virtuali.Per il corpo rigido libero gli spostamenti virtuali coincidono con gli spostamenti realiinfinitesimi

δrk = vkδt = δr0 + δα × (r − r0) (9.2.8)

dove δα = nδα essendo n il versore dell’asse di rotazione e δα l’angolo infinitesimo dirotazione. Il lavoro virtuale e

δW =

N∑

k=1

Fk · δrk = δr0 · F + δα · Ω (9.2.9)

e poiche i vettori δr0 e δα = nδα sono arbitrari, da δW = 0 segue F = 0,Ω = 0. Se il corpoha un punto fisso nel quale scegliamo l’origine O del riferimento fisso e di quello solidale,δW = δα · Ω e l’annullarsi del lavoro virtuale implica Ω = 0. Se c’e un asse fisso direttocome n, solo δα e arbitrario l’annullarsi di δW implica n · Ω = 0. Questi risultati sono

sono in accordo con (9.2.7) perche se il corpo e libero risulta F vinc (e)= Ω

vinc (e)= 0, se

ha un punto fisso Ωvinc (e)

= 0, se ha un asse fisso, n · Ω vinc (e)= 0.

9.3. TENSORE D’INERZIA

Il problema del moto di un corpo rigido va affrontato mediante le equazioni cardinalioppure le equazioni di Lagrange. Occorre quindi esprimere il momento della quantita dimoto nel primo caso, l’energia cinetica nel secondo, come funzione delle coordinate cheindividuano il sistema solidale con il corpo e delle loro derivate prime. Se il corpo rigido elibero scegliamo nel centro di massa G l’origine del sistema solidale, che risulta individuatodalle coordinate di r

Ge dagli angoli di Eulero. Se la forma differenziale F · r

G+ Ω · dα,

dove esprimiamo dα = ωdt come differenziale negli angoli di Eulero tramite la (8.2.17),risulta esatta, la si scrive come −dV dove V = V (x

G, y

G, z

G, φ, θ, ψ) e il potenziale.

La energia cinetica ed il momento della quantita di moto si separano nella componentetraslazionale ed in quella rotazionale avendo scelto l’origine nel centro di massa. Infattidetti T ′ e L′ la energia cinetica ed il momento della quantita di moto rispetto al sistemacon l’origine in r

Ge gli assi paralleli al sistema fisso, che rappresentano il contributo

rotazionale, valgono le relazioni (4.2.4). D’ora in poi intenteremo che T ed L si riferiscanoa un corpo rigido con un punto fisso poiche le stesse considerazioni si applicano a T ′ ed L′

nel caso di un corpo rigido libero.

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c©88-08- 9820 9.3. Tensore di inerzia 203

Momento d’inerzia

Se l’asse di rotazione e fisso ω = nω con n costante, valgono le relazioni elementari

T =1

2J(n)ω2 L · n = J(n)ω (9.3.1)

dove J(n) e il momento d’inerzia rispetto all’asse

J(n) =N

s=1

msρ2s (9.3.2)

e ρs e la distanza del punto Ps rispetto dall’asse di rotazione. Infatti da vs = ‖ω×rs‖ = ωρsseguono (9.3.1) e (9.3.2). La proiezione di L sull’asse di rotazione e data da

L · n =L · ωω

=1

ω

N∑

s=1

msω · rs × vs =1

ω

N∑

s=1

msω × rs · vs =2T

ω= J(n)ω (9.3.3)

Se l’asse di rotazione non e costante, n e J(n) variano nel tempo. E allora convenienteesprimere T ed L mediante le componenti di ω assi del sistema solidale S′, rispetto ai qualila distribuzione delle masse del corpo rigido e costante nel tempo.

Matrice di inerzia

La velocita di un punto di un corpo rigido rotante con velocita angolare ω e

vs = ω × rs = e′x(ω′yz

′s − ω′

zy′s) + e′y(ω

′zx

′s − ω′

xz′s) + e′z(ω

′xy

′s − ω′

yx′s) (9.3.4)

e l’energia cinetica e una forma quadratica in ω′x, ω

′y, ω

′z

T =1

2[Jxxω

′x2

+ Jyyω′y2

+ Jzzω′z2

+ 2Jxyω′xω

′y + 2Jxzω

′xω

′z + 2Jyzω

′yω

′z] (9.3.5)

I coefficienti della forma quadratica formano la matrice d’inerzia J .

J =

Jxx Jxy Jxz

Jxy Jyy Jyz

Jxz Jyz Jzz

(9.3.6)

La matrice J e simmetrica definita positiva: infatti T e positiva e si annulla se e soltantose ω = 0. Le componenti della matrice di inerzia si calcolano partendo dalla definizione dienergia cinetica, ovvero sostituendo (9.3.4) nella definizione di T

T =1

2

N∑

s=1

msvs ·vs =1

2

N∑

s=1

ms[(ω′yz

′s−ω′

zy′s)

2 +(ω′zx

′s−ω′

xz′s)

2 +(ω′xy

′s−ω′

yx′s)

2] (9.3.7)

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204 9. Corpo rigido c©88-08- 9820

e sono date da

Jxx =

N∑

s=1

ms(y′s2

+ z′s2) Jxy = −

N∑

s=1

msx′sy

′s

Jyy =

N∑

s=1

ms(x′s2

+ z′s2) Jyz = −

N∑

s=1

msy′sz

′s

Jzz =

N∑

s=1

ms(x′s2

+ y′s2) Jxz = −

N∑

s=1

msx′sz

′s

(9.3.8)

Gli elementi diagonali Jxx, Jyy, Jzz sono i momenti d’inerzia rispetto agli assi coordinati.Il momento d’inerzia rispetto a un asse arbitrario individuato dal versore n si ottieneimmediatamente ponendo ω = ωn e confrontando (9.3.5) con (9.3.1).

J(n) = Jxxn′x2

+ Jyyn′y2

+ Jzzn′z2

+ 2Jxyn′xn

′y + 2Jxzn

′xn

′z + 2Jyzn

′yn

′z (9.3.9)

L’espressione per L′x si ricava osservando che

∂T

∂ω′x

=

N∑

s=1

msvs ·∂vs∂ω′

x

=

N∑

s=1

msvs · e′x × rs = e′x ·N

s=1

rs ×msvs = L′x (9.3.10)

e analoghe espressioni si hanno per L′y e L′

z. Ne segue che le componenti di L sul sistemasolidale sono date da

L′x

L′y

L′z

= J

ω′x

ω′y

ω′z

(9.3.11)

La matrice di inerzia trasforma le componenti della velocita angolare in quelle del momentodella quantita di moto. Indicando con J il corrispondente operatore lineare, detto anchetensore di inerzia, scriveremo

L = Jω, T =1

2ω · Jω =

1

2ω · L (9.3.12)

Assi principali d’inerzia

L’asse x si dice principale d’inerzia se Jxy e Jxz sono nulli; il momento di inerzia rispettoall’asse x che indichiamo con Jx si dice momento principale di inerzia. Se l’asse x eprincipale di inerzia, la matrice d’inerzia ha la struttura a blocchi

J =

Jx 0 0

0 Jyy Jyz

0 Jyz Jzz

(9.3.13)

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c©88-08- 9820 9.3. Tensore di inerzia 205

Analogamente y e z sono assi principali d’inerzia se Jxy = Jyz = 0 e se Jxz = Jyz = 0rispettivamente; se due assi sono principali di inerzia anche il terzo asse lo e e la matriceJ e diagonale.Gli assi principali di inerzia sono gli autovettori della matrice J ed i momenti principali diinerzia Jx, Jy, Jz i corrispondenti autovalori. Gli autovettori di J sono ortonormali poicheJ e simmetrica e quindi la trasformazione agli assi principali si ottiene con una rotazione.Se il corpo ha particolari simmetrie gli assi principali si individuano senza bisogno didiagonalizzare la matrice.

Ogni asse ortogonale ad un piano di simmetria e principale d’inerzia; un asse di simmetriae gli assi ad esso ortogonali sono principali di inerzia.

Infatti se xy e un piano di simmetria, per ogni punto di massa m e coordinate (x, y, z)esiste un punto (x, y,−z) speculare rispetto al piano con la stessa massa; nella sommache definisce Jxz per ogni termine mxz c‘e un termine −mxz di segno opposto e quindiJxz = 0. Nello stesso modo si prova che Jyz = 0, mentre Jxy 6= 0. Un asse di simmetriae l’intersezione di piani di simmetria. Se z e un asse di simmetria i piani xz e yz sono disimmetria: quindi tutti gli assi sono principali d’inerzia e Jx = Jy. I solidi di rotazioneomogenei o con densita che dipende solo dalla distanza dall’asse hanno questa simmetriae si dicono a struttura giroscopica.

Figura 9.3.1. Corpo con un piano di simmetria (lato sinistro), con un asse di simmetria (lato destro).

Metodi di calcolo

Le componenti della matrice d’inerzia sono state qui definite come somme sui punti delcorpo rigido. Spesso conviene considerare il corpo come un solido con una distribuzionedi massa continua anziche discreta. Allora le somme vengono sostituite da integrali divolume oppure di superficie o di linea se il corpo e una lamina o un filo. Le masse dei puntidiventano elementi di massa espressi dal prodotto della densita per l’elemento infinitesimovolume o di superficie o di linea..

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206 9. Corpo rigido c©88-08- 9820

Per semplificare il calcolo della matrice di inerzia e conveniente scegliere inizialmente ilsistema di assi principali con l’origine nel centro di massa: infatti se il corpo ha un pianood un asse di simmetria il centro di massa appartiene al piano o all’ asse ed e semplicedeterminare gli assi principali ed i loro momenti d’inerzia JG

x , JG

y , JG

z . Per un corpo genericosenza simmetrie la matrice d’inerzia rispetto ad un qualunque sistema si esprime attraversoquesti momenti e le coordinate del centro di massa

Jxx = JG

x +M(y2G

+ z2G) Jxy = −Mx

Gy

G

Jyy = JG

y +M(x2G

+ z2G) Jxz = −Mx

Gz

G

Jzz = JG

z +M(x2G

+ y2G) Jyz = −My

Gz

G

(9.3.14)

che seguono dalle equazioni di trasformazione delle coordinate xs = xG

+ x′s notando che∑

s msx′s = 0 e da relazioni analoghe per y e z.

Teorema di Steiner. Il momento di inerzia J(n) rispetto ad un asse n e uguale almomento di inerzia JG(n) rispetto ad un asse parallelo passante per il baricentro, sommatocon il prodotto tra la massa totale ed il quadrato della distanza ℓ tra i due assi

J(n) = JG(n) +Mℓ2 (9.3.15)

Il risultato, evidente se n e uno degli assi coordinati. In generale si prova sostituendo(9.3.14) in (9.3.9) che da J(n) = JG(n) +M‖n × r

G‖2.

Per un corpo omogeneo con una cavita e conveniente calcolare il momento di inerzia delcorpo senza cavita, quello della cavita con la stessa densita di massa presa con segnonegativo e sommare i due risultati, seguendo lo stesso procedimento usato per il calcolodel centro di massa.

A titolo di esempio calcoliamo i momenti di un’asta omogenea lunga ℓ di massa m rispettoad un sistema con l’origine nel centro di massa e l’asse z orientato lungo l’asta. Gli assisono principali di inerzia ed essendo la densita lineare dell’asta ρ = m/ℓ

Jx = Jy =

∫ ℓ/2

−ℓ/2z2ρdz =

mℓ2

12, Jz = 0 (9.3.16)

Rispetto ad un sistema con l’origine in un estremo dell’asta, i momenti si ottengono colteorema di Steiner e valgono Jx = Jy = mℓ2/3. Per una lamina omogenea quadrata dilato ℓ e massa m consideriamo il riferimento cartesiano con origine nel centro di massa edassi x, y paralleli ai lati. Per la simmetria gli assi coordinati sono principali di inerzia e siha Jx = Jy = mℓ2/12, Jz = Jx + Jy. Per una sfera i tre momenti di inerzia rispetto agliassi cartesiani con origine nel centro sono uguali Jx = Jy = Jz. Se la densita di massa eρ = 3m(4πR3)−1 si ha usando coordinate polari

Jx + Jy + Jz = 8π

∫ R

0

ρ r4dr =8π

5ρR5 =

6

5mR2 (9.3.17)

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c©88-08- 9820 9.4. Moto per inerzia 207

e quindi Jx = 25mR

2.Per un cerchio omogeneo di raggio R e massa m i momenti di inerzia rispetto ad un sistemadi assi baricentrico con l’asse z perpendicolare al piano del cerchio sono

Jx =m

πR2

∫ 2π

0

∫ R

0

r2 sin2 φ rdr =mR2

4, Jy = Jx, Jz = Jx + Jy = 2Jx

(9.3.18)

9.4. MOTO PER INERZIA

Scegliendo come assi del riferimento solidale con il corpo rigido quelli principali di inerzia,l’energia cinetica e il momento della quantita di moto risultano quindi espressi da

T =1

2(Jxω

′x2

+ Jyω′y2

+ Jzω′z2)

L′x = Jxω

′x L′

y = Jyω′y L′

z = Jzω′z

(9.4.1)

Le equazioni del moto (9.2.2) proiettate sugli assi del sistema solidale, si scrivono utiliz-zando, per il vettore L, la trasformazione (8.3.3) tra le derivate temporali, che vale per unvettore generico

dL

dt=

(

dL

dt

)′+ ω × L (9.4.2)

Equazioni di Eulero

Le equazioni del moto (9.4.2) proiettate sul sistema di assi solidale sono note come equazionidi Eulero.

Jxω′x + ω′

yω′z(Jz − Jy) = Ω′

x

Jyω′y + ω′

xω′z(Jx − Jz) = Ω′

y

Jzω′z + ω′

xω′y(Jy − Jx) = Ω′

z

(9.4.3)

Insieme con le equazioni (8.2.17) costituiscono un sistema di sei equazioni differenziali delprimo ordine nelle variabili ω′

x, ω′y, ω

′z, φ, θ, ψ. Analoghe equazioni si ottengono per il corpo

rigido non vincolato; infatti, scelta l’origine del sistema solidale nel baricentro G, si ha

Mdv

G

dt= F(e)

(

dL′

dt

)′+ ω × L′ = Ω

(e)G

(9.4.4)

dove L′ e il momento angolare nel sistema del centro di massa, vedi (4.2.6).

Per corpo rigido con un punto fisso, libero o soggetto a forze con momento Ω(e)G

nullo, leequazioni di Eulero (9.4.3), per le componenti ω′

i della velocita angolare, si disaccoppiano

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208 9. Corpo rigido c©88-08- 9820

da quelle per gli angoli (8.2.18) e si integrano per quadrature. Cio e possibile perchel’energia cinetica

E =1

2(Jxω

′x2

+ Jyω′y2

+ Jzω′z2) (9.4.5)

ed il momento della quantita di moto L sono integrali primi del moto. La conservazionedi L2 si scrive

L2 = J2xω

′x2

+ J2yω

′y2

+ J2zω

′z2, (9.4.6)

La curva che ω descrive sulla intersezione dei due elissoidi (9.4.5) e (9.4.6) solidali con ilcorpo si parametrizza esprimendo ω′

y e ω′z in funzione di ω′

x cioe

Jy(Jz − Jy)ω′y2

= 2EJz − L2 − Jx(Jz − Jx)ω′x2

Jz(Jy − Jz)ω′z2

= 2EJy − L2 − Jx(Jy − Jx)ω′x2

(9.4.7)

La prima equazione (9.4.3) con Ω′x = 0 si integra per separazione di variabili e la soluzione,

esprimibile attraverso le funzioni ellittiche, risulta periodica in t. In modo analogo sitrovano le soluzioni per ωy(t) e ωz(t). Gli angoli di Eulero si ottengono tramite una solaquadratura (per l’angolo φ), se scegliamo l’asse z del sistema fisso diretto come L; in questocaso le componenti di L sul sistema solidale sono

L′x = L sin θ sinψ = Jxω

′x

L′y = L sin θ cosψ = Jyω

′y

L′z = L cos θ = Jzω

′z

(9.4.8)

poiche θ e l’ angolo polare e π/2 − ψ l’ angolo azimultale dell’asse z rispetto al sistemasolidale. Da (9.4.8) si ottengono θ e ψ

cos θ =JzLω′z, tanψ =

Jxω′x

Jyω′y

(9.4.9)

e l’equazione per la φ si ha invertendo (8.2.17)

dt=ω′x sinψ + ω′

y cosψ

sin θ(9.4.10)

Moltiplicando in (9.4.10) il numeratore ed il denominatore per L2 sin θ ed usando (9.4.8)si ottiene

dt= L

Jxω′x2

+ Jyω′y2

J2xω

′x2 + J2

yω′y2 (9.4.11)

Stabilita degli assi principali

Tra le soluzioni delle equazioni di Eulero per il moto libero ci sono quelle di equilibrioω′x = ω, ω′

y = ω′z = 0 e le altre due ottenute per permutazione ciclica degli indici che

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c©88-08- 9820 9.4. Moto per inerzia 209

corrispondono a rotazioni con velocita angolare costante attorno agli assi principali. Unproblema che si pone e quello della stabilita lineare degli assi. Consideriamo allora unasoluzione vicina a quella di equilibrio in cui le velocita angolari sono ω′

x + ω, ω′y, ω

′z dove

ω′x, ω

′y, ω

′z sono cosı piccole da poter trascurare i termini quadratici. Le equazioni di Eulero

diventanoJxω

′x = 0

Jyω′y + ω′

zω(Jx − Jz) = 0

Jzω′z + ω′

yω(Jy − Jx) = 0

(9.4.12)

La soluzione e periodica e l’orbita nel piano ω′x, ω

′y e una ellisse se (Jx − Jy)(Jx − Jz) > 0.

Se invece (Jx − Jy)(Jx − Jz) < 0 l’orbita e una iperbole e la soluzione e esponenziale in t.Infatti derivando la terza equazione (9.4.12) e sostituendo nella seconda si ha

Jyω′y + ω′

z(Jx − Jz) = Jyω′y + ω′

y

ω2

Jz(Jx − Jz)(Jx − Jy) = 0 (9.4.13)

Permutando ciclicamente gli indici si ottengono le condizioni di stabilita per le rotazioniattorno agli assi y e z: se Jx < Jy < Jz le rotazioni attorno agli assi x′, z′ sono stabilimentre la rotazione attorno all’asse y′ e instabile.

ω

x’

y’

z’

rm

Figura 9.4.1. Elissoide di inerzia.

E possibile determinare le traiettorie che il vettore ω traccia su un elissoide solidale con ilcorpo, detto elissoide di inerzia mediante una costruzione geometrica basata sugli invariantidel moto. L’elissoide di inerzia e definito da

F (x′, y′, z′) = Jxx′2 + Jyy

′2 + Jzz′2 = 1 (9.4.14)

La conservazione dell’energia (9.4.5) implica che il vettore

r =ω√2E

(9.4.15)

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210 9. Corpo rigido c©88-08- 9820

di componenti (x′, y′, z′) = (ω′x√2E,ω′y√2E,ω′z√2E

) nel sistema solidale appartiene all’elissoide,

vedi figura 9.4.1. Il vettore r individua il punto in cui l’asse di rotazione istantanea intersecal’elissoide e ad ogni istante appartiene anche ad un secondo elissoide, che si ottiene dallaconservazione del momento angolare (9.4.6)

2EJ2x

L2x′

2+

2EJ2y

L2y′

2+

2EJ2z

L2z′

2= 1 (9.4.16)

Pertanto la traiettoria dell’asse di rotazione e definita dalla intersezione dei due elissoidi.Vicino alle intersezioni con gli assi x′ e z′ le intersezioni sono curve chiuse la cui proiezionesui piani ortogonali sono ellissi, mentre nel caso dell’asse y′ si ottiene una curva la cuiproiezione e una iperbole se Jx < Jy < Jz. Ad esempio la proiezione delle orbite prossimead x′ ottenuta eliminando x′ tra (9.4.14) e (9.4.16)

(Jx − Jy)Jy y′2 + (Jx − Jz)Jz z

′2 = Jx − L2/(2E) (9.4.17)

e una ellisse se (Jx − Jy)(Jx − Jz) > 0.

Costruzione geometrica di Poinsot

Dalla soluzione delle equazioni di Eulero sopra delineata non emergono in modo chiaro lecaratteristiche del moto per inerzia nel sistema fisso data la complessita della soluzioneanalitica. Esiste tuttavia una costruzione di natura puramente geometrica, da cui risultache il corpo rigido e animato da un moto di precessione.

Teorema di Poinsot. Nel moto per inerzia di un corpo rigido con un punto fisso l’elissoidedi inerzia rotola senza strisciare su di un piano fisso la cui normale e diretta come L e la cuidistanza dall’origine e d =

√2E/L. L’asse di rotazione descrive un cono nel sistema fisso

ed un cono nel sistema solidale; l’asse di rotazione e ad ogni istante la semiretta comuneai due coni, che rotolano senza strisciare l’uno sull’altro.

Il versore m normale all’ellissoide in r si calcola tenendo conto che

∂F

∂x′i= 2Jix

′i = 2

Jiω′i√

2E= 2

L′i√

2E(9.4.18)

ed e dato da

m =grad F

||grad F || =L

L(9.4.19)

Il vettore L e costante rispetto al sistema fisso, non in quello solidale. Il modulo L e invececostante in entrambi i sistemi poiche e invariante per rotazione. Si riconosce quindi che laproiezione di r sull’asse avente la direzione di m e costante.

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c©88-08- 9820 9.5. Moti giroscopici 211

x

y

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

L

z

r

z’

O

m

ω

P’

P

Figura 9.4.2. Piano invariante per l’elissoide di inerzia.

r ·m =ω · LL√

2E=

√2E

L(9.4.20)

Tale prodotto scalare rappresenta la distanza dall’origine del piano tangente all’ellissoide.

Durante il moto del corpo rigido l’elissoide d’inerzia si muove in modo solidale con questopoiche i suoi assi coincidono con gli assi principali d’inerzia; inoltre, se il corpo rigido non esoggetto a forze T ed L sono costanti e quindi anche r ·m e costante. Percio si ha un pianofisso, perpendicolare ad L, con cui elissoide e a contatto e che ha dal centro di questo unadistanza fissa, vedi figura 9.4.2. Su questo piano, detto invariabile, l’elissoide rotola senzastrisciare poiche la velocita del punto di contatto vale v = ω × r = 0. L’asse di rotazioneistantaneo e la retta che congiunge il centro dell’elissoide con il suo punto di contatto colpiano invariabile. Se il corpo ha un asse di simmetria z′, allora l’elissoide e di rotazioneattorno a z′ e il punto di contatto durante il moto descrive una circonferenza sia sul pianoinvariabile sia sull’elissoide stesso. Percio la velocita angolare ω nel sistema fisso si spostadescrivendo un cono rotondo (la sezione normale all’asse e una circonferenza); anche nelsistema solidale ω descrive un cono rotondo con l’asse in z′, vedi figura 9.4.3. Durante ilmoto i due coni rotolano senza strisciare l’uno sull’altro. La loro intersezione con la sferaunita sono due cerchi che rotolano senza strisciare ed il punto di contatto si muove di motouniforme su un cerchio, vedi figura 9.6.1. Il moto e una precessione regolare perche l’assedi rotazione ruota attorno ad una direzione fissa in ciascuno dei due sistemi di riferimento.

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212 9. Corpo rigido c©88-08- 9820

L

ωz’

Figura 9.4.3. Coni di Poinsot.

9.5. MOTI GIROSCOPICI

Il moto per inerzia e particolarmente semplice quando il corpo possiede un asse di simmetriaz′ cioe se ha struttura giroscopica. I coni di Poinsot sono rotondi e le loro intersezioni conla sfera unitaria sono circonferenze che rotolano senza strisciare l’una sull’altra. L’asse disimmetria z′ ha θ, π/2 − φ come angoli polare ed azimultale rispetto al sistema S mentreψ e l’angolo di rotazione del corpo attorno a z′. La traiettoria descritta dall’asse z′ sullasfera unitaria e anch’essa una circonferenza il cui centro e sull’asse avente la direzione diL. La soluzione analitica e semplice in questo caso: infatti dato che Jx = Jy le equazionidi Eulero diventano

Jxω′x + ω′

yω′z(Jz − Jx) = 0

Jxω′y + ω′

zω′x(Jx − Jz) = 0

Jzω′z = 0

(9.5.1)

L’ultima equazione implica ω′z = ω′

z(0) e, posto

ω = ω′z(0)

Jx − JzJx

(9.5.2)

le prime due equazioni diventano

ω′x = ω ω′

y ω′y = −ω ω′

x (9.5.3)

La soluzione ω′x = A sin(ωt + α) e ω′

y = A cos(ωt + α) puo essere riscritta nella formaseguente

ω′x

ω′y

ω′z

= Rz(ωt+ α)

0A

ω′z(0)

= Rz(ωt)

ω′x(0)ω′y(0)ω′z(0)

(9.5.4)

e mostra che il vettore ω ruota attorno a z′ con velocita angolare ω nel sistema solidale.

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c©88-08- 9820 9.5. Moti giroscopici 213

Per determinare il moto nel sistema fisso, confrontiamo la soluzione ottenuta (9.5.4) conl’espressione (8.2.17) delle componenti ω′

i della velocita angolare in funzione degli angolidi Eulero. Dal confronto non emerge una soluzione unica; l’arbitrarieta risiede nella sceltadegli assi del sistema fisso rispetto al vettore costante L. La soluzione piu semplice siottiene scegliendo ψ = ωt+ α da cui segue

θ = 0, φ sin θ = A, φ cos θ + ψ = ω′z(0) (9.5.5)

In questo caso l’asse z′ ha inclinazione costante rispetto a z, il corpo ruota con velocitaangolare costante ψ attorno all’asse z′, che a sua volta ruota con velocita angolare costanteφ attorno a z. Con la scelta fatta l’asse z non e qualsiasi ma ha la stessa direzione di L. Perverificarlo e sufficiente considerare la espressione che hanno le componenti di L nel sistemasolidale quando l’asse z e diretto lungo L. Da (9.4.8) tenendo conto della condizione disimmetria Jx = Jy segue che

ω′x

ω′y

ω′y

= Rz(ψ)

0sin θ L/Jxcos θ L/Jz

(9.5.6)

Confrontando (9.5.6) e (8.2.17) emerge che θ = 0, φ = L/Jx e φ cos θ + ψ = cos θ L/Jz.Il moto nel riferimento fisso e una precessione come si vede scrivendo ω = φez + ψe′z dovel’angolo θ tra i due assi ez, e

′z e costante e le rispettive componenti, detto L′

z = L cos θsono

ψ = ω = L′z

(

1

Jz− 1

Jx

)

, φ =L

Jx(9.5.7)

Moti nel campo di gravita

Pendolo fisico. E cosı chiamato un corpo rigido con un asse z fisso. Detta ℓ la distanzadel baricentro dall’asse e φ l’angolo che il piano passante per l’asse z, che supponiamoorizzontale, e il baricentro forma con il piano verticale yz, vedi figura 9.5.1, la lagrangianasi scrive

L =1

2Jφ2 +Mgℓ cosφ (9.5.8)

dove J e il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione. L’equazione del moto

Jφ+Mgℓ sinφ = 0 (9.5.9)

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

G

O

z

y

x

φ

Figura 9.5.1. Pendolo fisico: sezione con il piano verticale passante per il baricentro.

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214 9. Corpo rigido c©88-08- 9820

e quella di un pendolo semplice di lunghezza J/Mℓ, che prende il nome di lunghezza ridotta.La equazione (9.5.9) si ottiene anche a partire da (9.2.3) dove le proiezioni sull’asse z delmomento della quantita di moto e della forza peso sono dati da Lz = Jzωz = Jzφ e daΩz = −Mgℓ sinφ. Dal confronto con (9.5.9) segue Ωz = −dV/dφ, relazione identica a(9.2.9), che in questo caso diventa dW = Ωzdφ = −dV . Se l’asse di rotazione non eorizzontale indichiamo con x′, z′ gli assi ottenuti ruotando di α rispetto all’asse x gli assiy, z indicati in nella figura 9.5.1. Nel sistema x′, z′, ove z′ e l’asse di rotazione del pendolo,l’accelerazione di gravita e g = −g cosα j′ + g sinαk′ e la posizione del centro di massar

G= sinφ i−cosφ j′. Il potenziale della forza peso e V = −Mg ·r

G= −Mgℓ cosφ cosα da

cui si ricava Ω′z = −dV/dφ e quindi la equazione del moto e (9.5.9) dove g viene moltiplicato

per cosα.

Trottola di Lagrange. E costituita da corpo rigido con un asse di simmetria z′ e un puntofisso appartenente a z′, vedi figura 9.5.2. La sua lagrangiana e data da

L =1

2Jx(ω

′x2

+ ω′y2) +

1

2Jzω

′z2 − V =

Jx2θ2 +

Jx2φ2 sin2 θ +

Jz2

(ψ + φ cos θ)2 −Mgℓ cos θ

(9.5.10)dove ℓ e la distanza tra il punto fisso e il baricentro e per ω′

x, ω′y, ω

′z si sono usate le

(8.2.17).

x

y

zz’

G θ

x’L

ϕ ψ

Figura 9.5.2. Giroscopio pesante o trottola di Lagrange.

Poiche L non dipende da ψ, φ e t i tre integrali primi del moto pψ, pφ, H = T + Vriconducono la soluzione a quadrature. Essendo φ e ψ gli angoli di rotazione attorno agliassi z e z′, l’invarianza della lagrangiana per rotazione attorno ad essi implica (teorema

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c©88-08- 9820 9.5. Moti giroscopici 215

di Nother) che che le proiezioni del momento della quantita di moto L su questi assi sonocostanti

L′z = pψ = Jz(ψ + φ cos θ)

Lz = pφ = Jxφ sin2 θ + Jz cos θ(ψ + φ cos θ) = Jxφ sin2 θ + pψ cos θ(9.5.11)

Dalla seconda delle (9.5.11) si ricava φ

φ =pφ − pψ cos θ

Jx sin2 θ(9.5.12)

e infine per l’energia si trova

E =1

2Jxθ

2 +1

2

(pφ − pψ cos θ)2

Jx sin2 θ+

p2ψ

2Jz+Mgℓ cos θ (9.5.13)

Introdotta la variabile u = cos θ l’equazione del moto si scrive

(

du

dt

)2

= P (u) ≡ 2

Jx(1 − u2)

(

E −p2ψ

2Jz−Mgℓu

)

− (pφ − upψ)2

J2x

(9.5.14)

Osserviamo che P (±1) < 0 e che per u → ∞ si ha P (u) ∝ u3; quindi P (u) nell’intevallo[−1, 1] ha due zeri distinti oppure uno zero doppio. Detti u± gli zeri e θ± i valori cor-rispondenti per θ, il moto di θ(t) risulta periodico tra questi due valori. Descriviamo ilmoto attraverso l’intersezione dell’asse di simmetria z′ con la sfera unitaria, ove θ e π/2−φsono le coordinate polari. La traiettoria e compresa tra due cerchi paralleli θ = θ−, θ+ edil moto in φ e determinato dall’equazione (9.5.12). Percio se il numeratore non si annullail moto in φ e monotono e la traiettoria e quella indicata nella figura 9.5.3, mentre se siannulla φ non e piu monotona e si ha inversione del moto; nel caso di transizione φ(t) e an-cora monotona ma la traiettoria presenta delle cuspidi. L’oscillazione dell’asse z′ rispettoall’asse z, che e assente nel moto per inerzia, viene detta nutazione.

x

y

z

Figura 9.5.3. Traiettorie tracciate sulla sfera dall’asse di simmetria del giroscopio.

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216 9. Corpo rigido c©88-08- 9820

9.6. FORMULAZIONE HAMILTONIANA

Prendiamo in esame due formulazioni hamiltoniane per il moto del corpo rigido basatesugli angoli di Eulero e sugli angoli di Deprit. Nel primo caso si ottiene una hamiltonianaesplicitamente integrabile se si sceglie l’asse z diretto come il momento della quantita motoL, nel secondo invece la scelta del sistema fisso puo farsi in modo indipendente da L.

Hamiltoniano con angoli di Eulero

Calcoliamo i momenti coniugati pk degli angoli di Eulero qk esprimendoli attraverso lecomponenti del momento della quantita di moto L′

i nel sistema solidale. Dalla lagrangiana

L = 12 (Jxω

′x2

+ Jyω′y2

+ Jzω′z2), tenendo conto che L′

k = Jkω′k, si ottiene

pk =∂L∂qk

=

3∑

i=1

Jiω′i

∂ω′i

∂qk=

3∑

i=1

L′i

∂ω′i

∂qk(9.6.1)

e usando (8.2.17) si ricava

pθ = L′x cosψ − L′

y sinψ

pφ = L′x sin θ sinψ + L′

y sin θ cosψ + L′z cos θ

pψ = L′z

(9.6.2)

Le componenti di L in entrambi i riferimenti si esprimono attraverso gli angoli di Euleroed i loro momenti coniugati

L′x

L′y

L′z

= Rz(ψ)

pθpφ − pψ cos θ

sin θpψ

,

LxLyLz

= Rz(−φ)Rx(−θ)

pθpφ − pψ cos θ

sin θpψ

(9.6.4)L’hamiltoniana del sistema assume la forma

H =L′x2

2Jx+L′y2

2Jy+L′z2

2Jz=

1

2Jx

(

pφ − pψ cos θ

sin θsinψ + pθ cosψ

)2

+

1

2Jy

(

pφ − pψ cos θ

sin θcosψ − pθ sinψ

)2

+p2ψ

2Jz

(9.6.5)

ed il momento della quantita di moto totale e dato da

L2 =(pφ − pψ cos θ)2

sin2 θ+ p2

ψ + p2θ (9.6.6)

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c©88-08- 9820 9.6. Formulazione hamiltoniana 217

Corpo con asse di simmetria

Se il corpo ha struttura giroscopica, detto z′ l’asse di simmetria per cui Jx = Jy l’hamil-toniana diventa

H =1

2Jx

(

(pφ − pψ cos θ)2

sin2 θ+ p2

θ

)

+p2ψ

2Jz=

L2

2Jx+p2ψ

2

(

1

Jz− 1

Jx

)

(9.6.7)

Oltre ad H gli integrali primi sono L, pφ pψ. L’angolo θ e periodico e φ e monotono se ilcono descritto da z′ contiene l’asse z, vedi figura 9.6.1; se invece l’asse z e esterno al cono,θ e φ sono periodici con lo stesso periodo. Nel primo caso infatti φ aumenta di 2π mentreθ ritorna al valore iniziale, quando z′ descrive la circonferenza sulla sfera, nel secondo casoentrambi ritornano al loro valore iniziale.La soluzione θ(t) e una funzione periodica di t che oscilla tra due valori θ− e θ+, corrispon-denti ai due paralleli, che delimitano la traiettoria dell’asse di simmetria. Infatti postou = cos θ, da (9.6.7) segue u soddisfa l’equazione u = P (u) dove P (u) e un polinomiodi grado 2 i cui zeri u± = cos θ± sono i due punti di inversione del moto. L’angolo φche soddisfa la equazione (9.5.12), e somma di una funzione lineare in t e di una funzioneperiodica con lo stesso periodo di θ(t).

La scelta dell’asse z lungo L rende θ costante e φ lineare in t, eliminando i problemiderivanti dalla parametrizzazione della circonferenza fuori asse.

z’

z

L

ω

!!!!!!!!!!!!

z’

L zω

Figura 9.6.1. Orbita dell’asse z′ sulla sfera unitaria: L×ez=0 (lato sinistro), L×ez 6=0 (lato destro).

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218 9. Corpo rigido c©88-08- 9820

Allineamento con il momento angolare

La scelta dell’asse z lungo L consente una semplice soluzione analitica anche per il motodi un corpo senza simmetria Jx < Jy < Jz. Infatti in questo caso si ha pφ = Lz = L, pψ =L′z = L cos θ e sostituendo pψ = pφ cos θ in (9.6.6) si trova L2 = p2

φ+p2θ che implica pθ = 0.

Allo stesso risultato si perviene notando che pθ e la proiezione di L lungo la linea dei nodi,ad esso ortogonale. L’hamiltoniana (9.6.5) assume quindi la forma seguente

H =p2φ sin2 θ

2

(

sin2 ψ

Jx+

cos2 ψ

Jy

)

+p2ψ

2Jz=p2φ − p2

ψ

2

(

sin2 ψ

Jx+

cos2 ψ

Jy

)

+p2ψ

2Jz(9.6.8)

Siccome pφ e un integrale primo, l’hamiltoniana per ψ e simile a quella di un pendolo e se nepuo tracciare il ritratto di fase nel piano ψ, pψ. I punti critici sono pψ = 0, ψ = 0, π/2, πdove il primo ed il terzo sono iperbolici e corrispondono a rotazioni attorno all’asse y′,mentre il secondo e ellittico e corrisponde alla rotazione attorno all’asse x′. Per verificarloe sufficiente valutare il gradiente di H

∂H

∂ψ= pψ

(

1

Jz− sin2 ψ

Jx− cos2 ψ

Jy

)

,∂H

∂ψ=

sin(2ψ)

2(p2φ − p2

ψ)

(

1

Jx− 1

Jy

)

(9.6.9)

e l’hessiano di H che e diagonale nei punti critici ove vale ∂2H/∂p2ψ = (J−1

z − J−1y ) e

∂2H/∂ψ2 = p2φ(J

−1x − J−1

y ) se ψ = 0, π, mentre e dato da ∂2H/∂p2ψ = (J−1

z − J−1x ) e

∂2H/∂ψ2 = p2φ(J

−1y − J−1

x ) se ψ = π/2. Nel primo caso H ha una sella nel secondoun massimo. Notiamo inoltre che pψ = pφ cos θ = 0 implica θ = π/2 e quindi l’asse z′

appartiene al piano x, y. Siccome φ e l’unico angolo che varia, la rotazione avviene attornoall’asse z; se ψ = 0 si ha z = y′ poiche l’asse dei nodi OL coincide con x′, se inveceψ = π/2, l’asse dei nodi e ortogonale a x′ e quindi z = x′. Se x fosse l’asse con il momentodi inerzia massimo anziche minimo, H avrebbe un minimo anziche un massimo.

Quando il corpo ha un asse z′ di simmetria l’hamiltoniana diventa

H =p2φ

2Jx+p2ψ

2

(

1

Jz− 1

Jx

)

(9.6.10)

e coincide con (9.6.7). Le frequenze ψ di rotazione attorno all’asse di simmetria, φ diprecessione attorno all’asse z, risultano in accordo con (9.5.7), tenuto conto che pφ =

L, pψ = L′z. L ’angolo θ e le frequenze φ, ψ si esprimono attraverso l’energia E ed il

momento angolare totale L ricordando che pψ = L cos θ

cos2 θ =Jz − 2EL−2Jz Jx

Jz − Jx, φ =

L

Jx. ψ = L cos θ

(

1

Jz− 1

Jx

)

(9.6.11)

dove 2EL−2 varia tra J−1z e J−1

x .

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c©88-08- 9820 9.6. Formulazione hamiltoniana 219

Angoli di Deprit

Gli angoli di Deprit α, β, γ che consentono una scelta unica degli assi del sistema fisso,qualunque sia la direzione di L sono definiti nella figura 9.6.2

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

α β γ

BBBBBBBBBBBB

x x’

y’

z’

y

M

L N

O

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!

L Nx’

y’

CCCCCC

x

M L

y

φψ

z

L

O O

Figura 9.6.2. Angoli di Deprit e relazione con angoli di Eulero.

Consideriamo la retta OM perpendicolare all’asse z e ad L e la retta ON perpendicolare az′ e L ed indichiamo con eM , eN i versori rispettivi. Gli angoli α, γ, β sono quelli formatidalle rette x,OM ; ON, x′; OM,ON rispettivamente. Indicando con

eM =ez × L

||ez × L|| , eN =L × e′z

||L× e′z||, (9.6.12)

i versori degli assi OM e ON si ha

cosα = ex · eM , cos β = eM · eN cos γ = e′x · eN , (9.6.13)

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220 9. Corpo rigido c©88-08- 9820

Usando l’identita vettoriale (a×b) ·(c×d) = (a ·c)(b ·d)−(a ·d)(b ·c) possiamo esprimeregli angoli di Deprit attraverso gli angoli di Eulero ed i loro momenti coniugati.

cosα = − Ly√

L2x + L2

y

= − Ly√

L2 − L2z

cos β =LzL

′z − L2 cos θ

L2 − L2z

L2 − L′z2

cos γ =L′y

L2 − L′z2

(9.6.14)

Si noti che Lz = pφ, L′z = pψ, e che L′

y, Ly sono espresse attraverso gli angoli di Euleroed i loro momenti coniugati da (9.6.4). Per avere le trasformazioni inverse osserviamo chel’asse x e le rette OM, OL sono su uno stesso piano e quindi φ − α e l’angolo tra OM eOL; anche le rette OL, ON e l’asse x′ sono su uno stesso piano e ψ − γ e l’angolo tra OLe ON , vedi figura 9.6.2. Essendo il versore dell’asse OL dato da eL = ez × e′z | sin θ|−1 siha

cos θ =LzL

′z

L2− cosβ

1 − L2x

L2

1 − L′z2

L2

cos(φ− α) = eL · eM =L′z − Lz cos θ

| sin θ|√

L2 − L2z

cos(ψ − γ) = eL · eN =Lz − L′

z cos θ

| sin θ|√

L2 − L′z2

(9.6.15)

dove la prima equazione si ottiene invertendo la seconda equazione in (9.6.14). Per espri-mere H in funzione degli angoli α, β, γ e dei loro momenti coniugati, Lz, L, L

′z, si noti che

il piano formato da L e z′ interseca il piano x′y′ lungo la retta OQ, che forma un angolo γcon l’asse y′ e π/2−γ con l’asse x′. La proiezione di L lungo OQ ha modulo (L2−L′

z2)1/2,

per cui

L′x =

L2 − L′z2 sin γ, L′

y = −√

L2 − L′z2 cos γ (9.6.16)

e l’hamiltoniana si scrive

H =L′z2

2Jz+L2 − L′

z2

2

(

sin2 γ

Jx+

cos2 γ

Jy

)

(9.6.17)

in accordo con (9.6.8). I momenti coniugati di α, β, γ sono Lz, L, L′z in quanto componenti

del momento angolare lungo i rispettivi assi di rotazione, secondo il teorema di Nother,enunciato nella versione hamiltoniana nel paragrafo 15.6. La rappresentazione delle ro-tazioni tra riferimenti, definita dagli angoli di Deprit o di Eulero, fornisce una carta delladella varieta a 3 dimensioni che definisce le configurazioni del corpo rigido. Questa varietava rappresentata su almeno due carte compatibili, date dagli angoli di Deprit (α, γ, β) e(α′, γ′, β′) riferiti a due diversi sistemi fissi.