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Statica del corpo rigido

Condizioni di equilibrio

Calcolo delle Reazioni Vincolari

Obiettivo della lezione: apprendere le equazioni cardinali della statica e applicarle al calcolo

delle reazioni vincolari. Calcolare le reazioni vincolari per strutture semplici ed articolate

Equilibrio del punto materiale

• Un corpo soggetto all’azione di forze esterne tipicamente è costretto a muoversi di moto

accelerato

• Tuttavia in certe situazioni, esistono

particolari rapporti tra le forze applicate tali che il moto venga a mancare del tutto o

sia di tipo rettilineo uniforme

• Queste condizioni vengono dette «di equilibrio statico»

• Nel caso del punto materiale sottoposto ad

un sistema di forze, la condizione di equilibrio

si esperime come segue:

Nel piano

0=∑F

0=∑ xF

0=∑ zF

0=∑ yF

Equilibrio del corpo rigido

• Nel caso del corpo rigido le relazioni di equilibrio vedono coinvolte non

solo le forze ma anche i momenti generati dalle forze stesse

• Infatti un corpo rigido si trova in equilibrio quando sono verificate due relazioni vettoriali indipendenti

1) La somma vettoriale di tutte le forze applicate al corpo è nulla

2) La somma vettoriale dei momenti applicati al corpo, calcolati

rispetto ad un punto qualsiasi, è nulla

• Queste vengono definite «equazioni cardinali della statica»

Equilibrio del corpo rigido

Le due equazioni vettoriali corrispondono a due terne di equazioni scalari (nello spazio) e

a tre equazioni scalari nel piano e precisamente:

0=∑F

Fx∑ =0

Fy∑ =0

Fz∑ =0

0=∑ OM

M

Ox∑ =0

M

Oy∑ =0

M

Oz∑ =0Fx∑ =0

Nello spazio

Nel piano i due sistemi si riducono a:

Osserviamo che il numero di equazioni per l’equilibrio corrisponde al numero di gradi di libertà da bloccare affinché si ottenga l’equilibrio.

Fy∑ =0

M

Oz∑ =0

Reazioni vincolari

• Come abbiamo visto, i corpi rigidi interagiscono con il riferimento fisso tramite i vincoli, dei quali abbiamo precedentemente analizzato il

comportamento cinematico (ossia i movimenti consentiti ed impediti)

• Tuttavia, in presenza di forze esterne, i vincoli esercitano forze che, per il

principio di Azione e Reazione, sono uguali alle forze applicate in modulo e

direzione ma di segno opposto

Tali forze vengono chiamate «reazioni vincolari»

• In particolare, le reazioni vincolari agenti sul corpo saranno uguali e contrarie alle azioni che il vincolo applica sul mondo esterno (nel caso

di vincolo esterno) o sull’asta adiacente (nel caso di vincolo interno).

• Dunque le reazioni vincolari, unitamente alle forze esterne applicate, costituiscono un sistema di forze per le quali deve essere garantita la condizione di equilibrio secondo le leggi della statica dei corpi rigidi.

Reazioni vincolari

Nelle applicazioni pratiche, alcuni dei carichi agenti sulla struttura (forze e

momenti) sono noti e si definiscono “carichi attivi” o “esterni”.

Altre forze, in particolare quelle esercitate dai vincoli che collegano la struttura

in studio al mondo esterno, sono incognite e devono essere determinati

analiticamente affinché sia verificato l’equilibrio della struttura. Queste sono le reazioni vincolari

Peso palla

Forza muscolare

Reazioni vincolari

Nelle applicazioni pratiche, alcuni dei carichi agenti sulla struttura (forze e

momenti) sono noti e si definiscono “carichi attivi” o “esterni”.

Altri, in particolare quelli esercitati dai vincoli che collegano la struttura in studio

al mondo esterno, sono incogniti e devono essere determinati analiticamente

affinché sia verificato l’equilibrio della struttura. Queste sono le reazioni vincolari

Metà peso corporeo

Metà peso corporeo

Reazioni esercitate dai vincoli semplici

Incastro

Questo vincolo elimina tutte le tre

libertà di movimento possibili del

corpo rigido, quindi è un vincolo triplo

(3 GdV).

Le reazioni vincolari

Le reazioni vincolari sono costituite

da due forze in direzione orizzontale

e verticale (HA e VA) e da un

momento (MA).

A

A

B

B

MA

HA

VA

• E’ importante il verso delle reazioni vincolari ?

• Come deve essere determinato?

Inizialmente non dobbiamo preoccuparcene. In generale si procede ad ipotizzare un

verso (casualmente o con criterio) che sarà successivamente confermato (o smentito) dal

risultato delle equazioni di equilibrio

F


Cerniera

Questo vincolo consente solo la

rotazione dell’asta, quindi è un vincolo

doppio (2 GdV).



da due forze ortogonali alla superficie di appoggio della cerniera

(terra, HA e VA).

Spesso si esplicitano le componenti in

direzione normale e tangenziale

rispetto all’asta (NA e TA)

A

A

B

B HA

VA

F


Cerniera

Questo vincolo consente solo la rotazione

dell’asta, quindi è un vincolo doppio (2

GdV).



da due forze in direzione orizzontale

e verticale (HA e VA) o in alternativa in direzione normale e tangenziale rispetto all’asta (NA e TA)

Differenza? Quando calcoleremo le azioni

interne, saremo interessati ai contributi normali

(azione normale, trazione/compressione) e

tangenziali (taglio)

A

A

B

B

HA

VA

A

B

TA

NA

F


Cerniera con carrello

Questo vincolo consente la rotazione

dell’asta e la sua traslazione

orizzontale, impedendo solo lo

spostamento verticale, quindi è un

vincolo semplice (1 GdV).


L’unica reazione vincolare del carrello

è costituita da una forza verticale VA

ortogonale alla direzione di scorrimento

A

A

B

B

VA

F


Cerniera con carrello

Questo vincolo consente la rotazione

dell’asta, e la sua traslazione

orizzontale quindi è un vincolo

semplice (1 GdV).


La forza di reazione è sempre perpendicolare alla direzione di scorrimento del carrello Anche in questo caso può risultare

conveniente scomporre la reazione VA

nelle sue componenti TA (parallela

all’asse della trave) e NA (ortogonale

all’asse della trave)

A

A

B

B

VA

A

B

VA

TA

NA


Pattino

Questo vincolo consente solo la

traslazione lungo la retta di scorrimento,

senza rotazioni (2 GdV),

quindi con rotazione nel punto all’infinito

in direzione perpendicolare alla retta di

traslazione (CIR).



da una forza in direzione perpendicolare

alla retta di scorrimento (RC) e da un

momento (MC). Rc

C

C

Mc

Vincoli tra corpi rigidi (vincoli interni)

Consideriamo ora i vincoli che permettono il collegamento tra due o più aste nel

piano, valutando le reazioni vincolari interne presenti

• Se separiamo due aste collegate rigidamente o spezziamo un’asta singola, possiamo

mettere in evidenza due forze presenti nel punto

di separazione (Rx e Ry) e un momento (Mz)

• Perchè sia garantito l’equilibrio, nei due spezzoni di asta saranno presenti forze e momenti uguali e contrari

A

B

C

D

A

B

C

D

Rx

Ry Rx

Ry Mz

Mz

Vincoli tra corpi rigidi (vincoli interni)

Nel caso di cerniere interna tra due aste, la separazione delle aste permette

di evidenziare due forze presenti nel punto di separazione in direzione

orizzontale e verticale (CO e CV) o in direzione normale e tangenziale (CN e CT)

Nelle due aste saranno presenti forze uguali e contrarie.

C

Co

Cv

Co

Cv

CT CN

CN CT

Asta 1

Asta 2

Asta 1

Asta 2

Asta 1

Asta 2

Utilizzo del sistema di riferimento assoluto Utilizzo delle componenti normale e tangenziale

Carichi esterni e reazioni vincolari

Generalmente nelle applicazioni strutturali sono presenti sui componenti o

sistemi carichi esterni noti (forze e momenti), derivanti dalla funzione svolta, e

reazioni vincolari originate dai vincoli che collegano il corpo o il sistema con il

mondo esterno (a terra).

MA

HA

VA

F F


Generalmente nelle applicazioni strutturali sono presenti sui componenti o

sistemi carichi esterni noti (forze e momenti), derivanti dalla funzione svolta, e

reazioni vincolari originate dai vincoli che collegano il corpo o il sistema con il

mondo esterno (a terra).

Nelle operazioni da effettuare per il calcolo delle reazioni vincolari (incognite),

possiamo utilizzare le seguenti regole:

1) Le forze applicate possono essere traslate lungo la propria retta di applicazione, in quanto tali traslazioni non cambiano le condizioni di equilibrio

nel corpo rigido.


d

2) Le forze applicate possono essere spostate lungo una retta parallela, a patto

di aggiungere un momento (denominato «momento di trasporto») pari al

prodotto dell’intensità della forza per la distanza tra le rette di applicazione.

O O O’ O’


3) Ad un insieme di forze applicate nello stesso punto del corpo rigido è

possibile sostituire la loro risultante (somma vettoriale).


Le equazioni di equilibrio del corpo rigido

possono essere utilizzate per calcolare le reazioni vincolari, operazione

necessaria per configurare e dimensionare opportunamente il vincolo (ad es.

cuscinetto) ma soprattutto per poter valutare quali sono gli effetti dei carichi esterni (e delle corrispondenti reazioni vincolari) sulla condizione di sollecitazione interna della struttura.

1) La somma vettoriale di tutte le forze applicate al corpo è nulla

2) La somma vettoriale dei momenti applicati al corpo, calcolati

rispetto ad un punto qualsiasi, è nulla

Esempio 1

Calcoliamo ad esempio le reazioni vincolari della struttura in figura

F

L

a b (=L-a) GdL = 3 (1 asta) GdV = 2+1 = 3

Il sistema è isostatico

F

VA VB

HA

A B

Sostituiamo ai vincoli le

reazioni relative ai movimenti

impediti

N.B. la scelta del verso non è rilevante!

Nomenclatura reazioni?

Esempio 1

F

VA VB

HA Sostituiamo ai vincoli le


impediti

L

a b

Scriviamo le equazioni di equilibrio

Traslazione orizzontale

0=∑ xF

Rotazione intorno al punto A

Traslazione verticale

0=AH

0=∑ yF

0=∑ AM

BABA VFVVFV −=⇒=+− 0

l

aFVlVaF BB

⋅=⇒=⋅−⋅ 0

Sistema di riferimento? Scelta del polo?

Esempio 1

F

VA VB

HA

Sostituiamo ai vincoli le


impediti

L

a b

l

bFV

l

alFV

l

aFV

l

aFFV

l

aFV

VFV

AAAA

B

BA⋅

=⇒

−⋅=⇒

−⋅=⇒

⋅−=⇒

⋅=

−=

1

l

bFVA

⋅=

l

aFVB

⋅=

Esempio 2

Calcoliamo ad esempio le reazioni vincolari della seguente asta vincolata

isostaticamente:

W/2 W/2

Peso corporeo = W

L

L/4 L/4 L/2

A B

VA VB

W/2 W/2

HA

Esempio 2

L

L/4 L/4 L/2

VA VB

W/2 W/2

HA



0=∑ xF



0=AH

0=∑ yF

MA∑ = 0

022

=+−− BA VWW

V

L

LLWLW

VLVLLWLW

BB

+⋅+

⋅

=⇒=⋅−

+⋅+

⋅

42242 0

42242

x

y

Esempio 2

L

L/4 L/4 L/2

VA VB

W/2 W/2

HA



0=∑ yFBABA VWVV

WWV −=⇒=+−− 0

22

L

LW

L

LWLW

L

LWLW

L

LLWLW

VB⋅

⋅⋅⇒

⋅⋅+

⋅

⇒

⋅⋅+

⋅

⇒

+⋅+

⋅

=8

4 8

3

8 4

3

28

42242

x

y

2

WVB =

2

WVA =

Carichi concentrati e carichi distribuiti

Fino ad ora sono stati presi in esame carichi

esterni agenti sulla struttura espressi attraverso

forze cosiddette concentrate

Tuttavia, nella pratica ingegneristica è frequente il

caso di carichi cosiddetti “distribuiti” (si pensi ad

esempio al caso di un tetto ricoperto da uno strato

di neve)


Ripartizione del carico corporeo

(tronco + cosce) sulla seduta di una

postazione di operatore di gru

portuale


Poiché stiamo prendendo in esame strutture

piane, i carichi distribuiti sono espressi mediante

un rapporto tra forza e lunghezza

Forza

Lunghezza=N

m

Ai fini del calcolo delle reazioni vincolari, è

importante stabilire entità e posizione della risultante del carico ripartito

Tale compito è semplice quando la distribuzione

delle forze è costante (caso più frequente) o segue

una legge geometrica ben definita


Tuttavia, nei casi più generali la risultante del

carico distribuito si ottiene dall’integrazione della

legge di distribuzione del carico, ossia:

e la sua posizione (sull’asse delle x) è quella del

centroide dell’area in esame, che si ottiene dalla

relazione:

una volta determinato modulo e punto di

applicazione della risultante del carico distribuito,

si procede all’applicazione delle equazioni di

equilibrio come visto in precedenza

� � � ��

�

�̅ � ��

Esempio di calcolo

Si vogliono calcolare le reazioni vincolari

della struttura rappresentata in figura.

N.B: è possibile applicare il principio della sovrapposizione degli effetti.

Il carico può essere immaginato come

somma di una distribuzione uniforme

(rettangolare) di entità 120 e un carico

triangolare di entità massima 160

Una volta determinate entità e posizione

delle risultanti, si procede al calcolo delle

reazioni vincolari applicando le equazioni

cardinali della statica

Esempio di calcolo

Esempi 3-4-5

Calcoliamo ad esempio le reazioni vincolari delle seguenti strutture

A B

L

H

q=1000 N/m

A

B

1.200

0.600

F=2000 N

�=60°

A B

2.000

H=500 N

F1=2000 N

F2=4000 N

0.600

F 3

4

5

Esempi 6-7

0.600

A B

q=2000 N/m

0.150

M = 100 N m

0.300 0.150 0.150

0.600

A B

q=2000 N/m F=200 N

0.400

0.400

C

0.300

45°

6

7

Esempio 8

Calcoliamo le reazioni vincolari della seguente asta vincolata isostaticamente:

45°

45°

A B C

F=2000 N

1.500

1.000

Esempio 7


RAV

RAo


0=∑ xF

0=∑ yF

Rotazione intorno al punto B

0=∑ BM


0045cos =⇒=°⋅= AAAO RRR

PRPRPRR BBBAV =⇒=−⇒=−+ 00

20

2

lPM

lPM AA ⋅=⇒=⋅+−

45°

Esempio 8

Calcoliamo ad esempio le reazioni vincolari dell’asta in figura vincolata

isostaticamente:

A

B

F=2000 N

2.0 2.0

Esempio 8


isostaticamente:

Esempio 8


0=∑ xF

0=∑ yF

Rotazione intorno al punto O

0=∑ OM


0=AR

PRPR BB =⇒=− 0

aPMaPaPMaRaPM AABA ⋅−=⇒⋅−⋅=⇒=⋅−⋅+− 202

Esempio 9


isostaticamente:

In questa struttura è presente una coppia concentrata (momento concentrato)

Esempio 10


isostaticamente:

A

B

F=3500 N

3.0

q=4000 N/m 2.0

3.0

60°

Esempio 11

A B RA RB

HB

A B

0.600 0.200 0.400

q=1200 N/m

Esempio 10

a b c

A B RA RB

HB



0=∑ xF

0=∑ yF

Rotazione intorno al punto B

0=∑ BM


0=AH

0)( =++⋅−+ cbaqRR BA

( ) ( ) ( ) 0222

=

⋅⋅+

⋅⋅−

+⋅⋅−⋅

ccq

bbqb

aaqbRA

Equilibrio di un insieme isostatico di corpi rigidi

Esempio: arco a tre cerniere (sistema isostatico di corpi rigidi più semplice)

GdL = 6 (2 aste) GdV = 2+2+2 = 6


F

L/2

L

α

HA

VA

HC

VC

A C

B

A C

B B

F


HA

VA

HC

VC

A C

B B

F

Come visto in precedenza, le reazioni possono anche essere espresse in termini di

componenti normale e tangenziale all’asta. A tale proposito si ricordi che le componenti dirette come l’asta non generano momento. Questa schematizzazione

sarà utile per il calcolo delle azioni interne (che vedremo più avanti)

H’C

V’C

A C

B

B F

H’B V’B

V’B

H’B

V’A

H’A


C

B

C

B

Reazione Comp. normale Comp. tang

HC H’Cn = HC sen α H’Ct = HC cos α

VC V’Cn = VC cos α V’Ct = VC sen α

Le componenti normali e tangenziali delle reazioni

vincolari originarie possono essere calcolate

tenendo presente che ciascuna di esse, scomposta

nelle due direzioni, dà un contributo sia alla

reazione normale che a quella tangenziale


Esaminiamo l’asta AB. Affinché questa non ruoti, è necessario che la reazione V’B sia

nulla, quindi l’unica reazione residua è H’A

H’C

V’C

A C

B

B F

H’B V’B

V’B

H’B

V’A

H’A


Esaminiamo l’asta AB. Affinché questa non ruoti, è necessario che la reazione V’B sia

nulla, quindi l’unica reazione residua è H’A

Se ne deduce che, per l’equilibrio, deve risultare H’A = H’B

Ovviamente dobbiamo cancellare V’B anche dall’asta BC

Esaminiamo l’asta BC

Per l’equilibrio alla traslazione orizzontale la componente della forza in direzione

dell’asta deve essere uguale alla reazione H’C

H’C V’C

A C

B B

F

H’B

H’A

αα cos 0cos ''

⋅−=⇒=+⋅ FHHF CC


Ora imponiamo l’equilibrio alla rotazione dell’asta BC intorno al punto C

H’C V’C

A C

B B

F

H’B

H’A

α

α

α 2

2

02

''

senF

l

lsenF

Hl

senFlH BB ⋅−=

⋅⋅

−=⇒=⋅⋅+⋅

Equilibrio alla traslazione in direzione tangenziale

αα cos 0cos ''

⋅−=⇒=+⋅ FHHF CC


Infine imponiamo l’equilibrio alla traslazione in direzione normale

H’C V’C

A C

B B

F

H’B

H’A

αααα 2

0 2

0 '''' sen

FVVsen

FsenFVHsenF CCCB ⋅⇒=−⋅−⋅⇒=−+⋅ =

Quindi riassumendo:

⋅−=

⋅

⋅−==

=

α

α

α

cos

2

2

'

'

''

FH

senF

V

senF

HH

C

C

BA


Asta BC ruotata. La forza F è inclinata

dell’angolo α rispetto alla direzione dell’asta.

Possiamo scomporla in due componenti

α

α

cos

senFF

FF

y

x

⋅=

⋅=

Le componenti normali e tangenziali delle reazioni vincolari originarie possono essere

calcolate tenendo presente che ciascuna di esse, scomposta nelle due direzioni, dà un

contributo sia alla reazione normale che a quella tangenziale


HC H’Cn = HC sen α H’Ct = HC cos α

VC V’Cn = VC cos α V’Ct = VC sen α

HC

Fx

Fy

VC

Esempio 12

GdL = 6 (2 aste) GdV = 3+2+1 = 6


F

L/2

L

A

h

B

D

α

F A

B

D

B

C

VC

VB

VB HB HB

HA

VA

MA

Esempio 12

F

B

D

VC VB

HB


HB H’Bn = HB cos α H’Bt = HB sen α

VB V’Bn = VB sen α V’Bt = VB cos α

V’B

H’B

Imponiamo l’equilibrio alla rotazione rispetto al punto B

FL

LFVLVLF Cc ⋅=

⋅

⋅⋅=⇒=⋅−⋅⋅

2

3

2

3 0

2

3

Imponiamo l’equilibrio alla traslazione verticale

FVFFVFFVFVV BBBCB ⋅−=⇒⋅−=⇒=⋅+⇒=−+2

1

2

3

2

3 0

''''

Imponiamo l’equilibrio alla traslazione orizzontale

0'

=BH Ciò implica che HB=0

α

Esempio 11

Imponiamo l’equilibrio alla rotazione rispetto al punto A

cos 2

1 0 hFMhHMMhH AbAAB ⋅⋅−=⇒⋅=⇒=−⋅ α

A

B

VB

HB

VA

MA

2

1

cos 2

1cos

'

'

⋅−=⋅=

⋅−=⋅=

αα

αα

senFsenVV

FVH

BB

BB

V’B

HA

Imponiamo l’equilibrio alla traslazione verticale

α 2

1 0 senFVVVVV ABAAB ⋅−=⇒=⇒=−

Imponiamo l’equilibrio alla traslazione orizzontale

αcos 2

1 0 ⋅−=⇒=⇒=− FHHHHH ABAAB

Esempio 12

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