Dinamica del corpo rigidoDefinizione di corpo rigidoMoto di un corpo rigidoDensitàMomento angolareMomento d'inerzia

Antonio Pierro

Per consigli, suggerimenti, eventuali errori o altro potete scrivere una email a antonio.pierro[at]gmail.com

Definizione di corpo rigidoUn corpo rigido è un sistema di punti materiali in cui le distanze tratutte le possibili coppie di punti non possono variare.Quanti parametri occorrono per descrivere il moto di un corpo rigido?

Gradi di libertà di un sistemaIl numero di parametri necessari per descrive il moto di un sistema sichiama numero di gradi di libertà del sistema.Un punto materiale ha tre gradi di libertà (le tre coordinate x, y, z).N punti materiali indipendenti hanno 3*N gradi di libertà.

Gradi di libertà di un corporigido

Nel caso di un corpo rigido la condizione che le distanze tra tutte lepossibili coppie di punti siano costanti, riduce i gradi di libertà delsistema da 3N (dove N è il numero di particelle) a 6.

Infatti, definita la "forma" del corpo rigido, a ogni istante la suaposizione è individuabile da sei valori: tre coordinate di un punto, trecoseni direttori di rotazione intorno agli assi x, y, z solidali al corpo.I coseni direttori sono proprio i coseni che la direzione della rettaforma con gli assi cartesiani.

�i, j|i z j : ( − + ( − + ( − − = 0xi xj )2 yi yj )2 zi zj )2 d 2

ij

Moto di un corpo rigidoMoto di traslazione: tutti i punti si muovono con la stessa velocità

che coicide con

L'equazione del moto sarà: Moto di rotazione: tutti i punti descrivono un moto circolare convelocità angolare

L'equazione del moto sarà: La combinazione dei due moti è definita come moto dirototraslazione.

v ^ vcmµ

= M 1R̂ acmµ

1=M̂ dL ^

dt

Corpo continuoSupponiamo che il corpo abbia una struttura continua (nonconsideriamo il livello atomico).Consideriamo un elemento di volume infinitesimo dV del corpo e siadm la massa contenuta in tale volume.Si definisce densità del corpo la quantità (dove il volume dVè abbastanza piccolo affinché le proprietà del corpo siano uniformi).La massa del corpo sarà:

) = dmdV

m = )dV = )(x, y, z)dxdydz∫V ∫V

Centro di massa di un corpocontinuo

Se ora vogliamo calcolare la posizione del centro di massa di un corpocontinuo, dobbiamo semplicemente dividerlo in parti infinitesime eeffettuarne la media pesata. Quindi:

= =rcmµ 1 dmEV r ^

M1 ) 1 dVEV r ^ M

Momento d'inerzia per unsistema di n punti materiali

Sia l'asse z, l'asse di rotazione di un corpo rigido formato da n puntimateriali.

Il coefficiente si chiama momento d'inerzia del corpo rispettoall'asse z.

= = ( × ) = ( ) =L ^ ∑n=1

n

Liµ

∑n=1

n

riµ mi vi

µ∑n=1

n

mir2i 1̂ Iz1̂

Iz

= = ( + )Iz ∑n=1

n

mir2i ∑

n=1

n

mi x2i y2

i

Momento d'inerzia per un corpocontinuo

Il momento d'inerzia per un corpo continuo sideduce da quello di un sistema rigido formato dan punti materiali:

= õ = dm = ) dV = )( + )dVIz ∑n=1

n

miR2i Iz ∫V

R2 ∫VR2 ∫V

x2 y2

Esempi di corpi con densità dimassa lineare

1. Calcolo del momento d'inerzia di un anello di densità lineare :

2. Calcolo del momento d'inerzia di una sbarra omogenea di densitàlineare

# = m2(R

I = ∫ dm = ∫ # dl = # ∫ dl = # 2(R = mR2 R2 R2 R2 R2

# = mL

I = ∫ dm = #dx = #[ = mx2 ∫L/2

−L/2x2 x3

3]L/2−L/2

112

L2

Esempi di corpi con densità dimassa superficiale

Momento d'inerzia di una sfera avente densità superficiale :+

+ = r = R sin dl = Rd (sin d =m

4(R2 ∫(

0)3 4

3

I = ∫ dm = + dS = + sin 2(R sin Rd = Mr 2 ∫Sr 2 ∫

(

0R2 2 2

3R2

Esempi di corpi con densità dimassa volumetrica

1. Momento d'inerzia di un cilindro di densità :

2. Momento d'inerzia di una sfera piena di densità :se si scompone un solido in parti di qualunque forma, il momentod'inerzia totale rispetto a un asse dato è la somma dei momentid'inerzia delle singole parti rispetto allo stesso asse.

) = m( hR2

I = ∫ dm = )(hrdr = mr 2 ∫R

0r 2 1

2R2

)

I = ∫ dI = dm ) = dV = 4( dr∫M

0

23

r 2 m

(43

R3r 2

I = ∫ dI = ) 4( dr = M23 ∫

R

0r 2 r 2 2

5R2

Teorema di Huygens-SteinerNei precedenti esempi, per il calcolo dei momenti d'inerzia, abbiamoscelto particolari assi (passanti per il centro di massa) che ci hannopermesso di semplificare il calcolo.Il teorema di Huygens-Steiner stabilisce che il momento d'inerzia diun corpo di massa m rispetto a un asse che si trova a una distanza ddal centro di massa del corpo è dato da

è il momento d'inerzia del corpo rispetto a un asse parallelo alprimo e passante per il centro di massa.

I = + mIcm d 2

Icm

Dimostrazione del teorema diHuygens-Steiner

Per dimostrare il teorema consideriamo due assi z e , tra loro

paralleli, distanti "a" e con asse passante per il centro di massa.Per un generico punto , il momento d'inerziarispetto all'asse z sarà:

Se sommiamo i momenti d'inerzia di tutti i punti:

z′

z′

Pi

( + ), x = , y = + a, z =mi x2i y2

i x′

y′

z′

I = ( + ) = ( + ( + a ) õ∑i

mi x2i y2

i ∑i

x 2′

i y′

i )2

I = ( + ) + + 2a = + m∑i

x 2′

i y 2′

i ∑i

mia2 ∑i

miy′

i Iz′ a2

Sapendo che 2a = m = 0∑i

miy′

i y′cm

Momenti d'inerzia rispetto adassi passanti per il bordo

Anello di raggio r õ = m õ = 2mIcm r 2 Ibordo r 2

Disco di raggio r õ = m õ = mIcm12

r 2 Ibordo32

r 2

Sfera di raggio r õ = m õ = mIcm25

r 2 Ibordo72

r 2

Asta lunga d õ = m õ = mI cm1

12d 2 Ibordo

13

d 2