G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Le proprietà dei corpi solidi Corpo solido corpo rigido In...

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Le proprietà dei corpi solidi• Corpo solido <-----> corpo rigido• In realtà i solidi sottoposti a sollecitazione subiscono delle piccole deformazioni• Il fatto che le deformazioni siano piccole dipende dalla struttura cristallina e dalle

forze molto intense che mantengono gli atomi nella loro posizione all’interno del reticolo

• È l’intensità elevatissima tra gli atomi che fa rassomigliare i solidi a corpi rigidi.

• Gli atomi sono in continua oscillazione attorno alla posizione di equilibrio

• Con una ampiezza che dipende dalla temperatura


I diversi tipi di sollecitazione• Trazione

– Produce un allungamento del campione

• Compressione– Produce una accorciamento del campione

• Taglio– Produce lo scorrimento di una sezione del campione

sull’altra

• Compressione idrostatica– La forza in questo caso agisce su tutta la superficie del

campione ed è perpendicolare alla superficie stessa

– Produce una diminuzione del volume del campione

L

r

F

−

r

F

r

F

r

F

−

r

F

−

r

Fa )

b ) c )

L

r

F

−

r

F

r

F

r

F

−

r

F

−

r

F

Δ L

Δ L

Δ L

a )b ) c )

• Sforzo– Forza applicata diviso per la sezione del campione

• Deformazione relativa– La deformazione prodotta diviso per il valore della

grandezza originaria

Φ =FA

ΔLL

sforzo=modulo di elaticità × deformazione relativa


Il comportamento dei materiali

• I moduli di elasticità, E e G, si misurano in N/m2

Φ =FA

=EΔLL

E =modulo di Young (trazioni o compressioni)

Φ =FA

=GΔLL

G =modulo di taglio (per sollecitazioni di taglio)


Il comportamento dei materiali


Applicazione

• Un tondino di acciaio da costruzione ha raggio R=9.5 mm e lunghezza L =81 cm. Una forza di modulo 6.2 x104 lo tira longitudinalmente. Qual è lo sforzo nel tondino?

• Quanto l’allungamento e la sua deformazione?

• La sezione del tondino è data da:

A =πR2 =3.14× 9.5×10−3( )

2=283×10−6m2

• Lo sforzo: Φ =FA

=6.2×104

283×10−6 =2.19×108 Nm2

• La deformazione:ΔLL

=ΦE

=2.19×108

200×109 =0.0011

• L’allungamento:

ΔL =ΦE

L =2.19×108

200×109 ×0.81=0.0011×0.81=0.00089m=0.9mm


Risonanza• Per realizzare una qualunque struttura

meccanica, dalla più semplice alla più complicata, si utilizzano corpi solidi collegati insieme

• poiché i corpi solidi hanno un comportamento elastico, ci aspettiamo altrettanto da una qualunque struttura meccanica.

• Sottoponendo la struttura ad una sollecitazione rapida (un impulso),

– Essa entrerà in vibrazione

– Le vibrazioni si smorzeranno più o meno rapidamente a causa degli attriti

• Però se le sollecitazioni sono periodiche – le vibrazioni potranno sostenersi

• Per avere un’idea di quello che succede si può studiare l’oscillatore armonico sottoposto ad una forza variabile nel tempo.

d2ydt2

+bm

dydt

+km

y =Fcosωft( )

m

F cosωft( )

d2xdt2

+bm

dxdt

+km

x =Fcosωft( )

m


I fluidi• Per fluidi si intendono i gas ed i liquidi

• le distanze tra le molecole sono in media più grandi nel caso dei fluidi rispetto ai solidi,

– le forze di interazione sono estremamente meno intense: nei fluidi le molecole sono debolmente legate l’una all’altra

– esse non occupano posizioni predeterminate all’interno del fluido

– ma possono muoversi al suo interno.

• I fluidi non oppongono alcuna resistenza a sollecitazioni di taglio– Se suddividiamo in due parti il fluido con una superficie ideale è possibile far

scorrere le due parti di fluido l’una rispetto all’altra.

– Si immagini la lama di un coltello che scorre all’interno di un fluido.

• Conseguenza:– Se separiamo il fluido in due parti mediante una superficie qualsiasi le forze che una

parte di fluido esercita sull’altra hanno solo la componete normale alla superficie.

– Questo vale per qualunque superficie.


La pressione idrostatica• Sulla superficie immaginaria con cui abbiamo suddiviso il

fluido in due parti prendiamo una piccola area, ΔA, attorno al punto P

• Si definisce pressione idrostatica nel punto P la grandezza scalare attenuta facendo il rapporto della forza (normale) che una delle due parti di fluido esercita sull’altra attraverso l’area ΔA, diviso per l’area ΔA (eventualmente si fa il limite per ΔA che tende a zero) :

P =Fn

ΔA• Le dimensioni P[ ]= Fn[ ] ΔA[ ]−1 = MLT −2L−2

[ ]

• Le unità di misura nl SI sono N/m2, che viene anche chiamata “pascal”, Pa.

• Altre unità di misura della pressione:– Atmosfera (atm)=1 atmosfera è la pressione atmosferica al livello del

mare

– torr (o mm Hg) è la pressione che esercita una colonna di 1 mm di mercurio

– 1 bar= 105 Pa 1atm=1.013×105Pa=760torr


La pressione sulle pareti del recipiente• Se la superficie ideale tracciata all’interno di un fluido viene sostituita da una

superficie reale– la parete del contenitore

• Possiamo usare la stessa definizione per valutare al pressione sulle pareti del contenitore

P =Fn

ΔA

• ΔA è una piccola areola attorno al punto P in cui si vuole misurare la pressione

• Fn è la forza normale esercitata dalla fluido sulla piccola porzione ΔA della parete

• A cosa è dovuta questa forza normale?– Agli urti delle particelle che costituiscono il fluido sulle pareti

– Per un urto elastico su una parete liscia

r

v

r

v '

r

F

x

y

12

m vx2 +vy

2( ) =

12

m v'x2 +vy

2( ) vx

2 =v'x2 ⇒ v'x=±vx

⇓

v'x =−vx

La molecola subisce la forza F dalla paretePer il principio di azione e reazione esercita sulla parete

una forza uguale e contraria.


La densità• Si definisce densità media del fluido

P

ρm =MV

• Si definisce densità del fluido nel punto P

ρ =limΔV→ 0ΔMΔV

– Il limite in senso “fisico”

ρ =dMdV

• I fluidi si distinguono in – Comprimibili– Incomprimibili


La legge di Stevino• Consideriamo in fluido incompribile

• è uniforme in tutto il volume del fluido

• Consideriamo un fluido stazionario

• Isoliamo idealmente una porzione di fluido racchiusa in un cilindro di area di base A orizzontale e altezza h (h=y1-y2)

• Se tutto il fluido è stazionario, questa porzione è ferma

• Applichiamo la secondo legge della dinamica– In particolare la sua componente verticale

P2A −P1A −ρA(y1 −y2)g=0

⇓

P2 =P1 +ρ(y1 −y2)g=P1 +ρgh • h profondità

• Punti alla stessa profondità hanno la stessa pressione

• Punti alla stessa pressione si trovano alla stessa profondità– La superficie di separazione tra l’aria e l’acqua è orizzontale


Applicazione

• A che profondità bisogna immergersi in mare perché la pressione raddoppi rispetto a quella in superficie

• Vogliamo trovare h* in modo che P sia uguale a 2Po.

• Dalla legge di Stevino ricaviamo che la pressione alla profondità h in un liquido conoscendo quella in superficie Po, è data da:

• Da cui:

P =Po +ρgh

h

2Po =Po +ρgh* ⇒ h* =Po

ρg

h* =Po

ρg=

1atm1.024×103 kg

m3 9.81ms2

=

=1.01×105Pa

1.024×103 kg

m3 9.81m

s2

=10.05m

• Ogni 10 m di profondità la pressione aumenta di un atmosfera

• Se al posto dell’acqua c’è un gas,– la densità del gas è circa 1000 volte più piccola di quella dell’acqua

• Alla profondità di 10 m in un gas la pressione sarebbe cambiata solo di 1 millesimo di atmosfera

• Per recipienti di piccolo volume, entro i 10 m di profondità, possiamo considerare la pressione costante in tutto il recipiente.

P =Po +ρgh

se ρh→ 0

P =Po =costante


La misura della pressione

• Barometro– Per la misura assoluta della

pressione atmosferica

• Manometro a tubo aperto– Misura la differenza di pressione tra

due ambienti

– Misura relativa di pressione

0=Po +ρg −h( )

Po =ρgh

P =Po +ρgh


Il principio di Pascal• Consideriamo un fluido contenuto in un cilindro

racchiuso da un pistone mobile

• Indichiamo con Pest la pressione esercitata dal pistone sul fluido

• La pressione in tutti gli altri punti sarà: P =Pest+ρgh

• Supponiamo ora di variare la pressione Pest , per esempio variando il carico sul pistone.

• Sia ΔPest la variazione di Pest.

• In tutti gli altri punti del fluido osserveremo una variazione di pressione:

ΔP =ΔPest+Δ ρgh( ) ⇒se il liquido èincomressibileΔ ρgh( )=0

ΔP =ΔPest

• Se produco una variazione di pressione in un punto del fluido questa si ripercuote su tutto il fluido.


La leva idraulica• Consideriamo due cilindri pieni di un fluido incomprimibile (olio)• In condizioni di riposo entrambi i pistoni sono alla stessa altezza e la pressione

del fluido subito sotto i pistoni è la pressione atmosferica

• Se spingiamo il pistone Ai con una forza Fi, facciamo cioè aumentare la pressione del fluido in uno dei rami del pistone, allora la pressione aumenterà dappertutto della stessa quantità

ΔP =Fi

A i

• Il secondo pistone sarà quindi in grado di esercitare sull’ambiente esterno una forza

Fo =ΔPAo =FiAo

A i

• La forza risulta amplificata per un fattore pari al rapporto tra le aree

• Si osservi che lo spostamento del secondo pistone è ridotto rispetto a quello del primo dello stesso fattore.

• Il lavoro da fare per sollevare un oggetto pesante è sempre lo stesso


Il principio di Archimede• La Spinta di Archimede è la forza a cui è soggetto un

corpo quando è immerso nel fluido

• Consideriamo, in un fluido stazionario, la porzione di fluido racchiusa in una superficie chiusa che riproduce perfettamente la superficie esterna di un corpo.

• Questa porzione di fluido è in equilibrio (fluido stazionario)

• La risultante delle forze che la porzione di fluido all’esterno del contorno esercita su quella all’interno del contorno è proprio uguale al peso del fluido racchiuso all’interno del contorno.

• Quando metteremo il corpo, la parte di fluido esterna al contorno del corpo è la stessa , continuerà ad esercitare sempre la stessa forza:

• La spinta di Archimede è pari al peso della massa di acqua spostata dal corpo

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