Lezione 8 Dinamica del corpo rigido

Argomenti della lezione:

• Corpo rigido

• Centro di massa del corpo rigido

• Punto di applicazione della forza peso

• Punto di applicazione della forza peso

• Momento della forza peso

• Energia potenziale

• Rotazione nel piano

• Momento di interzia

• Energia cinetica di rotazione

• Teorema di Huyghens-Steiner

Corpo rigido

Definizione Un corpo rigido è un oggetto o meglio un sistema di punti materiali in cui le distanze relative NON cambiano

Un corpo rigido diventa quindi la definizione di un oggetto reale esteso.

0)( IRNON hanno risultante

Le forze interne (forze di coesione che mantengono invariate le distnze fra i punti) hanno le seguenti caratteristiche:

NON fanno lavoro

NON fanno momento 0)( IM

0)( IW

Corpo rigido

Tale sistema è quindi descritto dalle seguenti equazioni dinamiche

Le forze esterne sono responsabili del moto del Centro di Massa

Il lavoro delle forze esterne varia l’energia cinetica del sistema

I momenti delle forze esterne sono responsabili delle rotazioni intorno ad O (punto fisso o centro di massa del sistema)

CMe maR )(

i

iiiOe

O mdt

d

dt

dvr

LM )(

AcinBcine EEBAW ,,

)(

Corpo rigido

Come è fatto un corpo rigido??

Esso è formato da un insieme continuo di punti materiali.

Quindi tutte le somme diventano degli integrali!

Estendendo quindi ciò che si è visto per un insieme discreto di punti materiali le singole masse saranno infinitesime, ossia

dmmi

Centro di massa di un corpo rigidoDefiniamo il centro di massa di un sistema di punti materiali la seguente grandezza:

y

xO

CMrirr

ii

iii

CM m

m rr

imdm

dm

dmCM

rr

Se definiamo la densità come: dVdm con dV elemento di volume occupato da dm

leVolumeTota

dV

dV

dV

dV

dVVolume

Volume

Volume

Volume

VolumeCM

rrr

r

Punto di applicazione della forza peso Centro di massa

Consideriamo un corpo continuo sottoposto alla forza peso:

dmdm g La risultante di tutte queste forze parallele fra di loro è:

ggg mdmdm E tale forza è applicata nel centro di massa del sistema.

Momento della forza peso Centro di massa

Il momento della forza peso rispetto a un polo fisso (ad esempio l’origine dell’asse delle coordinate) è dato da:

grgrM dmdm

dmdm

dm

dmCMCM rr

rr

ma:

grgrgrM mmdm CMCMCM

Energia potenziale Centro di massa

Analogamente a quanto visto in precedenza per il calcolo dell’energia potenziale:

zdmggzdmE p

dmzzdm

dm

zdmz CMCM

ma:

CMCMp mgzdmgzzdmggzdmE Se il corpo è libero ed agisce solo la forza peso la traiettoria del CM è verticale rettilinea o parabolica a seconda delle cond. iniz.

Rotazione nel piano

zu

O

dmr

CM

v

Consideriamo un corpo di due dimensioni, che possa ruotare intorno ad un asse fisso

Asse di riferimento

Le equazioni del moto del sistema sono

CMe maR )(

dt

d OeO

LM )(

dmmi

iiiO vrvrL

Poichè vr zO rvdmuL

Rotazione nel piano

Notiamo che il momento angolare e il momento della risultante delle forze esterne sono perpendicolari al piano e paralleli al versore uz

zu

O

rdm

CM

v

Asse di riferimento

Inoltre si ha che:

dt

drv

E quindi

dmrdt

ddm

dt

drrrvdmO

2L

La quantità prende il nome di momento di inerzia dmrIO

2

Momento di inerzia

Si è appena introdotta una nuova quantità che prende il nome di momento di inerzia

dmrIO2

i

iiO mrI 2

Nel caso continuo

Nel caso discreto

Il momento di inerzia è legato a come è distribuita la massa attorno all’asse di rotazione

Esempio

Equazioni del moto del corpo rigido

Per la traslazione

Per la rotazione

CMe maR )(

dt

d OeO

LM )(

dmrI

dmrdt

d

O

zO

2

2 uL

zOOe

O Idt

d

dt

du

LM

2

2)(

Sia m la massa totale del corpo rappresentato in figura

zu

O

rdm

CM

v

Asse di riferimento

Dal teorema di Konig si ha che

i

iiCMtotcin mME 22 '2

1

2

1vv

Con i'v velocità relative rispetto al CM

Calcolo dell’energia cinetica per la rotazione intorno ad un asse fisso

zu

O

rdm

CM

v

Asse di riferimento

Dall’analisi del moto di rotazione intorno ad O di tutte le masse infinitesime

Ma

dmrIO2

22 '2

1'

2

1vv dmmE

iiicin

dt

drv

dmr

dt

d

dt

drdmEcin

2

222

2

1

2

1

e in definitiva2

2

1

dt

dIE Ocin

Calcolo dell’energia cinetica per la rotazione intorno ad un asse fisso

Prendiamo un corpo piano qualsiasi che ruota intorno al punto O

O CM

CMr

r 'rCalcoliamo ora il momento d’inerzia rispetto al punto O

dmdmrI CMO22 'rr

dmdmdm

dmI

CMCM

CMCMO

'2'

'2'

22

22

rrrr

rrrr

CMCMCMO ImdmmI 222 ' rrrOssia

Teorema di Huyghens-Steiner

Pendolo composto

Si chiama pendolo composto o pendolo fisico ogni corpo rigido che possa oscillare per azione del suo peso in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale non passante per il suo centro di massa.

h

O

gm

CM

Il momento della forza peso è

senhmgm grM

Il segno negativo è dovuto al fatto che si ha una forza di richiamo

Pendolo composto

Studiamone il moto

senhmgm grM

2

2

dt

dII

dt

dzz

z L

sen2

2

hmgdt

dII

dt

dzz

z L

0sen2

2

zI

mgh

dt

d

E per piccole oscillazioni 02

2

zI

mgh

dt

d

h

O

gm

CM

Pendolo composto

che ha soluzione

02

2

zI

mgh

dt

d

zI

mghtt con sen0

gl

mghIT z 222

mh

Il z lunghezza ridotta del pendolo

h

O

gm

CM

Pendolo composto

gm

O

h

CM'h

'O

Se poniamo

'' mhhImh

Ih C

C

hhhhmh

I

mh

mhI

mh

Il CCz

'

2

Se facciamo oscillare attorno ad O’

lhhhmh

mhhh

mh

I

mh

mhI

mh

Il CC

''

'

''

''

'

'

''

2

ll ' CioèIl periodo di oscillazione intorno ai due assi è lo stesso

Rotolamento puro

rωvv CMC

Se

0Cv

rωv CM

C

CMv

CMv2

CMvr

ω

Il moto del centro di massa è regolato dalle seguenti equazioni

raωrv CMCM

Rotolamento puro sfera

Per la traslazione

0mgN

mgfF a

Irf

I

a

a

αfrM

af C

F

ω

Per la rotazione

Considerando tutte le equazioni

11

1

2

2

22

22

2

2

mI

R

F

mRI

m

F

R

Ia

R

If

mRI

m

F

RI

m

Fa

aR

ImF

aR

If

mafF

CMa

CM

CM

CMa

CMa

mgf sa Per il rotolamento puro occorre che