Oscillazioni di an corpo rigido in sospensione elastica.

Memoria di GIULIO KRALL (a Roma).

Santo. - rnteresse pratico del problema. Equazione dei piccoli moti. Corpo rigido su un suolo elastico. Esempi. Moti [orzati. Eorzamenti wincolari continui ed impulsivi ; problemi del- l'asismica. Spostamento e cos~rizione ; corrispondenti limitazioni superiori.

§ 1. In vista di applicazioni concrete allo studio dinamico di certe costru-

zioni assai frequenti nella pratica, e, con riferimento specifico ad alcuni tipi

notevoli di fondazioni, qui cominciamo a considerare, in linen del tutto gene-

rale~ il moto oscillatorio, libe~'o e fo~'zato, di un corpo rigido, vincolato da

vincoli elastici privi d ' inerzia. :Nell'ambito dei quali vincoli includeremo, at-

t raverso ad un accorgimento adeguato, i suoli cosidetti elastici. Elasticit~t

questa, ai cultori di statica ormai ben nota, e di cui, in pratica, la conside-

razione non 6 certo da trascurare.

Come vedremo, gli sviluppi che an4remo svolgendo hanno effett ivamente

un certo interesse tecnico, anche se dal punto di vista meccanico, a prescin- dere forse da qua l che schematizzazione pifi o meno indovinata, non valgono

assai pid di una modesta esercitazione. & confermare l ' in teresse suddetto basti r icordare certe fondazioni di

motori proget tate senza riflesso alle azioni dinamiche, ie quali, tosto the

sieno soddisfatte certe condizioni, cosidette di risom~nza, cio6 a dire~ di egua- glianza tra periodo dell 'azione perturbante ed uno dei lore periodi propri,

vibrano, pericolosamente per la loro stabilit~t e quetia del macchinario o,

quanto meno, con talvolta insopportabi le disturbo dell 'esercizio, perdita di

potenza per dissipazione d 'energ ia nel suolo stesso e cosi via d icendo .

Senza enumera te tanti altri esempi, primissimi quelli forniti dalt'asismica~ r i leveremo che~ in questa ricerca, ci siamo preoccupati in primo luogo dello

studio delle oscillazioni iibere intorno ad una configurazione d 'equil ibrio e

quindi della detcrmiuazione dei corrispondenti periodi fondamentali, di eui

la nozione 6 uotorialnente sufficiente a premunire se non altro daI pericolo

gravissimo delle nominate circostanze di risonanza. Indi~ passando ai moti forzati~ abbiamo considerato con particolare attenzione quelli dovuti alia va-

216 G. KRALL: Oscillazioni di un corpo rigido in sospensione elastica

riabilitg dei viueoli. Attenzione per veto giustificata, quando si pensi the

proprio allo studio di siffatti, ehiamiamoli eosl, forzament i vineola~'i, intesi seeondo i eriteri della moderna sismologia, ehe si ridueono tutti i pro-

blemi dell' asismiea.

Del iberatamente abbiamo evitati eerti dettagli per non far rieorso a

metodi e terminologie troppo proprie della tecniea ehe, neeessariamente, male

si inquadrerebbero in questa esposizione a earat tere generale.

§ 2. Equazione dei piceoli moti. --- Sia dunque S un corpo rigido o praticamente tale, e sieno J~ i vincoli cui esso 4 sottoposto. Siffatti vincoli li

immaginevemo costituiti da sistemi elastici qualsivogliono, privi d ' inerzia o

pressoch6, car~tterizzabili, per qnanto r iguarda la capacith a reagire ad uno

spostamento del punto terminals P di attacco col solido, mediante gli spo-

stamenti prodotti in direzioni determinate da forze convenientemente scelte.

Ed inf~tti si vede che, o re si prenda riferimento ad un sistema di assi definiti

da tre versori j~(t t ~ 1~ 2, 3) spiccati da P, quando con e~k si indichi lo

spostamento provocato secondo j~, da una forza unitaria agente secondo .i~,

purch4 siano noti tutti i 3 X3-----9 valori di e~h tra toro simmetriei, corri-

spondenti a i, h--~l, 2, 3; il vincolo~ per quanto concerne la capacit/t reat t iva terminale ~ esaurientemente caratterizzato. Poich6 evidentemente, se si tratta

d 'uno spostamento generico a (di componenti u~ ( i -~ 1, 2, 3) di P) la rea-

zione I t (di componenti R~) opposta dal vincolo sarg data~ in modo immediato,

dalle relazioni

u~----- Eieih R~, (h-~ 1, 2, 3) 1

ovvero, risolvendole, 3

R~ ~-E~e~i~)ttk, ( i ~ 1, 2~ 3) 1

e( ~kt - - e ( k~ essendo l 'e lemento reciproco genorico, che chiameremo ca~'atteri- stieo di elasticitd~ dell~ matrice di terzo ordine formata con gli elemeuti e~ dianzi definiti.

Quanto alle caratteristictm d ' inerzia del corpo S, supporremo determinati :

gIi assi pri~eipali, spiccati dal baricentro, caratterizzati con tre versori che

chiameremo fbndamentali Ji(i---=-1, 2, 3); i momenti di second'ordine Ai ad

essi relativi ed infine l a m a , ssa totals M. Ci6 posto, tes ta ad individuare i parametri del sistema. Trattandosi di piceole oscillazioni, intese nel senso

ordinario, assumeremo pe~ ~ questi i tre spostamenti U~, U~, U~, del bari-

centro 0 r ispet t ivamente le tre rotazioni U4, ~ , L~, di S secondo i tre ver-

G. KRALL: Oscillazioni di un cotTo rigido in sospensione elastica 217

sori fondataentali sopranominati. Ne scende in tal modo the, se con ,t(~ si

indica lo spostamento del generico punto di contatto Pe del corpo S col p,,~o

tra gli N vincoli, si avr5,, per una ben nota relazione di cinematica (')

u(,+ = U + O) A (P~ - - 0) (1)

e s s e l l d o 3

U~--~ E~U~ J~, 1

Quindi, ponendo u~e)~-~-a~)Xj~# ~), il

tutti gli N vincoti sarb~

8

1

potenziMe elastico W eorrispondente ~t

i N 3 v v ~ik~_(p)..i~)

dunque, come manifestamente si vede, una forma quadrat ica .necessaria-

mente posit iva e definita, nei sei parametri Ui, 5~+:~ (i--~ 1, 2, 3). L' energia c i n e t i c a - T ~ sun volta, com'~ facile controtlare, pel riferimento preso si

s t r ive facitmente 3 3 "2

2T-= ME~U~ 4- E~A~Ui+3. 1 1

Si ~t quindi, in assenza di sollecitazioni esterne, quanto occorre per scri-

vere te equazioni del moto nella seconda forma loro attribuita da, LAC-RANGE

d[~T~ ~(T+ W) O, ( i = 1 , 2, a,... 6). dt\~ud + ~u~ -

Come da queste equazioni dif~renziali, del second' ordine, lineari ed omogenee,

si risMgn poi all'equa, zione delle frequenze ~ cosa ris~puta e non ~ certo il

caso di far richi~mi, se non al pifl a t t raverso qualche esempio espressivo,

come faremo tra poco. Piuttosto r i leveremo che, nell~ circostanza frequente in eui a! sotido S

sia,, pel t ramite d' un certo vincolo, collega, to un punto materiMe O di massa m, le equazioni si possono scrivere mlcore~ con tutt~ facilitA. BasterA aggiungere

all' espressione di W il termine w competente M potenziale elastico del vin- colo nominato ed all 'energia, cinetica T il termine addizionale O, spettante

a l l 'energia cinetica di m. Convenendo d ' indieare all 'uopo con k~ tre versori ortogonali spiccati

da Q~ con V~ Ie tre componenti delto spost~mento V del punto suddetto, se

(t) Cfr. T. LEvI-C~vrrA e U. 2IMALDI~ Lezioni di Meccanica Razionale, Vol. I (2 a ediz.), pag. 183, Bologna, Zanichelli, 1930.

A~nal~ dl Matematiea, Sorie IV, Tome VIII. 28

218 G. K~LI~: Oscillazioni di un corpo rigido in sos2?e~sione elastica

con ~"n) si indicano gli elementi ca~'atte~'istici di elasticit~ del nuovo vincolo

(valutati~ fermo restando il solido, dunque immaginando irrigiditi gli altri

vincoli) avremo 3

dove v~ 4 manifestamente la componente rispetto a k~ detto spostamento re-

lativo di Q per raffronto ad S~ dunque eguale a

Per il termine addizionale 0 del l 'energia cinetica T ricaviamo infine

1 3 .~ 0 ~

Trattandosi pifl in generale di v puuti Q~, Q~... Q~ siffattamente colle-

gati~ avremo, con notazione ovvia, w ~ E ~ w ~ , O~---E~O~, dunque, in luogo 1 1

delle 6 equazioni di prima~ 6-I -3v equaziol~i nei 6 parametri U~(i== 1, 2,... 6)

di S e nei 3v parametr i V~(¢~(i= 1~ 2, 3; - c = l ; 2,... v) dei v punti Q~. Questa schematizzazione ~ notevole; uua vasta classe di sistemi vi rientra

infatti senza difficolt~. Si pensi ad esempio ai ritti d 'una costruzione, soste-

henri delle m a s s e ed infissi in una platea (il corpo rigido S) di fondazione,

o ad una ruota ealet tata su uu asse flessibile sostenuto, pel tramite di ade-

guati supporti, da un blocco robusto e pesante.

§ 3. Distribuzione continua di "¢incoli. Corpo rigido su suolo e l a s t i c o . - Consideriamo ora il nostro sistema appoggiato, seeondo una superficie F su di un terreno etastico. Caratterizziamo questa elasticit~t attribuendo al terreno

suddetto la capacitS~ a reagire ad uno spostamento locale z = z(P), misurato

secondo il versore n della normale ad F spiccata da un punto P generico,

(di cui d F sia l ' intorno spostato), secondo la relazione

n d R ~ nC(P)z(P)dF,

C-~- C(P) essendo una costante fisica (la eosidetta Bettungsziffe~" dei tedeschi)

specifica di ogni terreno, che potremo considerare variabile o no nel campo F.

Tale legge rende ben evidente il suo carat tere locale~ in quanto la rea- zione dR ~ funzione del solo spostamento z = z ( P ) d e l l ' i n t o r n o dF di P~ e non dipende in modo alcuno dagli spostamenti vicini o lontani~ degli altri punti di F~ eventuahnente provocati da cause qualsivogliono. Che le cose non

procedano proprio cosi ~ chiaro sia alt ' intuizione sia ai lumi delle ordinarie

G. KRALL: Oscillazioni di un corpo rigido in sospensione elastica 219

teorie matematiche dei suoli elastici. Comunque eonviene aecet tare codesta

schematizzo~zione, ove si pensi alI 'uso cos~ante ehe, tbrse in maucanza di

meglio, certo con quMche profitto, se ne fa in statica.

Convenendo ancora di t rascurare l 'elasticith laterale del suolo, vale a

dire, di r i tenere trascurabili gli spostamenti tangenti alla F, passiamo ad ap-

pIicare senz' attro i risultati prhna acquisiti per arr ivare aII 'espressione del

potenziale W e del l 'energia cinetica 7\ Rileviamo anzitutto ehe, trattandosi di infiniti vincoli, converrh sostituire

1' indite p con 1' indicazioge del punto generico P di cui si considera 1' intorno dF. I1 quale intorno, poichg si fanno intervenire i soli spostamenti nel senso delia

normate )t, o re si ponga n - - j a ( P ) potr~ esser r iguardato come un vineolo ela-

stico di cui son nulli, o quauto meno non si fanno intervenire, tutti gli elementi

caratteristici e (~h), salvo 1' ultimo e (a3), evidentemente eguale a CdF. Ad uno spo- stamento u 3 ( P ) = u ( P ) (non si eonsiderano le eomponenti u~(P) ed u~(P)) corri-

1 e u3(P) -~ ~ u~(P)CdF. sponderh un potenziale elastico del vineolo dW--=~ ~.~3) 2 1

Quindi, ad uno spostamento generale U, 01 di S, un,potenziale globale

1 ,[C(P)u~(P)d F W=~ F

essendo, in conformit~ con la (1)

u(P) : t U q- ca) A (P - - O) } X n(p) ,

Ovvero, pifi esplieitamente, indicando con e~, %, % i eoseni direttori di n,

con x~, x~, x 3 le coordinate di P rimpetto al sistema fbndamentMe J~,

3

u(P) = E,U,~, + D(U4, Us, U6) 1

c o n

D=D(U , X ~ X 2

Rilevando infine che alia T compete proprio

attribuita, le equazioni del moto assumono l 'aspet to

+ji 31g_]~ ~kUh~h + D ~iCdF=O, 1

F

A~]]~+~ + EhUho:h + D C d F = O ,

F

X 3

la forma generale prima

( i ~ 1 , 2, 3).

220 G. KR~LL: Oscillazioni di un corpo rigido in sospe,nsione elastica

]~ questo un sistenla di equazioni differenziali del second'ordiue, lineari

ed omogenee, di cui l ' integrale generale si scrive nella forma

6

(2) 5~ = E~U~ (~) { a~ sin (),J) + b~ cos O,~t) }, 1

a~, b~ essendo costanti arbitrarie d ' integrazione, le U~ (~) soluzioni del sistema

di equazioni algebriche lineari ed omogenee

3

- - MU~ x~ -+-ft Y~Uh~k + 17 } ~ C d F = O, , 1 1

(3) r f a ~D

- - A~U~+3)~ 2 + { NaU~% +- D I Ca lF= O, (i.----- 1, '2, 3)

B"

corrispondenti a determinati valori ).~ di ),, ottenuti come radici dell 'equa-

zione, cosidetta equaz ione delle f requenze , the si ottiene annullando il discri-

minante del sistema suddetto.

Ma detti valori di )~, ehiamati autovalori , come risulta dalla (2), danno,

a meno del f a t to re (27:) -~, l ' inverso del periodo di ogni vibrazione di cui

l ' insieme earatterizza l ' integrale U~. Concettualmente dunque, a meno di una t

risoluzione d' una equazione algebrica di 6 ° grado, il problema coneernente la

determinazione dei periodi propri di vibrazione, si pu6 considerare risoluto.

§ 4. Un esempio concreto. Blocco para |e l lepipedo omogeneo poggiato su UIl s u o l o e l a s t i c o . - - Supponimno c h e l a superficie di contatto si identifichi

con la faccia de1 paralellepipedo x 3 - - cost. e che

~ C x f l F O, (i --- 1, 2), £,

~ C x ~ x h d F - - O , (i, h = 1, 2, i=t=h). per F

Soddisfi~tte queste condizioni (esprimenti tra l 'al tro che il baricentro della distribuzione di C su F, o in particolare per C ~ c o s t , di F semplicemente,

sta sul versore '/3 poich~ manifestamente ~ = a 2 ~ - - - 0 , ~ 1 ) le (3) diventano

F F

F

G. KaA~.L: OsciIlazioni di un corpo rigido in sospensione elastica 221

dal le quali si r ieaw~ senz ' a l t ro

CdF ~CxXdF ~Cx~ d F

M ' k s - - A~ , X~-- A. 2

ovve ro , ind ieando con a , , a~, a 3 i lati mi su ra t i seeondo i ' m ' d i n e dei versor i

fondamenta l i , con I~ la m a s s a specif iee b p e r C eos tan te ,

2 a2t

-= a~--~' X, _ C aa(a.~ + aX)~t, k~ - - C aa(a ~ + a~)~"

Pos to a titolo di e s e m p i o n u m e r i e o

d e n t e m e n t e ad un t e r r eno sabbioso) ~ - - -

ehe sia C = 3,00 k g c m -3 (eorr ispon-

0.0022 k g e m -~,

g

g --= 981 c m s e e -~, a~ = 500 era, a s ~ 1000 em, a s = 200 cm,

r i e o r d a n d o che la f i ' equenza v 6 l ega t a ai valor i e a r a t t e r i s t i e i ). da l la rela-

X zione v ----- ~-~ t r o v i a m o

k~ __ 13,02 see-~ , v~ --- ~ ----- 12,76 s e e - ' , v 3 ----- ~ - - 12,08 s e e - h

j ~

0 r e i n v e e e non fosse hullo l ' i n t e g r a l e C x f l F , v a l e a dire, ove il b a r i c e n t r o

E del la d i s t r ibuz ione di C sul la sez ione non si trow~sse su "/3, me. sposta to , s e m p r e

pe r6 su J , p u r essendo soddis fa t te tu t te le a l t re eondizioni di pa ra l e l l i smo t ra

gli. assi, le (3) a s s u m e r e b b e r o la f o r m a

F F

F F

F

D a ques t e si r i e a v a s enza diffieoltk,

222 G. K~RALL: Oscillazioni di un corpo rigido in sospensione elastica

essendo

F h~ -= F h~ F F ~-- M ' A l ' - - A ~ ' r ~ - - VMA4

Che i valori qui t rovat i per ~,~ e ),-2 risultino sempre real i e positivi oc-

cor re appena r i [evare . Ci6 segue dal ca ra t t e re neces sa r i amen te posi t ivo della T

e definito della W o, se si vuole, il che 6 lo stesso, da l l ' e s se r in ogni caso

his > r~t (~) dunque

[h~ + s\ ~

Consider iamo ora, come ul t ima il lustrazione, un s i s tema schemat izzab i le

ad un~ massa punt i forme m col lega ta e las t i camente ad un b[occo rigido

poggiato su un suolo elastico. Che un siffatto s i s tema abbia in teresse 6 chiaro, pur t he si pensi ch ' e s so

cost i tuisce la pid na tura le - - se non la pifi p r e c i s a - r appresen taz ione sche-

mat ica d' una ruota fissata su un asse elast ico r ig idamente unito ad una fon-

dazione a blocco. Ri tenendo pur sempre t rascurabi l i i moviment i U~, U2, U6, e r i tenendo

che, delle coordina te di Q, due, le ~t, ~ sieno nulle, si t rova

1 ~ 0 0 1 I ~ u,

W : ~ e(,l) Vl __

1 0 0

U~ U ~ 0

0 0 !~

2

tl ÷

Ove si ponga quindi, convenendo di sc r ive re per

luogo d i e "°

$2~32~ -t--

F E

X l X 2 263

( 0 1 ~ )~ ~(~3)(V3--U3) i[

0 0 ~ ]

3 "2 I 1 8 " + EiA~U~+3 + = E~miVi ~. 1 i ' 21

semplici th formale ei (~) in

~3 - = ~ C d F + %

(t) Q u e s t a d i s u g u a g l i a n z a a l t ro n o n e s p r i m e t h e i n ogn i caso

F /~ F

il che ~ u n b e n o w , io a spe t t o d ' u n a f o n d • m e n t a l e d i s u g u a g l i a n z a di SCHWARZ. (z) D a n o n c o n f o n d e r e con $ii.

G. K ~ t ~ : Oscillazioni di un corpo rigido in sospensione elastica 223

le equazioni di LAGRANGE porgono subito, scr ivendo z in luogo di {a,

i S ~ ~ - S ~ - - ~ V = = 0, A,5~, + S.~5 + ~aV~ = 0 ,,,?~ + ~ , - - ~U~ = 0 ; ,,,~: + ~ L + ~,~U~ = 0 ;

&b'~ + s, u0 -- ~,av, = o

Alia man ie ra solita si h a n n o le equuzioni secolari, o delle f requenze,

I ( - - M~. "~ + Oa), - - % --~ O, 1 ( - - A~k= + ~')' %z - - O, - - ,~, (-- m~,'- + ~a) / ~.~z ( - - m), ~ + ,~)

( - - A~X* -e e~), - - %Z = 0.

Risolvendole si ot tengono i 6 vglori

2M,~.~ - - v~ -2-M,7~ -j

-~- V 2A?n +--- V\ 2AJn ]

2

Mm

~a,, A~m

8 [ 2A2m [ \ 2A:m ] A~m

Osservando appena che necessa r i amen te siffatte radici sono reali e positive,

r i l everemo che, se con ×~ e x~ si indicano le f requenze di oscillazione che avreb-

bero i sistemi S~ ed S~ (m col suo vincolo) separati , vale ~ dire, se si pone

Sc.F 2 F 2 _ _ g a

le f requenze ~,~, ),,2; ora definite sono esterne a l l ' in te rva l lo x i - - % . E cosi

ana logamen te si pub dire per le ~'a, ;(4; ~-5, )'6; ove si considerino gli inter-

valli x a - -×4 rispettive~mente % - x6, essendo

j 'Cx~fl F

A i ' x 4 ~ m '

~ Cx~dF

- ~-~ ~ ° - . 7 "

224 G. KRALL: Oscillazioni di un corpo rigido in sospensione elastica

Rileveremo the in partieolare, se la frequel~za della fondazione, poldamo

la ×~, 6 assai piecola per raffronto alia z~ (del motore), inte~ldendo che

sia ~a grande per r~ffronto a CF, m piccolo per raffronto ad M, la superiore

delle radici ).~, ).=

M ~ % ( t + n ) - - O')'l \

e cosl se la ×~ ~ piccola per raffronto alla ×~ ed at~alogamente la % rispetto

alla z~ si ha, per la maggiore delle )~, ;~,; r ispet t ivamente ),~, ~ ;

§ 5. Mot i f o r z a t i . - - Abbiamo studiato le oscilMzioni libere o sponta~Jee

del corpo rigido, resta ore a studiarne il recto forzato, ma~te~eudosi, s'in-

tende~ pur s~mpre nell' ambito dei piecoli movimenti.

In linea generale, in verit/~, niuna difficolt& si oppone ella costruzione

delle equazioni del recto. Infatti~ se sul corpo agisce un sistema di forze

funzioni del solo tempo t di cui siai~o/t ed d~[il risultante e rispettivamente il

momento risultante, baster~ procurarsi i' espressio~le del potenziale (delle forze)

(I) corrispondente allo spostamento rigido (b~finitesimo) ~ O) e serivere 1,.elle

equazioni lagral}giane !4z-I- (I) in luogo di W.

Ora troviamo subito per (1)

+ ; lx o..) }

ovvero, indicando col~ R~, M~, ( i = 1, 2, 3) le componellti di R ed 3 I ri-

spetto ai tre versori fondamentali J~,

3

1

]~oti i termit~i perturbanti, l'in~eg'razione delle equazioni, concettualmente, e pei casi pifl consueti anche formalme~te, non presenta, certo difficolt/~.

A titolo di esempio illustrativo, vogliamo considerare qui ta circo-

stanza in cui su un blocco di ibndazione per macchiHe agisca mm forza

periodica. Sia dunque, con rifiesso ad un bloceo del tipo considerato al part~grafo

precedente, R, ~ R~ ---~ 0, R 3 ~-- R sin 2r: T; con R ----- mrco ~, M~ ~ M 2 ~ M~ ----- 0

la ibrza agente, dovuta~ supponiamo~ a masse rotanti con periodo T o~ se si

G. K R ~ : Oscillazioni di un corpo rigido in sospensione elasticc~ 225

~077 vuole, con veloeit/~ angoto~re ~o = ~- . In tal easo si ha manifestamente

~, = ~ R ~ U~ ,

quindi F 1 ( ~U3 M ~[~- + CFU.~ - - R3(t),

per il moto secondo U 3. Trascuriamo di serivere le Mtre, relative agli Mtri

par~metri, non sensibili a siffatta pertubazione, come pure di discutere eo-

desta ben nora equazione.

§ 6. F o r z a m e n t i v incolar i . - - Passiamo or~ a considerare un tipo di

o~zioni perturbanti notevolissime pei problemi dell 'asismica. Vogtiamo preci-

samente alludere ali 'effetto prodotto da un movimento (rigido)infinitesimale

del terreno su cui poggiano, o meglio, sono fissati i vincoli. Siffatto movimento n o i l o immagineremo definito come movimento d 'una

terna di assi solidale col terreno (terna locale L(K~', K~', K~') rispetto ad

una terna fissa (terna geoidiea~ G(Kj , K2 , K 3) invariabilmente collegata col

geoide terrestre, terna che assumeremo come riferimento meccanico 0).

Cib premesso, sempre seguendo il metodo di LAGRANGE, passiamo a de-

terminare l 'espressione del potenziale W.

All 'uopo baster~t rilevare ehe nelta fbrma

1 3 EikeC~)uiuh (~)~ (5) W = ~

u~ sta a rappresentare h~ componente delto spostamento del punto termi-

hale P del vincolo producente deformazione elastica, cio~ a dire, la com-

ponente dello spostamento effettivo assoluto s (~) meno la componente dello

spostamento di trascinamento s(~). Dunque, ore ii moto infinitesimMe della

terna L sic definito con due vettori U(~) ed O)/~), poich6 sar£

s(~) = U (~) + O) (~) A ( P - L)

dovremo porre u ¢ - - u ! ~ ) = s (~') ~ j ~ con s (') spostamento relativo, (il solo che

produce deformazione) dato da

(6) s ( ~ ' = s ( a ) - - s ( ~ ) = ( U ( a ) - U(~)) + 0.1(~) A ( P - - 0 ) - - ¢ O (~) A ( P - L ) =

= ( u (~, - - U (~)) + ( ~ ' - - ~ (~ ) ) A ( P - - o ) - ~ ( ~ A ( o - - L).

(~) Cfr. LEVI-CIVITA e U. A~ALDI~ oi.). cir., vo]. II~ parte I, pag. 383 e seguito. (e) TrMasciamo per semplici th formale la scr i t tura de l l ' ind ice ~ carat ter izzante il vin-

co1% con c h e l a sommazione rispetto ad esso r imane sottintesa.

Anna l i di Matemc~tica, Serie IV, Tomo VIII. 29

226 G. KR~LL: Oscillazioni di un co tWo rigido in sospensione elastica

Quauto all' e~mrgia ciaetica T, essa resta pur sempre espressa dalla rela-

zione di prima, quando si apponga ai parametri U un indice (a) per maggior

chiarezza,

+ ~,~A~(U~+a) . (7) 2 T - - M~.~( (~) 1 1

Si potrebbe porsi perb sotto un altro punto di vista, e precisamente de-

finire come parametri U (~') ed O) ('), spostamenti di S misur~,ti rispetto alla

terna locale L. Allora il potenziale W mantiene ancora la forma (5) con

u(r) r U(r) O)(r) = I. - 4 - A (P - - 0)] X j , ,

mentre nell 'espressione (7) del l 'energia cinetica, U! ~~ ed r~(~) c,~+s vanno esplicitati irT(r) r g r ) nei termini di ~ ed secondo ie relazioni ovvie U =,i,+ 3

U~ ~) = [ V (~ + U (~) + ~(~) A (0 - - L)] X J~

U~-~8 - - (O) <r) 4- O) (~)) X J{

ovvero, con evidente posizion%

U<a) ~(~) rr(~) (i ~ 1~ 2, 3) i + 3 ~ U~.+~3 4 - ( J i + 3 •

Comunque sieno formate le equazioni, bisogna star bene attenti che, nel

primo caso, ad integrazione ~'atta~ i vettori U (a) e O) <a) definiscono il moto as-

soluto del sistema rispetto alla terna geoidica, talch6 per avere quello rela-

tivo, U (r) ed O) (') c h e # queUo che pub i n t e r e s s a r e ore si vogl ia w d u t a r e

la c o s t r i z i o n e de i vincoli~ bisogna porre

U (~) --" U (a) - - U(~) - O) (~) A (0 - - L); O) (') ----- O) (~) -- 0)(~).

Nel secondo ct~so invece, U (r) ed O) (") forniscono il moto relativo, rispetto

alla terna Iocale, dunque direttamente gli elementi dello spostamento produ-

cente deformazione e quindi cimento dei vincoli.

Come primo e pifi semplice esempio consideriamo un punto materiale di

massa M (ultima riduzione del corpo rigido S ) so r re t to da un' asta elastica

infissa nel suolo. Assumiamo gti assi della, terna locale L paralleli agli assi

fondamentali J spiccati da M, assi J- che riterremo coincidenti con gli assi

di riferimento j dell' unico vincolo.

Scegliendo la prima impostazione, quindi attribuendo il significato di

parametri agli spostamenti assoluti U~ ~) avremo anzitutto,

3 .

2 T ~ ME~(U~)) ~. 1

1 ~ a . ~ ~ rileviamo in primo luogo che, per Quanto al potenziale W ~ 2 Eli , e<~)u(~)u (~)

G. KUALL: Oscillazioni di un corpo rigido in sospensione elastica 227

la (6), essendo inutile, t ra t tandosi di un punto, par la re di (,O, sarh

dove, poieh6 P = O,

s(r~ -~ s(a) - - s(~) -~ u(a) - - U(~) - - O) (~) A (0 - - L).

Ma 0 - - L ---- x s J 3 ~ x~ = x : - - 0 ; a v r e m o quindi in forma pig esplicita,

3 W __ eC,,u~,), ( i = 1, 2, 3) Dunque , se in taI caso e ( ~ ) ~ 0 per i=t::h, sarh, ~ - U ~ -

e le equazioni l agrangiane d iventano in eonformith

MU! ~) -t- e"" . u! ") ----- 0 (i = 1, 2, 3)

con le u~ ?') dianzi definite.

In teg rando siffatte eqnazioni, si arriverbo alle funzioni U~ ") =-U~)( t ) earat-

ter izzanti le elongazioni e las t iehe effet t ive assolute del punto mater ia le .

O r e ei si ponga a cons ide ra t e il seeondo punto di v is ta e si a s sumano

dunque come pa rame t r i le U~ '~), si a v r e b b e

3

2T--~ M E , { ( ~7'")-~ - ~7(~)-t- 0 (¢, A (0 -- L)) X J , 1" 1

3

Ui ) - - M E i ( " (a) 1

e, con le s tesse ipotesi di pr ima, 3

2 w = Y~, e'"'[ yT)] ~ 1

s e m p r e perch6 P = 0, J~ = j ~ e quindi U! ~)-- u~ ~).

Le equazioni nel le U~ r~ diventano

M(/21 ~) + Di ~) + t~?x3) + e " ' u T ' = o,

"" (z) e (~) U (~) 0, M(~Tg) + U ; > + U~ x3) + , =

M (/2~) + DY )) + e (~, U~ ~) = o.

Che ques te sieno equivMent i alle p reeedent i 6 appena neeessar io osser-

vare . Basra infatti sos t i tu i re in esse U~ ~) = U~ ~) - U! ~ ) - O) ~ ) / \ ( 0 - - L) X J~ , per r i t rovar le immed ia t amen te .

228 Q~. K R A L L : Oscillazioni di u n co'~To rigido in sospensione elasbica

§ 7. Spostamento massimo di un punto generico del sistema. Costrizione massima di un vincolo. - - Qui giunti osserveremo che, ahneno in generMe,

nei problemi pmtici, pifi c h e l a deserizione istante per istante del moto

interessa conoseerne le elongazioni massime onde desumere da queile criteri

per l 'effettivo cimento dei vineoli.

Tale intento si persegue pel tramite di un~ formula limite che abbiamo

assegnata per Io spostamento di un corpo elastieo vibrante ('), del tipo

(8)

c o n

1 / 7 - - E - . °

In questa, E definisee l 'energia totale del sistema all'inizio del moto, P.~

l 'energia potenziale elastica sotto l 'azione dei carichi statici, S (~) Io sposta-

mento in direzione i prodotto da una forza unitaria agente nella stessa di-

rezione, Ha infine 6 una espressione the in generale, ove con X~ si indichino le

componenti lagrangiane della sollecitazione ~ttiva su S, 6 data dMla relazione

t t 6

H a = :~ [Yinb(~"' i iXhdt, ~ e J 1

0

i c o e f f i e i e n t i b (in) e s s e n d o g l i e l e m e n t i r e c i p r o e i d e g l i e l e m e n t i b~h, s p e t t a n t i

all 'espressione del l 'energia einetiea the, per un sistema a 6 gradi di liberth,

ser iveremo 6

2T = Y~,b,h D~//,. 1

Nel caso nostro dunqu% maneando all 'espressione di T i termini rettan-

1 1 goli, bai) per i ~ l , 2, 3~ b ( ~ ) - - per i ~ 4 , 5, 6. Per cui in partico-

- - M - - A i

lare, per P s ~ E ~ - O , si avrh, caratterizzando le componenti Iagrangiane della

solleeitazione att iva con R~ rispet t ivamente M~

- - ~ i + dt 1

0

(i) G. KRALL, Limitazioni superiori per lo spostamento dinamico. ,, Rend. R. Aeeademia dei Linee i ,,, vol. I X , serie 6 ~, I sere., fasc. 2, Roma 1929.

G. KRALL: Oscillazioni di u~t corpo rigido in sospe~sione elastica 229

o, trattandosi di una sollecitazione impulsiva di cui siano R e d M (~) il risul-

tante ed" it momento risultante degti impulsi,

Y,i + "

C h e i a nozione dello spost, amento possa far risalire alla nozione del cimento

dei vincolo ~ chiaro; comunque, a titolo d'illustrazione, vogliamo considerate

brevemente un esempio.

Una piastra rigida poggia su un terreno elastico. Da una te r ra altezza H

cade un corpo pesante, schematizzato ad un punto, di massa m.

Si richiede una limitazione per la pressione specifica ~ sul terreno in un

punto qu~lunque.

Passando ad applicare la (7), se

piano dell~ piastra) indichiamo con

~vremo

rispetto ai vettori J , , J-2 (orientati nel

~ , ~: le coordinate del punto battuto,

R, - - 0, g~ ----- 0, R~ ----- mVo, vo : V2ttg,

M , : m v 0 ~ , M~ ---- - - m v 0 ~ ~ , ) I 3 : 0 .

Se la massa della piastra 5 uniformemente distribuita e la superficie dl

cont~tto F col terreno ~ pinna, l ' energia iniziale E sar~ uguale al valore

1 (Mg) ~ negativo del potenziale ele~stico P~ del terreno, P~ ~- 2 FC ~ e quindi Pa = Ps.

Infine, se con X~, x~ si indicano le coordinate del punto sotto cui si vuol

valutare le~ pressione massima, sart~ d' uopo procurarsi il termiue S3~(Q).

Con facili considerazioni si trova, ove i versori J i , J~ coincidano con gli assi

principali della distribuzione di C su F~

essendo

~ ~ 2 1 S (3~ ~--- ~ - t - .~ + -

F F F

(t} P e r il ris~dtant% il momento risul~ante e rispetti~-e component i di sollecitazioni im- puls ive usiamo il carat tere rit to ( R e d ~I} onde evi tare equivoci con enti analoghi corrispon. clenti a sollecitazioni esterne ordinarie .

230 G. KmkLL: Oscillazioni di u,n corpo rigido in sospensione elastica

Avendosi infine ~;max=(ga)maxC ~ otteniamo

~m~,~ <_ c ( g~)a =

_._C} 1 + | / R : {{: {: 1 ) I ~ / ~ - - - ~ ) t 2 Ps \ A + -~ + 7~ 2 -+--} q-T( ""

Ed in partieolar% ove sia { l = { ~ = 0 , x , = x 2 = 0 ,

R 3 = mV2Hg, p ~ (Mg) ~ Mg m - ~ - - 2 C F ' F = % ' ~1 ~

~ o 1 - 1 - I ~ [ Mg ]"

Come ultimo esempio, eonsideriamo it easo in eui la terna locale venga is ta~taneamente posta in movimento con veloeit/~ U~')ed dY% Si tratta di determinate lo spostamento relativo massimo d'un punto generieo del eorpo S.

Convenendo di adottare la (9) basterg proeurarsi l'espressione della co- strizione IIa; il ehe riesee purehg sieno note le eomponenti della solleeita- zione impulsiva applieata ad S.

Queste si hanno faeilmente, quando si appliehino le equazioni di LAC-RANGE per il moto impulsivo, le quMi, con terminotogia nota si serivono (~)

[ R T ~ _ { aT ~ ) R~ per i = 1, 2, 3, • ( r ) ]+ per 5, 6.

Nel easo nostro, con riflesso alla (7) poieh~ supponiamo il sistema, prima della solleeitazione impulsiva, in quiete, relativa ed assoluta, avremo senz'altro, eonvenendo di porre J~XI£~'~--=eih, ( O - - L ) X K k ' = : v h , ed infine

o'lg~') = UrO X Kk', - ~ + 3 = >< Kh',

- - M Eh~he~ ") + h i = g i , ( i = 1 , 2, 3), 1

3 ! ~I i ( i - - '1 , 2, 3),

essendo

A i ~---

6{ii 0~i2 ~i3

~1 X2 033

(~) Cfr. LEV>O~VITA e U. Ai~IALDI, 0p. cir., VOI. I I , parte I I , pag. 630-3o~.

(3. KRALL: Oscillazioni di un corpo rigido in sospensione elastica 231

e quindi, con queste specificazioni,

13 R~ Mi g~=~, ~--+--A7 "

In part icot~re, pel sistema, punto mater ia le sostenuto da un ' a s t a , posto

g ~ ) = ~(~) = o, @; ) = ~'~) = ~ ) = o

x~ = x 2--~0, x a--h, ~--~ I

essendo, ove con E e 0 si indichi il modulo d 'e las t ic i t~ r i spe t t ivamente il

momento di inerzia delia sezione,

S(lt) h 3 (P) - - 3EO

si trovt¢

1 H a - - ~ M i e ~ l ) 2

[U~]m~ ~ ~ ) ~ Mh33EO

e per il momento flet tente ~ alla base de l l ' as ta , in questo caso,

• ~ ~ ) ~ / 3 - W 0 ~

v r c - < ° ~ V ~ ,

la qual relazione, s ' in tende , v~ cons idera ta soltanto come una

superiore.

t imitazione