Oscillazioni, onde e suono.

Alberto Pantaleo 4°F, liceo scientifico G. Brotzu di Quartu Sant'Elena

Le oscillazioni

Le oscillazioni e il moto armonico

Le oscillazioni dei corpi sono dovute a una forza di richiamo che tende a riportare alla posizione di equilibrio stabile quei corpi che hanno subìto uno spostamento.

Inizialmente il corpo é fermo nella posizione di equilibrio

Quando viene sottoposto a una forza e rilasciato, il corpo si muove avanti e indietro passando per il punto di equilibrio.

Il corpo è in posizione di equilibrio...

Se spostato, fa avanti e indietro passando per il punto di equilibrio

Il moto oscillatorio di un corpo come quello mostrato in figura é di tipo periodico, in quanto si ripete periodicamente in un certo lasso di tempo: il moto oscillatorio è dunque un moto periodico.

Le caratterisiche fondamentali di un moto periodico sono la frequenza (f) e il periodo (T).

Frequenza e periodo sono legati dalla relazione

Nel S.I. il periodo si misura in secondi (s) e la frequenza in Hertz (Hz).

Il più importante tra i moti periodici é il moto armonico. Per studiare il moto armonico è possibile usare uno strumento detto oscillatore armonico, composto da una massa sulla quale la forza di richiamo è esercitata da una molla. La forza di richiamo seguirà dunque la legge di Hooke:

Dove (F) é la forza di richiamo ed è prodotta da (k) costante elastica della molla e (x) spostamento della massa dalla sua posizione di equilibrio.

(F) ha verso opposto allo spostamento perché la forza di richiamo tende a riportare il corpo nella sua posizione di equilibrio.

La legge di Hooke può essere usata per calcolare il modulo della forza di richiamo, in quanto il suo risultato sarà espresso in Newton (N). Per calcolare l'accelerazione della massa attaccata alla molla dobbiamo mettere a sistema la legge di Hooke con il secondo principio della dinamica:

Il moto armonico.

La legge oraria, nel moto armonico, è la relazione che lega un istante di tempo (t) alla posizione della massa in quell'istante. Una legge oraria, solitamente, contiene tutte le informazioni necessarie alla descrizione del moto periodico di un corpo.

Prendendo in esempio un oscillatore armonico e spostando la massa da x=0 tenendola ferma in un punto la cui distanza dal punto di equilibrio è A, otterremo una condizione in cui la massa, in caso di rilascio, partirà da una posizione x=A a velocità nulla.

La legge oraria di un oscillatore armonico che parte con velocità nulla da un punto x=A può essere descritta con la formula:

A è detto ampiezza del moto. Allo stesso modo in cui la funzione y=cosx ha valori limitati tra -1 e 1, l'ampiezza del moto armonico è limitata tra -A e A.

Una particolarità del moto armonico può essere osservata avviando un oscillatore armonico: facendo iniziare il moto partendo dalle condizioni prima descritte, si può notare come la velocità della massa attaccata alla molla vari durante il percorso. Essa andrà accelerando quando si avvicina al punto di equilibrio, raggiungendo il massimo valore di velocità in questo, e decelererà allontandosene.

Questo avviene perché, avvicinandosi al punto di equilibrio la forza di richiamo e quindi l'accelerazione sono sempre minori, fino ad arrivare a detto punto dove la forza di richiamo non esiste, e di conseguenza non esiste neanche accelerazione.

Superato il punto di equilibrio, la forza di richiamo tirerà in direzione opposta alla velocità che il corpo ha acquisito nella prima fase, facendo rallentare la massa.

Arrivata a -A, la massa avrà velocità nulla perché la forza di richiamo ne ha annullato i valori di energia cinetica.

In conclusione, possiamo dire che si muove di moto armonico qualsiasi corpo il cui moto ha accelerazione direttamente proporzionale allo spostamento ma con verso opposto.

Relazioni tra moto circolare uniforme e moto armonico

Supponiamo di poter osservare un punto materiale P che si muove di moto circolare uniforme su una circonferenza di raggio (r). Supponiamo poi che questa situazione avvenga su un piano orizzontale, e di poter osservare da una posizione tangente al piano: potremo notare che la proiezione P¹ del punto P si muove sul diametro della circonferenza con quello che sembra essere un moto armonico. Possiamo dimostrare questa ipotesi geometricamente.

L'accelerazione (ax) con cui si muove P¹ è legata all'accelerazione centripeta a cui P è vincolato: per capirlo, è sufficiente vedere come i triangoli OPP¹ e ABP in figura siano simili, in quanto hanno angoli corrispondenti uguali.

Possiamo osservare che ax ha verso opposto allo spostamento x, quindi la formula diventa:

Sappiamo anche che l'accelerazione centripeta (a) di un corpo in moto circolare uniforme (nel nostro caso il punto P) con velocità angolare ω su una circonferenza di raggio r è:

Applicando l'osservazione precedente otteniamo:

L'accelerazione (ax) è proporzionale all'opposto dello spostamento: il moto di P¹ è quindi un moto armonico.

La relazione tra il moto circolare uniforme di P e il moto armonico di P¹ consente inoltre di relare i loro periodi: essi infatti coincidono, in quanto il movimento di P¹ sul diametro avviene solo in presenza del movimento di P lungo la circonferenza.

Nel moto di P, la velocità angolare é legata al periodo dalla relazione:

Dobbiamo ricordare inoltre che la frequenza (f) è legata al periodo (T) tramite la relazione:

Possiamo affermare quindi che la frequenza del moto armonico di P¹ è:

Per riassumere...

Si muove di moto armonico un corpo che é sottoposto a un'accelerazione

Si muove sul suo asse con periodo

E con frequenza

Energia e oscillatore armonico

Consideriamo un oscillatore armonico con massa (m) e costante elastica (k). Si muove secondo la legge oraria:

Quando l'attrito é trascurabile o assente la massa m oscilla tra i punti x=A e x=-A all'infinito. L'energia totale (E) dell'oscillatore è la somma dell'energia cinetica (K) e l'energia potenziale elastica (U):

L'energia potenziale elastica é conservativa, e in assenza d'attrito l'energia dell'oscillatore si converte da cinetica a potenziale elastica e viceversa.

In particolare, nei punti x=A e x=-A abbiamo

Energia totale dell'oscillatore

Mentre in x=0 la velocità e l'energia cinetica sono al massimo, quindi:

Per il principio di conservazione dell'energia:

In un punto generico del moto, il principio di conservazione dell'energia afferma che:

Il modulo della velocità è quindi:

Il modulo della velocità dipende, a parità di costante elastica k, dalla posizione (x) del punto nel moto.

Le onde

Onde meccaniche

Un'onda è una perturbazione che si propaga nello spazio attraverso un mezzo di propagazione elastico e trasferisce energia ma non materia. Un esempio è il rumore che un tuono produce: ci arriva la sua energia tramite onde sonore, ma non la sua materia. Sono onde, seppure solo in parte, quelle luminose che percepiamo attraverso la vista; ma sono onde anche quelle delle increspature del mare. Lo studio delle onde ci permette di capire meglio ciò che hanno in comune questi fenomeni, ossia la loro natura ondulatoria. Le onde meccaniche, in particolare, sono quelle che si propagano attraverso un mezzo materiale. Le particelle del mezzo sono sottoposte a una forza di richiamo che le riporta al punto di equilibrio una volta spostate.

Il rumore di un tuono ci perviene sotto forma di onde

Le increspature del mare derivano da fenomeni di natura ondulatoria

La luce ha una duplice natura: una corpuscolare e l'altra ondulatoria

Onde trasversali e longitudinali

Supponiamo di avere per le mani una molla e di poterci giocare, tenendo la molla poggiata su un tavolo. Spostiamo la molla rapidamente su e giù: si genera una perturbazione che segue il nostro movimento in modo perpendicolare alla molla. Ora spostiamo la molla avanti e indietro: potremo osservare una successione di compressioni ed espansioni tra le spire del giocattolo.

Si dicono onde trasversali le perturbazioni nelle quali le particelle oscillano in direzione

perpendicolare alla propagazione dell'onda.

Si dicono onde longitudinali le perturbazioni nelle quali le particelle oscillano nella stessa direzione

della propagazione dell'onda.

Onde superficiali

Nel caso delle onde superficiali (per esempio quelle generate sullo specchio di un lago o sul mare) le forze di richiamo possono essere due:

la tensione superficiale, che genera onde capillari.

la forza di gravità, che genera onde di gravità.

Le onde superficiali sono una combinazione di onde longitudinali e onde trasversali.

Oscillazione delle particelle e propagazione dell'onda

Descrivere un'onda è difficile perché: I punti del mezzo di propagazione, oscillando in modo coordinato, assumono una forma spaziale distintiva dell'onda.

Ogni punto del mezzo di propagazione si muove di un moto periodico.

Possiamo osservare un'onda in due modi relativi ai punti che abbiamo descritto prima:

Rappresentazione spaziale dell'onda, che ci fa osservare la configurazione che l'onda assume nel mezzo.

Rappresentazione temporale dell'onda, che rappresenta la legge oraria di una particella del mezzo.

L'ampiezza (A) dell'onda è lo spostamento massimo di una particella dalla posizione di equilibrio.

La lunghezza d'onda (λ) è la distanza fra due punti uguali e successivi nell'onda. Ogni λ l'onda si ripete uguale.

Il periodo (T) è l'intervallo di tempo in cui un punto del mezzo di propagazione compie un'oscillazione completa. Ha la stessa funzione della lunghezza d'onda nella rappresentazione grafica.

Osservando il grafico sulla destra della diapositiva precedente, possiamo notare come il punto P, che a x=0 si trova sulla cresta, ritorna in quella posizione a x=λ, dopo un periodo di tempo T in cui si muove ogni particella del mezzo. Queste osservazioni ci permettono di determinare la velocità dell'onda:Sapendo che il periodo è legato alla frequenza tramite la relazione [f=1/T]

Queste relazioni valgono per qualsiasi onda periodica.

Onde armoniche

Sono dette onde armoniche tutte le onde nelle quali il mezzo di propagazione ha particelle che si muovono tutte di moto armonico attorno al punto di equilibrio. Una sorgente genera dunque un'onda armonica quando muove il mezzo con moto armonico.

Supponiamo di poter muovere una corda in maniera perpendicolare al suo asse y di moto armonico con ampiezza (A) e periodo (T). In un istante fissato t=0, la relazione che lega il movimento sull'asse y a quello sull'asse x è:

Volendo determinare la reazione che lega il movimento di una particella del mezzo sull'asse y con quello sull'asse x in un istante diverso da t=0, dovremmo contare che in un istante t il punto scelto si troverà in un punto con ascissa x(t). Avrà percorso una distanza s=vt (si ricorda che v=s/t) quindi:

Ma la velocità d'onda (v) è legata alla lunghezza d'onda (λ) e al periodo (T) dalla relazione [v=λ/T], quindi:

Sostituendo nell'equazione

L'argomento della funzione coseno è detto fase dell'onda.

Energia di un'onda armonica Consideriamo una sorgente che genera delle onde armoniche di ampiezza (A) su una corda, trasferendo l'energia a quest'ultima. In assenza di attriti, l'energia si conserva, e viene trasmessa dalla sorgente ai vari punti della corda in maniera omogenea, senza accumularsi in alcun punto.

In ogni punto della corda, quindi, passa lo stesso quantitativo di energia nello stesso lasso di tempo. Possiamo concludere, quindi, che l'energia di un'onda armonica è uguale a quella trasmessa dall'oscillatore che l'ha prodotta e, quindi, l'energia di un'onda armonica è proporzionale al quadrato della sua ampiezza.

Interferenze

In un mezzo di propagazione, un'interferenza avviene quando due o più onde della stessa natura interessano le stesse particelle del mezzo nello stesso istante.

La perturbazione totale, nella zona di sovrapposizione, è la somma delle due.

Si ha un'interferenza costruttiva quando la somma delle due perturbazioni ha ampiezza maggiore di quelle che l'ha generata.

Si ha un'interferenza distruttiva quando la somma delle due perturbazioni ha ampiezza minore di quelle che l'ha generata, o anche nulla. Avviene spesso con onde che, nella regione d'incontro, si trovano una in y=A e l'altra in y=-A

Onde stazionarie su una corda con estremi fissi

Consideriamo una corda con due estremi fissi. Quando subisce una perturbazione di tipo armonico, si originano onde che viaggiano in entrambi i versi e vanno avanti e indietro fra gli estremi. Il risultato sono delle onde con configurazioni caratteristiche che si ripetono con regolarità: sono anche esse oscillazioni periodiche come quelle armoniche, e sono dette onde stazionarie. Nelle onde stazionarie distinguiamo:

Nodi: i punti “stazionari”, cioé che rimangono sempre fermi.

Ventri: punti che oscillano con ampiezza massima.

Nell'onda stazionaria mostrata in figura, i punti indicati con N sono nodi, mentre i punti indicati con A sono ventri dell'onda.

Modi normali di oscillazione

Le onde stazionarie su una corda sono anche dette modi normali di oscillazione della corda. Ciascun modo normale oscilla con una frequenza a sé che dipende dalla lunghezza della corda e dalla velocità con cui vengono generate. Per determinare la serie armonica della corda (ossia l'insieme dei suoi modi normali), consideriamo una sorgente che agisce su una corda di lunghezza L fissata in due punti con frequenza f (f) e periodo (Ts=1/f). Chiamando il punto dal quale facciamo iniziare la perturbazione punto P, quando esso sarà tornato alla sua posizione originale avrà percorso un tragitto lungo 2L. La perturbazione impiega un tempo T=2L/v (si ricorda che v=s/T, e che per inversione della formula T=s/v).

Gli effetti della perturbazione e l'energia della sorgente si sommeranno se T è un multiplo di Ts: si sommano ogni ciclo se T=Ts, ogni due cicli se T=2Ts, e così via. Più in generale, si sommano ogni n cicli se T=nTs. Da questa osservazione ne deriva che:

Quindi, le frequenze dei modi normali sono:

Per ogni modo di oscillazione normale corrisponde una configurazione spaziale della corda ben precisa, con un determinato numero di nodi e ventri. In particolare, il doppio della distanza tra due nodi di un modo normale è detto lunghezza dell'onda stazionaria λn. La relazione che lega lunghezza d'onda e frequenza di un modo normale è data dall'equazione:

Sostituendo la relazione in otteniamo:

Le lunghezze d'onda dei modi normali sono dunque:

Il suono

Le onde sonore e il suono

Quando percepiamo un suono, i nostri timpani, costituiti da una sottile membrana, sono messi in moto dall'energia trasportata da onde sonore. Come ogni perturbazione, le onde sonore sono generate da una sorgente e trasportate attraverso un mezzo elastico, e trasmettono energia ma non materia. Per questo motivo nel vuoto non si possono sentire suoni: il mezzo di propagazione dell'onda dovrebbe essere l'aria, che è inesistente per esempio nello spazio, e quindi è inesistente anche la perturbazione. Per dimostrare che il mezzo di propagazione del suono è l'aria, possiamo mettere un altoparlante all'interno di una bustina di plastica, chiudere quest'ultima e far partire della musica. Vedremo che la bustina si gonfierà: questo perché l'aria è messa in movimento per trasmettere onde sonore.

Come nel caso delle onde trasversali, anche la velocità delle onde sonore dipende dall'intensità delle forze di richiamo e dalla massa delle particelle del mezzo di propagazione. Qui, sono riportati alcuni valori della velocità del suono per alcuni materiali.

Caratteristiche del suono

Un'onda sonora viene descritta secondo 4 proprietà generali:

L'altezza. Il timbro. L'intensità. La durata.

L'altezza è la caratteristica che ci permette di distinguere un suono più acuto da uno più grave. È determinato dalla frequenza dell'oscillazione: più è frequente, più il suono sarà acuto, e viceversa.

Il timbro è la caratteristica che ci permette di distinguere un suono proveniente da una fonte piuttosto che da un'altra. Il timbro varia in funzione del numero di armoniche che si sovrappongono sullo stesso suono.

L'intensità è la caratteristica che ci permette di distinguere un suono forte da uno più debole: varia in funzione dell'intensità con cui la sorgente trasmette energia al mezzo di propagazione.

La durata è la caratteristica che ci permette di distinguere un suono più breve da uno più lungo. È determinato dal valore di tempo (Δt) in cui la sorgente somministra energia al mezzo.

L'eco e la percezione del suono

L'eco è un fenomeno fisico del suono che consiste nella riflessione delle onde sonore contro un ostacolo. Se l'ostacolo dista L dalla sorgente, il suono per tornare indietro ed essere percepito dovrà compiere una distanza uguale a 2L. L'intervallo di tempo (Δt) dipende anche dalla velocità di propagazione (si ricorda che v=s/t e quindi t=s/v), quindi:

Il nostro orecchio percepisce come distinti due suoni che ci pervengono a distanza di un decimo di secondo l'uno dall'altro: percepiremo dunque un'eco solo se Δt ≥ 0,1s. In caso Δt fosse < 0,1s , udiremmo solo un “rimbombo”.

Inoltre, il nostro orecchio ha un'estensione di udibilità limitata tra i 20Hz e i 20,000Hz. Le frequenze inferiori ai 20Hz sono dette infrasuoni, mentre quelle superiori ai 20,000Hz sono dette ultrasuoni. Gli ultrasuoni sono udibili e utilizzati per comunicare da animali come i pipistrelli, mentre gli infrasuoni sono utilizzati dall'uomo per fare, per esempio, le ecografie, o in orchestra da alcuni strumenti a fiato che riescono a produrre vibrazioni intorno ai 17Hz: queste frequenze, seppur non udibili, sono percettibili sottoforma di spostamenti d'aria.

L'effetto Doppler

Quando siamo fermi in macchina e aspettiamo il passaggio di un'ambulanza, sentiamo una variazione nel suono della sirena durante l'avvicinamento e l'allontanamento. Più in particolare, il suono si fa più acuto quando la sorgente si avvicina e si fa più grave quando la sorgente si allontana. Questo fenomeno è noto come effetto Doppler ed è causato dal movimento del mezzo di propagazione rispetto all'osservatore.

Fonti

Libro di testo “Fisica e realtà.blu con interactive e-book - Onde” di Claudio Romeni.

http://www.openfisica.com/ Lezioni di fisica della prof.ssa Fiori Immagini tratte da https://www.google.com/imghp

Immagini scannerizzate dal libro di testo “Fisica e realtà.blu con interactive e-book - Onde” di Claudio Romeni.