Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 173 Il momento angolare.

Flavio WaldnerFlavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDODINAMICA DEL CORPO RIGIDO 11

Il momento angolare


Il momento angolare

… e adesso vediamo un altro

momento


Il momento angolare

ATTENZIONEMOMENTO non vuol dire

ISTANTE, ma ha la sua radice nel latino

(il nostro MOVIMENTO)


Il momento angolare

Si tratta del

Momento della quantità di moto

Momento angolare


Il momento angolare

… lo schema

… e la definizione

sinr p

O

O

L r p r ×p

L

OO

pp

rr

θθPP


Il momento angolare

È un vettorePerpendicolare

alla velocità

al piano individuato dalla velocità e da un punto fisso

Ha senso solo se è specificato un punto di riferimento

Momento angolare di P rispetto ad O


Il momento angolare

Unità di misura:

unità che non ha nome nel SI

2 1 1L m kg s


Il momento angolare

Regola a spanne: Senso antiorario: positivo

Senso orario: negativo

Mano destra? cavatappi? Corrente in una spira? Ma va?

--

++


Partiamo da un punto materialePrendiamo un punto fisso OIndividuiamo il punto con un raggio vettore Teniamo presente il momento lineare del puntoInfine costruiamo il vettore momento angolare (o

momento della quantità di moto)

Il momento angolare è sempre definito rispetto ad un punto (polo)

o L r p

Il momento angolare

r


Il momento angolare

Situazione descritta in figura

Attenzione: è difficile da visualizzare in 3D…

Si continua a consigliare l’uso di stecchini

per tenerli insieme il formaggio va benissimo

DAS per chi è a dieta...


ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

o

x y z

z y x z y x

x y z

p p p

yp zp zp xp xp yp

x y z

L r p

x y z

Il momento angolare

Calcoliamo le sue componenti cartesiane


x z y

y x z

z y x

L yp zp

L zp xp

L xp yp

Il momento angolare

Esplicitamente


Il momento angolare viene definito come la somma dei momenti angolari dei singoli punti

...oppure come un integrale, per un sistema continuo

o k kk

L r p

o

C C

d dV L r p r v

E per un sistema di punti?


Vediamo degli esempi


…con moto circolare nel piano xy

È il caso più semplice

UN PUNTO...

x

yz

prP


Qualche ricordo...

…delle espressioni di coordinate e velocità nel moto circolare

…e poi torniamo all’espressione standard del prodotto esterno

cos sin

sin cos

x r t x r t y

y r t y r t x


UN PUNTO...

2 2 2

2

ˆ ˆ ˆ

ˆ0

0

ˆ

ˆ ˆ

ˆ IˆIz

o

z

x y m xy yx

mx my

m x x y y

m x y m r

mr

x

z ω

y z

L r p z

z

z z

z


ATTENZIONEATTENZIONE

D’ora in avanti la velocità angolare sarà un

VETTOREVETTOREModulo: quello della solita velocità

angolareDirezione: perpendicolare al piano di

rotazioneVerso: quello per cui si vede la rotazione

avvenire in senso antiorario


Viene definito il

momento d’inerzia

di un punto

... rispetto ad un asse!

2z mrI

Caso particolare


o z zI m I

m

L ω

P v v ω

Alcune prime analogie...

...per evitare di ricordarsi troppe formule


La conservazione del momento angolare


o L r p

0

0

0

o

o

d d d

dt dt

dt

mdt

d

v

L r p

v

L

F

p r

r

Conservazione del momento angolare

Riprendiamo la definizione...

...e deriviamola

0 r F



Definiamo così una nuova quantità

il momento meccanico di una forza

rispetto ad un punto fisso O

(o momento della forza rispetto ad O)

0r F


Anzitutto otteniamo la legge per il moto rotatorio

Notate di nuovo le analogie con la II legge della dinamica

0od

dt

L

0

d

dt

FPF

P L



Quindi abbiamo che

Questo succede in tre casi

00 0cost oo

d

dt

LL

0

forza

moto

fo

0

0 0 0

rz / a/

su O

uniforme

centrale

r

r F F

r F



Primo caso

F


Secondo caso

costv


Terzo caso (1)


Terzo caso (2)


0

zm I

v ω

P L

F

Analogie

Le formule della meccanica rotazionale per corpi con asse fisso sono analoghe a quelle del punto materiale a patto di fare le sostituzioni


Le quantità meccaniche

Se si fa del lavoro su un punto …

… vale il teorema dell’energia cineticadL F ds

21

2dL d Mv

F ds

21

2 fin inL Mv K K


Il lavoro fatto da tutte le forze su un punto è pari alla

variazione di energia cinetica



L’energia cinetica

è definita a meno di una costante additiva (!)Nel SI l’unità di misura è il joule

21

2K Mv

2 1 2K m kg s J



Un esempio: un’automobile da 850 kg che viaggi a 130 km/h

Un altro esempio: un meteorite da 1 kg arriva sulla Terra a 45 km/s



2 2

1 1

4 1

8.5 10 1.3 10

1000 11 1

1 3600

10.278

3

0

3.07 10

.

2

6

. 78automobile

km km m h

h h km s

m s m s

m kg

mv

s

p



3

4 1

1.0 45

4.5 1

1

0

0meteorite

m kg s

p mv

2

9

23

1

2

0.5 1 45

2.01 10

10

meteoriteK M

J

v



2

5

22 2

1

2

0.5 8.5 10 1.3 10 0.2

5.

7

55

8

10

automobileK m

J

v



Un esempio: momento angolare rispetto all’asse di rotazione di una massa di un grammo posta alla periferia del tamburo della mia lavatrice (raggio: 23 cm) che gira a 550 giri al minuto



3 1

1

3 2

3

1

10

23 0.23

2 1550 0.23

1 60

13.2

10 13.2 0 3.0.23 4 10

M kg

R cm m

giri rad minv R

min giri s

m k

s

L MvR g

m

s



Altro esempio: momento angolare della Terra nel suo moto attorno a Sole, rispetto al suo centro di rotazione (il Sole, con buona approssimazione)



2

11

24

7 7 1

1.49 10

5.97 10

2 2

secondi in un anno 366.242 86400

1.99 10 2 10

L R Mv R M R MR

R m

M kg

rad s



2

224 1

4

1 7

0 2 1 1

5.97 10 1.

2.65 1

49 10 2

0

10

L

m k s

MR

g


ALTRE CONSEGUENZE

d d d

dt dt dt

d

dt

O

0

r ×p r p× r ×

r ×F

pL


ALTRE CONSEGUENZE

La quantità si chiama momento meccanico

Le dimensioni sono

d

dt O

0

Lr ×F

0

2 1 20 ... ?m kg s N m J


ALTRE CONSEGUENZE

Attenzione: e non viceversa (confusione con

milli-newton )Non joule …

N m


ALTRE CONSEGUENZE

E se

… allora … e questo succede solo in uno dei tre casi

1. Siamo sull’asse

2. A forza totale è nulla

3. La forza è diretta sempre verso lo stesso punto (forza centrale)

costOL

0d

dt O

0

Lr ×F

0r

r F//

0F


Definiamo i termini

Cos’è un corpo rigido?


Definiamo i termini

In un corpo rigido le distanze fra due punti qualunque restano sempre

costanti


Definiamo i termini

… ed anzitutto ricordiamoci che non esistono corpi rigidi

Solo più o meno deformabili… e poi non piace alla relatività

Un buon parametro è il modulo di YoungRapporto tra forza e deformazione

Grosso modo …


Corpi rigidi e semplificazioni

… anzitutto: masse specifiche …


Corpi rigidi

Un corpo continuo viene diviso in elementi infinitesimi, e si guarda alla massa degli elementi infinitesimiMa esistono corpi continui?

OVVIAMENTE …

NO!


Corpi rigidi

E allora?… ci si accontenta …Un batterio: diametro circa; 10.000

atomi messi in filaPossiamo considerarlo “continuo”?

Mah …

1 m


Corpi rigidi

Massa lineica (o densità lineare)

Tipico uso: fili, sbarre, travi (e non necessariamente rettilinee …)

Se il corpo (filo, sbarra, trave, …) si dice omogeneo

1 1 0 1d mm kg s kg m

dl

cost


Corpi rigidi

Massa areica (o densità superficiale)

Tipico uso: membrane, lastre (e non necessariamente piane …)

Se il corpo (membrana, lastra, …) si dice omogeneo


dS

cost


Corpi rigidi

Massa volumica (o densità)

Uso comunissimo. Attenzione: la densità dell’acqua nel SI vale


dV

2

31000H O kg m


Corpi rigidi

In generaleSe la densità è costante il corpo si dice

omogeneo Il corpo può essere complicatissimo

(un’auto? Un TIR? Un aereo?)

, ,x y z r


Corpi rigidi

Le densità dei solidi sono dell’ordine di Le densità nei nuclei vanno su di un

fattore (stelle di neutroni …) di materia nucleare avrebbe una massa

dell’ordine di

310

151031mm

3 3 15

9 3

9 6

3 15

1 1000 10

10 1000

110 0

10

mm kg m

m

g t

kg m

k


2.70 7.31 7.87

8.96 11.35 19.32

18.95 19.30 21.45

Al Sn Fe

Cu Pb Au

U W Pt

3 310 kg m


Il centro di massa

… o baricentro …


Il centro di massa

Cominciamo col semplice: Due masse ed poste su una retta

(asse x) a coordinate e 2M1M

1X 2X

1M

1X 2X

2MOO

1 1 2 2

1 2CM

X M X MX

M M


Il centro di massa

Si chiama media pesata Importante: se si ha

Proprietà fondamentale di simmetria

1 2M M

1 2

2CM

X XX


Il centro di massa

E se i punti sono tanti? Siamo di fronte ad un sistema particellare (o

sistema discreto) La definizione si estende subito, usando i vettori

k k k kk k

CMk

k

M M

M M

r rr


Il centro di massa

… e proiettando sugli assi ….

k k k kk k

CMk

k

M X M XX

M M


Il centro di massa

Ed ora passiamo al continuo

1 21 2

1 2

1 1 2 2

1 2

1 1 2 2

1 2

CM

X dm X dm

dm dm

X X dX X X dX

X dX X dX

X X X X

X X

X


Il centro di massa

In generale

L L

CM

L

x x dx x x dx

XMx dx

S S

CM

S

ds ds

Mds

r r r r

rr


Il centro di massa

V V

CM

V

dV dV

MdV

r r r r

rr


Come si muove il CM?


Come si muove il CM?

In un sistema complesso (una Galassia?) il moto si può spezzare in due tronconi

UN MOTO DI INSIEME (CM) ... come se si trattasse di un punto materiale …

UN MOTO ATTORNO AL CM … e spesso ci possiamo accontentare del primo schema

VEDIAMO I DETTAGLI


Il momento lineare

o quantità di moto


Il momento lineare

Vediamo il caso discreto Solo per semplicità di formule

1CM k k CM k k

k k

M M MM

r r r r

CM CM k k k kk k

d d d d

dt dt dM

t tM

dM M

r r r r


Il momento lineare

C

CM k kk

k k kk k

M tot

Md d

dt dt

M

M

M

pv P

r r

v


Il momento lineare

Il momento lineare di un sistema si può calcolareO come somma vettoriale dei momenti

lineari di tutti i punti

O come se il CM fosse un vero punto materiale


Il moto del CM

… il celebre “teorema del moto del baricentro” …


Il moto del CM


Il moto del CM

CM k CM kk k

CM k

k

CM kk

M M

d dM

dt d

d d

dt dt

t

M

v p v p

v p

a F


Il moto del CM

Analizziamo:

Massa totale del sistema: Accelerazione del CM: Risultante di tutte le forze che agiscono sul

punto k : Risultante di tutte le forze che agiscono su tutti i

punti

CM kk

M a F

M

CMa

kF

kkF


Il moto del CM

Per il III principio tutte le forze che agiscono fra i punti, a due a due, hanno risultante 0

Restano vive solo le “forze esterne”

QUINDI

estCMM a R


Il moto del CM

Nel moto di un sistema il CM si muove come un punto

materiale con massa pari a quello dell’intero sistema sul

quale agisca la risultante delle forze esterne


Il moto del CM

E se la risultante delle forze “esterne” è nulla?

IL CM SI MUOVE DI MOTO

RETTILINEO ED UNIFORME


Moto di un corpo rigido: esempio

Ecco un martello tirato

per ariaMettiamo in evidenza

il moto del CM (rosso)il moto di un punto del

manico (verdino)


Il salto dei cinesi


Il salto dei cinesi

Quando saltiamo (80 kg) spingiamo la TerraIl momento totale non variaIl CM resta dov’era

Se il nostro CM si sposta di 1 m quello della Terra si sposta di

2324

801 1.34 10

5.97 10m m


Il salto dei cinesi

Circa 10.000 volte sotto l’attuale limite sperimentale!

… e se un miliardo di cinesi, tutti insieme …

Basta moltiplicare …

Il diametro di una decina di nuclei

23 9 141.34 10 10 1.34 10 m


Il meteorite


Il meteorite

Il meteorite dei dinosauri, la Terra che schizza dall’orbita. Ci perdiamo nello spazio cosmico …

Ma non diciamo scemate …

Diametro: circa 10 kmDensità: quella di una rocciaVelocità: 40 km/sMomento lineare?


Il meteorite

Momento lineare del meteorite

Momento lineare della Terra

34 3 4 19 110 3 10 4 10 6.3 106

m kg s

24 4 29 15.97 10 3 10 1.2 10 m kg s


Il meteorite

C’è un rapporto quasi

Raggio dell’orbita

Alla peggio il raggio dell’orbita può essere variato di

Come a dire: nulla

92 10

111.49 10 m

79m


Il meteorite

… e l’energia? Energia cinetica del meteorite

Circa 15000 arsenali nucleari …

… e quella della Terra

3 24 3 4 24110 3 10 4 10 1.26 10

2 6J

224 4 3315.97 10 3 10 2.68 10

2J


Il meteorite

Ancora un rapporto di circa

Le velocità sono quasi uguali … Una pietruzza da 1 mg che urta un’auto da 1t, entrambi a

100 all’ora

92 10


Il razzo

… ed il trenino …


Il razzo


Il razzo

Diamo solo la formula finale

ln

finale

efflusso

iniziale

finalefinale efflusso

iniziale fina

v

wle

v wM

eM

M

M



… ed il teorema di König …



Energia cinetica del punto k

Energia cinetica totale

21

2k k kK M v

21

2

1

2

k k kk k

k k kk

K K M v

M

v v



Adesso introduciamo un nuovo sistema di riferimentoCon l’origine nel CMCon gli assi sempre paralleli al sistema di

partenza

È il sistema del centro di massa



Velocità

Ora sviluppiamo:

*k CM k v V V

* *

* * * *

22 * *

1 1

2 2

1

2

12

2

k k k k CM k CM kk k

k CM CM k CM CM k k kk

k CM CM k kk

K M M

M

M V V

v v V V V V

V V V V V V V V

V V



Continuiamo

22 * *

22 * *

2*2 *

12

2

1 1 12

2 2 2

1 1

2 2k CM k kk

k

k k

CM CM k k

k

k

k CM k CM k k kk k k

kCM

K

M

M V V

M V M M V

M VMV

V V

V V

V V



Continuiamo …

Il termine in rosso è nullo per definizione!

2

2 **

2 *

2

1 1

2 2

1 1

2 2k CM CM k k

CM k

k

k

kk

k

k k

K

MV

V

M

M

V

MM V

VV


Il momento angolare


Il momento angolare

La definizione ci dà subito

2

OL pR MV R

MR R MR




2

22

21 1

2 21

2

K V M R

MR

M


Il momento d’inerzia per un punto materiale

Un modo difficile per dire cose semplici?


Il momento d’inerzia

Definiamo il

momento d’inerzia

del punto materiale

rispetto all’asse di rotazione2

z MRI


ANALOGIEANALOGIE

Massa

Momento lineare

Energia cinetica

Momento d’inerzia

Momento angolare

Energia cinetica

M

P MV

21

2K MV

2z MRI

z zL PR I

21

2 zK I


L’equazione del moto



Ricordate?

Quindi rispetto ad un asse …

… con l’ accelerazione angolare

d

dt O

0

Lr ×F

zz z zz z

d d

dt dt

I

I I


Il momento d’inerzia in generale

… ed ecco che le cose cambiano…


Il calcolo dei momenti d’inerzia

Ovvero

Il calcolo differenziale al lavoro


ANZITUTTO CASI SEMPLICI

FACCIAMO USO DI TUTTA LA SIMMETRIA POSSIBILE PER

FORME SEMPLICI


Il momento angolare


Il momento angolare


2

OL pR MV R

MR R MR




2

22

21 1

2 21

2

K V M R

MR

M


Il momento d’inerzia per un punto materiale

Un modo difficile per dire cose semplici?



Definiamo il

momento d’inerzia

del punto materiale

rispetto all’asse di rotazione2

z MRI


ANALOGIEANALOGIE

Massa

Momento lineare

Energia cinetica

Momento d’inerzia

Momento angolare

Energia cinetica

M

P MV

21

2K MV

2z MRI

z zL PR I

21

2 zK I


ANALOGIEANALOGIE

Per un punto materiale che ruota il momento d’inerzia ha lo stesso ruolo della massa

per un punto che trasla



Ricordate?

Quindi rispetto ad un asse …

… introducendo l’ accelerazione angolare

d

dt O

0

Lr ×F

zz z zz z

d d

dt dt

I

I I



Notate ancora le analogie!



… ed ecco che le cose cambiano…



Se abbiamo tanti punti …

… e se abbiamo un corpo continuo

2z k k

k

M RI

2, ,z

V

x y z R dVI



Alti momento d’inerzia rispetto ad un asse si hanno

non solo con alte masse, ma anche con masse poste

distanti dall’asse


Il moto di un corpo rigido



Si dimostra che il moto più generale è

la sovrapposizione di un moto di traslazione e di

uno di rotazione



Attenzione

Il moto di rotazione è attorno ad un asse che cambia continuamenteNello spazioDentro al corpo



Un esempio:

la TerraIl suo asse si sposta …

… nello spazio (descrive un cono in circa 26000 anni)

… attorno al Polo (in modo piuttosto erratico, di circa qualche kilometro)



Un moto estremamente complicatoUn moto estremamente complicato

NOICi limiteremo a moti di rotazione

attorno ad un asse

E a qualche piccola digressione sul tema



Il moto attorno ad un asse avviene con velocità angolare costante per tutti i punti

del corpo SE il corpo è rigido

E se no? Il corpo non è rigido Esempio: il Sole


Il calcolo dei momenti d’inerzia

Ovvero

Il calcolo differenziale al lavoro


ANZITUTTO CASI SEMPLICI

FACCIAMO USO DI TUTTA LA SIMMETRIA POSSIBILE PER

FORME SEMPLICI


Per un insieme di punti materiali vale la relazione

Per un corpo continuo

2,a a k k k

k k

I I m d

2 2a a a a

C C C

I dI r dm r dV

Momento d’inerzia


Momenti d’inerzia

Casi notevoli


I di una sbarra

Vediamo un primo esempio

Momento d’inerzia di una sbarra omogenea rispetto ad un asse ad essa ortogonale che passa per il suo CM


I di una sbarra

Asta omogenea, lunga L, massa MRispetto ad un asse

passante per il centro (= di massa!)ortogonale alla sbarra

Facciamo la sbarra a fettine infinitesimeProprio come se fosse una salsiccia


dxx

2

L


I di una sbarra

Momento d’inerzia (rispetto all’asse z) dell’elemento dx

Momento d’inerzia totale

2 2 2zdI dm x dx x x dx

23 322

0 0

22 1

1

2 2 23 24

2

1

12

L

z

L

x LI

M

x dx

LL L


I di un cilindro

Cilindro omogeneo, massa M, raggio R, altezza h, densità

Rispetto all’asse di simmetriaPensiamo al cilindro come ad un insieme

di tubi vuoti di spessore infinitesimoVolume di un tubo

2

2

dV dS h rdr h

h rdr


I di un cilindro

Momento d’inerzia di un tubo rispetto ad un asse ad esso ortogonale che passa per il suo CM


I di un cilindro

La densità è costante La massa di un sottile anello di raggio r vale

Tutta la massa sta a distanza r costante

2

2

dm dV dS h rdr h

h rdr


I di un cilindro

Il momento d’inerzia elementare vale

2 2

3

2

2

zd dV r r d r

r rh

r h

d

I


I di un cilindro

In totale

…e la stessa cosa vale per un disco! Un cilindro sottile!

43 4

0

2 2 2

12 2

4 2

1

2

1

2

R

z

Rh r dr h hR

MRR h R

I


I di una sfera

Momento d’inerzia di una sfera rispetto ad un suo diametro


I di una sfera

Momento d’inerzia del discoraggio massa

momento d’inerzia elementare

sinr R 2

3 3

sin sin

sin

dm R R d

R d

2 23 3

5 5

1 1sin sin sin

2 21

sin2

dI dm R R d R

R d


I di una sfera

Ora calcoliamo il momento d’inerzia complessivo

5 5

0 0

5 5 5

0

5 3 22

1sin

2

1 1 16si

2

5

n2 2 15

8 2 4

15 5 3

zI dI R d

R d R

R R R MR


I di una sfera

Una nota sull’integrale

24 2

2

5

2 4

2

2 4

2 4

sin sin sin sin

1 cos sin

1 2cos cos sin

1 2cos cos cos

sin

1 2

x x dx x x dx

x x dx

x x x dx

x x d

x dx

x

w w dw


I di una sfera

Momento angolare rispetto ad un asse passante per il centro

Energia cinetica del moto di rotazione

22

5z zL MR I

2 2 2 2 21 1 20.2

2 2 5zK MR MR

I


I di una sfera

Energia cinetica nel moto di rotazione della Terra

2 2

2

9

6

2

224

0.2

20.2 5.9 10 6.38 10 .

86400

2.54 10

K MR

J


UN DUBBIOUN DUBBIO

… E SE L’ASSE NON È DI SIMMETRIA? …


E se l’asse non è di simmetria?

Ad esempio: Un’asta rispetto ad un estremoUn cilindro rispetto ad una sua generatrice

Non è una questione accademica: appare subito nel moto di rotolamento


Il teorema di Steiner

Un teorema semplice ed utilissimo

Spostiamo l’asse parallelamente a sé stesso?


Teorema di Steiner

Ecco la situazione vista dall’alto


dm

a x-a

y

CM a

XX

yy


Teorema di Steiner

Momento d’inerzia rispetto all’asse z

2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

zdI dm x a y

x y ax a dm

x y dm a x dm a dm


Teorema di Steiner

Ora integriamo su tutto il corpo

2 2 2

2

2

2

2

a

C C C C

CM CM

a

CM

dI x y dm a x dm a dm

I a x a M

I

I Ma

0CMx


Il moto dei corpi estesi


Moto di un corpo rigido

Ricordiamo la

Definizione di corpo rigido

le distanze fra due punti qualunque le distanze fra due punti qualunque restano costantirestano costanti

e cominciamo a ricordare che non esistono corpi rigidi in Natura…

oltre a tutto non sarebbe relativistico...


Cominciamo dal basso


Una premessa

In un corpo rigido che ruota con punto o asse fissoci sono masse che si muovono in modo

complesso per di più di moto peggio che circolare uniforme

attenzione a considerarlo “fermo” “gira tanto in fretta che sembra fermo”


Una premessa

Le masse che si muovono sono sensibili a forze e reagiscono con accelerazioni ad esse parallele

I risultati finali sono spesso sorprendenti


Iniziamo con un asse fissoasse fisso

Se un corpo esteso si muove con un asse fisso ci sono due punti fissi

Se si vuole tener fisso un asse...

La posizione del corpo è definita da un solo angolo

In radianti!

Definiremo al solito la velocità angolare e l’accelerazione angolare


Rotazione con asse fisso


s R

ds dR R R

dt dt


Un punto del corpo si muoverà con traiettoria circolare

Spazio

Velocità


2

2

centa R R

v

R


accelerazione


Energia cinetica di un corpo rotante

Riprendiamo il caso di un punto materiale

x

yz

prP


L’energia cinetica del punto vale

La formula vale in generale dato che tutte le quantità sono additive

Energia cinetica di un corpo rotante

2 2 2

2

2 21 1

1

2

1

2 2 2cE mv m R mR

I


Energia di rotazione e teorema di Koenig

Per un corpo che trasla e ruota

2 2,2

1

2

1CM ac CME IMV


Oscillazioni

IL PENDOLO FISICO


Il pendolo fisico

Ecco la situazioneUn corpo qualunque

sospeso ad un asse

CM

mgx

y


Il pendolo fisico

Calcoliamo anzitutto il momento meccanico del peso rispetto ad O

ˆ ˆ ˆ

cos sin 0

0 0

sin

O

z

l l

mg

mgl

x y z

r F


Il pendolo fisico

Ora calcoliamo la componente del momento della quantità di moto rispetto all’asse z

z zL I


Il pendolo fisico

Ed infine applichiamo la legge del moto …

… proiettata sull’asse z

0od

dt

L

0 s 0sin inz

oz

dI mg

l

Il

dt

mg

L


Il pendolo fisico

Che per piccole oscillazioni diviene

0z

mgl

I


Il pendolo fisico

Quindi per piccole oscillazioni il pendolo si muove di moto armonicocon pulsazione

con periodo

ecco la lunghezza ridotta del pendolo fisico

z

mgl

I

2 12 2 zz

z

Im I

m

glT

lI mgl g


Il pendolo fisico

Applichiamo il teorema di Steiner?

La lunghezza ridotta è più

grande della distanza fra O e il CM

CM

mg

0z

mgl

I

O’


Il pendolo fisico

Il periodo del pendolo fisico vale quindi...

'2

l lT

g


Il pendolo fisico

E se sospendiamo il pendolo per O’?

l ed l’ si scambiano i ruoli!Quindi ci possiamo aspettare che il

pendolo abbia lo stesso periodo se è sospeso per qualunque asse a distanza l o l’ dal CM

Quindi se conosciamo la lunghezza ridotta del pendolo e se misuriamo il suo periodo...


Il pendolo fisico

POSSIAMO MISURARE g!

Si chiama pendolo reversibile di Kater, e trova applicazione nei pendoli geodetici

2'l l

Tg


Il pendolo fisico

Si prende una sbarra con due coltelli a distanza ben misurata

Si sospende la sbarra alternativamente su uno e sull’altro, spostando delle masse intermedie finché i periodi misurati sono uguali

A questo punto il pendolo è tarato e la lunghezza ridotta è proprio la distanza

fra i coltelli


Il pendolo fisico

Con distanze misurate a si raggiungono precisioni analoghe sulla misura di g

grosso modo la variazione di g che si ha per il fatto che ci si è alzati o abbassati

di 3m

oggi coi gravimetri a laser si fa circa 1000 volte meglio!

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Rotazioni


Trottola e giroscopio

Trottola: solido di rotazione con elevato momento d’inerzia viene posta in rapida rotazione attorno al suo asse di

figura ha quindi un grande momento angolare

Si fa un’approssimazione

il momento angolare è così grosso che varia

solo in direzione



CM

OL

O

h



Anzitutto le equazioni del moto!

…e poi il momento meccanico

Oo O o

dd dt

dt

LL

ˆ ˆ ˆ

ˆ0 sin cos sin

0 0o h h mgh

mg

x y z

x



Quindi

l’incremento è ortogonale al vettore momento angolare

il vettore momento angolare descrive un cono di semiampiezza

È il moto di precessione con velocità ortogonale alla forza applicata...

Vediamone la velocità angolare

ˆsinO od dt mgh dt L x



Modulo della variazione del momento angolare

Alcune conseguenze importanti:

sin sindL L d mgh dt

d mgh mgh

dt L Imgh

I



In un sistema inerziale si conserva il momento angolare

Quindi se abbiamo un corpo con alto momento angolare che possa ruotare liberamente in tutte le direzioni

POSSIAMO AVERE UNA DIREZIONE COSTANTE IN UN SISTEMA

INERZIALE



Una

girobussolae se di direzioni costanti ne prendiamo

tre? Magari ortogonali?



Otteniamo tre direzioni costanti in un sistema inerziale

UNA PIATTAFORMA

INERZIALE



Non ci servono le stelle

per definire

un sistema inerziale!


Moti composti


Moto di rotolamento

È un moto di rotazione istantanea attorno al punto di contatto ruota-suolo

Non facile da visualizzaresi consiglia l’uso di un disco fatto muovere (poco)

su un tavolo

Ogni punto del corpo ha velocità diverse in modulo e (soprattutto) in direzione


Moto di rotolamento

Ecco la situazione


Moto di rotolamento

Il moto si può scomporre inmoto del CMmoto attorno al CM

Attenzione a non fare confusione tra le formule del tipo

che sono uguali nei due sistemi, ma hanno significato diverso!

v R


Moto di rotolamento

La rotazione attorno al punto di contatto implica che il momento d’inerzia debba venir calcolato col teorema di Steiner

Una domanda:

MA CHI TIENE FERMO IL PUNTO DI CONTATTO?


Moto di rotolamento

RISPOSTA

LA FORZA D’ATTRITO!

Il rotolamento non avviene se non c’è attrito

Ma la forza d’attrito (radente!) non era dissipativa? Come mai nel rotolamento c’è così poca perdita di

energia?


Moto di rotolamento

PERCHÈ LA FORZA D’ATTRITO C’È,

MA NON FA LAVORO

agisce sempre su un punto con velocità nullaInsomma un moto decisamente complicato ...


Sollecitazioni ai supporti



Supponiamo di avere un sistema equilibrato staticamente, ma “un po’ strambo”

…come in figura...


Ecco la situazione all’istante che consideriamo iniziale


a

a

L

2b

CM

x

y

z

v

- v



Calcoliamo il momento angolare del sistema

quindi delle due masse

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

0 0

0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ2 2

a b a b

mv mv

bmv amv bmv amv

bmv amv

x y z x y z

L

x z x z

x z



Quindi il momento angolare vale, nell’istante considerato

Ci sono due componenti una parallela all’asse di rotazione una ortogonale all’asse di rotazione

La componente parallela non varia nel tempo,

ma quella ortogonale sì

ˆ ˆ2 2bmv amv L x z

// 2L amv2L bmv



La componente ortogonale ruota con la velocità angolare del sistema

Il momento angolare NON è parallelo all’asse di rotazione!

ˆˆ ˆ2 2 2

ˆ ˆ ˆ2 2

d dbmv bmv bmv

dt dtd

bmv bmvdt

L xL x x

Lz x y



a

a

L

2b

CM

x

y

z

v

- v



Quindi delle due l’unao conserviamo il momento angolare

e l’asse di rotazione non è quello che vogliamo!

o manteniamo fisso l’asse ed il momento angolare varia

Se varia il momento angolare occorre un momento meccanico!

Fornito da chi?

MA DAI SUPPORTI!



Ecco quanto vale il momento

Il momento varia quindi continuamente in direzione

è proporzionale al quadrato della velocità angolare!

2ˆ ˆ2 2CM

dbmv abm

dt

Ly y



Il sistema si dice dinamicamente squilibrato

fate equilibrare le ruote della macchina…

E se ci mettessimo a vedere cosa succede nel sistema rotante?

DOVREMMO INTRODURRE LE FORZE FITTIZIE

QUINDI

LE FORZE CENTRIFUGHE!



Ecco la situazione...

x

z



Le forze centrifughe generano un momento!

Di direzione costante nel sistema rotante e che quindi varia continuamente di direzione nel

sistema fisso

I supporti debbono fornire un momento uguale ed opposto

controllate che in modulo e direzione otteniamo proprio quello che abbiamo calcolato prima

Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 173 Il momento angolare.

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