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MOMENTO ANGOLAREMOMENTO ANGOLARE

del corpo rigidodel corpo rigido

definizionedefinizione

Momento angolare del corpo rigidoMomento angolare del corpo rigido

pdrLd

O r

sinr

Ld

v

LdL

dmvr

dVvr

dVvrdL sin

pdr

dVvrdmvr

momento angolare infinitesimo dell’elemento di massa dm, nel punto A

momento angolare totale del corpo rigido

l’integrazione va estesa atutto il volume del corpo rigido

dmA

33

rotazione pianarotazione piana

momento angolare rispetto momento angolare rispetto all’asse di rotazioneall’asse di rotazione

4

A

O

r

sinr

dmvpd

sinrv

rv

sindLdLz

dVvrdmvrpdrLd

volume

dVvr

volumeLdL

rotazione piana di un corpo rigido attorno all’asse z

z

x

y

volumez dVvrLL sinsin

volume

dVrr sinsin

volume

dVrr sinsin

sinr

v

volume

dVr 2sin volumedVr 2sin

ILz I momento di inerzia del momento di inerzia del corpo rigido rispetto a z corpo rigido rispetto a z

Ld

5

osservazione

ILz

• questa equazione è scalare• essa vale indipendentemente dalla

forma del corpo• essa vale solo per la componente Lz del

momento angolare L• essa vale per tutto L solo quando asse

di rotazione e momento angolare L sono paralleli

• generalmente il momento angolare risultante non è diretto come l’asse di rotazione

Momento angolare di una lastraMomento angolare di una lastra piana che ruota attorno ad un asse piana che ruota attorno ad un asse perpendicolareperpendicolare

z

ArO

pd pdrLd

dL dmr 2rdp rvdm dI

pdrLdL

dIdLL dI IL

IL

IL Nel caso di un corpo rigido qualsiasi , in genere momento angolare e velocità angolare formano una angolo. È però sempre vera la relazione

nel caso di un corpo rigido piatto (una lamina) il momento angolare e la velocità angolare hanno la stessa direzione e vale la relazione :

ILz Questa è una scalare. Essa vale indipendentemenuna te dalla forma del corpo..

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Assi principali

• Si può dimostrare che per ogni corpo esistono almeno tre direzioni mutuamente perpendicolari rispetto le quali il momento angolare è parallelo all’asse di rotazione.

• Esse sono dette assi principali di inerzia, ed i momenti corrispondenti sono detti momenti di inerzia principali.

• Tali assi costituiscono un sistema di riferimento solidale con il corpo e ruotante con esso

• Quando il corpo ha qualche simmetria, gli assi coincidono con gli assi di simmetria

• Quando il corpo ruota attorno ad una asse principale:

IL

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Assi Principali

• Per una sfera qualsiasi asse passante per il centro

• Per cilindro, l’asse di simmetria e qualsiasi asse perpendicolare ad esso e passante per il cm.

• Per un blocco rettangolare i tre assi principali sono perpendicolari alle tre facce e passano per il centro

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per un corpo rigido che per un corpo rigido che ruota attorno ad un asse ruota attorno ad un asse principale, il relativo principale, il relativo momento principale di momento principale di inerzia è costanteinerzia è costante

se il corpo rigido ruota se il corpo rigido ruota attorno ad una asse attorno ad una asse principale, valgono le principale, valgono le seguenti relazioni:seguenti relazioni:

IL dt

dI

dt

Ld

Idt

Ld

corpo rigido ruotante attorno ad un asse principalecorpo rigido ruotante attorno ad un asse principale

netdt

Ld

11

osservazioneSe il corpo non ruota attorno ad un asse principale ed il momento meccanico è uguale a zero, allora L è costante, ma non è costante,

In questo caso non vale la L=I .

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Energia cinetica rotante ILz Relazione con validità generaleRelazione con validità generale

I

Lz2

2

2

1

2

1

I

LIIK z

I

LK z

2

2

1

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Equazione del moto per il corpo rigido, , valida per rotazioni attorno ad un asse valida per rotazioni attorno ad un asse principaleprincipale

dt

dI I

La velocità angolare di un corpo rigido attorno ad un asse principale è costante in assenza di un momento meccanico esterno applicato

dt

Id

principio di inerzia

principio di inerzia

per il moto rotatorio

per il moto rotatorio

Principio di Inerzia per il moto rotatorio

È importante distinguere tra rotazioni attorno ad un asse principale ed un asse qualsiasi. Se I è un momento di inerzia momento di inerzia principaleprincipale vale la relazione L=IL=I

tdt

dI cos0

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Conservazione del momento angolare

netdt

Ld

0dt

Ld

Se il momento netto delle forze agenti su un sistema è nullo,allora il momento angolare si conserva,indipendentemente dai cambiamenti che avvengono all’interno del sistema

fi LL

tL

cosPer un sistema isolato

ffii II

Se un sistema isolato ruota ridistribuendo la sua massa:

Se una componente del momento netto delle forze agenti su un sistema è nullo,allora la componente del momento angolare lungo la stessa direzione rimane invariata

ATTENZIONE: in questo caso il corpo NON è rigido, ma ridistribuisce la sua massa

Valido anche per un

sistema non rigido

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La conservazione del momento angolare in assenza di momento meccanico esterno è un principio generale che vale anche per corpi non rigidi

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Momento angolare interno e orbitale• Si definisce momento angolare interno o

di spin di un sistema di particelle o di un corpo rigido il momento angolare riferito al centro di massa del sistema

• Si definisce momento angolare orbitale di un sistema di particelle o di un corpo rigido rispetto all’origine del sistema di riferimento il momento angolare del centro di massa del sistema.

• Dato che il moto di un sistema può sempre essere ottenuto come la sovrapposizione del moto attorno al CM, e del moto del CM stesso, si ha che:

• Il momento angolare di un corpo può sempre essere espresso come la somma dei momenti angolari interno e orbitale

CMCMorb PrL

orbLLL

int

CMLL

int

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Momento angolare interno e orbitale

• Quando una persona lancia una palla che ruota attorno al propio asse il momento angolare dovuto alla rotazione è Lint, mentre il momento angolare relativo alla persona dovuto al moto orbitle della oalla è Lorb

• La Terra si muove attorno al sole e al tempo stesso ruota attorno al proprio asse NS. La Terra ha un momento angolare orbitale attorno al sole ed un momento angolare interno (o di spin)

• Similmente, in un atomo, un elettrone ruota attorno al nucleo ma ha anche uno spin

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Il momento angolare di un corpo può sempre essere

espresso come la somma del momento

angolare interno e orbitale

DIMOSTRAZIONE

CM

dm

Or

v

Rispetto ad O,un punto fisso in un sistema di rierimento inerziale, il momento angolare elementare è:

vol

O dmvrL

dmvrLd O

Il momento angolare totale è

CMr

'r

volvol

CMO dmvrdmvrL

'

vol

CM dmvrr

'

vol

CMCM dmvvrPr ''

CM

volvol

CMCMO vdmrdmvrPrL

'''

CMorbO LLL

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Moto di un corpo rigido attorno al suo centro di massa

• Come ruota attorno al suo centro di massa un corpo soggetto solo al proprio peso?

• Consideriamo un corpo soggetto ad un’unica forza,il suo peso, applicato al centro di massa.

• Rispetto al centro di massa =0, e quindi L=costante

• Un corpo soggetto solo al proprio peso ruota con un momento angolare costante rispetto al proprio centro di massa

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Direzione del momento angolare e direzione dell’asse di rotazione in un corpo

rigido simmetrico• Quando un corpo ha un asse

di simmetria, allora il momento angolare rispetto all’asse di simmetria è diretto come l’asse di simmetria.

• Per ogni punto materiale del corpo rigido, si può scomporre il momento angolare L nelle componenti lungo l’asse z e giacenti sul piano xy.

• Le componenti giacenti sul piano xy si elidono a due due, data la simmetria del corpo, e le componenti parallele a z si sommano.

x

y

z

1L 2L

1r 2r

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Forze centraliForze centrali

dt

d

Se il momento meccanico Se il momento meccanico è nullo è nullo allora il momento angolare è costante .allora il momento angolare è costante .

tdt

d

Fr

cos0

0

Quando un corpo si muove sotto l’azione di una forza Quando un corpo si muove sotto l’azione di una forza centrale, il centrale, il momento angolaremomento angolare relativamente al centro di relativamente al centro di forza forza è una costante del motoè una costante del moto

Se la linea di azione di Se la linea di azione di FF passa passa sempre per il centro delle forze, allora sempre per il centro delle forze, allora rr ed ed FF giacciono sulla stessa retta. giacciono sulla stessa retta. F è F è

una forza centraleuna forza centrale.. Il momento Il momento angolare rispetto al centro delle forze angolare rispetto al centro delle forze

è costante: è costante: si conservasi conserva

22

22

2

1

2

1ifif IIKKKW

TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICATEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA

Il lavoro produce una variazione di energia cinetica. Se cambia solo l’energia cinetica, il lavoro W è:

Se la forza che agisce su un corpo è Se la forza che agisce su un corpo è conservativaconservativa (forza (forza di gravità, forza elastica di una molla),il lavoro è uguale di gravità, forza elastica di una molla),il lavoro è uguale all’opposto della variazione dell’energia potenziale.all’opposto della variazione dell’energia potenziale.

21

2212 2

1

2

1 IIUU

222

211 2

1

2

1 IUIU

tIUE cos2

1 2

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ESEMPI

• Il metro rigido

• Una struttura...

• Un disco rigido..

• Una ragazza accucciata .....

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vol

dmr '

questo termine viene cancellato perchè nel sistema di riferimento del CM, per definizione di CM coincide con l’origine e quindi è uguale a o

Momento angolare interno e orbitale