FABRIZIO CLERI ENEA UTS Materiali e Nuove Tecnologie...

SCIENZA, TECNICA, STORIA & SOCIETÀ

74 ENERGIA, AMBIENTE E INNOVAZIONE 2/05

di FABRIZIO CLERIENEA

UTS Materiali e Nuove Tecnologie

Il tuffatore e la ballerina: breve storiadel momento angolare

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Una sintesi storico-scientifica dello sviluppo della modernateoria del momento angolare e delle sue implicazioni per losviluppo della meccanica quantistica. La formalizzazione di

questa teria è stata opera di due grandi scienziati,Giulio Racah e Eugene Wigner

Parte I

The diver and the dancer: a brief history ofangular momentum

An historic-scientific account of the development of the moderntheory of angular momentum, and of its implications for thedevelopment of quantum mechanics. The formalization of thistheory was carried out by two great scientists, Giulio Racah andEugene Wigner


75ENERGIA, AMBIENTE E INNOVAZIONE 2/05

l concetto di momento angolare,così comequello di impulso, fa parte di quel gruppodi concetti della fisica che sono stati razio-nalizzati nell’ambito della meccanica ana-litica del XVII-XVIII secolo, ma il cui signi-ficato intuitivo è talmente diretto da appari-re,a seconda del proprio atteggiamento filo-sofico, quasi dei concetti innati (se si tendeal platonismo) o idee chiare e distinte (se sipropende per un atteggiamento più empi-rista, tra Francis Bacon e John Locke).Il classico esempio che viene portato perdare la definizione intuitiva del momentoangolare riguarda sempre un tuffatore o unaballerina, al variare del sesso dell’interlo-cutore.Prendiamo un tuffatore che si lanciada un trampolino molto alto. Durante il tuffoegli comincia a ruotare: non appena siabbraccia le gambe la sua velocità di rota-zione aumenta, per poi ridursi nuovamen-te quando, prima di incontrare l’acqua, sidistende nuovamente. La stessa cosa suc-cede ad una pattinatrice che,cominciandole sue piroette a braccia larghe, le richiudecontro il corpo per aumentare la propriavelocità di rotazione. Il momento angolare,quindi, è quella grandezza legata alla rota-zione di un oggetto intorno ad un asse perla quale vale una legge di conservazioneche, una volta formalizzata, si scopre ana-loga a quelle dell’energia e dell’impulso, oquantità di moto.Questo scritto si propone di tracciare un rias-sunto storico-scientifico dello sviluppo del-la moderna teoria del momento angolare nelquadro della meccanica quantistica. Perchi è affascinato dalla bellezza della mate-matica e dalle scoperte della fisica moder-na,questa è una storia avvincente quanto unromanzo d’avventura.Vede due protagoni-sti principali, i fisici teorici Eugene P. Wignere Giulio Racah, che si fronteggiarono tra il1930 e il 1940 armati di due teorie mate-matiche: la teoria dei gruppi, il primo, e imetodi formali dell’algebra lineare, il secon-do. E gli attori non protagonisti della storiasono nientemeno che personaggi del cali-bro di Wolfgang Pauli, John von Neumann,

Hermann Weyl,Werner Heisenberg e mol-ti altri. Per poter seguire questa storia sononecessarie alcune nozioni di base di mate-matica e di fisica moderna pur se non a livel-lo specialistico e,soprattutto,una certa pas-sione per la storia della fisica. Questopotrebbe forse scoraggiare alcuni lettori chesi siano già avventurati fino a questo punto.Per evitare che il loro tempo sia stato spe-so invano,consiglio a questi amici di curio-sare almeno nei due riquadri seguenti,dedicati a delle esposizioni particolarmenteelementari della grandezza fisica momen-to angolare (riquadro a pagina 82) ed allasua importanza nell’astronomia e nell’a-strofisica (riquadro a pagina 83). Magari,dopo aver letto questi due elementi,potreb-be nascere in questi lettori la curiosità disaperne di più anche sul resto della storia.Il momento angolare ha giocato un granderuolo nella meccanica classica,come testi-moniato dalla sua importanza nella scopertadel moto planetario a velocità areolarecostante sintetizzato nella seconda legge diKeplero, ma è stato solo con l’avvento del-la meccanica quantistica che è iniziato unprocesso di approfondimento sulla suanatura fondamentale ed essenziale.La teo-ria quantistica del momento angolare èdivenuta, a partire dagli anni 50, una bran-ca della fisica matematica a sé stante –nota familiarmente col nome di “algebra diRacah”– indispensabile ai fisici che lavoranonei campi della struttura atomica, moleco-lare e nucleare.Si può far risalire questo cambio di enfasia diverse cause ideali, ma probabilmentequella più importante è la connessione trala legge di conservazione del momentoangolare e l’invarianza rotazionale dellospazio euclideo. In virtù di tale connessio-ne, le considerazioni sul momento angola-re vengono ad essere contenute nel cam-po più vasto delle leggi di simmetria e deiprincipi di invarianza,tratto così caratteristicodelle moderne teorie fisiche. Infatti, le leg-gi di conservazione delle grandezze fon-damentali della fisica,come energia, impul-

I



so, momento angolare (ed altre, un po’meno intuitive di queste) possono essereviste come espressione della particolarestruttura geometrica dello spazio-temponel quale siamo immersi: l’invarianza deifenomeni fisici per traslazioni nel tempo èconnessa alla conservazione dell’energia,l’invarianza rispetto alle traslazioni nellospazio è connessa alla conservazione del-l’impulso, mentre l’invarianza rispetto allerotazioni del sistema di riferimento implicala conservazione del momento angolare.Queste leggi di invarianza rimangono, percosì dire, invariate all’ampliarsi dello spazioeuclideo della meccanica classica in spa-zio relativistico, laddove le trasformazioni diGalileo sono sostituite dalle trasformazionidi Lorentz, e al passaggio dallo spazio aquattro dimensioni della relatività allo spa-zio ad infinite dimensioni della meccanicaquantistica, detto spazio di Hilbert.

1. Gli inizi semi-classici della teoriaquantisticaLa quantizzazione del momento angolareorbitale era uno dei postulati di Bohr nel suolavoro del 1913 sullo spettro dell’atomo diidrogeno e, in verità, il “quanto di azione”di Planck è, dal punto di vista dimensiona-le, un momento angolare. Sarebbe peròfuorviante attribuire, inizialmente, un signi-ficato troppo profondo a questi fatti per losviluppo successivo della teoria1. Una visio-ne più chiara della natura della quantizza-zione in termini delle variabili di azione-angolo, delle quali il momento angolare èil prototipo,venne solo con le regole di quan-tizzazione di Wilson-Sommerfeld nel 1915.Con la chiarezza che deriva dal senno di poi,si può oggi riconoscere che i giorni della“vecchia”meccanica quantistica non eranoaltro che una ricerca, un po’ a tentoni, perindurre da un insieme di evidenze piuttostoconfuse dei concetti la cui vera natura eraquella della teoria quantistica del momen-to angolare (vedi riquadro a pag.82).Questosi può vedere in maniera naturale,ad esem-

pio,dal fatto che gli stati stazionari di un ato-mo sono caratterizzati all’interno di unashell dal solo valore del momento angola-re totale.I due concetti fondamentali della quantiz-zazione spaziale del momento angolare2 ele regole di selezione imposte dalla con-servazione del momento angolare nell’e-missione di dipolo3 avrebbero rappresen-tato gli avanzamenti successivi.Dobbiamoancora a Sommerfeld4 il concetto di momen-to angolare totale J (somma del momentoangolare orbitale e dello spin) e della suaproiezione MJ come elementi essenzialiper caratterizzare gli stati stazionari (nellateoria di Bohr si parlava del solo momentoorbitale L).Questi anni dal 1921 al 1925 furo-no anche il periodo che vide la formulazioneempirica del “modello vettoriale”,che carat-terizzava gli stati atomici in termini delle ideesemiclassiche sui vettori del momentoangolare e sul loro accoppiamento (descrit-ta ad esempio da Back e Landé5). Le fami-liari formule di Landé per il fattore g,che per-mette di calcolare la separazione dellelinee spettrali di atomi posti in un campomagnetico (effetto Zeeman),e per l’accop-piamento spin-orbita – entrambi oggi rico-noscibili come coefficienti di Racah o diWigner – risalgono a questo periodo.È inte-ressante fra l’altro notare che fu proprioLandé a determinare il risultatoJ2class.→J(J+1)quant. (valido al crescere delvalore di J) basandosi solo sull’accordoempirico di questa espressione coi datisperimentali. Uno dei compiti principali diquesta “vecchia” formulazione della mec-canica quantistica fu quello di spiegare l’ef-fetto Zeeman nelle righe spettrali, in parti-colare per determinarne le regole di sele-zione, la polarizzazione e le intensità – pro-blemi tutti risolti nel linguaggio moderno coni coefficienti di Wigner. I raggiungimenti diquel periodo sono di prima grandezza esono troppo spesso sottostimati alla luce del-le conoscenze moderne, che sembranorenderli ovvi.La meccanica delle matrici di Heisenberg



fu il passo necessario che portò l’ordinemancante. Le fondamentali regole di com-mutazione del momento angolare vennerostabilite subito dopo da Born, Heisenberge Jordan6 e, nello stesso tempo, da Dirac*7.Il lavoro di Born,Heisenberg e Jordan è par-ticolarmente notevole perchè è in esso cheviene impiegata per la prima volta in fisicala tecnica algebica completa degli opera-tori di aumento e diminuzione (detti ininglese “raising”J+ e “lowering”J- ),già svi-luppati matematicamente da H.Cartan nel-la sua tesi di dottorato (Parigi, 1894). Conquesta tecnica algebrica vennero stabilitele regole di addizione per valori interi esemi-interi di J e M,e le matrici del momen-to angolare tra due stati ad uguale J eM’=M±1, Questo era un raggiungimentoimportantissimo, poichè l’intera teoria delmomento angolare può essere costruita apartire da questi risultati algebrici (vedianche riquadro a pag.84). Inoltre, nel lavo-ro di Born,Heisenberg e Jordan le regole dicommutazione erano per la prima voltaimpiegate per ottenere gli elementi di matri-ce per gli operatori vettoriali,derivando cosìdelle relazioni per le intensità relative e leregole di selezione per transizioni atomiche.

2. I “giri” di Hamilton e le relazionidi commutazioneLe relazioni di commutazione per il mo-

mento angolare costituiscono le fonda-menta sulle quali l’intera teoria è basata,edè quindi significativo esaminare queste re-lazioni un po’più criticamente.L’introduzionedi queste relazioni,citata poco sopra,è sto-ricamente basata sulla definizione classicadel momento angolare come prodotto vet-toriale delle grandezze posizione e impul-so, L = r x p, e sulla sopradetta regola dicommutazione di Heisenberg. Classica-mente, tutte e tre le componenti di un qual-siasi vettore possono essere misurate.Quan-tisticamente, però, gli operatori corrispon-denti alle variabili posizione, , e impulso, ,non sono commutativi (espressione del piùprofondo concetto della perdita quantisticadelle relazioni di causalità e località, comedimostrato dalle prove sperimentali delteorema di Bell). Per questo non è possibi-le misurare per l’operatore del momento an-golare, , costruito a partire da due opera-tori non commutativi, simultaneamente tut-te e tre le componenti Lx,Ly,Lz,ma solo unadelle componenti, ad esempio Lz , e unacombinazione L± delle altre due.Cionondimeno, le regole semi-classichecosì dedotte sono sufficienti per compren-dere l’esistenza di momenti angolari convalori semi-interi – un punto che indicacome le considerazioni di tipo classico pos-sano essere anche più profonde di quantonon sia immediatamente evidente. In effet-ti è proprio così, ed è infatti a partire dalle

* Mi riferisco all’espressione del commutatore:

oggi ben nota a tutti gli studenti del terzo anno di fisica, dove eink è il cosiddetto tensore di Ricci, che vale +1 o -1 a seconda del-l’ordine dei tre indici i,j,k.

2 In forma di equazione agli autovalori:

Le matrici del momento angolare possono essere usate, ad esempio, per una diretta (sebbene involuta) derivazione delle matricidi rotazione. Per il caso a spin-1/2 il risultato è ben noto. Meno familiare è il risultato per spin-1:

con a una delle tre componenti cartesiane di J, basato sull’identità Ja3=Ja per spin-1 [8].



ricerche di Hamilton, alla metà del XIXsecolo, che queste idee emergono conchiarezza per la prima volta.Consideriamo anzitutto l’operatore delmomento lineare (o impulso), , in mecca-nica classica. Il significato di questo opera-tore,come sottolineato da Dirac,è che essoè l’operatore che genera gli spostamenti: lospostamento di una quantità a è dato dal-l’operatore . La regola dicommutazione per le componenti pi del-l’impulso si ottiene dalla regola vettoriale delparallelogramma per la combinazione dispostamenti finiti; che le componenti pi

commutino tra loro è espressione del fon-damentale postulato che gli spostamentiobbediscano alla geometria euclidea.Per ottenere un modo omogeneo di tratta-re le rotazioni sullo stesso piano degli spo-stamenti,Hamilton nella sua teoria dei qua-ternioni (1853) basò entrambe le operazionisulle riflessioni9.Un’idea,questa,molto pro-lifica nella fisica matematica: Coxeter eMoser,ad esempio,10 hanno mostrato comei diagrammi vettoriali per i gruppi di Lie pos-sono essere espressi in termini delle rifles-sioni. Questo punto di vista venne elabora-to più tardi (1867) da un punto di vista “fisi-co”nel libro di Kelvin e Tait11:due riflessioniconsecutive in piani paralleli dànno unospostamento finito, due riflessioni conse-cutive in piani intersecanti ad angolo arbi-trario dànno una rotazione.Abbiamo visto come per il momento linea-re l’oggetto essenziale sia il vettore sposta-mento. C’è un oggetto elementare per lerotazioni che corrisponda al vettore spo-stamento? La risposta è sì: un tale oggettoè il cosidetto “giro”di Hamilton (vedi riqua-dro a pag. 86). Con una rappresentazionegrafica ci si convince facilmente che laregola di composizione dei giri di Hamiltonporta alla regola di composizione per igeneratori delle rotazioni infinitesimali.Cioè,così come l’impulso è il generatore delle tra-slazioni, il momento angolare è il generatoredelle rotazioni nello spazio euclideo.Siccome le rotazioni non sono commuta-

tive, neanche il momento angolare puòesserlo.Questa semplice ed intuitiva “spiegazio-ne”delle regole di commutazione delmomento angolare è assai più produttiva diquanto non possa sembrare. Per esempio,essa mostra abbastanza chiaramente cheper una sfera di raggio molto grande i giriinfinitesimali approssimano i vettori spo-stamento infinitesimali sugli appropriati pia-ni tangenti alla sfera. Si vede quindi che,prendendo il punto di tangenza a definirel’asse z, i generatori Jx e Jy divengono al limi-te gli operatori spostamento px e py, men-tre Jz rimane invariato.In questo modo si pos-sono derivare intuitivamente le relazioniasintotiche tra le armoniche sferiche (leautofunzioni del momento angolare appro-priate alla sfera) e le funzioni di Bessel e cir-colari (le autofunzioni appropriate al pianotangente).La più comune discussione delle rotazionie degli spinori, così come è data ad esem-pio nei libri di Weyl e Wigner, è abbastan-za differente e coinvolge la proiezione ste-reografica della sfera sul piano complesso,che porta al cosiddetto “calcolo ξ−η”.L’approccio intuitivo sopra accennato puòperò rappresentare la base di uno studio piùrigoroso.Va comunque notato che l’ampiageneralità delle relazioni di commutazioneè stata accuratamente investigata da van derWaerden 13, il quale illustra come le relazionidi commutazione discendano dai fonda-mentali requisiti di invarianza rotazionale edi linearità. Ancora prima, von Neumann eWigner avevano ricavato la differenziabilitàdelle funzioni del momento angolare e lerelazioni di commutazione servendosi delsolo postulato di continuità 14,15.

3. La teoria quantistica del momen-to angolareLa base della teoria quantistica del momen-to angolare era stata stabilita, come abbia-mo visto,proprio agli albori della meccanicaquantistica. Ma il periodo immediatamen-



gruppo del triangolo è sempre usato comeesempio elementare nei libri di Wigner).Peraltro,Wigner non usò affatto la teoria deigruppi in quel suo primo lavoro, mentre inun secondo lavoro - quello citato da Pauli –attribuirà a se stesso l’uso originale dell’in-tero apparato dei gruppi simmetrici diFrobenius e Schur e ringrazierà vonNeumann per aver richiamato la sua atten-zione su questo punto.La prima applicazione della teoria dei grup-pi per lo studio del significato dell’invarianzarotazionale nella spettroscopia atomica fufornita da Wigner in un lavoro del 1927,“Ei-nige Folgerungen aus der Schrödinger-schen Theorie für die Termstrukturen” [20].Sebbene limitato nello scopo, in quantonon considera lo spin, questo lavoro è digrande importanza poichè dà un primo trat-tamento sistematico della teoria delle rap-presentazioni applicata alla meccanicaquantistica.Di particolare importanza è il fat-to che vi siano definite e discusse le matri-ci di rotazione e le relazioni di ricorrenza,derivate dalla riduzione del prodotto diret-to D(j)xD(1). Vengono poi discussi l’effettoZeeman e l’effetto Stark, vengono derivatele relazioni per le intensità relative e le re-gole di selezione; si dimostra che la rego-la di Laporte dipende dal “carattere di ri-flessione” (in termini moderni diremmo la“parità”) della funzione d’onda.A posteriori,possiamo anche riconoscervi un germe delteorema di Wigner-Eckart e l’inizio dell’ideadei “coefficienti di Wigner”.Sotto molti punti di vista questo lavoro diWigner è una pietra miliare della fisica. Dicerto segna l’inizio di alcune delle grandioseapplicazioni della teoria dei gruppi allameccanica quantistica, che seguiranno adesempio nei lavori di Delbrück, Heitler,Hund,London e Weyl.Tra questi lavori suc-cessivi, uno di H. Weyl in particolare è diestremo rilievo (a volte Weyl è stato indica-to come predecessore di Wigner, ma que-sta affermazione è fondata solo dal ritardocon cui Wigner pubblicò il suo lavoro)“Quantenmechanik und Gruppentheorie”

te successivo fu decisamente eccitante.Possiamo difficilmente scorrere le rivistescientifiche degli anni 1925-26 senza pro-vare un senso di sorpresa di fronte alla ric-chezza e alla profondità delle idee chevennero sviluppate in un così breve lasso ditempo. Il “principio di esclusione” di Pauli(un appassionante studio dello sviluppodelle idee intorno al principio di esclusio-ne e dello spin è contenuto nel contributodi van der Waerden nel volume comme-morativo per Wolfgang Pauli 16), la mecca-nica delle matrici di Born, Heisenberg,Jordan e Dirac; la meccanica ondulatoria diSchrödinger; tutti questi strumenti, neces-sari per la spettroscopia atomica, erano inquel momento a portata di mano.Nel lavoro di Wolfgang Pauli “ZurQuantenmechanik des magnetischenElektrons” 17 viene chiarito il significato del-le funzioni d’onda a due componenti (discus-se anche da C.G. Darwin, 18), viene data laforma esplicita delle matrici per spin-1/2 eviene sviluppata la matrice di trasformazioneper le funzioni “spinore”, termine suggeri-to per la prima volta da Paul Ehrenfest.Questo lavoro di Pauli è estremamente ele-gante,anche se di fatto segue di un anno cir-ca un altro lavoro di Heisenberg e Jordan [19]

che sotto molti aspetti si spingeva anche piùoltre,deducendo le matrici per spin-1/2 dal-le matrici generali del momento angolare,la legge di additività dei momenti angola-ri, e fornendo una prova della formula diLandé.Il lavoro di Pauli fa riferimento alle ricerchedi teoria dei gruppi iniziate da EugeneWigner. Quest’ultimo aveva discusso in unprecedente lavoro i termini spettrali per unatomo con tre elettroni equivalenti, nell’in-tento di migliorare la discussione diHeisenberg e Dirac.Tre oggetti equivalen-ti definiscono il gruppo simmetrico S3

(anche noto come il gruppo diedro deltriangolo) per il quale esistono non solo unarappresentazione simmetrica ed una anti-simmetrica irriducibili, ma anche una rap-presentazione doppiamente degenere (il



di H. Weyl 21.Per capire l’importanza di questo lavorosi deve pensare che nel 1927 Weyl ave-va solo recentemente completato altridue risultati matematici di primissimogrado22, ovvero: (1) la teoria delle rap-presentazioni dei gruppi di Lie semi-semplici e (2) la prova della completez-za delle rappresentazioni irriducibili deigruppi continui compatti, ovvero il famo-so teorema di Peter-Weyl23. Ma il lavoro del1927 sulla teoria dei gruppi e la mecca-nica quantistica era semplicemente trop-po difficile per quegli anni: era un bril-lantissimo “tour de force”. Dopo una intro-duzione critica, Weyl interpreta il verosignificato della teoria dei gruppi per lafisica con la deduzione che la cinematicaquantistica costituisce un gruppo.Secondo Biedenharn e Van Dam, autori diun famoso testo didattico sulla teoria delmomento angolare24, questo profondo(“delfico”) enunciato fu pienamente com-preso solo trent’anni dopo da JuliusSchwinger25.Il lavoro di Weyl fu seguito un anno dopo(1928) dall’altrettanto difficile ma assaicompleto libro intitolato per l’appunto“Teoria dei gruppi e meccanica quanti-stica”26.Insieme a von Neumann,Wigner continuòle applicazioni della teoria dei gruppialla spettroscopia in una serie di tre lavo-ri intitolati “Zur Erklärung einigerEigenschaften der Spektren aus derQuantenmechanik des Drehelektrons”27.Questi lavori estendono il primitivo trat-tamento degli spettri includendo lo spindegli elettroni, e forniscono una tassono-mia comprensiva e completamente svi-luppata dell’intera spettroscopia atomica.Particolarmente notevole rispetto alla teo-ria del momento angolare fu la definizio-ne esplicita delle matrici di rotazione perun sistema di n elettroni – equivalente al-la completa determinazione delle matri-ci del gruppo SU2 – nel lavoro I, e l’espli-cita introduzione dei coefficienti di Wigner

– definiti mediante la riduzione del pro-dotto di Kronecker D(J)xD(J ‘) – in una ap-pendice del lavoro III. I casi di momentototale J=1/2 e J=1 vennero elaborati espli-citamente e riutilizzati per derivare laformula di Landé.Wigner ebbe un percorso educativo piut-tosto differente da quello dei suoi coeta-nei, come Heisenberg, Pauli, Schrödingere altri. Egli si formò in ingegneria chimi-ca all’Università Tecnica di Berlino e co-minciò le sue ricerche in spettroscopiacon Herman Mark e Karl Weissemberg, alKaiser Wilhelm Institut für Faserstoffche-mie (Istituto per la chimica delle fibre).Questo lo espose a degli strumenti con-cettuali che erano assenti dal curriculumdegli studenti di fisica, come la teoria deigruppi. In quegli anni i gruppi di simme-tria erano un argomento praticamentesconosciuto alla totalità dei fisici, mentrematematici come Weyl e von Neumann neconoscevano la teoria ma ancora non necapivano l’importanza per la fisica.L’applicazione da parte di Wigner deimetodi gruppali alla meccanica quanti-stica precede di qualche anno i lavori diWeyl; inoltre, nel già ricordato lavoro del192720 egli fu probabilmente il primoscienziato ad impiegare considerazioni disimmetria per provare una legge fisica(nel caso specifico, la derivazione teori-ca della regola empirica di Laporte sullaparità degli stati nelle transizioni spettro-scopiche).Wigner stesso raccontava in un aneddo-to: “Conoscevo l’esistenza dei gruppigrazie a Weissemberg. Un giorno lui midiede in mano il testo di algebra diHeinrich Weber dicendomi: Leggitelo, epoi mi dimostrerai che le posizioni stabi-li degli atomi in un cristallo corrispondo-no ai punti di massima simmetria”.



Bibliografia per la parte 1

Da questa bibliografia sono, con pocheeccezioni, esclusi i lavori scientifici rela-tivi ad applicazioni e verifiche speri-mentali del momento angolare. L’intentodi questa lista, le cui citazioni numerichesi ritrovano nel testo precedente, è sem-plicemente quello di fornire una basebibliografica-storica per eventualiapprofondimenti degli sviluppi metodo-logici della teoria quantistica del momen-to angolare.

1. E.T. WHITTAKER, A History of the Theories of Aetherand Electricity, vol.II, Thomas Nelson ed., New York1953.

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10. H. S. M. COXETER, W. O. J. MOSER, “Generators andRelations for Discrete Groups”, Ergebnisse derMathematik 14, Springer-Verlag, Berlino 1957.

11. W. THOMSON, P. G. TAIT, Treatise on NaturalPhilosophy, Cambridge 1867, ristampato col tito-lo Principles of Mechanics and Dynamics, Dover,New York 1962.

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13. B. L. VAN DER WAERDEN, Matematische Zeitschrifts36 (1932) p. 780.

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15. J. VON NEUMANN, E. P. WIGNER, Zeitschrifts für Physik47 (1928) p. 203.

16. B. L. VAN DER WAERDEN, “Exclusion principle andspin”, in Theoretical physics in the 20th century:a memorial molume to Wolfgang Pauli, edito daM. Fierz e V. F. Weisskopf, Wiley-Interscience, NewYork 1960.

17. W. PAULI, Zeitschrifts für Physik 43 (1927) p. 601.18. C.G. DARWIN, Proceedings of the Royal Society

A116 (1927) p. 227.19. W. HEISENBERG, P. JORDAN, Zeitschrifts für Physik 37

(1926) p. 263.20. E. P. WIGNER, Zeitschrifts für Physik 43 (1927) p. 624.21. H. WEYL, Zeitschrifts für Physik 46 (1927) p. 1.22. H. WEYL, Mathematische Zeitschifts 23 (1925) p.

271; ibidem, 24 (1926) p. 328; ibidem, 24 (1926)p. 377; ibidem, 24 (1926) p. 789.

23. F. PETER, H. WEYL, Mathematischen Annalen 97(1927) p. 737.

24. L. C. BIEDENHARN, C. VAN DAM, Quantum theory ofangular momentum: a collection of reprints andoriginal papers, Academic Press, New York 1965.

25. J. SCHWINGER, Proceedings of the National Academyof Sciences of the U.S. 46 (1960) p. 570.

26. H. WEYL, Gruppentheorie und Quantenmechanik,Hirzel Verlag, Lipsia, 1931.

27. E. P. WIGNER, J. VON NEUMANN, Zeitschrifts für Physik47 (1928) p. 203, 49 (1928) p. 73 e 51 (1928) p.844.



Vediamo di capire meglio che cosa sia il momen-to angolare con un esempio più semplice del tuf-fatore o della ballerina, anche se meno noto: ilmanubrio.

Questo oggetto è composto da due sbarre di mas-sa trascurabile unite insieme a forma di croce;lungo i due bracci di una sbarra, ciascuno di lun-ghezza d, si trovano due palle di metallo di mas-sa M, poste simmetricamente rispetto all’altrasbarra. Il manubrio può ruotare liberamenteintorno alla sbarra sucui non abbiamo fissa-to le sfere (asse di rota-zione).

Diamo ora una spintaal manubrio per farlocominciare a girare. Lasbarra con le due sferecomincerà a ruotarecon una certa velocitàdi rotazione (o velo-cità angolare) che chia-miamo w. Se durantela rotazione raddop-piamo la massa M del-le due palle, ad esem-pio attaccandoci deipesi calamitati per non esercitare altre forze sulsistema, notiamo che il valore della velocitàangolare w si dimezza. Se invece aumentiamo ladistanza d delle palle dall’asse, ad esempio deldoppio, vedremo allora che la velocità angolaresi riduce ad 1/4 del suo valore.Se si eseguono una serie di misure cambiando divolta in volta le masse e le distanze dall’asse, siscopre che all’aumentare della massa la velocitàangolare w decresce in proporzione lineare,mentre all’aumentare della distanza delle palli-ne dall’asse, la velocità angolare decresce con ilquadrato della distanza. I dati possono essere rias-sunti in una equazione:

L ≈ M d2 w

che definisce il momento angolare L (nel caso deltuffatore e della pattinatrice le cose non sono così

semplici perchè la massa è distribuita lungo tut-to il corpo, e non solo agli estremi come nell’e-sempio, ma tralasciamo queste complicazioni). Lascrittura ≈ significa “proporzionale a” e ci evitadi dover specificare dettagliatamente i coeffi-cienti numerici dell’equazione legati alle unitàdi misura.Il momento angolare L è la grandezza che noncambia, al variare combinato di M, d ed w.Infatti, cambiando M in 2M e simultaneamente

w in w/2, oppure d in 2de w in w/4, otteniamosempre lo stesso valoredi L. Questa osservazio-ne esprime la conser-vazione del momentoangolare in tutti i pro-cessi in cui non inter-vengono forze esternesul sistema, a meno chele forze non siano appli-cate sull’asse di rotazio-ne. Quest’ultima preci-sazione è importante, adesempio, per la rotazio-ne delle stelle (vediriquadro a pag. 83).Notiamo che è il

momento angolare è un vettore, in quanto lavelocità angolare è riferita ad un asse orientatonello spazio lungo una direzione non definita apriori.In meccanica classica il momento angolare di uncorpo di massa m in movimento a velocità v èdato dal prodotto vettoriale di posizione e velo-cità:

L = m(r x v) = r x p

Da questa formulazione è evidente che il momen-to angolare è nullo per una particella che si muo-ve di moto rettilineo ogni volta che i vettori r ep sono paralleli, mentre è diverso da zero ognivolta che la velocità della particella ha una com-ponente, anche piccola, perpendicolare alla dire-zione del moto come nel caso di moti rotatori.

Il momento angolare



La seconda legge di Keplero recita scolastica-mente: “Per ogni pianeta che orbita intorno alSole il raggio vettore avente come primo estremoil sole e come secondo estremo il pianeta descrivearee uguali in tempi uguali”.Keplero (Johannes Kepler, 1570-1631) dedusse lesue tre leggi del moto planetario dalla enormemole di osservazioni celesti accumulata dal suomaestro Tycho Brahe. La seconda legge (che per-altro fu la prima ad essere scoperta, nel 1602) inrealtà è una espressione della legge di conser-vazione del momento angolare per la rotazionedi ciascun pianeta di massa M, intorno al sole pre-so come origine del sistema di riferimento. Datoche le orbite dei pianeti seguono delle ellissi gia-centi in un piano dato, con il sole posto in unodei due fuochi, ogni pianeta varia istante peristante la sua distanza dal sole e la sua velocitàangolare. La scoperta kepleriana che l’area di duequalunque settori S1 e S2 lungo l’ellisse (vediFigura 1) è costante comunque si scelgano i set-tori, equivale ad affermare che la velocità ango-lare del pianeta nel tratto sotteso da S2 (a mag-giore distanza dal sole) è inferiore a quella neltratto S1. Se combiniamo la velocità del pianetacon il quadrato della distanza, troveremo che ilmomento angolare è costante lungo tutta latraiettoria ellittica. Senza neanche effettuare ulteriori misure speri-

mentali, possiamoindurre l’osservazioneche l’universo nel suocomplesso possieda unaquantità fissata dimomento angolare, dis-tribuita tra tutti glioggetti in rotazione susé stessi e in orbite reci-proche: galassie, stelle,pianeti, satelliti, comete,tutti i corpi celesti hannoun moto rotazionale cherisulta dall’equilibrio dellereciproche attrazionigravitazionali. Propriocome nell’esempio del tutffatore e della balleri-na, il momento angolare dell’universo si conser-va nel suo complesso, anche se le singole stelle egalassie e pianeti cambiano continuamente dimassa, velocità e distanze reciproche.In astrofisica non esiste ancora una teoria sod-disfacente che spieghi perché il momento ango-lare del sistema solare si trovi praticamente tut-to concentrato nei pianeti. Come abbiamo det-to nel riquadro precedente, il momento angolareè una grandezza che si conserva e che dipendedalla massa, dalla velocità e dalla distanza. NelSole è concentrata più del 99% della massa del-l’intero Sistema Solare, quindi esso dovrebbedetenere anche la maggior parte del momentoangolare. Ma così non è, dato che la nostra stel-la ruota su se stessa molto lentamente, in circa 26giorni. Se si fanno i conti tenendo conto dellagrande massa del Sole, si trova che questo cor-risponde ad una quantità di momento angolarepiuttosto piccola rispetto a quella corrispon-dente alla rotazione dei pianeti intorno al Solee su sé stessi. E non si riesce a comprendere benecome ciò sia possibile, se è vero che il SistemaSolare è nato da una progressiva contrazione diuna immensa nube di gas la quale, mentre siaddensava al centro creando il Sole, ha lasciatolungo la strada dei frammenti che hanno poi cos-tituito i pianeti. Come la pattinatrice aumenta lapropria velocità se contrae le braccia verso il cor-po, così il Sole dovrebbe ruotare sempre piùvelocemente all’addensarsi progressivo della

Il rallentamento delle stelle

Figura 2Sopra, uno schema della seconda legge del moto plane-tario

Figura 1Il ritratto di Johannes Keplerdallo Sternwarte(Osservatorio Astronomico)di Kremsmunster, Austria.

Il momento angolare appare legato alla rotazionedi masse fisiche più o meno distribuite intorno adun asse di rotazione ben definito. Mentre nella “vec-chia” formulazione della meccanica quantistica diBohr e Sommerfeld, del 1913-15, gli elettroni era-no descritti come delle palline lungo orbite di tipoplanetario intorno al nucleo atomico, la formu-lazione successiva, del 1923-25, in termini di matri-ci ed operatori (Heisenberg) o, in forma equivalente,delle funzioni d’onda (Schrödinger), potrebbe porrequalche difficoltà concettuale. Ci si può quindichiedere come il concetto di momento angolare pos-sa tradursi in questo contesto, laddove le particellevengono rappresentate come onde di densità diprobabilità e le direzioni spaziali non sono ben def-inite (ricordiamo che per il momento angolare diatomi ed elettroni si può specificare solo un asse diquantizzazione z orientato nello spazio, mentre glialtri due assi x e y restano indefiniti).In meccanica quantistica le grandezze osservabilivengono calcolate applicando un operatore ad unafunzione d’onda. Ad esempio, per calcolare ilmomento angolare di una data particella (ad esem-pio un elettrone intorno ad un protone, nell’atomo

di idrogeno), bisognerà applicare l’operatoremomento angolare alla funzione d’onda associ-ata alla particella in quel particolare stato :

Per essere più precisi, l’operatore momento ango-lare rappresenta “l’azione di misurare il momentoangolare della particella”. I possibili valori si otten-gono risolvendo la cosiddetta equazione agli auto-valori:

dove questa volta è l’operatore, ma l è il risulta-to della misura: un numero. Come ricorderemo, Bohrintrodusse l’ipotesi che in meccanica quantistica gliautovalori del momento angolare (orbitale)potessero prendere solo valori interi, multipli del-la costante di Planck h, cioè λ=Lh. Questa assunzioneera parzialmente sbagliata, poiché in seguitoSommerfeld mostrò che la corretta regola di quan-tizzazione è .In generale questa equazione ha come risultato



nube di gas. A meno che il Sole non abbia inqualche modo trasferito all’esterno gran parte delsuo momento angolare. Le spiegazioni fornite,per il momento non esaustive, chiamano in causafenomeni magnetici come possibili “veicoli” peril trasferimento di momento angolare e come pos-sibili cause di “frenamento” della rotazionesolare. Ma, di fatto, la questione sembra ancoraaperta.Basandosi sulle teorie di evoluzione stellare nellefasi iniziali di vita delle stelle e sulla teoria dinam-ica del campo magnetico (o magneto-idrodi-namica), è stata formulata la seguente spie-gazione che, a tutt’oggi, sembra la più convin-cente. Ogni stella rotante è dotata di “vento stel-lare”, il flusso di particelle emesse dalla superfi-cie della stella e pilotate dai fortissimi campi elet-trici e magnetici anche ad enormi distanze dallastella stessa. Stelle dotate anche di un forte cam-po magnetico iniziale tendono a diminuire la lorovelocità rotazione per un effetto di “frenamen-to”, dovuto al flusso delle particelle del vento lun-go le linee di forza del campo magnetico. Inquesto caso il momento angolare della stellavaria, poiché le forze magnetiche esercitano unacoppia proprio sull’asse di rotazione. Si può ver-

ificare che la variazione di momento angolare ècompensata esattamente dalla coppia in modo daconservare l’energia totale del sistema. Laproiezione di materia nel campo magnetico puòdeterminare un trasporto delle particelle ad unadistanza a maggiore del raggio R della stella, cheallo stesso tempo interagendo col campo mag-netico generano una specie di “attrito magneti-co” come delle vele lanciate nel vento. Anche unapiccola perdita di massa può produrre una grandeperdita di momento angolare, in quanto il cam-biamento di massa sarebbe proporzionale ad(a/R)2.È stato calcolato che, se la perdita di massa fos-se anche solo di 0,003 Masse Solari per anno, untale meccanismo sarebbe sufficiente per ral-lentare il periodo di rotazione del Sole.Nelle stelle giovani, del tipo T-Tauri, sono statemisurate delle forti perdite di massa associate allapiù intensa attività magnetica legata alle partiiniziali del ciclo termonucleare, e quindi un fortedecremento del periodo di rotazione. Il Solealtro non sarebbe che un esempio dell’evoluzionedi questi tipi di stelle giovani.

Atomi e spin



diversi valori di λ e , che corrispondono a tutti ipossibili valori di momento angolare che possiamotrovare dopo aver effettuato la misura (che vengonodetti autovalori di momento angolare), e a tutti ipossibili stati in cui la particella si puo’ trovare dopola misura (che vengono detti autostati di momen-to angolare). Supponiamo ora di avere una parti-cella in un certo stato che è un autostato dimomento angolare con autovalore λ =2. Effettuandola misura otteniamo:

e troviamo come risultato 2 per il valore di momen-to angolare.Immaginiamo invece che la nostra particella non siain autostato di momento angolare, ma in uno sta-to qualunque a noi ignoto. Si può dimostrare chequalsiasi stato può essere scritto come combi-nazione lineare (ovvero in forma ax+by+cz ...) di tut-ti gli autostati di momento angolare. Cioè, la par-ticella è descritta da una funzione d’onda che risul-ta dalla sovrapposizione, con diverse probabilità, ditutti i valori permessi del momento angolare. Inquesto caso si avrà:

Il risultato della nostra misura di momento ango-lare sarà con probabilità il valore λ=1, con prob-abilità λ=2, con probabilità λ=3 e così via (inquesta trattazione abbiamo omesso volutamentealcuni dettagli tecnici, per semplificare). In breve,il momento angolare ha senso anche quando si rap-presenta la particella in forma di onda, in quantola misura è rappresentata dall’applicazione dell’-operatore momento angolare.A livello quantistico esiste però una grandezzaassociata all’invarianza rotazionale che non ha unanalogo classico: lo spin. Lo spin di una particellanon è legato al momento angolare “orbitale”, mapuò essere visto come un suo “momento angolareintrinseco”. Per spiegare perchè ricorriamo all’es-perimento che storicamente ha dimostrato l’e-sistenza dello spin dell’elettrone, l’esperimento diStern e Gerlach del 1924. L’apparato sperimentale è descritto nella Figura 1:un fascio di atomi evaporati da un campione attra-versa uncampo magnetico non uniforme ed incon-tra uno schermo fluorescente. Il campo magneticodell’esperimento è costruito in modo da aumentaredal basso verso l’alto.Un campo magnetico variabile B esercita una forzaF su una particella solo se questa è dotata di unmomento magnetico non nullo µ:

F = µ x grad B

dove grad B è la variazione nello spazio del campomagnetico.Se interpretiamo il momento angolare orbitale Lassociato allo stato stazionario dell’elettrone comerappresentativo di uno stato di “rotazione”, essendol’elettrone una carica elettrica in rotazione possiamoderivare una espressione semiclassica del momen-to magnetico associato come:

dove e è la carica dell’elettrone, m la sua massa, λil momento angolare (inteso come valore, noncome operatore), con l’espressione quan-tistica dell’autovalore, che per grandi valori di Ltende all’espressione “classica” λ=Lh. La quantità

è presa come unità di misura del momen-to magnetico degli eletttroni ed è detta magnetonedi Bohr. Passando attraverso la regione dove esiste il cam-po magnetico, il fascio di atomi puntiforme sidovrebbe distribuire in una macchia di forma ellit-tica, corrispondente al fatto che il momento ango-lare nella meccanica classica è una grandezza cheprende valori continui. Il fatto che nell’esperimen-to di Stern e Gerlach invece apparissero sullo scher-mo, per diverse specie di atomi, una serie di righeequamente spaziate (e in numero dispari) rappre-sentò la conferma dell’ipotesi di Bohr che, quan-tisticamente, il momento angolare può prenderesolo valori discreti. Un caso particolare analizzato da Stern e Gerlachsi verificava per atomi che non hanno momentoangolare orbitale, perchè venivano mantenuti nel-lo stato fondamentale. In questo caso, sia classica-mente che quantisticamente, il fascio di atomiavrebbe dovuto attraversare indisturbato l’apparatosperimentale. Invece si trovava che in questo casoapparivano sempre almeno due righe (cioè unnumero pari). Questa evidenza fu interpretatacome l’esistenza di un momento angolare “intrin-seco” S di valore 1/2, la cui proiezione lungo l’assedel campo B può quindi prendere i due soli valori

Figura 1Schema del dispositivo sperimentale di Stern e Gerlach.

Consideriamo come una rotazione può essere gen-erata da due riflessioni: gli oggetti essenziali sonol’asse, definito dall’intersezione dei due piani di rif-lessione, e l’angolo, dato dall’angolo diedro tra i duepiani (vedi figura 1). Possiamo rappresentare questainformazione con un arco orientato di un cerchio sul-la sfera unitaria (vedi figura 2). Questo oggetto è il“giro” di Hamilton, da lui introdotto nel 1857 con lateoria dei quaternioni. Il giro associato con una

rotazione Rna di un angolo a intorno alla normale n,è un arco orientato di ampiezza a/2 sulla sfera uni-taria. (ad esempio in: S. F. Gull, A. N. Lasenby e C. J.L. Doran. “Imaginary Numbers are not Real: theGeometric Algebra of Spacetime”, Foundations ofPhysics vol .23 (1993) p. 1175; J. M. Aguirregabiria, A.Hernandez e M. Rivas, “A note on the graphical rep-resentation of rotations”, European Journal of Physics,vol. 13 (1993) p. 139).Un giro può essere trasportatocon un moto rigido lungo la circonferenza di giaci-tura senza cambiarne le proprietà. Due giri sono con-siderati equivalenti se possono essere portati a coin-cidere mediante una traslazione lungo la circon-



+1/2 o –1/2, che venne attribuito all’elettrone (unsingolo elettrone, per l’atomo di idrogeno, o l’uni-co elettrone del guscio più esterno per gli atomialcalini come potassio o sodio). Il momento ango-lare intrinseco, o “spin”, fu introdotto teorica-mente da Wolfgang Pauli poco tempo dopo l’es-perimento di Stern e Gerlach. A livello elementarelo spin (dal verbo inglese che significa “ruotare”)viene spesso descritto come dovuto alla rotazionedell’elettrone sul proprio asse, ma questa è un’in-terpretazione troppo “materialistica”. Fra l’altro,nessuno è ancora riuscito a dimostrare che l’elet-trone abbia una dimensione finita, ma si conoscesolo un valore limite. Nella trattazione non rela-tivistica della meccanica quantistica il termine di spinviene aggiunto “a mano”, tra le cosidette “cor-rezioni relativistiche”. Nella più completa trat-tazione relativistica dell’elettrodinamica quantisti-ca invece lo spin compare automaticamente, comeconseguenza, in un certo senso, del fatto che leequazioni del moto (o equazioni di Dirac) ven-gono scritte in quattro dimensioni.

Il momento angolare totale J di un elettrone risul-ta dalla somma del suo momento orbitale L e delmomento di spin S, il quale a differenza di L cheprende solo valori interi, puo prendere solo valorisemi-interi. Per far tornare i valori sperimentali, ilvalore di S dell’elettrone è moltiplicato per unacostante g=2 detta rapporto giromagnetico, cioèscrivendo per S una espressione analoga a quellasopra scritta per L si ha:

dove s indica l’autovalore del momentoangolare di spin. Il valore previsto teoricamente perla costante g dall’elettrodinamica quantistica èleggermente superiore a 2, ed in effetti le misuresperimentali più raffinate danno g=2,002319304386.Notiamo che l’esistenza dello spin fu dedotta da S.Goudsmit e G. Uhlenbeck nel 1925; questi però nonpubblicarono la loro interpretazione dietro consigliodel loro maestro Paul Ehrenfest, sembra perché inti-moriti da alcune severe critiche dello stesso Pauli.

Giri e rotazioni

Figura 1Rotazione a->b espressa come doppia riflessione. Individuatoil piano n, la prima riflessione di a porta in –b (indicato come(-nxn), la seconda da –b in b

Figura 2Rappresentazione della rotazione da a in b mediante un“giro di Hamilton”: l’arco orientato su di un cerchio mas-simo preso sulla sfera unitaria



ferenza comune. Da notare anche che una certarotazione può essere rappresentata da due giri dis-tinti, come risultato del fatto peculiare che esistonodue distinti giri (zero e 2π) equivalenti alla rotazionenulla (questa è la doppia “copertura” del gruppo dellerotazioni). Per calcolare il prodotto di due rotazionispaziali nella teoria dei giri di Hamilton si procede così:si muovono rigidamente i due giri corrispondenti lun-go le rispettive circonferenze finché la testa di unocoincide con la coda dell’altro; la rotazione prodot-to è rappresentata dall’arco orientato che va dalla codadel primo alla testa del secondo giro (vedi figura 3).Per trovare le regole di commutazione delle rotazionisi esamina l’analogo della regola del parallelogram-ma per i vettori degli spostamenti. È chiaro che per igiri composti AB≠BA, se A e B sono due giri giacentisu circonferenze diverse, poiché l’operazione dirotazione non è commutativa. Man mano che i giriA e B diventano più piccoli, d’altra parte, A e Bapprossimano sempre meglio due vettori paralleli cosache, su una sfera, implica che i giri composti AB e BAsi intersecano il più lontano possibile.È interessante notare che un metodo molto simile èstato usato da Wigner per caratterizzare le trasfor-mazioni di Lorentz nella relatività ristretta [12]. Inquesto caso la regola è un po’ più complicata geo-metricamente poiché le trasformazioni non si svolgonosulla sfera x2+y2+z2=1, ma sull’iperboloide x2+y2+z2-(ct)2=1. Nella figura 4 rappresentiamo l’iperboloidein 3 dimensioni, x,y,t (dato che il disegno in 4 dimen-sioni è obiettivamente un po’ troppo complicato daproiettare sulle due dimensioni di una pagina!). Lerotazioni, o combinazioni di traslazioni a velocità fini-ta (“spinte”, o boost, di Lorentz) e rotazioni, sono rap-presentate da archi sulla superfiche dell’iperboloideanziché da archi di circonferenza sulla sfera. La rego-la di composizione delle rotazioni (eventualmente conuna componente temporale) è la stessa di Hamilton,con una difficoltà aggiuntiva: è evidente che mentretutti gli archi sulla sfera sono elementi di una cir-conferenza chiusa, gli archi sull’iperboloide possonoessere archi di una curva infinita. Questo fa sì che sidebbano adottare combinazioni di movimenti rigidimolto particolari per far “coincidere” la testa e la codadi due rotazioni sull’iperboloide (per maggiori appro-fondimenti si può vedere: P. K. Aravind, “Simulatingthe Wigner angle with a parametric amplifier”,Physical Review A 42 (1990) 4077; R. Simon, N.Mukunda e E. C. G. Sudarshan, Physical Review Letters62 (1989) 1331).Ma cosa significa l’affermazione, ripetuta in più pun-ti di questo articolo, che “il momento angolare è ilgeneratore del gruppo delle rotazioni”? Senza scen-dere in troppi dettagli analitici, proviamo a dare unaesemplificazione intuitiva, anche se matematica-

mente non rigorosa, di questa affermazione.Consideriamo la generazione di una rotazione degliassi cartesiani di un vettore infinitesimo come unoperatore (indicato dal “cappello”) che trasfor-ma una funzione d’onda in essendo

. Scrivendo l’azione dell’operatore comeuna serie di Taylor al prim’ordine, troviamo:

dato che e . Cioè, l’azione dell’operatore dirotazione è pari al prodotto dell’operatore (che dicedi quanto ruotiamo) e del momento angolare . Per passare da una rotazione infinitesima ad unarotazione finita si può immaginare di comporreinsieme un numero tendente ad infinito di rotazioniinfinitesime, ed usare l’identità:

tramite la quale si ritrova la ben nota forma dell’-operatore di rotazione:

Figura 3Composizione di due rotazioni BA+AC=BC mediante “som-ma” dei rispettivi giri di Hamilton

Figura 4L’iperboloide di equazione x2+y2-(ct)2=1. Sulla sua super-ficie sono mostrati tre elementi: la semplice rotazione AB,la “spinta” temporale o Lorentz boost BC, la somma di rota-zione + spinta AC. I tre elementi sono anche i generatoridel gruppo SU(1,1)

FABRIZIO CLERI ENEA UTS Materiali e Nuove Tecnologie...

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