G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Manubrio simmetrico Se il corpo è simmetrico rispetto...

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Manubrio simmetrico• Se il corpo è simmetrico rispetto all’asse di

rotazione– Il momento angolare totale è parallelo all’asse di

rotazione

z, asse di rotazione

r

F 2 t

r

F 1 t

r

v 1

r

v 2

R

r

v 1

r

v 2

r

F 1 t

r

F 2 t

z,asse dirotazione

•

Lx =Ly =0 L z ≠0dLx

dt=Mx =0

dLy

dt=M y =0

dLz

dt=Mz Iα =Mz

• Nel caso della figura il momento Mz è applicato mediante una coppia di forze

– Due forze uguali ed opposte non aventi la stessa retta di azione

• Per mantenere le due particelle sulla traiettoria circolare occorre applicare due forze centripete

– A causa della simmetria del corpo esse sono collineari, uguali in modulo ed opposte

– Costituiscono una coppia di momento nullo

– Possono benissimo essere delle forze interne.

F1cF2c


Coppia di forze• Due forze uguali ed opposte non aventi la stessa retta di

azione• Attraverso una coppia è possibile applicare al corpo un

momento puro• La risultante della coppia è nulla.• Il momento della coppia invece è indipendente dal polo

– Per esempio rispetto ad O, il punto di applicazione della forza F:

b

r

F

−

r

F

r

r

θπ − θ( )

b

r

F

−

r

F

• È diretto perpendicolarmente al piano della coppia

• Nel caso considerato il verso è uscente

• Il modulo vale Fb dove b è il braccio della coppia pari alla distanza tra le retta di azione delle due forze

• Se le due forze sono collineari il momento della coppia è nullo

M1=0, M2=rFsenθ= rFse (n π-θ)=Frsen(π-θ)=Fb

O

• Lo stesso momento può essere ottenuto in infiniti modi diversi.


Manubrio asimmetrico• Se il corpo non è simmetrico rispetto all’asse di

rotazione, e l’asse di rotazione non è un asse principale d’inerzia

– Il momento angolare totale non è parallelo all’asse di rotazione

• Infatti:

L z =l 1z +l 2z =rmRωcosθ+rmRωcosθ=2mR2

I1 2 3 ω


r

F 2 c

r

F 2 t

r

v 2

R

r

r 2

r

F 1 c

r

F 1 t

r

v 1

O

r

r 1

•

r

l2

r

l1

l1 z

l2 zθ

ϕ

θ + ϕ = 90 °

r l 1 =

r r 1 ×m

r v 1

r l 2 =

r r 2 ×m

r v 2 v1 =ωR v2 =ωR

l 1 =rmv1 =rmRω l 2 =rmv2 =rmRω

L⊥ =l 1⊥ +l 2⊥ =rmRωsenθ+rmRωsenθ=2rmRωsenθ

• Il momento angolare trasverso, in questo caso particolare, in cui i due momenti angolari sono allineati, vale:

• Nel caso del manubrio asimmetrico Lx ed Ly non sono nulli, anzi non sono neppure costanti perché il momento angolare precede attorno all’asse di rotazione:

dLx

dt=Mx ≠0

dLy

dt=M y ≠0 L =l1 +l 2 =rmRω+rmRω=rmRω ⇒ L ∝ ω

M z =0 ⇒ ω =costante ⇒ L =costante


Calcolo del momento delle forze esternequando L non è parallelo all’asse di rotazione

• Supponiamo che il momento angolare sia costante in modulo

– Vuol dire che Mz=0, =costante

• Prendendo l’origine di L sull’asse di rotazione, la punta di L descrive una traiettoria circolare in un piano perpendicolare all’asse di rotazione.

• La variazione subita da L nell’intervallo dt è data da:

d

θcostante

L

z

dL

dL =Lsenθdϕ ⇒ dL =Lsenθωdt

dr L

dt=

r M ⇒ d

r L =

r M dt

• Il suo modulo dL =M ⊥dt

• Dalla figura

M ⊥ =L senθω ⇒L ∝ω

M⊥ ∝ω2

• Affinché il momento angolare L preceda attorno all’asse di rotazione occorre applicare un momento delle forze, e quindi delle forze, la cui intensità è proporzionale al quadrato della velocità angolare.



r

F 2 c

r

v 2

R

r

r 2

r

F 1 c

r

v 1

O

r

r 1

•

r

l2

r

l1

l1 z

l2 zθ

ϕ

θ + ϕ = 90 °

Manubrio asimmetrico• Riusciamo a capire il motivo dell’esistenza di questi

momenti ?

• Facendo riferimento alla figura, osserviamo che per mantenere sulla traiettoria circolare i due punti materiali che formano il nostro manubrio occorre applicare a ciascun punto materiale una forza centripeta.

• Le due forze sono uguali in intensità ma di verso opposto e non sono allineate.

– Formano una coppia di momento diverso di zero

– Esse quindi non possono essere delle forze interne, come nel caso simmetrico, perché sappiamo che il momento risultante delle forze interne è nullo.

– Devono essere fornite dall’esterno.

– Normalmente sono i vincoli a cui è affidato il compito di mantenere fisso l’asse di rotazione, che si occupano di esercitare delle forze che svolgono lo stesso ruolo delle forze centripete menzionate.

– Naturalmente anche l’intensità di queste forze aumenta con l’aumentare della velocità angolare


Equilibratura• Poiché queste forze non hanno nessun altra funzione che

quella di far precedere il momento angolare attorno all’asse di rotazione

• Per esempio non hanno alcuna influenza sulla velocità angolare

• Ma al tempo sottopongono a sforzi inutili tutta la struttura (l’asse di rotazione, i cuscinetti, etc)

• Si preferisce lavorare in modo che il momento angolare sia parallelo all’asse di rotazione (in cui tali forze non sono richieste)

• Questo si ottiene “equilibrando” il corpo rigido rispetto all’asse di rotazione (equilibrature delle gomme dell’automobile)


r

v 2

r

v 1

•


Applicazione

• Un cilindro di massa 2 kg può ruotare attorno al proprio asse (longitudinale) passante per O. Nel piano della sezione rappresentata nella figura sono applicate quattro forze, aventi le intensità F e le distanze r dal centro riportate in tabella. Trovare l’intensità e il verso dell’accelerazione angolare del cilindro, ammettendo che, durante il moto, le forze mantengano la orientazione rispetto al cilindro.

• L’equazione del moto:

F1 =6.0N F2 =4.0N F3 =2.0N F4 =5.0N

R1 =5.0cm R2 =12.0cm

M z =Iα

I =12

MR2 =12

2kg.12m( )2 =0.0144kgm2

F1 Mz1 =+F1R2 =6N ×.12m=0.72Nm

F2 Mz2 =−F2R2 =−4N ×.12m=−0.48Nm

F3 Mz3 =−F3R1 =−2N ×.05m=−0.10Nm

F4 Mz4 =0

M z =.72−0.48−0.10=.14Nm

α =Mz

I=

.14Nm0.0144kgm2 =9.7

rads2

• L’accelerazione è diretta in verso antiorario


Applicazione

• Una riga di lunghezza L=1m, è messa in posizione verticale, appoggiata al pavimento e quindi lasciata cadere. Trovate la velocità dell’estremità superiore quando colpisce il pavimento, ammettendo che l’estremità inferiore non slitti

ΔE =Wnc= WN +WFa

=0perchè appl. punto fermo

1 2 4 3 4 =0

Ei =Ef ⇒ K i +Ui =K f +Uf

• Possiamo considerare la riga come una sbarretta sottile.

• Il moto di caduta può essere immaginato come un moto di rotazione attorno ad un asse passante per il punto di contatto O.

• Le forze agenti sono la forza peso, la normale e la forza di attrito (statico) che mantiene fermo il punto di contatto.

• Possiamo applicare la conservazione dell’energia:

P N

FaOU=0

0+mgL2

=12

Iω2 +0

ω2 =mg

L2

12

I=

mgL13

mL2=

3gL

ω =3gL v =ωL =

3gL

L = 3gL =5.42ms


Applicazione

• Un corpo rigido è formato da tre asticelle sottili identiche di lunghezza L, unite tra loro in modo da assumere una forma ad H come mostrato in figura.L’insieme è libero di ruotare intorno ad una asse orizzontale fosso che coincide con una delle gambe della H. Partendo da una posizione di riposo in cui il piano della H è orizzontale, il sistema è lasciato libero di cadere.

• Qual è la velocità angolare del corpo quando il piano della H arriva in posizione verticale?

ΔE =Wnc= WRv

=0perchè appl. punto fermo

1 2 4 3 4 =0

Ei =Ef ⇒ K i +Ui =K f +Uf

• Proviamo ad applicare la conservazione dell’energia

• Le forze agenti sono il Peso e la reazione vincolare applicata dall’asse di rotazione:

0+MgL =12

Iω2 +MgL2

M =3m

ω2 =Mg

L2

12

I=

MgLI

P

Rv

• Dobbiamo calcolare il momento di inerzia dell’H rispetto all’asse di rotazione

U=0

Asse di rotazione


Applicazione

• Un corpo rigido è formato da tre asticelle sottili identiche di lunghezza L, unite tra loro in modo da assumere una forma ad H come mostrato in figura.L’insieme è libero di ruotare intorno ad una asse orizzontale fosso che coincide con una delle gambe della H. Partendo da una posizione di riposo in cui il piano della H è orizzontale, il sistema è lasciato libero di cadere.

• Qual è la velocità angolare del corpo quando il piano della H arriva in posizione verticale?

I =I1 +I2 +I3

• La velocità angolare vale dunque: ω2 =MgL

I=

3mgL43

mL2=

9g4L

I1I2

I3

I1 =0

I2 =13

mL2

I3 =0+mL2

I =13

mL2 +mL2 =43

mL2

ω =9g4L


Moto di puro rotolamento• Con questo moto si intende il moto caratteristico

delle ruote– Quando un veicolo si muove, anche le ruote si

muovono.– Naturalmente il moto delle ruote non è di pura

traslazione– Né una semplice rotazione attorno ad un asse fisso– Può essere immaginato come un moto di

rototraslazionex

y

P ' P "

P2

P1

P1

Δ θ

Δ x

• Qual è la peculiarità di questo moto?– I punti della ruota a contatto con l’asfalto sono fermi rispetto all’asfalto

(non scorrono, non strisciano sull’asfalto)– Da qui il nome: rotolamento senza strisciamento (oppure puro rotolamento).

• Consideriamo due istanti successivi t1 e t2.– Lo spostamento subito dal centro della ruota Δx è pari alla distanza tra i

punti di contatto della ruota agli istanti t1 e t2.– Nello stesso tempo la ruota avrà subito anche uno rotazione e quindi uno

spostamento angolare Δθ.

• Se il moto è di puro rotolamento esiste una relazione tra questi due spostamenti: Δx =RΔθ Condizione di puro rotolamento


Le condizioni di puro rotolamento• Abbiamo stabilito che in condizioni di puro rotolamento

vale la seguente relazione tra i moduli dello spostamento angolare e quello lineare.

x

y

P ' P "

P2

P1

P1

Δ θ

Δ x

Δx =−RΔθ

Δx =RΔθ

• Con il sistema di riferimento scelto osserviamo che se Δx è positivo, come in figura, allora Δθ è negativo (rotazione oraria)

• Tenendo conto dei segni la condizione di puro rotolamento diventa:

• Dividendo per Δt, e valutando il limite per Δt che tende a zero: si ottiene: vx =−Rω

• La velocità lungo l’asse x del centro della ruota (CM) è uguale all’opposto del prodotto del raggio della ruota per la sua velocità angolare.

• Con una seconda derivazione, si ottiene ax =−Rα

• L’accelerazione lungo l’asse x del centro della ruota (CM) è uguale all’opposto del prodotto del raggio della ruota per la sua accelerazione angolare.

• Queste tre condizioni sono verificate contemporaneamente (dipendono l’una dall’altra)• Esse vengono indicate come “condizioni di puro rotolamento”

N.B.:Il segno meno presente nelle condizioni di puro rotolamento dipende dal sistema di riferimento usato. Una diversa scelta del SdR potrebbe non chiedere tale segno


x

y

P ' P "

P2

P1

P1

Δ θ

Δ x

Ruolo della forza di attrito nel moto di puro rotolamento

• Nel moto di puro rotolamento il punto di contatto della ruota con l’asfalto è fermo rispetto all’asfalto.

• Il compito di mantenere fermo rispetto al piano di appoggio il punto (o i punti) di contatto è affidato alla forza di attrito

• Naturalmente si tratta di una forza di attrito statica proprio perché il punto di contatto non scivola sulla superficie di appoggio

• Senza attrito questo tipo di moto non è realizzabile (al massimo è possibile un moto uniforme: velocità del centro di massa costante e velocità angolare costante, non appena si vuole cambiare una delle due velocità e fare in modo che il moto continui ad essere di puro rotolamento è necessaria la presenza della forza di attrito)

• Naturalmente, poiché la forza di attrito statico è limitata superiormente, non sempre è garantito il moto di puro rotolamento.

– Si pensi alle frenate brusche fatte con l’automobile in cui si bloccano le ruote che scivolano sull’asfalto

– Oppure alle accelerazioni brusche in cui le ruote girano, ma slittano sull’asfalto e non producono l’avanzamento dell’automobile.

– Occorre verificare caso per caso se la forza di attrito statico sia sufficiente per garantire il moto di puro rotolamento

• Si osservi infine che la forza di attrito statico compie lavoro nullo (punto di applicazione fermo). (Lo stesso vale anche per la Normale).


Interpretazione del moto di puro rotolamento

• Pura rotazione attorno ad un asse perpendicolare alla figura passante per i punti di contatto.

– L’asse di rotazione cambia continuamente (si parla di asse istantaneo di rotazione.

– Comunque istante per istante il moto di ogni punto della ruota è uguale a quello che avrebbe se la ruota ruotasse attorno ad un asse fisso passante per i punti di contatto.

• Sovrapposizione di un moto di traslazione– Moto del centro di massa

più un moto di rotazione attorno ad un asse perpendicolare alla figura e passante per il centro di massa

• Il moto della ruota nel sistema del centro di massa è una rotazione attorno ad un asse fisso.

• La velocità angolare è la stessa di quella misurata nel sistema inerziale.


Applicazione

• Una forza orizzontale costante di 10 N è applicata a una ruota di massa M=10kg e raggio R=0.30 m, nel modo come indicato in figura. La ruota rotola senza strisciare sulla superficie orizzontale, e l’accelerazione del suo centro di massa è 0.60 m/s2.

• Quali sono l’intensità ed il verso della forza di attrito sulla ruota• Qual è il momento di inerzia della ruota intorno all’asse di rotazione passante

per il suo centro?


Moto di puro rotolamento di un cilindro• Consideriamo un cilindro di massa M e raggio R che si

può muovere su di un piano orizzontale sotto l’azione di una forza F applicata nel suo centro di massa.

• Le altre forze agenti sul cilindro sono– La forza peso applicata al centro di massa– La normale N applicata nel punto di contatto– La forza di attrito anch’essa applicata nel punto di contatto.

x

y

r

P

r

N

r

F as

r

F

• Sia la normale N che la forza di attrito statico sono distribuite su tutti i punti della generatrice del cilindro a contatto con il piano

– Facendo ricorso a questioni di simmetria possiamo renderci conto che l’insieme di queste forze è equivalente ad un’unica forza applicata nel punto di mezzo del segmento costituito dai punti contatto tra cilindro e piano orizzontale

– Nella figura le forze risultanti, sia per quanto riguarda la Normale che per la forza di attrito statico, sono state applicate proprio nel punto precedentemente determinato (esso si trova infatti sulla sezione del cilindro che contiene il centro di massa).

• NB: in generale non si può stabilire a priori il verso della forza di attrito statico– Ragioni di simmetria ci dicono che deve essere parallela alla forza applicata F, però

potrebbe andare verso destra o verso sinistra.

• In figura abbiamo scelto a caso (quasi) uno dei due versi: se risolvendo il problema determiniamo un modulo negativo, non vuol dire che abbiamo raggiunto un risultato assurdo, solo che abbiamo sbagliato la scelta del verso che, pertanto, andrà corretta.


Risoluzione del moto di rotolamento come pura rotazione attorno ai punti di contatto

• L’equazione del moto è:

x

y

r

P

r

N

r

F as

r

F • I è il momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione

• Mz è il momento assiale risultante delle forze applicate.

• Nel nostro caso:

M z =Iα

I =I * +Mh2

Steiner1 2 4 3 4 =

12

MR2 +MR2 =32

MR2F Mz =−FR

P Mz =0

N Mz =0

Fas Mz =0 −FR=Iα

• Utilizzando la condizione di puro rotolamento ax =−Rα

−FR=−Iax

R ax =FR2

Iax =

FR2

I=

FR2

32

MR2=

2F3M

• NB:non abbiamo avuto alcuna informazione sulla forza di attrito.


Risoluzione del moto di rotolamento come sovrapposizione del moto del centro di massa più

una rotazione attorno al centro di massa

• Dal teorema del centro di massa:

x

y

r

P

r

N

r

F as

r

F

• L’equazione del moto di rotazione attorno ad un asse fisso nel SdR del CM:

N =Mg

M z* =I*α

Fas =I*aCMx

R2F −I*

aCMx

R2 =MaCMx ⇒ aCMx =F

M +I *

R2

ax =F

M +I*

R2

=F

M +

12

MR2

R2

=F

M +12

M=

2F3M

r F +

r P +

r N +

r F as =M

r a CM

x F −Fas =MaCMx

y N −Mg =MaCMy =0

I * =12

MR2F Mz =0

P Mz =0

N Mz =0

Fas Mz =−FasR −FasR =I *α

Traslazione F −Fas =MaCMx

Rotazione −FasR =I*α

condizione di puro rotolamentoaCMx =−Rα

Fas =I*aCMx

R2 =12

MR2 2F3MR2 =

F3

puro rotol. ⇔F3

≤μsN =μsMg


Dove è finita l’energia

• Con attrito– Moto di puro rotolamento

• Senza attrito– Pura traslazione

F

P

N

Fas

F

P

N

ax =2F3M

ax =FM

• Se la forza opera per un tratto Δx: vf2 −vo

2 =2axΔx

vf2 =2

2F3M

Δx vf2 =2

FM

Δx

• Solo i due terzi del quadrato della velocità del caso senza attrito

• Bisogna considerare anche l’energia cinetica del moto di rotazione

ΔK =K f −K i

=0{ =

12

Mvf2 =

12

M2FM

Δx =FΔx =WF

ΔK =K f −K i=0{ =

12

Mvf2 +

12

I*ωf2 =

12

Mvf2 +

12

12

MR2ωf2

vf2

1 2 3 =12

M22F3M

Δx 1+12

⎛ ⎝

⎞ ⎠

=3

2

1 2 3 =FΔx =WF


Applicazione

• Una forza orizzontale costante di 10 N è applicata a una ruota di massa M=10kg e raggio R=0.30 m, nel modo come indicato in figura. La ruota rotola senza strisciare sulla superficie orizzontale, e l’accelerazione del suo centro di massa è 0.60 m/s2.

• Quali sono l’intensità ed il verso della forza di attrito sulla ruota• Qual è il momento di inerzia della ruota intorno all’asse di rotazione passante

per il suo centro?

• Dal teorema del centro di massa:

N =Mg

r F +

r P +

r N +

r F as =M

r a CM

x F −Fas =MaCMx

y N −Mg =MaCMy =0

Fas =F −MaCMx =10−10×.60=4N

F

P

N

Fas

Fas =I*aCMx

R2

M z* =I*α

I * =12

MR2F Mz =0

P Mz =0

N Mz =0

Fas Mz =−FasR −FasR =I *α

• per la rotazione

I * =R2Fas

aCMx

=.32 ×40.60

=.360.60

=0.6kgm2

ax =−Rα

x

y

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