Cap 4 - Momento angolare e sistemi tridimensionali

Capitolo 4

Teoria del momento angolare eSistemi Tridimensionali

113

114CAPITOLO 4. TEORIA DEL MOMENTO ANGOLARE E SISTEMI TRIDIMENSIONALI

4.1 Momento Angolare

Nei problemi tridimensionali una variabile dinamica importante e il momento angolare.In meccanica quantistica il momento angolare risulta quantizzato in maniera universale(i.e., indipendente dal sistema considerato), in conseguenza dell’algebra degli operatori dimomento angolare e della positivita della norma degli stati.

4.1.1 Introduzione

L’equazione di Schrodinger per una particella che si muovein un potenziale a simmetriacentrale e:

Hψ = (− h2

2m∇2 +V(r))ψ(r) = Eψ(r). (4.1)

In coordinate sferiche (∆ ≡ ∇2)

∆ψ =

[

1r2

∂∂r

(r2 ∂∂r

)+1r2 [

1sinθ

∂∂θ

(sinθ∂

∂θ)+

1

sin2 θ∂2

∂φ2 ]

]

ψ

= −2m

h2 (E−V(r))ψ. (4.2)

Separando le variabili

ψ = R(r)Φ(θ,φ), (4.3)

si ha[ ddr (r

2 ddr )+ 2m

h2 r2(E−V(r))]R(r)

R(r)=

L2Φ(θ,φ)

Φ(θ,φ)= λ, (4.4)

dove l’operatoreL2 e definito da

L2Φ(θ,φ) = −[1

sinθ∂

∂θ(sinθ

∂∂θ

)+1

sin2 θ∂2

∂φ2 ]Φ(θ,φ). (4.5)

L2 risulta l’operatore del momento angolare quadrato,(r ×p)2 (vedi Sottocapitolo 4.1.5),λ e il suo autovalore. L’equazione

[1r2

ddr

(r2 ddr

)+2m

h2 (E−V(r))− λr2 ]R(r) = 0 (4.6)

e chiamataequazione di Schrodinger radiale.In meccanica classica l’isotropia dello spazio implica chein un sistema chiuso il mo-

mento angolare totale

L = ∑a

(ra×pa) (4.7)

e conservato. Lo stesso vale per il momento angolare di una particella che si muove inun potenziale a simmetria centrale. Troveremo in seguito che in meccanica quantistica unanalogo risultato e valido.

4.1.2 Definizione e regole di commutazione

L’operatore di momento angolare in meccanica quantistica (per una singola particella) edata da

L = r × p = −ihr ×∇. (4.8)

4.1. MOMENTO ANGOLARE 115

In componenti,

Lx ≡ L1 = ypz−zpy = −ih(y∂∂z

−z∂∂y

);

Ly ≡ L2 = zpx−xpz = −ih(z∂∂x

−x∂∂z

);

Lz ≡ L3 = xpy−ypx = −ih(x∂∂y

−y∂∂x

). (4.9)

Dovuto al fatto che le componenti delle coordinate e degli impulsi non coniugati commuta-no (per es.[y, pz] = 0), non ci sono problemi di ambiguita nel definire il momentoangolarequantistico a partire da quello classico.

Se il sistema contiene piu di una particella il momento angolare totale e definito da

L tot = ∑a

(ra×pa) (4.10)

dove la somma si riferisce alle particelle presenti.E conveniente introdurre il tensore antisimmetrico

εi jk =

1, se(i jk) = (123) o permutazioni pari

−1, se (i jk) = (213) o permutazioni pari

0 altrimenti

(4.11)

εi jk e totalmente antisimmetrico per scambi di due degli indici; inoltre e invariante perpermutazioni cicliche

εi jk = ε jki = εki j . (4.12)

La componentei-sima del momento angolare e allora

Li = εi jk x j pk, (4.13)

dove la somma sugli indici ripetuti e implicita.Facendo uso dei commutatori

[xi ,x j ] = [pi , p j ] = 0;

[xi , p j ] = i hδi j , i = 1,2,3 (4.14)

e facile trovare i commutatori tra le componenti del momento angolare,

[L1,L2] = i hL3; [L2,L3] = i hL1; [L3,L1] = i hL2, (4.15)

o in forma piu compatta,[Li ,L j ] = i hεi jk Lk. (4.16)

Le stesse regole di commutazione valgono per le componenti dell’operatore di momen-to angolare totale

L tot = ∑a

(ra×pa) (4.17)

nei sistemi con piu di una particella.Dall’Hermiticita degli operatorixi , pi , segue che le componenti del momento angolare

sono operatori Hermitiani.Calcoliamo ora i commutatori traLi e x j (e traLi e p j ) usando sempre i commutatori

fondamentali, (4.14). Il risultato e

[Li ,x j ] = i hεi jk xk; (4.18)


[Li , p j ] = i hεi jk pk. (4.19)

Consideriamo ora il modulo quadrato del momento angolare,

L2 = L21 +L2

2+L23. (4.20)

E facile verificare che l’operatoreL2 commuta con ciascun componenteLi ,

[L2,Li ] = 0, i = 1,2,3 (4.21)

Per esempio,

[L2,L1] = [L22,L1]+ [L2

3,L1]

= i h(−L2L3−L3L2 +L3L2 +L2L3) = 0. (4.22)

Di conseguenza, i due operatori,L2 e (e.g.)L3 possono prendere valori definiti simulta-neamente.L1, L2, non commutando conL3, e di conseguenza non possono assumere valoridefiniti in generale, nella base in cuiL2 e L3 sono diagonali.1

4.1.3 Momento angolare come genetratore di rotazioni

Il fatto che le formule (4.16), (4.18), e (4.19) hanno la stessa struttura non e accidenta-le: essa indica che il momento angolare, la posizione e l’impulso sono tutti vettori e sitrasformano nello stesso modo per rotazioni degli assi di coordinate.

Ricordiamo (vedi 2.1) che l’operatore dell’impulsop = −ih∇ e il generatore ditrasla-zione: un operatoreO(r ,p) si trasforma

eip·r0

h O(r ,p)e−ip·r0

h = O(r + r0,p). (4.23)

Sulla funzione d’onda l’operatore di traslazione agisce come:

eip·r0

h ψ(r) = ψ(r + r0), (4.24)

come si ottiene facilmente dalla formula di Taylor.Analogamente le componenti del momento angolare generano rotazioni. Si consideri

un’operazione

Uψ = ei L ·ω

h ψ(r) (4.25)

perω infinitesime. Si ha infatti

ei L ·ω/hψ(r) ≃ (1+ iL ·ω

h)ψ(r) = (1+ ωi εi jk x j

∂∂xk

)ψ

≃ ψ(r + ω× r). (4.26)

Comeei p·r0/h, l’operatoreU = ei L ·ω/h genera una trasformazione unitaria: un genericooperatoreO si trasforma come

O→UOU†. (4.27)

In particolare, perO = r , si ha

r → r = ei L ·ω re−i L ·ω = r +i ωi

h[Li , r ]+ . . .

= r + ω× r + . . . (4.28)

1C’e un’eccezione. In uno stato di momento angolare totale nullo, tutte le componenti hanno il valore nullo.Vedi dopo.


dove abbiamo usato i commutatori (4.18). La (4.28) indica che la trasformazione unitariaconU = e

i L ·ωh infatti rappresenta una rotazione tridimensionale degli assi di coordinate,

nella direzione del vettoreω di angolo|ω|.I commutatori tra le componenti del momento angolareLi sono combinazioni lineari di

esse stessi:Li sono dette di formareun’algebra. Ogni algebra e caratterizzato da insiemedi costanti, detti costanti di struttura. Nel caso di algebra del momento angolare - algebradel gruppo di rotazioni tridimensionaliSO(3) - le costanti di struttura sonoεi jk .

Unit a del momento angolare: Il momento angolare ha la stessa dimensione di azione[L ] = [r ×p] = [h], ed e misurato in unita di ¯h. In seguito, indicheremo conL l’operatoreadimensionaleL/h, liberandoci dell’onnipresente ¯h dalle relazioni di commutazione, etc.

Risulta conveniente introdurre i due operatoriL+ e L−

L+ ≡ L1 + iL2; L− ≡ L1− iL2, (4.29)

e riscrivere l’algebra del momento angolare (4.16) come

[L+,L−] = 2L3; [L3,L+] = L+; [L3,L−] = −L−; (4.30)

il quadrato del momento angolare si esprime in termini diL±

L2 = L+L− +L23−L3 = L−L+ +L2

3+L3. (4.31)

(Esercizio: si verifichi le (4.31). )Nel caso di una particella in tre dimensione l’operatore delmomento angolare quadrato

L2 coincide con l’operatoreL2 di (4.5), come esplicitamente verificato nel Capitolo (7.4).

4.1.4 Autovalori del momento angolare

E un fatto empirico che in Natura molte particelle elementari (elettrone, protone, neutrone,ecc.) possiedono una sorta di momento angolare intrinseco,chiamatospin. A questo gradodi liberta associamo un operatore appropriato,S, che, per postulato, obbedisce alle stesseregole di commutazione di quelle soddisfatte dal momento angolare orbitaleL = r ×p. Edi comune uso indicare l’operatore di momento angolare generico con lettereJi , riservandoLi per i momenti angolari di tipo orbitali eSi per gli spin. I risultati fondamentali chetroveremo in questa sezione infatti sono validi sia per il momento angolare orbitale, sia perlo spin, sia per una somma generica di momenti angolari di diverse nature fra loro.

Come conseguenza delle regole di commutazione

[Ji ,Jj ] = i εi jk Jk, (4.32)

e della positivita della norma, gli autovalori del momentoangolare risultano quantizzati, inmaniera universale.

Consideriamo l’operatore del momento angolareJ di un determinato sistema. La regoladi commutazione riscritta con gli operatoriJ± ≡ J1± iJ2 e,

[J+,J−] = 2J3; [J3,J+] = J+; [J3,J−] = −J−. (4.33)

Inoltre[J2,Ji ] = 0, i = 1,2,3 (4.34)

percio possiamo prendere una base in cuiJ2 e diJ3 sono diagonali.Siano|m〉 gli autostati normalizzati diJ3 con l’autovalorem:

J3|m〉 = m|m〉. (4.35)

Usando la (4.33) si ha

J3J+|m〉 = (J+J3 +J+)|m〉 = (m+1)J+|m〉 : (4.36)


i.e., lo statoJ+|m〉, se non e un vettore nullo, e anche esso un autostato diJ3, con autovalorem+1. Analogamente

J3J−|m〉 = (m−1)J−|m〉 : (4.37)

J−|m〉 e un autostato diJ3 con l’autovalorem−1, tranne quandoJ−|m〉 = 0. Gli operatoriJ+ e J− fungono, rispettivamente, da operatori di “innalzamento edi “abbassamento” delvalore dim. Possiamo scrivere

J±|m〉 = cost.|m±1〉, (4.38)

J2±|m〉 = cost.|m±2〉, (4.39)

etc. Inoltre, poicheJ± commutano con l’operatoreJ2,

J2(Jn±|m〉) = Jn

±J2|m〉 = T(Jn±|m〉); (4.40)

dove abbiamo indicato conT l’autovalore del momento angolare quadrato

J2|m〉 = T|m〉. (4.41)

In altre parole, gli statiJn±|m〉, n = 0,1,2, . . . (se sono non nulli) formano una torre di

autostati diJ2, con lo stesso autovalore, ma con autovalorem che differiscono di un’unitatra losro.

La relazione traT ( l’autovalore del momento angolare quadratoJ2) e i possibili auto-valori m di J3, viene determinata dalla seguente considerazione. Dalla relazione

〈J2−J33 〉 ≥ 0, (4.42)

(esercizio: dimostratela), segue la disuguaglianza

T ≥ m≥−T. (4.43)

Segue dunque che per un dato valore diT deve esistere il valore massimo dim, che indi-cheremo conj. Sia| j〉 l’autostato corrispondente,i.e., un autostato diJ2 con l’autovaloreancora ignotoT e con autovalore diJ3, j = max{m}.

Classicamente tale valore coincide con il valore assoluto del momento angolare e inqueso caso il vettore del momento angolare e diretto lungo l’assez.

Per definizione,| j〉 e lo stato con il valore massimo diJ3, percio la costante in (4.38)deve essere tale che

J+ | j〉 = 0. (4.44)

Altrimenti J+ | j〉 sarebbe uno stato con un valore diJ3 piu grande,j + 1, contrariamenteall’ipotesi fatta. Segue che (vedi (4.31))

J2| j〉 = (J−J+ +J23 +J3)| j〉 = j( j +1)| j〉. (4.45)

CioeT = j( j +1) : (4.46)

l’autovalore dell’operatoreJ2 e uguale aj( j +1).A partire dallo stato| j〉 possiamo costruire una torre di stati applicando ripetutamente

l’operatoreJ−Jn− | j〉 ∝ | j −n〉; n = 0,1,2, . . . , (4.47)

con l’autovalorej, j −1, j −2, j −3, . . . , (4.48)

di J3, tutti autostati diJ2 con lo stesso autovalorej( j +1).


Ora, dalla (4.42) segue l’esistenza delminimo fra gli autovalori diJ3 anche. Dunqueesiste un numero interon tale che

J− | j −n〉= 0. (4.49)

In questo stato, troviamo, in virtu della prima equazione della (4.31),

J2| j −n〉= (J+J− +J23 −J3)| j −n〉 = (( j −n)2− ( j −n))| j −n〉. (4.50)

Ma lo stato| j −n〉 appartiene allo stesso autovalorej( j +1) di stato| j〉 percio

( j −n)2− ( j −n) = j( j +1), → n = 2 j. (4.51)

Troviamo cosı un risultato fondamentale: visto chen e un numero intero non negativo,segue chej prende soltanto valori o interi e semiinteri

j = 0,12, 1,

32, 2, . . . . (4.52)

Gli autovalori del momento angolare sono quantizzati, indipendentemente dal dettagliodinamico.

Ricapitolando, concludiamo che per un dato autovalorej( j + 1) dell’operatoreJ2 cisono un 2j +1 -pletto di stati

| j, j〉, | j, j −1〉, | j, j −2〉, . . . | j,− j +1〉, | j,− j〉, (4.53)

autovalori diJ3,j, j −1, j −2, . . . ,− j, (4.54)

rispettivamente. Anche se gli autovalori dell’operatoreJ2 prendono il valorej( j + 1) inquesto gruppo di stati, e di comune uso parlare di multipletto di statidi momento angolarej.

I valori possibili per il numero quanticoj

j = 0,12, 1,

32, 2, . . . , (4.55)

corrispondono a autovalori del momento angolare quadrato,

j( j +1) = 0,34, 2,

154

, 6, . . . (4.56)

Inoltre, risulta (vedi il prossimo sottocapitolo) che per imomenti angolari di tipo orbitale,j, indicato conL o conℓ in questi casi, puo prendere soltanto valori interi. (Vedidopo).

In Natura queste predizioni della meccanica quantistica sono verificate senza eccezioni.Empiricamente le particelle elementari hanno lo spin o semiinteri o interi (e.g., l’elettrone,il protone, il neutrone, hannos = 1/2; il pione ha lo spin zero, il bosone W spins = 1,ecc.). Nessun valore frazionario di spin e stato mai osservato.

Una delle prime esperienze che hanno mostrato questo sorprendente fenomeno e dovutaa Stern e Gerlach (1922). Nella loro esperienza, un sottile fascio di atomi d’argento e fattoattraversare una zona con un forte campo magnetico non uniforme, con

∂Bz

∂z6= 0, (4.57)

dove l’assez e perpendicolare alla direzione del moto dell’atomo, e viene inciso su unoscherma fotografico. Un atomo che ha lo spin non nullo ha un momento magnetico nonnullo e percio riceve una forza verticale, proporzionale alla componentezdello spin. Clas-sicamente si aspetta, per un fascio incidente non polarizzato, che si osservi sullo scherma


una banda di punti scuri uniformemente distribuiti in essa,corrispondenti a direzioni ar-bitrarie dello spin; sperimentalmente furono osservati (nel caso diAg) solo due striscestrette (due linee) separate verticalmente, confermando la quantizzazione diJz in manieradrammatica (l’atomo diAgnello stato fondamentale ha spin 1/2).

Nota sulla quantizzazione del momento angolare in meccanica quantisticaSupponiamo che esista un sistema con il momento angolarej semipositivo definito

generico, ne intero ne semiintero. Sia| j, j〉 lo stato in cuiJ3 prende il valore massimo,j:

J3| j, j〉 = j| j, j〉; J+ | j, j〉 = 0; J2| j, j〉 = j( j +1)| j, j〉. (4.58)

ApplicandoJ− ripetutamente si ottiene una torre di stati

(J−)n| j, j〉 ∝ | j, j −n〉, n = 1,2,3, . . . . (4.59)

Per un valore generico dij ci saranno un numero infinito di tali stati. Non e difficiledimostrare che:(i) tutti gli stati (4.59) sono autostati diJ2 con l’autovalore,j( j +1);(ii) lo stato (4.59) ha la norma positiva perm= j −n tale che

− j −1< m< j; (4.60)

(iii) per m tale che

− j −2< m≤− j −1, (2 j +1≤ n < 2 j +2), (4.61)

si ha〈 j, j|(J+)n(J−)n| j, j〉 < 0 : (4.62)

lo stato(J−)n| j, j〉 ha la norma negativa.Il valore di j generico dunque implica la presenza di stati con la norma negativa, e

quindi non e accettabile.

4.1.5 Momento angolare orbitale; funzioni armoniche sferiche

Tutte le precedenti discussioni formali, basate solamentesulle regole di commutazioni, siapplicano anche ai momenti angolari di tipo orbitale,L = r × p. Tuttavia, dovuto allarichiesta che la funzione d’onda sia ben definita come funzione di variabili angolari, ilnumero quanticoℓ ( j ) prende in questo caso solo valori interi, e non semi-interi.

Nelle coordinate sferiche(r,θ,φ),

r =√

x2 +y2 +z2; θ = tan−1

√

x2 +y2

z; φ = tan−1 y

x, (4.63)

le componenti dell’operatoreL = r × p diventano:

L3 = −i(x∂∂y

−y∂∂x

) = −i∂

∂φ; (4.64)

L+ = −(x+ iy)∂∂z

+z(∂∂x

+ i∂∂y

) = eiφ(∂

∂θ+ i cotθ

∂∂φ

); (4.65)

L− = −L+(i →−i) = e−iφ(− ∂∂θ

+ i cotθ∂

∂φ). (4.66)

Allora

L2 = L+L− +L23−L3 = −[

1sinθ

∂∂θ

(sinθ∂

∂θ)+

1

sin2 θ∂2

∂φ2 ], (4.67)


come e stato anticipato in Sec. 4.1.1Risolviamo ora l’equazioni agli autovalori (che e la parteangolare dell’equazione di

Schrodinger nel caso di un potenziale a simmetria centrale),

L2Φ(θ,φ) = −[1

sinθ∂

∂θ(sinθ

∂∂θ

)+1

sin2 θ∂2

∂φ2 ]Φ(θ,φ) = ℓ(ℓ+1)Φ(θ,φ). (4.68)

PoicheL3 = −i ∂∂φ commuta conL2, conviene prima risolvere l’equazione

L3ψ(φ) = −i∂

∂φψ(φ) = mψ(φ). (4.69)

La soluzione e ovvia:

ψ(φ) = Φm(φ) =1√2π

eimφ, (4.70)

che obbedisce alla condizione di normalizzazioneZ 2π

0Φm′(φ)∗ Φm(φ) = δm′m. (4.71)

Ma la funzione d’onda deve essere ben definita per ogni valoredi φ percio

m= 0, ±1, ±2, . . . . (4.72)

Siccomem (chiamato ilnumero quantico azimutale) puo prendere solo 2m+ 1 possibilivalori

−ℓ,−ℓ+1, . . .,+ℓ, (4.73)

vuol dire che ancheℓ puo prendere soltanto valori interi,

ℓ = 0,1,2,3, . . . . (4.74)

Sostituiamo oraΦ(θ,φ) = Φm(φ)Θℓ,m(θ) (4.75)

in (4.68). Si ha

1sinθ

ddθ

(sinθddθ

Θℓ,m(θ))− m2

sin2 θΘℓ,m(θ)+ ℓ(ℓ+1)Θℓ,m(θ) = 0, (4.76)

o in termini della nuova variabilex≡ cosθ,

ddx

(1−x2)ddx

Θℓ,m− m2

1−x2Θℓ,m+ ℓ(ℓ+1)Θℓ,m= 0. (4.77)

Questa equazione e ben nota. Le soluzioni che sono finite e monodrome nell’intervallo−1 ≤ x ≤ 1 perℓ ≥ |m| sono note comepolinomi associati di Legendre, e indicate conPm

ℓ (x).Per i polinomi di Legendre e per i polinomi associati di Legendre, vedi Appendice.La soluzione di (4.77) normalizzata con

Z π

0dθ sinθ |Θℓ,m(θ)|2 =

Z 1

−1dx|Θℓ,m|2 = 1, (4.78)

e data da (x≡ cosθ))

Θℓ,m = (−)miℓ

√

(2ℓ+1)(ℓ−m)!2(ℓ+m)!

Pmℓ (x), m≥ 0, (4.79)


Θℓ,−|m| = (−)mΘℓ,|m|. (4.80)

La soluzione dell’equazione di Schrodinger angolare, coni numeri quanticiℓ,m edunque (vedi (4.75))

Φ(θ,φ) = Yℓ,m(θ,φ) = (−)(m+|m|)/2 iℓ

√

(2ℓ+1)(ℓ−|m|)!4π(ℓ+ |m|)! Pm

ℓ (x)eimφ. (4.81)

Le funzioniYℓ,m(θ,φ) sono chiamatefunzioni armoniche sferichee rappresentano le auto-funzioni simultanee degli operatoriL2 (con l’autovaloreℓ(ℓ+ 1)) e L3 (con l’autovalorem). Yℓ,m(θ,φ) sono normalizzate come

Z π

0dθ sinθ

Z 2π

0dφYℓ′,m′(θ,φ)∗Yℓ,m(θ,φ) = δll ′δmm′ . (4.82)

(2ℓ+1) funzioni d’ondaYℓ,m(θ,φ) per un datoℓ corrispondono agli stati|ℓ,m〉 discussi nelprecedente sottocapitolo, o piu precisamente,

〈θ,φ|ℓ,m〉 = Yℓ,m(θ,φ). (4.83)

Infine, alcune funzioni armoniche sferiche piu semplici sono:

Y0,0 =1√4π

,

Y1,0 = i

√

34π

cosθ, Y1,±1 = ∓i

√

38π

sinθe±iφ,

Y2,0 =

√

516π

(1−3cos2 θ),

Y2,±1 = ±√

158π

cosθ sinθe±iφ,

Y2,±2 = −√

1532π

sin2 θe±2iφ, (4.84)

ecc. Alcune proprieta importanti diYℓ,m(θ,φ) sono:

Yℓ,m(π−θ,φ+ π) = (−)ℓYℓ,m(θ,φ), (4.85)

(−)ℓ−mY∗ℓ,−m = Yℓ,m. (4.86)

4.1.6 Elementi di matrice di J.

Abbiamo visto che i risultati come

J±|m〉 = cost.|m±1〉, (4.87)

J2| j〉 = j( j +1)| j〉, (4.88)

seguono dalla regola di commutazione diJi . Si vuole ora determinare le costanti in questerelazioni. Consideriamo il valore d’aspettazione di

J2 = (J+J− +J23 −J3) (4.89)

nello stato| j,m〉. Si ha

〈 j,m|J2| j,m〉 = 〈 j,m|J+J−| j,m〉+ 〈 j,m|J23| j,m〉− 〈 j,m|J3| j,m〉, (4.90)


j( j +1) = ∑m′〈 j,m|J+| j,m′〉〈 j,m′|J−| j,m〉+m2−m, (4.91)

dove abbiamo utilizzato la relazione di completezza

∑j ′,m′

| j ′,m′〉〈 j ′,m′| = 1, (4.92)

e il fatto che gli operatoriJ± non cambiaj. Dall’ultima relazione, tenendo conto deirisultati (4.87), segue che soltanto un termine contribuisce nella somma sum′:

〈 j,m|J+| j,m−1〉〈 j,m−1|J−| j,m〉 = j( j +1)−m2+m= ( j +m)( j −m+1). (4.93)

Ora, poicheJ+ = J†− i due elementi di matrice nel primo membro sono collegati,

〈 j,m|J+| j,m−1〉 = 〈 j,m−1|J−| j,m〉∗. (4.94)

Percio|〈 j,m−1|J−| j,m〉|2 = ( j +m)( j −m+1). (4.95)

Con un’opportuna scelta della fase, si ha allora

〈 j,m−1|J−| j,m〉 = 〈 j,m|J+| j,m−1〉=√

( j +m)( j −m+1), (4.96)

e ovviamente tutti gli altri elementi di matrice diJ+,J− sono nulli.Gli elementi di matrice diJ1 e J2 seguono dai risultati perJ± tramite le relazioni:

J1 = (J+ +J−)/2, J2 = (J+−J−)/2i. (4.97)

Si trovano cosı i seguenti elementi non nulli:

〈 j,m−1|J1| j,m〉 =12

√

( j +m)( j −m+1),

〈 j,m+1|J1| j,m〉 =12

√

( j +m+1)( j −m), (4.98)

e

〈 j,m−1|J2| j,m〉 = +i2

√

( j +m)( j −m+1),

〈 j,m+1|J2| j,m〉 = − i2

√

( j +m+1)( j −m). (4.99)

Insieme a noti elementi di matrice non nulli diJ3

〈 j,m|J3| j,m〉 = m, (4.100)

questi determinano tutti gli elementi di matirice di vari operatori composti diJi .Ritornando alle (4.87), abbiamo percio trovato che

J−| j,m〉 =√

( j +m)( j −m+1)| j,m−1〉,J+| j,m〉 =

√

( j −m)( j +m+1)| j,m+1〉. (4.101)

Si noti cheJ+| j, j〉 = 0 eJ−| j,− j〉 = 0 infatti.La scelta della fase fatta sopra (che gli elementi di matricedi J± siano reali e non

negativi), fa parte della cosıdettaconvenzione di Condon e Shortleysulle fase di stati dimomento angolare. Vedi dopo.Esempio 1.Rappresentazione matriciale per il caso di spin 1/2 ( j = 1

2.)


In questo caso, la componenteJz avra solo autovalori possibilim=± 12. L’insieme degli

elementi di matrice diJi , i = 1,2,3 puo essere rappresentato da tre matrici 2×2,

〈1/2,m′|J1|1/2,m〉 =12(σ1)m′,m;

〈1/2,m′|J2|1/2,m〉 =12(σ2)m′,m;

〈1/2,m′|J3|1/2,m〉 =12(σ3)m′,m, (4.102)

con

σ1 =

(

0 11 0

)

, σ2 =

(

0 −ii 0

)

, σ3 =

(

1 00 −1

)

. (4.103)

Queste matrici sono chiamatematrici di Pauli. In tale notazione, le matrici di Pauli agisco-no sullo spazio dispinori,

(

c1

c2

)

= c1

(

10

)

+c2

(

01

)

, (4.104)

dove gli spinori di base(

10

)

= |1/2,1/2〉= |↑〉,(

01

)

= |1/2,−1/2〉= |↓〉, (4.105)

rappresentano stati dispin upe di spin down.Si noti che i tre matrici di Pauli (piu precisamente,1

2σi ) obbediscono alla stessa algebradel momento angolare, (4.16),

[σi

2,

σ j

2] = i εi jk

σk

2. (4.106)

In altre parole, le tre matricirappresentanol’algebra del gruppoSO(3). Le matrici di Paulihanno seguenti proprieta importanti,

σ2i = 1, (i = x,y,z); σi σ j = −σ j σi = i εi jk σk, (i 6= j). (4.107)

Esempio 2.Momento angolare orbitale conℓ = 1.

Y1,0 = 〈θ,φ|1,0〉 = i

√

34π

cosθ. (4.108)

Y1,±1 = 〈θ,φ|1,±1〉 = ∓i

√

38π

sinθe±iφ. (4.109)

D’altra parte

L+ = eiφ(∂

∂θ+ i cotθ

∂∂φ

) (4.110)

percio

L+Y1,0 = −i

√

34π

sinθeiφ. (4.111)

Per esempio, l’elemento di matrice diL+ tra gli stati|1,0〉 e |1,1〉 risulta

〈1,1|L+|1,0〉 =

Z

dθ sinθdφY∗1,1L+Y1,0

=

√

34π

√

38π

Z π

0dθsinθsin2 θ

Z 2π

0dφ =

√2. (4.112)

Questo e in accordo con il risultato generale (4.96). (Vuoldire che la convenzione difase delle funzioni armoniche sferiche adottata da noi e compatibile con la convenzione diCondon-Shortley.)


4.1.7 Composizione dei momenti angolari

Consideriamo ora sistemi con piu di un momento angolare. Essi potrebbero essere duemomenti di tipo orbitale, due spin (due particelle con spin)oppure il momento angolareorbitale e lo spin della stessa particella, etc. Si vuole sapere quali sono i valori del momentoangolari totali, e qual’‘e la relazione tra gli stati del momento angolare totale e gli stati dimomenti angolari componenti.

La legge di addizione di due momenti angolari,J1 eJ2 segue dall’algebra dei momentiangolari.

Il momento angolare totale e definito da

J = J1⊗1+1⊗J2≡ J1 +J2 (4.113)

dove[J1i ,J2 j ] = 0. (4.114)

Grazie a questa seconda relazione, il momento angolare totale soddisfa la regola di com-mutazione standard,

[Ji ,Jj ] = iεi jkJk. (4.115)

Una domanda a cui si vuole rispondere e:Dati due numeri quanticij1 e j2 dei momenti angolariJ1 e J2, quali sono i possibili valoridel numero quanticoj del momento angolare totale? (A)

Ci sono due basi naturali degli stati di momento angolare:(i) una base in cui gli operatoriJ2

1, J1z, J22, eJ2z sono diagonali, con autostati indicati con

| j1,m1, j2,m2〉 = | j1,m1〉⊗ | j2,m2 = | j1,m1〉| j2,m2〉, (4.116)

e con proprietaJ2

1| j1,m1, j2,m2〉 = j1( j1 +1)| j1,m1, j2,m2〉; (4.117)

J2z| j1,m1, j2,m2〉 = m2| j1,m1, j2,m2〉, ecc. (4.118)

Alternativamente si puo prendere(ii) una base in cuiJ2, Jz, J2

1, e J22, sono diagonali, con autostati

| j1, j2;J,M〉 (4.119)

con proprietaJ2| j1, j2;J,M〉 = J(J+1)| j1, j2;J,M〉, (4.120)

Jz| j1, j2;J,M〉 = M| j1, j2;J,M〉, (4.121)

ecc.Chiameremo queste come la prima e la seconda base rispettivamente, in seguito.Esercizio: Verificate che i due gruppi di operatori sopra formano ambedue infatti

osservabili massimali.La seconda domanda, strettamente legata alla domanda (A), `e dunque questa:

Qual’e la relazione tra gli stati| j1,m1, j2,m2〉 e gli stati| j1, j2;J,M〉?Partiamo con lo stato in cuim1,m2 prendono tutti i due i valori massimi possibili, cioe

lo stato “piu alto| j1, j1, j2, j2〉 = | j1, j1〉| j2, j2〉, (4.122)

della prima base. Visto cheM = m1+m2, (Jz ovviamente commuta sia conJ1z che conJ2z)lo stato (4.122) corrisponde allo stato conM massimo. PoicheJ ≥ M questo vorra dire chelo stato (4.122) corrisponde anche all’autovaloreJ massimo possibile. Ora

J2| j1, j1, j2, j2〉 = (J21 +J2

2 +2J1 ·J2)| j1, j1, j2, j2〉= (J2

1 +J22 +J1+J2− +J1−J2+ +2J1zJ2z)| j1, j1, j2, j2〉

= ( j1 + j2)( j1 + j2 +1)| j1, j1, j2, j2〉. (4.123)


Lo stato (4.122) e quindi infatti un autostato diJ2 e il numero quantico corrispondente ej1 + j2, cioe

Jmax= j1 + j2. (4.124)

Allo stesso tempo abbiamo dimostrato l’equivalenza

| j1, j1, j2, j2〉 = | j1, j2; j1 + j2, j1 + j2〉, (4.125)

i.e., l’equivalenza tra lo stato “piu alto” della prima base e lo stato conJmax e Mmax= Jmax

della seconda base.(Per essere preciso, la fase relativa tra i due membri della (4.125) e arbitrariamente statamessa uguale a 1. Questa scelta fa parte della “convenzione di Condon-Shortley”.)

Applichiamo ora l’operatoreJ− = J1−+J2− sullo stato (4.125). Da una parte troviamoche

J−| j1, j2; j1 + j2, j1 + j2〉 =√

2( j1 + j2)| j1, j2; j1 + j2, j1 + j2−1〉, (4.126)

dove abbiamo usato (4.101); d’altra parte usando la stessa formula perJ1− e perJ2−, siottiene

(J1− +J2−)| j1, j1, j2, j2〉 =√

2 j1| j1, j1−1, j2, j2〉+√

2 j2| j1, j1, j2, j2−1〉. (4.127)

Percio si e trovata la seconda relazione,

| j1, j2; j1 + j2, j1 + j2−1〉=

√

j1j1 + j2

| j1, j1−1, j2, j2〉+√

j2j1 + j2

| j1, j1, j2, j2−1〉.

(4.128)Si noti che l’applicazione diJ− non puo cambiare il numero quanticoJ = j1 + j2 (eanalogamenteJ1− non modifica l’autovalore diJ2

1.Si osservi che due stati linearmente indipendenti della prima base conM = j1 + j2−1

appaiono nelle eq.(4.126), (4.127), e (4.128). Nella seconda base questi devono avereJ = j1 + j2 uno, eJ = j1 + j2−1 l’altro. Il primo corrisponde alla combinazione linearetrovata sopra, (4.128). L’altro stato, conJ = j1 + j2 − 1 deve essere ortogonale a quellostato, quindi a parte la fase (che va determinata con un’opportuna convenzione) deve essereuguale a

| j1, j2; j1+ j2−1, j1+ j2−1〉= eiα(

√

j2j1 + j2

| j1, j1−1, j2, j2〉−√

j1j1 + j2

| j1, j1, j2, j2−1〉)

(4.129)doveα e la fase indeterminata per il momento.

Procedendo in maniera analoga, e applicandoJ− = J1− + J2− su due stati (4.128) e(4.129), si ottengono due stati

| j1, j2; j1 + j2, j1 + j2−2〉, | j1, j2; j1 + j2−1, j1 + j2−2〉, (4.130)

conM = j1+ j2−2, in termini di tre stati nella prima base. Il terzo stato conM = j1+ j2−2, per esclusione, deve essere lo stato| j1, j2; j1 + j2−2, j1+ j2−2〉: esso e determinato (aparte la fase) dalla condizione di ortogonalita con gli stati (4.130). E cosı di seguito.

Continuando in questo modo, all’n-sima volta che si applicaJ− = J1− + J2− si otteran+ 1 stati, di cui uno corrisponde ad un nuovo multipletto conJ = j1 + j2 − n. Si notiche ad ogni passaggio il numero di stati linearmente indipendenti ad un fisso valore diMaumenta di uno. Questo accade finchen < Min{2 j1,2 j2}. Quandon = 2 j1, per esempio(supponendoj1 < j2), un ulteriore applicazione diJ1− annulla lo stato| j1,− j1, j2, j2〉 per-cio il numero di stati linearmente indipendenti conM = j2− j1−1 e uguale al numero ditali stati conM = j2− j1.


Troviamo cosı che il valore minimo possibile (supponendoj1 < j2) di J e j2− j1. Pergenerici j1 e j2 si ha

J = j1 + j2, j1 + j2−1, j1 + j2−2, . . . , | j1− j2|. (4.131)

Come verifica contiamo il numero totale degli stati linearmente indipendenti, aventi inumeri quanticij1 e j2. Nella prima base esso e dato da

(2 j1 +1)(2 j2+1), (4.132)

che e semplicemente il prodotto dei numeri delle componenti dei due multipletti.Nella seconda base (supponendoj1 < j2), esso e calcolato, sapendo (4.131), con la

formula

j2+ j1

∑J= j2− j1

(2J+1) = 2 · 12[( j2 + j1)( j2 + j1 +1)− ( j2− j1−1)( j2− j1)]+2 j1+1

= (2 j1 +1)(2 j2+1), (4.133)

che dimostra la consistenza del risultato (4.131) trovato sopra.

Esempio j1 = j2 = 1. Ci sono in questo caso 9 stati linearmente indipendenti, checorrispondono a 5 stati conJ = 2, a 3 stati conJ = 1, e uno stato conJ = 0.

Esempio Il caso conj1 = j2 = 12 e di particolare importanza.E di uso comune indicare

gli stati di singolo spin come(

10

)

= |1/2,1/2〉,(

01

)

= |1/2,−1/2〉 (4.134)

(spin “up e spin “down); i quattro stati della prima base sono(

10

)

1

(

10

)

2,

(

10

)

1

(

01

)

2,

(

01

)

1

(

10

)

2,

(

01

)

1

(

01

)

2. (4.135)

Gli operatori sono

stot = s1 +s2; s1 =12

σ1; s2 =12

σ2; (4.136)

dove le matriciσ1,σ2 sono matrici di Pauli, (4.103). Per esempio,

s1+ =12(σ1x + iσ1y) =

(

0 10 0

)

1. (4.137)

Applichiamo sugli stati (4.135) l’operatore

s2tot =

32

+2s1 ·s2 =32

+s1+s2− +s1−s2+ +2s1zs2z. (4.138)

Troviamo

s2tot

(

10

)

1

(

10

)

2= 2

(

10

)

1

(

10

)

2; (4.139)

e analogamente per

(

01

)

1

(

01

)

2. In altre parole questi due stati sono autostati dello spin

totale, constot = 1.D’altra parte,

s2tot

(

10

)

1

(

01

)

2=

(

10

)

1

(

01e

)

2+

(

01

)

1

(

10

)

2; (4.140)


e

s2tot

(

01

)

1

(

10e

)

2=

(

10

)

1

(

01

)

2+

(

01

)

1

(

10

)

2. (4.141)

Questi due stati non sono autostati dis2tot. E facile trovare tuttavia gli autostati dis2

tot: essisono le combinazioni “spin paralleli e “spin antiparalleli,

|par〉 ≡ {(

10

)

1

(

01

)

2+

(

01

)

1

(

10

)

2}/

√2; (4.142)

|anti〉 ≡ {(

10

)

1

(

01

)

2−(

01

)

1

(

10

)

2}/

√2. (4.143)

Infatti essi soddisfanos2tot|par〉 = 2|par〉; (4.144)

s2tot|anti〉 = 0, (4.145)

dimostrando che il primo corrisponde astot = 1, il secondo astot = 0. Ricapitolando, iltripletto di stati

(

10

)

1

(

10

)

2, {

(

10

)

1

(

01

)

2+

(

01

)

1

(

10

)

2}/

√2;

(

01

)

1

(

01

)

2, (4.146)

di spin 1 e un singoletto

{(

10

)

1

(

01

)

2−(

01

)

1

(

10

)

2}/

√2 (4.147)

di spin 0 costituiscono la seconda base di stati.Nella notazione piu pittoresca utilizzata spesso, gli stati di tripletto sono

|↑〉 |↑〉, |↑〉 |↓〉+ |↓〉 |↑〉√2

, |↓〉 |↓〉, (4.148)

mentre il singoletto e la combinazione antisimmetrica

|↑〉 |↓〉− |↓〉|↑〉√2

. (4.149)

4.1.8 Coefficienti di Clebsch-Gordan

Rispondiama ora alla seconda domanda che si era posta all’inizio del sottocapitolo pre-cedente. Ciascun stato della prima base puo essere sviluppato in termini di quelli dellaseconda base:

| j1,m1, j2,m2〉 = ∑J,M

| j1, j2;J,M〉〈 j1, j2;J,M| j1,m1, j2,m2〉, (4.150)

dove nella somma suM attualmente un solo termine (conM = m1 + m2) e non nullo. La(4.150) puo essere vista come relazione di completezza degli stati di momento angolare. Icoefficienti di sviluppo,

〈 j1, j2;J,M| j1,m1, j2,m2〉 ≡ 〈J,M| j1,m1, j2,m2〉 (4.151)

sono chiamaticoefficienti di Clebsch-Gordan.Vice versa, ogni autostato diJ2, Jz, puo essere espresso come una combinazione lineare

di stati dell’altra base:

| j1, j2;J,M〉 = ∑m1,m2

| j1,m1, j2,m2〉〈 j1,m1, j2,m2| j1, j2;J,M〉. (4.152)


I coefficienti di sviluppo in questo caso sono semplicementeconiugati complessi di quellinella (4.150):

〈 j1,m1, j2,m2| j1, j2;J,M〉 = 〈 j1, j2;J,M| j1,m1, j2,m2〉∗. (4.153)

Anche questi sono chiamati coefficienti di Clebsch-Gordan.I coefficienti che abbiamo trovato nelle (4.125), (4.128), e(4.129), sono infatti esempi

di coefficienti di Clebsch-Gordan. Come abbiamo gia notato, i coefficienti di Clebsch-Gordan dipendono dalla convenzione di fase di stati di momento angolare. La convenzio-ne frequentemente usata (che adotteremo anche noi) si chiama convenzione di Condon eShortleye consiste nell’imporre le seguenti tre condizioni:

1. I massimi stati delle due basi sono identificati con il coefficiente 1, (4.125): questaconvenzione fissa la fase relativa globale tra la prima e la seconda base;

2. Tutti gli elementi di matrice degli operatori,J1−, J2−, J− sono reali e semipositividefiniti: questa condizione fissa le fasi relativi tra gli stati nello stesso multipletto;

3. Gli elementi di matrice,〈 j1, j2;J,M|J1z| j1, j2;J±1,M〉 (4.154)

sono reali e semipositivi definiti.

Non e difficile dimostrare che queste tre condizioni fissanounivocamentetutte le fasirelativi tra gli stati, in modo esauriente e consistente. Vedi per es., il libro di Edmonds,“Angular Momentum in Quantum Mechanics”.

I coefficienti di Clebsch-Gordan per i primi valori dij1, j2 sono dati nella tabella se-guente. In programma Mathematica, il commando input per ottenere il coefficiente di C-G,〈 j1, j2;J,M| j1,m1, j2,m2〉 ≡ 〈J,M| j1,m1, j2,m2〉 e semplicemente

ClebschGordan [{j1, m1}, {j2, m2},{J, M}]

4.1.9 Spin

Ritorniamo ora alla proprieta di trasformazione della funzione d’onda per rotazioni degliassi delle coordinate. Per una particella senza spin, la funzione d’onda si trasforma, peruna rotazione attorno alla direzione di un vettoreω, secondo la regola (vedi (4.26)):

r → r ′ = r −ω× r + . . .; (4.155)

ψ(r) → ψ(r) = ψ(r ′ + ω× r ′)

= ψ′(r ′) = eiω·L ψ(r ′). (4.156)

In altre parole, perS= 0, il valore della funzione d’onda sullo stesso punto fisico noncambia, ma dovuto al cambiamento delle coordinate, “la forma funzionale rispetto allenuove coordinate e modificata.

Questo significa che la funzione d’onda forma una rappresentazione del gruppo di ro-tazione,SO(3). Ora dal punto di vista della teoria dei gruppi e importantesapere qualisono le rappresentazioniirriducibili , cioe oggetti che si trasformano tra di loro. Come echiaro intuitivamente, poiche una rotazione tridimensionale non puo cambiare la grandezzadel momento angolare, le rappresentazioni irriducibili corrispondono esattamente aimul-tipletti di stati di momento angolare definito (autostati del momentoangolare quadrato).Nel caso di una particella senza spin, allora, essi sono le armoniche sfericheYℓ,m(θ,φ),m= ℓ,ℓ−1, . . .− ℓ. Una funzione d’onda generica puo essere sviluppata in termini di taliarmoniche,

ψ(r) = ∑ℓ,m

Rℓ,m(r)Yℓ,m(θ,φ). (4.157)


Allora il cambiamento della forma funzionale della funzione d’onda (4.156) significa

ψ → ψ′ = eiω·L ψ

= ∑ℓ,m

Rℓ,m(r)eiω·LYℓ,m(θ,φ). (4.158)

Ma poiche gli operatoriL non possono cambiare il valore diℓ si avra

eiω·LYℓ,m(θ,φ) =ℓ

∑m′=−ℓ

Dℓm′,m(ω)Yℓ,m′ , (4.159)

dove la matriceDℓ

m′,m(ω) ≡ 〈ℓ,m′|eiω·L |ℓ,m〉, (4.160)

e chiamatamatrice di rotazione.La funzione d’onda di particella con spins ha 2s+ 1 componenti; essa si trasforma

secondo la legge

ψ → eiω·(L+s) ψ, (4.161)

ψ(r) =

ψ1(r)ψ2(r)

...ψ2s+1(r)

. (4.162)

L’operatoreL agisce sulla dipendenza dar di ciascun componente, mentre lo spinsagiscesullo spazio di spinore,

ψ′σ = ∑

σ′

(

eiω·s)

σ,σ′ψσ′ . (4.163)

I suoi elementi di matrice sono esattamente determinati dalle (4.98), (4.99), (4.100) (leggiJ1 → sx, J2 → sy, J3 → sz,). Le componenti del momento angolare totale

J = L +s (4.164)

obediscono alla regola standard del momento angolare.Nota 1

Se l’HamiltonianaH e indipendente dallo spin, il sistema puo avere la funzione d’ondafattorizzata:

ψσ(r) = ψ(r)χσ. (4.165)

Per esempio, questo e il caso per l’Hamiltoniana dell’atomo di idrogeno nell’approssimaz-ione non relativistica

H = − h2

2m∇2− e2

r. (4.166)

Le prime correzioni relativistiche ad essa sono date dai termini

∆H = − p4

8m3 +e2

2m2r3 L ·s+πe2

2m2 δ3(r). (4.167)

Si osservi che l’Hamiltoniana totaleH + ∆H e invariante per rotazioni. Infatti

[J,H + ∆H] = 0, (4.168)

doveJ = L +s. (Esercizio: Dimostratela.)Nota 2

Nel caso di spin 1/2 l’operatore di spin e rappresentato da tre matrici di Pauli, si =12σi .

Un’identita molto utile eeia·σ = cos|a|+ i

a|a| ·σ sin|a|, (4.169)

dovea e un vettore costante. (Problema: Dimostrate la (4.169) usando le proprieta dellematrici di Pauli, (4.107) ).


4.1.10 Matrici di rotazione: spin 12

La funzione d’onda di spin (pers= 12) si trasforma, per una rotazione di angoloφ attorno

alla direzionen, come

χ → exp(i2

φ(n ·σ))ψ ≡U(φn)ψ. (4.170)

Con l’uso dell’identita (4.169) la matrice di rotazione puo essere calcolato esplicitamente:

U(φn) = cosφ2

+ in ·σsinφ2. (4.171)

Per esempio, per una rotazione attorno all’assez,

Uz(φ) =

(

eiφ/2 00 e−iφ/2

)

; (4.172)

mentre per rotazioni attorno agli assix e y

Ux(φ) =

(

cosφ2 i sin φ

2i sin φ

2 cosφ2

)

;

Uy(φ) =

(

cosφ2 sin φ

2−sin φ

2 cosφ2

)

. (4.173)

Si osservi che per una rotazioni di angolo 2π,

Ux(2π) = −1; Uy(2π) = −1; Uz(2π) = −1 : (4.174)

la funzione d’onda di una particella con spin 1/2 cambia segno! In questo senso (dal puntodi vista della teorie dei gruppi ) questi sono le rappresentazioni di particolare tipo (detta“proiettiva o “spinoriale) del gruppo di rotazioniSO(3); spinori sono proprio i nomi dati aquesti oggetti. Ivettorisi trasformano esattamente comer e percioU(2π) = 1 per essi.(Esercizio: Si verifichi che le matriciUx(φ),Uy(φ),Uz(φ) sono infatti unitarie.)

La matrice di rotazione per una generica rotazione e di solito espressa in termini di treangoli di Eulero,α, β e γ.

D1/2 ≡U(α,β,γ) = Uz(γ)Uy(β)Uz(α)

=

(

ei(α+γ)/2cosβ2 e−i(α−γ)/2sin β

2

−ei(α−γ)/2sin β2 e−i(α+γ)/2cosβ

2

)

. (4.175)

NotaLe proprieta di trasformazione (matrici di rotazione) perparticelle di spinS= n

2, n =1,2,3, . . . generico possono essere trovate nel seguente modo. Prendiamo n spinori (cia-scuno cons = 1/2) e costruiamo i loro prodotti,totalmente simmetriciper scambi dinspinori. Ci sono esattamenten+ 1 tali combinazioni, analoghe al tripletto di stati (4.146)nel caso particolaren = 2. E ovvio che le rotazioni non possono cambiare le proprieta disimmetrie, dunque questin+ 1 oggetti si trasformano tra di loro per rotazioni (i.e., e unarappresentazione irriducibile). Dal numero quantico azimutale dello “stato piu alto,

(

10

)

1

(

10

)

2. . .

(

10

)

n(4.176)

(Sz = n/2) si apprende che queston+1 -pletto di stati corrispondono ad uno spinS= n/2.Percio la matrice di rotazione perS generico e semplicemente il prodotto tensoriale din = 2Smatrici (4.175), simmetrizzati per scambi din indici.

Da quanto sopra segue che le funzioni d’onda di spin interi (n pari) qualsiasi ritornanoa se stesso dopo una rotazione di angolo 2π, mentre le funzionei d’onda di particelle conspin semiinteri cambiano segno.


4.1.11 Teorema di Wigner-Eckart

Consideriamo uno stato descritto dalla funzione d’ondaψ0(r): una funzione d’onda di-pendente solo dal modulor = |r | della posizione. Ovviamente tale stato e invariante perrotazioni,i.e., e uno stato diℓ = 0. Ora, gli stati

ψi(r) = cost.r i ψ0(r) (4.177)

ottenuti con l’azione di un operatore vettoriale suψ0(r) hanno inveceℓ = 1, essendo pro-porzionali aY1,m(θ,φ). Il valore diℓ, quindi le corrispondenti proprieta per rotazioni, natu-ralmente non dipendono dal dettaglio dell’operatore (e dello stato), la stessa conclusione evalida per

ψ′i(r) = cost.pi ψ0(r) (4.178)

Generalizzando questa discussione al generici stati di momento angolare e generici opera-tori, si arriva ad un teorema importante dovuto a Wigner e Eckart.

Un operatoreO si trasforma come

O→ eiω·J Oe−iω·J; (4.179)

mentre uno stato qualsiasi come

| 〉 → eiω·J| 〉. (4.180)

Abbiamo visto che particolari stati, quelli col momento angolare definito (J,M), si trasfor-manoin un modo semplice e universale(vedi (4.159)),

|J,M〉 → ∑M′

DJM,M′ (ω)|J,M′〉. (4.181)

Si noti che la matrice di rotazione di spinJ e nota una volta per tutte; essa non dipendene dai dettagli dinamici della funzione d’onda ne dalla natura del momento angolare stesso(i.e., se esso e dovuto ad un moto orbitale o se si tratta di spin; se il sistema e elementare ocomposto, ecc. ), ma dipende solo dal valore dij.

Analogamente certi operatori si trasformano in un modo semplice. Operatori comer2,p2, U(r), sonoscalari: essi sono invarianti per rotazioni. Operatorir , p, eJ, per esempio,sonovettori. I prodotti di vettori sono genericamente chiamatitensori.

Per lo studio delle proprieta della trasformazione per rotazioni spaziali, e convenienteriorganizzare le componenti dei tensori (normalmente espressi in termini di componenticartesiane), e introdurre la nozione ditensori sferici. Un operatore tensoriale sferico dirango 1 e equivalente ad un vettore(Ax,Ay,Az) ma le sue componenti sono chiamateT1,m,m= 1,0,−1, dove

T1,1 = −iAx + iAy√

2; T1,0 = iAz; T1,−1 = i

Ax− iAy√2

. (4.182)

Nel caso dell’operatorer , il tensore sferico corrispondente e semplicemente

T1,1 = −ix+ iy√

2; T1,0 = iz; T1,−1 = i

x− iy√2

: (4.183)

essi sono proporzionali alle funzioni armoniche sfericheY1,1,Y1,0, eY1,−1. (Vedi (4.84).)Le relazioni inverse,

Ax = iT1.1−T1,−1√

2; Ay =

T1,1 +T1,−1√2

; Az = −iT1,0, (4.184)

sono anche esse utili.

4.2. POLINOMI DI LEGENDRE 133

II tensore sferico di rango 2 (di “spin 2 ) e, in termini di componenti cartesiane deltensore simmetrico (Axx,Axy = Ayx, ecc),

T2,0 =

√

16(Axx+Ayy−2Azz);

T2,±1 = ±(Axz± iAyz);

T2,±2 = −12(Axx−Ayy±2iAxy). (4.185)

Per costruzione i tensori sferici di “spinp con 2p+1 componenti si trasformano con lasemplice legge

Tqp ⇒ eiω·J Tq

pe−iω·J = ∑q′

Dpq,q′T

pq′ . (4.186)

Vuol dire che l’azione diTqp sullo stato| j,m;n〉 produce uno stato

Tqp | j,m;n〉 (4.187)

che si trasforma esattamente come lo stato

|p,q〉⊗ | j,m〉, (4.188)

i.e.,

Tqp | j,m;n〉 ⇒ eiω·J Tq

p | j,m;n〉 = eiω·J Tqpe−iω·J eiω·J | j,m;n〉

= ∑q′,m′

Dpq,q′ D

jm,m′ T

pq′ | j,m

′;n〉. (4.189)

Di conseguenza gli elementi di matrice

〈J,M;n′|Tqp| j,m;n〉 (4.190)

doven,n′ indicano tutti gli altri numeri quantici (e.g., radiale, tipo di particelle, ecc.) sonoproporzionali ai coefficienti di Clebsch-Gordan,

〈J,M;n′|Tqp| j,m;n〉 = 〈p, j;J,M|p,q, j,m〉〈J,n′‖Tp‖ j,n〉, (4.191)

(teorema di Wigner-Eckart). Nella (4.191) il coefficiente di proporzionalita,〈J,n′‖Tp‖ j,n〉, chiamatoelemento di matrice ridotto, dipende solo dalla grandezza deimomenti angolari e altri numeri quantici dinamici, ma non dai numeri quantici azimutali.Tutte le dipendenze azimutali sono contenute nei coefficienti di Clebsch-Gordan che sonouniversali. La (4.191) e molto potente: essa fornisce relazioni non banali tra numerosielementi di matrice (che differiscono solo perM,q,m) in termini di una sola quantita.

4.2 Polinomi di Legendre

Per cominciare, consideriamo l’eq.(4.77) perm= 0. L’equazione e

{ ddx

(1−x2)ddx

+ ℓ(ℓ+1)}Θ = 0, (4.192)

oppure(1−x2)Θ

′′ −2xΘ′+ ℓ(ℓ+1)Θ = 0. (4.193)

Una delle soluzioniPℓ(x) puo essere prese finita nell’intervallo−1≤ x≤ 1: essa e chiamatail polinomio di Legendre. (L’altra soluzione, indicata conQℓ(x) non e finita ax = ±1. )


Come per i polinomi di Hermite, le proprieta dei polinomi diLegendre possono esserestudiate con aiuto di una funzione generatrice, che in questo caso e data da

T(x,s) = (1−2sx+s2)−1/2 =∞

∑ℓ=0

Pℓ(x)sℓ, s< 1, (4.194)

doves e un parametro arbitrario,x = cosθ. I primi polinomi possono essere trovati facil-mente da (4.194):

P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) =12(3x2−1),

P3(x) =12(4x3−3x), P4(x) =

18(35x4−30x2+3), (4.195)

ecc.E nota una formula semplice e esplicita perPℓ(x) (formula di Rodrigue)

Pℓ(x) =1

2ℓℓ!dℓ

dxℓ(x2−1)ℓ. (4.196)

Pℓ(x) sono normalizzati con la condizione

Z 1

−1dxPℓ(x)Pℓ′(x) =

22ℓ+1

δℓ,ℓ′ , (4.197)

e soddisfa inoltrePℓ(1) = 1; Pℓ(−1) = (−)ℓ. (4.198)

Il fatto che i polinomi di Legendre definiti da (4.194) soddisfano l’equazione di Le-gendre (4.193) segue da certe equazioni di ricorrenza, che asua volta si ottengono dalleconsiderazioni delle derivate∂T(x,s)/∂x e ∂T(x,s)/∂s.

Infine, i polinomi associati di LegendrePmℓ (x) possono essere ottenuti daPℓ(x) via la

relazione

Pmℓ (x) = (x2−1)m/2 dm

dxmPℓ(x) : (4.199)

il fatto chePmℓ (x) e la soluzione regolare della (4.77) si dimostra facendomderivatedm/dxm

dell’eq.(4.193) e considerando l’equazione per(1−x2)m/2dm/dxmΘ. (vedi,i.e., Whittakerand Watson, “Modern Analysis’.)

4.3. GRUPPI E RAPPRESENTAZIONI: ELEMENTI DI TEORIA DEI GRUPPI 135

4.3 Gruppi e Rappresentazioni: Elementi di Teoria deiGruppi

4.3.1 Assiomi del gruppo e alcuni esempi

Un insiemeG, nel quale e definita l’operazione dimoltiplicazione,

a∈ G, b∈ G → c = a ·b∈ G, (4.200)

e chiamato gruppo se i seguenti assiomi sono soddisfatti:

i) associativita del prodotto:(a ·b) ·c= a · (b ·c); (4.201)

ii) esistenza dell’elemento unitae, tale che

ea= a (4.202)

per ogni elementoa∈ G;

iii) ogni elementoa possiede un’inverso (a sinistra),a−1

a−1 ·a = e. (4.203)

Un gruppoG e Abeliano (commutativo) se per ogni coppia dei suoi elementi vale

a ·b= b ·a, (4.204)

altrimenti il gruppo e non Abeliano.

Es. 1. L’insieme di numeri interi forma un gruppo (commutativo) per addizione, i.e., se lamoltiplicazione e definita come

a ·b≡ a+b. (4.205)

Es. 2. Gruppo di permutazione di tre oggetti (A, B, C) messi in posizioni 1,2,3: ci sono seielementi nel gruppo,

e : (ABC) → (ABC);

(12) : (ABC) → (BAC);

(23) : (ABC) → (ACB);

(31) : (ABC) → (CBA);

(123) : (ABC) → (CAB);

(321) : (ABC) → (BCA). (4.206)

La regola di moltiplicazione si trova direttamente, per es.(12) · (23) = (123); (23) ·(123) = (31); ecc. (N.B. l’operazione che sta a destra va eseguita per prima).

Es. 3. L’insieme di matrici complesseN×N con determinante unitario,

G = {M : detM = 1}, (4.207)

in cui la moltiplicazione e definita normalmente col prodotto matriciale, forma il gruppolineare specialeSL(N,C).

Es. 4. L’insieme di matrici ortogonalid×d reali con determinante unitario,

G = {O : OTO = 1;detO = 1}, (4.208)


forma il gruppo ortogonale,SO(d). Gli elementi di questo gruppo possono essere identi-ficati con tutte le possibili rotazioni tri-dimensionali (per d = 3) degli assi di coordinate.SO(d) puo essere definito come gruppo degli operatori di trasformazione (rotazioni) nellospazio di vettorid, che lasciano invariante il modulo quadrato,

xT ·x (4.209)

dei vettori.Es. 5. L’insieme di matrici unitarieN×N complesse,

G = {U : U†U = 1;}, (4.210)

forma il gruppo untarioU(N). Le matrici unitarie con detU = 1 formano il gruppo unitariospeciale,SU(N).Es. 6. Il gruppo di Lorentz e formato dalle matrici 4×4 reali,L, che lasciano invariante lametrica

g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

, (4.211)

i.e.,LtgL = g. (4.212)

Equivalentemente, il gruppo di Lorentz e il gruppo di trasformazioni quadrivettoriali(t,x,y,z)che lasciano invariante

xµxµ = t2−x2−y2−z2. (4.213)

N.B. I gruppi degli esempi 2 - 6 sopra sono non Abeliani, ad eccezione delSO(2) (gruppodi rotazioni nel pianox−y) che e commutativo.Esercizio Dimostrare che il gruppo unitarioU(n), visto come gruppo di trasformazionisullo spazio vettoriale complesson dimensionale, lascia invariata la forma quadratica (o ilprodotto scalare Hermitiano)

z† ·z =n

∑i=1

z∗i zi , (4.214)

dove(z1,z2, . . . ,zn) sono le componenti di un vettore complesso qualsiasi.

Prodotto diretto dei gruppiDati due gruppiG e H, il prodotto direttoG⊗H e definito dagli elementi(g,h) dove

g∈ G, h∈ H, e i loro prodotti sono definiti da

(g1,h1) · (g2,h2) = (g1g2, h1h2). (4.215)

4.3.2 Rappresentazione del Gruppo

Dato un gruppoG, l’insieme R di matrici N×N (con N finito o infinito) M, forma unarappresentazionedel gruppoG, se ad ogni elementog di G corrisponde un elemento diR;

g→ M(g) ∈ R, (4.216)

tale cheM(g1)M(g2) = M(g1g2), (4.217)

i.e., tale che la legge di moltiplicazione sia conservata.


In Meccanica Quantistica gli operatori lineariO possono essere visti equivalenementecome matrici (finite o infinito-dimensionali) tramite la corrispondenza,

Omn = 〈m|O|n〉, (4.218)

dove{|m〉} e una base completa e ortonormale di stati. Le rappresentazioni di un gruppoin termini di operatori lineari possono essere unitarie o non unitarie. Le rappresentazioniin termini di matrici unitarie sonorappresentazioni unitarie.

Es. 1. Il gruppo di permutazione ha una rappresentazione,

M(e) =

1 0 00 1 00 0 1

; M(12) =

0 1 01 0 00 0 1

; M(13) =

0 0 10 1 01 0 0

; (4.219)

M(23) =

1 0 00 0 10 1 0

, M(123) =

0 0 11 0 00 1 0

; M(321) =

0 1 00 0 11 0 0

.

(4.220)

Se esiste una trasformazione di similitudine,S, tale che

M(g) = SM(g)S−1, ∀g∈ G, (4.221)

le rappresentazioniM(g) e M(g) sono equivalenti.Def. Una rappresentazione di un gruppoG e dettoriducibile se essa e equivalente ad unarappresentazione di forma blocco-diagonale,

M(g) =

(

M1(g) 00 M2(g)

)

, ∀g∈ G; (4.222)

altrimenti esso eirriducibile .Lo spazio lineare di vettori in cui agiscono le matriciM(g) e chiamatospazio delle

rappresentazioni.Nelle applicazioni in Meccanica quantistica lo spazio delle rappresentazioni e lo spazio

delle funzioni d’onda. Ma poiche gli stati quantistici di un dato sistema sono descritti dairaggi nello spazio di Hilbert (i.e.,ψ ∼ cψ, c 6= 0), in generale dovremo permettere unarappresentazione di tipo generalizzato, i.e.,

ψ →U(g)ψ, U(g1) ·U(g2) = eiω(g1,g2)U(g1 ·g2), (4.223)

doveω e una fase che in generale dipende sia dag1 che dag2. Tale rappresentazione echiamata rappresentazione proiettiva.

4.3.3 Gruppo di Lie e Algebra di Lie

Consideriamo un gruppo continuoG. Gli elementi di un gruppo continuo dipendono dauno o piu parametri{α} in modo continuo,

g = g({α}). (4.224)

Es. Il gruppoSO(2) e un gruppo continuo, parametrizzato da un parametroθ, che prendevalore nell’intervallo 0≤ θ ≤ 2π.

La varieta (spazio) su cui vivono i parametri del gruppo e la varieta del gruppo. Quandola varieta del gruppo e una varieta analitica (rispetto ai suoi parametri) si ha un gruppo diLie. (La definizione piu precisa del gruppo di Lie si trova per es., in Barut and Raczka,


“Theory of Group Representations and Applications.) Se inoltre lo spazio dei parametri delgruppo e compatto (senza la pretesa di massima generalita, uno spazio chiuso e limitato),si ha un gruppo di Lie compatto. I gruppiSO(N) eSU(N) sono gruppi di Lie compatti.

Uno spazio in cui un cammino chiuso arbitrario e contrattibile in maniera continua adun punto e dettosemplicemente connesso.Nota: Uno spazio in cui due punti arbitrari sono connessi da un cammino continuo, e dettoinvececonnesso per archi.Es. La sferaS2 e uno spazio semplicemente connesso, poiche ovviamente ogni camminochiuso su di esso puo essere modificato ad un punto in modo continuo; l’anelloS1 (l’in-sieme dei punti(x,y) che soddisfanox2 +y2 = 1) non e semplicemente conesso perche sudi esso esistono cammini chiusi non contrattibili, ad es.,(cosnθ, sinnθ), 0≤ θ ≤ 2π, conn = 1,2, . . .); analogamente il toro (topologicamenteS1 ×S1) non e semplicemente con-nesso, anche se e connesso per archi. Infatti, ci sono infinite classi di cammini chiusi nonbanali su un toro (disegnateli), che sono non contrattibili.

Ogni rappresentazione di un gruppo di Lie compatto e equivalente ad una rappresen-tazione in termine di operatori unitari. Ogni elemento di ungruppo unitario che si possaottenere dall’elemento unita con una variazione continuadei parametri puo essere scrittocome

U({α}) = expiαaXa, (4.225)

dove αa, a = 1,2, . . .N sono parametri reali eXa sono operatori Hermitiani.Xa sonogeneratoridelle trasformazioni infinitesime,

U({ε}) ≃ 1+ iεaXa +O(ε2). (4.226)

Es. Non tutti gli elementi di un gruppo continuo sono ottenibilitramite una variazionecontinua dei parametri. Per es., il gruppoO(N) (gruppo ortogonale) contiene elementi condetO=−1 che non sono connessi all’elemento unita in maniera continua. Il gruppoSO(3)e connesso per archi ma non e semplicemente connesso (vedidopo).

I generatoriXa del gruppoG obbediscono le relazioni di chiusura

[Xa,Xb] = ∑c

i fabcXc, (4.227)

dove[Xa,Xb] ≡ XaXb−XbXa (4.228)

sono commutatori tra due operatoriXa e Xb. Le relazioni (4.227) formano l’algebradelgruppoG, g. Le costantifabc che caratterizzano le proprieta attorno all’unita del gruppodato sonocostanti di strutturadel gruppo.Momento angolare:L’algebra delle componenti del momento angolare tridimensionale el’algebraso(3), con generatori,J1,J2,J3. Le costanti di struttura sonofabc = εabc in questocaso. L’algebra del gruppoSU(2) e quella del gruppoSO(3) sono le stesse:su(2)∼ so(3).La struttura globale dei due gruppi e tuttavia diversa, il gruppoSO(3) non e semplicementeconnesso mentre il gruppoSU(2) lo e (vedi la nota successiva). Infatti, rotazioni tridimen-sionali possono essere parametrizzate in termini di tre angoli di Eulero, l’angoloα di unarotazione attorno all’assez(0≤ α ≤ 2π) ; l’angoloβ della rotazione attorno all’asse nuovoy (0 ≤ β ≤ π) ; e l’angoloγ della terza rotazione attorno all’assez nuovo(0 ≤ γ ≤ 2π).L’elementoM1 = (α,β,γ) = (π,0,π) coincide con l’identita come operazione di rotazione,per cui il cammino che connette l’unitae= (0,0,0) al puntoM1 e un cammino chiuso, manon contrattibile.

Nota: Gli elementi del gruppoSU(2) possono essere parametrizzati come

U =

(

a b−b∗ a∗

)

, (4.229)


con|a|2 + |b|2 = 1. (4.230)

(Verificate che le condizioniUU† = 1; e detU = 1 che definiscono un gruppoSU(N) sianosoddisfatte con le matrici suddette). Ponendoa= x1+ ix2 eb= x3+ ix4, la (4.230) si riducea

x21 +x2

2 +x23+x2

4 = 1, (4.231)

che dimostra che il gruppoSU(2) e topologicamenteS3 ed e percio semplicemente connes-so.Rappresentazione spinoriale:

La funzione d’onda di particelle di spin semi-interi e un esempio di rappresentazioneproiettiva (4.223). Infatti, le componenti di spin della funzione d’onda si trasformano, peruna rotazione tridimensionale degli assi delle coordinate, mediante la matrice di rotazione.Per spin 1/2 la matrice di rotazione e data nella (4.175). Esse si trasformano, per unarotazione di 2π, come

ψ →−ψ; (4.232)

esse fornisconorappresentazione spinorialedel gruppoSO(3).


4.4 Simmetrie in Meccanica Quantistica

4.4.1 Considerazioni generali

Il concetto della simmetria e le conseguenti leggi di conservazione non sono proprietaesclusive della Meccanica Quantistica. Basti ricordare illegame tra l’invarianza per tra-slazioni spaziali del sistema e la conservazione dell’impulso; quello tra l’omogeneita deltempo e la conservazione dell’energia, ecc., in Meccanica Classica. Tuttavia l’idea dellasimmetria porta le conseguenze piu profonde in Meccanica Quantistica.

Supponiamo che in un sistema esista un operatore unitarioS che commuta con l’Ha-miltoniana:

[S,H] = 0. (4.233)

Ma poicheS, essendo unitario, soddisfa la relazione

SS† = S†S= 1, (4.234)

la (4.233) e equivalente conS†HS= H : (4.235)

S e una trasformazione unitaria che lascia invariante l’Hamiltoniana. Abbiamo gia vistoalcuni esempi di tali operatori:

S= eiJ·ω (4.236)

che descrive una rotazione spaziale;

S= ei p·r0/h (4.237)

che rappresenta una traslazione.Una delle possibili conseguenze di una simmetria e la conservazione di una carica

(numero quantico) associata. Supponiamo infatti che lo stato |ψ〉 sia un autostato di unaquantita dinamica (operatore Hermitiano)G, tale che

S≃ 1− iεG+ . . . , (4.238)

i.e.,G e un generatore diS. Dalle (4.233) e (4.235) segue che

[G,H] = 0. (4.239)

Ora dall’ipotesi,G|ψ(0)〉 = g|ψ(0)〉. (4.240)

Lo stato all’istantet > 0 e dato da

|ψ(t)〉 = e−iHt/h|ψ(0)〉, (4.241)

per cuiG|ψ(t)〉 = Ge−iHt/h|ψ(0)〉 = e−iHt/hG|ψ(0)〉 = g|ψ(t)〉. (4.242)

Il sistema dunque rimane autostato diG durante l’evoluzione, la “caricag e conservata.La conservazione della carica elettrica nelle interazionifondamentali e dovuta a una

tale ragione. L’operatore di carica elettricaQ agisce sugli stati di particelle elementaricome

Q|e〉 = −e|e〉; Q|p〉 = +e|p〉; (4.243)

Q|n〉 = 0; Q|π+〉 = +e|π+〉, (4.244)

ecc., dove i ket indicano gli stati di un singolo elettrone, del protone, del neutrone, e delpione+, rispettivamente.Q commuta con l’Hamiltoniana di tutte le forze conosciute oggi

4.4. SIMMETRIE IN MECCANICA QUANTISTICA 141

(le forze gravitazionali; le forze elettrodeboli; le interazioni forti): questo fatto garanti-sce che la carica totale del sistema sia conservata. Si noti che in Meccanica Quantisticanonrelativistica che si studia in questo corso la conservazione della carica elettrica e unaconseguenza della conservazione del numero della particella; vice versa, nell’ambito rela-tivistico dove le particelle possono essere prodotte o distrutte la conservazione della caricaelettrica presenta una regola di selezione non banale.

Un’altra conseguenza della simmetria e la degenerazione dei livelli. Si consideri unostato stazionario

H|ψn〉 = En|ψn〉, (4.245)

e che esista un operatore HermitianoG che commuta conH. Supponiamo pero che lo stato|ψn〉 non sia un autostato diG:

G|ψn〉 6= cost.|ψn〉. (4.246)

Ma dalla commutativita diG conH segue che

H{G|ψn〉} = GH|ψn〉 = En{G|ψn〉} (4.247)

il che implica una degenerazione dello stato stazionario. Un tipico esempio e quello dovutoalla simmetria per rotazioni: se si prende{H,L2,Lz} come osservabili (operatori simulta-neamente diagonalizzati), la presenza di altri operatoriLx, Ly che commutano anche essicon H ma che non possono esere diagonali (non commutando conLz) implica che ognilivello e degenere (tranne lo stato conL2 = 0.)

4.4.2 Parita (P )

Ci sono le simmetriecontinue(come rotazioni, traslazioni) in cui l’operazione di simmetriae descritta da uno o piu parametri continui, e le simmetriediscreteche non hanno taliparametri. La parta ne e un esempio tipico. L’operazione di parita e definito da

P ψ(r) = ψ(−r) (4.248)

sugli stati, e daPO(r ,p)P−1 = O(−r ,−p) (4.249)

sugli operatori. Si tratta dunque di riflessione spaziale. Se H e invariante per riflessionespaziale,

PHP−1 = H (4.250)

(o equivalentemente,PH = HP ,) allora la parta e conservata (i.e.,P e un operatore disimmetria).

Visto cheP commuta con l’Hamiltoniana, gli stati stazionari possono scelti autostatianche diP . Gli autovalori di parita sono limitati a±1, perche ovviamente

P 2 = 1. (4.251)

Gli stati stazionari sono percio classificati secondo la parita:

P ψ(r) = ψ(−r) = +ψ(r) (4.252)

per gli stati di parita+;P ψ(r) = ψ(−r) = −ψ(r) (4.253)

per gli stati di parita−.La parita e un buon numero quantico quando il potenziale hala simmetria sferica,

V(r) =V(r), i.e., quando il momento angolare e conservato. Infatti per gli stati di momentoangolare definito,ψ(r) = R(r)Yℓ,m(θ,φ), si ha una semplice relazione,

P = 1, se ℓ = 2n, n = 0,1,2, . . . ; (4.254)


P = −1, se ℓ = 2n+1, n = 0,1,2, . . . . (4.255)

Tale relazione tra la conservazione del momento angolare e quella della parita, tuttavia,non significa che quest’ultima e una conseguenza del primo,in generale. Ci sono i casi incui il potenziale e invariante per riflessione spaziale,

V(−r) = V(r), (4.256)

percio la parita e conservata, ma in cui il momento angolare non e un buon numero quanti-co. Basti pensare un potenziale che dipende, per esempio, dalla combinazione,x2 +2y2+7z2.

Come un altro esempio in cui l’indipendenza della parita rispetto al momento angolaresi manifesta chiaramente, si consideri un sistema di due particelle, senza interazioni tra diloro, che si muovono in un campo (comune) a simmetria centrale. La funzione d’onda e ilprodotto di due funzioni d’onda, ciascuno un autostato di momento angolare orbitale, conℓ1, ℓ2. Il momento angolare totaleL potra prendere valori traℓ1 + ℓ2, ℓ1 + ℓ2−1, . . . , |ℓ1−ℓ2|. Il sistema e chiaramente un autostato di parita con l’autovalore,

P = (−)ℓ1+ℓ2, (4.257)

e questo in generale non coincide con(−)L.La parita e un concetto essenzialmente quantistica. La sua importanza in Meccanica

Quantistica e accentuata dal fatto che empiricamente alcune particelle elementari portano laparitaintrinsecanegativa, insieme all parita dovuta al moto orbitale. La situazine e analogaallo spin (il momento angolare “intrinseco, non legato al moto orbitale). Per esempio,

P |π〉 = −|π〉; P |K〉 = −|K〉; P |p〉 = +|p〉; (4.258)

P |n〉 = +|n〉; P |p〉 = −|p〉; (4.259)

ecc., dove i ket rappresentano gli stati di alcune particelle elementari al riposo, quindisprovvisti di momento angolare orbitale. Solo la parita totale (il prodotto di parita intrinsecae la parita del moto orbitale) e conservata.

Gli operatori di spin si trasformano per parita come quellodel momento angolare, i.e.,

PsP−1 = s : (4.260)

e pari. Al contrario, l’operatori dell’impulso ovviamente e dispari cosı come quello dellaposizione. In generale, gli operatori possono essere classificati secondo la loro parita, in-sieme al valore di spin: l’impulso, la posizione, il potenziale vettoriale, ecc., sonovettori;lo spin, il momento angolare orbitale sonovettori assiali. Le quantita scalari (invariantiper rotazioni per definizione) che cambiano segno per riflessione spaziale sono chiamatepseudoscalari.

La parita, nonostante la sua definizione naturale, non e una simmetria esatta della Na-tura, ma e una simmetria approssimativa. Tra le interazioni fondamentali, le interazioigravitazionali, le interazioni elettromagnetiche e le interazioni forti rispettano la parita,mentre le interazioni deboli (le interazioni responsabilial “decadimento beta dei nuclei) laviolano. Nel linguaggio piu moderno, le interazione dovuto allo scambio di particelle W eZ non sono invarianti per parita.

4.4.3 Inversione del tempo (time reversal)

Un altro esempio di una simmetria discreta e l’inversione del tempo,T. In MeccanicaClassica, l’equazione di Newton,

mr = −∇V (4.261)

4.4. SIMMETRIE IN MECCANICA QUANTISTICA 143

e invariante per l’inversionet →−t. Questo significa che se un moto da (r1,t1) a (r2,t2) epossibile (i.e., e una soluzione dell’equazione (4.261),lo e anche un’altro moto da (r2,−t2)a (r1,−t1), attraverso l’identico cammino, ma tracciato nel senso opposto.

In Meccanica Quantistica la dinamica e descritta dall’equazione di Schrodinger,

ih∂∂t

ψ(r ,t) = Hψ(r ,t). (4.262)

Per esempio per una particella in tre dimensioni si ha

H = − h2∇2

2m+V(r) (4.263)

La trasformazionet → t ′ = −t risulta un’equazione

−ih∂

∂t ′ψ(r ,−t ′) = Hψ(r ,−t ′), (4.264)

diversain generale dall’equazione di Schrodinger originale. Sembrerebbe che l’invarianzaper l’inversione del tempo sia impossibile in Meccanica Quantistica.

In verita, non c’e motivo per ritenere che la funzione d’onda del moto invertito siasemplicementeψ(r ,−t). Infatti, prendendo il coniugato complesso dell’equazione sopra sitrova

ih∂

∂t ′ψ∗(r ,−t ′) = H∗ψ∗(r ,t ′) (4.265)

che assomiglia piu all’eq.(4.262). L’equazione di Schrodinger sara ritrovata se esiste inoperatoreanti unitario Otale che

OH∗O−1 = H. (4.266)

Infatti in tal caso la funzione d’onda del moto invertito pu`o essere preso come

ψ(r ,t) = Oψ∗(r ,−t) : (4.267)

e evidente allora cheψ(r ,t) soddisfa l’equazione di Schrodinger: e un moto realizzabile edescrive il moto invertito.

Un operatoreO tale che per ogni vettoriψ,φ,

〈Oφ|Oψ〉 = 〈ψ|φ〉 (4.268)

(vedi (4.267)), e dettoantiunitario. In contrasto, un operatore unitarioU soddisfa ovvia-mente

〈Uφ|Uψ〉 = 〈φ|ψ〉, (4.269)

come si vede dalla definizione,UU† = U†U = 1. E chiaro che sia nel caso di una trasfor-mazione unitaria che nel caso di una trasformazione antiunitaria le predizioni fisiche dellateoria rimangono invariate. In questo contesto, esiste un teorema importante che riportiamoqui senza dimostrazione:(Teorema di Wigner)

Ogni trasformazione di simmetria in Meccanica Quantisticae realizzata tramite o unatrasformazione unitaria o una trasformazione antiunitaria.

Dalla discussione precedente traspare il fatto che anche l’invarianza per inversione deltempo, come nel caso della parita, e una proprieta di un dato tipo di interazione, piutto-sto che un’assoluta legge di Natura. In Natura l’inversionedel tempo (T) e una buonasimmetria approssimativa delle interazioni fondamentali. Le interazioni gravitazionali, leinterazioni elettromagnetiche e le interazioni forti rispettano T, mentre una parte piccoladelle interazioni deboli, dovuto allo scambio della particella W, lo viola.


Il mistero attorno alla simmetria T deriva dal fatto che nonostante che T sia conservatoquasi esattamente nella fisica micoscopica, l’invarianza per T e grossolanamente violata nelmondo macroscopico. Basti pensare alla seconda legge di termodinamica - dell’aumentodell’entropia - che implica una freccia preferita del tempo. Ora, e mai possibile che laminuscola violazione della simmetria T nelle interazioni fondamentali (che e certamenteestranea per la stragrande maggioranza delle reazioni chimiche, elettromagnetiche e gravi-tazionali che sembrano dominare il mondo macroscopico) abbia a che fare con la secondalegge di termodinamica? L’espansione dell’universo in cuiviviamo ha a che fare con essa?

4.5. SISTEMI IN TRE DIMENSIONI 145

4.5 Sistemi in Tre Dimensioni

4.5.1 Massa ridotta

L’Hamiltoniana di un sistema di due particelle con massem1, m2 che interagiscono tramiteil potenzialeV(r) dove

r = r1− r2 (4.270)

e la posizione relativa, e data da

H = − h2

2m1∆1−

h2

2m2∆2 +V(r). (4.271)

Cambiando le variabili

r = r1− r2;

R =m1r1 +m2r2

m1 +m2(4.272)

si ha

H = − h2

2(m1+m2)∆R−

h2

2µ∆r +V(r), (4.273)

doveµ≡ m1m2

m1 +m2(4.274)

e lamassa ridotta. Separando le variabili

ψ = Φ(R)ψ(r), (4.275)

troviamo l’equazione per la funzione d’onda del moto relativo

ih∂∂t

ψ = H(rel)ψ = {− h2

2µ∆r +V(r)} (4.276)

che e l’equazione di Schrodinger per una singola particella che si muove nel potenzialeV(r). Il problema di due corpi e dunque ridotto a quello di un corpo.

4.5.2 Moto in campo a simmetria centrale

Quando il potenziale dipende solo dal modulo della posizioner ≡ |r | l’equazione di Schrodin-ger indipendente dal tempo

Hψ = (− h2

2m∇2 +V(r))ψ(r) = Eψ(r). (4.277)

puo essere risolta ponendoψ(r) = R(r)Φ(θ,φ). (4.278)

La parte angolare dell’equazione si risolve con le funzioniarmoniche sferiche

Φ(θ,φ) = Yℓ,m(θ,φ); (4.279)

l’equazione radiale e data da

[1r2

ddr

(r2 ddr

)+2m

h2 (E−V(r))− ℓ(ℓ+1)

r2 ]R(r) = 0. (4.280)

Ponendo

R(r) =χ(r)

r(De f. χ), (4.281)


l’equazione radiale diventa

d2χdr2 +{2m

h2 (E−V(r))− ℓ(ℓ+1)

r2 }χ = 0, (4.282)

ma questa ha esattamente la forma dell’equazione di Schrodinger in una dimensione, conil potenziale “efficace,

Ve f f(r) = V(r)+ℓ(ℓ+1)h2

2mr2. (4.283)

Il secondo termine sopra ha un significato fisico evidente: el’energia associata alle forzecentrifughe (si noti che classicamenteF ∼ mrθ2 ∼ (r ×p)2/mr3 per un moto circolare).

La condizione di normalizzazione eZ ∞

0dr r2|R|2 =

Z ∞

0dr|χ|2 = 1, (4.284)

mentre la condizione di regolarita della funzione d’onda ar = 0 implica

χ(0) = 0. (4.285)

Il problema e percio equivalente a quello di una particella che si muove in una semiretta0≤ r < ∞, sottoposta al potenzialeV = Ve f f(r), r > 0; V(0) = ∞.

Un noto teorema (vedi Sec.2.2.2) sull’assenza della degenerazione dei livelli discretinei sistemi unidimensionali, vale anche per una particellache si muove in una semiretta:risulta che la funzione d’onda radiale e univocamente determinata da un numero quanti-co n - chiamato il numero quantico principale - che numera gli autovalori dell’energia.Segue che uno stato stazionario in un campo a simmetria centrale e univocamente specifi-cato da tre numeri quantici(n, ℓ,m) corrispondenti agli osservabili massimali(E,L2,Lz).Per ragioni storiche gli stati stazionari con vari valori diℓ sono denominati come onda -S,P,D,F,G,H, I ,K, . . . , rispettivamente perℓ = 0,1,2,3,4,5,6,7, . . . .

4.5.3 Onde sferiche

Consideriamo prima di tutto il caso di una paticella libera (V = 0). L’equazione di Schrodin-ger in questo caso e banalmente solubile nella base in cui l’impulso e diagonale (le ondepiane); tuttavia le soluzioni di questo problema nella basein cui il momento angolare eben definito, sono essenziali nello studio dei processi di diffusioni. Inoltre queste soluzio-ni forniscono il punto di partenza per analizzare i problemidi stati legati in potenziali asimmetria centrale.

L’equazione da risolvere e

[1r2

ddr

(r2 ddr

)+k2− ℓ(ℓ+1)

r2 ]Rk,l (r) = 0, (4.286)

dovek2 = 2mh2 E, o

R′′+

2r

R′+(k2− ℓ(ℓ+1)

r2 )R= 0 (4.287)

Perℓ = 0, la (4.286) si semplifica:

R′′+

2r

R′+k2R= 0 (4.288)

oppure(rR)

′′+k2(rR) = 0. (4.289)

La soluzione regolare ar = 0 e

R= Asinkr

r; (4.290)


quella singolare e

R= A′ coskrr

. (4.291)

La costanteA di normalizzazione puo essere fissata dalla condizioneZ ∞

0dr r2Rk′,ℓRk,ℓ = 2πδ(k′−k). (4.292)

L’integrale e fatta senza difficolta:

A2Z ∞

0dr sinkrsink′x = −A2

4

Z ∞

−∞dreikr(eik′r −e−ik′r)

=πA2

2δ(k−k′), (4.293)

da cuiA = 2.La soluzione perℓ 6= 0 si ottiene con la seguente considerazione. Se si poneRℓ = rℓηℓ,

l’equazione perηℓ e

η′′ℓ +

2(ℓ+1)

rη

′ℓ +k2ηℓ = 0. (4.294)

Ora derivando questa equazione rispetto ar, si ha

η′′′ℓ +

2(ℓ+1)

rη

′′ℓ +(k2− 2(ℓ+1)

r2 )η′ℓ = 0. (4.295)

Ma con la sostituzioneη′ℓ = rζℓ essa diviene

ζ′′ℓ +

2(ℓ+2)

rζ′ℓ +k2ζℓ = 0 : (4.296)

equazione soddisfatta daηℓ+1. Cio significaζℓ = ηℓ+1, cioe

η′ℓ = r ηℓ+1 : (4.297)

abbiamo quindi una relazione ricorsiva. A partire daχ0 = R0 si puo determinare tutte lefunzioni radiali. Le soluzioni regolari (che corrispondono a onde sferiche libere) sono

Rℓ = Nℓ rℓ (1r

ddr

)ℓsinkr

r. (4.298)

Analogamente per le soluzioni singolari,

Qℓ = Nℓ rℓ (1r

ddr

)ℓcoskr

r. (4.299)

La costante di normalizzazione puo essere fissata considerando il loro andamento asin-totico, con il risultato,Nℓ = (−)ℓ2/kℓ (vedi Laudau-Lifshitz).

Per studiare il comportamento vicino ar = 0 di Rℓ conviene introdurre la variabileξ ≡ r2: infatti,

(1r

ddr

)ℓsinkr

r= (2

ddξ

)ℓ∞

∑n=0

(−)n

(2n+1)!k2n+1ξn

=k2ℓ+1(−)ℓ

(2ℓ+1)!!+O(r2), (4.300)

dove(2ℓ+1)!! ≡ (2ℓ+1)(2ℓ−1)(2ℓ−3) . . .5 ·3 ·1, per cui

Rℓ ≃2kℓ+1 rℓ

(2ℓ+1)!!{1+O(r2)}. (4.301)


Le onde sferiche libere si possono esprimere in termini difunzioni di Bessel sferichejℓ,nℓ, che a sua volta sonofunzioni di Besselcon ordini semi-interi:

Rk,ℓ(r) =

√

2πkr

Jℓ+1/2(kr) = 2k jℓ(kr), (4.302)

Qk,ℓ(r) =

√

2πkr

Nℓ+1/2(kr) = 2knℓ(kr). (4.303)

Jν(z),Nν(z) sono le due soluzioni indipendenti dell’equazione di Bessel,

d2

dz2 Zν +1zZν +(1− ν2

z2 )Zν = 0, (4.304)

di cui Jν(z) e quella regolare az= 0. (Vedi per es. Gradshteyn-Ryzhik)E facile verificareche nel caso di ordine semi-intero, l’equazione di Bessel siriduce alla (4.287) (conz= kr).

Le funzioni di Bessel di ordine semi-intero - funzioni di Bessel sferiche - sono funzionielementari:

jℓ(x) = (−)ℓ xℓ (1x

ddx

)ℓsinx

x; nℓ(x) = −(−)ℓ xℓ (

1x

ddx

)ℓcosx

x. (4.305)

Le prime funzioni di Bessel sferiche sono:

j0(x) =sinx

x; n0(x) = −cosx

x;

j1(x) =sinxx2 − cosx

x; n1(x) = −cosx

x2 − sinxx

;

j2(x) = (3x3 − 1

x)sinx− 3cosx

x2 ; n2(x) = −(3x3 −

1x)cosx− 3sinx

x2 ; (4.306)

ecc.L’andamento vicino ax = 0 di queste funzioni e

jℓ(x) ∼xℓ

(2ℓ+1)!!; nℓ(x) ∼

(2ℓ−1)!!xℓ+1 , (4.307)

mentre il comportamento asintotico (ax→ ∞) e

jℓ(x) ∼1x

cos(x− (ℓ+1)π2

); nℓ(x) ∼1x

sin(x− (ℓ+1)π2

). (4.308)

A volte e conveniente introdurre le funzioni di Hankel sferiche, definite come

h(1)ℓ (x) ≡ jℓ(x)+ inℓ(x); h(2)

ℓ (x) ≡ jℓ(x)− inℓ(x) : (4.309)

il loro comportamento asintotico e allora

h(1)ℓ (x) ∼ 1

xei (x− (ℓ+1)π

2 ); h(2)ℓ (x) ∼ 1

xe−i (x− (ℓ+1)π

2 ). (4.310)

(Si noti - a parte il fattore 1/x - che le funzioni di Hankel sferiche sono analoghe rispetto aj,n, alle funzioni esponenziali rispetto alle funzioni sin, cos. )

Le funzioni radiali corrispondenti ,

R(1)k,ℓ = 2kh(1)

ℓ (kr); R(2)k,ℓ = 2kh(2)

ℓ (kr) (4.311)

hanno l’andamento asintotico

R(1)k,ℓ ∼

1kr

ei (kr− (ℓ+1)π2 ); R(2)

k,ℓ ∼1kr

e−i (kr− (ℓ+1)π2 ) : (4.312)


sono onde sferiche che si espandono (R(1)) o si contraggono (R(2)).Sia le onde piane (le soluzioni dell’equazione di Schrodinger libera nella base d’impul-

so) che le onde sferiche (col momento angolare ben definito) formano un insieme completodelle funzioni: le une possono essere sviluppate in terminidelle altre. Per esempio, un’ondapiana ha uno sviluppo

eikz = eikr cosθ =∞

∑ℓ=0

(2ℓ+1)iℓ jℓ(kr)Pℓ(cosθ). (4.313)

Questa formula puo essere verificata paragonando il coefficiente di(r cosθ)n nei due mem-bri.

4.5.4 Stati legati in una buca di potenziale tridimensionale

Il potenziale descritto da

V(r) =

{

−V0 ser < a;

0 ser > a(4.314)

rappresenta un modello rudimentale di unnucleoatomico: la forza nucleare ha un rag-gio finito e ben definito. Si paragoni questa situazione con i sistemi atomici legati dallaforza Colombiana, cha ha il raggio d’azione infinita, che sara studiata nella sottosezionesuccessiva.

Per calcolare i livelli discreti consideriamo l’equazionedi Schrodinger radiale

R′′+

2r

R′+(k2− ℓ(ℓ+1)

r2 )R= 0, r > a; (4.315)

dovek2 = 2mE/h2 < 0 (k immaginario), e

R′′+

2r

R′+(k′2− ℓ(ℓ+1)

r2 )R= 0, r < a; (4.316)

dovek′2 = 2m(E +V0)/h2 > 0 (k′ reale), per valori dell’energia−V0 < E < 0, Essa ha laforma dell’equazione di Schrodinger libera in ambedue i casi: la soluzione generale e datada una combinazione lineare di funzioni di Bessel sferichejℓ e nℓ, o equivalentemente, di

h(1)ℓ eh(2)

ℓ .Per la soluzione interna (r < a) la condizione di regolarita della funzione d’onda ar = 0

univocamente seleziona la soluzione

R(int)ℓ = A jℓ(k

′r) (4.317)

(A e una costante). D’altra parte, la soluzione esterna deve essere tale da garantire lanormalizzabilita della funzione d’onda. Dalle formule asintotiche (4.308), (4.310), si ap-prende che perk = i

√−2mE/h≡ iκ (κ > 0) e perr → ∞,

jℓ, nℓ, h(2)ℓ ∼ 1

re+κr ; h(1)

ℓ ∼ 1r

e−κr , (4.318)

percio soltantoh(1)ℓ (iκr) e compatibile con la normalizzabilita. Si ha allora

R(est)ℓ = Bh(1)

ℓ (iκr). (4.319)

La soluzione interna (4.317) e quella esterna (4.319) devono essere connesse di modoche la funzione d’onda e la sua derivata prima siano continuea r = a. Segue la condizione

iκh(1)′ℓ (iκa)

h(1)ℓ (iκa)

=k′ j

′ℓ(k

′a)

jℓ(k′a), (4.320)


che determina gli autovalori dell’energia.

Per esempio, perℓ = 0 abbiamoj0(k′r) = sink′rk′r ; h(1)

0 (iκr) = − e−κr

κr , e la condizionesopra si riduce, col cambiamento di variabili,ξ ≡ k′a; η ≡ κa, a

ξcotξ = −η. (4.321)

Le variabiliξ e η non sono indipendenti ma sono legati da

ξ2 + η2 = 2mV0a2/h2. (4.322)

Questo sistema di equazioni e lo stesso di quello (cf. (2.221)) incontrato nel caso della bucadi potenziale uni-dimensionale. Per essere piu precisi, qui troviamo un tipo solo di soluzio-ni (nel caso unidimensionale, ci sono due tipi di soluzioni). Dai grafici che rappresentanole curve (4.321) e (4.322) nel quadranteξ > 0;η > 0 si vede allora che

(1) per√

2mV0a2/h2 ≤ π/2, nessuna soluzione e possibile: non ci sono i stati legati;

(2) perπ/2 <√

2mV0a2/h2 ≤ 3π/2 c’e una sola soluzione (un solo stato legato);

(3) per 3π/2<√

2mV0a2/h2 ≤ 5π/2 esistono due livelli discreti, etc.

A differenza col caso uni-dimensionale, percio, esiste unvalore minimo dei parametri

(corrispondenti a√

2mV0a2/h2 = π/2) al di sotto del quale la buca non confina la particella.Qualitativamente, tale differenza puo essere attribuitaal fatto che una particella confinatain una regione finita (∆xi ≤ a) deve avere una minima indeterminazione in ciascun com-ponente dell’impulso (∆pi ≥ h/a). Il contributo all’energia cinetica di tale fluttuazionequantistica minima e piu grande, piu grande e la dimensione spaziale del sistema.Esercizio:

Calcolare numericamente, con l’uso del programma Mathematica (Maple, ecc.), i primicinque livelli energetici della buca di potenziale tridimensionale, con parametri, determi-nando il momento angolare orbitaleℓ di ciascuno:

m= 940MeV/c2; a = 3fm; V = 300MeV. (4.323)

4.5.5 Atomo di idrogeno

L’atomo di idrogeno - uno stato legato di un elettrone ed un protone formato dall’attrazioneCoulombiana

H = − h2

2m∇2− e2

r(4.324)

- e il piu semplice di tutti i sistemi atomici. La massa ridotta m in questo caso e uguale am= memP/(me+mP)≃ 0.995me e puo essere considerato uguale alla massa dell’elettrone,vista l’approssimazione (non-relativistica) implicita nella formula sopra (vedi dopo).

L’equazione radiale e

d2

dr2 R+2r

ddr

R− ℓ(ℓ+1)

r2 R+2m

h2 (E+e2

r)R= 0. (4.325)

Il potenziale “efficace radiale

Ve f f(r) = −e2

r+

ℓ(ℓ+1)h2

2mr2(4.326)

tende a zero ar → ∞. Stati legati sono possibili solo per i valori negativi dell’energia.


Per semplificare la scrittura, conviene fare alcune sostituzioni: porremo

E ≡ mE

h2 = [cm−2];me2

h2 = [cm−1] ≡ 1. (4.327)

Non ci sara difficolta a recuperare la costanteme2

h2 alla fine dell’analisi, con una sempliceconsiderazione dimensionale. L’equazione

d2

dr2 R+2r

ddr

R− ℓ(ℓ+1)

r2 R+2(E+1r)R= 0, (4.328)

sara ulteriormente semplificata con il cambio della variabile

ρ ≡ 2rλ

; λ ≡ 1√

−2E. (4.329)

(4.328) ora prende forma

R′′ +2ρ

R′ +[−14

+λρ− ℓ(ℓ+1)

ρ2 ]R= 0, (4.330)

doveR′ ≡ (d/dρ)R.A piccoli ρ il termine centrifugo domina nella parentesi quadrata, e d`a il comportamen-

toRℓ ∼ ρℓ, (4.331)

mentre a grandeρ l’equazione si riduce aR′′− (1/4)R≃ 0 sicche

Rℓ ∼ e±12ρ. (4.332)

Ovviamente si dovra scegliere la soluzione cone−12ρ per assicurare la normalizabilita.

Poniamo oraR≡ ρℓ e−

12ρ wℓ, (De f. wℓ). (4.333)

L’equazione perwℓ e

ρw′′+(2ℓ+2−ρ)w

′+(λ− ℓ−1)w= 0; (4.334)

si vuole trovarne la soluzione tale chew(0) = cost.(6= 0); w(ρ) < ρA, ρ → ∞. La (4.334)puo essere risolta col metodo di sviluppo in serie (metodo di Frobenius). Sostituendo

w(ρ) =∞

∑k=0

akρk, a0 6= 0 (4.335)

nella (4.334) si trovano le equazioni

(2ℓ+2)a1+(λ− ℓ−1)a0 = 0; (4.336)

2a2−a1+2(2ℓ+2)a2+(λ− ℓ−1)a1 = 0; (4.337)

. . . . . . (4.338)

(k+1)kak+1−kak +(k+1)(2ℓ+2)ak+1+(λ− ℓ−1)ak = 0; (4.339)

ecc. Perk≥ 1 si ha dunque una relazione ricorsiva

(k+1)(2ℓ+2+k)ak+1+(λ− ℓ−k−1)ak = 0. (4.340)


La serie (4.335) o termina ad unk finito (in tal caso,w e un polinomio) o e una serieinfinita. Nel secondo caso, l’andamento asintotico diw e determinato dai termini conkgrandi. Ma perk grandi vale una relazione approssimativa

ak+1 =ak

k=

ak−1

k(k−1)= . . . = cost.

1k!

, (4.341)

perciow(ρ) ∼ eρ, ρ → ∞. (4.342)

Tale comportamento e incompatibile con la richiesta dellanormalizabilita diR≡ ρℓ e−12ρ wℓ:

la serie (4.335) deve terminare.Dalla relazione ricorsiva si apprende che la serie diw termina se il parametroλ e tale

cheλ− ℓ−k−1= 0 (4.343)

per qualche intero nonnegativok. Visto che ancheℓ (momento angolare) e un numeronaturale, segue che

λ = n (n = 1,2,3, . . .). (4.344)

Ricordando le (4.329) e (4.327) questo risultato significa la condizione di quantizzazionedell’energia

E = − h2

2mn2 . (4.345)

Il secondo membro (con la dimensione apparente[gr · cm4 · sec−2]) non ha la dimensionegiusta di un’energia, ma questo e dovuto all’unita peculiare adottata (la seconda relazionedella (4.327)): ricuperando la dimensione mancante[cm−2] tramite il quadrato di “1′′ =me2/h2, si ottiene

E = − me4

2h2n2(n = 1,2,3, . . .), (4.346)

la famosa formula di Bohr.Ad ogni dato valore din(> 0) il numero quanticoℓ prende i valori

ℓ = 0,1,2, . . .n−1 (4.347)

(vedi (4.343)). Visto che l’energia non dipende dal valore del momento angolareℓ e vistoche ad ogni valore diℓ ci sono 2ℓ+1 possibili valori dim (e gli autostati corrispondenti) ,risulta che l’n-simo livello e

n−1

∑ℓ=0

(2ℓ+1) = n2 (4.348)

volte degenere. Tale degenerazione e specifica del caso Coulombiano.La soluzione sopra puo essere usata per costruire anche la funzione d’onda associata ad

ogni autovalore. Tuttavia esiste un metodo piu efficace - metodo di funzione generatrice -che ci permette di ottenere i risultati generali. L’equazione soddisfatta daw(ρ) perλ = n

ρw′′+(2ℓ+2−ρ)w

′+(n− ℓ−1)w= 0 (4.349)

ha una nota soluzione regolare che e ilpolinomio associato di Laguerre

wn,ℓ = L2ℓ+1n+ℓ (ρ). (4.350)

I polinomi di Laguerresono generati dalla funzione generatrice

U(ρ,s) =e−ρs/(1−s)

1−s=

∞

∑k=0

Lk(ρ)

k!sk, (4.351)


(s< 1). Come nel caso di polinomi di Legendre o di Hermite, si procede con la conside-razione delle derivate rispetto alla variabile e al parametro s. La derivatad/dρ risulta unarelazione

L′k−kL

′k−1 = −kLk−1; (4.352)

mentre l’operazioned/dssulla funzione generatrice da

Lk+1 = (2k+1−ρ)Lk−k2Lk−1. (4.353)

L’equazione che contiene soloLk e le sue derivate si trova da queste due relazioni ricorsiva:

ρL′′k +(1−ρ)L

′k+kLk = 0. (4.354)

Questa assomiglia all’eq.(4.349) ma non ha esattamente la forma giusta.Se inroduciamo invece i polinomi associati di Laguerre,

Lpk(ρ) ≡ dp

dρpLk(ρ), (4.355)

l’equazione soddisfatta da essi

ρLp′′k +(p+1−ρ)Lp′

k +(k− p)Lpk = 0 (4.356)

coincide con la (4.349) se si identificano

p = 2ℓ+1, k = n+ ℓ : (4.357)

cio significa la (4.350).I polinomi associati di Laguerre sono generati da

Up(ρ,s) =(−)pe−ρs/(1−s)

(1−s)p+1 =∞

∑k=0

Lpk(ρ)

k!sk. (4.358)

In conclusione la funzione d’onda radiale e

Rn,ℓ = ρℓe−ρ/2w(ρ) = Cn,ℓ ρℓ e−ρ/2L2ℓ+1n+ℓ (ρ), (4.359)

ρ ≡ 2rn

=me2

h2

2rn

=2rnrB ; rB ≡ h2

me2 (4.360)

(rB ≃ 5.291·10−9cm= raggio di Bohr). La costante di normalizzazione e data da

Cn,ℓ = − 2n2 r−3/2

B

√

(n− ℓ−1)!{(n+ ℓ)!}3 . (4.361)

Le prime funzioni d’onda possono essere calcolate senza difficolta dalla (4.358). Le fun-zioni radiali dei livelli(n= 1, ℓ = 0) (stato fondamentale) e(n= 2, ℓ = 0,1) (il primo livellodi eccitazione) sono:

R1,0(r) = 2r−3/2B e−r/rB;

R2,0(r) =1

2√

2r−3/2B (2− r

rB)e−r/2rB;

R2,1(r) =1

2√

6r−3/2B

rrB

e−r/2rB. (4.362)

Infine, la funzione d’onda completa dello stato(n, ℓ,m) e

ψ(n,ℓ,m) = Rn,ℓ(r)Yℓ,m(θ,φ). (4.363)


Per convenienza riportiamo qui le prime armoniche sferiche(4.84):

Y0,0 =1√4π

,

Y1,0 = i

√

34π

cosθ, Y1,±1 = ∓i

√

38π

sinθe±iφ,

Y2,0 =

√

516π

(1−3cos2 θ),

Y2,±1 = ±√

158π

cosθ sinθe±iφ,

Y2,±2 = −√

1532π

sin2 θe±2iφ. (4.364)

Osservazioni

(i) La meccanica Quantistica riproduce esattamente i livelli d’energia ottenuti da Bohrcon l’uso del principio di corrispondenza (e che sono in accordo con le linee spettraliosservate.)

(ii) L’estensione spaziale della funzione d’onda dello stato fondamentaler ≃ rB ≃ 5.291·10−9cm determina la grandezza dell’atomo d’idrogeno.

(iii) Le formule (per l’energia e per la funzione d’onda) ottenute qui sono valide pertutti gli ioni composti di un elettrone e un nucelo di carica elettrica Z|e|, dopo lasostituzionee2 → Ze2.

(iv) Il valor medio dell’impulso,√

〈p2〉 (calcolabile esplicitamente con la funzione d’ondadata sopra, o con la relazione di Heisenberg con l’input∆x ∼ rB), e dell’ordine dime2/h. La “velocita media e allora

v∼ p/m≃ e2/h = αc≃ c/137≪ c, (4.365)

doveα ≡ e2/hc≃ 1/137 e lacostante di struttura fine. Il moto dell’elettone e quin-di non relativistico, e questo giustificaa posteriori l’approssimazione nell’Hamil-toniana (4.324). Allo stesso tempo si dovra aspettare in generale delle correzionirelativistiche dell’ordine di un per cento.

4.6 Problemi

(1) Si dimostri la disuguaglianza

〈ψ|J23|ψ〉 ≤ 〈ψ|J2|ψ〉 (4.366)

per qualsiasi stato|ψ〉. Si dimostri che un autovaloremdi J3 soddisfam2 ≤ j( j +1).

(2) Un sistema di spin 1/2 sottoposto ad un campo magnetico esterno uniforme si trovaall’istante iniziale nello stato di spin “up (i.e., autostato di sz). Sia

H = −µ·B = −λσx (4.367)

l’Hamiltoniana del sistema. Si calcoli la probabilita cheil sistema si trovi all’istantet successivo nello stato di spin “up o nello stato di spin “down.

4.6. PROBLEMI 155

(3) Costruire le tre matrici che rappresentano le componenti dell’operatore di spin nel casodi S= 1.

(4) Una particella di spin 1 e nell’autostato diSn,

Sn|ψ〉 = |ψ〉,

doveSn ≡ S·n e la proiezione (componente) dell’operatore di spin nelladirezionen. Supponiamo che il versoren sia dato da

n = (sinθ,0,cosθ).

All’istante t = 0 si accende un campo magnetico uniforme e costante,H = (0,0,B).L’interazione e descritta dall’Hamiltoniana,

H = −µS·H

(a) Calcolare la funzione d’onda all’istantet = 0.

(b) Calcolare l’operatore di evoluzione

U = e−iHt/h.

(c) Determinare la probabilitaP(t) che una misura diSx fatta all’istantet (per es.,con un apparato di tipo Stern-Gerlach) dia il risultato, 1, come funzione dit.

(5) Un sistema di due particelle (ambedue di spin 1/2 e descritto dall’Hamiltoniana,

H = −σx(1)−σx(2)+ λσz(1)σz(2),

dove σx(1) e la matrice di Pauliσx per la particella 1, ecc. Calcolare i livellienergetici e le funzioni d’onda.

(6) Una particella classica con carica elettricaesi muove in un campo magnetico prodottoda un monopolo magnetico,B = gr/r3, doveg e la carica magnetica. L’equazionedel moto (classico) e

mr =ec

r ×B.

Si dimostri che il “momento angolarer ×mr non e conservato, e che il momentoangolare modificato

L = r ×mr −egrr

e invece conservato. In meccanica quantistica le componenti del momento ango-lare sono quantizzate. Dalla considerazione della componente radiale del suddettomomento angolare modificato, si ottiene la famosa condizione di quantizzazione diDirac,

egc

=n2

h, n = 0,1,2, . . . . (4.368)

La carica elettrica e quantizzata, se supponiamo che da qualche parte dell’universoesiste un monopolo magnetico!

(7) Il sistema composto di un elettrone e di un positrone (ambedue di spin 1/2) e in uncampo magnetico uniforme. L’Hamiltoniana (piu precisamente la parte dipendentedallo spin: ci interesseremo solo di questa) e data da

H = As1 ·s2 +B(s1z−s2z),

doveA eB sono costanti.


(i) Determinare gli autovalori e gli autostati dell’energia nel casoB = 0,A 6= 0.

(ii) Determinare gli autovalori e gli autostati dell’energia nel casoA = 0,B 6= 0.

(iii) Calcolare gli autovalori dell’energia nel caso generale,A 6= 0; B 6= 0, e discuterei due limiti (A≫ B; B≫ A.)

(8) Si consideri una particella di spin 1/2 che si muove in una dimensione, con l’Hamilto-niana,

H =12(p2 +W(x)2 + hσ3

dW(x)dx

), (4.369)

dovep = −ih(d/dx); W(x) e una funzione reale, eσ3 e una delle matrici di Pauli.Supponiamo che

|W| → ∞ (4.370)

perx→±∞, di modo che lo spettro e puramente discreto.

(i) PerW(x) = ωx, doveω e una costante reale positiva, si trovi lo spettro, i.e., ilivelli energetici e la loro degenerazione.

(ii) Per genericoW(x) si dimostrino le seguente identita:

Q21 = Q2

2 = H, (4.371)

dove

Q1 ≡1√2

(σ1p+ σ2W(x)) ; (4.372)

Q2 ≡1√2

(σ2p−σ1W(x)) . (4.373)

(iii) Si calcolino i seguenti commutatori e “anticommutatori”,

{Q1,Q2} ≡ Q1Q2 +Q2Q1; [Q1,H]; [Q2,H];

[σ3,H]; [σ3,Q1]; [σ3,Q2]; {σ3,Q1}; {σ3,Q2}. (4.374)

(iv) Dimostrare che per uno stato qualsiasi

〈ψ|H|ψ〉 ≥ 0. (4.375)

Si dimostri dunque che per l’energia dello stato fondamentale vale:

E0 ≥ 0. (4.376)

(v) Si dimostri che la condizione necessaria e sufficiente per E0 = 0 e che esista unasoluzione normalizzabile di

pψ0(x) = −iW(x)σ3 ψ0(x). (4.377)

Di conseguenza, si dimostri che perW(x) di Fig.4.1 A esiste uno stato fonda-mentale conE0 = 0 mentre perW(x) di Fig.4.1 B non esiste alcuno.

(vi) Dimostrare che tutti gli stati conE 6= 0 sono doppiamente degeneri, mentre lostato conE = 0 (se esiste) e singolo.

Nota: Q1, Q2 sono esempi di operatori disupersimmetria. Questo sistema (mec-canica quantistica supersimmetrica in una dimensione - Witten (1981)) illustra benel’uso e la potenza di una simmetria.

4.6. PROBLEMI 157

W(x)W(x)

BA

Figura 4.1: W(x)

(9) Un deutone e composto da un protone e un neutrone. Si supponga che il potenziale trai due nucleoni sia approssimato con una buca tridimensionale,

Vnucl(r) =

{

−V0 ser < a;

0 ser > a(4.378)

dover = r1− r2, r1 e r2, sono le posizioni del protone e del neutrone.

i) Supponendo che la massa ridotta dei due nucleoniµ= mN/2, il raggio delle forzenucleari,a, e la profondita del potenzialeV0, siano tali che

√

2µV0a2/h2 =π2

+ ε, ε ≪ 1, (4.379)

si trovi l’energia (all’ordineO(ε2) ) dello stato fondamentale (ℓ = 0) del deuto-ne.

ii) Prendendo per valori del raggio del deutone e della massadel nucleone,

a≃ 2.0fm, mN ≃ 1.7 ·10−24gr≃ 940MeV/c2 (4.380)

e usando il valore empirico dell’energia di legame del deutone 2.3 MeV, sideterminiV0. (1 MeV≃ 1.6 ·10−6 erg.)

Attenzione: per trovareE all’ordine O(ε2) e sufficiente determinareη al primo or-dine in ε, dalle equazioni soddisfatte daξ e daη, dove ξ ≡ k′a; η ≡ κa, k′2 =2µ(E+V0)/h2 > 0, κ =

√−2µE/h > 0.

(10) Si consideri un atomo di idrogeno con un termine perturbativo,

H ′ = V(r)s·p+s·pV(r) (4.381)

doves e l’operatore di spin dell’elettrone,s= 12σ ; p l’impulso,V(r) e un potenziale

a simmetria centrale.

i) Spiegare percheH ′ non puo essere semplicemente scritto come 2V(r)s·p;

ii) Dire quali degli operatori traP (parita),L (momento angolare orbitale),J = L +s(momento angolare totale),J2, eL2, sono conservati;

iii) Elencare, senza calcoli espliciti, gli stati non perturbati |n, ℓ,m;sz〉 per i qualil’elemento di matrice

C(n, ℓ,m;sz) = 〈n, ℓ,m;sz|H′ |1,0,0;

12〉 (4.382)


e non nullo, dove con(n, ℓ,m;sz) sono indicati il numero quantico principale,il momento angolare orbitale, il numero quantico azimutale, e la componentez di spin dell’elettrone. Determinare i rapporti tra gli elementi non nulli per lostesso valore din, i.e.,

C(n, ℓ,m;sz)

C(n, ℓ′,m′;s′z). (4.383)

iv) Calcolare esplicitamente gli elementi di matriceC(n, ℓ,m;sz) del punto (iii) pern = 2 e per la scelta del potenzialeV(r) = gδ3(r), e verificare il risultatogenerale (4.383),

4.7. PARTICELLE CARICHE IN CAMPI ELETTROMAGNETICI 159

4.7 Particelle cariche in campi elettromagnetici

Il moto di una particella carica (q) in un campo elettromagneticoE, B e descritto dall’Ha-miltoniana

H = [p− qc

A(r ,t) ]2 +qφ(r ,t)+V(r), (4.384)

doveV e il potenziale meccanico.

B = ∇×A, E = −∇φ− 1c

∂A∂t

. (4.385)

Il potenziale vettorialeA e il potenziale scalareφ sono definiti a meno di transformazionidi gauge

A → A + ∇ f ; φ → φ− 1c

∂ f∂t

; (4.386)

E, B sono invarianti. L’Hamiltoniana non e invariante:

H → H − qc

∂ f∂t

. (4.387)

Tuttavia, la fisica resta invariante per tali trasformazioni, come si dimostra facendo trasfor-mazioni di gauge sulla funzione d’onda

ψ → ei qc f ψ : (4.388)

l’equazione di Schrodinger ha la forma originale

ih∂∂t

ψ = H ψ (4.389)

in termini di funzione d’onda trasformata.Le interazioni con il campo vettoriale, rappresentata da una sostituzione formalep →

p− qcA(r ,t) nel termine cinetico, e noto come interazioni (o l’accoppiamento) minimali.

L’equazione di Heisenberg (o l’equazione classica) che segue e

mr = qE+qc

r ×B, (4.390)

con il noto termine di forza di Lorentz.

4.8 Effetto Aharonov-Bohm

Consideriamo ora il moto di tale particella in un campo magneticostatico, φ = 0; A = A(r).Prima di tutto dimostreremo che la soluzione dell’equazione del moto

ih∂∂t

ψ = H ψ (4.391)

in presenza del campo magnetico, e dato, in termini della soluzione del problemasenzaB,come

ψ(r ,t) = ei qch

R r dxi Ai ψ(0)(r ,t), (4.392)

dove

ih∂∂t

ψ(0)(r ,t) = H|A=0 ψ(0)(r ,t).

La dismostrazione e elementare: ogni azione dip = −ih∇ da

p [ei qch

R r dxiAi ψ(0)(r ,t) ] =qc

A ei qch

R r dxiAi ψ(0)(r ,t)+ei qch

R r dxi Ai p ψ(0)(r ,t). (4.393)


C

C'

Figura 4.2:

Percio ogni fattorep in H diventap− qcA attraversando il fattore di fase, e cosı

H [ei qch

R r dxiAi ψ(0)(r ,t) ] = ei qch

R r dxi Ai H0 ψ(0)(r ,t) = ih∂∂t

[ei qch

R r dxi Ai ψ(0)(r ,t) ], (4.394)

per un campo magnetico statico.L’esponente nella (4.392) e l’integrale lungo un cammino con l’estremita al puntor

2. Tale fattore potrebbe essere mal definito se esso dipendesse dal cammino. La modificadell’integrale al variare del cammino,C→C′ e

iqch

Z r

C′dxiAi −

iqch

Z r

CdxiAi =

iqch

I

dxiAi =iqch

Z

dS· (∇×A) =iqch

Φ, (4.395)

doveΦ e il flusso magnetico attraverso la superficie circondata dalla curva chiusaC′−C.Il fattore esponenziale e percio ben definito (i.e., dipende solo dal punto di estremita delcamminor ) se il percorso e interamente in una regione priva di campo magnetico. Viceversa, se due cammini rinchiudono una regione con un flusso magnetico non nullo (Φ) (Fig.4.2), la fase della funzione d’onda in due casi differisce diiq

ch Φ.Si noti che la differenza della fase (4.395) e, inoltre, invariante per trasformazioni di

gauge

A(r) → A(r)− 1q

∇α(r); (4.396)

a differenza della fase in assoluto che di per se non ha un significato fisico.

Una situazione fisica molto interessante si presenta se si considera l’esperienza a laYoung con un fascio di elettroni, con una doppia fenditura e con uno schermo (Fig. 1.1)),ma con l’aggiunta di un solenoide molto lungo e sottile, posto giusto dietro la fenditura(Fig. ??, il solenoide si estende nella direzione perpendicolare alla pagina) di modo chela probablita che l’elettrone passi nella vicinanza del solenoide sia trascurabile. Senza lacorrente nel solenoide, percio senza il flusso magnetico, l’effetto di tale solenoide saratrascurabile, e ci si aspetta di osservare la solita frange di interferenza equidistante sulloschermo, dovuta alla differenza dei percorsi tra le onde chehanno passato attraverso le duefenditure (Eqs. (4.122), (1.1)).

Ora, in presenza del campo magnetico nel solenoide, la differenza delle fase delle dueonde acquista un termine in piu, (4.395),

∆φ =2πλ

∆ℓ− qΦch

, ∆ℓ ≃ 2xdL

, (4.397)

di consegueza le posizioni delle massime intensita sullo schermo si sposteranno di

δx =qλLΦ4πchd

. (4.398)

Questo effetto e stato predetto da Aharonov e Bohm ed e stato sperimentalmente conferma-to. Esso e sorprendente se ci rendiamo conto del fatto che con un solenoide molto sottile e

2Il punto iniziale del camminor0 e arbitrario. La dipendenza dar0 puo essere compensato da un opportunofattore di fase costante della funzioneψ(0).

4.8. EFFETTO AHARONOV-BOHM 161

Figura 4.3:

molto lungo (solenoide ideale), il campo magnetico e contenuto all’interno del solenoide:B = 0 fuori. In una buona approssimazione si puo supporre che l’elettrone passa semprenella regione di spazio doveB = 0. In meccanica classica, in tale situazione non ci siaspetterebbe nessun effetto fisico osservabile.

In meccanica quantistica, la particella interagisce con ilpotenziale vettoriale (l’ac-coppiamento “minimale”: vedi l’eq. (??)), e non direttamente al campo magnetico,B.L’effetto Aharonov-Bohm e dovuto a questo fatto. Non si deve tuttavia affrettarsi a con-cludere cheA abbia un significato fisico: esso dipende dalla scelta di gauge! In verita, inmeccanica quantistica, e il fattore di fase, o meglio, la differenza di tali fase, (4.395), cheha un significato fisico ben definito. Si noti che quest’ultimae invariante di gauge.

E curioso che l’effetto Aharonov-Bohm, una semplice applicazione dei princıpi dellameccanica quantistica e dell’elettromagnetismo, fosse stato scoperto solo trenta anni dopoche la meccanica quantistica e stata correttamente formulata da Heisenberg, Schrodinger,Bohr, attorno a 1924. La sottigliezza menzionata sopra (qual’e la quantita fisica osserva-bile), tuttavia, ha portato alcuni fisici a mettere in discussione la correttezza dell’interpre-tazione dell’effetto osservato. Tale diatriba e stata risolta in modo definitivo in una recenteserie di esperimenti sorprendenti fatti al Laboratorio centrale di Hitachi, da Tonomura e daisuoi collaboratori.

La diatriba nasceva dai seguenti aspetti piuttosto delicati, sia sperimentali che teorici,dell’effetto A-B. Prima di tutto, in meccanica quantistica, l’elettrone e descritto da una fun-zione d’onda, ed e difficile escludere completamente che esso penetri anche nella regionedove e situato il solenoide,B 6= 0. Un altro problema sperimentale e che un solenoidenon e mai ideale, non e mai infinitamente lungo, il campo magnetico non e mai comple-tamente contenuto all’interno del solenoide. Inoltre, dalpunto di vista teorico, ci sarebbela possibilita di scegliere la gauge di modo che nelle equazioni appaiono soltanto il campomagneticoB (o le sue derivate), e non piu il potenziale vettorialeA (gauge di Schwinger).Se tale scelta di gauge fosse legittima, non ci si dovrebbe aspettare nessun effetto A-B,se l’elettrone non passa mai nella regione con il campo magnetico (o se l’apparato speri-mentale e costruito di modo che tale probabilita sia comunque trascurabile). Ogni effettoosservato sarebbe da attribuire alla non perfezione dell’apparato.

A quest’ultima obiezione teorica puo essere risposta osservando che una gauge in cuiil potenziale vettoriale viene eliminata in favore diB e necessariamente singolare, e percionon e una scelta accettabile.

Le prime obiezioni sono pero piu insidiose. L’idea brillante che ha permesso al gruppodi Tonomura di ovviare questi problemi, sotto il suggerimento di C.N. Yang, e stato quellodi ricoprire completamente un anello microscopico di magneto con uno strato supercon-duttore (Fig.4.4). Si veda la nota seguente su aspetti salienti della superconduttivita e delfenomeno della quantizzazione del flusso magnetico.

Facendo attraversare il fascio di elettroni parzialmente dentro e parzialmente fuori il fo-ro e osservando la frange dell’interferenza, si osservano gli effetti a la Aharonov-Bohm. Mal’osservazione determinante e il fatto che lo spostamentodi fase diventa o zero oπ, quandoil ricoprimento superconduttore dell’anello diventa superconduttore (al di sotto della tem-


RicoprimentoSuperconduttore

H

Interferenze

ee

H

Figura 4.4: Lo schema dell’esperimento di Tonomura et.al.

peratura critica per Nb,Tc = 9.2K), mentre al di sopra della temperatura critica,∆φ prendeun valore generico casuale, dipendente da come il campione `e stato preparato.

Si osservino in particolare che

(i) il campo magnetico e contenuto all’interno dell’anello superconduttore e non puo fuo-riuscire (effetto Meissner), e forma un selenoide di forma anullare ideale,i.e.,senzale estremita;

(ii) l’elettrone e schermato dalla ricoprimento esterno dell’anello e non puo penetrareall’interno;

(iii) il flusso magnetico all’interno del anello e quantizzato:

Φn =πcnh

e, n∈ Z. (4.399)

Sostituendo questo nella formula (4.397) e ricordando che per l’elettroneq = −e, siha che lo spostamento di fase sia dato da un multiplo diπ, come e effettivamenteosservato sperimentalmente. Si noti un fattore 2 determinante tra la carica dellacoppia di Cooper (q = 2e) e quella dell’elettrone.

E da notare che questo esperimento rappresenta una doppia verifica, da un lato dell’ef-fetto A-B (nelle campioni con lo sfasamentoπ), dall’altro della quantizzazione di flussomagnetico.

Superconduttore Riportiamo qui gli aspetti principali della superconduttivita nei metallia temperature extremamente basse, in un campo magnetico esterno. Dovute alle interazioniattrattive dai scambi di fononi gli elettroni formano statilegati chiamate coppie di Cooper.alle temperature extrememente basse (al di sotto di una temperatura critica, che dipendedalla sostanza) le coppie di Cooper - bosoni - condensano e sono descritti3 da una sorta di

3I bosoni identici debolmente accoppiati tendono a occuparelo stesso stato quantistico. A temperatura sottoquella critica, un numero macroscopico dei bosoni occupanogli stessi stati piu bassi - condensazione di Bose-Einstein. Il sistema in un tale stato e descritto dalla distribuzione dei numeri di occupazioned(p) o dalla suatrasformata di Fourier,Ψ(r). |Ψ(r)|2 rappresenta allora realmente la densita, non la densita di probabilita, delleparticelle.

4.8. EFFETTO AHARONOV-BOHM 163

funzione d’onda macroscopicaΨ. Ψ soddisfa alle equazioni di Laudau-Ginzburg (prendia-mo la carica di elettrone,−e< 0; quella di una coppia di Cooperq = −2e; m e la massadell’elettrone),

14m

(p− qc

A)2 Ψ+aΨ+b|Ψ|2Ψ = 0; (4.400)

∇×B =4πc

j , B = ∇×A; (4.401)

j =1

4m

[

Ψ∗(p− qc

A)Ψ−{(p− qc

A)Ψ}∗ Ψ]

, (4.402)

dovea, b sono parametri che dipendono dalla materia e dalla temperatura.Nello stato superconduttore, le coppie di Cooper condensano:

Ψ =√

ρei θ, ρ(r) = Ψ∗ Ψ 6= 0, (4.403)

con ∂ρ∂t = 0. La corrente e data da

j =ρ

2m(h∇θ− q

cA) : (4.404)

l’equazione di continuita allora implica che∇ · j = 0, i.e.,

∇2 θ = 0, (4.405)

dove e stata assunta la gauge∇ ·A = 0.In una massa di superconduttore la (4.405) implica

θ = const. (4.406)

Segue la relazione

j = − qρ2mc

A, (4.407)

nota come equazione di London. Visto che la correnteelettricadelle coppie di Cooper ejel = qj = −2ej , l’equazione di Maxwell da

∇2A = −4πc

jel =2πρq2

mc2 A ≡ λ−2A (4.408)

di cui la soluzione, assumendo che essa dipende solo da una delle componenti dir , e

A = A0e−z/λ, λ =

(

2πρq2

mc2

)−1/2

. (4.409)

Nel gergo della fisica delle particelle, il fotone ha acquistato una massa effettiva tramiteil meccanismo di Higgs! In un linguaggio piu tradizionale,la (4.409) significa che il cam-po magnetico e fortemente dampato in una media superconduttore: B puo penetrare nelcorpo di superconduttore soltanto per uno spessoreλ chiamato lunghezza di penetrazionedi London. Con dei parametri appropriati per il piombo, per es., (assumendo che ognunodegli atomi dia un elettrone di conduzione),ρ ∼ 3. ·1022/ cm3, si ha

λ ∼√

18π

mc2

e2

11022 ∼

√

125

13 ·10−13

11022 ∼ O(10−5)cm. (4.410)

Questo fenomeno, che il campo magnetico viene espulso dallasostanza superconduttore enoto comeeffetto Meissner.


z = T= 0x

z

y z = 0

Figura 4.5: Coordinate del toro

C

j = 0

j

Figura 4.6:

Quantizzazione del flusso magneticoAccade una cosa molto interessante nel caso che la materia superconduttrice ha una

forma di un toro (topologicamente l’interno diT). Riflettendo il fatto cheθ e una variabileangolare, la (4.405) ammette ora una soluzione non banale4,

θ(x,y,z) = cz, c =2πnT

, n∈ Z, (4.411)

dovez e la coordinata lungo il cerchio del toro, con il periodoT. (Fig.4.5). In questo caso,j 6= A, ma vale ancora

∇2j = − ρq2mc

∇2A =1λ2 j . (4.412)

La (4.411) e la (4.412) implicano che la correntej nella direzione dizcircola soltanto sullasuperficie del toro,i.e., in uno strato di spessore dell’ordine diλ; vice versa, all’interno deltoro abbiamoj = 0.

Quest’ultimo fatto significa che lungo il cerchio al centro del toro (la curvaC dellaFig.4.6)) vale

h∇θ =qc

A, (4.413)

per cui integrando questa equazione lungoC si ha (Eq.(4.411))

qc

I

dxi Ai = hZ

dθ = 2πnh. (4.414)

D’altra parte,I

dxi Ai =

Z

dS·∇×A =

Z

dS·B = Φ : (4.415)

H

dxi Ai e uguale al flusso magnetico intrappolato dal toro. Segue percio che il flussomagnetico che attraversa un toro di superconduttore e quantizzato:

Φ =2πnch

q, n∈ Z. (4.416)

4Dal punto di vista matematico, le soluzioni non banali (4.411) rappresentano elementi del gruppofondamentale diS1, Π1(S1) = Z.

4.9. DISUGUAGLIANZE DI BELL, DISUGUAGLIANZA DI CHSH E QUANTUM ENTANGLEMENT165

4.9 Disuguaglianze di Bell, Disuguaglianza di CHSH e Quan-tum Entanglement

4.9.1 Problema

L’aspetto probabilistico della meccanica quantistica, nonstante innumereboli verifiche spe-rimentali, ci produce tuttora un certo senso di inquietudine. Il paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen e stato infatti proposto per “dimostrare che la meccanica quantistica nonpoteva essere una teoria completa, ma che essa doveva esserecompletata da variabili addi-zionali, di modo che la natura probabilistica della predizione della Meccanica Quantisticafosse dovuta alla media statistica su queste variabili (dette variabili nascoste). Le ipotesifondamentali del loro argomento sono la localita e la causalita.

J.S. Bell ha formulato l’idea delle variabili nascoste matematicamente, ed ha dimostratoche, indipendentemente dalla natura delle variabili nascoste, tale teoria non puo riprodurrecompletamente le predizioni della meccanica quantistica.

Le verifiche sperimentali successivamente escogitate hanno confermato l’esattezza del-le predizioni della meccanica quantistica, escludendo cosı qualsiasi tipo di teorie con va-riabili nascoste.

L’esempio considerato da Bell (Physics1 (1964) p.195) e quello di un sistema di duespin 1

2, in uno stato di singoletto,Stot = 0,

Ψ =1√2[ |↑↓〉− |↓↑〉], (4.417)

dovesz| ↑〉 = 12| ↑〉, etc. Supponiamo che le due particelleA,B siano i prodotti di decadi-

mento di una particella parente conJ = 0 e che le particelleA,B viaggino in due direzioniopposte, di modo tale che la misura eseguita sulla particellaA non puo influenzare il risulta-to della misura fatta sulla particellaB (o vice versa). Supponiamo inoltre che gli osservatoriA e B misurino la componente di spinA o B, i.e., (a ·σA), (b ·σB), dovea, b sono dueversori arbitrari.

Prima consideriamo il caso particolare,a = b. La misura di(a ·σA), da o+1 o −1come risultato. Supponiamo che la misura della quantita(a ·σB), sia fatta immediatamen-te dopo quella diA. Nel caso(a ·σA) = 1 il risultato di (a ·σB), e predetto con certezzaad essere−1, e vice versa. Visto che la misura aA non puo influenzare dinamicamentequella diB per ipotesi (la localita e la causalita), sembrerebbe chetale predittivita del risul-tato di singole misure contradisca con il principio della meccanica quantistica, secondo ilquale il risultato dovrebbe essere±1, conprobabilita 1

2 per ciascuno. L’unica via di usci-ta sembrerebbe che in realta le cose siano “predeterminate: l’aspetto probabilistico dellapredizione della meccanica quantistica sarebbe dovuto alla mancanza della conoscenza -nel senso classico - del processo microscopico. Percio la meccanica quantistica dovrebbeessere sostituito da una teoria piu completa, con delle variabili addizionali, di modo chele predizioni probablistiche della meccanica quantisticaseguono come legge statistica suquese ultime.

Questa argomentazione in realta non e corretta. Infatti,visto che i due eventi (le misuredi A e di B) non possono essere collegati causalmente, anche l’informazione che riguar-da i risultati della misura diA risulta inutile (o meglio, inutilizzabile) per l’osservatore B.Infatti, non avendo accesso ai risultati di A (almeno non immediatamente prima della mi-sura), l’osservatore B troverebbe semplicemente per la meta delle volte il risultato+1 e perl’altra meta delle volte−1, in accordo con la predizione standard della meccanica quan-tistica. Inoltre, il concetto della successione cronologica dei due eventi non e un concettorelativisticamente invariante. Secondo la teoria della relativita speciale, si puo realizzareuna situazione di modo che sia A che B vede, nel loro rispettivo sitema di riferimento, lapropia misura anticedente alla misura dell’altro osservatore. In questo caso l’impostazionedel “paradosso stesso non avrebbe senso.


Resta tuttavia il fatto che, paragonando le registrazioni delle successive misure fatte aA con quelle fatte a B, si puoa posterioriverificare lacorrelazionetra i risultati dei dueesperimenti. Secondo la meccanica quantistica una successione di risultati ad A,(++−+−− . . .), dovrebbe essere accompagnato dalla successione(−−+−++ . . .), trovata a B:le due serie di risultati sono perfettamente correlate. Naturalmente questa predizione dellameccanica quantistica e verificata sperimentalmente.

Dal punto di vista filosofico la situazione appare infatti un po’ paradossale. Per l’osser-vatore B, la successione(−−+−++ . . .), appare completamente casuale. Ogni misurada il risultato o 1 o−1, con probabilita1

2 ciascuno, la funzione d’onda essendo la (4.417)prima della misura. Se si dovesse considerare il collasso della funzione d’onda5 dovuta adogni misura a B, per es.

1√2[ |↑↓〉− |↓↑〉] =⇒ |↓↑〉, (4.418)

come processo fisico (che avviene attorno al punto B in un determinato momento), la pre-dizione della meccanica quantistica implicherebbe che la misura fatta al punto B induceistantaneamente il collasso della funzione d’onda anche alpunto A. Il che sarebbe unaviolazione grossolana della localita delle interazioni edella causalita.

Nel caso in cui i due apparecchi a la Stern-Gerlach sono orientati in maniera generica, irisultati delle misure a B non saranno piu univocamente determinati da quelli delle misurefatte a A. Per es., la successione di risultati ad A(++−+−− . . .) potrebbe essere accom-pagnata da(+−++−+ . . .) con assenza apparente delle correlazioni tra le due. In questocaso, dunque, non ci sono contraddizioni?

Il fatto e che la meccanica quantistica da una precisa predizione sulla media della corre-lazione tra le due serie di misure, per generico orientamento relativo dia eb. Se definiamola correlazione spin-spin,

F(a,b) = 〈(a ·σA)(b ·σB)〉 = R(a ·σA)R(b ·σB), (4.419)

doveR(a ·σA) = ±1 e R(b ·σB) = ±1 rappresentano i possibili risultati delle misure, lameccanica quantistica predice che ci sia una correlazione tra le due registrazioni,

M.Q.: F(a,b) = 〈(a ·σA)(b ·σB)〉 = −(a ·b) = −cosθ, (4.420)

(dimostratelo) doveθ e l’angolo traaeb. Il problema e percio ben definito, indipendenteda qualsiasi questione filosofica:e capace una teoria di tipo con le variabili nascoste,riprodurre esattamente il risultato della meccanica quantistica, Eq.(4.420)?

4.9.2 Dimostrazione

La dimostrazione che la risposta e negativa, e stata data da J.S. Bell (1960). Siano

A(a,λ) = ±1, B(b,λ) = ±1 (4.421)

la predizione perR(a ·σA) e R(b ·σB), rispettivamente, di una teoria con variabili nascoste{λ}. Naturalmente teorie che predicono i risultati diversi da±1 possono essere esclusi,visto che tale e un fatto empirico.

La correlazione spin-spin e dato, in questa teoria da

Teo. Var. Nasc: F(a,b) =

Z

dλP (λ)A(a,λ)B(b,λ), (4.422)

doveP (λ) e la probabilita statistica per vari valori diλ, con6

P (λ) ≥ 0, ∀λ,

Z

dλP (λ) = 1. (4.423)

5Erwin Schrodinger disse: “If we should go on with this dammned wave function collapse, then I’m sorry thatI ever got involved.

6Tutte le formule saranno scritte con una variabileλ, ma la generalizzazione ai casi con piu variabili eimmediata.


Inoltre, per garantire che questo modello riproduca il risultato della meccanica quantisticaper il caso particolare,a = b, possiamo porre

B(a,λ) = −A(a,λ) (4.424)

per cui

F(a,b) = −Z

dλP (λ)A(a,λ)A(b,λ). (4.425)

Ora consideriamo

F(a,b)−F(a,c)

= −Z

dλP (λ) [A(a,λ)A(b,λ)−A(a,λ)A(c,λ) ]

=

Z

dλP (λ)A(a,λ)A(b,λ) [A(b,λ)A(c,λ)−1], (4.426)

percio

|F(a,b)−F(a,c)| ≤Z

dλP (λ)(1−A(b,λ)A(c,λ))

= 1+F(b,c). (4.427)

Dunque in qualsiasi teoria con delle variabili nascoste, lacorrelazione spin-spin soddisfala disuguaglianza,

|F(a,b)−F(a,c)| ≤ 1+F(b,c). (4.428)

(Disuguaglianza di Bell). Si vede facilmente che la meccanica quantistica viola tale re-lazione. Sea e in una generica direzione eb ≃ c, il primo membro della (4.428) saradell’ordine di O(|b− c|): di conseguenza la funzioneF(b,c) non puo essere al minimostazionario e uguale a−1, poiche in questo caso il secondo membro sarebbe dell’ordinedi O((b−c)2). Visto che in meccanica quantistica, la funzione di correlazione spin-spin eF(a,b) = −(a·b) e ha il minimo stazionario ada = b, concludiamo che nessuna teoria deltipo (4.425) puo riprodurre le predizioni della meccanicaquantistica per tutte le scelte diae b.

Bell ha dimostrato che e possibile costruire un modello di una teoria con variabili na-scoste, se tal modello dovesse riprodurre il risultato della meccanica quantistica soltantoper particolare configurazioni dia e b, per es.a = b, a = −b, o a ⊥ b. E l’impossibilitache tale modello “imiti perfettamente la predizioni della meccanica quantistica per tutte lescelte dia e b, che esclude teorie di questo genere come teorie fisiche.

La correlazione tra le due particelle che non possono interagire ne nel presente ne infuturo, ma che sono interagite nel passato, come nell’esempio di due elettroni, e caratteri-stica tipica di tutti i sistemi quantistici. Questa correlazione, sperimentalmente osservatae perfettamente in accordo con la predizione della meccanica quantistica, ma che non puoessere riprodotta da nessun tipo di teoria con variabili statistiche classiche addizionnali, enota come “Quantum Entanglement.

4.9.3 Coppie di fotoni correlati

Si puo fare un’analisi molto analoga con una coppia di fotoni, invece di elettroni. Conside-riamo un atomo in uno stato eccitato conJ = 0, che decade con due successive transizionia dipolo elettrico,

(J = 0) → (J = 1) → (J = 0), (4.429)

processo chiamato cascata atomica SPS. Se i due fotoni sono osservati in direzioni oppo-ste, essi avranno la stessa polarizzazione. Infatti, gli stati iniziali e finali dell’atomo sono


ambedue invarianti per rotazioni tridimensionali. Segue che anche lo stato di due fotonideve essere invariante. Se indichiamo con

|x〉|x〉, |x〉|y〉, |y〉|x〉, |y〉|y〉, (4.430)

i quattro possibili stati di polarizzazioni lineari dei duefotoni, soltanto le due combianzionilineari

ψ+ =|x〉|x〉+ |y〉|y〉√

2, ψ− =

|x〉|y〉− |y〉|x〉√2

, (4.431)

sono invarianti per rotazioni attorno all’assez (la direzione dell’impulso di uno dei fotoni).Visto che le interazioni elettromagnetiche sono invarianti per parita, si trova che la funzioned’onda corretta dei due fotoni in questo sistema eψ+ =

|x〉|x〉+|y〉|y〉√2

.La misura della polarizzazione e i possibili risultati per un fotone sono descritti dall’o-

peratore

P1 = |x〉〈x| =(

1 00 0

)

; (4.432)

che misura la polarizzazione lineare nella direzionex, con il risultato 1 o 0. (Vedi la(3.118)), o da

P2 = |y〉〈y| =(

0 00 1

)

. (4.433)

che misura la polarizzazione lineare nella direzioney, o piu in generale da

Pθ = (|x〉cosθ+ |y〉sinθ)(〈x|cosθ+ 〈y||sinθ) =

(

cos2 θ cosθsinθcosθsinθ sin2 θ

)

. (4.434)

che misura la polarizzazione lineare nella direzione(cosθ, sinθ, 0). Gli autovalori di questioperatori sono 1 o 0. Introdurremo operatori associati

Σθ ≡ 2Pθ −1, Σ1,2 ≡ 2P1,2−1 (4.435)

con autovalori±1.Se i due osservatori misurassero la stessa polarizzazione,per es.,Σ1, le due registrazio-

ni saranno perfettamente correlati, per es.,A : (++−−−+ . . .) eB : (++−−−+ . . .). Lostesso vale se i due polarizzatori sono messi nella stessa direzione(cosθ, sinθ, 0). Se inve-ce i due osservatori misurano la polarizzazione in due direzioni genericheA : (cosθ, sinθ, 0)e B : (cosθ′, sinθ′, 0), allora la predizione della meccanica quantistica per la correlazione

F(θ,θ′) = R(Σθ)R(Σθ′) (4.436)

e〈ψ+|Σθ ⊗Σθ′ |ψ+〉 = cos2(θ−θ′). (4.437)

L’argomento di Bell si applica esattamente (quasi) cosı com’e, alla correlazioneF(θ,θ′):

F(θ,θ′) =Z

dλP (λ)A(θ,λ)A(θ′,λ), A(θ,λ) = ±1. (4.438)

Percio in una teoria qualsiasi con le variabili nascoste, si avra la disuguaglianza,

|F(θ,θ′)−F(θ,θ′′)| ≤ 1−F(θ′′,θ′). (4.439)

Tale disuguagliaza e violata dalla meccanica quantisticaper generica scelta diθ,θ′,θ′′.Esercizio Dimostrare che la disuguagliaza di Bell (4.439) e violata dalla meccanica quan-tistica (4.437), per es. perθ−θ′ = θ′−θ′′ = π

6 .La disuguaglianza di Bell puo essere generalizzata. Una combinazione delle funzioni

di correlazione,F(θ1,θ2)+F(θ3,θ2)+F(θ1,θ4)−F(θ3,θ4) (4.440)


e data, secondo una teoria con variabili nascoste, dall’espressioneZ

dλP (λ) [(A(θ1,λ)+ A(θ3,λ))A(θ2,λ)+ (A(θ1,λ)− A(θ3,λ))A(θ4,λ) ]. (4.441)

Ma l’espressione tra la parentesi quadrata di (4.441) e sempre±2, poiche seA(θ1,λ) =A(θ3,λ) il primo termine e±2 mentre seA(θ1,λ) = −A(θ3,λ) il secondo termine e±2.Segue percio (disugualgianza di CHSH)

|F(θ1,θ2)+F(θ3,θ2)+F(θ1,θ4)−F(θ3,θ4) | ≤ 2. (4.442)

E facile verificare che la meccanica quantistica viola tale disuguaglianza, in generale.

Cap 4 - Momento angolare e sistemi tridimensionali

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