Algebra del momento angolare -...
82
1 , , , , z x y z z x y z x y z yp zp zp xp yp z p p zp x i yp xp iL , , , , x y z y x z z x z y x z L L yp zp zp xp yp zp xp zp zp xp , , , x y z y z x z x y L L iL L L iL L L iL , x y x y y x z z L L LL LL L L iL etc L L iL Componenti del momento angolare Algebra del momento angolare 2 2 2 2 _ _ [ , ] [ , ] 0 x y z L L L L L L 2 , , , , , z L m m L m m m Abbiamo visto che: I matematici parlano di algebra quando si hanno operazioni + e * 2 2 2 2 2 2 2 ,quanto vale ? .. ha autovalori , intero, ma non si possono sommare perche' non hanno autovettori comuni x y z x L L L L NB L m m 2 2 2 2 _ _ [ , ] [ , ] 0 x y z L L L L L L 1
Transcript of Algebra del momento angolare -...
1
, ,
, ,
z x y z
z x y z x y z
yp zp zp xp
y p z p p z p x i yp xp i L
, , , ,x y z y x z z x z y x zL L yp zp zp xp yp zp xp zp zp xp
,
,
,
x y z
y z x
z x y
L L i L
L L i L
L L i L
,x y x y y x zz
L L L L L L L L i L
etc
L L i L
Componenti del momento angolare
Algebra del momento angolare
2 2 2 2
_ _[ , ] [ , ] 0x y zL L L L L L 2 , , ,
, ,z
L m m
L m m m
Abbiamo visto che:
I matematici parlano di algebra quando si hanno operazioni + e *
2 2 2 2
2 2 2
,quanto vale ?
. . ha autovalori , intero,
ma non si possono sommare perche' non hanno autovettori comuni
x y z
x
L L L L
N B L m m
2 2 2 2
_ _[ , ] [ , ] 0x y zL L L L L L
1
2
Troveremo che gli autostati e gli autovalori del momento angolare sono diaposti secondo lo schema:
Le ampiezze Ylm(q,f)= <q,f|l,m> si chiamano armoniche sferiche.
0 0
1
1 0
1
l m
l m
2
1
2 0
1
2
l m
2 , ( 1) , , , , , conzL l m l l l m L l m m l m
Insomma e' un intero positivo,
m un intero non superiore in modulo a
l
l
Tutto discende in modo elegante dalle regole di commutazione.
2
3
†
Poiche'
Definizione: shift op
,
erators .
, ,
( ) , ( ) ,
( 1) . S
,
,operando con ambedue i membri s
,
u
i ,
z z x y y x x y
z
z
z
x y x y
z
L L L L iL i L iL L iL L
L L
L L iL L L iL L
m
L L L
L
L m L m LL m
L
m
m
L
L m
e' trovato che
, e' autostato di con autovalore ( 1).
Unica alternativa: , 0.
zL m L m
L m
2 , , ,
, ,z
L m m
L m m m
,
,
,
x y z
y z x
z x y
L L i L
L L i L
L L i L
, , 1L m C m
3
4
2
2 2
2
2
2
2 2
2
Poiche' commuta con le componenti di L
, 0, , 0
commuta anche con
, 0.
, deve appartenere allo stesso autovalore di :
, , ,
, autostato di c
x y
L
L L L L
L L
L L
L m L
L L m L L m L m
L m L
on autovalore , come , .m
5
†
,
Analogamente, per l'operatore di shift si ha:
( ) , ( ) ,
( 1)
, autostato di con autovalore ( 1)
,
,
,
x y
z z
z z x y y x
z z
z
L L L L iL i L i iL L
L L L
L L iL L
L L L L m L m L
L
m
m
L m L
L m
L m
L
m
Unica alternativa: , 0.L m
2 , , ,
, ,z
L m m
L m m m
,
,
,
x y z
y z x
z x y
L L i L
L L i L
L L i L
5
6
2
2 2
2
2
2 2
2
Poiche' commuta con le componenti di L
, 0, , 0
commuta anche con
, 0.
, deve appartenere allo stesso autovalore :
, , ,
, ' autostato di con a
x y
L
L L L L
L L
L L
L m
L L m L L m L m
L m e L
utovalore , come , .m
, , 1L m C m
si chiamano pertanto operatori di spostamento.L
7
2 22 2 2 2 22 , , , , , ., , x y z zm LL m Lm m mL m L m
Si puo’ far salire m senza limiti, per un dato ?Classicamente il quadrato di una componente non puo’ eccedere L2. Nemmeno quantisticamente puo’! Infatti,
2 22 2 2 2 2, , , , .x y z zm L m m L m mL L
x
22
2
2
2
I quadrati delle componenti sono positivi:espandendo in autostati di L ,
nel sotto spazio , L , , , con L , ,
, , , , 0
Allo stesso modo, , , 0, quindi
x
x x x x x x x x
x x
m
x
y
m m m m m m
m m m m mL
Lm m
Le relazioni , , 1
permettono di ottenere qualsiasi m con fisso?
L m C m
7Assegnato , m e’ limitato superiormente.
8
Sia max , intero 0 e funzione di .l m
Assegnato , m e’ limitato superiormente. Dobbiamo
determinare gli m possibili per un dato .
A un certo punto la crescita deve finire , 0L l
Da qui possiamo trovare l’autovalore di L2 .
, , 1
come puo' essere vero se , 1 non esiste,
senza portare a errori?
L l m C l m
l m
8
2 2
2 2 2 2
( )( ) ( )
e per le regole di commuta
, , ,
zione
( )
x y x y x y y x x y
x y z x y z
x y z y z x z x y
L L L iL L iL L L i L L L L
L L L L i i L
L L i L L L i L L L L
L L
i
L
2 2
z zL L L L L
zz LLLLL
22
E analogamente
2
zAggiungendo e togliendo L
9
10
2Quindi, ( 1) con max .
Agendo con L allo stesso modo si trova min m=-l.
l l l m
Nondimeno, si usa denotare gli autostati con |l,m> anziche’ con |l(l + 1),m>. Basta intendersi!
2 2
2 2
2 2 2
Applichiamo a , per max la relazione sali-scendi
Imponendo , 0
( ) , 0 implica
, ( ) , ( 1) , con m=l
z z
z z
z
l l m L L L L L
L l
L L L l
L l L L l m m l
Le ampiezze Ylm(q,f)= <q,f|l,m> si chiamano armoniche sferiche.
0 0
1
1 0
1
l m
l m
2
1
2 0
1
2
l m
2 , , ,
, ,z
L m m
L m m m
10
11
* *Viene , ( ) , 1 , , 1x yl m L iL C l m l m L C l m
Prendere il coniugato di , ( ) , , 1x yL l m L iL l m C l m
222 ||,, CmlLLLml zz
Abbiamo visto che , ( ) , , 1x yL l m L iL l m C l m Troviamo .C
2, , | |l m L L l m C
Prendiamo il prodotto scalare con , ( ) , , 1x yL l m L iL l m C l m
2 2 2 2Usando z z z zL L L L L L L L L L
2 2 ( 1) ( 1)C l l m m
, ( 1) ( 1) , 1L l m l l m m l m
Matrici degli operatori di shift
11
12
Matrici del momento angolare
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 , ,, 1 , e quindi 1 l l m mL l m l l m l m L l m l l
1 2 1 21 1 2 2 1 , ,, , e quindi z z l l m mL l m m l m l m L l m m
1 2 1 21 1 2 2 1 1 2 2 , , 1( 1) ( 1) l l m ml m L l m l l m m
Abbiamo visto che:
1 0 0
0 0 0
0 0 1
zL
Per l=1 sulla base |11>,|10>,|1,-1>
1 0 0
1,1 0 1,0 1 1, 1 0
0 0 1
1,1 1,0 1, 1
1,1
1,0
1, 1
12
Esempio L=1
13
†
0 0 0
2 0 0
0 2 0
L L
2 2x y
L L L LL L
i
0 01
02
0 0
y
i
L i i
i
1 0 0
0 0 0
0 0 1
zL
0 1 01
1 0 12
0 1 0
xL
1, 1 2 1,0 1,0 2 1,1 1,1 0L L L
1,1 1,0 1, 1
1,1
1,0
1, 1
0 2 0
0 0 2
0 0 0
L
13
14
0 1 01
1 0 12
0 1 0
xL
0 01
02
0 0
y
i
L i i
i
1 0 0
0 0 0
0 0 1
zL
1L
2
1 0 11
0 2 02
1 0 1
xL
2
1 0 11
0 2 02
1 0 1
yL
2
1 0 0
2 0 1 0
0 0 1
L
In generale, in termini di matrici di rango 2l+1, possiamo rappresentare ilmomento angolare sulla base delle armoniche |l,m>. Le matrici di L hanno le stesse regole di commutazione degli operatori del momento angolare e gli stessi autovalori; formano una rappresentazione del momento angolare.
,
,
,
x y z
y z x
z x y
L L i L
L L i L
L L i L
14
15
Problemi stazionari in 3 dimensioniLe equazioni differenziali alle derivate parziali sonomolto piu difficili da risolvere di quelle ordinarie,a meno che non si possano separare le variabili. Questo accade quando c’e’ molta simmetria e noi disponiamo di un sistema di coordinate adatto.
Una prima separazione e’ quella che portaall'equazione per gli stati stazionari, ed e’ permessaquando H non dipende dal tempo.
ˆ ˆ( , ) ( , ), ( , ) ( ,0) ( ,0) ( ,0)
set completo (teoria di Fourier)
iEt
iEt
H x t i x t x t x e H x E xdt
e
Per fortuna alcuni fra i problemi stazionari piu’ interessanti sono separabili in coordinate cartesiane o in coordinate sferiche.
16
L’equazione degli stati stazionari
2 2 2 2
2 2 22V E
m x y z
si separa se ( , , ) ( ) (y) ( )x y zV x y z U x U U z
Poniamo ( , , ) ( ) .x y z X x Y y Z z
2 2 2 2
2 2 22
XYZ XZ Y XY Z VXYZ EXYZ
m x y z
dividiamo per XYZ
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2X mY Z V E
X x Y y Z z
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2x y z
X mU Y U Z U E
X x Y y Z z
Separazione variabili- Coordinate Cartesiane
17
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2x y z
X mU Y U Z U E
X x Y y Z z
dipende da x dipende da y dipende da z costante
Come puo’ essere?2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2x y z
X mU Y U Z U E
X x Y y Z z
2
2 x
m2
2 y
m2
2 z
m
x y z E
2
2
2
2
2
2
1( )
( )
1( )
( )
1( )
( )
x x
y y
z z
XU x
X x x
YU y
Y x y
ZU z
Z z z
2
2
2
2
2
2
( ) ( ) ( ) Set completo { ( )}con
( ) ( ) ( ) Set completo {Y ( )}con
( ) ( ) ( ) Set completo {Z ( )}con
x x n nx
y y m my
z z p pz
XU x X x X x X x
x
YU y Y x Y x x
y
ZU z Z z Z z z
z
La piu' generale soluzione e'
( , , ) ( , , ) ( ) .
ˆAutostati di H:
( ) con E=E
m n p
mnp
m n p mnp nx my pz
x y z a m n p X x Y y Z z
X x Y y Z z
Quando U=Ux(x)+Uy(y)+Uz(z) i moti lungo i 3 assi sono indipendenti; classicamente prenderemmo ilprodotto delle probabilita’, qui viene il prodotto delle ampiezze, che significacomunque indipendenza statistica.
18
0, , , ,( , , ) 2 2 2 2 2 2
, altrimenti
y yx x z zL LL L L L
x y zV x y z
Esempio: scatola parallelepipeda a pareti infinite
( , , ) ( ) ( ) ( )x y z x y z
x y z x y z
n n n n n n
n n n n n n
x y z u x u y u z
E
2 2 2
2
2 1( ) sin ( )
2
, eanaloghe per y,z2
x
x
xn x
x x
xn
x
nu x x L
L L
n
mL
2xL
2xL
Fattore che dipende da x
19
20
222222 333115
Nel caso cubico molti livelli sono degeneri (piu’ stati con la stessa E) , ad esempio
E511 = E151 = E115 = E333
La simmetria porta degenerazione
2 2 22 2 2 2 2 2
2 2 2, , ,
2 2 2
x y z x y z
x y z
n n n n n n
yx zn n n
x y z
E
nn n
mL mL mL
21
2 2 2
2 2 2 2 2 2
, ,
1
2 2
x y z x y z
x y z
x y z
n n n n n n
p p pH m x y z
mE
Oscillatore in 3 dimensioni
2 2
2 2 2 2
, ,
1
2 2
x y z x y
x y
x y
n n n n n
p pH m x y
mE
Oscillatore in 2 dimensioni
Isotropia degenerazione
Coordinate Cilindriche
2 2
arctan( )
r x y
yx
z z
q
Da Cartesiane a Cilindriche:
Da Cilindriche a Cartesiane:
cos
sin
con
[0, ] ; [0,2 ] ; [ , ]
x r
y r
z z
r z
q
q
q
Separazione in coordinate cilindriche e sferiche
22
cos
sin
x r
y r
q
q
r
x x r x
r
y y r y
q
q
q
q
2
1Usando arctg( )
1
dt
dt t
2 2
arctan( )
r x y
yx
q
2 2
cos( )sin( )y
y xip
y r r x y r r
q q
Impulso in coordinate Cilindriche:
2 2
sin( )ip cos( )x
x y
x r r x y r r
q q
23
cos
sin
x r
y r
q
q
r
x x r x
r
y y r y
q
q
q
q
sin( )Usando ip cos( )x
r r
q
2 2
arctan( )
r x y
yx
q
cos( )sin( )yip
r r
q
2 2
2 2
sin( ) sin( )(cos( ) )(cos( ) )
cos( ) cos( )(sin( ) )(sin( ) ).
x y r r r r
r r r r
q qq q
q q
q qq q
q q
22 2
2I termini in danno [cos( ) sin( ) ]
r r r r rq q
Laplaciano in coordinate Cilindriche:
24
2 2 22 2
2 2 2 2 2
I termini in danno
1 1 sin( )cos( ) sin( ) cos( ) sin( )cos( )r r
q q
q q q q q qq q q q q
2 2
2 2
sin( ) sin( )(cos( ) )(cos( ) )
cos( ) cos( )(sin( ) )(sin( ) ).
x y r r r r
r r r r
q qq q
q q
q qq q
q q
2 2
termini misti in danno 0, quelli in
1 1 1cos( ) sin( )
Ir r
r r r r r r
q q
q q
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1(r ) .
x y r r r r r r r rq q
25
2 2
Nei problemi a simetria cilindrica H=- ( , z)2
e' ciclica e L commuta con H,
quindi , , ,
z
im
m
Um
i
z e zq
q
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
laplaciano in cordinate cilindriche
1 1(r ) .
x y z r r r r zq
26
27
sin cos
sin sin
cos
x r
y r
z r
q f
q f
q
2 2 2
2 2 2arccos
arctan
r x y z
z
x y z
y
x
q
f
x
2 sindV r d d drq q f
x
y
zr̂
q̂
f̂
Coordinate
sferiche
28
coordinate sferiche
sin cos
sin sin
cos
x r
y r
z r
q f
q f
q
2 2 2
2 2 2arccos
arctan
r x y z
z
x y z
y
x
q
f
x
y
zr̂
q̂
f̂
2 2 2
2 2 2sin( )cos( ), etc.
x y zr x
x x x y zq f
2 2 2 22
2 2 2
2 2 22
2 2 22 2 2
3 32 2 2 2 2 2 2 2
1 1Usando arccos( ) , ( )
11 ( )
1 1
1 ( ) 1
( ) .
d d d zt
dt dx dxzt x y z
x y z
r
z z x y
x y zx y z
d z zx d r zx zx
dx r dx rx y z x y r x y
q
q
28
Jacobiano della trasformazione sferiche -> cartesiane:
2
2 2
2 2
1arctan ; arctan( )
1
sin( )=-
sin( )
cos( ) =
sin( )
0.
y dt
x dt t
y
x x y r
x
y x y r
z
f
ff
q
ff
q
f
sin( )cos( ) sin( )sin( ) cos( )
cos( )cos( ) cos( )sin( ) sin( )
sin( ) cos( )0
sin( ) sin( )
r r r
x y z
Jx y z r r r
r rx y z
q f q f q
q q q q f q f f
f ff f fq q
x
y
zr̂
q̂
f̂
29
30
Operatore Impulso in coordinate sferiche
In unita' di
chain rule:
x
y
z
rip
x x r x x
rip
y y r y y
rip
z z r z z
q f
q f
q f
q f
q f
q f
cos cos sinsin cos
sinxip
x r r r
q f fq f
q q f
cos sin cossin sin
sinyip
y r r r
q f fq f
q q f
sin
cosq
zip
z r r
e si trova
x
y
zr̂
q̂
f̂
30
cos
sin sin
sinsin( )sin( )( )[ ]
cos sin cosrcos( )( i)[ ]
sin
i{sin cot( )cos( ) }
xz y
Lyp zp i
r r r
rr
rq
q f
qq f
q
q f fq
q q f
f q fq f
Analogamente,
i { cos cot( )sin( ) }
y x zL zp xp
f q fq f
Oper
l'unica componente semplice!
atori di shift: exp[ ][ cot( ) ]
z y xL xp y
L i i
p i
f qq
f
f
31
Componenti di L in coordinate sferiche:
22 2 2
2 2 2 2 2
1 1 1Inoltre ( ) sin
sin sinip r
r r r r rq
q q q q f
2 2
2 2 2
1 1sin
sin sin
Lq
q q q q f
22 2
2 2
1 Lr
r r r r
quindi
32
Momento angolare e laplaciano in coordinate sferiche
x
y
zr̂
q̂
f̂ 2 2Direttamente o usando
si trova
z zL L L L L
33
Autofunzioni simultanee |l,m> di L2 e Lz
22
2 2
1 1L'equazione agli autovalori per sin
sin sin
e' risolta dalle arminiche sferiche
L qq q q q f
| |
| |22 1 ( | |)!
( , ) ( 1) (cos( )4 ( | |)!
m m
m im
lm l
l l mY P e
l m
fq f q
m intero
Autofunzioni di Lz
22
2
imdm e
d
f
f
Dipendenza da f
Dipendenza da q
q q q qq qq q
q q
2
2
2
Sostituendo, rimane da risolvere
1sin .
sin sin
Questa e' singolare per 0. Moltiplichiamo per sin .
Si ritrova l'equazione di Legendre:
m
2 2sin sin sin 0mq q q q qq q
34
2 2sin si
dove sappiamo che ( 1).
n sin 0,
Equazione di Legendre.
l l
mq q q q q
q q
2
2 2
Per l=1, risulta = 2 . Casi: m=-1,0,1
sin sin 2sin 0
risolta da cos( ).
Per l=1, =2 ,
Nel caso m=0,
nel c
sin sin 2sin 1 0
aso m
riso
(
= 1
1
l
)
t
l l
q q q q qq q
q q
q q q q qq q
a da sin( ).
In generale sono polinomi in cos( ) per m=0, altrimenti polinomi in cos( ) e sin( ).
q q
q q q
Per l=0 =0
,m=0 sin
Vediamo qualc
sin 0, risolta da
he caso semplice:
1. q q qq q
34
35
2 2
2 2
polinomi associa
Soluzione genera
sin sin sin 0
(cos( )), dove
P ( ) ( 1) (1 ) ( )
sono di Legendr
le dell' equazione di
ti
Legen r :
e
d e
.
m
l
m mm m
l lm
m
P
dx x P x
dx
q q q q qq q
q q
35
2
I polinomi di Legendre ( ) soddisfano un'altra eq
uazione, cioe'
[(
Polinomi di Lege
1
ndr
) ( )] ( 1) (
e:
) 0.
m
m m
P x
d dx P x m m P x
dx dx
36
0 1
2 32 3
4 2 5 34 5
( ) 1 ( )
1 1( ) (3 1) ( ) (5 3 )
2 21 1
( ) (35 30 3) ( ) (63 70 15 )8 8
P x P x x
P x x P x x x
P x x x P x x x x
2
Formula di Rodriguez:
1( ) ( 1)
2 !
nn
n n n
dP x x
n dx
2
0
Inoltre:
1( )
1 2
n
nn
P x txt t
1
1
Sono polinomi ortogonali:
2( ) ( )
2 1m n mndxP x P x
n
36
37
q f qf
qf
Possiamo scrivere , ,
( che la particella sia in ha i numeri quantici l,m).
lmY l m
ampiezza se
q f
q f q f q f q f
q f q f
*
1 1 1 1 10
*
1 1 2 20
Ogni f , 'buona' possiamo svilupparla in armoniche sferiche:
f , , f , ,
vale infatti la relazione di chiusura della base delle armoniche:
, ,
k
km kmk m k
k
km kmk m k
Y d Y
Y Y
f f q q 1 2 1 2 1 2
cos cos
Le armoniche sferiche sono una base per le funzioni degli angoli
Ci vogliono tutte le armoniche sferiche per individuare una
particolare direzione
38
*
' '
La normalizzazione e la completezza degli angoli solidi
sono espresse dal seguente teorema:
( , ') ( , ')
cioe' , ', ' .( , ') ( , ')
lm l md Y Y l l m m
l l m ml m l m
Ci vogliono tutte le direzioni per individuare una particolare
armonica sferica
39
Armoniche Sferiche e rotazioni
'
Ruotando il sistema di riferimento, ogni Y diventa una
combinazione lineare delle Y con lo stesso .
Matematicamente, per ogni si ha una base di una
rappresentazione irriducibile del Gruppo O(3
lm
lml
l
) delle rotazioni.
Fisicamente: non dipende dal riferimento, ma m si'.l
40
00
1,
4Y q f
10
3, cos
4Y q f q
1 1
3, sin
8
iY e fq f q
2 1
15, sin cos
8
iY e fq f q q
2
20
5, (3cos 1)
16Y q f q
2 2
2 2
15, sin
32
iY e fq f q
Armoniche Sferiche con l<3
2
2soddisfa , ( 1) , , , ,
con m=l.
zlm lm lm lm
LLY l l Y Y mYq f q f q f q f
Si puo' verificare che , sinil l
lll Y e f q
41
00
1,
4Y q f
10
3, cos
4Y zq f q
11 11 1
3, s
3, ( )
81 lini
8en arei
mY r x iyY le Yf q fq f q
22 11
215, sin
15, (
8cos
8)i Y r zY e x iyfq f q q
q f
2 2
202
22
0
5, (3cos 1
5, (3 )
1)
16 6Y rY z rq f q
q f
2 2
2
2
2
2
2
2 2
15,
15, ( )
3
2 quadratica nelle coordinat
2sin
e
32
m
i Y r x
Y
e
l
iyY f qq f
q f
Armoniche Sferiche-forma cartesiana
Usando si possono scrivere in termini di x,y,z
sin cos
sin sin
cos
x r
y r
z r
q f
q f
q
41
42
Separazione variabili nei problemi centrali:V=V(r)
Equazione degli stati stazionari H = E
ERYRYrVRY
rRY
rRY
rr
rrm
)(
sin
1sin
sin
11
2 2
2
222
2
2
2
fqqq
Riordiniamo un po’
ERY
mRYrV
mRY
rRY
rRY
rr
rr)
2()()
2(
sin
1sin
sin
11222
2
222
2
2
fqqq
0
sin
1sin
sin
12)(212
2
22222
2
2
RY
rRY
rRY
mERY
rmVRY
rr
rr fqqq
Dividiamo per RY e moltiplichiamo per r2
0
sin
11sin
sin
112)(212
2
22
2
2
22
Y
YY
Y
mErrVmrR
rr
rR fqqq
Separiamo le variabili con: ( , , ) ( ) ,r R r Yq f q f
Togliamo la parentesi
22 ( ) ( , , ) ( , , )
2V r r E r
mq f q f
43
0
sin
11sin
sin
112)(212
2
22
2
2
22
Y
YY
Y
mErrVmrR
rr
rR fqqq
indipendente da r
2
2 2 2 2
1 1 2 ( ) 20
mV r mEr R
R r r r r
2
2 2
1 1 1 1sin , con ( 1)
sin sinY Y l l
Y Yq
q q q q f
Equazione angolare
Equazione radiale
2
2 2 2 2
1 2 ( ) 2( ) 0
mV r mEr R R R R r
r r r r
L’equazione radiale e’ l’unica che dipende da V(r)
indipendente dagli angoli
| |
| |22 1 ( | |)!
Soluzione: ( , ) ( 1) (cos( )4 ( | |)!
m m
m im
lm l
l l mY P e
l m
fq f q
44
Equazione radiale
2
2 2 2 2
22
2 2
1 2 ( ) 2 ( 1)( ) 0
E' un problema 1d ma con un muro infinito che impone r 0.
1 2La parte cinetica e' piu' complicata.
Per l>0 una potente f
mV r mE l lr R R R R r
r r r r
R Rr R
r r r r r r
orza centrifuga scaccia la particella da r=0.
Equazione degli stati stazionari H = E
Separate le variabili con: ( , , ) ( ) ,r R r Yq f q f
E’ utile saperlo a memoria
Per potenziale V( r)=0 si ha una particella libera di momento angolare l
Campo centrale V(r)
45
Particella libera : autostati comuni di2, , zH L L
l(l+1) autovalore di L2 ma R non dipende dall’autovalore m di Lz
Se ne dipendesse sarebbe proibito ruotare il riferimento!
2 2 2 0
2 2 2
21 ( 1)( ), , R sta per R l
m Ed dR l lr R k R r k
r dr dr r
kr equazione di Bessel sferica
2 2'' 2 ' 1 ( ) 0R R l l R
[ , ] [ , ] [ , ]
le onde piane non hanno momento angolare definito.
z x y x x x y yL p xp yp p x p p i p
rappresenta un fascio di elettroni monocromatici con p definito.ikze
OAnche classicamente non hanno
tutti lo stesso L rispetto a una
origine O
46
sin( )per l=0 soddisfa R( )=
kr equazione di Bessel sferica
2 2'' 2 ' 1 ( ) 0R R l l R
soluzione generale:
sin1( )
funzioni di Bessel sferiche
l
l
l
dj
d
0
1 sin( )( ) (2 1) (cos )
llikz l
lk
r d kre i l P
k r dr rq
Espansione dell'onda piana in armoniche sfericheSi puo’ dimostrare che:
Friedrich Wilhelm Bessel
(1784-1846)
fu il primo a misurare la distanza
di una stella e scopri’ Sirio B.
46
47
Equazione radiale
2
2 2 22
2 ( )1 2 ( 1)( ) 0
mV r mE l lr R R R R r
r r r r
Equazione degli stati stazionari H = E
Separiamo le variabili con: ( , , ) ( ) ,r R r Yq f q f
( )Trucco: per semplificare poniamo ( ) .
u rR r
r
2
2
2
( ) '( ) ( )
( )'
( )'' ' ' ''
u r u r u r
r r r r
u rr ru u
r r
u rr ru u u ru
r r r
Particella in campo centrale non nullo
Piu’ semplice!
47
48
2
2 2 2 2
2
2 2 2
Cosi' l'equazione radiale
1 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( 1) ( )0
( )mettendoci '' ' ' ''
'' 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( 1) ( )diventa 0
u r mV r u r mE u r l l u rr
r r r r r r r r
u rr ru u u ru
r r r
u mV r u r mE u r l l u r
r r r r r
2 2 2
2 ( ) ( 1) 2'' [ ] ( ) ( )
e' un problema 1d ristretto a r>0.
mV r l l mEu u r u r
r
49
2 2
2 2
e' una equazione di Schrödinger 1d con r>0
(un muro impenetrabile impedisce r<0). Oltre al potenziale esterno
c'e'
( 1) ( 1)potenziale centrifugo (per l>0). V(r) V(r)+
2m 2m
l l l l
r r
2 2 2
2 ( ) ( 1) 2'' ( ) ( ) ( )
mV r l l mEu u r u r u r
r
2 2
2 ( ) ( 1)mV r l l
r
r
proibito
50
Zona permessa
Semplicissimo per l=0: livelli quantizzati
...3,2,1,2
2
2
22
0 nnma
En
2 2 2
Equazione radiale:
2 ( ) ( 1) 2'' ( ) ( ) ( )
mV r l l mEu u r u r u r
r
Imponendo condizioni al contorno u=0 per r = a si ottengono gli autovaloriper la particella in una scatola di potenziale sferica
Buca di potenziale sferica
0,( )
,
r aV r
r a
2
2
2'' ( ),
2( ) sin( )
mEu u r r a
mEu r r
x
y
zr̂
q̂
f̂
Altrimenti funzioni di Bessel sferiche
51
Atomo
idrogenoide
Problema di Kepler classico: due masse m1,m2 interagenti con V(r12)-vedi parte 1 del CorsoNewton: Anche la Terra attira il sole! (rilevante anche a atomo di H)
1 2
1 2
2 1
1 2
r ,
r .
B mm m
B mm m
2 2
1 1 1 12 2 2 2 122 2Le forze (r ) (r ) sono opposte!
d dm r V m r V
dt dt
2 1
2 1
Conoscere moto del baricentro e moto relativo
a conoscere ed . Semplice cambio variabili!
r r
equivale r r
2 21 1 2 2
1 1 2 22 21 2
1 2 1 1 2 1 22
( ) 0 0, dove Bar
si con
icentro
( ) serv( ) a.B
m r m rd dm r m r B B
m mdt dt
d dp m m B m r m r
dt dtp p
2 1
1 1 2 2
1 2
.
r r
m r m rB
m m
28Strategia: riscrivere il problema dinamico per il moto relativo.
2 2
1 2
1 2
p pE= ( )
2 2V
m m
12
12
K(r ) =-
rV
1 2
1 2
2 1
1 2
r ,
r .
B mm m
B mm m
1 21 1 1 1
1 2
1 22 2 2 2
1 2
m p = m v m ,
mp = m v m .
md dB
dt m m dt
md dB
dt m m dt
1 2
1 2 1 1
1 1 1 massa ridotta;
m m
m m m m
2 22 21
1
1 1
2 22 22
2
2 2
p m ( ) ( ) ,
pm ( ) ( ) + .
d d d dB B
m dt m dt dt dt
d d d dB B
m dt m dt dt dt
2 2 2 22 21 2
1 2
1 2 1 2
2 2
1 2
p p (m m )( ) ( )( ) ,
dove ( )
d dB
m m dt m m dt
m m
2 1
Scriviamo E in termini di B e del moto relativo r r
L'energia cinetica si separa:
Baricentro
Moto relativo
1 1 2 2
1 2
m r m rB
m m
Problema di Kepler: due masse m1,m2 interagenti con V(r12)Newton: Anche la Terra attira il sole! (rilevante anche a atomo di H)
2 2 221 2
1 2 1 2 1 2
12
1 2
p p p 1 1 1Energia cinetica: ( )
2 2 2( ) 2
1 1 1 =massa ridotta che si muove in un (r ).
B
p
pm m m m m m
Vm m
2 22
1 2 1 2
p p1E ( ), = costante
2( ) 2 2( )
Rimane il problema di un corpo di massa in ( ).
B BB
p V Em m m m
V
Dettagli ad esempio sul Gasiorowicz
Ma non esiste una funzione d’onda dell’elettrone!
Esiste quella della massa ridotta. L’elettrone e’
intrecciato col nucleo!
2
cosi' anche l'atomo di H quantistico.
( ,B)= ( ).exp(iP .B)
p( ) ( )= ( )2
tot em B
em em
Tratteremo
V
55
2 ( )( ) (Ze=carica del nucleo) ( ) e semplifichiamo:
Ze u rV r R r
r r
2
2 22 2
2( 1) 2 2equazione radiale : ( ) ( )
d u l l mEu u r u r
dr r r
m Ze
Stati legati (discreti) dell’atomo idrogenoideTrattato con la massa ridotta che ora scrivero’ m
Equazione radiale di Schroedinger
2
2 2 2 2
1 2 ( ) 2 ( 1)( ) 0.
mV r mE l lr R R R R r
r r r r
56
Dimensioni:
2 2
2
022 2
(mvL) mv L 1* mv
eeL L a L
me
L
2
2 22 2
2( 1) 2 2equazione radiale : ( ) ( )
d u l l mEu u r u r
dr r r
m Ze
12
2 2
udimensioni: ogni termine
Z mL
L
e
2
2 2 2
0
( 1) 2 2( ) ( )
d u l l mEu u r u r
dr r a r
Lunghezza caratteristica:
2
0 2,
0.529Bohr
B h
B
o raa
m e Z
a a A
Z
problema classico: non ha scala
Quantisticamente l’atomo ha
dimensioni minime fissate da h
2 2
0
2 2
0
0
0
adimensionale
adimensiona
2energia
2
lunghezz lea
Rydberg
maEE E
E ma
rr a
a
Lunghezza caratteristica:2
+ 2 3
0 2, 0.529 , aumentando si restringe (He , , ,...)Bohr
B
aa a A Z Li B
me Z Z
2
2
0
anche una energia caratteristica: 1 13.6 eV2
Unita' atomiche: unita' di energia = 1 Hartree= 2 Ry=27.2 eV
(Da Douglas Rayner Hartree, Cambridge 1897-1958).
RydbergE Ry
ma
57
Forma adimensionaleEssendoci una scala, conviene lavorare con grandezze senza dimensioni
forma adimensionale
2
2 ( 1)'' ( ).
l lu u u
0
2
2 2 2
0
Sostituendo r= nella
( 1) 2 2 ( ) ( )
a
d u l l mEu u r u r
dr r a r
2
2
2
2 2 2 2 2 2
0 0
2
0 0
si trova:
( 1) 2 2( ) ( )
e semplificando si p
2
erviene alla
d u l l mu u r u r
a d a a ma
58
59
Soluzione particolare (stato fondamentale)
supponiamo 0 (classicamente nessuna orbita ha l=0,
passerebbe per il nucleo, passando per un punto dove
il potenziale e' infinito)
l
Soluzione es(
)at (a)
t u e eu
R
2
2 ( 1)'' ( )
l lu u u
Nella forma adimensionale
2''( ) ( ) ( ) 0u u u
2Per ''( ) ( ) 0 con
( )
(
)
u u u
eu
R
e
60
Verifichiamo e troviamo :
2
'' ( )'
( ,
'
) 2
u e
u e e
e e e e
u e
e
e
2
''( ) ( ) ( ) 0u u u
2
2
2
2( )
0
0.
Ma 0 perche' , e rest
Viene: ( )
2
2a: 0.
Quindi
''( )
1 e viene =-
2
1
2
2
2
.
u
e
u u
e e e
60
2
2
0
2 4 2
2 2
0
1 1
riferita al livello di vuoto2 2
(Per H lo zero dell'energia corrisponde a particelle ferme
all'
2
infinito).
Rydberg
me ZE
a
Ema
Em
Ricordando u e
1 Bohr
r
auR e e
61
Qualunque distanza dal nucleo e’ possibile, incluso r=0 e r=1m.Ma il raggio di Bohr e’ la distanza caratteristica. L’elettrone non irraggia, e’in uno stato stazionario e non ha una traiettoria, ma ha momento angolare nullo.
Raggio medio ed energia dello stato fondamentale
2
002
2
0 2
0
2Ricordiamo che
,
d
:
ove
Rydb
o r
g
h
er
B
ma
aa
me Z Z
E rE r a
E a
62
0
00 03
0
Moltiplicando la funzione radiale per l'armonica sferica,
1 1( ) .
4
Questa funzione e' sfericosimmetrica, mentre il modello di Bohr e' piatto.
r
aY r e
a
2
0 2 Bohra
ame Z Z
2 4 2
2 202 2
me ZE
ma
2 23 2
0 0
Normalizzazione:
4 1d r drr
( , , ) ( ) ,r R r Yq f q f
Ricaviamo tutti gli infiniti stati legati. Poi i sono quelli del continuo (Coulomb waves)
2
2 ( 1)'' ( )
l lu u u
Partiamo dalla forma
adimensionale
Indipendentemente da , se , ''( ) ( ) 0
( ) ,
l u u
u e
Ci sono infiniti stati legati entro i 13.59 eV dallo stato fondamentale; questo e’ dovuto alla legge di Coulomb per cui l’interazione e’ a lungo raggio. Sopra esiste il continuo elettrone+protone, che si puo’ studiare con esperimenti di scattering.
63
funzione radiale
( )( ) nl
nl
uR
2
2 ( 1)Equazione radiale '' ( )
l lu u u
2
( 1)'' ( ), 0
l lu u
a breve distanza dal centro
1
nl
Per 0, va a 0 come .
La barriera centrifuga funziona! u 0 per 0 e R 0 se l 0.
l
nlu
64
quello che cambia con l e’ l'andamento a breve distanza dal centro a causa della barriera centrifuga
funzione radiale
( )( ) nl
nl
uR
1 ( )Poniamo l lu e f
( )
1
0 1
Verificheremo che polinomio di grado e pertanto
... ,
=intero=numero quantico radiale, incognite : ,e i coefficienti
r
r
l
r
nl
n
r i
f n
u e c c c
n c
2
2 ( 1)Equazione da risolvere: '' ( )
l lu u u
1
Come si e' visto,
Per , ( ) ,
Per 0, l
u e
u
65
11 2 1
0 1
0
...
r
r
r
nn ll l l
nu e c c c e c
1
( )
1
0 1
( )
con polinomio di g
Ponia
rado
... , cioe'
m ,o
r
r
l
r
l l
nl
n
f n
u e c c c
u e f
2
2 ( 1)'' ( ).Sostituiamo in
l lu u u
2 1
0 0
1
0
0
0
1
0
Calcolo delle derivate:
' ( 1) .
'' ( 1)
( 1) ( 1)( ) .
r
r r
r r
r
n nl l
n
n nl l
nl l
u e c e
u e c e c l
e c l e c
c l
l l
66
11 2 1
0 1
0
2(con , come si sa dall'andamento a grandi distan
.
)
..
ze
r
r
r
nn ll l l
nu e c c c e c
1
0 0
' ( 1)
r rn n
l lu e c e c l
2 1 1
0
'' { 2 ( 1) ( 1)( ) }rn
l l lu e c l l l
1
0
'' { 2 ( 1) ( 1)( ) }rn
l lu u e c l l l
Potenze diverse: antipatiche da maneggiare
67
2
2 ( 1)Sostituiamo in '' ( )
l lu u u
1
2
0
( 1)('' { ( })2 1)
r
l ln
lu lu e c l
b
a
b
a
ff1
1
Spostare una sommatoria:
Cambio di nome
+1
1
1
1b
a
b
a
ff
1
1
'' 2 1 1 2rn
lu u e c l c l l
e ricordando che 0 per 0 e per unifichiamo le somme:
rc n
0
11
1
1
( 1)( ) ( 2)( 1)Spostando la somma r rn
ln
ll l lc lc
68
2
2 ( 1)'' ( )
l lu u u
68
69
2
2 ( 1)'' ( )
l lu u uAbbiamo calcolato il primo membro di
1
1
'' 2 1 1 2rn
lu u e c l c l l
2
1
0
2 ( 1)Calcolo del secondo membro [ ]
sempre conr
r
nl
n lu e
u
c
l l
1
0
conr
r
nl
n lu e c
1
20 0
2 ( 1)( ) 2 ( 1)
r rn nl ll l
u e c l l c
1
1
1b
a
b
a
ff
1
120 1
1
0
2 ( 1)( ) 2 ( 1)
2 ( 1)
r r
r
n nl l
nl
l lu e c l l c
e c l l c
70
120
2 ( 1)( ) 2 ( 1)
rnll l
u e c l l c
1
1
''
2 1 1 2rn
l
u u
e c l c l l
11 2 ( 1)2 1 1 2c l c l c l l cl
1
Riordiniamo:
2 [1 2 1 ] [ 1 2 ( 1)] 0c l c l l l l
1
( 1) 12
( 1)( 2 2)
lc c
l
1
0
ansat( )
Trucco z: :
r
r
nl
n l
u rR
r
u e c
2
2 ( 1)'' ( )
l lu u u
Relazione di ricorrenza =0,1,2,3…..
71
Relazione di ricorrenza =0,1,2,3…..
che accade se ?
cc 21
!
2
c
1 2( ) lu e e
1
( 1) 12
( 1)( 2 2)
lc c
l
0 1 1 2
0
2 3
1
Pero' se c 0, tutti i successivi sono 0.
r
n
nl
c c c c c c
u e c
La funzione trascendente esplode all’infinito e la non si puo’ normalizzareoccorre che sia un polinomio di grado finito-> la relazione di ricorrenza deve dare 0.
BANG!
72
n e’ misto: radiale e angolare
Posto 1 numero quantico principale, intero 1,
la condizione per una funzione R normalizzabile e' 1 0,
1' .
rn l n
n
cioen
1
( 1) 12
( 1)( 2 2)
lc c
l
Perche’ la serie termini occorre che venga c+1 = 0 quando = nr
1
0
( )Trucco : :
r
r
nl
n l
ansat
u e c
zu r
Rr
= nr numero quantico radiale =grado del polinomio
2
1 1, 1,2,3,.....n
n n
73
2 2 2
2 2
13.59
2n
B
Z e ZE eV
a n n
0, 0, 1,
n 1 numero quantico principale
Per n fissato,
0,1,2,..., 1 ( 1 per n 0)
r r
r
l n n n l
l n l n
2
0
2
2 2
02
1
2.n
Bn
aE a
ma Z me Z n
Mettiamo insieme i risultati:
Le energie dipendono solo da n; per questo, 2s e 2p sono degeneri, 3s, 3p,3d sono degeneri, etc.. La successione degli stati e 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, : : :secondo lo schema seguente.
piu' bassi
1 1 0 0
2 0 02
2 1 1,0,1
3 0 0
3 3 1 1,0,1
3 2 2, 1,0,1,2
4 0 0
4 1 1,0,14
4 2 2, 1,0,1,2
4 3 3, 2, 1,0,1,2
,3
Gusc
guscio n nome livello l m
K s
sL
p
s
M p
d
s
pN
d
f
i
74
0 1 2 3 4:
lsimboli
s p d f g
2 2
1 1mn RydbergE
n m
fotoni che l'atomo emette nel decadimento m n fotoni che l'atomo assorbe nella transizione opposta n m .
+
La serie di linee con n = 2 fu scoperta da Balmer nel 1885 e comincia nel visibile, con la riga Ha con 23 nel rosso, la riga Hb con 24 nel blu, la riga Hg
con 25 nel violetto; la serie continua nell'ultravioletto. Poi fu scoperta la serie ultravioletta di Lyman con n = 1, e le serie infrarosse con n = 3; 4; 5.
75
In alta risoluzione si trova che ci sono sdoppiamenti e spostamenti di livelli dovuti a effetti relativistici, al momento magnetico, alle dimensioni finite ed alla massa finita del nucleo, a piccolissimi effetti di elettrodinamica quantistica (Lamb shift).
76
Funzioni d’onda idrogenoidi
Relazione di ricorrenza =0,1,2,3…..
1
( )( 1) 12
( 1)( 2 2)
lc c
l
, , ( , , ) ( ) ,q f q f n l m nl lmr R r Y( )
( ) nlnl
u rR r
r
11 2 1
0 1
0
...
r
r
r
nn ll l l
nu e c c c e c
Come si e’ visto,
1, 1 numero quantico principalern n l
n
Relazione di ricorrenza =0,1,2,3…..
1
( 1) 12
( 1)( 2 2)
lc c
l
77
polinomi Polinomi associati di Laguerre
Edmond Nicolas Laguerre 1834-1886
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )!
p p
q p q
xq qx
q
dL x L x
dx
e dL x e x
n dx
78
f
f
q f
q
q
q
0
0
0
0
0
3
2
100
0
3
22
200
0 0
3
22
210
0 0
3
22
211
0 0
3
22
21 1
0 0
( , , )
1 1
1 12
32
1 1cos
32
1 1sin
64
1 1sin
64
nlm
r
a
r
a
r
a
r
a i
r
a i
r
ea
re
a a
re
a a
re e
a a
re e
a a
L>0 nodo in r=0
n>0 nodo
2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
100
200
02
0
1
32
Zr
aZre
a
2
0 2Bohra
ame Z Z
Gli atomi con n di qualche centinaio o piu’ (atomi di Rydberg) sono stati
studiati, con orbitali grandi qualche micron. L’elettrone si comporta in modo
quasi classico.
79
Rappresentazioni pittoriche degli orbitali
Sono le superfici con ||2 costante che
contengono una probabilita’ del 90% di trovare
l’elettrone. Talvolta sono colorate in modo da
dare informazione sulla fase.
80
81
Da vikipedia
La Meccanica Quantistica ci portera’ alla seguente spiegazione delle righe spettrali:
Notare i livelli discreti e le regole di selezione (che troveremo piu’ avanti)82
