la retta di coefficiente angolare m, si dica per quali ...

Il candidato risolva, a sua scelta, almeno due dei seguenti quesiti.

In un piano riferito ad un sistema cartesiano ortogonale Oxy, si rappresenti la

curva di equazione y xx

=−+

11

Condotta poi per il punto ( )−1 1, la retta di coefficiente angolare m, si dica per

quali valori di m una delle sue intersezioni con la curva appartiene al primo o al

quarto o al terzo quadrante.

Si determini inoltre la lunghezza della corda minima intercettata sulla retta dalla

curva e si dica qual è il rapporto, maggiore di 1 ,fra le aree dei triangoli che le

tangenti negli estremi di tale corda formano con gli assi coordinati.

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( )

−=−++=++=

##11

1212

11

22

xxmyymmxymmxy

a

xx ∆=− 12

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 21 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2PP x x y y x x m x x m

a a∆ ∆

= − + − = − + − = + ⋅ =

( )mmm

mmm

m 22222

22 −+

−=

−⋅+

−=

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Tra i coni circolari retti inscritti in una sfera di raggio r, determinare quello per

il quale è massima l'area della superficie totale, dopo averne trovata

l'espressione in funzione della semiapertura x di un generico cono.

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A

B C

D

•O

H

xx

a

h

y

AH h= = altezza del cono

AC a= = apotema del cono

AO r= = raggio della sferar

HC y= = raggio del cono

C A H x∧= = semiapertura del cono

ACCHCHSt ⋅⋅⋅+⋅= ππ 2212

▀ L'area St della superficie totale del cono , in funzione della sua semiapertura x, è determinabile

mediante la seguente formula : S CH CH ACt = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅π π2 1

22

Pongo : AH h= = altezza del cono , AC a= = apotema del cono

AO r= = raggio della sfera , HC y= = raggio del cono , C A H x∧

= = semiapertura del cono

S y yat = + ⋅ ⋅π π2 12

2 = ( )πy a y+ = area della superficie totale del cono

AC AD x= ⋅cos ⇒ a r x= 2 cos , HC AC sin x= ⋅ ⇒ y sin x rsin x x rsin x= = =2 2cos

( )S rsin x r x rsin xt = +π 2 2 2cos = ( )πr sin x x sin x2 2 2 2cos + = ( )4 12 2πr sin x x sin xcos + =

= ( )4 2 4 3 2πr sin x sin x sin x sin x− − + +

Il massimo della funzione St coincide col massimo della funzione

( ) ( )f x Sr

sin x x sin xt= = +4

122

πcos = − − + +sin x sin x sin x sin x4 3 2 con 0 90° < < °x .

( ) ( ) ( )′ = + − + +f x x sin x sin x x sin x sin x xcos cos cos3 2 31 2 1 =

= ( ) ( )cos cos cos cos3 2 21 2 1x sin x sin x x sin x sin x x x+ − + + =

= ( ) ( )[ ]cos cosx sin x x sin x sin x sin x1 2 12 2+ − + − =

= ( )[ ]cos x sin x sin x sin x sin x sin x1 1 22 2 2+ − − + −

( ) ( )( )′ = + − + +f x x sin x sin x sin xcos 1 4 12

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( )′ = − − + +f x sin x x sin x x sin x x x4 3 23 2cos cos cos cos

( ) ( )′ = − − + +f x x sin x sin x sin xcos 4 3 2 13 2

( )′ =f x 0 ⇒ ( )( )cos x sin x sin x sin x1 4 1 02+ − + + = ⇒ cos x = 0 , sin x = −1

sin x =−

≅ −1 17

80 4, , sin x =

+≅

1 178

0 64,

x arcsino =+1 17

8 punto di massimo assoluto

cos2 21x sin xo o= − = 1 1 17 2 1764

−+ + = 46 2 17

64− = 23 17

32−

( )S x rt o = ⋅−

⋅+

++

4 23 17

321 17

81 1 17

82π = 4 23 17

321 17

89 17

82πr ⋅

−⋅

+⋅

+

( ) ( )S x rt o = = +

π 2

128107 51 17

cosx

sinx

xo

+

+

-

-

+

--

+

+ +

- -

segno della funzione

o

− + +4 12sin x sinx

sin x =−1 17

8

sin x =+1 17

8

0 90°

xxo

cosx(1+cosx)

− + +4 12sin x sinx

( )′f xO

O

+ +

+ -

+ -

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rh16

1723 +=

21723

2+

=ra

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Si studi il grafico della funzione y sin x sin x= + 2 nell'intervallo [ , ]0 2π

Calcolare l’area S della regione finita di piano delimitata dal grafico della

funzione e dalle tangenti al grafico della funzione rispettivamente nei punti di

ascissa 0x= e 3

x π= . Dire se esiste un punto A dell’asse delle ascisse rispetto al

quale il grafico della funzione è simmetrico.

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Si può accettare solo la soluzione x π= Il punto richiesto è: ( )C π;0

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⋅4 Si esamini la posizione delle radici dell’equazione in x :

( ) ( )2m -1 x - m +1 x+ 2m -1=0 rispetto all’intervallo ( )1;1− .

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