Meccanica 831 marzo 2011

Teorema del momento angolare. 2° eq. Cardinale

Conservazione del momento angolare

Sistema del centro di massa. Teoremi di Koenig

Lavoro, energia cinetica, potenziale e meccanica per un corpo esteso

Energia propria e interna

Teorema del momento angolare

• Abbiamo visto nel caso di un solo punto materiale, che, se il polo e` fisso e il sistema di riferimento e` inerziale, il teorema del momento angolare e`

OO

dt

Ld

2

Teorema del momento angolare

• Generalizziamo questo teorema al caso di un sistema di piu` particelle e polo fisso

• Deriviamo rispetto al tempo• Otteniamo

• Cioè di nuovo

Oi

iii

iii

i

ii

iii

i

iii

O

Frvmv

dt

pdrvm

dt

rdpr

dt

d

dt

Ld

0

i

iiO prL

OO

dt

Ld

3

Teorema del momento angolare

• Generalizziamo ora al caso di un sistema di piu` particelle e di un polo mobile

• Deriviamo rispetto al tempo l’equazione che lega il MA calcolato rispetto ad un polo fisso O e un polo mobile Q

• OtteniamoPrLL QOQ

PvFrFrPv

dt

PdrP

dt

rdPr

dt

d

dt

Ld

dt

Ld

QQOQQO

QQ

OQOQ

4

Teorema del momento angolare

• Ricordando che l’espressione tra parentesi è il momento rispetto al polo mobile Q, otteniamo

• Espressione che differisce per la presenza del secondo termine da quella trovata per il polo fisso

• Ovviamente si ritrova quella equazione se anche Q è fisso: in tal caso il secondo termine è nullo

Pvdt

LdQQ

Q

5

Teorema del momento angolare

• Esistono però altri casi in cui le equazioni per il polo mobile e per il polo fisso sono uguali

• Il caso più importante è quello in cui il polo coincide con il CM del sistema, in tal caso

• E poiché vCM e P sono proporzionali, seguePv

dt

LdCMCM

CM

CMCM

dt

Ld

6

Teorema del momento angolare

• Un altro caso e` quando il polo coincide con il punto di contatto C tra una ruota che si muove (slittando o rotolando) e una superficie di appoggio

• Poiché vC e P sono paralleli, segue

Pvdt

LdCC

C

CC

dt

Ld

C

P

vC

7

Teorema del momento angolare

• Abbiamo dimostrato il notevole teorema: la derivata del momento angolare è uguale al momento delle forze (esterne) se come polo usiamo – un punto fisso in un sistema inerziale– oppure il CM del sistema (indipendentemente

dal fatto che questo sia fisso o sia mobile e qualunque sia il suo moto)

CMCM

dt

Ld

8

Seconda equazione della dinamica dei sistemi

• Se il polo e` fisso o e` il CM

• Questa e` la seconda equazione della dinamica dei sistemi

• O seconda equazione cardinale della meccanica

EQ

Q

dt

Ld

9

Conservazione di L• Se vale l’equazione• e se il momento delle forze esterne e` nullo, allora

il momento angolare si conserva

• Facciamo due osservazioni:– La conservazione puo` valere anche solo in alcune

direzioni (quelle in cui la componente di e` nulla)

– A seconda della situazione fisica, puo` annullarsi qualunque sia il polo, oppure solo per poli scelti opportunamente

0dt

Ld O

.constLO

0EO

EOO

O

dt

Ld

10

Sistema di riferimento del CM

• Ha origine nel CM• Gli assi sono sempre paralleli agli assi di un

sistema inerziale• In generale non e` inerziale

ri*pi CM

OrCM

ri

Ai• La posizione di un punto nel SCM e`

• Derivando questa relazione troviamo la velocita` di un punto nel SCM

CMii rrr

*

CMii vvv

*11

Sistema di riferimento del CM

• La posizione e la velocita` del CM nel SCM sono, ovviamente,

• Ricordando la definizione di CM, valida in ogni SdR, abbiamo anche

• La seconda equazione stabilisce che la QM totale del sistema e` nulla se misurata nel SCM

0* CMCMCM rrr

0* CMCMCM vvv

0** CMvMP

0** CMi

ii rMrm

0** CMi

ii vMvm

12

Teoremi di Koenig

• 1o teorema: fornisce una relazione tra il valore del momento angolare in un sistema inerziale e nel sistema del CM

• 2o teorema: fornisce una relazione tra il valore dell’energia cinetica in un sistema inerziale e nel sistema del CM

13

1o teorema di Koenig

• Confrontiamo il MA calcolato – nel SCM con polo nel CM – nel SdR inerziale con polo nell’origine O

CMCMCMi

iii

iiCMO

iCMiCM

iCMii

iiiCM

iiii

iCMiiCMi

iiiiCM

vMrvrmvmrL

vmrvmrvmrvmr

vvmrrvmrL

***

ri*pi CM

OrCM

ri

Ai

14

1o teorema di Koenig

• Il 2o e 4o termine sono uguali e opposti; il 3o termine e` il MA del CM nel SdR inerziale

• La relazione puo` essere letta anche

• Il MA di un corpo in un SdR inerziale e` uguale al MA del sistema rispetto al CM, calcolato nel SCM piu` il MA del CM nel sistema inerziale

*

CMCMOO LLL

CMOOCMCMOCMCMOCM LLvMrLvrMLL

*

15

2o teorema di Koenig

• Calcoliamo ora l’energia cinetica

22

2

22

22**

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

CMCMCMCM

CMi

iCMi

ii

iCMi

iCMii

iii

iCMii

iii

vMKvMvvMK

vmvvmK

vmvvmvm

vvmvmK

16

• il 2o termine e` l’energia cinetica del CM nel SdR inerziale

• La relazione puo` essere letta anche

• L’energia cinetica di un corpo in un SdR inerziale e` uguale all’ EC del sistema calcolata nel SCM, piu` l’EC del CM nel sistema inerziale

2o teorema di Koenig

CMKKK *

*KKK CM

17

Lavoro

• Calcoliamo il lavoro relativo allo spostamento di un sistema di punti materiali

• Per una particella il lavoro infinitesimo e`

• Il lavoro finito si trova integrando il lavoro infinitesimo tra stato iniziale e finale (che possono essere diversi per ogni particella)

Ei

Iii

Eii

Iiiii dWdWrdFrdFrdFdW

Ei

Ii

B

A

Ei

B

A

Ii

B

A

ii WWdWdWdWWi

i

i

i

i

i

18

Lavoro

• Per il sistema il lavoro si trova sommando su tutte le particelle

• A differenza del caso della risultante dei momenti di forza agenti sul sistema, ora le forze interne danno un contributo non nullo

EI

i

Ei

i

Ii

ii WWWWWW

19

Lavoro

• Raggruppando infatti le forze interne a coppie di forze coniugate secondo il 3o principio, il lavoro interno e` esprimibile come

0

i ij

r

rij

I

iji ij

r

rj

I

ij

r

ri

I

ij

i ij

r

rj

I

ji

r

ri

I

ij

i

r

ri

ij

I

iji

r

ri

I

ii

I

i

I

ijF

ijI

jF

jI

iF

iI

jF

jI

iF

iI

iF

iI

iF

iI

rdfrdfrdf

rdfrdf

rdfrdFWW

Ii

Fi

Fj

Ij

rijI

20

rijF

Lavoro

• Ove si e` introdotta la nuova variabile rij

• In generale il prodotto scalare che compare nell’integrando non e` nullo, ne’ sono nulli gli integrali o la loro somma

• Il lavoro delle forze interne dipende in ultima analisi dal cambiamento delle distanze mutue tra le particelle che formano il corpoijrd

21

Lavoro per un corpo rigido

• In assenza di tali cambiamenti i lavori elementari sarebbero nulli, e altrettanto nulli sarebbero i lavori integrali e la somma dei lavori relativi alle diverse particelle

• Questo e` il caso, particolarmente importante, di un corpo rigido: 0IW

nessun cambiamento delle distanze mutue tra le particelle che formano il corpo

22

Energia cinetica

• Studiando il lavoro infinitesimo relativo a una particella singola, avevamo trovato l’equazione

• Integrando tra stato iniziale e finale

• e sommando su tutte le particelle

iiiiiiiii dKvmddvvmrdFdW

2

2

1

iiiii

B

A

i

B

A

ii KAKBKdKdWWi

i

i

i

KKKWWi

ii

ii

i 23

Energia cinetica

• Ovvero: il lavoro complessivo delle forze che agiscono su un sistema e` uguale alla variazione di energia cinetica del sistema tra stato iniziale e finale

• Inoltre il lavoro e` scomponibile nel lavoro delle forze esterne e interne, in generale entrambi diversi da zero

KW

EI WWW

Teorema dell’energiacinetica per corpo esteso

24

Energia potenziale

• Se le forze sono tutte conservative, il lavoro e` esprimibile in termini di energia potenziale

• Integrando tra stato iniziale e finale• E sommando su tutte le particelle

• Definendo l’energia potenziale totale• troviamo

25

ii dWdU

WWUi

ii

i

ii WU

i

iUU

WU

Conservazione dell’energia meccanica

• Il discorso si puo` ripetere separatamente per forze interne e esterne

• Ricordando il teorema dell’energia cinetica, otteniamo

• Abbiamo cosi’ ritrovato il teorema di conservazione dell’energia meccanica E per un corpo esteso

II UW EE UW UUUWWW EIEI

UK

26

0 EUK

Forze non conservative

• Se sono presenti forze non conservative, possiamo estendere il ragionamento fatto per una singola particella

• Ottenendo

• Cioe` la variazione di energia meccanica e` uguale al lavoro delle forze non conservative

cnc WWW KW UWc

UWWWWK nccnc

ncWEUK

27

Energia propria

• Energia meccanica:• Separando i contributi delle forze interne ed

esterne• E non rappresenta una caratteristica del solo

sistema, perche’ contiene anche le interazioni con l’ambiente

• Per tener conto di questo, si definisce l’energia propria

UKE

EI UUKE

Ip UKE

28

Energia interna

• Tenuto conto che l’energia cinetica dipende dal SdR, l’energia propria si puo` scrivere

• Avendo definito l’energia interna• L’energia interna e` l’energia propria nel SdR

del CM, ove assume il valore minimo

22*

2

1

2

1CM

ICMp MvUMvKE U

IUK *U

29