Momento Angolare

CMv

MP

Moti Traslatori v

mp per un punto materiale

per un sistemaConservazione della quantità di moto!!Conservazione della quantità di moto!!

Moti Rotatori

Momento angolare di una particella rispetto ad OMomento angolare di una particella rispetto ad O

prl

Sia xy il piano individuato dai vettori r e p

O

rpprl ||

Momento angolare

2

rpprrpsenl ||

O

pr

r braccio di p rispetto ad O ossia la distanza della retta di azione di p rispetto ad O

Applicazione..

3

/sm kg62.0v|| 2 hmrpsenl

O

h

Una particella di massa 13.7 g è in moto alla velocità costante di 380 m/s. La traiettoria rettilinea della particella passa a distanza di 12 cm dall’origine. Si calcoli il momento angolare della particella rispetto all’origine.

Momento angolare e torcente

4

prl

dt

prd

dt

ld )(

dt

pdrp

dt

rd

dt

ld

v

Frdt

ld

F

vm

dt

ldIl momento torcente totale rispetto al polo O delle forze agenti sulla particella è uguale alla variazione temporale del momento angolare della particella calcolato rispetto allo stesso polo.

Il momento torcente totale rispetto al polo O delle forze agenti sulla particella è uguale alla variazione temporale del momento angolare della particella calcolato rispetto allo stesso polo.

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Momento angolare e torcente

Per un sistema di particelle il momento L rispetto al polo O:

N

iilL

1

N

ii

N

i

i

dt

ld

dt

Ld

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Scelto O, come origine del sistema di riferimento cartesiano:

La variazione temporale del momento angolare di un sistema di particelle è uguale al momento torcente totale dovuto alle forze che agiscono sulle particelle del sistema.

La variazione temporale del momento angolare di un sistema di particelle è uguale al momento torcente totale dovuto alle forze che agiscono sulle particelle del sistema.

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Momento angolare e torcente

EXTN

iidt

Ld

1

Per la III legge di Newton: il momento torcente totale delle forze interne è nullo:

Il momento torcente totale dovuto alle forze esterne che agiscono su un sistema di particelle è uguale alla variazione temporale del momento angolare di un sistema stesso, entrambi calcolati rispetto al medesimo polo fisso nel sistema di riferimento inerziale scelto per studiare il moto.

Il momento torcente totale dovuto alle forze esterne che agiscono su un sistema di particelle è uguale alla variazione temporale del momento angolare di un sistema stesso, entrambi calcolati rispetto al medesimo polo fisso nel sistema di riferimento inerziale scelto per studiare il moto.

Vale sia per un sistema di particelle che per un corpo rigido

Momento delle forze interne…

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1,2F

2,1F

2r

1r

2

1

O

0)( 1,221

1,222,11int2

int1

Frr

FrFr

1,221 //)( Frr

Conservazione del momento angolare

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EXTN

iidt

Ld

1

0EXTSe costante L 0

dt

Ld

Se il momento totale delle forze esterne agenti su un sistema di particelle è nullo, il momento angolare tot. del sistema si conserva. Il momento angolare di una singola particella invece può variare, a causa delle forze interne. Se una componente del momento torcente totale esterno è nullo la corrispondente componente del momento angolare tot è costante.

Se il momento totale delle forze esterne agenti su un sistema di particelle è nullo, il momento angolare tot. del sistema si conserva. Il momento angolare di una singola particella invece può variare, a causa delle forze interne. Se una componente del momento torcente totale esterno è nullo la corrispondente componente del momento angolare tot è costante.

si! v e p

paralleli sempre sononon

e L

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Consideriamo un sistema di punti materiali, rigido, in rotazione attorno all’asse z con velocità angolare .

Consideriamo la particella i-esima.

y

x

z

R

i

i

Pi

P'i

O

i

r i

v i

r i vettore posizione

R i distanza dall' asse di rotazione

v i R i modulo della velocitài r i m i

v i momento della quantità di moto

i rim iv i rimiR i modulo del momento della quantità di motoiz i cos 90 i

m iR i ri sen i

R i miRi

2 componente assiale

Lz iz

i1

n

m iRi2

i1

n

m iR i2

i1

n

I

j

j

Momento e velocità angolari

Conservazione momento angolare: applicazioni

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Il momento delle forze esterne rispetto al CM è nulloI + grande I + piccolo

I + grande

I + grande

I + piccolo

Lz I

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Simmetria Assiale

Lz I L

Due particella di stessa massa che ruotano attorno all’asse. Due particella di stessa massa che ruotano attorno all’asse.

//L

Un corpo rigido è simmetrico attorno ad un asse se e solo se per ciascun elemento ne esiste un secondo di ugual massa posto alla stessa distanza dall’asse sulla retta ad esso ortogonale passante per il punto occupato dal primo elemento.

Un corpo rigido è simmetrico attorno ad un asse se e solo se per ciascun elemento ne esiste un secondo di ugual massa posto alla stessa distanza dall’asse sulla retta ad esso ortogonale passante per il punto occupato dal primo elemento.

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Corpo rigido in rotazione attorno ad un suo asse di simmetria:

Ogni corpo per un suo punto passano almeno tre assi (assi principali di inerzia) ortogonali tra loro tale che quando il corpo ruota rispetto ad uno di essi:

Corpo rigido in rotazione attorno ad un suo asse di simmetria:

Ogni corpo per un suo punto passano almeno tre assi (assi principali di inerzia) ortogonali tra loro tale che quando il corpo ruota rispetto ad uno di essi:

I L

Assi principali di inerzia

Corpi simmetrici e asimmetrici

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La sbarra con corpi di massa m è rigidamente connessa con l’albero centrale. Il corpo non è simmetrico rispetto all’asse di rotazione e l’asse di rotazione non è un asse principale d’inerzia:

L’albero ruota a velocità angolare constante.

non // L

asseall' attorna ruota ma

moduloin costante L

Precede attorno all’assePrecede attorno all’asse

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Corpi simmetrici e asimmetrici

dt

Ld

• Il momento torcente delle forze esterne è dovuto alle forze che i sostegni esercitano sull’albero:

• Per mantenere i due punti materiali sulla traiettoria circolare occorre applicare a ciascun punto materiale una forza centripeta.

• il cui momento è ortogonale a piano individuato da

e L

z = 0 z costante

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non hanno nessun altra funzione che quella di far precedere il momento angolare attorno all’asse di rotazione

non hanno alcuna influenza sulla velocità angolare

Ma al tempo sottopongono a sforzi inutili tutta la struttura (l’asse di rotazione, i cuscinetti, etc)

non hanno nessun altra funzione che quella di far precedere il momento angolare attorno all’asse di rotazione

non hanno alcuna influenza sulla velocità angolare

Ma al tempo sottopongono a sforzi inutili tutta la struttura (l’asse di rotazione, i cuscinetti, etc)

Si preferisce lavorare in modo che il momento angolare sia parallelo all’asse di rotazione (in cui tali forze non sono richieste)

Questo si ottiene “equilibrando” il corpo rigido rispetto all’asse di rotazione (equilibrature delle gomme dell’automobile)

Si preferisce lavorare in modo che il momento angolare sia parallelo all’asse di rotazione (in cui tali forze non sono richieste)

Questo si ottiene “equilibrando” il corpo rigido rispetto all’asse di rotazione (equilibrature delle gomme dell’automobile)

Poiché

La Trottola

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Consideriamo il moto della trottola in rotazione attorno al suo asse di simmetria.L’asse di rotazione precede ossia si muove attorno all’asse verticale.

• Il momento torcente della forza P:

• perpendicolare sia all’asse di rotazione che ad L

• modifica la direzione di L, ma non il modulo:

Mgrsen

dtLd

O

P

r

Trottola: moto di precessione

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O

L

Ld

L

ddt

dP

Lsen

dt

Lsen

dLd

L

Mgr

Lsen

Mgrsen

LsenP

La velocità angolare di precessione è inversamente proporzionale ad L e quindi alla velocità angolare di rotazione attorno all’asse di simmetria

La velocità angolare di precessione è inversamente proporzionale ad L e quindi alla velocità angolare di rotazione attorno all’asse di simmetria